Allereerste gronden der cijferkunst

This is a digital copy of a book that was preserved for generations on library shelves bef ore it was carefully scanned by Google as part of a project
to make the world's books discoverable online.

It has survived long enough for the copyright to expire and the book to enter the public domain. A public domain book is one that was never subject
to copyright or whose legal copyright term has expired. Whether a book is in the public domain may vary country to country. Public domain books
are our gateways to the past, representing a wealth of history, culture and knowledge that 's often difficult to discover.

Marks, notations and other marginalia present in the original volume will appear in this file - a reminder of this book's long journey from the
publisher to a library and finally to you.

Usage guidelines

Google is proud to partner with libraries to digitize public domain materials and make them widely accessible. Public domain books belong to the
public and we are merely their custodians. Nevertheless, this work is expensive, so in order to keep providing this resource, we have taken steps to
prevent abuse by commercial parties, including placing technical restrictions on automated querying.

We also ask that you:

+ Make non-commercial use of the files We designed Google Book Search for use by individuals, and we request that you use these files for
personal, non-commercial purposes.

+ Refrainfrom automated querying Do not send automated queries of any sort to Google's system: If you are conducting research on machine
translation, optical character recognition or other areas where access to a large amount of text is helpful, please contact us. We encourage the
use of public domain materials for these purposes and may be able to help.

+ Maintain attribution The Google "watermark" you see on each file is essential for informing people about this project and helping them find
additional materials through Google Book Search. Please do not remove it.

+ Keep it legal Whatever your use, remember that you are responsible for ensuring that what you are doing is legal. Do not assume that just
because we believe a book is in the public domain for users in the United States, that the work is also in the public domain for users in other
countries. Whether a book is still in copyright varies from country to country, and we can't offer guidance on whether any specific use of
any specific book is allowed. Please do not assume that a book's appearance in Google Book Search means it can be used in any manner
any where in the world. Copyright infringement liability can be quite severe.

About Google Book Search

Google's mission is to organize the world's Information and to make it universally accessible and useful. Google Book Search helps readers
discover the world's books while helping authors and publishers reach new audiences. You can search through the full text of this book on the web

at|http : //books . google . com/

Over dit boek

Dit is een digitale kopie van een boek dat al generaties lang op bibliotheekplanken heeft gestaan, maar nu zorgvuldig is gescand door Google. Dat
doen we omdat we alle boeken ter wereld online beschikbaar willen maken.

Dit boek is zo oud dat het auteursrecht erop is verlopen, zodat het boek nu deel uitmaakt van het publieke domein. Een boek dat tot het publieke
domein behoort, is een boek dat nooit onder het auteursrecht is gevallen, of waarvan de wettelijke auteur srechttermijn is verlopen. Het kan per land
verschillen of een boek tot het publieke domein behoort. Boeken in het publieke domein zijn een stem uit het verleden. Ze vormen een bron van
geschiedenis, cultuur en kennis die anders moeilijk te verkrijgen zou zijn.

Aantekeningen, opmerkingen en andere kanttekeningen die in het origineel stonden, worden weergegeven in dit bestand, als herinnering aan de
lange reis die het boek heeft gemaakt van uitgever naar bibliotheek, en uiteindelijk naar u.

Richtlijnen voor gebruik

Google werkt samen met bibliotheken om materiaal uit het publieke domein te digitaliseren, zodat het voor iedereen beschikbaar wordt. Boeken
uit het publieke domein behoren toe aan het publiek; wij bewaren ze alleen. Dit is echter een kostbaar proces. Om deze dienst te kunnen blijven
leveren, hebben we maatregelen genomen om misbruik door commerciële partijen te voorkomen, zoals het plaatsen van technische beperkingen op
automatisch zoeken.

Verder vragen we u het volgende:

+ Gebruik de bestanden alleen voor niet-commerciële doeleinden We hebben Zoeken naar boeken met Google ontworpen voor gebruik door
individuen. We vragen u deze bestanden alleen te gebruiken voor persoonlijke en niet-commerciële doeleinden.

+ Voer geen geautomatiseerde zoekopdrachten uit Stuur geen geautomatiseerde zoekopdrachten naar het systeem van Google. Als u onderzoek
doet naar computervertalingen, optische tekenherkenning of andere wetenschapsgebieden waarbij u toegang nodig heeft tot grote hoeveelhe-
den tekst, kunt u contact met ons opnemen. We raden u aan hiervoor materiaal uit het publieke domein te gebruiken, en kunnen u misschien
hiermee van dienst zijn.

+ Laat de eigendomsverklaring staan Het "watermerk" van Google dat u onder aan elk bestand ziet, dient om mensen informatie over het
project te geven, en ze te helpen extra materiaal te vinden met Zoeken naar boeken met Google. Verwijder dit watermerk niet.

+ Houd u aan de wet Wat u ook doet, houd er rekening mee dat u er zelf verantwoordelijk voor bent dat alles wat u doet legaal is. U kunt er
niet van uitgaan dat wanneer een werk beschikbaar lijkt te zijn voor het publieke domein in de Verenigde Staten, het ook publiek domein is
voor gebruikers in andere landen. Of er nog auteursrecht op een boek rust, verschilt per land. We kunnen u niet vertellen wat u in uw geval
met een bepaald boek mag doen. Neem niet zomaar aan dat u een boek overal ter wereld op allerlei manieren kunt gebruiken, wanneer het
eenmaal in Zoeken naar boeken met Google staat. De wettelijke aansprakelijkheid voor auteursrechten is behoorlijk streng.

Informatie over Zoeken naar boeken met Google

Het doel van Google is om alle informatie wereldwijd toegankelijk en bruikbaar te maken. Zoeken naar boeken met Google helpt lezers boeken uit
allerlei landen te ontdekken, en helpt auteurs en uitgevers om een nieuw leespubliek te bereiken. U kunt de volledige tekst van dit boek doorzoeken

op het web via http: //books .google . com

'<•

"» ':" '

9.

THE LIBRARY

OF

THE UNIVERSITY

OF CALTFORNTA

PRI:SENT£D BY

PROR CHARLES A . KOFOID AND

MRS, PRUDENCE W* KOFOID

i

izedby Google

ALLEREERSTE GRONDEN

D E n

: IJ F E R K U N S T.

1^

DigitizedbyCjOOglC . ^^^

I

igitizedby Google

ALLEREERSTE GRONDEN

C U F E R K U N S T,

JS E R S T E DEEL;

BEVATTENDE DE VERKLARING VAN HET TIENTALUCt

STELSEL VAN TELLEN , HET BETOOG DER VIER

GRONDREGELS, DE BEHANDELING DER GEWONE

EN TIENDEELIGE BREUKEN;

en bijzonderiyk

DE OPGAVE EN DE VERKLARING VAN HET NljJbw

INCSVOERDE STELSEL VAN MATEN EN GEWIGTEN ;

ALLBS TOEGEPAST OP VOORBEELDEN , GENOMEN UIT HIT

OA6EUJRSCHE LEVEN, DEN KOOPHANDEL, DB KUNSTEN SN

WBT&NSCHAPPEN; SN OPZETTEUJK INGERIOT NAAR PS

BEHOEFTE VANT DEN TEGSNWOOBJDIGEN TIJD;

OPGESTELD, T£N GfiBRUlKE OER SCHOLEN EK KOLLi.<ii£N,

DOOR

JACOB DE GELDER/

Math. Mag. et PhiU Nau Doctor ^ Hoogleenar, in dt

ti^S' en 'Natuurkundige Faculteit^ aan ^s Rijks Hooge

School, te leijden; Lid Consultant yan het Ba^

taafsche Genootschap der Proefondervindelijke

ff^ijsbegeerte f te Rotterdam.

DERDE DRUK.

DOOR DEN SCHBUVER ZËLVEN AANMERKELIJK
BESCHAAFD £N VERBETERD,

Tê ''sGra^enhage en Amsterdam f
BIJ DE GEBROEDERS VAN C L E E F.

- 1824.

igitizedby Google

igitizQdby Google

yOORREDE

VOOR Dt

DERDE ÜITGAVEj

h hé9 voorherigt^ voor de eerfte en tweede uitgave van dif
Lferèoekf heb ik de aanleidende oorzaak tot de zamenfielling
"tm hetteWe^ in den jare 1812, omgegeven; die beweegredenen^
im kef goede onthaal ^ dat hetzelve^ bij het geëerde Püblieky is
*igw tê beurt vallen^ genot gzaam gebillijkt zijnde ^ zoo ga ik
éiiihe tham met fiilzwijgen vootbij.

Tot mijn innig leedwezen ^ was ^ buiten mijn toedoen 9 de twee*
* uitgave ^ aUoewel zij ^ op den tijtel^ met vermeerderd en ver»
to«d pronkte , veel fiechter dan de eerjfe uitgevallen. Ik be^
turkH dH gebrek^ in de drie laatst af geloopene jaren ^ toen ik
MjT, JWr het eerst y na de eerfie uitgave^ aankomende jongelin»
gé^9 dagelijks naar hetzelve was begonnen te onderwijzen; eH
h^oêê^ zulks bemerkt hebbende y de gebreken ^ welke hier en daar^
i§ têêl^ ftijl^ duidelijkheid van voordragt^ enz. nog waren over^
gehkven . maar vooral de menigvuldige drukfouten in de getaUtH
Air te f eekenen 9 om ahooy langzamerhand ^ eene meer befchaafde
n met de uiterfte oplettenheid behandelde derde uitgave voor te
krtiden ; ik befloot , om^ daar toch het oog van den meester het
fekerpsi keurt , bij het ^drukken , mij niét te verlaten op men^
fchen , dit er minder belang dan de fchr ijver zelf in Pelten»
Het i$ echter geene omgewerkte ^ maar eene meer befchaafde uit^
gave f dh wij aanbieden; en van welken aard die verbeteringen
rifn^ zal de oordeeikundige gebruiker ^ die dezelve met de twee
fir^ vergelijkt , duidelijk befpeuren.

Nu van den inhoud en de inrigting iets meer ^ dan ter gelegene'
heid der vorige uitgaven.

Het eerfie Deel verklaart den öorf^rong der getallen , als na»
men cf teekens der hoeveelheden. Het leert ons dezelve ^ als het
gewrocht van des menfchen denkvermogen en vindingskracht ken*^
mn; het vertoont ons het fchoone eener uitvinding^ die wij niei
femeg bewonderen kunnen; en dat evenwel de meeste toch niet^
feveeUni omdat zij ^ door de ddgelijk/che gewoonte^ dit fchoofiè
w» min opmerken 9 als zï; getrtfen worden door het ftatige der
dêfeHjkfcht JSfatum-'tafkrëekn. Uit het denkbeeld van grooter
« kkittcr^ van tellen en terug tetkn, woraen voorts dé vih

TI F O O K SL K D E.

hmfdhemr^Utgen afgeldd; vier grond^^kheeïden ^ in zafnenfle^
Hng en wijziging^ zoo^ oneinaig verfcheiden^ dat de Godheid al*
téén die ontelbare verfcheidenheid van combinatien en derzelnr
overeenftemwingen omvatten kan. Zij zijn de grondflagen der
eigenlijke Arichraetica;V<!?/ m'/V zeggen^ van de kunst, om de ge*
tallen te meten; van de Telkunst 9 of van de kunst ^ om hoe^
veelheden van gelijk foor tige dingen te tellen »

Men befchoiiwt de getallen , als getallen ^ in het afgetrokkens ^
ên komt,, na met de optelling ^ vermenigyuldising ^ ^trekking en
deeUng bekend te zijn geworden , al dadelijk tot de befchouwing
van derzelver eigenfchappen ; van welke eenige der eenvoudigji^
9n meest noodzakelij kjle, in het III Hoofddeel , »'ör</<?« voorgedrag
gen ; in. welke befchouwingen men echter niet ver kan voortgaan ,
wamteer men zich met de gronden der dlgemeene wiskundige
Xeekenfpraak y. dienende , om de zamenflellingen der getallen en
derzelver onderlinge afhankelijkheid, in beknopte teekenSy voor tt
geilen, en, in die teekens^ als in eene tot da f oogmerk gefchikte
taal, over dezelve te redèneren.<^ niet heeft bekend en figen ge^
maakt;, gelijk de kundige Lezer ^uit de th'éorie des nombpes van
LEGENDRE en uit GAUss Disqiüfiuones AFictimct;cae , zien kan.

Men kan. de gewone Cijfer- of Telkunst aanmerken, als di
kunst, om te vinden: hoe een getal, dat, op eeniger/ei wijze ^
vit andere getallen' is zamengeffeld , met de termen van de
fchaal van ons tientailig fièlfel va^ tellen moet vergeleken wor»
den;: om alzoo te^ vinden: hoe dit getal moet genoemd, of in cij'*
fèts gefchreven worden ? Die zamenjlellingen der getallen , ^ar^
van ik hier fpreek, ztjp het werk onzer natuurlijke red^n: zij,
zijn gegrind in het eenvoudige denkbeeld, dat eefL getal gfooten
èn kleiner kan. worden , verfcheidéne getallen tot één geheel^ een
groot getal met verfcheidene andere kan verminderd worden i em
^ de menigvuldige, .verfcheidenheid van combinatien, welke mt
die tst^ee hdcfS'egrippen natuurlijk voorivloeijen* Hier redeneert
mem, zie XXXV Les , over de gevolgen van- zulk eene zamen*
^eUifig-, zonder op dè waarde of grootte van de getallen , die /hl
dezeh'e voorkomen , te letten Hier. ii alles eene praktifcJie Ijig(ca
*^ Rètlèneerkunde^ Men noemt di^ kunst , in welke de ingewikkeld»
ff e redeneringen , door beknopte teekens , in een kort bejlek ^ w^irden.
^oor.otf'gen gefield, algebra^. Stelkunst, Algeineene p/ meec
terfievene Rekenkunst.. Zij leert, om, het plat uit te (kukl^en ^,
ée rege^. vinden , oni iets* onbekends, uit gegevene betrekkingen^
|B bereltenen-; maar de gewone 'f eikun$t leert ; hoé, uit die ge
'iondbne regete., het geta» , dat dè: grootheid ,^ die men zoelu^^^
t^iffiteft». moet gevonden worden. DigtizedbyGoogl

r o o R R E, D ET» W

Ceüjk de gewone Te/kunst de fleiitel der Algemeene Reker:^
kmst is , Z6& zf'ji^ deze keiden , op hare èeurt , de jkotels d€W
hketk»na, Reid^ kunfïen ^ de kunst om f e tellen en te meten ^
^, in eiken ftaud der Bdmtfehappij ^ onontbeerlijke yereiitf^
ten. Elk f turners moet dagelijks tellen , *elk winketier onophcuêe»
Ujk meten. De algemeene gronden y waaruit de regels dezer ksm»
f en yooftyloeijen , zijn zulke kktarbHjkelijke waarheden^ dat zij
niet kehoeyen aangeleerd te worden; den onbefthaafden Züidlan*
der en yerUckten Enropeër liggen zij even klaar roor 0Ogen\
fechis yUjt en eigene oefening, bejluurd door een kundig- en erra^
ren Leidsman, kan den jongen mensch, in korten tijd, 4n die
bmfiett, op zulk eene aanmerkelijke hoogte brengen, dat ki§.
weidra het onmisbare van dezelve, zoo in de dagelijkfcèe ztemettm
lering, ah in zijne verdere ftudien, moet keren opmerken.

H" aar om zouden nu, moet men vragen, al vroeg de eerfte
hocfdgrtmden van die kunsten, met de kunsttermen ^ en de teekens,
welke men tn dezelve gewomüjk bezigt, niet kunnen verkaard
en geleerd worden f fFaarom zou men langer ^ door (lijve eigem
zitsnigheid gedreven , bij het verkeerde willen blijven volharden ;
aüeen^ omdat men te voren verkeerd en ondoelmatig gewerkt
hoeft ^ Is het, moet ik vragen, niec de pijgc vao elk, é\%
eenigea ipvloed op hec openbaar Onder w^» lieefr , den gang
des v^és ce volgen? C^inie en bijzonder gevoelen kon>en nei>
gens minder > dan in de Wiskuast , te pas 9 grootere vorderingen
in dezelve, van tijd tot tijd, gemaakt, hebben de meihodui
doceixii vereenvoudigd, en, in de deden van het geheel, eene
betere overeenjlemming gebragt; daardoor is niet jlechit het lee*
ren der kunst ligter geworden;, maar ook de toepasfing van dezelve
gemakkelijker gemaakt; en waarom zich dan niet bevlijtigd^
wet die betere methode bekend te worden P waarom langer geaar*
ze/d, dezelve te volgen P. Het is^ waar, wij ^ moffen beogen roemt
dragen op de verbetering in het lagere en middelbare Onderwijs^,
het aantal der kundige en achtingswaardige Onderwijzers^ ook
zelfs in het wiskundige vak, is reeds merkelijk aangegroeid; en
êohter ondervind ik, in mijne tegenwoordige betrekking, nog
dagelijks, hoe ellendig het, op fommige plaat fen, mefhetwis^
kundige Onderwijs^ {ik Jpreek kier inzonderheid de gewon» Qijfer-
ijfTeikUDSt,} gelegen is. Hoe velen bewerken nog niet de deelinn
gen en worteUrekkingen naar den ouden trant , dat het werk er
Milzietf als een fpinnenkopsnest , waar men zich , in de onor^
deniijko plaat/ing der cijfers-, verliest? Em hoe onder vijid ik nieo
^itüjks do verkeerde gewoonte, om^ in het vermenigvuldigen
é^fff^len,. bij het opzegen van dé tafelt, niet het gfital^

* 4 •

fn F o Ö R R E D E^

waèrvk^ mm vêrmen^uldigt\ eerst te noemm^ fhaat het kUht
fte; niet tegenflaande reeds zoo menigmaal k^ nadee/ige daof''
van is aangetoond! Hoe vehn bHjven nog eeffl^egel van drieën y^
hi den ünverftaanbaren trant van bartjbns en van van limtz>
opzetten i in plaats van zich van de aOngenomene fihrijfmjz»
éer erenredigheden te bedienen I — En met de eigenlijke aige^ .
nmn aangemmene Aunittcrmen f daarmede is het nog eirger ge^
0eid* Eene fom malcen, in plaats van een vrdflgduk uitwerken;
het facit nemen voor fom , verfchil , product of quotiënt ! — *
Sen getal op (lok zetten, in plaats van het klelnlle gemeeoè
TeelToud van de noemers der op te teilen breuken, als a]g»«
neetieo noemer, aan te nemen ! — eene breuk verkleinen^, ié
pkmH 'van eene breuk, indien het nmgelijk is 9 in de ktelnflt
of eenvoudfgde getallen, uit té drukken, enz. In het bereken
nèn^ ftokken^ ftrepen en kruisfen te geèrulitèni in plaatt van de
eilgemeen aangenomene grondt eeikens ^ +, -*, X m i -^ Jonge
iieden , die boven anderen liefhebberij voor de Rekenkimst heb*^
èen^ en daardoor beloven Mathemmiet te zWllen worden, het eene
ti^erboek voor en het andere na te late^ ukrekenent en alAoè
kan genie en aangeborene üefhebberif uit te dóovèn! Zie déttrl
fvejg- zooveel verkeerdheden , die wel niet meer geheel algemeen
%ijn ; maar van welker beftaan men nog dagelijks bêjkeH ziet ; oiè
^ bevestigd worden , door de ho^dravende annonces van nieun*ê
mltgaven van bartjêns en van lintz , de ware ponces asinorum
van die ellendige meestert jes , die , wanneer zij de f ommen (^zoo
als zij het noemen ,) op htm duimpje kunnen maken , onder Meden
ran hun* fiempel, voor phoenikfen in de kmst doorgaan^ Ik
weet wel 9 men noemt dit ^ om zich te dekken ^ en den onbedreve*
nen zand in de oogen te werpen , Koopmans^l^l — en wat k^m
.^ch yoortrefelijker dan die fiiji zijn? — doch het is de ftiji '
van een mverflaanbaar barbarismus; men noemt het praktijk of
korte rekening, een' korten weg; mai^ in de daad is het ét
praktijk van eene lange rekening 'r omdat het geheugettwerk is ^
omdat «eUy bij dien hooggeroemden koopmans-ftijl^ werkt, zo»^
der te weten ^ wat men dnti gedurig het geleerde zich moet kei^
innerM;^en omdat ^ daar men geen e gronden verfioat^ em enkti
woord 9 eene enkele bijkomende omfiandigheid alleen ^ gèrioeg i$^
tm iets f hoe eenvoudig het in zich zelve zij, niet te kunnen ui f*
rekenené Mèt één woord ^ die alles is eene praktik of korte
rekening, een koopmans-ftijl, dienende, ont de onkunde van die
iresens, zoo lang er hier en daar nog menfehen gevonden
worden, die aich door hunne kunstgrepen hiten bedotten, r»
hodeUtesi en to9 kug het gut^ aao oen ftuk broods vt.hsÊ^

r o o R R Ë D E^ IX

• M* Pijfm^twintig jaar vroeger^ tim ik étt zoo openUjk ntét
mbben durven zegden; dit kwaad was toen zoo algemeen ^ dat-
men mif voer een ^hadelijke riieuM^gkeid^zoeker zou hebhen aan*
gezien; deck f kans ^. daar het hetere reeds algemeener is dan hei
fechte en verkeerde^ zoo behoort het laatfte . tot in d^szeif^ laat*
ft fckuiihoeken ;, vervolgd te worden; voornamelijk^ opdai jonge
Heden, die zich op het openbare Ondérw^^ toeleggen, dodr>
deo fcbatfelijken invloed van die oude orthodoxe rekenmees»^
tenjes, niet zouden worden medegeOeepc en bedorven.

(gehoon de Reken- en Meetkunst , anders de Leer der Getallen ^
thier Uitgebreidheden , eUte op zich zelve befchouwd^ over on^^
itrwerpen redeneren ^ die ^in den eer f en opfiag^ niets gemeens heb*

i ht»; de eerfte over hoev^lheden van gelijk foortige dingen^ ^f)
kaifie over de uitgebreidheid en derzelver vormen^ dat is, over
de fyuur ef de vormen der uitgebreide plaatfen, in de wereld^
f^mte\ zoo kan echter de laat ft e de hulp van de eerjle niet ontm.
Aftw»,* want^ even zoo ^ ah men hoeveelheden van gelijkfoortige
^en, alSy bij voorbeeld.^ huizen , boomen, menfchen, enz*
ienken kan, zoo kan men yin de uitgebreidheid ^ hoeveelheden van
A« elkander grenzende evengroote of geUjke deelen denken; hef .
», uit de hoeveelheden van die gelijke deelen, dat men.eene

\ t^fciefe bepaling van de overeenffemming (f verhouding van twee

^ ^nen, twee hoeken, twee vlakken, twee ligchamelijke uitgebreid'-
atün verkrijgt. Dit gromdbeginfel is zoo algemeen, in elks denk*
y^mgen, ingeprent, dat het den onbefchaafdjlèn menschf hij
^ehet niet, in woorden , noch in onze kunsttermen , kunnen utt*
intkken, echter klaar vow den geest Hgt» Als een winkelier
tveeftttkken linnen meet, en bevindt, dat het eene 25 ellen en

s Kt andere 36 ellen lang is; dan heeft hij een volkomen denk*.
2J^ .^^^^ ^^ overeenkomst van de lengte deTier twee (lukken ;
^ zijn hier de getallen 25 en 36 (welker overeen/lemming en
vmde de gewone Telkuna hem heeft keren kennen ^^ welke hem.
w wereenflemming, die wij kunstmatig verhouding, reden,
overeenkomst noetnen , duidelijk voor den geest ftellen.
^MaA'tf deze overeenjiemmmg van twee geli kfoortige uitge*
mdheden , welke door getallen van geltjke en evenmatige deelen
(«fe IX Les) bepaald worden, zijn er neg overeeuilemmingenf
vn onderlinge afhankelijkheid, welker kennis eigenlijk dienen
■•tf » om de verhouding, van tmee gelijkfiachtige uitgebreidheden,

, ^ vinden , wanneer zulks op geene onmiddelijke wijze gefchieden
w», IVanneer ^ bij voorbeeld , de zijden yan eerC driehoek zijn

» ^ ittoHen a, k en c (Jn yoeten^) de inhoud' in vist kante voe^

I ' • DigitizedbyC^OOglC

ï ra o: R \R e i> Eé

ten :ssl en men s 'szil 4p.+ l kA- \ c fleU^ éhn hftt, \k
Meetkunst: tfut is

/= J/5 O — /?)(« — h^ O'— O • • • • M>
j& ik zijde van een vierkant r=: p voeten en dtszelfs in>^
hóMizrz P; ikmis

. P — P-. ....... .C^)

Ztjn a^ h^ c en p^ in getaüen van voeten^ gegeven^ //<?» za^
men de waarden van i/ i (* — /») (^ — ^) O ~ O ^^ P^-
kunnen berekenen ^ en die' getallen l en T zullen dan de reden cf}
verhouding tusfchen den inhmid van den driebeek en dien van het
vierkant voerfieUen.

De vergeMJkingen ^jf) en (B') fieffen eene evefeenkem$t v^m
onderlinge afhankelijkheid voor; ndj ieeren: hoe de inhouden^ ,a^.
van den driehoek ah van het vierkant , van de grMH van der^^
zelver grenzen of zijden afhangen ; *de waarden van I en /' flet^,
ien de verhouding der inhouden voor; en zóó ziet men: dat de.
Meetkunst de kunst is, om m^ te gaan: hoe de grootte van eike^
uitgebreidheid afhangt van de Wijze ^ oa welke zij door hato^
grenzen bepaald /V, ten einde de verhouaing van geüikjoortigé
uitgehreidheden tot elkander te kunnen bepalen. Zoo ziet men:s
dat de Meetkupsc^ zonder de leer der getallen , fn den uicg^.
breidfteo zin van hee woord genomen^ een dood MgchMD^
zonder ziel, zoude z^n.

De Franfchen gebruiken, in beide gevaUen, het woord np^,
port; onze taal is, in het fmeden van kt^nsttermen , jsoo rijk^
dat wij de overeenfiemming der geUjkfoortige tdtgebreidheden veiw
houding noemenden de vergelijkingen (^ff) en (^), onder de hé»,
naating van ovefteenhomsr va» onderlinge afhankeüjktield A»*.
trekken. Zie Wiskundige Lesfén , L Curdis ^ I htt.

De voornaamjie en eerffe dezer grondm worden i in de üX. Le*
gelegd^ en ^ in de XXXVI Les, verder vétkhard. ^ De deeHng-^of
divifiè der getallen niet anders zijnde, dan eene kunstmatige mm
uier, om het eene getal met ha andere te meten^ en^ mat daaf%
mede in verband Jlaat f een ge f al, in een zeker aantal geUfkB
deelen, te verdeelcn, zoo moest, om aan dien tnoeijelijklien regel
der gewone Telkunst kracht, leven en toepasfing te geven, in dé^
IX Les eerst verklaard worden , wdt grootheid^ gekeei, deekm^.
evenmatige en onevenmatige deelen z^n^ Wat gemeene maat iv^
en hoe, door die gemeene maat, de verhmUng van twee geüjk^
flachtige grootheden gevonden wonkn

Door de uitlegging van die eenvoudige m algemeene zaken ^
het vastfielkn der gefchikte kumtterinen, wordt het kerfiuk ^er%.
Cebrokeit , bij de oude manier van Ieeren , zoo J^er^ds Jleen des

DigitizedbyV^OOgl.

t^ o o R R E D Ë.

Amlh(fts, ênt het een f^eehmrd^ omter ons pieêg te zi}n: Hf
is i» de «€iM-^eM b^jven (teken,- nieu m4er$ dan de leer det
FerkouéUngen^want eigenlifk befiaan er^ daar êen §etal flechtt
sene verzameUng r^n eenheden ^, ^«««4? gekrokens; en k&mem
üte dan eerst voor ^ wmtneer de getallen gebrtMt worden^ om dê
yerhoudiég van iM^e gêMjMfoortige grootheden ypor te 0elkn. Fm
hier dim ook ^ dat de eigenfckappen der gehrokau met die dit
mnredigkeden zoo volmaakt oofereef^Umnm

De Leer der Gelfr^dttm heeft op vele and^e wetenfcnafptUjiÊ
jMen zoo veel invloed, d^t men de gronden der iaaifU fiiet
nrfaan kan^ zonder in 4it Uerftuk hedreven te zi^n geworden^
En koe komt het nu, dat zoo velen, n^ in hmtne jeugd de ge^
hnkem geleerd en veelnukd Imhaald te hebeen, de^w, wan^
mer zij hun naderhand te pm kamen, vergeten zijn? Eenvmdig
èufrom; omdaf^j de 4'êgeh wfirktuigeHjk Man^kerd ke^fen^.
Vinder dat zij wisten y vt^at zij eigenlijk deeden, en het wgmerk^.
wurtoe die regels finkken t' niet inzagen; met één woord ^ omdat
dj in den blinde en zmier jdoet werittené Het ï^eranacht:$0wmm*
wm een doelmatig onderviéjt , in dit gedeelte , is dm ook de r0«>
dm,waarom zij,Jie meh op ficel*- en MeeikODst, op de ribtamr^^
koude en andere wetenfchappen ,müien toeleggen , niet Hagen, «r^
in e»e dezer vntenfehappen , al dadeUjk ftuiteni omdat zij , mo.
êk men zegt , in de gebrokens zijn hlifven fieken , ^n geen moeds
gnoeg hebben, om een vidt van ftudie,d^ hunkin vroeger ptren^
m pijneUjh gevoel te weeg hra^, op ni^av U kereatten.
-^ die Beden» heb ik dAQ oól^ die ^eded^e xxê^t LiesCeo^.
aet de uteesfte zorgval^ighüid » overwogen icn ^esiit; %m de
woofdcD, die mep geblikt, de piwiefe i>eceefcenis gegeyen;.
ie^een men.bg ettte bewerkiiig ,, denken «eet» beknopieiijk ,e»
Aid^k vtoorgefteld* Wie dms,met weinig iièeieite , dit belangrijke
pdeeke der Mekenksntst vdl keren en zich in hetzelve bekwamen ».
m elk o^Mik, td^ de fruutr aangeroerd wordt, de beteekenit
imer witwden en dm namenhang der dingen voor den geest heb* ,
lm, moei ophouden, om als eene macfnet^e te weriem hij werke
Mever één mer over één enkel voorkseid*, denke na, zoo lang
m dat Hj het wei verfiaan hfbbe; dit mal heter zijn dan tenige
iénenda g^kfbortige voorbeelden uit te Werken , bij weO^ mem
mUrekt ni^ desdüi»

De ongelijke verdeeUng on^er oude Maten en Gewigten, het
immmé drdgende van de barbaarscMieid der overoude tijden^
tmn de wiskundige w^enfcha^pen fledds in de fludeervertreks
km vair tenige weinige beoefend werden, maakte, w^em de
wteieéuU^ herUdktgiff dit nij te w^ brengeu.a» *w^

m F O O R R E D E.

tijkfche berekeningen ten Uiterfie omflagtig. Onze beroèmj^
Landgenoot stevin,//^ Leermeester van Prins mavrttz ^ voer^
de daarom, voor twee Eeuwen, de Tiendeelige Breuken in;,
doch deze werden flechts in de Meetkunst gebruikt : huigW
foeg reeds voor een beter Stelfel van Maten en Gewigten , be^
nevens de tiendeelige verdeeling van dezelve; dit bleef echter
0nder de pia vota, tot dat de Franfchen , in 179a , het gelukkig
denkbeeld van huigens, thans naar de ómftandigheden gew^-
:dgd, verwezenlijkten y het nieuwe ftelfel van Maten en Qewig*
ten , thans ook bij ons ingevoerd, daarftelden. Hierom is de,
leer der tiendeelige breuken, welke, voor dezen ^ in geen
fchootboek voorkwamen, eene algemeene behoefte geworden.
Deze nu, met het nieuwe jlelfèl van Maten en Gewigten^
hebben wij , in het Y Hoofd, van XXVIII tot XXXIV Le«
ingefloten , niet minder zorgvuldig en klaar voorgedragen , ak
dfi leer der gewone breuken.

* Welligt zal nu iemand vragen: waarom wij, hu het wig$-
geerige Stelfel van Maten en Gewigten is ingevoerd, la
deze derde uitgave, nog de berekeningen, die, op de ver^
deeling der oude Maten en Gewigten gegrond zijn , hebben la. '
Mtt beftaan ^ Ongetwijfeld kunnen thans een gewoon Ambagts-
tnan, een LandbifUwer , en meer andere klasfen van menfchen^
viflfiaan tfiet de kennis der vier regels , in de gehfelen en^ tien»
deeligen ; maar een Koopman , die met uitheemfche Maten en
Gewigten en vreemde Muntfpeeien. dagelijks te doen blijft heJf^.
hen , moet ook weten : hoe hij , in die gevallen , zijne èerekenfn-
gen met inrigten;en een jong mensch,die tot eenen befchaaf^
der, fl and, inzonderheid tot den Geleerden, wordt opgeleid^
moet dit alles blijven weten; en voor die klasfe van mi^»
fchen is eigenlijk dit Leerboek meest gefchreven , en, ém dêê
reden ^heb ik , met e enige weinige veranderingen hier 'en daar^
dit gedeelte van het werk op denzelfden voet gelaten.

In het tweede Deel van dit Werk, gaan wij voort ^ op da
grondfiagen , die in het eerjie gelegd zijn. De leer der Eyem^
redigheden , in derzelver gantfchen omvang en toêpasfing , da.
Reken» en Meetkunflige reekfen, het leerjiuk der Logaritb^
men en derzelver gebruik^ benevens het, trekken vamè Qüm^
draatS' en Cubus -wortels , alle die onderfcheidene dingeé wor^
den in hetzelve omfiandiglyk voorgedragen.

Nadat wif ,in de XXXV Les , een beknot denkbeeld vam dè
Stelkunst en hare teekens , als mede van de vergel^kingen ge^
geven hebben ^ welke Les dus als eene korte inleiding^ tot éê
Stilkunst kan, befckmwd worden^ befchguwen wij kt f kerfiuè

roORREDK tm

iir Ferh&ttdingen en Evenredigheden^ die d' ziel der geheek

Meetkunst uitmaken, eerst algemeen ^ in de XXXVC l>j, en ko*

wn daetrna op de Evenredigheden der getallen^ welker eigen fchap*

fa 9ij opgeven , betoogen en op veel algefneene zaken van het da-

geSjkfche leven toepasfen. Te voren ^ in andere gefchriften^

heiden, nHj , hij aanhoudenheid , nagedacht ^ over de wijze ^ hoe die

lier der evenredigheden , overeenkomjiig den waren aard en inner»

Sjke ge/feldheid van dezelve^ op de eenvoudigfle en meest re^^t*

^kfche wijze y moest worden voorgedragen ^ en hoe men^ uit

kt dagelfjkfche leren ^ de ^^gefchikfle k^nsttermen kiezen mogt^

m de bepalingen van de woorden en zaken 'zoo in te rigten ^

dit iemand ^ met rer/elijk goed verftand begaafd ^ dezelve, in de

wtorien van zijne eigene taal^ dadelijk vatten en ver Jl aan z&u.

Gelukkig genoegd hadden wij het omfiachtige en duistere van

nrCLiDBS weten te ontwijken^ zonder aan het algemeene van

het begrip iets te kort te doen , en zijn niet vervallen , in het

dfracte en beperkte der nieuwere^ die ^ niet zonder reden, de

theorie van eochoes hadden verworpen; doch echter, door hunne

rijze van voordragen, in het verjiand van den Lezer, eene ga»

pinj Heten , die hij zelf moeijelijk konde aanvullen. Zeer veel

gispingen onderging destijds die nieuwe manfer van voordragen;

mtn vond dezelve niet goed; om welke redenen werd echter niet

gezegd; waarfchijnelijk was het wel, omdat zij nieuw was, en

reel beoordeelaars gewoon zijn, in den ^ naam en op het gezag

fêB hun* patroon^ kort af te vonnisfen^ Doch de tijd heef} on»

ze èefieedde moeite beloond f de groote menigte der thans reeds^

Itng ef kort aangekomene Onderwijzers , die ons hunne ge^^oelens

eugevergd dienaangaande betuigd hebben, onze eigene ondtrvin-

êmg eindelijk 9 hebben ons doen zien: dat onze vroegere arbeid

9iet geheel vruchteloos is geweest : de nadere befihaving van

dk gedeelte 9 in deze uitgave opgenomen^ is nogmaals de vrucït

rax eene latere driejarige ondervinding.

Inzonderheid hebken wij de teer der omgekeerde en zamenge»
feUe Evenredigheden zoo voorgefield^ dat^ in dezelve , beknophefd
met töUedigheidj firikte theorie met rijke tocpasfing vereenigd
z^nm

mj hepen dus^ dat dit gedeelte van ons Leerboek den weg tet
ie fhtdie der Natuurkunde zal openen en gemakkelijk maken;
dear men 9 zonder een grondig en klaar denkbeeld van de Even-
redigheden ^ inzenderheid van de zamengejlelde^te hebben ^ de Na*
nmwetten , waardoor alk verfchijnfelen gewrocht worden^ in
derzeh0 fekeenkeid en unténdigheid nooit regt vatten kan.

«T r O O R R E D R

De kêf der Evenredighedeti^ Rsekfen en lügarifhmen\ hé$
trekken van de Qtiadraafi' en Cuhus^-wertekn fcUjffien\, *ai
men zeggen f tot de Algebra te behooren^ en waaróm deie dam
m eenen curfus van gewone Rtkenkumt voorgedragen ? Deate ep*
merking is gegrond; maar de reden van onze indeeUng h geweU
Ugd door eene langdurige ondervinding^ aangaande den gefckikfleh
weg , dien m^n te volgen heeft; en om fommiger heerfchmde voor*
oerdeelen te gemoet te komen* Eigenlijk heflaat de gewone Telkunst^
in de vier hoofdregels; doch zoodra mm ever de zamenyiellingen
en onderlinge afhankelijkheid der getallen redeneert^ is het ^ men
gebruike daartoe teekens ef geene^ reeds Aigebra; de gewoonfte
berekeningen m in het dageUjkfche leven ^ hopen over Gebrokens ,
en Evenredigheden; in de Meetkunst^ kan men geen voetftap zeu
tm^^f men heeft met PTorteltrekkingen en Logarithmen te doen;
gevolgelijk moet een Cijferboek ^ dat vo(ar den hefchaafden en
geleerden fland gefchikt is^ de berekeningen bevatten^ die men
dagelijks noodig heeft. Bovendien zijn de Evenredigheden fiéchtt
de ontwikkeling van de eenvoudige vergeMjking a : b ^=z e i d ,
Me tot eene bijzondere klasfe van vergelijkingen behoort ^ en de
Logarithmen op de befchouwing van de vergelijking y :=: a* ge-
grmd; daar de Algebra^ af algemeene Rekenkunst^ den gant'-
{chen omvang van alle mogelijke betrekkingen van getallen em
vergelijkingen van dezelve leert klassificeren ^ herleiden^ ontwik*
kelen y en oplosfen ; terwijl men^ in de'toepasfing en het gebruik
i»an die leerfiukken^ die zij ons leert kennen ^ onophoudelijk met
Evenredigheden Logarithmen en ff^orteltrekkingen te doen heeft,
fi het dus niet beter de prime line» van die kumt vooraf in
een ^zonderlijk compendium voor te dragen^ eer men tot dezek-
ve geheel en al overgaat?

Maair behalve dat^ h<^ velen zijn «r, die wel Meetkukst

gillen teerenf maart, uit fmaak^ keus ef verkeeeden^ raad, van

^Algebra niets wiÜen weten: welke vorderingen zuUetr deze tm

in die WfitenfAap maken , in welke men , zonder de kennés van

al die zaken^ op den drempel moet blijven ftaan? Zeer veBn

hébben ons 9 bij monde en gefchriftey betuigd: dat zij m Leerifeek

^met de meeste vrueht gebruikt hadden , daar hun den toegang tot

Meetkunst en Algebra^ do^ hetzelve ^ wds ge^nd' geworden ^

waarmede zij te voren niet te regt hadden kunnen gerakekm

Zulke betuigingen bewijzen: dat wij^ in de fehikkh^^ zoo ütmeMfk

' niet gezien en door dezelve de fiudie der Wetei^ehappen' hevee^

derd hebben. Door die fchikking aan te êemen^ hebben wij Hf

^ vekn het nor 4» ^tenfehappen z^ nadeeffg mrekik^iê vU^

' DigitizedbyCjOOgI

roosLEBOSf st

im firifken, e9£n ah tf 4e A^geèra etne kufere ndtti hedtd»
êende Uefhebherij ware^ waaryan mtn^ althans $n het dagelijk*
fda kveftj geen het minfle nut treiken ia». En xoo nu de cm*
dermding deze fchikking der ftrf met een^ goeden uitflag bê*
irmd heeft ^ 906t wij Me aUereérfte gronden tet een grfehikt
katidhek heihen gema^ voor den meer befchaefden fimd^ en den
ieaen^ die zich op M^ikui^t^ Algebra en Natuurkunde wiüeM
toeleggen , den gefekkten fieutel hebben in de hand gegeven , dan
9ifte (He ziften wil ^ het gelukkig bereiken van een voor gefield
tuttig deel $s ons meer waard dan alie,nuttelooze haarkloverijen*
Nu no^ een woord op zijn pê% , dat ik in geenen deek wil ge*
i^ir hekben tegen het grmt aantal "van. die achtingswaardigê
Onderwijzers ^.die hunne zaak. meester zijnde^en hunnen pligt kennende^
9tij in hunne leefUsfgen^ die ik onder handen heb gehad ^ blijken
yen bedrevenheid hebben gegeven» Hq^ komt het, moet ik
yragen: dac er, in 4© twee laatfte jaren, dat ik mij met het
wiskundige onderwas, aan de LatijnCcbe Scholen, te Leiiden^ heb
bezig gehouden, zooveel novitii zijp aangekomen, die de ge
tallen, de tafel oiec Kennen, met welke men dus niets kan
Oitvoeren, en dat andere kui^ige Leeraars der Wiskunde aan de
Lat^nfcbe Scholen ovet dit zelfde gebrek klagen? In den f are
1814 ondervond ik hetzeffde^ te Delft; «w^^ destijds f chreef ik
het aan vreemde oorxakep^ tofi. Ik weet^wel: dat er jonge lieden
^jn, waarmede men wemig uitvoeren kan, vele die geen over^
fiiegers zijn^ weinige ^ die Mathematici zullen worden ^ dat wil
^ëg^ni in die vak zullen uitmunten; maar^ dii begrijpen kon f
iet tweemaat twee vier is , dien zal men boiler kunnen brengen »
tn een bewijs , dat zuJ^s aan verzuim is toe te /chrijven , /i,
éet ik de meesfe van die jonge lieden y door bijzonder werk van
km te maken i^oeh gebragt b^b^ daar zij wezen moesten»^ Z09
dit verfchijnfel niet alleen aan ^nalatigheid is toe te f chrijven^
90U dan ae oorzaak 'daarvan gtootendeels niet moeten gezocht
"borden , daarin , dat nten de lUnderen te vroeg over het paard
h^f dat men^ bij openbare examina, te veel wil uitblinkend
vch niet gen&eg rigt naar de krachten en bekwaamheden^ te
yeel 0an de theorie , te weinig aan de uifoefening doet? Het
ti^ferm. vordert eene zekere ingefpannenheid van geest ^ die fom*
9ig:n pijnelijk valt;, bemerkt men dit^ zoo geve men kleine
f9orbeeÜeny he^ en bemoe^ge y dan wordt ingefpannen te zijn
tin laatfte eene gewoonte en het practisch cijferen valt met meer
tvaarder dan eenige andere oefèningé Aan dit practisch cijfe*
ren haperf het nM4 mest heeft daarin $/tene genofg^sme hulp em

««

A

« T o o R R E D £.

mderrigting gehad; en daaruit h dan het nadeel (mtfiadn^ dd$
de jonge memch afkeer tg is geworden^ van alles ^ wat e ent ge in->
gefpannenheid van gedachte vereischt ; omdat nten^ door hem niet
te onderlieunen en te helpen , de infpanningskrasht overfpannen
en verlamd heeft. Het gevelg daarvan is: dat velen voor de
ffludie der wetenfchappen ongefchikt gemaakt MW^den^ en het bij
hen voor eene eerefpreuk gehouden wordt ^ te zeggen: die \s m^
te afgetroklcen! Dat nu dit kwaad kan worden te boven geko*
men , hei ik èif eigene ondervinding , en zeu d^ niet weten , waar»
om men , in het vervolg , zulks niet zou gelieven te verbeteren*
Indien men^ bij voorbeeld^ op onze Stads Armfchokn ^den kinde*
ren der lagere klaife in dit vak X,zoo als ik mij bij gelegenheid
overtuigd heb^ goed onderwijs en leiding geven kan 9 waarom
zou de kJasfe van den meer fatzoeneHjken ftand van dit voorregt^
verfloken moeten blijven» ^

Het vaardig en gemakkelijk cijferen is bij mij zulk een groet
hoofdvereischte ^ dat ik liever Studenten op mijne kollegien zie f
die geene theorie ter wereld verflaan ; doch vaardig kunnen muU
tip lieer en en divi deren , dan die veel theorie hebben gehoord^
maar^ (lag voor flag^ mijne opgaven verkeerd uitrekenen, Felen
fèhijnen van het eene uiterfte in het andere vervallen te zijn*
Oudtijds wift men van geene theorie; maar men leerde ten 'min'»
ften vaardig multipliceren en dividèren ; de meester zat èr met
den jlek en de plak achter^ thans leert men theorie en kent foms
de tafel niet! JVaarom dan nu die middelen van aanmoediging
niet gebruikt , om te verkrijgen , wat oudtijds met flók en plak
bewerkt werd f waarom niet '* wekelijks één of twee uren geno^
men^ om de jonge lieden ^ voor at de geenen^ die dit moei jelij kir
dan anderen aanleeren , in het practisch cijferen te oefenen , etp
daarin van kleine tot groote ^voorbeelden over te gaan; maar
dan moet men zelf helpen^ dit practisch cijferen zelf goed ken*
fien, en niet verflaafd zijn aan die verkeerde gewoonten ^ welke
het verkriigen van die hebbelijkheid in den weg paan. AUe
ftudien vereifchen^ zoo zij op geene oppervlakkige windhuidelarif
zullen uitkomen , eene zekere mate van inge/pannenheid van ge»
dachten . Deze is den meesten kinderen van nature niet eigen ;
het vermogen. van inge/pannen te kunnen' zijn bejlaa$\ maar het
moet , niet kunst en verband ^ aangekweekt^ ontwikkeld^ geleid em
verfierkt worden; bereikt men dit oogmerk^ dan wordt ook êe
gejchikthiid tot alle ffucHen geboren. - Doör royoe eigene onder*
vinding, ben ik verzekerd: dat elk, die hiervan de proef wü
nemen, bevindea zal^ dac ik hier de zftken joar waarheid heb
voorgefteld. oigtizedbyLjOOgl

.F 'ü O R li, E D B. tm

Pncdfche uitvoering en ifteorie tioode Ik do* voor" twee
2eer verfcltilIeDde «tken, die in den genen , die genoemd
wordt volkomen onderwezen te 2gn,behooren zamen te gaan;
naar niet altijd te zamen kunnen geleerd worden, ffterfn
imlde mm voor dezen % toen men ziek olieen met het practi*
fcke ophield. 9 toen men begreep ^ dat een Stuurman^ bij vwr-
■Md^ aileen noodig had. zijne regels practiseh uit te voeren^
jmder de gronden van dezelve in te zien , en men alks^ ten
mdeele van de noHmale industrie^ ah eene kostuinning be^
fckouwde^ en vooral maar zooveel leerde^ als voor zijn beroep
ho^UnoodzakeUjk geoordeeld werd; zoo wij dan met regt, znllt
tenc dwaze handehi^igze afkeuren, dat wij dan voeral in geen
.tegenovergefteld niterfte vervaHen, en, door bet practifche te
terzttimen^ veelwetera vormen , die geene handen liebben,
om iets, goed en vaardig, nit te voeren.

T(a het wel kennen van de Qjferkunst wordt das^ om aUes
samen te trekken-^ vereischt: i®. eene vaardige en gemakkelijke
uitvoering vai^ de vier hoofdregels; ü^. een duide^Jk be^p
van de gronden, op welke die hoofdbewerkingen berosten;
eo 3^. een goe^l en gezond oordeel, om, bij voorkomeiide
gelegenheden , met vaardigheid, te gevoelen, welke weg ons ter
oplosfiüg van een voorgelleld rekenkundig vraagftnk brengen
moet? Het eerfie dezer vereischten wordt al ligtelijk vervuld ;
éaUf hoe zeer de verbetering in het openbare cnderwijs de Mag*
ten over den waarlijk werktmge/ijken leertrant in de Cijfer*
kznstf op de Scheien^ zoo algemeen in zwang geweest^ zeer
êonmerkeUjk verminderd heeft ^ is toch eene nieuwe en ernJHge
aanbeveling der twee andere vereischten niet geheel overbodig;
iaar wij » vam tijd tot tijd^ jonge lieden ^ die zich in de M?»*
bmst willen doen ondermfzen^ aantrefen^ die^ wij zullen niet
Vggenf geene gronden hoegenaamd verftaan^ maar ze0 fzet
geene der meest noodzakeüjkfte kumttermen bekend zijn: en ho^
veel nadeels deze^ in den eerflen opflag^ onbelangrijke zaak op
ée hoogere ftudien heef^^ mogen zij, die, met veel moeite en
fomtijds vnfchteloojt dit bedorven werk moeten verbeteren, eer
zij met Atmne Leerlingen iets zakeUjks beginnen kunnen, het
list beoordeelené

ffy hebben Jan f om dieetden^, dit Leerboek^ met de üiteffd^

SleuetAeid, behandeld, .en den minkundigen Onderwijsweren^
W de vragen^ welke, aan den voet der bladzijden, onder
den eeise 9 gefield zij»^ eene gepaste aanleiding willen ge^en 9
#» da l^nl^iamfUitig mr ie grondeen it atétrimbiti J^

17 J Digitizedby Vjl

xwi t o o R B. E D £.

leertn detüten; en nkt ,m eme mfichkn^^ temaken; ët h éoeh
dd tenige weg, om hen ie keren verflaan^ um zi/ doen; en\
zonder dif vereischte^ weet een ongeleerde ^ Me goed verftand en
geen kumtmatig cijferen geleerd heeft ^ onemdtg beter ^ wat hij
uitrekent 9 dan een Leerling, die dagelijks, zonder kennis
Yan gronden , verfcheidene leijen heeft vol geofferd.

Men moet nogtans van deze onder den tekst gefielde vra^
gen geen verkeerd gebruik maken , 'en denken , dat wf hier*
mede het van buiten keren hebken wilkn aanprezen ; geen^
zinsl het van buiten keren komt nergens , minder te par;
dan in de JViskundige ^etenfchappen ; maat wij hebben
hiermede bedeeld^ den Leerling te keren nadenken op hetgeen
'kij leest , en den Onderwijzer eene gepaste handkiding te ge-^
yen, om zijne Leerlingen, over de gronden te onderhouden:
den kundigen behoeven wij dienaangaande niets voor te fchr^-
yen; deze zal zich naar de vermogens en de vatbaarheid zij *
ner Leerlingen weten te fchikken.

Het zij ons vergund, bij deze gelegenheid, ter hefiuring
ran nog jonge en in de methodns docendi onervarene Ondefm
w^ijzep, en bijzonderlijk voor hen, 'Wien de gekgenheid ont^
broken heeft, een meer opzettelijk en eigenlijk gezegd Wii^
kundig onderwijs in de Cijferkunst te genieten , dit weinige
te doen opmerken. De Onderw^zer behoort zich op deze twet
dingen^toe te leggen: i**. dat zijne Leerlingen, met vaardig-
heid en gemak, de grondbewerkingen keren uitvoeren: ten
dien einde raadplege hij , voor zich zelven , de aanmerkingen
^n voorfchriften , welke wij ,^ in de X Lés van onzen eerllen
Curftis der Wiskundige Le^en , Blady. lo^ en verv. ge-^
ma)akt en opgegeven hebben; en h^ late zijne ' Leerlingen ^
-sm dikwijls hij daartoe den tijden de gelegenheid vinden kan ^
voorbeelden hard op uitwerken , en daarbij tevens rekenfchap
geven van . elk bijzonder gedeelte der bewerking: eene zooda* '
^ige oefening zal den Leerling oneindig meer nuts verfchafen ,
dan bet uitcijferen van zooveel honderden voorbeelden , wel-
ke de aankomende jongelingen op de fcholen, dikwifls met zoo-
^Zfil verdriets en verveling uitwerken, en bijCwe^ke doorgaans
de werking van het oordeel en de redenering^ door de on-
^èunde in dé eorfie gronden, en, èmdat mèn daarom niet
weet, Mfat men doet , geheel onderdrukt wordt. 3^ Herbak
iij ^etzifne Leerlingen dikwijls. de MpaÜngen van woorden
en f^^, 5« vooi^al de verklaring der gronden ; tot dat zij,
49^4^Afi^f^€ etê JnmmtHige htwaar^e» ^^et fiethtt a»c0

y Ö Q. K REDE. aoe

weten te noemen y zo&als het behoort; maar ook alte%^ wat
tot hetzelfde onde^verp betrekking heeft ^ in hunne eigene
taaly in hunne eigen wootden ^ kunnen verklaren en betco'
gen: hierin bejiaat toch het ware kennen van elk ding; zen^
der deze hoedanigheid te hebhen verkiregen , kan men niet
gehouden worden de Cijferkunst te verftaan. Men zegge nim^
mer tot een ^eerling: met dat getal moet gij multipliceren ,
hiermede divideren ! enz* Men helpe hem , door redene-
ring , zelf zoeken ; en vindt men daartoe op het oogenblik
geen tijd^ late men hem liever niets doen; dif i% de alleen
ware en veilige weg. Men gewenne eindelijk zijn Leer*
lingen al vroegt^dig ^ naar deze onze handleiding ^ de wis»
' kundige teekens te kennen en te gebruiken: hierdoor zullen
zij , daar , door deze teekens , den zamenhang der gedachten be*
knoptelijk wordt voorgejleld^ het geheel hunner bewerkingen
xichy met meer levendigheid ^ v oorfi ellen ^ en bovendien zul*
len zy\ naderhand tot de Stel- en Meetkunst overgaande y
reeds veel boven anderen^ die het cijferen naar den ouden
vervelenden flenter geleerd hadden , vooruit hebben ; omdat bh'
zulk een verfiandiger onderwijs, ongevoelig de vöornaamjte
gronden tot deze wetenfchappen zullen gelegd y en het verfland
onmerkbaar gewoon geworden zal zijn aan denken en over*
wegen y zonder welke ziels -werkzaamheden deze wetenfchap*
pen niet beoefend en nog veel minder in volkomenheid verkre*
gen kunnen worden,

IF'ij hebben bij geene der opgegevene voorbeelden (immers
bij weinige^ de uitkomjlen der oplosjingen geplaatst; voor*
namelijk y omdat , zij ^ ons uit de pen vloeijende , er geen tijd
overbleef y om dezelve uit te werken; ook zou een overhaast
werk aanleiding tot rekenfouten hebben moeten geven ^ wel*
koy met de drukfouten te zamen genomen ^ meer na* dan
voordeel zouden gedaan hebben.

Echter zullen deze uitgewerkt ^ door den kundigen Heer ^
G. RAMAKERS, JR. , te Amfterdam y worden uitgegeven.

De getallen , welke de verhouding van onze Oude Ma*
ten en Gewigten met die van het metrieke fielfel uitdruk^
ken ^ en in de XXXIV Les, van Bladz. 163—176, voor^
komen ^ zyn, op nieuw, na het afdrukken . van blad G,
net onze oor/pronkel^'ke en meermaal beproefde bereke*
ningen vergeleken: men kan dus op dezelve veilig ver*
Preuwen, en, indien er met eenige opgaven van andere
Sekrèiwen een yerfehil mogt plaats hébben , (behoort naü»

' ♦♦ ü DigitizedbyV^ï.

uegefphreven. . , '

. Eindelijk zijn y in deze uitgave , 4e bepalingen vtet * , i/k
-aigemeene waarheden met f geteekend;,en de %% niet \ vlok
ttommen veranderd; maar als, er ^ ki^r en daar^itti is
h^geriiegd ^ 'de $ met de letter a, b, enz. her haalde

z6 yan Gra$maam4^

JACQS DE GELJXER.

igitizedby Google

I N H O U 0^

V A M H S T

EERSTE DEEL.

t HOOFDDEEL. Over den oorfprong der GetuUen , der*

zelver behandeling en gebruik» • Bladz* U
ï Les. Éénheid f Hoeveelheid en Getallen. . • ibid.
M Les. Over het Tientalllge Stelfel van tellen , en het

formeren der Cetallen» • • • • 3*

lil Lsst Over de Cijfers , derzelver beteekenis en ge*

bruik . f,

11 Us. Over de ÖptelUpg, de Additie . ö/ Zamenvoc
ging der getallen; of het vinden van de fom
van eenige gegevene getallen^ • # • ï*-
VLei, Over de Vermenigvuldiging, de Muldplicatie,
of het vinden van de fom van gelijke getale
len. ^ % . . ^ • • • • *^

VI Les. Vervolg van de Vermenigvuldiging. . . ip»

VII Les. Toepa^fing van de Vermenigvuldiging. • . fi4-
VIII Les. Over de Afcrekking, Subtractie ö/ Affcheiding , -

der getallen f of het vinden van het verfchil van
twee gegevene getallen* • • • • ^7*

IX Les. Inleiding t^t het deelen, verdeelen, <?ƒ hec on-

derlinge meten der getallen ^ en iels over de
Gebrokens. ^ . . • • -SS*

X Les. Over de Deeling (Diviüe) of het getallen me-

ten > in het algemeen ; en de verklaring der za^
ken^ welke tot derzelver uitvoering en tospa^fing
noodig zijn. . .• . Dig*zedbyCoogIe 4«.

Kil INHOUD

XI Lrs. Pifvoigé Over de eigenlijke b^UP'erkiag der

(fieeling*.: w • i; . - . - Bladz. 45*
XII Les* Over het verdeeleü der getallen , en het onder^
fcheid tmfchen de verhoudings- en de yerdee»
lings-Divifie. '' . * .' ^ • . 4 54-

XIII Lb8« Toepasfing en gebruik van de verboudtngs^ en

yerdee^ngi-W^ffie. _ '3 •: ..* ^- w-. . 56J

A« Op de herleiding van Deelen en Min-

derdeekn tqt Geheelen. •, , .. • - ^^^•-.

' B. Óp andere Coorten van ITraagflukken. . 57.

XIV liÊs. Toepasfing yan\dé Vermenigvuldiging en Dee^ ^

' ling op de Herleiding ohzef^ gangbare Munt* y
fpecien tot Guldens ^ en op andere Fraagllükken» do„^
n HOOFDDEEL.' Over de behandeling der grootheden^^ /*
Mke in getallen van Geheelen^ Deelen
■ .^ en Mfnderdèelen. sdjn/juitgedrukt^ • fijr*
XV Lb$# Oyer de, zoogenaamde OpteHin^ ^ Aftrekking

in Gelden^ Maten en'Gewigten* \ • • ibidm
XVX JMp Over d^ Vermenigvuldiging 'der grofheden , <
ivelke in Ceheekn^ Deelen en [Minderdeelen
zijn uitgedrukt. • • • • • 70»
XVII Les* Over 'het binden, der vfr^ouding van twee ge? -..
Mjkflachtige grootheden^. dié in Geheelen t pee* ^ ,
fen en Minderdeelen zijn uitgedrukt» • * . *7i?«
XVII r LEr» Over het ver deelen der Grootheden , welié in

Geheelen , Deelen en Minderdeelen zijn uitgedrukt. 80
' XIX Les. Tbepasjihg de^ bewerkingen » welke in de drie ., .
voorgaande Lesfen geleerd zijnr^ op gevallen
van het Tlagelijk/che leven. . • • 84
111' HOOFDDEEL. Over de eef^oüdigfie^ eigen/chappeo der ,
Getallen f enz. • • • po*

XX'. Lbs. Oi^er de deelbare en ondeelbare Getallen i fom*

mige kenÉurièi van Seélbèarkeid, . • ibid*

' ' ■ ' Digitlzed by C^OOglC

Vi^ «Kt EERSTE DEEL. txu

XXI Le?» Oyer httwfJkrr van den grootfteó genieeneo

Peeler.yrfw 4^c gHailtn. . , Bïadz. 95.
XXH Lw« Oy^ Ar/ vöi*if van het kleinfte.gemëööe

VeelV(®d rü» tviee rfmeer getalkn. . • ^^

IVHOOFPDEEL.' O»^^ de • behandeling der Cewm

Breuken. • • « « 10^

XXIII \m. Over de Gebrokens, iri het algemeen^ en der*

teWer Herleidingen, • . ' ; i iUd»

XXIV Les. O^er de. OpteÜii^- en Afitekfc'hig der Ge*

" brokentm r • • w • . . iio*
XXV Les. Oy^^/tf-VermeoigvtHdigiég 'der Gebrokens. . 115,
XXVI Les. Ferv(^ y)fn de Veimenig^tiMigkig der Ge»

. brckens, % • • • . lar

XXVII Les. Ov^r dt Deeliog ^r Gebrokens. \ ^ 115.;

V HOOFDDEEL. Over' de behandeling der tiendeelige of

dêcimató Gecallen. ^ , , 131,

XXVni LbsI Ov^r *i^ tiend eeKge Getalleö ; derzeher
fchrijfwijze^^ eiglnfchdppen en gebmik^ in
de dagelijkfche berekeningen^ . , $bid*
XXIX Les, Over de Optelling, Aftrekking, Vermenig-

• vuldiging en Deeliug der tiendeelige ger allen* 137.
XXX LE9« Over het herleiden van de Deelen en Minder*
deekn onzer oude Maten , Gewigten en Mum^
fpetien , in tiendeeligen der geheekn\ en^ om»
gekeerd^ over 'het Herleid van' de tiendeeUm
gen dezer Maten ^ Gewigten en Munt fpetien^
in derzelyer gewone Deelen en Minderdeê*
Un» • • • # « 14?V

Vï flOOFDDEEL. Over het Nieuw Wijsgeerige Scelfcl

van Maten en Gewigten. « , i^l^
ZXXI I-E»# Verklaring van het Nieuw Wysgeexige SteV

fej v(m Maten m Gewigten, - ^ • t WÏÏ.

^ ^ DigitizedbyV^OOglC

XMfT INHOUD VAM «ET EERSTE DEEL.

XXXII Lfis. rerklaring van het Konloklijk Beflofe 9an

Men fip Maart van den jare 1817* Bladz. 155,

XXXIII Lm, Over de Voordeelén, w/è« het wijsgeerige

Stelfel van Maten en GeWigten boven de
oude heeft» , ' • . . , • ijSé
XXXIV* Les, Opgave ^ van de <n'ereenftemming füifchen de

cude Maten en Gewigten met die van het .
nieuw ingevoerde wij^eerige Stelfel^ ■, kJj,
A. Foet^maten ^ TopograpUfche en . Aard- .
rijhkt^ndige Land- maten;, èenevens de
oude EUe^mafen. • • •154.
Ji. Gemne F'lakte» maten en Landmytakte*,

mafen^ • ^ • • • • i5p»
C« Gewone Ugchaams-maten , daaronder be-
grepen de inhouds 'maten y voor droo^e.
en natte warenm • • • i/a,

D. FergeUjHng der oude Gewigten met de
nieuwe. * k . . • • i/d.

igitizedby Google

ALLEREERSTE GRONDEN
D E n

C I J F E R K U N S T.

I HOOFDDEEL. Over den oorfprong der Getallen 9
derzeher behandeling en gebruik.

I LES. Éénheid ^Hoeveelheid en Getallen.

I. ♦ De Cijferkunst (ook wel Telkumt genoemd,) leert de
Ittalkn maken , behandelen en op het dagelijkfche gebruik toe*
pasfen. Cl) * Zij is eigenlijk de kunst ^ om regebüatig en ver-
kort te^tellen. Cs) — De CijTerkanst is hetzelfde, wat men
gemeenlijk Rekenkunst (Arithmbtica , kunst ^ om de getallen
te weten ,) noemt. (3)

a. Wanneer men de dingen, die in de wereld zijn, be-
fchoowt; dan verkrijgt men begrippen van eenheden en veel'
heden. (4)

3. Ik zie een Menscb, een Huis, een Boom, enz. deze
iga éénbeden. (5) , .

4. • Hoeveelheden zijn verzamelingen oï aggregaten van eeni^
ge geUjkfoortige dingen , te zamen genomen. (6) Zes men-
fchen maken eene boeveeibeid van menfcben; twintig buizen
eene boeveeibeid van buizen, enz. (7)

5. • Hoeveelheid^ menigte en veelvoud zijn drie woorden,
die dezelfde heteekeois bebben. (8)

(i^ Wat is de Clfferlsmist 9

(i) Kan men d«zelve ook nog anders bepalen? .

(3) Braagt ztf nog eenen anderen naam?

%^^ Welke begrippen verkr^'gt men , bff de befchonwiflg der dingen t

(5) Geef eens voorbeelden van eenheden ?

(^ Wit verftaat men door heevcclheden ? ^ ,

(7) Geef eens voorbeelden van boeveelbeden T nigtizedbyLjOOgle

(8) W€ike .W99rdi«i V^f^^kfA» betzelf^e ; Uji \k%X WoOtd bocVttll^tidff

A

« ALLEREERSTE' <?RONDEN der

6^ * Eéne éénheid eii ééne éénheid maken te «amen ecne
hoeveelheid , die men tu^eé noemt. * De hoeveelheid twee ,
mee nog ééne éénheid, maakt de hoeveelheid, die men drte
noemt , enz* (9)

;r. t Men kan , op deze wijze, voortgaan , en, hij elke nieu^
we hoeveelheid^ op nieuw ééne éénheid voegen. Cio); men ver-
krijgt dan eene andere hoeveelheid, die één meer of grooter
is dan de voorgaande. Bij voorbeeld,

♦ éénheid, één (lerretjet '

♦♦ kleinfte hoeveelheid. -^

♦♦♦♦t volgende hoeveelheden*

e. f Dd kleinjle hoeveelheid is ** twee .fterretjes/(n)

9; t Er is geene hoeveelheid zoo groot , of er kan fJOg ééne

éénheid worden bijgevoegd. 1(12) f Het aantal der h$cv6elhedeH

is dus onnoemelijk groot en zonder einde, (i3)
10. * Wanneer men, van de hoeveelheid twee, begint, er

één bij doet, en, bij elke nieiiwe hoeveellieid , op nieuw,

ééne éénheitf bijvoegt; dan verkrijgt men de natuurlijke volg*

»rde der hoeveelheden. (14)

II* t M^^ ^oet namen hebben^ om de dingen van elkander
ie onderjfcheiden. (15) Deze namen dienen: 1°. om, wanneer
aij uitgefproken of gefchreven zijn , op het hooren of zien
van dezelve, aan de dingen te denken, die er door worden
uitgedrukt; a**. om de aandacht van anderen bij die dingen te
bepalen. (16) Paarden, Koeijen, Schapen', ^:8. zijn nameo,
die ons aan viervoetige dieren doen denken, (17)

12. \In de volgorde der hoeveelheden ^ (^lAt in. 10) heffaan
geene twee hoeveelheden , die dezelfde zijn. iVIen moet dus namen
hebben, om die hoeveelheden van elkander te kunnen onder-
öAeiden. (18)

, _i I I -i ■iiinniii I iiiu L. i.iii .._ ■ II II ■! Hl \u%'\ 'ii'i -- r

C9') Wat verftaat men door de woorden twee en ^rJs t .

(_io) Kan men eene hoeveelheid vermetrderen of vergrooten?

CiO Welke is dt kleinfte hoeveelheid? ^/

(isj Ktn eene hoeveelheid nog vergroot worden?

Ci3> Welke is de groot fte hoeveelheid ?

fuj Wat verftaat mw door de n atuurlUk e volgorde, der, hoeveelhfdcut

Os) Waardoor worden de dingen van elkander ouder fcheidofi?

C16) Waartoe dienen de namen der dingen? / ; . i

(17) Oeef voorbeelden ? H^at geheurt tr ^ als^,&»'dm dingêft W

^enen verkierden, nanm noemt f ö

fi8) Waarom mocc JodQ iQimca hebben, om de höcveclbeden te on*'

CIJFERKUNST. I HOOFDD. I. lèi. %

13. * De Getallen zijn de namen der hoeveelheden, (rp)

14. * Tellen is de namen der hoeveelheden te maken r^ of za^
men te ftellen. (jio)

!$• * Tellen heteekent ook, (wanneer die namen reeds ge-
inaakc of vastgefleki zijn,) elke- hoeveelheid ^' met zijn'' eigeti
naam^ te noemen, (ai) — * Tellen fs ook, zoo men wil, de
keree^den, één voor één, in hare natuurlijke volgqrde ^ of te
n$emen. (^^2) Bij voörbeè'd :

* één

*• tvrct
**♦ drie I — -^ ,;■ ' /y>-;,^
♦ *** vier I V''

«*•**♦ zes ƒ éénbedciw
♦ *♦*♦*♦ zevcnl

••♦♦♦♦♦•♦ regen]

enz*

x6^ f De ééif- of éénheid is geen getaL (03-) • NogtaTis is
»en wel eens gewoon^ op .eene ooefgerrlijke wijze, te zeg-
gea: het getal één* (24)

II. LES. Over het Tientallige gtelfel y<7tt Uü^i^ en iet s
formeren d^ Getallen. \

17. t ^y^ 9»^ ^an elke hoeveelheid eenen bijzonderen ei
willekeurigen naam; dan zouden de namen der hoeveelheden on*
eindig groot worden; (i) niemand zou dezelve kunnen onC-
bouden, en de 7>/- of Cijferkunst zou niet mogelp zyn, (ö)

18. Men is die zwarigheid te hoven gekomen ^ door een orond»
TAL, ah modulus, aan te nemen; en, uit dït^ grondtal , eene
SCHAAL van hoeveelheden te maken; (S) ftr^kkende , om- daarmee'
de alle heeveélheden te vergeHjken en af te meten; (4} ten ein*

' ' ' ■■'■'■ I .111 , ni ■ r i ^ I t, ;,,

(19) Wat zgn getallen? •

Cao) Wat is tellen ?

iiV) Wat Uu^ekent tellen nog meer f

Caa) Neemt men dit woord nog nietJn eene a^etê hte&kenisf

123) Watrom is de één geen getal t

(24) Hoe moet men de fpreekwiJs , het gettl één, opvatten 7

W Wat zou er gebeuren» i-ndieo men a«a elk cetal eenen bïzo*»

deren naam gave ? •

(O Welke 2w»igbcden zou zulks Jjiedebrencén t 1

C3) Hoe Is tneH de^e zwarigbej^n ie, loven Rckomw.? ^OQie
CO Waartoe ka» die fchaöïlreRkenr ^

A »

■ - -

% ALLEREERSTE- gronden der

Je, uit die vergelijking cf meting f den naam van die hoeveel^

heid zamen te ftellen. (5)

ip* * Dit grondtal is het getal tien. C<0 '{

20. f Men zou nogtans eik ander getal tot grondtal hebben

kunnen aannemen. (7) H^t grondtal tien is zeer waarfchijne*

lijk van het getal onzer vingeren afkomftlg. (8)

sr. Vit dit grondtal tien, heeft men de volgende opklimtnettde
getallen of namen gemaakt:

* Tienmaal de éénheid geeft het getal tien.

"* Tienmaal de hoeveelheid tien geeft eene hoeveelheid^ die
7nén liOiiDEVti^ noemt»

* Tienmaal de hoeve^eid honderd geeft eete hoeveelheid^ die

men duizend noemt»

* Tienmaal de Jioeveelheid duizend geeft eene hoeveelheid ^ die

men tien- duizend noemt .

* Tienmaal de hoeveelheid tien- duizend getft eene hoeveelheid ,

die men honderd • duizend noemt» .

* Tienmaal de heveelheid honderd - duizend geeft, eene hoeveel»

heid ^ die men milliqejh, of duizend • maai- duizenj>
noemt \ enz. Tp) ^

fi2. * De hoeveelheden» genaamd éény tien^ honderd ^ dut*
zend 9 tien' duizend^ honderd - duizend ^ millioen^ tieh-mHlioen ,
enz. , zijn de termen van de fcHiial van het tientalUge ftelfel
van tellen ;. dien naam dragende, xxsidat dit ftelfel uit het getal
tien ontdaat» en, om het van alle andere- mogelijke ilelfels vaa
lellen te onderfcheiden* (^10)

23, t ^^^ fehaaly welke zonder einde voortgaat en eene '
zoogenaamde meetkunflige rij van getallen uitmaakt ^ (zie verder
;de LIV Les,) heeft de eigenfchap^ dat elke term tienmaal
grooter it dan de onmiddellijk voorgaande. (11) *

24^ t ^^^ *^ */^ hoeveelheid^ ah eene collectieve i^ver-
.lamelende éénheid» dat is^ als één ding 9 op zichijsilye^aan.'
merken; * maar dan wordt de éénheid derjingen^ die men

ét

Cs) Wat nut zal men'uit die vergdflkïng trekken t

<<5) Welk getal is bQ ons bet grondtal of de bafis der tdling?

<7) Zou men geetrander getal toe grondcal kunnen aannemen t

(te Waarvan \% bA* grondtal tien waarfchönet^jk afkomflig?

Cp; Welke getallen l^ceft men uit dit grondtal gemaakt ? ,

i io> Welke i^n de termen van de fchaal van bet lalftclIblJT

tiii Welke (iseafcbap htefc dese fchaal t

CIJFERKÜNST. 1 HOOTDD. ÏU Lmt^ 5

ten, de oorfpronkelijke éénheid genoemd. (ia> Wanneer Ik

T£g\ een dozijn appelen i. dan is één appel de oorfpronkelijke
ihheid; één dozijn appelen de verzamelende (de QoVitciX^se^ iéê»
iad. Op gelijke w^ze beceekeot:

tien hetxelfde al» tlentaU

honderd ■ — honderdtaU

duizend -^_- — duizendtaU

tien-duizend — — tien'-dutzendtal^ enx*
Als men derhalve zegt : zes tientallen , meent men zesmsal het
$etal tiênz zegt men drie duizendtallen ^ meent nen daardoor drü»
Mtal het getal duizend ', enz. (13)

25. t Elke term van de fchaalran om talfielfel mrdt, evem
ois de oorfpronkelijke éénheid ^ niet hooger dan tot negen ge»
teld. (14) Heê taalgebruik heeft, b^ het gewone tellen, de
ToJgende zamengetrokkene woorden In zwang gebragt:

twintig is twee dentallen, ot tweemaal tien f

dertig is drie tientallen* of driemaal tien;

feertig ia vier tientallen, of viermaal tien f

^tjftig is vqf tientallen , of v^fraaal tien ;

zestig, zeventig 9 tachtig en negen ti ff hebben geljkfoorti^e I>e«
leckeni&fen* (15) Drie-honderd beteekent drie benderdtallen , of
é-iemaal honderd; enz» (16^

26. Grondstelling, f Elke gegevene hoeveelheid van dingen
kan nu met deze fchaal gemeten of vergeleken worden m Laat ons
xien, hoe zulks gefchieden ^n ? ^

Verklaring. Zö gegeven een zeer groote hoop Guldens. A^e»
telle dezelve, zoo ver het kan, btj hoopen van tien guldens; dan
verkr^gt men een zeker getal boopen* Stel , dat men cindel^fc ze»
enkclUe guldens overhoude; dan zijn de guldens , in een zeker getal
hoepen van tien guldens en zes enkele guldens verdeeld»

Men vereenige verder, en zoo ver bet kan, tien hoopen van tien
guldens , tot éénen boop van honderd guldens. Stel : dat men einda*
l|k drie hoopen van tien guldens overhoude ; dan zijn de guldens , in
eeu zeker getal hoopen van honderd guldens , drie hoopen f on tien
guldens en zes enkeU guldens , verdeeld»

McQ vereenfge al verder de hoopen van honderd guldens, btt tic*
nen, en zoo ver het kan, tot hoopen van duizend guldens; dan ve»»
krügt mtsk een zeker getal hoopen van duizend guldens , zeven ho§9

(u) Wat verdaat men door eane yerzamelende^ en wat door een«
oorfpronkel^ke éénheid?

(13) Hoc verklaart gij de woorden yijf tientallen 9 drie tien^dalMend^
tallen t zeven^ honderd^dulaandtaUen ^ vier millioentallenf

(14) Tot boe ver telt men eiken term van de Ichaal van het talftelftlf

(15) Wat beteckencB de woorden zeulg ^steventig , tachtig ^peqentlg f
(16; Hoe verklaart gï de woordtn ^ vilf-duizend , twintig^ulzent^

dtie^ni^d^duizênd ^ xeven^mllioenl

€ AL L^ll EERSTE gronden der

^ftn van hwdiri guldoff » irit hoopen vêti tUn guldeM en zes im
iele guldens»

Me» kan , op die mjze , voortgaan » met de hoof en van duizenden
'Tot hoopen van tiety dnlzenden ^ die van tien^dutzenden tot aóoperf
^an honderdduizenden » dU vmn honderd duizenden tot hoopen van
fn'fltioenea, enz. te vereenigon; tot dat de laatfle hoopen, die men
^erkrecien heeft . minder dan tien zijn ; en dan kan -men niet ver*
4er aftellen» (17)

Wanneer raen dao, \^ deze aftellin^» verkregen heeft, vier Tioopetr
van tiea*duizend, v{f hoopen van duizend, zeven IToopen van kbn»
4lerd , drie boopcn van tien guldens en zes cnkelde gurjcDS ; dan is ,
cfoor deze afcé]ling« bekend geworden : dat de onbekende bocveelbefd
guldens beftaac ui: de vereeniging van zes enkele guldens, drre
ikntaJteM, zeven bonderdcalkn , v^f duizendtallen en vkr ticn*dtii-
;iend$alleti van guldens (^\%)% tnnu hebben '^ij de overeenkomst tus^
fdien de eerst geheel onbekende hoeveelheid guldens en de termen
^-yan de fchaal van hét tientallfge ftelfel volkomen leeren kennen^ f igi

Naar de tiiikt>in»t dezer meting of aftelling, wordt dan het zeh%
Handige naamwoord, waardoor de hoeveelheid gcgevene guldens moec
worden uitgedrukt, zamengeHeld. Men zegt derhalve: er zgn y///"»
tnveertig-'dmzend'Zevenhondenhzef 'en dertig guldens; eene verkorte
fpreekwijze, welke hetzelfde beteekent: ü\s vterma-al tien-duizend ^
met nog vtjfmacl duizend^ met nog zevenmaat honderd^ met nog drie^
. maal tien en nog ze& guldens ^ t& zamen genomen^ (20>

27. Aanmerking* f ^^ ^^I^ ^^^ telteriyin art. ad, voor^
'":gedragen\, is op afle , hoeveelheden toepasfelijk. f Men vergelijkt

^fmeet^elke gegevene hoeveelheid met de hoeveelheden één, tien^ .

honderd» duizend, enz. , gelijk mm alle kngten , met ecne voet*
'^naat of fchaat, met f. (ai) * Dit meten is dgenltjk eene wgr-
>dcelivg van de gegevene hoeveelheid, in tekende en aangenomena
::deelen* (02) f De uitkomst van die meting ftek de gemetene

^t (ifg^i^l^ hoiveeHierd voor , ah bejhande , uit ten zeker getai
9ran eenheden , een zeker getat van tientallen , een zeker geta{
"^.tvan honderdtallen, enz. (23^) \ Geene dezer hoe%'eelneden kun*
Csten hoQg^r loopen dan tot negen , zonder tot eene eolleetieve,

éénheid van den naast volginden hoogeret% rang over te gaarp.

28» Het blijkt dus: \ dat de naam eener hoeveelheid van
^^ uitkomst van zulk^ene uitmeting, afhangt, en uic tweederlei
Jbort van wortelwoordcn wordt zamengefteld. 1°. Uit de wor-

Vir) Hoe ka» men eraa gegevene beeveeHieid Rieten oi afeellan ?

<|8) Wat leert deze aftclling ?

^19> Wat leert iï»ea daaruk al verder 7-
i<&o5 Roe vormt men liet ^eifftaiKHge naamweMd van de akettlkie

boeveelhirfdT
tVi) Is dh !9p alle koevetlhaden locpaafeJ^k t
e'^a) Mae f;4rf jmon^deee afteUii^ anders oitifchrjvetf
(;f^j l^Qt ^elt 4e uiikomsc vto dit afcciling tic*t afgetelde flnarvooi f

CIJFERKÜNST. 1 HOOFDD. II. lèi. f

tclwoord«o één 9 twee, êrie^ vier ^ vijf^ zes, zeven ^ acht ^
ftegen; 2*, uit de wortel woordeD7/>«, honderd ^ duizend ^txa. (94J
ï>\t zamengeftelde caam heeft altijd de eigenfchap, dat zij de
zifgetttetene of afgetelde hoeveelheid voor fielt ^ als verdeeld zijnde^
in een zeker getal eenheden, een zeket getal tientallen., een z§m
jur getal honderdtallen, enz.y mlite, als deeleu, in één geheel
vereenigd zijnde , moeten gedacht worden. Hierin bellaat het gt*
beim van de zamecftelling der getallen en van de wijze va»
tellen, welke, in geheel Europa, is aangenomen, en, naar bet
getal TIEN, dat, in dit ftelfel, de voornaamfte hoofdrol fpeeFt^
tientamg jielfèl genoemd wordt, (25) Zie H^isli. Lesf. i Curfl
XXVlIl Les.

ap ♦ Wanneer de hoeveelheden, tde geteld mpeten wor-
den, zeer groot zijn, en men tot één mi 'Hoen; dat is, duizend^
maal-duimid, of tienmaal- honderd 'duizend gekomen is; da»
lelt men de miüioenen, op dezelfde wyze, als men de oor-
fpronkelijke eenheden geteld heeft, tot dat men één miiUoem
maal één millioen verkregen hebbe: men noemt dit t^n biU
tioen; dit bilUoen wederom één millioenmaal genomen, worde
trillioen genoemd. Op dezelfde wijze, ontftaai) de woorden
quadrillioen , quintillioen , fextilUoen, fcptillioen, oetiUioen enz.
Be geMeu. millioen , èillioen , enz. maken dau eene grootere
fchaal, om grootere hoeveelheden te meten. (26)

Jttl. LES* Over de Cijfers, derzelver bet eekenis en gehrnik^

30. t Men kan ook zijne denkbeelden door teekens uirdruh»
ken. (i) Zoo drukken de Sterrekundigen de Zon door het
leeken 0 , de Maan dów ([ uit. (2)

31. • Foor de hoeveelheden heeft men ook zulke foort vaH
teekens. * Deze teekens. noemt men Cijfers. (3)

3t. t On eene hoevteïh:id in Cijfers uit te- drukken y heeft
men tweedeilei teekens noodig. (4)

(ai) Welke zflir de wor telwoorden, waaruit de gecallen of flameir
der hoeveel b«dcn worden zaraengefteW f \

{25) Welken naaoi draagt hei verklaarde ftelfel? .\ . -

(a6) Welke namea gebruikt men ^ wanneer de hoevecrheden teer
groot iJnT 'T

(O Kan "*^ ^ï"^ denltfeeélden «rk anders, daii.door woorden^ultdrtikkettt

(a) Geef daar eens voorbeelden van? ^

(3) Hoe noemt men de ceek<ew, wjwri-ddbr de getjlfen worden nrtgedrflkt T

(4} Hoeveel ibonea van .te^ken^ zfin er. noadig, om e«n gettX ia
cMler U^«iic»'Öt ÜU ie drulckenr '

t ALLEREERSTE caaN^DEN ber

1®. Teekei» , waardoor, de wortelwoorden één , twer^
drié^.vkr^ yijf^ zes, zeven ^ acht en negen worden vooi^
gefield. (5) . .

2°. Teekcm, ^t\kt dQ yfOötitn eenheden^ thntalien^bott'
éer^aUen^ duizendtallen^ enz. moeten voordellen, (d) .

3:3. ♦ De eerftefooft van teekens, meer bepaaldelijk, (^/^^rx
iX getalmerken fS&:io^mé , z\]ni

V l?A' ^' h ^' T"^ * ®° ^- Cr) ^

xlj 2ijn van Arabifchen oörfprorig.

34. t ^^ ^<^ woorden eenheden^ tientallen^ enz., a/)'» ^^éw
f»e nieuwe teekent noodig; * //e^;^ woorden worden uitgedrukt , ^ö^tt
de plaats^ in welke de cijfers ^ ten opzigte van elkander^ ge^
flaatsÉ*zijn*Q)

van mUUoenen*

3549814579678 19^115

35. * Dit gefchiedt (zip bovenflaande tafeltje, j aldus. ÏFan*
fieer eenige cijfers nevens elkander^ zonder affchei dingsteeken ^

^ gefchreven ftaan ; dan beteekent het achterfte ei j f er 5 , aan de
regterhandy even zooveel^ ah of het op zich zelve flond; na^
welijk 5 eenheden ; het tweede daarop volgende cijfer 2 beteekent
2 tientallen; het daarop volgende eijfer 9 beteekent p hwdei'd^
tallen y enz. {$) •

36. ^ Men zegt: dat de eenheden in den eerden, de Hen#
tallen" in, den tweeden, de honderdtallen in den derden rang
daan , enz* f De waarde van een cijfer wordt dus bepaald ^ door
de plaats of den rang^* waarin het^ ten (fzigte tan de andere
cijfers y ftaat. (lo)

(5) Waartoe moeteo dt eerfte foorc yan.tctkeia dienen?

(6) En watrtoe de tweede foorc?

C7) Welige ztfn de eerde foorc van ceekeotf
<;8) Welke d? tweede foort T ^c^oh>

(f) Hoe worden , met die teekena t de getallen uirffcdrincë?
(10) Welke »Qn de waarde of de beteekeaia^ der cSferi .. ia &• ecrft»
■n volgende rangen t ^

CiJFERKtUNST. I HOOrUD. UI. ttu 9

37. Aanmereino. Op deze wyze, worde, in een beknopt
beftek,een getal duidelijk en klaar voorgefteld. f Deze fchrijf*
vnjze berusf op het verklaarde tientallige fielfely tonder in het
winfie iets met de namen der getallen gemeens te hebben; zoodat
tik volk een getal y dat in cijfer gefchrevfn is^ verftaat , ew, in
»jne eigene taal, opnoem té (ii)

38. t Maar, om elk gegeven getal ^ in cijfer, te kunnen fchfifr
ven, is er nog een bijzonder teeken noodig. C12) Bij voor-
beeld, om drie-honderd- en- zeven te fchrljven. heeft men
Biets, om in de plaats der tientallen te fleUen. (13) * Men
beeft dan het leeken o, dat nul of ziRo genoemd wordt,
uitgedacht, om daarrfteJe, wanuéer een getal in pijfer gefchre*
ven wordt, de kdigftaande f laai f en aan te vi{(lén', en alzoo te
naken , dat elk cijfer , volgens . de aangen&mene fchrijfmjze , op
zijne eigene plaats fia , en men zich, in desteJfs beteekettis if
vaarde , niet vergisfe (14) * t>e nul is alzoo geen getal; zij
is een teeken , waardoor een volfirekt niets uutrdt uitgedrukt» (15)

39. De tientallen worden dan, in cyfers, aldus gefchreven:
to> fto, 30, 40, 50, 60, 70, dö en fyO* (16) Men kan hteruit

nsgaan : boe de hoadcrUtalleu , duizeüd tallen , ênZé gefchreven mocieii
worden (17) ?

40. 1 Aanmerking. Men kan in de Cyfer- of Telkunst
filet vorderen', zonder het voorgaande duideljyk begtcpen (i8j
eo zich \oorsS, in de twee volgende zaken, genoegzaam be-
kwaam gemaakt te hebben, i^ Een getal, dat in cijfer ge»
fchreven /s. te verklaren, en, in het Hollandsch,- op te^ noemen?
2**. Een getal, dat in het Hallandsch opgenoemd , wordt , dade*
Ujk in cijfer te fchrijven? {\^)

41. II Aanmerking, f Om zeer groote getallen te lezen ef
vit te [preken, is het voldoende, dat men eerst de ^tallen
yan twee f drie, vier, vijf en zes cijfers hebbe keren néeme»^

(n) Heefc deze fchrÖfwifze met cöfers ccnige wezenlijke voordeelent
(u) Zqa deze negen c^ers genoeg, om alle getallen te fcbrQ-en?
(I3J Geef daar eens voorbeeMcn van?
(14} Welk leeken beeft men dan uog uitgedacht en tot wat einde

dient hetzelve ?
(15) Wil betcckent eigenlijk de nul of zcro?yxitf nülweleengeHlf
(16^ Hoe fcbröft men de tientallen?
(t?; Hoe fchr^fi men de honderdtal len, de duizendtallen t
(18) Wat worde tr vereUcht , oia ia de C^ftff kVB»i fooO* vorderki*

r.Sw "^i^*"" ^ « - Digitizedby Goode

U9; Wat tl mccrl 0 . . >

Want, indien öen (zie tafel, op ^d^. 8) een getal,. van ach»
ter af, vaa zes tot zes cijfers, verdeelt; dan (laan, in het eef-
fte vak, Eenheden^ in het tweede vak, MiUhenetif. m bet
derde vak, BiUioenen^ in het vierde v^rky 'MHioenefky enzt
xie boven tfr/* 2p« ... >

Vragen tot oefening. A. Spreek uit , lees of fchrijf^ i^
het Hollandsck: 36; «3; aPp; 7685; 30973 5 8795b3; 73^795^3 •
o 125983759. Verder, 504; 8£o; 700B; 8060; 870.00 5907; sóccao;
00305; 21005; 45906; 75096; 790081; 700500; 890C03; 840735;
^50ia ; 20800715 ; «38090071 5 enz.

B. Schrijf de yolgende getallen ,' in ciffers. !*•• Vijf^duizend en^
negentien» 2**« yeertien*dmizend'Zeyen*honderd-^n'acht» 3*. Twin^
' tlg''dÊtizettJ''twce'konderd'en'twee. 4*. Feertig-duiztnd^eti^yeertig f
yier^honderd*{tcht* duizend' en* tachtig. 5® . Negen'fiónderd'-duizend'eH^
negentig, C^é At ht • hondird» zestien • duizend • hónderd^en-iZestiaiH
f". Zestiem'mUliofia^xsiUen^duizenden zestien. 8<^.* T'9f4e' honderd f
echh^millioen'aehthondertl^en'acht-dHizend'en'tachtig, , .

Ci^ Ebnigb strikvragkn. Hoe (chröft men, in cgfcrs. i**» Ber-
tien-duizend'dertle^'honderd'en'dertienf 2^. IVegen-en twintig^dui»
zendi'yi/f»en'dertig*honderd'en-zeye7t g g*. Zeyentig*millioen»zeyentig^
^ honderd en zeven y

42. Aanmerking.- f -^« ^^» ^^» g^^^9 dat in cijfer ge^
fchteyen is, in vakkrn van twee of meer cijfert-^ verdeden^ eh
elk vak^ ah een gePal op zich -zelve hefchouwd ^iff\de $ uit"
fpreken; ntaar dit uitgefprokene vak heeft dan ^ ntet desitelfi>
ac/iterfle * Hjfers ^ dezelfde éénheid gemeètr. '

Btl voorbeeld, het getal 387952(962 lïan aldus verdeeld woMen:
t^ 1 f95 I S9 1 o2» Men fttteft oa», yan, schcerea te b^inaeii, de
Vakken 6A| 00, 795 ea 38; maar be.c. eerde c^fer. 2 van 62 fttat in
den rang der eétibedeii; bet cerfte c^fer 9 van de 39 in den rang der
honderdtallen; het eerfte c^fer 5 van 795 in den rang der tien-dui-
zendcallcn; het eerfte cijfer 8 van 38 In den rang der tien*niinioen'-
tallen. Het getal 387053962 kan dan aaiigem^rkt worden, als te be-
(laan uit 38 thntnilltoetttallen^ 795 tifn^dunendtallen ^ 39 honderd»
tallen en 62 eenheden. I)ete wyze van verdeeling in vakken heefc
irfikwflls, fn het befchouwen vaa de eigewfchappen der getallen, cene.
Ster groote nuttigheid,

IV. LES. Over de Optelling, de Additie d/ Zamenvoe» .
ging der getaH^n;, of het vinden van de fom van
eenige gegevene get/ilkn,

43« t -^^ ^^'i Z9oreel gegevene hoeveelheden, als nwt
goedvindt i tot- ééne geheele hoeveelheid vereenigen* (i> * OJe

T J

(O ^*W men eenige geje\en^ hoeveel:icden vercenigcu^S^^

ClfFERKüNST. l HOOFDD. IV. lb». n

vereem>dè hoeveelheid nóenit men ' dan ie fom der gegeveöe
hoeveeiheden. (2)

44, ♦ Wanneer die gégevene hoeveelheden opgenoemd,, of
in cijfers uirgédru({t zijg; dan is de Additie ^ de Opteiling^ of
ie Zaménvoeging ^eene kunstbewerkiisg , waardoor men vindt: hit
de fom der gegeyene hoeveelheden moet genoemd of uitgefpr^ken
wordefu (3) ' '

45. Om het korter uit te drukken, zegt men: * de^Optel*
hng leert de fom^ van eenige gegevene getallen vinden. (4)

46.'. AIzoo is a de -fom der eenheden i en i; 13 de fom
der getallen 6 en 7; 21 de foui der getalllen a, 4, 5 en
10, enz. Cs) ; • -

47. * Het woord zametivo^gen ^ tot één geheel vereenigen ^
npieteld met^ worde door het teeken + uitgedrukt (6) Het
zamengeflelde teeken 2 + 3 + ^ worde dan aldus gelezen:
de fom der getallen a , 3 <?» 8. C7)

47. * Het woord gelijk zijn , of dezelfde waarde hebben ,
wordt door het eeken := aangeduid. (%) De uiedrukking
3 + a + 7 = ia wol'dt dan gelezen: ae fom der getallen 3,
1 en 7 is gelijk aan het getal 12 ; of wel aldus : indien mén dt
hoeveelheden 3,2 en 7 tot één geheel vereenigt; dan is het ge-
heeleene hoeveelheid, die den naam van 12 draagt, (p)

49. De menfchen hebben eenen algemeenen regel ontdekt,
om^mee weinig moeite, de fo'tn van zeer veel en zeer groote
getallen te vinden: waar dien regel hebben zij y door redene*
ring, ontdekt; (10) en dit moeten wij ook doen; want, een
verLndig man moet voor eenen regel houden , niets aan te
nemen, dat hij niet grondig heeft leeren verflaan. (11)

(2) Hoe noemt men die vcreenigde hoevcelbcden?
(j)Hoe noemt men die bewerlcijig ,. waardoor de fom van eenfge
hoeveelheden gevojidén werdc?

(4) Wat U de optelling f

(5) Geef eens voorbeelden? 1, « ,

(6) Door welk tcekcn worde. het WPW optellen of zamenvofgea
nligedrukt? . . ^ . « i

(7) Hoe leest men 3 + 5 + «■ + 9? ' ,,.^ ^

Ö)Door wfik rcpken' wordt Jtet word gelitk^ of evêngroot^ of

eyenyeel ytaard zijn , uitgedrukt ?
<o) Hoe It— I men he^-4»^fc«^-^ -1" a-t^ 8 — «? .. - '

Oo)ls bet vinden van de fom van £roote getallen met moezel t|k f
<u^3N:u moe« m^ a^cli^ tot cpnca vajten regel, voor fcbr^j ven 1

12 ALLEREERSTE grondsn der

-50. Voorbeeld. Laat ons de fom van tk getallen of hoe*
veelheden 79^7 » 8564 en 6235 zoeken ?

Toen de cjfers nog niet bekend waren, zochten de Bienfchen di«
fom, op eene wjjze , welke den grond van den regel, dien wö zuflen
opgeven, verklaart. Zö hadden een bord, in verfcheCdene kolommen
verdeeld, (zie hier onder,) de eerfte kolom was voor de eenheden,
dt tweede voor de tientallen , de derde voor de honderdtallen, ^nzl
bcllemd. B|f dit bord, maakten zg gebruik van fteentjes, (in het
Latijn cdhuli genaamd , van waar het Franfche woord calcul afkom*
ftig is ,) en leiden y om zich een f^root getal , op dit hord ^ yof^r te
pellen y in elke kolom ^ zooveel fieentfes^ als er eenheden ^ tiental'^
len^ honderdtallen y enz. in dit getal rrorkwanen. Nemen wri in
plaats van tteemjes, ftcrreijes *•; dan (lelden zö de boven opw

tiApmde oetallen fl1du5i on! fiol^ *^*

Tiendulzendt* Duizend t, HonderdtA Tient*

* * * ♦

* * ♦
I* * t ♦

♦ ♦ *•

lü « :|c « *

« m * * *^

* * • *

♦ ♦ * * ♦

♦ » ♦ » *

* ♦ ♦ ♦ ♦

Eénh.

41 « • * «

* *

* * ♦ «

* * » ♦ ♦

7957
85<^4
6i|5

Dit gedaan hebbende, namen zij tien fleentjet ^ uit de kolom der
eenheden weg f en pelden er. één fl eentje ^ in de kolom der thntaU
ien, v^or in plaats; m dit deden zj} , zoo lan^ er tien (Icentjes
lilt de kolom der eenheden, konden weggenomen en daarvoor één
Hcentje , in d<5 kolom Oer tientallen , kon geplaatst worden. Dit doe»*
de , verkregen z^J :

TUnduizendt. Duizendi, Honderdt,

♦ ♦ *

* * TC

* »5< * t

* * * *

* ♦ ♦ * ♦

* «. Il *. 4

* ^ ^ ^

* ♦ ♦ ♦ ♦

Tiene.

Eénh.

♦ • ♦• • •
*

* * 1» (t)

Zlj namen verder^ en zoo yer het kon, tien fleentfes , uit de
Mom der tientallen ^wegr-tm Pi^^tfn.-Yoor- elke- ^ tien jfeentjer ^'
één fieentie tn de ko'om der honderdtallen; en dan verkregea zif'

Tiendttizendt» Duizend t.

* » ♦ ♦

♦ « ♦

• ♦ ♦ ♦'*

Honderdim

* ♦ * *

♦ ♦ ♦ ♦ ♦

Thnt

♦ ♦ ♦ ♦ ♦

Ëénh
üt ♦ ♦ « ♦

Wederom leiden zij ^ yoór elke tien Jteentjes^ welke ^ in de A«*

^'wV^r?""''^'""^" ^' «enfchcn, toen f r^^rgSST^'fcc.. bcke^

Um ie honderdtallen p^QrkOiften^ dd^ fie^mj^ tin*df koloi
iuizendiallen ;. en dan hactd^n z^:

TUnduizendt,

Duizendt»

Honderd i | Tient, 1 Eénh,

♦, * ♦ ♦ ♦•

« i^j^.i^ m.

* > :K # « « » Ut ^

* * * * 0
if t * ^
m * * *

Eindelijk Uiden zif ^ yoir etke tiert' feentfes^ welke ^ in
lm der duizend ialliiB voorkwavfen^^ étn fiecAife ^ in de koloi
tUn duizendtallen ^, en vcrkregeiv: j,

I Ttenduizendu | Duizend i.

r "r ■

Uonderdt*

4t. » «-Ut*

Titf;!**! I K^iA.

4c « 4c # )ki* « « 4> >»|
« I

'P

eo die is de fbm , hetzelfde » als bt men zegt 22755.

51, In deze bewerking, met de lleenties, hebben
voor elke tien "ééöhedefl,'^én tiental, voor elke tien tient
één honderdtal , enhi. in plaats gefteld; en alzoo de deelc
geiene getallen ^ (^e ^an deze^dè foort, zijn ^ door telling
ttmgd en tot eenheden van eene volgende foort gei'ragt; t
zijn daartnede zoo lang' voortgegaan , tot dat wij eindelijk .
deze verfchihking der deelen , de Jfom der gfgevene getalU
een welgeordend getal ^ge)>ragt yên, alzoo gevonden hebben: h
fom^welgeordehd en regelmatige in om talfielfel yMÜoort ge,
ef wtgefproken te sjorden* (13)

5ft. Sedert de invoering der djférs, is dit werk, ds
eigenlijk optellen ^ (de Additief i$, eenvoudiger geworden.

In plaats van elk deel ym een getal , door Het leg-
gen van fteeotjes,.uit te drukketo en de fdra'dobr het
lellen der fteientjes. en h^t yerféhikken der kolomihen
te zoeken, gaat men dians aldus te werk: f

I?. Regel. Men fchrijvt de getallèn\ ^i^lhirfom
men wemcht te vinden^ (zoo als hier op zijde kan ge-
zien worden,) onder ejkand^r , , iinheden. onder éét^e-.
den; f», algemeen ^ de cijfers van elke foort ^ in af Ü
mnder^jke kolommen^ onder elkander^

2^^ Men TiQeke^ door telling^ 4^ ■fommen^ der J^nh
tientallen e honderdtallen ^ enz., van den laagflen rang i

ds') wil il na ettfenfyk ï^ dwe bewctkïnit gefdjied?
(14) Kan de op.telling^ mét behulp der c^ru», geoiikkelOker \
uitg^YOfrdY

B

14 ALLEREERSTE caoitDtN der

tiende, en, van^ eiken rantg i<^ den naastvofgendeii overganrij/é.
Men noemt dit het zoeken van cfe ge<leeUelijke of i)artiete

fommen. - " . -^

3*>. mmeer eenige gedeeltefijU fom minder dan negen te^
draagt; dan fchrifft men dezelve, op de plaats, die V4>or Me
lom befiemd is, in haren rang. mar, is die fom meer dan
negen; dan fchrijfï men fechts de éénkedm, wcike in de*
zelve voorkomen, in haten rang, e^ teU de' tieraalien hij de
fom van de 4i^er% der naastvolgmde ki^m , enz. Pe iaatfte «f-
dcelielijke fom wordt vol uitgifchreven. (15): -

OPiiitDERmo. De fom der eenheden is s»; begaande o!t s éénv
licd^en en 3 tietiullferu De 2 éc«o»>eden fchrgft men, ip de kolom
der éénbeden, en houdt de s «leimWén over , o» dezelve hii de fom
der tientallen te ïiöllen. De ifem dor dentallen it 20; Wcr bijvoe-
gende de 3 tientallen , welke, In de lom der eenheden, voorkomen '
zoo vw-kf^gt men 32 tientallen ; de 2 eenheden c(er liemallen fchrnfx
m^n, in de kolpm der liotitaUcn , en de s tiencalLcn van lientallen.
ot de.xbQnderdtallen,tclt menb^ de-fóm der lnonderdtallen .^»^. (16!
JMen vindt voor .de fom dpr ^gevene getailen 149422.

S.^. I Aanmerking. Het wei en vaardig keren optellcH
verehcht, ^n Je Tdide des LeerUpgs, oefening en oplettet^
ie$d. izte Wnh Lesf. Eerfi. Cmu% i^^ en vety,)

YOORBEBIPEN iot Mfemttg. . \ *

3709

Sao9

8325

967

826

: «754

*■ ^1 1 , 111.1

fopi

«390

45S2
9825
$85
9087
79^5

fom

8379Sii
^8455
09083

fom

&096f

5279^

9^1345
8753^9

3987»

583<5^7

3698A

^m

79^^907

87597 ^

9$95Ö

7587

79^3'5

78769B

9c82

9C8679

7258

79885

>' 3875

8795

44^9

fOHl '

' fom

173

fora

' mt {.eeffliQg «ibet ivU ukfchfiiven «n oprelfen.

54. ir Aawmer:KIN<5. ' t De getallen kunnen, op tweederlel
wijze, benoemd af' onbenoemd j, roorkmen. (t;^) * Zij zifn
Jfenoemd, wanneer er de naam van de eenheden bijgevoegd fg
By vporf)ee'd, 20 menfeheti, 7 voeten, 8 ponden, enz f 18)
ï* Zij zljtt onbenoemd, wwineer men dezelve, zonder éénheid

CIjPERKUNST.I HOOrOD* IV, x,zu Ij

DOCiDté Dg Töorbedtf, «0, 53, enu (ip) * Zij worden in dit
jeval ^f/^/5te» /» Ar/ afgetrokkene genoemd. (20) ♦ De be-
noemde getallen worden nog onderfcheideii in gelijkfiandge en
oi^jknamige^ (t-i) ♦ GeHiknamigt getaUen zijn getallen , die
denzelfden namn éngtm^ aU 7 jaar en 11 jaar. («2) * Onge*
Mjknamige getalkn z^ii» die ongel^k^ namtn dragen v als 7
ïlleö en 11 Gniden. (%i)

55. Alcfjheenb grondstslltng. f AJken geHJkntmige get/ü^
kn kunnen opgetèïd vforden^ (04) £», in^en men onbenoemde
letallen ottelt ^ dan onder (lek men altijd^ dat zij gelijknamig
^/». f 25J; f Ongeiijknamige gètaikn kunnen niet worden opge*
Md, Q26) 7 Hnizen en t merfchen ge%en niets anders. dan 7
liuizén en S' menfchen;: wam, de fom van 7 en 8 is wel rs;
«aar die 15 zijn geene roenfdien , noch ©ök geene' huizen. (16^

55. De vo'gende voorbeelden leéren, dat dr Optelling, in
veel zaken van Tiet gemeene leven en in de beoefening der
Wetenfchappew, hare bijzondere nuttigheid heeft. ^

I VilAAGSTPK, Een Rentenier trekt jttarlifks aa^ interes fen Vétti
ttin kapitaal* ^%rfl gl.^ aan lijfrenten i2co gh, aan landhuar 730
Xi. • aan inkomfiett yan- andere yawta g^tdtren i5tio gK Mee groot
<* dêtt zijn f'aarlij'ktck inkomen l

a. Wanneer men de grootte yanr Europa op 171834 ^ van Afin opt
^4*993» van Jfrlcaop 531638, yan /merica op 57aï20, en yan
éttstraiien op i^iosso yierkante ffeofffapHifche m^ten fielt. Iloe rul
tulke vierkante geographifche mijlen maken dan doTte' yift 'f^erelïï*
Men ^ te zamen genomen? \

3» Volgens da Geogr. £phea]. yan i«RTUCir, JmV^ 18 10, hedroeg^
fotgent de Alm. Iinper* 1810, de beyolkitig yan het Frantche Rei-»
«err^k 58 miiUosnen menfehe»^ op eena uUgefirektheid -an m^AP
fierkaHie mijlen: met dit rijk waren federt yereenigd de kerkelÖke
«tai , bevattende 900000 menfcken , pp 245 yierk^ mifUn , en het Ko*
Min^rifk Holland , beya tiende ao6»438 men feiten, op .<7ft yierk. mijlen'.
Boe groot' yens dan ioen de bevolking en uitgejhrektheid^ yan hep
eranfche Keizerrijk f

4. LiNN Aüs telt , in ziftr Systema* der Nitiiuf , de yotgende fbar*
Un yan dieren j .^^o Zoogdieren^ c^\6 FogeUn^ a^a Amphibia ^ 4^4
yisfcksn^ 3060 Infecteny 1205 H^ormenm Hoe groot is 9 yolgens dezer
•Pftare^ kêt samal der Jeyende dieren f

(19) Wat z^a onbenoemde getallen ?

{'^ Geefc SMS ook wel aao de onbenoemde getalleo cenen aadere»

U<MH>e onderfchcidt men de benoemde getallen»?
(^) Wat verftaac men door gel^ilinsinige ^getallen 7'
• as) Wit 2^11 ongeiyknatuii^e gciallcn ?
(94^ Wetke k>9n vao icetaUen Kan men optellen?
Usj Wat ondflrftdc mca, . idi de o|iieUHi§ der oobcnoentde getalten ?^
U6j Was geven 7 flüdea en ao ellen ? \

— ^J . . . ^ ö a

tS AL L'E R'B-KR S:T Ê ö üó ft d Et? ük%:

V# LES. Over Ve Verroaugvüldiging , Uè Mukiplicaüe; '©ƒ
het vinden ytm . de f$m van gtUjke gUalkn*

57;. Meti heeft dikwijls noodig^ om de Jom fan onderling gelijk
ke getalfèn te zoeken ; bï] voorbeeld, y4n aj gecaien, elk ge-
lijk 123. Deze fom kaaiiii wel, door de^opteUing, gevonde»
Vil oïétïi\ maar dan woct men het getél \^%^ Jrie-ên^twmtigmaal
onder eUtander fchrifven , en deze 23 getallen optellen : dit wordi
uu moeijelijk en fomtijds geheel onukvoerlijk ; zoo als , wan^
neer, bij voorbeeld, gevraagd wordt: 23745 geiallen, elk ge-
lijk aan 375)648, op te tellen* (1) f De onderlinge gelijklicid
der getallen , w^lke men hier moet optellen , maakt het mogelijk ,
om die fom , door eene veel kortere bewerking ,' dan de gewone
Opteiliitg /5, te vinden:, die kortere bewerking noemt men Ver-
xneiügvuldiging (MiillipHcaiie). 2) * De Vermenigvuldiging i$
dan eene bewerking^ welke , op eene veel kortere wijze , dan door
de optelling , de fom van gelijke getallen leert vinden^ (3)

58« In elke Vermenigvuldiging, komen altijd twee getallen
voor: i«. het getal 12^9 dat eehige ma 'en geroken n^ordt ; * men
noemt dit bet. Multiplicandum of Fermenigvuldigtril ; (4) ao»
het getal 23, dat te kennen geeft ^ hoeveelmaal het vermenig"
vuldigtal moét genomen worden^ * men noc*mt dit getal Multi^
pUcator of Vermenigvuldiger ;\s) * de. fom 28:^9 noemt men,
om aan te duiden, dat zij door de vermenlgvuldigiDg verkrer
gen is , Product of Beloop. (6) ^

59. t Het vermenig^^uldigtat ai'een kan een benoemd getal
zijn. (7) t ^^ vermmigyi^di^cr^ ian nooit andj^n^ dan ah on^
benoemd t aangetmrkt worden. (8). f Het product h altijd met
hit vermènigvu digtat 'gelijknamig. (9)

60, * Het ie^ken.dervermepigvuldigii^ is X (ip). * Wan-

,.,-. r-. r— ^—T — : • ■. t •. . ~-7^

(t) Aan welke z^arigbecleiitkaiKb^c vinden Van ilc fom vau geiyÉe

ge^^ten OfDderlievtc 2Qnt
(A/ \s het mogelQk, tlle zwadghCikn wtg t1e ntineii,.eniAigs welk

eenen wejj f cfehiedc a«lks ?

Cs) Wat verliaat men door de verm(migvuMigiiig?> .. i

(4> Wat vcvftaat men door bet mulciojiciiiduii»' of vtraeaigvuldigtal t

(5) Wat is de multiplicator of de vermenigvuldiger?

(6) Wat is htt product lof beloop? —).:.- I . * ,

(7) Welke der gegóvsne getaüen kan , Ji| «fM vermenigvukilgitig » een
'^ benoemd getal zgn ? ^ •. . . , :

C8) Hoe moet men Am den vennen l|ivt)kligcs'.«ansnerken? • .«
C9>Eii hoe :bct producU ^Tirjr «wr dnm\ gtm^vL gétdénmêt tt g9iê
den yermenigyuldigeHf r. n.-.* ^ .,v *; :; -^i^

Ci^J Welk leskeii geb.ulkt men vo^r de vermenlgvul'digiiigjl

CIJFEURÜNST^ 1 HOÓ'FOD;. T. tïs. 17

, leer hetzelve twrfcheA twee getallen geplaatsrfs, geeft het te
kranen : dat iéne dezer n^ee ge^lhn zoo yeeimaai moet genomen
wdtn^ ^i er eenheden^ in hef andere vóórkomen. Door de nit*.
^king 3X4 verdaflc men djin een getal , hetwelk, nit de fon
WB fier getallen j elk gelijk ^r!e< omftaai; -of wel, het pro*
tet fin 3 met 4 vermenigvuldigde ( 1 1 ) Men lee*t het , drie , vier-
(Uil genomen^ of 3 vermenlgvuWigd met 4. (1-2) De uitdruk-
ïïï^ 3X4= iz Wórdt gelaten: het getal 3, vierntaal gen(H y
»«r, /; hetzeipdey all het getal ia. Korter > dr innaai yier ir

éi. f Het product van twee getallen kan nog eens met een
itri: getal Vermenigvuldigd woréen; dit kamende product nog^
«ö ien vierde getal ^ ent* Men verkrijgt dan gedurige pro^
éucten, f14) • De uitditikkhigen 3 X 4 X 5 ;. « X 5 X 6 X r
i^ gedurige producten. ^1$) ^ De* geigllefi, die, in dezelve»,
met elkander vermenigvuldigd ^©rden, noemt n^en yermcuig'
nlügers of Factoren, (lój) .

<2. De volgende Grondllellingen zijn,, ten einde een gfom
dig begrip van de vermenigvuldiging te verkrijgen ^ van h$t
pootfte gewigt.

63. I GROffoSTltLUNa* In eUi product^ kan men liet ver*
^>mgfiildigtal met den vermenigvuldiger yerwi^elen i zander dat
Hetzeire verandert^ Atóoo ztl 3 X 4 = 4 X- 3 s= ia zijn. (17)

Bbtoog. Want bet product 3X4 kan (zie in A) f A
voorgeftèld wordtti , doof cirie ft«rretJes;*\^i!köMefi -* ♦ ¥
fiiaf oatfer elkander geileld worden ; men beeft tl zoo '* * *
^iMrifeontale tgen , elk van drie fterrecjes , in bet ^e* * "^ *
K*t tWtilf-ft«a:eijes; cn-dit i« hetproduct. Zetten ♦ ♦ ♦

wj «^ ^ir,«él!go<iro|> Wrenlïéik4 Anbf^fl bet getil

v» ftctrei jci onver anclinti ^^e« men beeft ntt vfer üerretjvs drieii«l ge^
öoawn; dat ia 4, X 3 i dinbalye i% 3 X 4 = ♦X 3 ;=: id.Ci8>

^« 11 GtoNt)8TtLciNO^ Hieruit volgt: dat, in een gedn»
^igprodUHi^ X 4 X S X é,>dk ftietmn , ht zoik eene rang--
trde^ kumtm ^gen^men worden ^ ais mHi goedvindt; zender datf
^vAs Qp dé. wodtde van bet p$'4tdu^ etmgen invloed kan heb^

fu) Hoe wordt 5X6 verklaard of uitgelegd t

(w) Hoe wordt s- X 6,gele«en of üit^erpi^ORèift

(H Hoe leest eit ^l&ritlit'rf tt«i ;^;X 6 tt± 4^?^

*!*) Wat verilaat roen door gediitige tiróinic'tcir^

O5J Geef voorbeelden van g^^ge prodócttitt

00 Wiw vcrftaat men doof-fitctoifén'?*^ Pr^r^rjlr^

9r> Welke is de eerfté grondfteflflhgt nigtizedby woogie

^) hm. Um^ ma die fttUloi^

B %

B

♦ ♦ ♦ ♦•

♦ • ♦ •

fo allereerste: ateifSiffli trct*'

f o. I., Gevau Het vermntigi'uHigen ' ¥an getêl^m^r ^^
ihiner, dan lo zijn ^ is em vrerk van iet geheugen y dac v^fn;
Aoot oefening y zich eigen maaki, en waartoe - de *ColgeMde ttfw
fel, die men de i^tltagersfcke Tafol uqei^,:eö alle nwge4)ke
l^evalteü bettt, veel helpen jurn^ (O

PtTHAOORiaCUE TArtt.

f

11

I

1

a

s

2

4

3

3

6

4

4

8

S

5

lO

6

6

12

■7

7

= If

8

8

i6

l8

3 t 4 I 5

8 ' IQ

13

iB

4

12

i6

20

n

28

3^

27 I 3g

15

20

95

30

35

40

12

ra I t I

18

24

^0

■36

7

«4

31

35

8.

i<5

«^4

3a

40

4SI

ifl^

45 ' 54

4tt j 4^^

4P 5<5

^ 5<5 , 64

<?^ j 7g

18

»7

36

45

Seze ta£ei is «eèe tafel mei dabbele ingangen: de vermenigvuldig*

tallen (taan aan bec hoofd; de vermenigvuldigers ter linkerhand^ Om

u yimleiêJ Me,y4ri .6 X ^ zi}t:^g4 man^ in de tt^om ^ èlfH vtlker

ioofd 6 f aai ^ ndur beneden ^ tot dat men i» de rij komt^ -waar 5.

"^^n^ifi ^nkH'hiHid fiaa€ ;.daM\fM$ mn yow ^tfrod^ct ^. (Ö

'ft. Ut CrfivAt. IHemtriiHj,, om tót h^t t\Veëd€ gevsfl mH
te gaa»^/fö/ her gètat^^z7W f'^^<T'i^^(>^ ^^^fi^^ffiêd^'^or^^
éfonf dan zal metï^ tn^^ behiüp der b^ti^è^etfe grondf)diftt|;iïn et)
liet eerfte gevftli *et product ^ «op é^ Yö%e«8e wtfre, IttinÜÉftj
vcrtoljgcn;' ■-•■-'' -v *.. ■ * ^ ••' • ^ ^-.^ -^^^^

VBRKLAatNO. ftet vermenïgvuldïisèat 'ygVa^ bêffaÜÏ «ït dé föui
^IITJ W^V^'ïfën, ~5"rf«;rtiéllen ; f 'hondfrdtaTTër^Ts'HuIFéiï^^ cq
3 t!cn-dii!2e.ïdt8llen, m^ike .tts' ïdovejA dteelenr v^rt bAa{«v4,woj&):t.*
aangemerkt wordtn. Mdl -visrmnUlyQliti^e ^aA .elk i^^^Q^ P^ndfi^

j i^tf I;'' . V < -^ r

T?

83739 vermt.
7 verm.

586173 Product m

CrjFERKUNST, !• HÖOFDD. VI. tEs. i\

aret den vermenigvoldiger 7 «op de w9<é,«ls volgt: -* 9 éénlitdeii
7 maal genomen, geven 63 ééuheden; r- 3 tientallen 7 maai geno»
men» geven si tieiuailen, uf 310; -^ 7 honderdtallen 7 maal geno*
men, geven 49 honderdtallen, of 4900; — • 3 duzcndcallen 7 ma^l ge*
nonen, geven si daizendcallen of 21C00, — - Z tien-duizendtallen 7
vaal genomen, geven 56 tien«d»izcndt<:^len of 560000. Nu telle men
ille deze gedeelceiyke producten 63, sic» 4900, fticoo en 560CCO b9-
elkander; dan vinuc men, voorliet geheete prodncc, (III Grondp^
5W173' hetwelk men ook j door de OptelUngr^ (zie art. 57) zou ver-
kregen hebben, (4)

Men kan deze bewerking nogians korter B

uitvoeren, door dezen regel te volgen.

I. Regel. Schrijf 9 f of onderfteuning van
kt geheugen^ (hetgeen echter niet vol

ftrekc noodig is,) den verwemgvulaiger on ^ _

iir het vermemgvuldi^tal, (Zie nevensgaande bewerking in B.)
FermentgvulJig 9 van de eenheden af te beginnen ^ eti^ van cijfer
tüt cijfer, voortgaande ^ elk cijfer van het vefmemgvuldigtal wet
èn vermenigvulJiger : ftcl de éénheid van elk gedeeltelijk product
9p hare plaats > en tel de tientallen bij het naastvolgende gedeeld
tci'jke product^ tot dat men aan het laat ft e gedeeltelijke product'
Inkomen zij , dat men vol uitfchrijft. (5) Fermiti de nul geenè
marde heeft ^ is , nul met een getal vermenigvuldigd zijnde y hef
product altijd gelijk nul, (6)

Vrrklaring. Men ?eei: 7 mnal 9 ^énh. fs 63 éérM, Men tti de
3 ^éoh. in den rang der ééob. en ho fdt de ^ tient, over, om b8 bet
product» der ti:nt. i€ tellen. Voorts zegt ntipn: 7 maal 3 ilent. is st
tient.;bier l)|f de 6 fiem. , bo bet eerfte product overgehouden, komc
97 tient.: de 7 tient. Oclt men in de plaats der tient. en houdt de ft
iitmderdt. om b^ het product der honderdr. te tellen , enz. (7>

Vooroe RLORN. Men makc of ontwikkelc de volgende producten*
79o»35 X 2; 587243 X 3; l-'sö-^rs X 4; 8709^52 X 5i 8,-90072 X 6;
7*8753 X 7; 982531 X ö ; 7C9623 X 9i 37C051 X 6 j 306009a X 8i
769«i25007 X 9^'" 709Öo:c4?c5 X 7^

73. III. GfiVAL. t Een getal wordt met lo vermenigvtfh
éigd, door eene nul achter hetzelve te plaatfen ; (8) met 100,

(O Veiklaar mö eens: boe %}i hetzoudt aanvatten, om ce» gatal

83739 met 7 te vcfmenigvuldigen ?
Cs) Welke \9 de regel, om een groot getal met een getal, kletaer

dan 10 aj}nde,^te vermenigvuldigen?
(8) lloe moeten 4c-m»Wn, welke in bet vermenigvuldigtal voorko»,

nen, befchouwd worden? ^ ; • .1

(7) Verklaar mS eens, van ftuk tot ftuk, de bewerking der s^vPi^

nigvpldigiiig , met ««b getal, khaneriten itt«||nde? ,,.,1

(•; Op welk etne w$ze» wordt een getai «te üo vermcmgvuidigp.?

Sft ALLE RB ERSTE •rohdih BE&

MMinnetr men twee mtlkn êfkter hetzehe fielt;, f 9) met it&*
zend, door drie nuUèn achter hetzelve te zetien, ('ö; t Een ge^m
tal wordt ^ in het algemeen-^ met eenigen term van de fchaat
yan het talfielfef, vermenigvuldigd y dooi'^y achter dit getal ^ zoO"
veel rmlkn te plaat/en ,afyer, in dien term , nulfen achter de
éénheid jlaan. Ch)

Vii.icLAiiiNG« De rede hienran is zter klaar; want Indien 7962 reee
so moei vermenigvuldigd worden, moet elk deel van liet vermenig^^
vuldigtal tieuroaai gfoocer genomen worden; hieraan voldoet men^
wanneer men^ achter heczeWc, déne uxi\ ftclt; want « zoo doende^
veranderen de éénlieden io tieucalien» de tientallen in booderUcfti»
ten y enz. (»ft)

74# IV. Geval. Nemen w^\ dat het getal 83^4$^ met 547*
moet vermenigvuldigd worden t daü zal men, met behulp va^J^
de IV en VI grondfteliin^en ^ en de regete van het eerfle en het
yoorgaande geval ^ door de volg.ende redenering, bec product
kunnen vinden.

Vbrklarimo. De verraenisvaldlger 547 bcftaat uit de fora der
getallen 500, 40 en 7^ wanneer men* derhalve het vermenigvuldigt aV
f^74p met eik dezer deeien vermenigvuldigt; dan zal ^IV Grondfl/)
de lom der gedcchcl^c prodocicn^, welke men dan verkr|jgr, hcc
gevraagde product z|)n. Uec product met 7 wordt p. door het eerfis-
geval f ^avowidn» De vermcnigvirldiger ifo beflqat uit het proditcc
10 X 4; men kan derhalve (Vf Grondffs) het vermenigvuldigtal
85749 eerst met 10, en het komende product met 4 vermenigvuldi*
Mn; zulks is, in de tvfecdc en der Je gevallen^ geleerd en komt bp.
Ifi^tzeifd^ uit 9 ah of men^ Het vermenlgyntdigtat met a ¥er menig*
yuldïgti OM het yerhregene product ^ onder het eerfte-^ in^den tang^
der tientallen y plaatst. Eindeljk bellaat de vermenigvuldiger 500
uit het product van 100 X 5* Men kan don eerst met ico, en het
komende product met 5 vermenigvuldigen; maar zulks is hetzelfde^
als het vermenigvuldigtal met 5 te vermenigvuldigen en het Icomen'*
de product^ h den rang der honderdtallen, te plantpèn. Dit geval
der vermenigvuldiging hangt dan geheel van het eerde en tweede af».
Be (bm der gcdceltcl^ke pROducten i» gel^k aan liet gchcele product*.
2ie bier, in het kort, de geheeie bewerking.^

8J749 vermenigvuidigtal
547 vermetiijvttlligcr

5862413 =1^ 7 maal 8 ^^^j^ eenheden.
33499^ ^=^ ^ ^^^^ 8374P' tientallen,
418745 ■ = 5 mtaal 83749 honderdtallen
45810703. =-//<? font der gedeeltelijke produettn^ geHji arm
het geheele product. (13)

»iiii II I < lil I ■ I ■! i ...irt ■ m w I, I >^

co) Hoe met iro^ •

(io> Hoc met ico^^

(II) Hoe, in het algemeen, met eenigen Mfmna de fchaftl Oer re Hing f

(U) Hoc bewQst fL^ dezen r^t t

\li) Verklaart mV het vierde gevalt ,

CfJFER KUNST. ï IIOOFDD^ VL Lii. ••aj

fS. Zgn «r andere getaHeii gestren; dan zal mea, op de.

tófde wiïze, ce werk gaao, Mén kaa dan het vermcBlgvoldlgen

aagroote getallen tot den volgenden algemeenen Regel brengen,

1«. Il Regel- Sckriff het vcrmtmgvifMgtal en den vermei
wpuïdfger onder elkander -^ daarbip ander het oog houdende^ het*
(UK, bij de Optelling , gezegd is 4 fchrijvende iinneden onder éènhe*
kkxtieritalkn onder tientallen^ enz.

»•: Vermenigvuldig het gegevene y^ermenigyul^gtnl ^ met alk
d^yan den yef^nenigvuldiger ^ (volgens den regel van het twe§^
k^aly) dan verlkrijgt gij zooveel onder fcheidene producten , Hl$
er cijfers . in den vermenigvuldiger^ voorkomen.

3\ Indien één of meer^dffers 9 ^ ^5?» vermenigvuldiger^
tOen zijn; dan moeten dezelve ^ als ledig fimnde plaat fen^ die
wts betekenen^ worden overgeflagen.

il^j. Men moet de gevonden^ gedeeltelijke producten^ in den
losf der bewering, op die wijze ^ ^der elkander plaat fen^ dat
«r achter fie of eer ff e cijfer van elk gedeeltelijk product^ in dien.
mgkome^^ v^aarin hei cijfer^ waarmede men vermenigvuldigt^
inden yermefdgvuldiger ^ v omkomt; vmaHn men nooit misfin kaH^
vameer men de cijfers dey productpt regt onder e^ander plaatst.

S*», Eindelijk moet men al de ^ getkdteHjke producten^ in den
Impder bewerking ^ge^'^den^ en^ 4n de bo^' ongezegde orde^ onder
elkimder gefc^treven^ b(j eikander optellen; en dan zal deze fom
het begeerde product zijn. O 4)

De volgende uicgewerkce veraaenigvuldiging zal den zin van
4czen regel nader kunnen opkelderen:
962008706 vermenigvuldigtal*
3070095 vermenigvuldiger»

481004353Q eenheden»
8658078354 tientallen.
6734060940^ tien-duizendtatkn» '
9S^6o26n% milUoentailen. ^

1953458118147070 het gevrat^de product.
76. Bijzonder geval. Wanoeer de achterfce cijfers der ge-
gevene getallen uit nullen befcaan ; dan vermenigvuldigt men de
gegevene getallen^ met weglating . d?r nullen ^ welke ^ of in één
van beiden , (fin^ beiden , gevonden wórden ; daarna fielt men ,
aikiw het varkregono product , ^ertn zooveel vullen , als er^ in het

— ' . ,1 ','''', ' 'i. ' " - '' ■■■' '■ '

(14) Walke r? cle ilgeïöeene jrègd om grooie gftallcn niei elltanaer
te TTCiincnljvuWi^en ?

i

fl4.^ ALLEREERSTE gr on dender

yermenigvuldigtal ^ of den yermenigmiiiiger , ifin heiden yt e zamtn
genomen y zijn weggelaten, (iJJ Bij voorbeeld^
y^rmemgvuldigtal 347000 = 347 X - looo
mei 2300 rrs 23 X loo

1041 '

^94

product 798 J 00000 = 7j)Si X 1000 X 100

t>e reden hier van is klaar ; want , indien men 347 met 23 yermenfgvwl»
digc 9 dan vermenigvuldigt men éen getal , dat duizendmaal te klein is, mee
'ten getal, dat honderdmaal te klein is : men moet dus bet produci 7981
eerst duizendmaal grooter en daarna nog honderdmaal grooter maken.Zulks
gefciiiedt (VI Grondlij en Hl GeyaO doof , achter hét product 7981 , zoo-
veel nullen te plaatfen, als in de. vermenigvuldiging z\in weggelaten» (16)

j'^. De Leerling oefene zich, door de uitwerking van de
volgende producten. Hij moet^ na elk voorbeeld bewerkt te
hebben , het verrnenigmldigtai met den vermenigvuldiger verwtt-
felen ; en dan, de vermenigvuldiging nog eens uitvoeren,

VooRBBBLDBN. 739 X 740; 5769 X 8905; 7C918 X 5432;
h83725 X 896; 68094 X 79<H>ö;?9b6ft8 X 87593; — 405609 X 820792 ;
83795 X 791^39 i 8«9öa X 567%804092 x 80967; Sass^S X 700023;

780593 X 78263; 897569 X 0753OÖ; JB96375 X 8963750;

78000 X S06; 809527 X ai8oooi 35800x8500». Ontwikkel voorts.
«Qg de gedurige producten, as X- 78 X 53; 79 X 63 X «8 x u;
12 X 12 X ia; 27 X a7 X «7 X 27.

NB« De bjzonderheden i welke, ?n de vetmenigvuldi^ing , knnnen
voorkomen , benevens bet gebruik der Nepèriaanfehe Staaf ies , dienen*
de ter vcrligtinj» van her bewerken der vermenigvuldiging, vindcmcn, in
4en eerfien Ctirftis der Wiskund. Lesfen , V en VI Les*

VII. LES. Toepas/ing van ^e Vermenigvuldiging.

78. Het i% niet genoegd dat men eenen regel vérfiaan en zich
eigen gemaakt hebbe: men moet nok denzelven^ opaile voorko»
mende zaken ^ leer en toepasfen^ en alle vragen ^ die m'f offs izeU
yeny of anderen^ ons kunnen voor/lellen ^ vaardig leeren ^p/os*
fen. (i) Deze hebbelijkheid verkrygt men door oefening.;
de volgende vrogen kunnen den Leerling, in deze zoo noodza-
kelijke zelfoefening^j op den weg helpen, (a) ,^:

(lA wat moet men in acht nemen «Indien de achterflecgfersyanbet
vermenigvuldigt al oT den vermenigvurJig er nullen zénT

(16) Dewfja my, op welke gronden iUe l^ewerking (leunt?

<i) Tot Wat einde moeten de 'bewerkingen der C|i»rk\uViT dfencM

(a) Langs welken weg, kan men deze liebbel^Kbeia v'idrkrOïenr

C IJ F E II K ü N S T. I' H o o F D D. VII. lcm ij

79, Aanmerking. Om.'eéne voorgefteMé vraag . te kimnen
oplosfen, raoec men, i**. dezelve duidelijk vefflaan ^ 2^ én dit
yerflaan alleen kan heren jbeoqr deelend door welke redenering of
bewerking^ men tot de oplosftng 'komen kan; en, daartoe is, het
jioodig, den aard .dierb^w^rkiog grondig te verfta^a eq deZreU
ve gemakkelijk te kunnen uitvoeren. C^), . ""

u Vraagstuk. Indien dén- gulden 8 fioourt bevat ; h<ke zal men
dan vinden: koe veel flootefs er in 1793 guldens begrepen zijn?

Oplossing. Eén giild««v bevat 8 ftooters : men zal gevolge! yk 2oo-
veelmaal 8 ftooters moeten neme^i ,a1s et j^tildcns gegeven zjjn ; namelök
1793 maal 8 ftooters ; en dit vindt men , door 3 floaiers met 1793 te ver*
menig vuldigen^ dan, daV men liet vermeui^vuldifiu] met den vermenifi;»
vuldiger verwisfeleu kan (\ Grond fl.j en nico «cfLliiktèr i/ps-metS,
dan 8 met 1793 verroenlgvuldijTt ; 200 vcrmeuï^vufai^i men 1793 met 8
en vindt : dat 14344 ftootera in 17^3 guldens begrepen z^n. * ^b. Op
deze wijze 9 moet de Leerling^ hij elk yülgtnd yraag/iuk ^ redenem
ren; of de Leermeester moei hem ^ op deze yvij^e ^ van zijn^ hewer*
kiBg rekenfchap leeren geven. ■

ft. Hoeveel flaiyers zijn er begrepen in 308a guldens; — in
raS Dukatons; — in 1693 Dukaten? NB f Eén Gulden bevat ao ;
één Dukaton (y\ ; en één Dukaat 105 duivers.

3. Indien één ftuiver 16 penningen vaard is; hoeveel penningen
zal men dan voor iSas Guldens — voor Ö36 Dukatons -* voor 3i<ï
Dukaten — elk afzonderlijk — kunnen inwisfelenV

4* Hoe vindt men: hoeveel lijnen er Jn 317 RiJnlanSfche voeten
be{*repen zijn P Eéhe Rijn!, roöde bevat 12 Voeten, één voet ip.
duim , één duim f2 Ignen.

5. Indien ééne Amflerdamfch: Roede houdt 13 voet ^ één voet \\
iilim; hoeveel zulUe duimen zijn er dan in 3179 jtmferdamfeht
Roeden begrepen^

6. De omtrek onzer Aarde bevat 360 gradtnt indien- nu elke
f raad if? Duitfche of Geo^rnphifche mijlen la n/f is; hoeveel Dnit^
fche miflen bevat dan de Aarde ^ in haren geheelcn omtrek ?

7. Hoeveel vellen papier gaan er in 25 balen f de baal gerekend
op 10 riem , de riem op ao boek , en het boek op 24 velf^

8. Op eene fleenbakkerij heeft nien een* hoop fteenen , , /// het yierm
kant 9 opgejlapeld ; 86 lagen in de hoogte^ in elke laag 53 rijen ^ in
eike rij 45 ft f enen: hóeveel fieenen IJ'jgen er in den geheelen hoop f

9. Indien men aanneemt ^ dat een eubieke voet rhier'water. weegt
64 ponden ; hoeveel ponden water gaan er dan in eenen regenbak ,
ile 16 voeten diep^ ^\ voeten lang en 18 voeten breed is? .

10. Indien men aanneemt , dat het geluid, in den rijd van ééde ff
ennde^ door eene ruimte van 1078 Rijnlandfche voeten worde
voorttteplent ; hoever is men dan van een ft uk gefchut verwijderd t
indien er , tusfchen het z''en van het licht en het hooren van den
gag , 7 fecunden verhopen ?

11. Indien een Infanterist\ op eenen gewonen pns^ 50 meterr
wegs^ in ééne minuut^ aft eir t ; hoeveel wegs zal hJj dan ^ in'den
tijd van 37 minuten , afleggen ?

'• ' ■ ■''-'"■ Miiyiii^LU'U^CoOgle m.,

(3) Op welke twee grooie hoofdzaken moet men in dezen l&cten ?

C

317 Roed. 7 y/. n duim,

12

12

45743 éaimfn^ t^rêpsH ht
?i7 />(wi>7yf> T T /f m^

«6 ALLEREERSTE growoen otK

t^ Indien #/* ptMiriwin etnen fial* ^^ breedte ygm \^% cewirme^
nrt aan plaats m^dtg Heft ; hoe lanf^ moet dan een {lal ziim^ waar
50 paarden naast elkander kiuinen geplaatst worden?

De volgende vragen behelzen de Herleiding van geheelen
tot deden en ralnderdeejen.

Tg. VftAAfifTüK. Mptvèèl duimen zfjn er heerepen in «»
RijnL roeden^ 7 voeten ^ H duimen f * *

VEftftLAitii*d. ' Oftrdat déne Rgnl.
roede 12 voeten lyevat, moec men 12
voeten voó veelmaal nemen, als er roe-
den gegeven zffn^ dat is, 317 maal^ of
men moet 317 met tz O.» Grondft,) ver-
loerrfgvulUigen. ïn tfïe vernrtftitgvaldi-
glng , trekt^ men dt f voftten b|f het pro-
<tnct, en meii verkr<fgt al zoo 3?tti voe-
ten, begrepen in 317 rtied,, eo 7 vr»
EinefclSk , om de dttimtfi , in^ 317 roe- '
dèn en f vo?(en begrepen , te vinden ,

moet men il duimen , in éénen voet be — __

, grepren, zoo flierngmaal nemen, als er vi>eicn gegeven z^jn; dat is,
S&li maai: mcti vermenf^vtildfge dan 3811 met 12, en rfbkke b^ iiet
product, dat duimen z^n, 11 duim; dan vindt men 45745 dnfmcn,
twgfcpen in $if foedtn, r voet, 11 diiim. Zie verder neverrftaande
berckcnithg. Bit y oorbet fd zal tot eent httndleiitng dienen^ om de
volgende te kunnen oplos fen^,

14, Men begeert tot penningen te makelde vólsumde geld waa rden. :
O a7a Q^' ^9.fi' 14 P^in» f b) 307 Goud'gU 17 fi^ ? c) 123 Daald.
14 peun.t 4) 407 2i* Rijksd. 34 fi* B pcMti.9 De Z. Rifksd. gere*
kend tegen 52 Jiuiy. f e) 3790 Dukatons „ 54 Jlu^ir. 13 penn. ?

15. Tot grooten te herleiden : a) 307 pond-Vlaamsch , 17 fckelU
10 groosf. bX^DUo , 2179 fchelU 7 groot ? c) J^ito^yc^pond ^7 groftt ?

t^. Tö/ duimen te herleiden: 173 Amferd. Roeden 218 yo^/^ji #«
9 ^«/««^

17. Tot vierkante duimen te herleiden: %vr vierkantê^ roeden^ og
vierkante voeten, 123 vierkante duimen Rijnianduhï Eéjie yier^
iunte Roede RijnU houdt 144 yierk* vaetett; een vierk^ voet 144
vlerk, duimen. ^*^

i5^ Tot vlerkante duimen te maken: 309 vierkante Roeden , 155
vlerk^ voeten f 11 vrVr*. dtdmen Amfierdamfike maéul Z>e vlerk»
roede houdt 169 vierh. voeten: de vierh. voet »2i vUrk, duimen^

19. 63 Lasten^ 17 mudden^ i fchepel tot fchepHs te kerleidemX
Bén last houdt 27 mudden ^ een mudde 4 fchepels^

20. Di/o 107 /iï^/ tf« 2 /i:A«p. ^0/ fchepels ?

21. 5^ i^/ï**^ 29 mudde en 10 y>/#/ Groninger maat^ tot fplnê^mt
^ 22. Tot azen te herleiden : «17 ntnrk , 5 oneen , i^ engels en 17 MUm t

23. Iemand 13 /tftfr otf// zijnde^ begeert te weten: hoeveel mtsne*
ten Jiij oud i>? gefield^ dat er ^ in deze ^$ jaar ^ drie fekrikkedja^
rcn^van 166 dagen zijn ingevallen^

24* Stellende het middelbare Sterreknndi^jaar op 365 dngem^ 5
uren^ 48 minuten en 56 fecunden; hoeveel Jecunden zijn er dan $m
r^ ttitOte jttrcn htgnfeni

CIJFERKUNST. I HOOFDO, VÏIU les. ir

VilL LES. Orer d: Aftrekking, Stibartctie iif AfTdieldiug

4er getallen; of het vinden van Itct vtrfchU van^ twee

^egevene getallen.

80. t Eene koe»eeiheid kan met etne mtéfefi^ hoeveHheidy
He nogtans altijd kleiner dan de eerfie zijn moet^ verminderd
worden, (i)

8i. * De hoeveelheid, die 9ien als dan overl^oud^, noemt
men verfchil^ onderfcheid^ Qverhüjffel of reUi (O H^^ woor4
yerfchil is echter hec ^ebruikelijklle. (3}

82. Men zou TiDden kuDoco^: l^o^v^el ef orerbüjft, itv
dieo men 3a met 15 vermindert, door'» vm gs De beginnen,
15 eenheden, op de vingers , cerug 1» t«)Ien, en te zeggen: .31
ééUy 30 twee, enz,. Men zou 4^0 eindei^k op 17 komen,
dat bet verfchil ï$ van 32^ verminddtd met 15. (4) Doch deze
terugtelling Mou^ wamteer hef ^irrfckil van gfijote getallen moest
gevonden worden^ geheel enuitv oer lijk zijn\ '

B3, t De inrigiing van om taïHeljel geeft aanleiding ^ om
dit verfchil korter en getnakkelijker ie vinden. (j5) * J)ie kor-
tere bewerking worde Aftrekking of Subtractie geooemd. (<J|
^ De Aftrekking is dan die èewerkingii maardffw min het ver^
fchil ojf onderfcheid van twee getaüen vindt, {j)

t^ * Het woord affhheiden^ afirekk^n ^ fubtrajieren, ver^
minderen met , wordt uitgedrukt door bet teeken -^ (8). * De
uitdrukking, 8 — - 5 , wil dan zeggen: het getal 8, verminderd
met het getal 5; het verfchil van dt gftaHfn 8 min 5« (p3
De uitdrukking, 13 — 5 = 8 , wordt g(Blezenti het getal 13 i
met 5 verminderd^ ge^ d\ bet' verfchil van de gtf allen 13
oi 5 is gelijk S»X^o)

I5. Ai^MeRKiifG» De bewerJ^ing der Afirekking^ welke

(i) Km men eeiie hoeveelheid ook vefoiiiuitrea Y

(3) Wac naam geeft nien a^n de Ii«<vtelh0i<t,4i^iaeft (knroirerboudt f

(3) Welk dezer «woofdcfiHS het gebru(kelökflet . * * ^

(4) Hoe kan men, in alle gevftlcn,, bec vcrfvhil vaniw^ehgievei^hjaden,
of £eulten« vjn^ent b znllts th jd uitvoer^lb'k ?

15' Kan dit verfchil gem^kkeljkcr , d^idoor tjei^ugtelöng , céviojiicp
worden? ^

(6) Welkefl naam geeft meB 99H die kortöre t>cwer1;lngY

(7) Wat verftnt men derhalve door de Afirckking?
W Door welk teeken worde de Afcrckk ing uitgedrukt?

(9) Hoc leest mttiJQ^/? r- t

(10) Hoe kest men 13 — 7 _ éT brgtzed bV v^oogle

C z

t8 ALL E .R.£ 'ER S T E jb: k o .n b 'b n der

:ill

wij zoo, daddyk verklaren zuilen, èerost op eene algemeék
grotidftellsng^ welke zoo klaar is» dat zij geen bijzonder hQ^^
Vi\]s behoeft: te weten i. f wanneer pen de onderfcheidefie dee^"
hn van een kleiner getal ^ één voor één^ van een grooter ^aftrekt 'l^
Z4fi zuJks hetzéifdt^ geven ; a/s rf>.mm dit kiehere getat-^ in eètji \
af^ van Aet grootere Aada&enamcnP. {Il) \^

85. Om de aftrekking grondig tp leeren v,er(laan, ziiUeif'^*
v^lj, (als In <7r/. 50', B/adz. ii,) doen zien: hoe men, door**
«uddel -vttn lleemjcsf (di^.Wlj door fterrétjés beteekenen^V
de aftrekking kan uitvoeren j en tot een voorbeeld (lellen?^^
Ja/ Jtet getal 7531 met 42^7 iwoet. vinninderd mfiden f ^'

Beteekeren w|j datt dè dcclcn vlii» het'getat7532, «00 als gezcgcl' 1
u^ door fteentjes) d^n Jiebben WÖ>^. r j.|

Bttizèndi^
^ * n^

flondertft.

P.* *

ÏVdnttter wij nu eerst ';\^é^heden , dtiarna 9 tientallen j daarna^
a honderdtallen en efndeUjk 4 duizendtallen yan liet ffe^jeyene getal ,
763a afnemen \ dan zullen i;{} ten laatftehef hegeer^c yerjchil moe^
un yerkriigen^ ^^

ü e ae ven Wrih^dcn kunnen iraode tv ec ééyihedctr. *welke in ^>et getal I
75.32 voorkomen,: nietvafgetrivk ken worden, ^unr men Kan •^
ff eentje uit 4P. tientallen 'wegnemen^.en er tijsn éétibAden voor in
de piaats fielten i en dan heeft YneW»

Duizendt^ Ho^derdi. ï Tien f f . J . rénh^ -

♦ ♦ «

•!*■ : ; •,.'■■ :■:"•

De deelen yan het getal A zijn alzoo yerfchikt gèwordeni'sSnti^ie
^datiet yan wtrnrde - nraederd u's tn\me9; kaj^'^r; r,tt.7,ééufaede»
VHn afnémcii: dit doende, houdc uien ovtr:

f')ül^ndi'JlT6n^elrdt,
• • • I «.44 Uii.t^

Tfênfl'

er.

t dit' iè het gelal rg^a , vcripirtderd :nïct 7 eenheden, .♦ * '

Dm nw de 9 tientaliep Vari het o^verWtlvendé.geiar B af te trekken ^
reenrt'ftkn één hontierdiil en légt' èr tien* ilentaricn vóór in 'dè
plaats; dan verandert het j^al ft in;. ^,, ..;

Cl O Op welke algemeenc groadftelltog hcrü t de Afttekking?

Ci; F E II K U N S T. I HOOFDD. Vttf, %.tl. 19

mmlerdh

TUmt.

i5^«A.

• m •■

•

♦ ♦ >•

r " . '

M ^it gecat C U faecielfde , als het ^écdl ff; waat er lictft fttclK»
^e vertchikking van deelen plaats gehad.
NfB kan nu vm iict gecd Cn^cn tkatilkn vegaeineo; mtn sai

èa verkrigea:

l

OcTtt getal D Is Qu hee ^etal A» verminderd eerst met 7 WtitA%n^
ca daarna nog met ^ tientallen.

Men vermindere nu bet getal O mee % luHiderdealleB ; dnft verkr|s€
■taiitt geial:

\DMizendu BondtrifA TUnU | Eén%» |

''""^ ♦# |T7 JT; i CE>

4( ♦ |4i

» 4> »

t

Dit getal £ is nu bet getal A, 'verminderd met 7 eenheden « f
üentallén «1 « hotiderdtaHen.

fimdd$k v<inn4{ideae me» m)g bet getal B n^t 4 duuiendtaüei^ ^
4n houdt men over:

XZifuUcnitJJSQnderduX

TlejU* \ Eénh.

-j--

1:

♦ ♦

I ♦ ♦ ♦

F

Dii ÜMtfle gtiai F is nu kef ffetMl if, r^^minderd nut 7 éiitktm
ien^ 9 tUntaiUn^ 2 honderdtailen en 4 Suissndtaiteni kit g^ai
7332 9 yerwiindert met 4297; en di% yerfihit is ^ in onze gewant cij^
fers nitgedruki zijnde ^ 3435. (ia)

87. 1 Aanmbrkinc jDeae bewerking Is reeds ?eer korter^
dan, wanneer men hec verfchir zoekt ^ door, van ^éxibeid tot
éénheid, terug te tellen, ff'ani men behoeft geen meer be»
werkingen in kt werk te ftelkn , ian er cijfers of deelen vosr*
komen^inhetfubtrahendum^ of kt getal ^ dat men aftrekt» C^S^

U. U AAttMËRKiNa* Door de tnvoering der ajfirs, is dit

(12) Op weYt eene w)^, kaïf men, door behulp ^ fteentjes, ia
art. 5p, hladz. iz» reeds verklaud^ de Afcrckkla| uitvoeren?

(13) Ia na die bewerkina met de fteent}e9 korter ^ 2asi wanneer »€»
van aa»\A tot éénheid terug tdt t n v

Digitized by CjOOQ IC

C3

^ 753»^

verfchil 3335

3a A LL ER.E ER S'TE GR<>ND EN d.b^^ri ,

werk nog gewakke/f/éer g8woPdefr< (r4)'Wam meH' volgt dQii^xif
REGEL, welke 0plTeizelfde nitköpir. '^ .

l^ Regel. Schrijft^ ^et f%btmhendtim of: Iret g^t al ^ dat men
begeert af te trekken,, onder ktA gê$al ^ waanran het ntdet afgc^
ttokk^t worJen\, gelijk :hi£r onder in 2\de cilfyrs. yan dezelfüe: ^
foort mder elkander.! " . .

xK Trehy van de. eenheden^ af t&.heginfien^ en ^ van cijfer ta
cijfer^ voortgaande^ elk onderfte cijfer' van het boi'mjU af 9*
en zet het verfchil^ ender de getallen y in den rangy tot wel^
ken het behoort^ —

3^, fVanneer het loyenfie cijfer, kleiner dan 'ha onder (Ie is^.
moet men hetzelve met tien verhoogen, en het cnderjie cijfer
van de fom vftrekkefi : maar dan'mcs'tcok het naastyohende bo^
venffê aifpr éin- ^mder ge^omtn worden;^ ten einde^het getal\'
waarvan men aftrekt^ door 'deze verfchikking van deelcn<, int
zijne eigenlijke waof'de en onveranderd te laten. (15)

Opheldering. Men «egt ^z\t V')^ éénh.vm^éénh.
kan niet : men- verhoogt de ft éénh* met xoéénK , komt
voor de fom 12 iénh.i bier van 7 éHh. aftrekkende,

boudt nieti 5 é^nh^o^QV^ welke me» in den rang der één-

lieden fielt. Tot de afirekking der tientallen overgaande, zegt raea
BU. öiei;. 9 tient. van. % tUnt.^ maar 9 tient^ van 2 tient.i want ,
200 doende , zou men het bovenft'e geial ló te uoat genomen hebbenx
maar nemende 5 tient. in jJlaats vaii 3 tient. , vermindert men , b^ de
tweede aftrekking, het geitl , wnarvan men aftrekt, even zooveel^
als men het eerst vermeerderd had, en maakt alzoo cene vcrfchik^
kingvandeszclfsdeclen, zonder het van waarde ie veranderen. ~ Ai en.
zegge dan: 9 tUnt, van a Pient. kafi nies^ en men vcrbooge de a tient*
met- 10 tient. of één boBderdt«Ji de lom is ift lient.^ hiervan trekke men
1^ tient.^ af; Mn bou4t men 3 tient. over , wcHce men , in bet verfchil \
m de pIaaxs<i«rtieptaHen»,fteU, Yoor^zeggemenrniet aAa«</^r^/. van
/ 5 honderdt^ 2 honderdt. van 4 honderdt*,. Wqft z honderd t, 5 en eindelnk
4. duizendt. van zMzendt^t^W^Z duizendt. — en men. vindt tlzoo.
voor het geheele verfchil 3035, als boven. (ttS;

8p». Aanmerking. Wanneer men een cijfer net tien 'heefï-
moeten verhoogen; dan kan ^het gebeuren: dat het naattvolgende
€ijftr eene nnl is,; ja ielfi kunnen verfc/ieidem op elkander vol^
gende cijfers nullen zijn , welke derhalve niet met één kunnen
verminderd worden. (17) @ih dexe zworlgheid weg te nemen
lOOejt^.men. van de volgende eigeDfchap van het tientallige (lel*

< 14) Kan roeqi, doot het gebruik derctjf er? , her verfchil gemlLkkfi^

HJkCr vinden?
(^) Welken, regel moet men Die^aatigaande in jcKt nemen r
(ir^ fteldeivmtf dezen regel *cto9r; een voorbeeld op f
( i7> Ontmoet men »: ia de uiivoïejiög vtn dezen rcjel^ fomij^ gceneLr

C IJ P E R K ü N S T. I HOaFpa VlU.Lts. ji

fel gebruik makes. -^ Indien men ettiigin term van de fèhaak .
tan het taljieljel met één vermind^t; aan bejiaat het ver/ckit
utt een getal van even zooveel negens 9 a/s er nul/en üi dien term
yêorkomen. (jS) Aldus is

10 -^ X = 9 • • W#nt j^ 4- I = 10
ilo — I = j^9 • • 99 + I rz: 1.00
looo — I = 999 • . 999/+ 1 = loco
locoo — i n: 9999 • •. '^99 + » r= i-uo a (rp)..
enz.. - enzm

De waarheid liier v»n is zeer k]«ar ; watit op'9 vo)gt 10; derhalve ztl ia
nuo I geiQk 9 z||n. Op 99 vuige ico^ dnaroin zal ico n- i = 99.2|fn* Op
999 voigi 1000 f daarom zal locó — i = 999 z^n ;. enz» (^20)

90/. Door de toepasdng vau deze ei^afchap , kal liu de
zwarigheid geheel \yorden weggenomen. Óte/Jen wij i dit vam
290Q02 meet a/gf trokken worden 212185? .

Ir

het getal 7 | pooa | ^ geeft na verfcMkking 789993

af o, larè .5 .„....•.• . . . > 212185

*<?w/ 5 7781 8^ . . yerfchii . ^'577^18

Otheidbring. Hier tnoet men s éénh.vnn ^ éénhedetmftnkktit^
Daar nu deze aftrek king niec mogelQk is , verhoogt meo de 3 éénk^ met lo*
éé/sh. , en trekt van de JLom , die 13 éénh. is , de 5 éénh» af ; dan houdt rnea
8 ^énh, over. Nu zou men het volgende c|ffer één minder moeten nemen :
isaar , aangezien de drie Volgende cljfersnuÜenzUn, kan zuiks geen plaats ,
hebben. Door dwarsflreepje», kan men hec getal 7*90003 in 3 eenheden ,
9000 tientallen, en 7 honderd-duizendtallen (.«i^^r/. 42 ^Ê/tf^z. io)ver«
deelen : de 9000 tientallen beftaanuic 80O0 tientallen en nog loootientaf»
len ; deze tientallen moeten nu met één verminderd worden : maar ', lOoO'
tientallen , met één vermindierd » geven 999 tientallen ; gevolgei||k zullen
9000 tientallen , met één tiental verminderd ^geven 8000 tientallen, met
vog 999 tientallen; dat |s>^ 8999 tientallen ». waarvan de gelljkfoortig^
ieelcn van bet kleinfte getal moetenden o<^ altQd -, tot op het laaifle na;
kunnen afgetrokken wórcfen. Zie verder bovenftaande bewerking, (at) '

91. Men voege daa hü de deeJen van den regel van art.,
M nog dit gedeelte»

Vbrvolo van den REaEL* 4^» Wanneer men het volgend^
ei j f er met één móet verminderen^ en dit cijfer eene nul is ^ of
vel, eejftige volgende cijfer^, njil/en zijn ; dan verandert men^

• . ) . :^ ' ■. ■■.■■-.•

(iS) Welke eigenfchap vau h«c calftelfel kao^ dienen , om dk zirarlg**-

beid weg taiiemeal.. 1 -...,

00 Verklaar nMI dit nader* . * t „

^tp) ficw|{s 'deze ei^enfchapt ', ; : ^ ' ƒ" '

CaO Hoe worde nu, met behulp^ van d!c beginfel jrda. hwien oiiM
attenule s«farigheid^tt,i^.^ga.V^^eti<,ynd» . , - f^^^^

'^ 4' ' .

jt ALLlREEaSTE <;^oiidbn der

in de gedachte^ die nt/l ^ mttllm in één mgen éf negens^ m
wêntê het etrtt volgende ci^tr , dat altijd eene ytaarde Mcrf/^ één
minder* Mtn y^eindif^ v^mPH de •afiirekking^ naar den at^
nteenen regeU (22) r

92. Aanmerking. D^ «oeptsfmg van deten regdvefeischt,
van de zijde des JLeerlingj, wederom oefening en opleueuheid»
Hij oefene zich daarom door 4fi volgende voorbeelden.

3709 1 3086702 j 7008345 I 7389000 I 38007306 « dooooooo

^erfciiii I verfchil ^ vcrfcWr I VMfchil j vtifcWI \ verlclitt
90850033 • 8090010000 I 38af9.>aoo4 . 5382/12345021
tt 1950091 j I9fti^94gi I l8a8ow?^97a j ^91 35 ^7 ^^^'9
vcrSST 1 "vcrlchit I vei fclrtl * vcrfcbil

De Leeiling moet deze uhfdirSvwi tm ifcrelclven.

StriRvragbn. !♦. Hoeveel hlifft er over ^ indien men één • miU
tioen met do fom der tt^eliem 70W> 8^*5 • 70|09 • 81231 tUn-dui*
zend en twintig f honderd elf*duizea4'twaal/*honderd'en'Zrstitn^ ver*
mindert f

a'. M^eyeel Mij ft er «wr, indien men, bet rerfckil der getallen
tt{tttg e» 8990 « »/* de f om der ^ot allen 1%'^ en ±7 en siKo, rerjui'idejrt 9

3*^. Me^ begeert de fum der getallen 317, 809Ö, 513 met de fom
der gallen o» , 74» 33» 2i'»f /li cv 999 te verminder eul

4<>* Buéveel blijf l er over , tèdien men van het product der jgeta>-
len 796 en 436 het product der ^ulUn ^19 e» 97 ajtnkt f

93, -AANMfiitKiNO. t ^ Aprekkmg fttiat tegen over de
Hfteümg. In de OptcHing , worden jsekere gegevcüe getaüeii ,
9ls deelen, xoc öéne geheele fom, vercenigd; in de Aftrek-
lung, wordeo één of meex deelea eo^s geheels van heczelve
cfgeTckeidea? en het y«|-fcyi is dan Iwc oi^biijvende deel (aj^
Hierom hm de Optelling ^ donr de Aftr^king^ en de /1f trekking
"door Je Optelling^ heproefd worden. Indien gevonden is 3 +
^ '{^ ^ ^ 11 '=' 28; dan zal men, door de getallen 3, 5, 9
«n II , éé« voor één , van de fom sS af te trekken, (indien
^en wel gewerkt heeft,) eindelijk niets moeten overhou-
den. (24) Heeft men gevonden 31 — 15 = 17; daii zai
17 4. 15 = 32 moeten zijn (t^) Men kan ook de Aftrekt
fting door de Jftrekking beproeven^ w«nt, indien ineH het ge*
vmdsne yarfihil yun.Mt.^srootfie getal aftrekt i dan zal men
het kkinjle getal moeten overhouden. Indien dan 3a — 15 = 17

Caa> Wit moet men dan noa bQ den boveoiiaanden H^el vojegen f
ij^0 weik oaderCcbeid beftaat. tf uufches de QpceUlqg en de Af*

ttekking? OigitizedbyG

<S4) Hoe kan men daa de OptdUosi^eproeveilt
(as) Hoe de AfcrekkiBgt

CIJFBRKU'NST. 1 ïfOOFDIX vin, L»s. 33

An zal ook 3« — 17 3= 15 zI>ïï. (aó) Men ptsfe dit op.

cenige der boven opgegeveue voorbeeiden loe, >

KR*iAiïdofc wö«cn 'vaff 'ïaftfckkea'Viwit men in de Whk. Lesf^

P4* Dac.óok ^e.^Afvelckljif hérei uvuigbeid kteft, leerei
de volgende vraagftukken.

I. Vbaaöstük. Ik héf tégen^ifcOTdig ifiar 1824, zt'ner^ Cederdde
Jttckih^ yan Komc ^ volgensvAiLno, HÜ^^Munyerloopem iuhetkêe^
vtflfie jaar van Reme ^ is dan onze tijdrekening begonnen f

ft. CnajsTOPuoRUfi CÖLU1C9US Mtdeku in uya Amcrilct; va» co
M CAMA yoMd^ 5 j0re,n lafer^ den weg 9 om di Kaïp de Ooede
Hoop, MAGELtAAN wtf j , 12 Jaren later ^ de eerjle^ welMd de Aardf
fOBd zeilde. Hoeveel faren zijn er thans in , 1824 , federt deze 'ónf
êt'Mngen yerjoopfnf ' ^ ,-

3» hoe veel jaren ^zifn et' tbans ht iPa4 yerloopen^ fedêrt Vtm
wicjoRiw den , KUumen itijl fn 1^2 invoerde ^ en , Jedert de 3n»
gtihbeu denzeiyen in \ff2 aannament -

4* indien het' gekeele oppervlak deit A*rd$ 9092183' vierkanu
iuitjche mijlen t en de groette der vijf verelddeeUn gerekend vforden\
alt in Vr. 2. blaöz. 15: kêe groot is dan het oppervlak der zeeifnt'

5* £en koopman loooa G/. in kas hebkende^ betaalt drie wis ft Ut
fuot Z2*S gl.^ 1172. fi/. en 5133 >^/« hte veel houdi hij nog in kas
oyrr ? . ' , ■>■.>.•.'••.;'».•.. . !

6. Wannter m^n ondnJléU. iet oppervlak der yfdrde in 1000. de^
Un nrdeild te zijn 4 dan bevat de heeteluebtfireek 39'i ^n df Md e
kimde luchifi reken t2 van die deeUnt hoeveel van d\e deeUn btvaf^
Vn dan de tveee geinotigde Ixichijlékeir te zr.men*i '

7é Indien het eerlte jaar' -onZerJd aftel Ifttg' 'met het '4714 der Ju'^
liaanftle periode overeenkom f i (t^r'^tlê' de' JüHaanfche periode ten
iHüvak Van 28 maal 19 maal 15, of 79P0 jaren., In het hoeveelfle
}aer van dis pericde bevindt men ziek ^an^ in het jaar 1804 rv^»
êtize jaartelling ; en , in welk jaar onzer iaartelling , zal het eerfif
jaar van da volgende Juliaaofchè' periode lnyalie»J

IX# LES. Inleiding tot /5^ ^eelen, verrfeelon, ófhtx. oni
derlinge meten der gétafh'n $ en Ms' orer de Gé:)roktn$é

95« • GrooiTieid li a/les\ wat vermeerderd ên verminderd ^
hn worden j en i op ai/e mogelijke wijzen^ in deelen deeïbdat
is. <i)

95. t Ceene grootheid is zoo groot y af zij kan nog grooter
vorden. (ji^

06) Ka» men ook de Aftrekkkig door de Aftrekklng beproeven %
(I) Wat If grooiheidt rf^r^n]^

W Welke it dc^gtooifte seootheldt nigtizedby woogie

fl ALLE HEERSTE geoudbii osm

9f« t i^//<? gnothufen^ ju zdfiét Ueinfi^, nijM^ td in het
PHeindige^ deelbaar^ U)

. ^. t Xkkeel en i^^isn bebooren akj^ tot dezelfde froou
heid , die men befchouwt. ♦ Gepelte is datgene , faecwelk ,
teiiige jnaififl géBomen ,i\|3)^» f^lc of ^roocer dan faec geheel
worden kan. (4)

Si9^ Aanmerking* Men onderfelieidt de grootbeden in g^
Uji/htchtige en ongeUjkJtachtige. (5)

f oe. * Celijkfim^Hge groeihedm zijn coodanige , welke ce
tarnen, tot één zsraenhangend en éénthcbtig gebed ^ kunnen
Vereemgd worden. (6)

Ophbldbring. Alle lengten, als meters, roeden , ^Mieien , diii»
mtm « vademen, elle», mtH^* kii|!ite«, breedten, br>o£ten, 4Icp;cti ,
•«ii««4 «~ alle viaktcnMueQ , ais vierkante «aiers, voctea, duimen,
ellen ; — alle ligchamelQke ioh^iide» , als cubieke dectntters , vot^
tJtn ^ 4mmw ^ tnz* % ifikeis, amen, ftapen« pinten; ^ all« gewi^cen
als cemetiaars , ponden • maten , oneen , enz. « alle geldwaardcn , aJs
Oul«k«6 , Dul-aien, Frat^si ^ alk t^en, als eenwen, jaren, «uun«
den, weken, dagen , uren , tnz.y — deae alJe zün ^ al dragen z^
oaderfcbnidene uan^n, gei^Uachtige grouihcd^n .7); wrjit ;^ kui,.
nen toi één geheel vcreenigd worden» (8) -f Grootheden ^ die door ^9"
ztlfd^ btnaming ^orikn uitgtdrukt , zijn van zelrtn gcitjéjiachtig,

ici. * OngelijkJIachtige grootheden zijn die, welke, t<>t
geen éénflachtig geheel, kuiujen vereenigd worden. C9)

OPUüiDEiiiNG, £ene lengte en eene geld waarde zQ'q ongeluk*
ilacütig ; want , indien men dezelve te zamen neemt , wgrdt l»ec g^^»
ne grootere lengte, noch 4iok geene grootere geldwaarde. (10)

102* f De deekn eener grootheid %ijn met die grootheid^
met dit geheel^ ^eUjkfiaehtig. fii^)

103. t Wanneer men twee gelijkflacbtige grootheden mee
elkander vergelijke, kunnen zij gelijk of ongeHji zijn. (12])

Dit ooderfcheid wnriic beter , door ▼oorbeelden., ^^geheUerd , dan ,
door woorden, om fchrc ven.

.^■■^^— — ■ ■ I. ■ II ■■ ■ I I ■ I ■ I II I ■ p lil ■ 1 1 — — — ^

£3) Beftaat er cene grootheid zoo klein , dat men dezelve niet meer
Yerdeelcn kan #

I de woorden geheel en deelen genomen worden ?
t heden onderlcbeidea ?
grootb^en?

%

Waarom ?
., Wat zQo ongettfkflacbtige grootbei'ait
lö) Geef voorbeelden t

il) WeHte foori van grootbeden 2911 de dee*cn van een geheel, ten
opzigce van hetzelve t ^ ^ ^^ r;.

(ia) Wat kan er plaat? hehhea, ^dien Im'Uee geI|kflacbiiM
grootheden met elkander vergcllkt )

h

Clfl^ERKUNST. I MÖOFDO. tX lej. 35

104. A^NMïREWO. Een decf eener grooiieid \% eyematig
QÏ 6nef€fimatig. (l3)

105. * Het iy cmimaHg, wamieer het , eetrige tnalen geno.
steil zgnde, aan het geheel voikomen geltjk kan worden. (14)

Aldus is een ftniver een evenmatig deel van éénen gulden ; eea
é^m een evenmatig deel van éénen voet; een dag een evennmig deel
TiB iétn week » em. (15)

106. * Een deel des geheels is onevenmafig ^ wanneer her,
boe vedmalen het genomen worde, aUijd kfólrïcr of grooter
dn bet geheel blijft, en dits Dook het geheel juist en voU
kdoen kan voonbrengen. (j6y

AMtos H één gulden een onevenrcaflg deel van ééoen dukaat, één
febdUag ean otttvenmatig dèti van éénen girtden. (t7>

107. L Aanmerèino* De evenmatige deekn verkrijgen infr*
m hipmtlerê benaming tan de getallen^ die aamHjzen, hoe
neimaal zij in hét geheel begrepen zijn. (18)

Verklaring. F.en evênmads deel» dat tweemaal In het geheel
betrepen is, heet éénhair-. i« het er drfemaal in begrepen, €én*
Mie: fs het er vternraai in Uegrepen, ééuvienle ; is het er tien»
mtl'm begtepc», é^tieni^ , eii«. VVaimeer «^halve «« jjeheel 1%
iwee celfike deeïcn verdeeld is, dan be« ctk deel één *«/ƒ; u lieci*
so gdiJke dcelen verdeeld, dan heet elk deel één-twtnttgfie. (19)

108. n. Aanbiemlinc. Deze regelmatige èewamhig^ W9rm
ien fmtijds^ in de gemepte zamenUvingy met andere morden
yerwitfeld. C20)

VaRKLARiNO. Eén «ulde» bevat ao (liiiversj het woord j?//iy/r
komt derhalve in de plaatst van éétt^twintisrfie gulde» ; en het eene
woord kan in plaats van het andere gefield worden. Op dezelfde
vitt. b ^if penrtk^ igén-zeêH^nde deel van éénen floivw; é^n
ieg èew^tteraide Ucl ram ^Sftir week^ «n héd een^tve»^i^dirH%Pé
iul fan één pond. (ai)

w^. * Een zeker mnrfnt evenmatfge deefen van eenig geheet
mmt men breuk , gebroken of gebr<^m getal. C^^)

(13) Hoe onderfcheicJt men de .^eelen der grOöihêdeo ?
(14 j Wat is een evenmatig deel?

(15) Geef voorbeelden van evenmnige detl*n 7

(16) Wat is een oneven raat'g deel? , , . « ^

(17) Geef voorbeelden van onevenmatige deeten 7 , ^,.. ^
Oi) Hoe worden de evenmatige deelen eenerfircotheidonderfcheiden ?
f 10) Geef hier voorbeelden van 1^ . , ..

(w) Gebruikt men, in plaats van de regelmatige namjen der evenm»-

tfgedeelea, ook forotijds andere namen? nigtizedbyGoOQle
(ai) Helder dit door eenige voorbeelden op? ^^., ,

Ua} Wat Is ecac breuk , een gebroken , of gebroKcn getal 7

3$ .AL L E RE BR ST'E orRioNöEN ötR

Zoo is zeyenma?! één twaalfde deel van é^en voet een gebroken, ^33)
II o. t ^^f^ gebroken moet^ om bepaald te zijn ^ door twee
getallen worden uitgedrukt: x^^.ÓQor het aancal evemnacige, dee-
Ica, ft°. door de waarde yan elk evénqiatig. dee|, kenbaar dpoy
het aantal evenmatige deelen, in het geheel begrepen. ("24)
Het eerde dezer i^etglleii noemt ^ men Têikr het tweede /Vsi*
men (as) Men fc^rijft d^ie getallép pnder eikander, deo
teller boven en den noemer onder, (26)

Zevenmaal ééfl.twaalfde-deel Avordt gevolgel^k aldus gefchreven; /.
Hieruit zijn de breuken J, /y, IJ, /g, ^§5, y% veraaanbaar. Q27)

III. *De gemeene maat van twee ^gt\\)k(['SLchi\%Q groatikedeii,
is eene grootheid^ welke een evenmatig deel van elke dezet ^r^t*
heden ^ in het bijzonder^ is. t Ongelijkflachtige grootheden kunnen
geene, gemeene maal hebben. (58^ .

Indien cene grootlieid M b|j voorbeeld zevenmail in A , en dertïe»^
masl in B begrepen is, zegt men: dat M eene gemeene maat van i^
en B is. Cap)

112." * De getallen, welke uitdrukken^ hoe veelmaal de g^
meene maat van twee gelijkflachtige grootheden in of op elke van
die grootheden, begrepen is^ drukken de betrekking of reden van
die twee grootheden uit. Cs^) ' .

Alzoo.zal, in het voorbeeld van /ir/, m. de grootheid A tot de
grootbeid B, in dezelfde betrekking of reden (laan, als 7 tot 13. (31)

itj. Aanmerking. IVanneer ééne der twee grootheden^
die men met elkander vergelijkt^ een evenmatig deel van de an*
de re is^ is fiechts één getal voldoende ^ om derzslver betrekking
volkomen uit te drukken. (Z2)

Indien bij voorbeeld A achtnwial in 8 begrepen is^ zei?t men B i».
gelijk 8 maal A, of B heeft tot 4. dezelfde betrekking, als het getal-
acht tot de éénheid. (33)

'—1 I I ■/ IN ■ Il ■!■! lil r I ^ lil II ■■■ I wmmmmmmmm , ,

Cii) Geef voorbeelden van breuken ?

(24) H'ieveel getallen zQn er noodig , 'om een duïdeigic begrip van een
gebroken te hebben? ^

fas) Hoe noemt men die setallen ?

(26> Op welke wtjze warden z'^ gefchreven ?

(27) Geef voorheelden van gebrokens ?

(285 ^^*ï verdaat men door de gemeene maat van twee gel|jkflacbtige
grootheden ?

(ffo) Helder dit door jïen voorbeeld op ?

£30) Hoe wordt de reden of de betrekking van twee gsigkflaqhtiget
grootheden uitgedrukt?

(31) Geef hier van eens voorbeelden ?

C32) Hoe'is hetlilérmede Relegen, wanneer ééne der vergeleken wor-
dende grootbeden een evenmatig deel van de anders is ?
(33) Geef een voprbeeld f

CIJFER KUNST. ï HOOFDD* IX. lbi. j;

114. Gevolg, t De betrekking van twei gelijkpachfige^ groo$*
heden wordt derhahe\ door één cf door twee getallen, uitgê*
^ükt, naarmate ééne dezer grootheden een evenmatig deel van
de andere is, of, naarmate deze twee grootheden eene gemeent
mata hebben. C34)

115. t ^^ 2Mry« nogtans grootheden , die geene Renteene maat
hebben; derzelver betrekking kan niet naauwkeurtg\ waar aU
leen ten naastenbij , in getallen, worden uitgedrukt . (35) •

116 Aanmbrking. Het oogmerk van alle befchou wingen
der grootheden flrekt, om derzelver betrekking te Jeeren ken-
nen. (36) Tot dat einde, worden de twee grootheden, die
men befcbonwt, de ééne door de andere gemeten, C37}

.117. ** Wanneef men meet, is er eene grootheid , die genn»
ten wordt , en eene grot^heid, waarmede men meet ; deze laatfle
wordt dan als maat aangenomen. (38} ^ Meten is de grootheid,,
die gemeten wordt, in de gedachte, in deelcn te verdeelen, elk
gelijk zijnde aan de maat , waarmede men meet , en het g%tal
é^r gelijke deelen te tellen^ (39)

118. , t Js de maat een evenmatig deel van de grootheid, dit
gemeten wordt ; dan mrdt flechts die maat alleen vereischt.
Maar i$ zij een onevenmatig deel; dan zoekt men zulk een
evenmatig deel van Je maat, welke tevens een evenmatig deel
is van de grootheid 1 die gemeten wordt: de verhoudingen van
dit evenmatige deel op de grootheid en op de maat geven dan
éi twee getallen, welke deze betrekking bepalen* (40) Zie ver*
der de XXXVI Les.

119. Omdat het zoeken van de gemeene maat van twe«
grootheden, in elk' geval, te lastig zou zijn, zoo heeft men, tn
de zatnenleving, voor elke foort van grootheden, maten aanw
genomen, dit men wederom in deelen en minderdeeien ver*
deeld heeft. (41)

(l4> Waniieer w<M'dt dan de betrekking van tweegelQkflachtig» grooN
beden door één, wanneer door twee getallen uitgedrukt?

05) Kan diè betrekking wel altyd door getallen worden uitgedrukt?

(16} Welk hoofdöogmerk (telt men zfcb, bQ de befchouwing van twee
grootheden, voor?

(87) Hoe kan raen tot dit oogmerk geraken ?

^5 Wat !»;• b9 het meten van twee grootheden, gegeven?

^) Wat verftaat men door meten ?

(40) Hoeveel gevallen doen zich in dit meten op?

(41) Waartoe dienen det^ maten en gewigteo in de ztmcnUviagl

. D . ■ '^

3? ALLEREERSTE o RoNDfiN de»

120. t J^^^ fndten en éerzeWer verckfiingen kunnen ^ Indien
men geenen regelmatigen zamenhang. tusfchen dezelve in aan*
jncrking wil nem^xiy geheel ^willekeurig genomen worden. (4a)

121. Men heeft tweedèrlei foort van maten en gewigten^
1^. de oude^ en 2**. de nieuwe.

122. De oude, die, in den onderlingen zamenhang, gebrek»
kig, in het gebruik moeijelijk, en, in de berekeningen vooral,
zeer^omflachtig zijn, zijn de Volgende. |

a) Lengtematen 9 ten gebruike van alle ' Man ufac luren, zjn alle
foorten van Ellen ^ die in halve, vierde, achtile, zestiende en
ïwee-en-dertigfte deel en verdeeld worden.

*) Lengtematen , yoor affianden en afmetingen van gékouw€n9
restingen , huizen , waterwerken , enz* De Rijnlandfcbe roede houdt
ia voet, de voet 12 duim, dé duim 12 Hjnen, de lyn 12 punten ; ••
de Jmflerdamfche roede houdt 13 voet, de voet 11 ^Mm , de ditfm
8 ach diens.

\ c) Lengtematen^ yoor zeer ,^roote affianden* Béne Puitrche of
Geographifche mijl van 15 in éénen graad , houdt 1966^ Rljnl. Roe-
^n ; en één uur gaans van co in éénen graad 1474; RUnl. Roedes.

if) Vlaktematen. De vierkante RijnU Roede, houdende 144 |
:vierkance voeten , de vierk. voet 144 vierkante duimen ; de vierkan-
te döim 144 vierkante Ifjnen. — De vierkante ^mfierdamfche Roede
lioudt 169 vierkante voeten, de vierk. voet lai vlerkante duimen,
de vierkante duim 64 vierkante achtfte duimen.

Ó Ligchamelijke maten*- De cubieke RijnU Roede houdc^ 1708
cubieke voeten, de cubieke voet 1728 cubieke dutman, de CMbteke
duim 1728 cubieke lonen; — een fchaft aarde houdt 144 cubieke
Rijnl voeten; — eene cubieke Amfterdamfche voet houdt '1331
tjubieke duijnen, eene cubieke duim 512 cubieke achtfte duimen.
> ƒ) Gewfgten* Het Jmjlerdajnfche pond yfuagwigt wordt ver*

êeeld in 16 oncén,, of in 3a lood; ZQnde ééne once geiük. 2 lood» — « |
[et Hollandfcke Trooisch'gewlgt wordt verdeeld , het pond in twee
mark , het mark in 8 oneen , de once in ao engeTsch j de engelsch
in 82 ftzen. rr Betzelfde Trooiseh gewist , in de Medicijnen en Na^
tuurkunde^ htt Mark in 8 Opeen, de Once iii 8 Draqhmen, de
I)raclime in 3 Scrupels , de Scrupel in 20 Orein ; zijnde een grein
gelijk aan i| Aïen. -^ De edele gefieenten weegt men bj karaten en
areinen; en dan houdt een Mark 24 karaat., een karaat ia grein. —
Het grovere gewist is het Centner of Quintal , dat ico pond houdt.
— Vlas en Hennip wordt gewogen b^ fchippondén tn lijsponden}
'één fchippond houdt 20 lijspond^ één lijspond 15 fond*

i^g) Graanmaien. Te Amflerdam , Edmm , Monnikendam co Pur-
merfnde , houdt één last 17 mudde , de nmdde 4 fchepels f of een
tast 36 zak^ één zak houdt % fchepels ^ één fchepel ^ yierdevêt ^
een vierdevat 8 kop* -r In Hoorn^ Enkhuizen , Naarden en H^eesp
yerdeelt men het last in 22 mudden , da mudde in 2 zak , 4én fche* \

(4a) Welke grootheden kan men voor maten aannemen 1/

CIJFERKüNST. I HÖOFDD. IX. Lfi* 391,

^/ia4 taktls. •» In GroBiag^n Verdeek men liet Uut ia %%juu^
ü»f de mudde in i67pinten*

£ui ïlaring last wordt verdeeld in ia ton, de ton in 4 kinnetjes»

Het zout wordt, bg bet bonderd, berekend* Een honderd zout,
bevit 404 maten^

i) H^ijn ,, Bief en Olijmmatettm E^n vat Franfchs wijtt houdt 4
êhhoüfdcn, een okshoofd 100 meneeUn» — £eo ^ö/w RWnfihé
wijn boudt 4 ankers , een ^rjiik^r 10 ftoop , een )ïoop 2 tngngelen* -^
Een Anker wordt ook verdeeld in s fteekan, een fteekan ia 16
oengeleo, een mengel i« 2 pinten. — Ccn ytit traan toudl.lt ft6|üi.
kin, een fteekan 16 mengelea»

i) Geld ' Jpscien. £.en ^«/i^j» boudt so Huivers, een (lui ver itf
penningen of 8 duiten ; thans wordt de gulden in xoo centen ve^
dedd', en men heeft thans koperen (lukken van heele en halve een*
ten» — De oude en nog gangbare zHvere munttn ztjn : Dabhei^jeê
van 2 ftuiverg, Zesthalven van 5§ Huiver, geJUmpelde en andera
fchelUngen van 6 ftuiv. Acht^ftuiyers Jlukken^ — Goud^guldens of
atht^en^twifttigen van a8 ftuivcrs. Daalders van 30 Huivers, ife**
Undfchê hank Rijksdaalders, en nieuwe (lukken van 50 Huivers f
Balre Rijksdaalders van 25 Hyiv. *vtfr# Rijksdaalders of i)^r-»
tiend^ halven van I2i üuiweT i Zeeuw fcbe^Hifksdaalders van gft ftuiv«t
Htf/y^ Zeeuwen van 26 ftuiv. , Kwart Zeeuwen van ij ftniv* jj#«
jend*halven van 6| ftuiy. Drie^guldens-ftukken van <Jo ftuiv. Z)<'*^
«•jii van 63 ftuiv. — Men vindt ook kroonen , Ao/v^ eu ilwtf r# ^^iiAI
/^^. — De Goi^dTr munten z^a Rijdere van 14 gn|deii; Bujtaten vm
105 ftuiv. G(;»4/# pukken van s en io guldens»^ — /),tf insspeclaé
munten zgn ponden-ylaamsch ^ houdende 20 fchellingen, de UbeiHftf
ia grootea of balve ftuivers. — Oudere en niet meer in wegend»
SltRa% munten 9^n de volgende : een reaal houdt 7 groot , een Jfoav
4ar 5 groot , een kraspenning 10 dniten , een blastk 6 dniten.

k) Èe tijd. Een gewoon jaar boudt 365 dagen , een fcbrikkeljaa»
$66 dagen t één ^/^^ en nagt 24 »r^/i, bet uur 60 minuten^ da
minuut 60 fecunden , de fecunde 60 tertién.

Een zonns'Sirkel is een t^dvak van 28 burgerlQke jaren; een
«M^ff • firil#/ een tijdvak van 19 en eene Indictie een tijdvak van i«
lulke jaren. Bene juliaanfche periode is een tijdvak van 7960 o?
At X lp X 15 jaren ; met het eerfte jaar van elke juliaaokb^ pe«
riode of omloopsttjd y Hemt het eerfte jaar van een* zonne • cirkel , va»

een* maan . cirkel en van Cene indictie overeen. — Het eerde jaar on*
zer jaartelling is bet 4714 van de eerHe juliaanfche periode.

183. Naderhand nullen wy, in, de XXXIIl Les^ gelegeobeid
▼inden, om deze gebrekkige >eB onregelmatige maten en ge-
wigten, met die vttn het nieuwe llelfel te x'crgelijken.

124. Aanmerking. De grootheden worden nu , in hoeveeN
beden der aangenomene maten en gewigcen, uitgedrukt; en,
t in tulk eene uitdrukking^ is de betrekking van die grootheid ^
t$t de groofAeid, welke a/s éénheid of maat voorkomt ^ opgef(h
/«7. <43)

C43) Wat wordt nu met de maten en cewigtea uitgewerkt ?

D a

40 ALLEREERSTE gronden d&r

OvHBLDBRtNG* WanncoNik , bö voorbeeld A^i 3 voeun noem, doet
deze uitdrukking mq akan eenc lengte denken, welke 13 maal de
Jengte van éénen voet inhouden of wel aan eene lengte, welke tot
de lengte, vMi éénen voet ftaat, gelqk 13 tot !• Vergelijk ik 25
guldens en (ïo guldens met elkander; dan denk ik aan twee geldwaar-
den, welke den gulden tot gemeene maat hebben, en tor elkander
lil roden ftaan , als aa tot 60. (44)

X» LES. 0)^er de Deeling (Divifie) rf he$ getallen meteo,

fff h^t algemeen; en de verklaring der zaken ^ welke tot

derzfilver uitvoering en toepasfing modig zijn.

125. Het ïs dik wy Is noodzakelijk, te bepalen: hoevecimaal
ten kleiner getal 3 op een grooter 1$ begrepen zij? (^i) Deze
vraag kan natuqrlijk worden ' opgelost , \jdoor bet kleinere geta^i.
J van het grootere 15, bij herhaling, zoo lang af te trek^ 4
leen, tot dat er niets overblijft; of, dat het overblijvende ge-
^1 te klein is, om er het kleinfle getal nogmaals van te kan-
nen a:fcrekken \ \ zoo veelmaal men dan het kleinere getal vaK
ket grootere heeft afgetrokken , zoo veelmaal zal dan ook nom
Hmrlijk het kleinere in hei grooêere getal begrepen zijn. (a)

ia(S« Wanneer jiogtans de gegevene getallen zeer groot
«ijn, en het kleiiffte (zoo ali kan plaats hebben.) verfcheU
éen. duizenden- of millioenenmalen in het grootfte begrepen
is, wordt deze handelwijze lang en onuit voerlij k. (^) Men
Beeft, in den aard van het talftelfei, eeh middel gevonden, om
zulks beknopter uit te voeren, (4} Die beknoptere bandelwi>
xe is de Deeling, of Divifie, (5) ♦ De DeeUng' is dan die
iunsitbewefking 9 waardoor men^ kotter^ dan door een herhaald
aftrekken , vinden kan : hoe veelmaal een kleiner getal op een
grooter begrepen , 4>f verhouden is ? (6)

157.- + De ileeling bepaalt derhalve de betrekking of rede van
ien grootrr tot een kleiner getal. (7) Men doet hier^ in getat-
ïen hetzelfde, wat men doet, indien men eene grootheid met

C44) Geef hier voorbeelden van?

(i; Welk vraagftuk komt. \n de bebandeiing der getallen veel te pas f

(a) Hoe kan men dit vraajtftuk oplosfcn?

[3) Maar is bel wel mogelijk,, al liJd die handelwgze te volgeat

^4) Bellaac ér eene befinoptere bandelw^ze ?

(5) Hoe noemt men dezelve?

(6) Wat verstaat men dan door de deelioe I r\ci\o
(7; Hoe kan men de deeltng nog anders befchouw^^^^ö^^

l

CIJFERKUNST. I HOOFDD. X. tEi.

me aangenomene -tiaat tfmeet; want, warmeer »en w
ion verdeelt men , in de gedachte , ie grootheid^ die gem
wordt 9 in deete», die eik f in hei bijzonder ^^aan de maat g*
2ijn^ en men telt het aantal der verkregene deekn. Üit
oogpunt moet men ook de deeling ^efchouwen. * De -
ling is dan 9 in den grmd der zake ^ niets anders j dan het «
van een grwter getal door een kleiner* (8)

ta8» "f Gelijk de grootkeden, die men met elkander m
gelijküachtig moeten zijn, zoo ook moeten de getallen^ ^u
verhouding men bepaalt ^ gelijknamig zijn f <f\ als zoodan
miderfteld worden, (p)^ Men kan wel vragen: hoe veelmaa
Toeten in pi voeten begrepen zyn? maar niet: boe veel
13 gulden in pi ellen verhouden zij»? (lo)

lap. • Het getal» dat, in eene Deeling, gemeten wc
noemt men Diridendufft oP Deeltal *^ (ii) het getal, waart
men meet, noemt men Divifor of Z)^^^^,- (ia) cindellj
uitkomst dezer meting, of het getal, dat te kennen g(
hoeveelmaa^ het kleinere getal in het grootere begrepei
noemt men'^het quotus ^ quotiënt oï hoeveelmale. (i3>

epitELDBRiNa. Wanneer men 35 door 5 deelt; dan is 35-ïïe
til, dtt genieten \«ordt, bet dividendum oï deeltal; het gec
waarmede men S5 nseet , de maat , of deèUr\ bec getal ;r, dac
wlfst, boe veelmaal 5 in 35 verhouden is, be: quotiënt. Dit
tie»$ vifst aan : dat het getal 35 heftaat uit j vijftallen , \
ecne lengte , in welke ééne d 7 naai begre^ieii 15 , 7 elUn stoi
memd v/orden.

130» Dfi deeling heeft ook haar bijzonder teeken. ♦
fchrijft tet deeltal boven en den deeler onder, met een ftn
tnsfchen beiden, (even ais een gebroken,) aldus: ^
en dit teeken wordt daö gelezen: 15 gedeeld door 3
eigenlijk het getal 15 gemeten met het getal 3, of <ie vei
ding van 3 op 15-; of eindelijk^ de reden van 15 tot 3.
♦ Men fchrijft ook wel , om eene Deeling uit te drukken ,

OQ Heeft de deeilng ook eenige ovcfecnkoast xmi htt met

frootbeden ?
65 Wat moet, bö de deelIng der getallen, worden aangenomen
UO) Geef bier voorbeelden van?

Ox) Hoe noemt mèn bet ge; ai , dat In de deelina gemeten woi
Cut5 Hoe hei'get*.. waarmede men meet?

(13) Hoe detHtkomsf<<j^zer meting?

(14) Wat i» lift cetkea van de deelii^f' ^ t

Ci^ VU^ iw4^ dit v^\m gete«en r ^g -d by ^oog ie

^% ALLEREER. S TE GRONDENEER

. )

het éeeltal en dan den deeler^met liec teeken (?> tiisfchen- béJ-

4ea; aldus IS : 3. C^O ^

I3T* * Het teeken V = 5 of 1 j : 3 == 5 wordt dan ge-
lezen: 15 gedeeld door ^ is gelijk 5; en verklaard, 3 /y ^p 15
vijfmaal begrepen i de verhouding van 3 op 15 h $; het getal
15 Joor het getal 3 gemeten zijnde , blijkt het y dat 15 eenheden
gelijk zijn aan 5 drietallen, Oz)

1^2. t Wanneer men twee getallen door elkander deelt ;
dan ktn de deeler een evenmatig oï otievenmatig deel van dft
deeltal zijn» (18:) ♦ In het eerde gevai, wordt d^ deeling ge-
f^g^ op te gaan^ en het quotiënt is dan een rond of geheel gè^
tal. (lp) En, in het tweede, blijft er, na de deeling, eene
Eekere rest, en het quotiefit ^alt dan tusfchen twee op elkan*
der volgende' geheele getallen. (20) Wairaeer, bij voorbeeld ,
18 door 5 gedeeld wordt; dan, is het quotiënt grooter dan- 3,
en kleinep dan 4. (21}

13^3' ^^ loatfh' geval verdient eene Brjzondere ovtnveging^
Wanneer men i8 door 5 deelt; dan is het getal 5 de maac,
waarmede het getal 18 gemeten wordt; en deze maat is na-
luurlijk 10= y deelen verdeeld*; nu is 5 in 18 driemaal begre.
pen, en men houdt nog 3 over: elke één vkn het oyerblijvende
getal 3 /> één-vijfde deel van den deelèr of de maat 5: het getal
.3 kün dan als drie-vijfde deelen van den deeJer 5 aangemerkt
Urorden; en men fcfarijft derhalve t

18: 5 = 31^
om d)iarmed^ te kennen te geven: dat, wanneer 18 door 5
gemeten wordt, het getal 18 gelijk is aan drie vijftallen ^ en
driemaal één ^vijfile deel van één vijftal (02) Op dezelfÜfe^
wijze., moeten* de uitdrukkingen

^* =6|i f = 4|; y = 81; W = lo/r
verdaan worden. -J IVdnneer dus de deeler geen evenmatig
deel van het deeltal is; dan heftaat het quotiënt uit de fom van
ten geheel en een gehttoken^ (23.) * en zulk eene uitdrukfci»g
noemt men dan een gemengd of zamengefteld getal.

(16) Welk ander teeken gebruikt men nog Voor de Deeling?
07> Hoe wopdr dt uitdrukking ^ =: 4 gelezen en verklaard?
(18) Hoeveel gevallen zi|n et in deDteling?
09) Hoe Is h«i mei het quótfent , in \^t eerfte gaval » gelegen l
Cao) Eti hoe* in het tweede geval f
(>t) Geef een voerbeeld voor het laat (te geval f
(02) Verklaar m^ het iwccdie geval wat meer omflandfjjdQle
(23) Hoe RMBK men^ eea geta^l du oit de Aioi van eS geheel es
c^ gebrokea helUait

CIJFER KUNST. I. HOOFDD. X. t»s. 4)

i;4. * Eene uitgedrukte deelïng en een gebroken zijn van
fikander , in het wezen der zake , niet onder/cheiden% QZie arC»
110.) Y ^^^ gelezen worden, het quotiënt yan 17 gedèeid dónnr
3, ^ 17 maat één aderde deel; welke uitdrukkingen elkander
verklaren. (24) Eene uitgedrukte deeling is nogtaus gebrui»
kclijker, wanneer, het deeltal grooter dan de deeler zQnde^
de deeling etne <fedelljke ontwikkeling kan ondergaan ; gebro^
ken ' daarentegen , wanneer, de teller kleiner dan de noemer
zijnde, de uitdrukking, door eene dadelijlce deeling, root
gcene verdere ontwikkeling meer vatbaar is. (25)

I35» * De natuurlijke /Overeenkomst tusfchen eene uitgedrukte
deeling en een gebroken maakt , dat er geen eigenlyk orde>*
fcbeid is tusfchen de woorden, deeltal ^ teller en groothei4%
die gemeten wordt ^ en tusfchen de woorden, deekr^ noemer
en maat, (126)

z\ deeltal , teller , getal , lat men meet »
'T dee\er % noemer ^ maat*

136. Bij elke deeling of meting van twee getallen, trebbeo
ie volgende eigenfchappen plaats.

137. ' L \ fTanneer men den deeler zoo veelmaal neemt , als
er eenheden in het quotiënt zijn ; dan wordt het product ga»
lijk aan het deeltal. (27)

DtZQ marheid volgt onmiddeljjk oTt de bepaHng van de deeling,

138. Hier uit volgt, i^ f ^^^ ^^ deeling het tegengeweld
h van de vermenigvuldiging. (21^ 2*. f ^^^> wanneer een ge*
hroken met een getale dat gelijk aan desze^i noemer «, vermc
nigyuldigd wordt , het product gelijk aan den teller mm z^jn.
(29) JXa = i;|X3 = a:fe X 16 = 7 : ^ X
13 = 8, enz. (30)

*39» !!• t ü^f quotiënt eener deeling. verr^ndert niet, *w<^*
neer men het deeltal en den deeler met hetzelfde getcl ver menig*

vuidigt. Ca O

(04) Wit onderfcheid »» et tusfchen eene uitgedrukte deelii^ t»

een f^brokeir?
(95) Welke is nogtans het meest gepaste gebruik van die woordcnt
i,^) Wat volgc uil de gelijkheid der beteekenis van eece nhgedrub*.

te deeling en van een. gebroken?
O7) Welke is de eetfte eigenfcbap van de deeling»
(aSJ Wat votgt btér uit?

(aS}

(20) Wat tl verder ?

fsö> Geif bier van voofbee>den.t * ^ , ^^ noooïp

üi; Welke U de tweede cigcnfch^p der deeling;!"^' '^^^^8^^

14 ALLEREERSTE oRONOS^ND^r»

Vbrklaeimo* Want nemen w8, tot een voorbeeld, y =? |r;
dan wordt door de deel ing het ge;al 15 in drie deel en gcdeejd , die
*elk geiyk 5 z^n*. wanneer men rn , b|f voorbedld, het deeltal 6 maat
reemti dan is (art. Ö5) hqj prodiiet gclfjk aan de fom dezer -^v^
deelen,. elk zesmaal genomen; zesmaal de deeler ia dan op zeamaJkl
bet deettiHnsgelÜk« vjjfmaal benepen. Voor andere getallen en «n»
dere vermenigvuldigers , zal deze eigenfchap insgelijks plaats hebben* C39>

1401; UU f UJt ó^ze tweede eigenfchap^ volgt onmiddeli|k :
dac, wantieer eenig getal een evenmatig deet van het deeliai en
vsn den deeler Is 9 en men den deeler en het deeltal efft^ door dit
evenmatige deel^ deelt , de hmende quotiënten even zoo veelmaal
$p elkander zullen begrepen zijn , ah de deeler op hètdeeUaL (33)

By voorbeeld j^ is een evenmatig deel, van 60 en van xs, en die
evenmatige deel is op. 60 vöftienmaal, en op ia driemaal begrepen f
men zal dan mogen fleHen , rs s 3 r= 60 : 12» (34)

141. Aanmerking, f -P^ gebrekent , van de uitgedrukte dee^
Ungen niet onderfcheiden zijnde ^ bezitten dezelfde eigen/hhappen.
De tweede eigenfchap Cart. I3p), in de gpbnjikelijfce künstter»
men der br.euken^ uitgedrukt, legt i de u'aarde van een geBro^
ken verandert niet^ indien men teller en noemer met hits^élê gt»
tal vermenigvuldigt. (35) Voorbeelden,

Men, kan, behalve het bovenitaande bewjls^ daarvan nof; eeoe an»
dcre reden geven. Het gebroken | beteekent <ff/>w/7«/' ^/ftfi;A/j?^
<r#«f ran het geheel i deelcn wJJ nu één-achtfte deel des geheels ia
drie gelijke deeien ; dan Zalr bet g«heel in 3 X 8 of 24 gelijke deelfn , en
de 3 achtfte deeien in s X 3 of 9 vier«ett»twintigfle deeien verdeeld
zVn , en | is gel^'k /^: maar /z ontdaac, indien men teller en aoe«
'mer vaff f elk met 3 vermenigvuldigt. (36)

141. Gevolg* De derde, eigenfchap der deeling zal , in de
ItUBStterroen der gebrokens, zeggen: f de waarde van een gebny^
ken verandert niei, wanneer^ teller en noemer eenen gemeenén
deeler hebbende^ elk door dènzelven gedeeld worden, (37^

De teller en noemer van het gebroken \\ hebben 4 tot gemeenén
teeier , en deze is op den teller 3 maal , en op den noemer 5 maai
.^erhottdca: lé ia dan gel^k aan | ; want , Indien men tetier en^ noe*

taa) Hoe bewast gï die eigenfebapf
T^^ Wat volgt uit de tweede eigenlèliap?
(34) Hoe bewast men deze?

fsO Heeft ook de tweede eigen rcftap voor óp gebrokem plttttf
C|^) Hoe bewast men zulks, op eene afaonderlUke ii^ef
(37) Hoe wordt de derde eiseordiap der dt^log^ in 4* Utl te g«»
bcokai^^ ttitgpdculLa .

CIJFER KUNST. UHOOFDD. X. lei* 4;

wr van f elk met 4 vermenigvuldigt ; daa verkrjgc men we*
ésm lê* (g8)

143. D^ze iaatfte waarhHd kan pogtans in eene veel uttge»
firektere ruimte genomen worden; 200 als, bij de behtndeliDg
derBreukcD, nader blijken zal»

XL LB& Fèrvolg. Over de eigenlijke bewerking der

\ Deeling,

144. • Een veelvoud van een zeker getal 378 \è het pro»
ducc, dat men verkrijgt, wanneer men dit getal 378 met een
xeker getal, naar welgevallen, vermenigvuldigt, (i) * Zulk
een veelvoud verkrijgt den naam van tweevoud^ drievoud^ zei»
youd^ tienvoudy honderdvoud ^ enz , naar datje getallen ^,3^
d, 10, 10a, enz.y tot vermenigvuldigers gediend hébben, 00
ktt veelvoud te maken. (^2)

145* Stellen wij ons thans de vraag voor: koe menigmaal
het getal 789 van het grootere getal 61586184 kan afgetrokken
verdenf en trachten wi) deze vraag, welke, door een herhaald
aftrekken des deelers, niet, dan met veel moeite, 20a kuiinea
opgdosi; worden, eenvoudiger op te losfen.

146. Om tot ons oogmerk te komen, moeten W4f doen
opnrerken: 1^. f Dat^ indien het mogelijk is^ eenig aanmer»
keiijk groot veelvoud des deelers van het deeltal af te trekken^
daardoor verfcheidene herhaalde aftrekkingen zullen uitjewonnem
worden* (3) 2^. f Dat^ wanneer men^ na verfcheidene vttU
vouden des deelers van het deeltal afgetrokken te hebben^ er
ten laatfle niets ^ of een getal y dat kleiner dan de deeler is,
09erhl/jfty de fom der getallen , die als vermenigvu légers dezer
veelvouden gediend hebben , het gevraagde quotiënt zal zijn. (4)

147. t ^^' quotiënt is natuurlijk een getsï 9 hetwelk, indien het
welgeordend is oirgedrukt , ui f de firn van eenige eenheden y eenige
tientttllen^ eentge honderdtallen y enz,, beftaaty die elk niet hooger
den tot negen geteld worden, (5) fFanneer meu derhalve d€ eerfla
negenvouden der eenheden^ tiintalUn^ honderdtallen , enz., door

b8> Hoe verklaart gQ zulks?

O) Wat verftaat men doc^ een veelvoud?

ca} Welke bgzotNiere namen verkregen de veelvouden?

Ca) Wat moet meu, om tot de deeiing te komen, opmerken f

(4) Wat al meert

(S> Hoe kan men het qaotient eener deeUng atnaerkent ,

-N Digitized by VjOOQ l'C

4^ ALLEREEaSTE oROffosif D9:it

ifermeHigvuldigiag z^nunfiêU^ en daarmede zoo verre voortgaat^
tot dat zij groour dan hei deeltal worden; zoo als men in de yvl*
gende tafel zien kajim

vouclen.

Tien* \H onder d-

souden, \ vouden.

Duizend*

vouden.

Tien-duizend'
vouden»

789 7890 . 7890Q 789000 [ 78900QO

1578 15780 157800 1578000 '1678000a

2367 23670 036700 2367000 23670000

315^ 31560 315600 5156000 31560000

3945 f iM$i> 394500 3945000 39450000
4tU 47340 473400 4734002 47340000
5523 552S0 552300 5523000 5^7^30000

6312 63120 631200 j 03[jfp^000 63120000

7101 71010^ 710100 4 7101000 71010000

dnn zal men , het deeltal met de getallen van deze tafel verge^
lijkende^ niets fi echts zeer groote veelvouden ^ des deelers van het
deeltcl kannen aftrekken; maar zelfs \ door middel van die vsal*
vonden , op de meest regtjireekfche wijze , het quotiënt verkrijgen^
zoo als de 'yolgende ontwikkeling lieren zaU (6)

i4ft« Wanneer men het deeltal 6T586184 met de kokmt der tien»
daizeodvouden vergelekt, siec' men: dac hec groocer dan 5525000^
tn kleiner dan 63120000 is, en b||gevolg tusfcbea 700C0 maal en 8cQ0O
tUMl «2sii dceler inVaU: men uekke dau

▼ao het deeltal 61 5861 84

af 55230000 =3 70000 X 789

biyft .... 6356184 het getal A, |

fen nu heeft men 70000 aftrekkingen tot ééne aftrekkfnjt ^ebr^gt. Men
weet nu; dat het gevraagde quotiënt grooter dan 70000 en kleiner dan
Sfecco isj en men heeft alzoo, als, door eene eerfl e benadering^ twee
grenzeo gevonden, tusfchen weike het quotiënt gele^^en is.

Vergelekt men bet overgeblevene getal A met de kolom der duinndvou»
den , (waüi het is kleiner dan het tien- duizendvoud van den deder^daa
ziet men: dat het groeier dan 6^12000 en kleiner 7 loicco is, en ge-
Yotgelök tasfcbett 8coj vaal en 9000 maal de» deeler invalt. M^
uekke dan •

v«o het getal A =r 6356184

af het gecal 6312000 =s 8000 X 789
blijft oVer • • • 44184 het getal B.

C6) Wat volgt daar uit f

igitizedby Google

CIJFER KUNST. I HOOFDD. XI. ttt. 47

Men beert dto vm lier deeltal 73600 mflal en 8 loo , dst is 7*8600
■tal dea deeler af((ecroi<ken, en noj; bet getfll j) over^^ehoiiden ; eti
neo weet nu , als door eene tweede en meer beperkte benadering t dat
iet quotiënt , grtioter dan 78000 en^ kleiner dan 790CO U*

Men vergel^tce het gecal tt met de kolom der honderdvouden ; dan » d^ar
let kleiner dan één derzelve iSyVergelQke men hetzelve met dekofom
der tienvoaden ; en dan ziet men \ dat het tasfchen 39450 en 47340 of
UBfchen 50 maal en 60 maal den deeler invalt: men trekke dan

van het getal B =r 44184

tf het getal 39450 := 50 X 789

blijft. 4734 het getal C.

Ha éat aftreWni^en, is de deeler 7ooo():maal, Scpo maal en 50 maal,
dat is 78050 maal afgetrokken: bet quotiënt Is nu nader btfkend aetv^or*
dcn; want, men weet nu: dat %et tusfchen 7ZCS0 en 780Ö0 infatt^
eo bet is bjgevolg, tot op eenige éénliedeo na, bekend,"

Vergelekt men cindel^k het getal C met de ho!om der enkeTvou*
4ea; dan vindt men, dat hetselve aao 6 maal bet deelul gei^k is»
Tt^t men derhalve

van het getal C = 4734

af het getal 4734 r= 6 X 7S9
blijft er over, » • o

Bitw heeft dam ^0000 maal Zooomaal 50 maal enó maal den deeler ^
êai is 78056 maal den deeler van het deeltal afgetrokken , eii eindeljllc
sfets overgehduaen , en derhalve daaruit leeren Kennen:^/ het geuti
^ op het getal 61586184 begrepen is^ juist 78056 maal (7),

149, AANMEftKttïo. Deze oplosfmg geeft het eerde voor-
beeld eener benaderings ofhtfing (8). • Waar onder men, in
bet algemeen, verftaat, al_ die foorten van oplosfingen^ waarbij
meity op de eene of andere wijze ^. van flap tot flap ^ nieuwe
en nadere grenzen vindt ^ tusfchen welke de onbekende of^ge*
uehte grootheid moet gelegen zijn^ tot dat men eindelijk die
onbekende grootheid zelye ontdekt en ten naauwkeurtgfle gevon*
den heeft. (9) * De oplosfing der vraagftukken van de Op»
telling. Vermenigvuldiging en Aftrèkking zijn regtdreekfche;
omdat men , zonder eenige beproeving , op eene règtftreekfche
wQze, de onbekende fommen, producten en verfchilien ont-
dekt. (10).

C7> Verklaar mj| : boe men , met behulp van deza tafel , tot bet ^f«
vraagde quotiënt kan komen?

(8) Tot welke foort van oplosfingen kan men deze be werk iog betrekken?

(9) Wat verftaat men door eene benaderings opfosflng ?

(10) Tot welke foorc van bewerkingen befaooren de optelling, afi
trtkkivg, v^iseüigvaidlgang en deeUog?

48 ALLEREERSTE gronden oer

190. Zeer waarfcTignlQk x(a de menfchen, on het vraagftak der
öeeling op te tosfen , vao de }ierhaalde aftrekkins » laogs den weg
der vermenigvuldiging* ut onze voorgaande opiosOng gekomen, en
ïgn z8, door eene nadere overweging, gebragt, tot den volgenden

Aloemëenen regel. !**• Men fchrijye den deeler vooraan^
achter denzelvenhet deeltal^ en^ achter het deeltal ^ eene afm
fcheiding^ om het quotiënt te plaat fen.

«**. Dit gedaan zijnde ^ bezie men^ uit hoeveel cijfers de
deeler heflaat ^ en dan neemt men ^ in het deelt at^ vooraan^
^bij den hoogjlen rang der cijfers te beginnen ^^ even zooveel
cijfert i doch wanneer hei getal ^ daardoor afgezonderd^ kleiner
dam de deeler iSy neemt men bij dit getal nog het volgende cijfer
wt het deeltal.

5^. Ban vrage men: hoe menigmaal U de deeler op dit
afgezonderde gedeelte van het deeltal begrepen ? den dit is aU
tijd minder dan. tienmaal.) Deze verhouding^ bij begrootir^^
gevonden hebbende^ fchfifft men dezelve in de plaats^ welke
yoor het quotiënt beftemd is.

Men moet , -bier en in het vervolg, opmerken t dat, In betdeelenvan
gfootc getaïlen , zeer zelden de deeler volkomen jiï het deeltal begrepen is :

quotiënt. Ku neemt men altijd , in het deelen , het naast kleinere
quotiënt. Men dient ook nog op te merken: dat, wanneer de getallen, di«
men deelt, groot zijn, het alsdan genoeg is, op de voorfte of
boogfte ctJfers der getallen te letten, om alzoo, met behulp derPytba»
gorifche tafel , het hoevaelmale , als b^ begrooting , te vinden.

4<>. Men vermenigvuldige verder den deeler met het al^oo
begrootte quotiënt^ en fchrijve het komende product onder dat
gedeelte des deelt air, dat men {zie tweede gedeelte^ had af^ifi^
zonderd. Gebeurt hel nu: dat dit komende product hetafge^
aonderde deel des deeltak te boven gaat^ blijkt daaruit: dat' men
het quotiënt te groot genomen heeft ^ en alsdan moet men^ voor
hetzelve y een minder getal ft ellen ^ en dan wederom den deeler
met dit mindere getal vermenigvuldigen ; zulks zoolang herhó^
knde^ tot dat het product^ minder dan het afgezonderde ge*
4eelte zijnde , van hetzelve kan afgetrokken wordeh.

5*. Het gevondene product moet^ van het afgezonderde ^h
dnHe des deeltak worden afgetrokken ; en dan behoort men op
hH komende verfchil te letten ^ hetwelk altijd minder dak dê
^ekr moet zijn; wantj indien het grooter dan dezelve is^
blijkt daaruit: dat men het hoevee Imak te klein begroot he^ ^
en hetzelve bijgevolg grooter moet ftellen..'^ Met één woord* -^
Het gemaakte product moet kleiner dan ht rfgezenderde ge^

CgPERKUNST. I HOOFDD. XL lbs, 4p

Mte des deeltak zijn, en het verrchil, dat men^ na de af^
trekking, overhoudt^ kleiner dan de deeler.

6^. Het verfcUl gevonden hebbende^ moet fften, achter het*
vhe het volgende cijfer van het deeltal fchrijven ; en dan ver^
krijgt men ^en getal, dat, als een nieuw afgezonderd gedeelte
iei tkeltals, op dezelfde wij:ie, als het eer/Ie, (zie het 3, 4 ea
5e gedeelte ,) befchowvd en behandeld moet worden. ^

y». Het gebeurt dikwijls: dat, wanneer het volgende cijfer
9m het deeltal achter het laatst verkregene overjchot gefchreven
is het nieuwe gedeelte des deeltals, daaruit ontftaandey kleiner
dan de deeler is* Zoo dikwijls dit plaats mog't hebben , fielt men, in
de plaats van het quotiënt, eene nul; voegt, achter het gezegd
de gedeelte des deeltak f nog Het volgende cijfer van hetzelve,
en werkt ak boven. . » ^ .

8®. Qp deze wijze 9 meer nten , met het deelen^ voortgaan,
tot dat het laat /Ie cijfer van het deelt af , in de op elkander
volgende resten der aftrekkingen, zal opgenomen zijni fchrij*
vende elk nieuw gevonden gedeelte Van het quotiënt, achter
het eerst verkregene. (^il) ^ _ ^. ^ _ ^

De volgende fcheis van bewerking, bevat de toepasfing vaö
dexen regel, in alle deszelfs deelen.

Mea fchrijft, volgens het cerftc gedeelte van den f«gcl,
deel^- I deeltal \ quotiënt

De drie ctrlle cflfers 615 een getal gevende, dat kleïner dan de deekr
780 is neemt men één cijfer meer : het afgezonderde gedeelte is dw
61 ïs Men vraagt: hoeveelmaal 789 öp 6158? Men zou, inden eer-
ftenopUag, misichien denken 8 maaU maar 780 X 8= 6312 prooter
dan 6is8 zKnde, neemt nien^7 maal, en volgt het derde eo vierde ge-
deelte van den regel; dan heeft men het werk aldus 5
deeler\ deeltal \ quotiënt

af 5523 = 7 X 789

^ 6350 overfchot, met het volgende cijfer.
Med ATaagt «n : boeveelmaal is 7Z9 op 635Ö begrepen ? Men begroot
8 maal, en werkt als boven* . , . " ^. ^

deeler deeltal 1 quotiënt

78P I 61580^?^ I 78 •
^ 5523 = 7 X 789

6350 ' '

af 6310 = 8 X 789

44^ overfchot, met het volgende cijferé
(II) Wtlk ia de regel , dien iptn, bQ de dteling , volgen mo^?

50 ALLEÏIEERS TE gronden d»r

Hier h de deeler kleiner dan het deeltal ; men fcfcr^ft dus eehe o
in het quotiënt, en fteli het volgeirde ctTer 8 des deel tal 9 , achter het
overfchof. Men werkt dan verder als 4K>ven, herbaaU dezelfde bewer*
king, tot het einde toe; dan (taan de onderrcbcïdene deelen der ge»
heele uitwerking, in de volgende orde, onder elkander:

deekr\ deeltal '^ Xquaiient
78p \6\sm%4 I 78056
af 5523 = 7X789

. <5350
!ƒ _63ia_= 8 X 78p

tf 394S = 5 ?< 789

, . 473/<

'üf 4734 = g X 78P

o laatfie werfchoU

Deze bewerk ini; is niet onderfcbeideti van de beredeneerde oplos* •
fing , welke in artm 147 , Bladz. 46 en 47 » reeds was voorgedragen.

I5I, Aanmerking. De Deelii^g is, in de iiitvoering, voor
een éerstbeginnend jong menscb, de moeyelijktte van alle tel-
kundige bewerklagen: men kan nogtans, bij het aanwenden
van een weinig oplettenheid eti oefening, in korten t^d, mee
dezelve zeer gemeenzaam worden*

VooRBBBtbBN TOT OEFENING. i<*. Hoefeeimaal is ha ffêtal %
iu het getal 362880 begrepen 9 Hoeveelmaal kan van datzelfde /r^«
tal hef getal 3 afgetrokken Vforden f — Heeveelnmal de getallem

4f S» ^» 7t 8 *»9^ .

ft®. Hoe groot is de verhouding jan het gittal 11 op Mt geuj
407*7583^ — ^^» ^^i gstal ift op 10104^21! — - Van w •>
^«410751 ' — ^«^ ï4 9p 190013281 ♦ — yitn 15 op 75<^0ï053O 7 — i-
f^an 16 op 17892000? — - ran[i7' op n9855i54f — Fan %$ op
174085666? — - ran 19 op 7180437!

$"*. Werkt de volgende deelingen uit ?

Deel 13345»9 ^oor 23 > — 6402665 door Z7^ '^ «««35995 ^oor
f9 f — 429957 '^oor 43 f — 3346035 dffor 47 f '— ,4«77365 d^or
53? — 5130171 door 57? — 46798313$ door 59^"* 5090280 rfoor
6s^ — 5^08^53 door 67% ^' 079603000 door 79 ' — 757l85^37
door 87? — 171684950 door 97 T

4<». ^«f/^li <f^ volgende mltdrukkiagen tot eenvoadige getatUBf

11CO4. 18471. 147^47^ . 66Q6B766 6744^1^ . Iisi98ti4. 67437M6
131 ' 141 * 459, ' .3621 * 6129 ' da04 • 3695 '
Il3ap87g9 111830625, 19044755437$
^ 18471 IC575 I 1385325 *

5». M4ti hêgitrt hit getal 14649811875 vtet Ut gèut 159$ u
meten 7

CIJFERKÜNST. I HOOFDD, XL lb8. J3

6^» Ett eindelijk nog^ de hetrekkiag fa» he$ geul 3904799194^19
Hi het getal ^^984507 te Upalen f

153. Aanmerking* Alhoewel de algemeene regel der
deeliog op alle gevallen coepasfelljk is, kan men nogtans, in
de volgende, het werk aanmerkelyk bekorten,

153. L Regel. Een getal wordt door 10 gedeeld f dêor het
ockerfte cijfer van hetzehe af te fnijden. Het voorfte gedeelte
des deeltak j ter linkerhand , is dan het quotiënt, en het afgt*
fnedene cijfer, ter regterhand, de rest' der deeling; welke of^
gaat f indien dit afgefnedene cijfer eene nuljs. (12) Aldus is

37890 : 10= 378P
«58750 : 10 = j>5875it?, enz. (13)

De reden hier vao Is klaar. Want, volgens art,i%, moet de deeler ;
aoo veelmaal genomen» ais er eenheden in het quotienc zjjn , het deeUat
voortbrengen; nu is (^art* 73» Bladz, 21)3789 X 10 z= 37890 en («srr.
73 en 13Ö) 25375/5 X 10 = 258750 + 6 = 258756. C14)

154. II. Regel. Om dezelfde reden j zal e^ getat ,^oor
100, 1000, xoooo, löoooo^ enz., en, in > hei algemeen, door.
eenigen term v^ de fchaalvan het talftelfü gedeeld worden;
wanneer . men tefpectieifelijk '^ twee , drie , vfer , vijf, enz. ach'
ter fé' cijfers affhijdt; of', in het a^emeen , zooveel cijfers , als
er , in dien term, nullen achter het cijfer één ft aan : /iet
y oor ft e gedeelte van dit afgefnedene getal is dan het quotiënt, en
deszelfi aehterfte gedeelte de rest der deeling. (15^ Voorbeelden.

89735 100 = 8p/^'
_ «7$37« 5 ïopo:= 875^, enzi (lö)

Deze bewerking (leunt; wederom op dezelfde grondeiL Want
%iê9 X 100 = 8900 + 73 = 8978 , enz. (17;

'55* Dit êerfte bijzondere geval geeft aanleiding^ om ook
de deeling te bekorten, wanneer namelijk de deeler met één
of meer nullen eindigt; (18} maar dan moet men eerst dê
volgende grondwaarheid hebben leerén kennen.

flA) Hoe wordt oen getal door 10 gedeeld?

113} Geef hiervan eenigé voorbeelden?

114 > Op- welke gronden Aeiint dese^ bewerking?

115) Hoe wordt een gecal,door 100, 1000, loooo, looooo» pf, door

eenigen term Van :de i>:haal van bet tallleifel, gedeeld?
(16^ Geef hier van voorbeelden?

Op welke gronden fteunc deze bewerking ?^

Waartoe geeft de befchoawing van die geval aanleiding?

M'

/i ALLER££RSTÉóEaffD»N dir

iS6m Algemeen grondbeginsel. Wanneer de deekf ie$
)roduct van twee of meer getallen is; dan zal men het quotiënt^
lp onderfcheidene wijzen^ vinden kunnen: l^. door den gewonen
^egeh ii\ door eerst het deeltal door éénen vart de factoren des
ieelers te deelen^ het komende quQifent door den tweeden faxtor ^
iit tweede quotiënt door den derden^ enz. tot dat men door den
taatften factor gedeeld heeft; als wanneer het aller laat fle quotiem
het begeerde zal zijn; kunnend voorts de^ factoren^ in eent
iHllekeurige rangorde^ genomen worden^ (ïp)

157* Opheldering. By voorbeeld, v^nueer m^n 180915 deop
[Q5 moet deelert ? dan vindt men , voor het quotiënt 1723. Maar dit
)uotient kan ook nog aldus gevonden worden. De deeler 105 Is her
gedurige product der getallen a* 5 c>* 7* -^«^ ^eele dan 1 80915 eerst
!oor den eerden factor $ ; het quotiënt 60305 door den tweeden fjic»
tor 5 ; het tweede quotiënt 12061 door den derden factor' 7 ; dan zal
ïet derde quotiënt 1723 het gevraagde zijn» — Men zal hetzelve
3ok verkrögen, wanneer nien^ in rangorde, door $, 7, 5^ door
ï» a# 7» doors, 7, 3; door 7, 3,5; of door 7» 5 en 3 deelt, (ao)

k59. De reden hiervan is HgtelSk te begf^pen. Wanti indieD
QQsn '180^15 door tos moet deden» e» doel tit ai de^cr elk docms
ieejt; dan verkrjlgt men Xale^^'- 14^X180015:105:=: 60305:35;
Scelt men 6030 en 35 elk door 5 i dan zal ^305 i S5 — l20<Ji :/;
derhalve z^l 180915^x05 =it, 60^05 ; 35 =r lAööi ::7 r=: i^as
<|o. (ai) '

159. Aanmerking. Daar dit ftukswijzc deeïen, wafmeer
de deeler factoren heeft, dikwijïs van zeer groot belang i$^
moeten wij nog aanwijzen: hoe hef zich' zal toèdfagen^ wam
Heer de deeling niet opgaat? '-''■,

■^yr95cn.

1590^

«271^*1

VBRKtARiNCi. '^Stilf dak 2^85^3 do9r- lt$ MO€i ge4,
teeld wordend dan deelt men eerst (zie nevenftaandc
[>cwerkitig) door g f dan Verkr^^t men , voor het eérfle
luoiient, 795078 > «tï* ^erfte quotiënt deele men door
» V dan verkrügc men 15901 gekeolea en de rest ik^
deeling is af «.welke nog door 5 moet gedeeld worden i ,
raen vermenigvuldige deze rest af en den deeler ^,
Elk met drie; dan zal fif!3 = S:i5 = Aifln:
bet tweede quotiënt h alzoo 159017^: en dit quotiënt zal men ook
verkregen , indien men asSsas door j$ deett. £indel$k deelt mea
iiet tweede qtiotient i9^i^'^i»9ir rt dan ■verkHfft-tte» sayi ««.er
bl^fc 4j^ o\'er: deze rest en den deeler vermenigvuldige «en elk
net 15 « dtn verkrögt men 69 : 105 =r y^; (i«0» / ' . .f.

* -' ■ j. ■ . , ^'i

ip) Hoe zal nen het ^notient vinden kuimeo » wanneer de deeler
bet product van twee of meer faccoreti is T -
ao) (rteft eens een voorbeeld?
21) Höe bewJIst men die bewerking?
'2z) Hoe maakt men bet » in dit geval > wanneer de deding niet opgut T

C^P&^ftSiPJ^.SL.'r. I IjtqpFDD. XL tM. 53

. VoóasBBU>Biu J)iil.i7S^'4o^ 7^% pf 9 X ^^ -- Peel 1896795
im $1, (fir^Xii'-^ neet i^io^ió door 60, 0/ 3 X 4 X 5. -*
Dtil 8092557a door I44r <»/' 8 X 3^ X «4 X 4*

lóo. Waoneet pu de deeler met ééne of meer nullen eindigt;
din kan de deelïng, door deze befchouwing, en de toepasling
wn de gevaHen;; io «r/. ISS' «o l54f '^eds verklaard, bekort
worden. (33^

\6u UU (RfCii^ Mènfi^jde van he$ ietïUileyen zooveel pfers
j/, ifls er nuüenf, op hef einde van dein deekr^ roorkomen^ e^
éan éffk mm ket vaiorfip deel dei deeltak door het yoorfle deel des
deekrs: de resf van Aze deeling, te zam^ genomen met di
ekefnfi^^ cijferide^^ltabf geven dan de rest, uit welke de
teler van de breuk f dk een gedeeUe van het quotiënt uitmaakt^
9oet geygrmd worden. {^^

i6a»0p«si.Di^NO* Wanneer das 785119 I15/00 /7851 J I9\5B3iV^
4oor 1500 ukoec g^deeM Worden, fnijdê
m» dr twte mulle» vdn Jen dèeler aj ^
êÉ it P»eé acHnr f é cijfers van het deel'*
tet^ en ,deeie^ 7S5F doiir x%\ men vimlt
^foor het quotiënt 593» en 6 voor de rest
^ deeÜDs* A<:bter deze 6 ftelfe men du
4l^ ifKcfniedeiie c^fors v^s dun is 6ig de
tlgeiUijkerest, die men verkrijgtyWanneer
ma 7851 19 door isoo , op de gewoms
wijze » deelt» Cw ~

163. Pexé bekone manier vm deelea berust op al hetgeen , van-
jn. «53—159^, veiklaard is; want, door de affbQdiflg, deelt meti'
dieler eo deetul door 10 , 100 , 1000^ ^tz. naar dtft men eeóe ,. twee',
Me, «AS. c|ft)«ra afTnQdc; moi deelt (toama de komende quotienteii
op elkander; w^ket zoo als béwese» ia, betrdfde qootient moeteQ',
tewa, «1» of mêft de gegevece geraden selve op elkander gedeeld^

too&BBBLb'BN. Dset 2t^^9^Z ^^^ 5fto' ""^ ^éel 189731^ di)of
^eZr- Deel i^zz ^^^ 3700/ — Deel 139638251 door 709000!^

Andere b^fsoBderbeden de deding bètreS^nde, vindt men, in de*
Wiskundp Lesfen » / Cnfs* Bladahr fg ^ en verif

164, t De dtee^ing Itet tegen oirer de vermem'grttldiging^
gtiyk de aftrekking tegen over def optelling (laat. Men zat
dan 4f deefing Mmcn behoeven 9 door den deeler met het quo*^

(03) Waar toe geeft nn^ deze befcboawfng aanleiding V

tH) Welke is de regtl» die bier moet gevolgd worden ^

w) Helder dien reed , door een voorbeeld o\^t

(Ml Ho» bewtfar g( dtxe beweriung t, rc^f^n\o

(ri'').

>5

SO

SI
45

54 AtLEREER STB o^koii érn^ bi^iH

tij het: '^etskregene pro^Qt op te telkn^ ,C?7i ! ; ^ '

XtU LES» Oyêt het vercïeelen éer gmlTen, tf» &t
ondsffoheii tmfchen de verhoudtogs- .^m5? vet- .

iSj. t ifcft» J&/3W aVcA eè» gegeven gefaf óoS^ voerfieikni, ah
jn ^^/ü afti*^ aantal (hij voorbeeld 1^3) §èMfke' deékn\, y^ifï»
^4i^A/ /tf 21^» « ^ ^^^ hegeren te weténï Üe^el éHHhedmy m
aik dezer- gelijke deekn^ begrepen agf»? J^r) * De oplosfing
"Tan dic vraagduk neemc men:: ^^jf gegeven getal y in een geg^
fven aantal' gelijke deelen^ te verdeelend t^)'

166» OPWiLDBttitNO.. Om t« bepaldü'r W gitH>c 'éfe*'dert!éiiéè^
gedeelte yan hec getai 208 z^ ? merken w4 aant. dut één* dertUndm
jfsdeeltïï yan dertien iénhedetk éine éénheid h^ én dat er gevoigèf»
Ufk Zooveel -eenheden in één^dettUnde gedeelte Vmt Int getal noS^-
zullen begrepen: zijn .t alt het mogeliitis^ dertien éékheden^vanülH^
dénkeden af U: trekken t^ maae dit laatHe wosdt gevomiten» ^noooof
men het geg^vene gatal. 20a met liet g9Kal. 15 meet of «deieU : de«B
•bewerking leert*, dat; i^ in. 20S juitP t6 maal begrepen Jt ;jui mea
:^nuit derhalvci hi^miti dAt éin'^ dertiende deel van aaO^ geUik Ir
>ww tö. (3) . ,

ii5f.. Men kan ztch d&.opfbsfliia van dft VfttgfHik^ op ecnt mtct
Seanaeiyke wilze» begrg'pel|jk maken. Stelt dat er^oS guldene mmr
t€ne op tafel liggen^ en y onder dertien perfenen geliikeHjk meeten
ty^t^deeld vtorden: wanneer nu. dose.^ pepfbsen niet lejent /chrQv^Q»
jioch tellen kunnon, zoo ziillen« zi}, cïch.nogMna «klas oediea Ikh^i»
jtten*. Bik neme^ op zQne benre^ éétien gnldon van. denr boop : i>. wMr
OEond geveett; dan zal elk éénen gnidem jrer^negen hebben^-^en dfi
\4ffièeele.' hoop zal met: JS . guldens . vermindetsd zifp* tiomtn. ftft jHii
njttjdtty elk», op bMnnebeuDt, Sénen gulden van den boott; dam Kltf
.•tk twee guldena verkregen liebben> en: de hoop 2al mee cweeioaal. i^
jguïdens verminderd z|fn ^ enz* 9, enz.

Nu is het kUtr: dat ' wanneer zQ ,, dp dézé^Qte', tnet verdèèleti.

>H>OKgjHinvde 908 gnldens', onder die' dertien perfbnen, eintfel^k'ge»

Heel sullen verdeeld zffn, ea^dat elk de^ eert ien per fonm zoovéél

j^dent zal verkregen hebben^ ale ked magellfk: is 13 gitldent irmtet

j^aö^ guldens af te nemen* (4X • •/ ' .

•uwiiM muil mt II m^mÊmtêmmmmÊ^mmémmÊmiÊmimmitmmÈmmtmmmmmmÊmmmmÊtta^^mtr

^fSfX W)fr kan men de beweflting der deelftialjeproeveftr • * "*
^^ Welk voornaam, vnagiluk. kan. men zidi in de EekenkoH^t
ftellen? ,

» Hoe niMtor men^ d«' oplosfing van dfr vraag

3) Op welkQ>w]}ze kah men deze vrtag oplos

4P Kan* meii> deze op los Gng' ook* nog, op* eene

doos een: gemeouainL vaorbe^ ^ vc^klac eai

'<*> Hoe noator men^ dtt- oplosfing van dfr vraagftnk?'

43) Op welkQ>w]}ze kah men deze vrtag oplosfen r

%^ Kan* meiiv deze op los Gng' ook* nog, op- eene meer ilin|e)t^9 W{JM^

/ dio; door de ië^^^Y^i^toarde bewerking 4er deeMog,; cpge-
lost; itkHifftt€kf^menfbiff$erkaUngi zooveêi eenheden'^ v»n^ke$
gegevtne g£tai af^ ah er gelijke of evenmatige deeiin in hét gé»
Hvene getal enderfteld worden^ datt zat het qutient leererkp mt
bêeveel eenheden eik deel Zift moe^e» bcfiaan (^Sli ' ^

l6> Aanmerking, io hec voorbeeld , dsü- w^) zoö even
^^omenicbi^her^ g«t im deelh^ :opc». en eHc dod vaü hec
verdeelde getal: iKüiar ^ismom^x, eest ^g€teel of: roed^^gtcat
ify&k^óexïi,maar^yMnneer 4e -deeHng^ niet 4(^aat; gelijk ^ i^^m-
veer het getal s<So in 9 gelijke deeUn maet^ verdeel^ worden'^ ystw
tal me» aldus redeneten: 9 is in i6a begrepen 17 maal, eo er
blijfc 42og 7 over; dac v&^ men beeft 16a = 9 x 17 4* 7 )^
na is éé»-Qegende gedeelte van 9 X 17 gelijk ij\ éétwnegeO'
de van de éédieid is ^; gevolgel^k één-qegende deel vaQ 7
ééobedeo 7 maaV^; dac is §; en daaruit l)efldlc men da^: da^
4é04)€^eiide vao. i^k>. geöjk Ja .aan. ,175* (6> ; . ; / ,•

%jo^ ALGEKtEENt GR0NP9£0«L. , ^^e hewerBng èst deeffng,
,hsê dam tméonder/chdde;ne vragen ^X^ \ .- , f ;

1^. Bepaalt zii£ Jtei^elmaaLgep-Jji^ter .getai §3 {p S^««r
groeter getal ao8 begrepen zij? De uitkomst zegt 16 maaL\^^

. ^^ £6fe grp0t e^ ^^enif^ig- .de4 zal zijn ^ indien m ge*
Jkel^ d^ is 9 bet deeltal ao^ 9 in zoovsel gelijke aeelen, verdeeld
WQt^f als er eenheden in den deeler 13 begrepen zijn f (93

^Zl5 ^ Wft:«)!Kierf9b^iden^ io lietvetypig,, d^ oplosfing
dezer 'twee vragen^ welke door^^dezelftjê wei;ktuigelijkfi -tx^
werkii^ volbragt worden, de eerde, door de benaming van ver*
heudingt'^vifie^^ ej^ 4^ tjweede door die van verdeeUngSi^

divi/ie. ^to) '' - ^' ^';'; .." ;*/■ ^ "*• ^ ^

i72« Deze tvtee fioften van deetingen^ of van maniaren^ om.
de deeBng te befjflmifen^ fiaan , effchoon in elke eene dadelijke
verde^ng 'plaats heeft f in uket ip^gt^ re^hregt \egen oves^
eXk/tMdêJTm. • - « -'t

■ . -j: >■-*< . f. -. . ■ . . ■ .,.. .: ;■; , ,

• ' - ''■ ^ ■'"''.'. .i •!

Ift) Doop «alke bawukiiig worde ^ott^-^f^fM^ v^lbragc » i
IQ Hoe moet mfin de uitkomit der yerdeeiüf veckl«reii^.tng^iVidl9
de deeling niet opgaat %
Ooeyeet ^aagftrtBiieÉ-toiC-gfttt bfcwuklin^ det deeiiflg>^» >
Welk ia bet eerftet
>) WeUft ia btt'tviedle? ^

}t^ Oo(tt «4ke l^coaniiigeQ «Mm» desr tragffi ottdcKftfcafekP^i

E*

ï

t B9 ée êerfie^ is ki$4^fil^ tetmem ^T^^iknfgfgeê
9en; ep^ men onderzoekf: ^ ék ée^i eretma$ig iif O(mmni0i($
^f dat is 9 w^lkfi nmm /nOn kefzetye timtg/fgiyen wonimf
»&[§• art* 107. ^

JDiJ ds tweech^ U ket giheel^ bemvem ht aantal ihr ge*
Ujke of evenmatige deekn^ gegfiyen^ eti men ü/iderzeek$: Aea
gr09t eOi^ deel zijl ^^ :\'

. .Oi wei^ DÊ EBRSTB.BQFAAI.sr OS :»9EyEIS.BftlD p V» Qf^

- in ieide hewerk&tgèfi ^ ^éfdèelt men. Bij de eeirfflk in geHjke
xkeleni welker gnjótè ; en ^iij de tweede j in gelijke deelen^ weh
'kraatÉtargegeyenis. Dé oaam vèh deeh'ng (^öf yerdeeUng^ h
dan^io beide opzigteny ztet gepïHC, om de bedoeling der vef-
kteardë bewerking, in beidip ge'/tWen, üfe te drnkkeb: (11)

iTooRBBBLBBtrv i^« Fcrdeel htt getêt 4^822^66 in %6it gelijke
WèeleAf '•' • ••■' ^' -• \ ■•

«<>• Hos groot l#. het (ilfi*k$niihrd^viff!mti^ttejffê»tigp9 • ^eei-x imn

^^. ' intk ecH gedeelte tt het getal 95 yan het getal 17 10760 F ,
4«. Men hegeert hitt. gelat ^5^75*0 in^ collectieye'ééMéden , elk
i^m Bs t^mitieve Mtheden^ itiits drakhen ?. v.

"XIII. LES, Tt^pasfing en geMtk roHdéfcrheitdingt^
en verdeelings^Biyifiem

173, De verhövdio^-pïWfie ^seA op veleufci tóonen-vui
txaa^utóëh worden toe^e^t. . i-r'.

A* Op de Ikrlèiding van Deeleh én Mütderdejelen
iot Geheehu

\ \ ' ■ , ' ' • . "' , .: .1

, U YuAAOSTUir. Bee zal ie geUvêoHi pan: ^ol^g ^emUn^gen 1»
fuiyefs WÓr4em aitgedfëkif

VBBKLAaiMo» Omdtt 16 peno« éénen ' fluiver maken» ztf' nmi
Yoor hecg^evenegetal penningen zooTeel ftuiveff kannen Inwiafó*
TRfBJ' fis liei niogeljk i* ip panniMgapi win ■•iielve «f te namau:
Bttardit taatftè wordt gevonden, wanneer men het gegevene g^tat van
098079 pentflage»met tO d^eii m ni»e|}:/dit,<lQa«Mlt». ||i»'Viii$lQ ifnaii
iRfgaflalvkcn-^^^eiiné-. ^ .

mn .11 1^ III II I i.-.'i Ji ■! j I ^ ■■ I ^rmb^$mi^mmÊmmmÊmmmmmmmmm0tt

01) OmfdirVf eens nader ^ waarin dese «wee l9eweikiflg.Qa Mdei*

I. Men hegUT\ te herleiden f ' • .

ay 7^7^/67 ft uiyersuft GttUentm , . . .

ft 809638 ftuiverj tot Goud-guldens , «ƒ Mht^en^tivintigei^
^ 179638P y?«/vJ fö^ Daaldersè
d) 3096S275 )?(y/y. ^0^ Z« RijkTdaaideru
4 2S78c<^ J?«i>. JOiP Rljktdaalderu

f) 1787906 ftuhers tot jiukatons^

g) 8c 9638 fiuiyers tot Dukaten»

8* ikfei» begeert het getahyan 8709639x1 p/fnningen te herleiden taè
Culdens , tot C oud- guldens , tot Daalders ^ Rijksdaalders f Z. Rijks^

O. ff^< 'getal yan 3096361S7. tfjz*» tof tengels^ qnce» isti mfken ;
fioUftifdsch Troolschg r< herleiden 9

7. /f^ ^^/ö/ ytf» 80i259a3i 5^rtf«f^ tot fcrupeU ^Jra^bmet , oncem
en marken , medicinaal gewigc ^ te herleiden f ' .

«• Eene lengte van 8901259675 lijnen tot duimen , yoetéM c$ *oed€m
X]folafidscli te hrengen?

9. Eene lengte van 3801709(11 achtfte Amfterdamfdie 4wUn H
herleiden tot duimen , voeten en roeden, f

' 10. Eene i>ppery lakte y^i? 18906380753 yierkam^ ^Ijnltodfche iduti^
men te herleiden tot yierkante R^nlandfche yoettn eo rhtk^MU
ILtiiltirdrctié roedené ' • . ' *

11. Maar zoo die yierkante duimen Amftefdamfcbe yierkams du^U
menwUren; hóèyeel yierkante Amltelrdamrehe yoetcn en roeden xovn
ien die dan bedragen f j. ^ ,

12. Zekere' Hgchdmelifke inhoud houdt 30870963^1 cuhlekè RWü
landfcfae duimen i men begeert dienzelfden tnhoud , i» cuhiekê St^Qü
lliidicbe voeten en roeden % uit te drukken?

13. Maar 9 waré/teer dit laat f e getal eubieke Amftcrdamfche ^«**
men waren; hoe zou men dan dien inhoud ^ in cubieka Amft* yoetcn M
roeden , uitdrukken f : . .. . •. . ' ^

H*Men begeert to^Z fekefett; Amftcrdamfclie jffdr^f *M^ t^t
takken te herleiden t - . . •

15* Hetzelfde getal fplnten ^Crt^Xtk^foht graanmaat ^ t^f tas(fn$

f6. Het getal van 8096896 ionden gewigts tot fchipponden» ' .

17* Hoe brengt men' eenen^ tijd yên 169680964 mwutfUi %ff ftU9\
^ette» iar en yan^^ dagend ,^

B, Op andere foorten van PraOiflukkem

18; Indien h(ft pppery(ak yan on^e Aarde 9292183 vierkante' i>uh4
fche mijlen bevat , en de uitgeftrekthetd yan het yoortnalige^ Ftdttfche '
j^izerrijk, -:too als het , voor A<'.-i8i3, begrensd ims^, i%itS zulke vièt^
^nte mijlen oppervlak heeft} welk een gedeelte bevat dan dit Rijk
«i« ket oppervlak der Aarde? Aniw. Me^ï datf ééa»zevenliondeta
•iWe ea minder dan één • zfivén-bonderd*4C5de deel.

i^ En f zoo het oppervlak der bewoonde' fanden op aogZ^o^ vf^kante
pijlen gerekend wordt; welk een gedeelte maakt dan het voormalige
'renfcbe Keizerrijk daarvan uit ? fLntyJv. Meer dart é^n-hondeölrtiei
S^ea^lfftigfte.mx lAinAer.daa ééawhondefd«^»zei$tigfte deiit» '

%i A LLE RS£JEIS TB OR^oin) Bür 0ft a ..

30* En welk een gedeelte ma alt e hei fwrmalifê QêmeeaPeHst Mr
Vereent0de Nederlanden^ da f opM^ fierkantt mtjUn begroot yferd^
yan iê bewoonde landen f

8Z« Om zich een denkbeeld te maken yan de bekortlt^ der herhaaU
de aftrekking ^ door middel der deeling ^ (zie art* 145^ zoo nems
men het voorbeeld^ aldaar opgegeven; indien men nu het ft^otlent
zocht 9 door telkens den deeler ^89 af te trekken en tot vier zulke
af trekkingen ێne minuut tij ds vereischt wordt: hoeveel tij ds zou
men dan noodig hebben ^ om het quotiant t door een herhaald, aftrekm
ken^ te vinden?

* 83. Tot welk eene diepte^ moet een regenbak ^ die 16 en iB voeten^

in het vierkant , wijdte heeft ^ gemaakt worden , om 1560 cubieke

yoeten waters te kunnen Inhouden f -^ en hoe di^p zal hij moeten

'Zijn , om i<kK> -ton waters $ de ton tegen 6 cubi^ voeten gerekend ,

te kunnen bevattend , . ,^

ft3» 'ffèeyeel beomen hééft men noodig 9 gm eenenwegfdieaif^
RtJnlandlcbe roeden lang is ^ aan heide zijden^ met dezelve $é \e*
planten^ wanneer zij iQ voeten yan elkander afflaan'i ' '

84* IPanneer men aanneemt 9 dat een man t4 paard ^ op eenfu
draf ¥tjdende ^ 53 ktfalandfche roeden wegs ^ in ééne minuut ^ af ^
legt t in hoeveel tifds zal hij dan van Amfterdam naar Haarlj^m
kunnen rijden ^ *^anneer die affisnd.op 40^90 zulke roeden gefield

' wtordt ? , : ...

fl5« Indien een werkbaas *s wekelij lts 135 gyJde^s^ noodig keefè^
hm zifn werkvolk w betalen ; hoelang zal dan e^me fom yan 8750
guldens ^' welke hij In kas heeft ^ ter befirifdingyan die wekeiyjt*
fchfi uitgave 9 ]l rekken kunnend ,

s6.' Een flraaimaker heeft zooveel yolks in het weri^ dat hij da^
gelïfks IJ vierkante roeden befiraten kan i hoeveel tijds zal hif dqn
noodig hébhen ^ om eenen ff raatweg » die X4 voeten breed sn 617 roe*
'denlangisytebejlraieni
' 27. De relatieve bevolking yan oen Rijk wordt bepaald door ktê
aantal menfchen , hetwelk , op eene vierkante mijl ^ gevonden ,wprdi ,
> welke ^fs' dan dé r^latleiye be^l^lng, man het Franfehe Keisferrtjk^
yan den voormaligen Kerkelijken Staat , en van het JCpninkrijk öMr
fand , ^te rekenen naUr de opg0yenf welke ht he$ \ Vraagft» BrUdz.- 15.
yoorkomenf

>■'■ «ft* IHt de metingen yatti^écHhW en diLambub » is gebleken i
dat één^vierde^van den middag s^ cirkel der. ^nfito 5130740 ]^r4nj€^a
tol fes ^ dat ist 2654380 echte Rijnlandfehe Roede» lang is; indien
nu die vierde middagS'CitkelJn^o graden; elke graad in 15 £>uit*
fche of Geographifche ^ as Franfehe mijlen ^ flO Holland fchê urem
jgaans verdeeld wordt i .hoeveel toi fes ^ en Rijnlandfehe Roeden be*
yat dan zulk iéne Duit fche mijl , de Franfehe mijl % en Un Hoilandsch
uur gaans 7 >

t9* Het eer JI9 jaat onzer jaartelling washet4ft/i,*van da fitm
tjaanfehe periode , welke 7x0 jaren voor de fehepplng begonnen it^l
hoeveel zonneclrkels ^ maancirkels en indietien zifn er dan\ in d^u
jare iZa$ onzer jaartelling ^ verhopen ^ en de hoeveel f e Jaren fané$ê
toepende cirkels Jlemmen met dit jaar overeen 1 Zia Sterrék* Aard^

174.' Óe verdeelings-divifie «(>«» Si W^lp^Gog vao 4e
volgende vrngen, gebruikt wordeo.

CifJFERKlJMST- ï HOOFD D. XIII. Ltf, 5^

13 ^looG/. /7öG/.i«/.7/f^

9*
78

12 gU
flO

1$

104 -

6JK

I. VooHBEETo. ÈetM^ /om van
1000 güldent moet onder 13 perfonen
hlijkelifk verdeeld wórden f men
Hireert té herekenen : h&e groor ei^s
êandeel zij f

' Vbrrlaring. Men deelt eerst dé
1000 gulden», 2iè nevenftflande J>e«
i(«rkin5, in 13 geHJlte deden; dan
verkrögr men , vóoir felfe deel , 76 gul
dens, en men houdt nog ia guldens
óver, welke, ondet de 13 perfonen,
B)oeten verdeeld worden. Men her-
leidt deze 12 guldens tot ftuivèrs
(«ie art. 79) en vindt: dtt'derclve
A40 ftuivers bedragen. Deze 940 (lui
ircirs deelt men iu 13 gelj^e doeken,
ea vindt, voor elk deer, 18 ihiivers^
ep dtn blUvcn er nog 6 ftuivers,
irelke nog in 13 gel^ke deelen teoe-
ten verdeeld worden. De överbtö-

feide ftuivers herleidt mttï tot pen- .

ningen , en vindt dezelve waard te «tfn 96 penningen , welke insjje*
laks nog onder de 13 perfonen moeten verdeeld worden: men vindt
voor dks deel 7 penningen en houdt 5 penningeii ever, waarvan één-
fiertiende dee? C-ïe art, 156) A pen», bedraagt. Elks- aandeel is 4er.
balve 76 guldens it ftuivers 7^ penn.

«• . Voor b r b l d. Mene f om
yan 5768 guldens 19 liu'iv.
en 8 penn, moet onder 2$ per*
fomn i^elijkelijk verdeeld vror^
den; men yradgt 's' hoeveel
elke tutndcü bedraagt f

Verklaring. Deze vraag
wordt , op dezelfde wfjze , als
de ee^fte opgelost I raetditoa*
tefcbeid , dat, wanneer, men
de rest der guldens , dat is , de
t8 gU, welke, bfi de eerfte
▼crdeéling, ov«rbl8ten, lot
ftDivers herleidt , de 10 ftutv
»ers (zie 13 vraagt* Bladz.
fl6) onder het vermenigvuldl*
gen» b9 het. pfodnct telt, en
ookalzoo» op dezelfde w$ze ,
b| de herleiding van de. rest
der ftuivecs tot pendingen , te
werk gaat.

as {5?ö8^^. 19 A M- {«8o#/. 15 A ««!►•

50

76'

75

28 ^r.

**-flO ^

379 y?«"^*

*5

W5

' 4y?»/y.

——16

7a ^ii«#
50 .,

92 pen* de rest*

3. Hoeveel Man iemand , ifitf , n, ■■■ *■ ■

•4Mi iaarlüitt inlöbmen yam su^oo guldens heeft , *s wekelijks en dagelijkê

yertsren t iBetfaa'r op 5a v^*^« ^» ^* ^^2^* ^Pf ^f^^*^ rekenendeA

4. »tf groot is één-negen twintigft gedeelte yan^ewn^^ft^.
iiérig Rqmadfifm roeden 7 *ö^* " ^'^ *^ » ^^^'^'^ groot tst

«o ALLEREERSTE órond^h p%%

■ ft« Eèn» 'lengte -^an Socjl An^Jleriamfche roUtn f fOêtsn ft dulmm.
U lOo gelifke detlen te yefdeelen? , , , ■ .

6. £^» weg y die 2030 Ronlandfche f»^i^i» /<i«/? /ƒ , «0^ ot^/ T^'a^^
Iwmenheplant worden rhae ver moeien dezen van elkander afffaant

r» Wanneer men rekent , dat. *s jaarlijks éin-drie*en*dertisfle deel^
ter levende menfchen fterven: hoeveel menfch^ fl^rven dan , ket
eene jaaf door het andere' gerekend :, in Amjlerdam, deszelfs hevoU
itlng cfp aaoooo menfchen pellende f ^ ,

£ Wanneer men rekent , dat er 1000 milltaenen menfche^ te gellfk
ép Aarde leven ^ en daarvan ^Sfaarlijkf,het ddn^drle^en'd^rtlgjfe gmm
Üeelte fierven: hoeveel fterven er dan dagelijks^ in elk uur^ in
elke minuut n^nin elke fecunde 9 . .

o. Eene arméé moet eenen marseh van t$o mijlen tn 19 dagen voU
ircngen : hoeveel mijlem moet :^ij ttff dat einde dagelijks marcker^m 9,

w Wanneer 9 in eene vestikg^ een voorraad van 22000 pêm^e»
hrood en 0000 ponden vleeseh , gedurende s6 dagen , onder 750 man-^
fchappen flrekken moeet hoevéél Man men dan van elk dezer viyres
daeelijks aan eiken man-uitdeéienl

II. Iemand heeft een ftuk linnen^ dat 53 ellen lang is ^ voor^ygul^
§ems 16 fiuiyèrs gekocht 9 en begeert te weten s hoeveel hem de el kost t

iftw Een koopman heeft in zijn pakhais ^819 ponden fuiker opfrefla-
W« welke partij 9 de kosten daar onder gerekeftd^ hem op 12%^ g ui*
dems komt te ftaan f men vraagt f hoeveel ftuivers hem het pond koss ?

1». Maar 9 hoe duur zal hifi net pond moeten verkoopcn^ om édmm
achVfle ♦ op de geheele fom , te .winnen ?

-/ £tf»# fom van 600 guldens moetender tyjong^ns en l^ meisje t
uetUeeU vcfrden ; \de é^ne helft, onder de u jongens , de andere, hetft
onder de n tneisfer: hoeveel verkrijgt aan elke jonge en elk meisje
voor zijn aandeel ?

XIV. LES. Toepailing 9an de Vefme^igvuldiglng en

Deeling op de Herleiding onzer gangbare Muntfpecitn

tot Guldent ^^fiMp andere Praagjiukken.

i75t In de Noordelijke Gewesten van het Konlngtffk der
Nederlanden y werden, voor dezen-, alle rekeningen in Guldens^
fiuivert en penningen opgemaakt; thans echter rekent men hi
Guldens en cenu ; de betalicgen gefchieden nogtans in al dï«
mmjtfpecien, welke wij, Bladz. 39, Letter ij hebben- leerwi
kennen. Het is van belang, dat men deze tiiuntf^ecien gei
mokkeHjk tot de algemeene. hoofdmunt; dat is, tot galdens,
wete te herleiden.

176. A* Een gegeven getal penningen wordt tot ftuiven kerm
leidy wanneer men hetzelve met 16 penningen deelt óf m^eu
<zie l FraagH. XUÏ Leu^ (O v

\f*j. B. Men herleidt een getal duiten tot ftuiyertf
dit getal met 8 duiten deelt of meet. (a)

Ml. • I ■ M U|UuOO.gl ■ I

* Cl) Hoe herleidt inen pemiinpen tot ftuivcral
(a) Hoe tokidt men duiten toe ftuivoriY

CIJFERKUNST. I HOQFDD. XIV/tEi. 4i

178 C- M^ èer/eidl fiufvers M gukkni, wètmtet men het
lt§eyen€ getal ftuirers met ao fiuivert deeU of meet^ (3)

putvèts 178097 (3 ,.- -

20) —

guldens ^o^Z iz fint f er»*

175). D- Dubbelt jes worden tot guldens herleid^ wantfeer men
éeuhe met 10 duhbeltjn deeit of meet* (zie are. 153) 1^4)
78095 dubheltjet rr 7809 gU ia ftuïy.
Men (htfcle liet achterfte' cSfer 6 af; aldus 7809 | i\ dan'fj tiec^
vooKte d«el 7809 her quocHnt , bat achter (Ie deel 6 de réSt der dde^
liiig» De2^6 of reit der deeltng: i^ dubbelcjes» weltct^, wtnnoec
mcQ dezelve met a vermenigvuld'gc , ia ftuivers worden*

700 dubbeltjes =: 90 guldens - ^ ^
8907 dubbeltjes = 890 guldens 14 ftufv«

i8o» E» Schellingen, die 6 Huivers waarde hebben, wordefl
ildus tot guldens herleid. Men herleide eerzt het gegevene ge*
uU fehelltngen , door hetzelve met 6 te vermenigvuldigen , tot
fuivers ; de ftuivers , door met 20 te deélen , tot^ guldens. Of
korters men herleidt de fchellingen , door- met 3-^ vermenigvul* ^
é'gen tot dubbelt f es; de dubbeltjes f door met ïó:,te dedlen, toi
guldens. Cs) Aldus: * ^ : .' 1

Berfte hewerklngm Tweede hewerking.

789637 fchelU 7^9^Z7 fihelU

6 3

■ y ' i

47378a 1 a/>tf/^# ^. 236891 11 ifW^Wj/i^.

— ' — fc • . ia ftuhêrtm .

«8)^291 gl* a/tm . . \ ,. ,, :. :. ^

i^i* F, Om zesthatven toe gbldens t« herleiden >^mo rede*
nere tnen aklus. Een zesthalf bevat si fiuivers^ dat^ is^ 1 1-
halve ftuivers , of grOoten , en een gulden bevat 40 halve fttH^
rers^ of grooten; -men lierleidt dan^ door mef \\ ie vér menige
Yuldigen^ deze zest halven, tot grooten^ en de ko^^ende grooten^
door met 40 tè deelen^ ta guldens. Of; men neme zooveel
maal vii f ftuivers^ oIt er -zest halven gegeven zijn^ en %og ZO0
veel halve Jiuivers, als zesf halven; en^herUlde. deze.fitn^an
jhthers^ volgens aru ni, fot guldemi (6) - •'

tg) Hoe berleldt mea Huivers tot guldens f ^ ^

CÖ Hèe herleidt otn dubbeltjes tot galjêniisf ^\ ■ T . ' \

ÉO Hoe worden fchellingèn tot guldens herlddft ' ^^ ""

W Hoe ïWddt aea zesthalven tot -guldens t • ^- — ; ^ "*-

■JP* . • Digitizedby GOOgl •: f\.

6% ALL^'Ë RE ER JTE o n o n 6 b w dbr

40I

86861 1 5 grooten
óf^fiuh. % pen»»

Ti»eede tfemrkiig.
78965 *^//*i
5i

. 394825 //tf/y.

io)

43430 1 f A. 8 />tfW.

M715 ^/. 7 A. 8 />tfif/».
l8ft. Aai^merkinq^ Mén zal, het voorfchrift eo ^e ver-
flaring dezer laatfte herleldipg volgende, ;zieh gemafckeijfk wn
de twee, volgende herleidingen eene voldoende' reden kunöeo

geven. - • . .. i • ,

183. G. Om flukken van '(^ duivers of 13 grooten, dat is
xevendhalven tpt^^uTdens te herjeiden^ werke men^ op eeoê
dezer tv^rée manieren: (f) ^

Eerfle hèwerking.
^3^*9 zeyendh*
•iii4é7- '

¥ï

Tweede hewerklpg.
738 19 zevend h»

* I 1 1 " ■ '

• 36909 ffuiy, 8 p^»^

•o)

45^a 1 3 //« h'. 8 />eiw».

»399I ^^. 3 A. 8 pen».
184», 'Ift'Ofiii dertiendhalven, of (lukken van 1 wj ttifivers »
of «5 grooten, tot guldens te herleiden, werke men,«i dem
geest der twee voorgaande gevallen ^ aldus: (8>

;♦*

Mèrfle hewerkiagi '
j^H' dei^U)»dh. \
as

«048405
'•1930a "^

I IIÉIÉI

to^aoÈÏ $ grü9tén

iSfi^ gU IA ftr 8 .pa.

Itweed^ hiWeHifir, - '.
409681 é^Hendk»

819361
' 409681 •

i iv#aQ48^/>i 8 p. '

^,5lwi^U./>.8)^ .

..jS$»^..Odi fhikfcftn van t8 Aiiie^^r^rnnrf.gtii^/^ ^^f
glüdjSDS over te brengen» herleide men de goud-guldent tot fiui^
v^m en de fluivers td^jgiidem; of, men hei^Ukh dè'^^ü^gmt'
detis tot dtthbeltJH ft ^dè dubbeltjes tot ^IdemX^. ' y.y ^<' '

^^mm

OrVHoe herleidt men xisveiulbalven tot guldens I^Gooq! "

f8) Hoe herleidt men dertiendbatven tot guldens 9 v

W) Hq« w<nr4ei< goud-golf^» of acbK«en« twiatigeo, tot giddeoi herieid f

Eifffis bemerking^ T'^iedebsvifsrltif^ .. ..

7894 gotid'glé ' ; 7894 goud^gl.

£8 14

6515a 3157^

1578» 7«94

22103 I ft yïtfljf» ^f« iioji 16 dubMfjetB

^I«5I gh »A ftm . . >

186. K» Omdat een daalder 30 ftuivers, of i§ gpldeOjjiraarf
is, 2^/ «v^ii 4Sr éüiaÜ4r$\'J&or mU'Sb^^te vermenigwidi^n ^ tot
fiitivers en de komende fhnvert^ door met 20 te deeten^ tot
guldens maken: of koreer, aldus redeneren :. «rtf« ffrt»i? Zfioveü
guldens en zooveel halve guldens^ ah er daalders gegeten tdjUp
in éém fom^ te zamen^ Qio} ^ , ^

Eer^e hewerking^ T'v^ede bewerking^

7Ö53 Daalderu 7S53 Daalders.

§0 i • • • 392^ '" 10 fi*

ft3659 1 o jiulv» U779 gU IQ fi»

tl779 Sh 10 A' * !

i87, L. Om 'HoUdridfehe Rijksdaalders y ztlveren Dukaten ^ en
nieuwe Napoleons.^, de waarde van 50 fluivers hebbende, coc
guldens te herleiden, redeneert men, op ééne dezet twee
wtjz^u: men, herleidt ^ door mei 50 te vermenigyMigen ^ dg
Rijksdaalder tot JiuiverSf en de komende JluiverSy door met
SC te deeUHf tot guldens. Of, omdat eene R^ksdaalder
s| gulden waard, is, neemt men de firn yan tweemaal zee»
yeel guldens en nog zooveel halve guldens^ ah er Rijhda^M

das gegeven z(jné Ol^

BirfU^w^rking.
3789 %iiksd.

Tveede bewerhingy
3789 Rijksd.
50 * . 3789

18945 1 o ftuiv*^

* 1^94 gU 10 ft.

947a gk iO \f$m

SM7a gU 10 />.
l88ï M. Een Zeeuwfche Rijksdaalder wordt doorgaans te«

tegen die waarde gerekend ^ tot guldens te herleiden ^ brengt

f 10) Hoe worden daald^-t tot golden» herleid?^
(11) Hoe worden ftakken vao 50 duivers tot '"

Fa

C^ ^' A I^ L EREERSTE/oROHDEM d6A

men detsêhe eerste door met 26 te vermenigvuldigen;, tot dub*
heitjes^ en 'de dubbeltjes ^ door met 10 te deelen ^ tot guldens.
Of» omdat een Z* Rijksdaalder 2 guldens, éénen halve gulden
en één dubbeltje bevat, neemt men^ in ééne fom^ zeovedmaai
twee guldens f zooveel halve guldens en zooveel dubbeltjes^ als
Cf fiukken gegeven zijn. (f2)

Merfte Uwerking. * ' Tweede iewêrklng,

4097 2r. Rijksd. 4097 Z. Rijksd. .

fi6 • 4097

$ • • • 2048 gU 10 ft.

34582 aa» dubUUjes 409 — 14 -*

8194 —

xod52 gU 4 //•

gU 10652 I fi dubK

3129 Z» Rijksd»

' i • • 1504 : to s •
Üs • . 312 : 18 ; -
tV vf 39 * 2 » 4 _

hiTAgi» 10 fi' AP*

l8p. Aanmerking. 2)^ Z. Rijksdaalder wordt fomtijds té!»
gen eenèn anderen koers gerekend: in dit geval, herreidt men
dezelve, 'tegen dien koers, tot guldens. Bij voorbeeld ^ 3129
Z. Rijksdi gtirekend tegen si\ fluiv. (13)

VBRRLARn>iG« 'Mco newic eerst zooveel
goUlcns, als er rijksdaalders gegeveu zfjn;
dan nogmaals zooveel guldens; dan zooveel
halve ^guldéta, dar is, 15^4^/. lo*//. ;
dan nog zoo veel dubbeltjes.; dat is 31a gl.
%?i (V. en eindelijk nog zooveel kwart dui-
vers als '/•• Ró'ksdaalders, welke gevoridcn
ivordein, door eea achtftfc gedeelte 312 gl. r6 ƒ/• te nemen s de fom
van al deze guldens is de begeerde waarde*

Men zal', uit dit voorbeeld» kunnen nagaan, > boe Z. Ri[]ksi
daalders , tegen andere koerfen gerekend , tot guldens moeten
herleid worden. , _

190. N: Een Dukaton houdt 3 gT* 3 ft. of (^3 ftnivtrfft
men zal derhalve dukatons tot guldens hstM^tfi ^ wanneer men
de dukatons^ door met 63 te vermenigvuldigen ^ tot fiuivers en
de kmnende Jluivers^ doqr^ met 20 te deelen^ tot guldens hcrlevdt.
-^ Of korter: men neemt zooveel drie guldens ^ als er duka^
t ons gegeven zijn ^ e» nog e^*en zooveel drie^Jlïïivers ftukken^
welke men tot ééne fom brengt. (14^

f 12) Hoe worden Z. R<>'?sd»aVcrs. tot guldens herleid?

<i3; Gemeens. een voorbeeld, boe .mee werkt ^wanmier de Z« JL|Pm#>

daalder tegen tenen anderen koers gerekend wordt t
(14) Hoc herleidt men Dukatons tot ^wldeiisl r^^^^T^

Digitized by V^JÜOy IC

CIJFER K UNS Ti I ÖOOFÖD. X!V. i<ïi. 6S

4/;H^ Dutaiotts, ' 4583 Dukatónu

'63 * S

13749

*443<^ ^^« 9 ^«'^» ^ - .^

191. O. Om Dukaten, gerekend tegen 5 guldens 5 (tul^^e^5,
of 105 duivers , tot guldens te herleiden, kan mn de duhaténn
door met lo^ te vmneni^ttkiigenf. t$t fiuiyert^ en de-kmende
fitihters^ do&r met 20 U déelen^ t&u ^'Idèm herkiden. -- Ot
wel: men neemt zooveel vijf ^gulden fiukken^ ah er Dukaten
gegeven zijn ^ met üog even zooveel vi^ fiuivers ftukicn tf
zmxem (15)

£^/tf deweriiffg. i^eede Hwerkhgé

aoTB Dukatest $ofi Dukateji,

105 ff ff/* $ ^e .

15390 ' 15390 ff(» _

J2319 1 b j?»;J^. 10159 fff* l^A.

4S7B gL MB^fU

x6x59 ff/. 10 J?tf/n
1^* P. ffeek en tiaMHjdèrs^ gerekend teien "^i en Z ^ f.
dem^ worden tot ^^dem herieid^ door mef H ^«1 7 J^ f^rmei^^
mildigen. {\€)

V ï9^ Q« Om eene geldwaarde, ült*
fttdnikc xn ponden^vlaamch^ fekeU
llagen en groote» , tot guldens , (tui*
"ter* ea penningen over te brengen,
Urieide men de ponden • vïaamseh ,
^r met 6 te vermenlgvutdlgen ^ tot
guldens^ dp fchelllngen^t door m^ f 6^
te v&rmnigvuldigen en het pr^dupt ,

met Tfyèe ieeien', tot gtHdetitf dèjgróoten\ door met ü U4mf^f rpjf
ftuivtrs 9 em telt deze uitkometen f ij elkander op* i,\i>

iygs Ifoe «órdea Dolseen eot gofdcoa leHeidf

(10^) Hoe worden faeele en halve IMfders toe gMens berlèid'f

(17) Hoe wefdt eene geldwtarde , va ponden^vleamseli ,• fcbelUiigett ^

4^8 gl* f. ^* B.penn.

6a ALLEREERrSXK G>R;:oifiyapt x^nm

7x3 dC 17 fi n % 107 /fe

. . 5 ff^

194. R« Xa, omgeüori^ om «ene
geidwaarde,» in guldens» (l'uivers en
penningen uicgedrukCy coc ponden*^
vlaamsch » fchellingen en grooicn te
herleiden,, deele men de guldens
door (T, om pondene viéamsch ts
verkrijgen p , de overhlijvende guldens ksrlelds men tot Jtuiyers ^
ytaarbij men, de gegeyjne ftuivers moet optellen^ en die fom door 6
deelcn^ em fehetllngen te verkrijgen; de ftuivers y 'mei Me van deze
deeling overklijyen^ herleide men p, door met s^Je r^rmenlgvuüigcnu
tot grpoten» C18} . ' *

i^S* Men losfë nog de volgende rragen op*

|« Hoe herleid tr men een gegeven getal GuUèns tot Oeu d* guldens .
Daalders^ Rijksdaalders^ Z, Rijktdaalders^ DuMatons^ Dukaten f,
Jtijdèrs'en halH Rijders f

2* Hae herleidt men Z* Rijksdaalders tot Goud^guldens 1 hoe tot
Daalders en Dukatonst

S. Hoe herleidt men Dukatons tot Goudguldens en Dukatenf

4. Met hoeveel rolletjes zesthalvsn , elk 40 ftuks inhoudestde, en
U guld. waard zijnde^ kun men 6Ö75 gulden f Vetaltm

5* Met hoeveel ftapeltj es Z. Rijksdaalders ^^ van 20 f tnke , elk 52
guldens waérd ztjnde^ zal men 2817 guldens betalen ?

6* Hoeveel werp' fchelUngtn^ van 10 in een worp ^ moet mem tel-
iéut om ^oA guldens uit te betalen!

7. Hoeven worp acht - en • twintigen van 5 in één worp , en elk 7
guldens W0ard zijnde^ thoet men ter betaling van eene fom van 1076
guldens ufttelitnl

8, Met hoeveel papeltjes van ao dukatons. elk de waarde van 63
guldens hebbende ^ kan men 4500 guldens besalen 't

. . 9, Met hoeveel zakjes zesthalven^ elk jooo ftuks boadènde., zal

'M^in a^oob gt^lSens kunnen betalen ? ^

. ' ^ lOV^Indieii men dezelfde Jhm van^ f 5000 gutdensmet^Xêkjet fchti*
Ungen^ elk 1000 ftuks 9 met zakjes guldens, elk 6co ftake^mH
zakjes zÊSU^n^'^.elk'jfpQ^JjuJ^^, met zakjes jueht. en- twintigemr. elk
400 ftun, met jakjes dukatons ^ 'elk 200 Jtuks bevattende^ heUlen
saoett ; hoeveel^-zakjej^ va*^ elke foort zouden daartoe noodig, zijn I

lu Om eenè'Jhm-van 5000^ guldens te betalen ^ hee/t m£u ic zak^
jès guldens %'^ uf^ zakjts zeeuwen^, 19 zakjes acht -en ^ twintigen
uitgSèel^;- ute4 hoeveel zakjes Uukatons kan dan de rest betaald

•*W -^^' ^^ ^^^ '^' guldens mei Zé RljksdUaUi^e^^JXaalAert
znTfioud^' g^li^nt maten t yM.fil^ da^r f^a^eneyin. f^élTfuijUM

4|0},H0^werkt.mfOs»üidiëo bet oipgekeerde i^^ven hV

nigitizepl

by Google^

CIJFERKÖNST. II HOOFDD. tVl ijiw. t(t

Il ffOOFDÖEEL. Over ée hehande^g der f^roots,
he^y veike in getal ten van Geheeün ^ Deekn en Min
dcrdeeien zijn uisgjsdrukf *,

XV» LES. Over de zoogenaamde Optelling en hU .
trekking in Geiden^ Maten en Gewigten..

%. 196. A« Wttmeer men gelijkflachtlge grootheden, wel-
ke iu geheelen ^ dcelen ^ minderdeeien van denzelfdeo nafim*
«Öa nitgedrukt,^ tot ééne ftm verQ«nigen vf)\\,danjcinjft nun
dezek^e orksfer elkander; geheelen onder geheekn^ en de msndtr*
deekn yam aezelfjde foort^ in afzonderlijke kolommen^ altijd van^
ie geheelen tot de eerjle deeien en naastvolgende^ tnitiderdeekn
e^er gaande^ Men zoeke dmt van dê. laagfie mindcrdeekn H
beginnen^ f«, van deze tot de naastvolgende overgaande ^ de
fommen\ welke , indien zij minder zijf^ £sin het aantal' mn^r^^
deekn y hetwelk in hé$ na4st hoogere minderdeel hegrefm is^^
mder die kolom ^ in de fom geplaatst wordt i doch^ hoogé^ dan
dit getal minderdeeien zijpde , vordt deie [om , door de verkou^
difig;s-diyifie y (zie XIII Les) tot minderdeeien van de naast*
ifiMgendè hoogere foort her-eidt : men^Uit dan-die naast hoó^jt
wimder deeien hij de getallen van de naaUvolgcnde kolom; deze
wietufe fom meet men met het adsital déeUh ^ im de mnderdèrhn ikm
de volgende orde begrepen , en plaatst de rest der deellug onder
de kolom , d^e men opgeteld htefr^ Men gaat alzoo , van k$hm
toe kolom f tot aam de laatfie 4 hoo^e koU^n der geheeien.y.
voort. (O ; >

▼•oPEBiLDBlv. Cètdwaardg* Qemgt.

ij 173 gU 18 ft. 13 p* «} is« d2 17 fi 9 % S) 1. 8 ffi ap loo4-
^3 17 II 79i^ Xi ** 37/' XI '

gP7 II 8 6^ 7 5. 35 S

ar 15 4 tis 9 io . 216 t5

119 10 o. 17 18 3 137 aa

' So 8 13 w» 17 8 C91 13

« '■' 'm 't^ III. mi I I ■■ I I ■ ■' ' ■i'[<^'.i|.

»83 2 ^ . ' Som* ^ . Som "

BoUandMek T^ooisek gtv^igt. ^ Skljmlondfeko v^otmaae* .

4) 39 ® II ooc 19 eog. t7 9Zk.- S}^ t?3 roed. 8 voeu ii cU&^ 3 liti|.

138* 5 .17 «9. . 9<^ 3; 7. ^ $ . ,

. 40 7 6 ' 15. til * 9 io. ' 10

519 $ ia ^ 'üi 713 tf y>- 7 - \

96 ia. . is» *• 17 ..8o9t ia r\ 'r '

■ 1^"^ ■! ■ ; II m ^1 I I 1 fi ■ ' '' '' . '' ' ' " '■■■ i-"! . i.'M

Somi Som.

<i> Welke l5^dc regel » dien men vot|?eimioet , Giiigiw>thttdeii ^wdkeli*

Jfl

m ALLE RE ER SI

6) 17 roeU# 11 vu xr> dm.

117 9 a

9t6 8 S

77 10 9

t%r 38

96 89

EclOlfOElff DEE*

RiflfU riümmm /

r) 4« v.r» 117 V,. V. i9 V,

9CÓ 97 iJo '

Ö7 ' 123 133

"7 49 . 13^

A*7 133 55-

96 %7 • 97

'ité

Som

Jmfterd» rlaitemaau

%y 89 V. U 135 V. V*^ 1-7 V* (k

96« 97 88
79 133 15
9Ö «59 119
n S9 «5

Som

Graanmaat* Amfterd*

^ 813 last 13 m. 3 fchepi

73 »a I

9d 01

lU 37 fl

9^ ai 3

-"

Sofn
GtMfngfiha Graanmaati .
10) i<7 l>»t So Qt 13 ^«
9«5 ï9. . II

Ö7 «9 la^

icd II r
<» éi ts

Som

rijd.

11} ^ti das« II HF* 99 m« 13 C

113 fto 53 17

pö. 0 17 SP

J8 13 I 30

99 17 39 "

Soqié

Sotq*

t9f* (H^nBLDBEiiie. In bec eertle ir^orteddy b de fom der peo^'
nhlgeii 49 ^^f Jv» I^csc, . tof ftatver* berleid z^nde , worden g /iTfflr,
t penm»: de i ^9x. (telt men in de kolom der peujiingcn, en rele
de 3 ftuiy. btf de icolora def ftoivci's, welker fom, dcsce 3 duiver»
mera^enende^ %st ftuhffrs bedraagt. <Men ^erieidt deze 8a Huivers
toe guldens » eti viodt 4 gh 2 ftuir. De ft ftuiy. plaatst men in dè
kolom der ftuiVé en telt de 4 guldani \>\i de kolom dcc guldens , ^s
4«li vindt men » voor de^ ^hêde fóm » 2i8s. gl* ^ fi» i penn^ CO

f^«f B« AfTREKKitfo* Bij de afcrekking der groocfaeden,
io gefi^koamige geheeleti, deeleti en minderdeeleQ uitgedrokc;
ftlhriffe mm de kkinfie mtder de ^ootfte, en de geheekn^ éee^
lm en minderdeelen ra» dezelfde foort onder elkander; even f
0k étf 1^ Optelling, in are 196 geugd is; men trekke dm^ bij
de mnderdeeien van den laoj^tén rang te beginnen, - elk onderfie
getai M» ket ho¥é9^y en plaatfe W terfdtU ih de^ê^h^
IM. tip de plaats^ veike n^ keii^^M »e/lemd isten^^ wak»
neer dene mrekk^ng^ C&^ ooderfte ^tal grbbter d^ het ba«
veD^ cttnde») niei kim piaaH itehben; dafij^erhooi^ m^i het
hwenfi^ getal met noofre^ eenheden^ ais in één minderdeel van
êm- fawtrotgettdmt boogerev rang begrepen aiftf; mttr dat mm

^^.WMtm Mm.weuA foMAtt

^Ogitized by LjOOQ IC

(

CIJFERKÜ.N&T. H HOOFDD. XV. lb4 ^

k»^ hij de aftrekking van de naattf ogende kaim^ hei h^enfiê
letai één minder neme^ (3)

VOORSBBLDSN*

Gtldwaarde^ Celdvfaarde

O I179 gi. n />. 7 P^ntSk O "8y(S dC 3 fi 10

■f 808 gi. 19 /^ IS j>gj|||, . , 7908 dt ^7 $ 5

fêHMrSrö'girir/tTTp^ ^ yerfcMl

Bêtl. Tfooisch Giw. ' Graan - maat

W 17» ffi » o/IC. 3 tf>V. 5 i^Jf. 4) X18 tej^ 3 «. I M#
ï>9 g 13 ottc. js eng^ 17 gjr, 89 tast 11 »f« 4 M>

Verfchcï. VerfchiU """**

-Rj/fl/. wtfi,/. Amfterd. maau

^ ^ ^1 ' *''• 3 ^. 5 /. 6) 1796 rd. 3 W- -5 /f»*

• 796 rd. 10 y>, a <^^ u i. 908 fi/^ IS y/. 10 dm.

Vcrfckih FerfcMl. ^

199. Via\LARiNG. In het eerfte voorbeeld, kunnen 15 p^nf
^"* 7 P^^ff* niet worden tfgei rokken : men ver hooge dan de 7 fetmé
Bet éenen ftuiyer of 16 ^^irw. de lom is 13 p^a». Hier va& ttekf
tten 15 penn. af; het vcrfcbil is 8 penn. welke iw de kolom, op d»
piatts-, voor het verfchil beftemd, geitcid worden. Maar no isoet
■«•f ^ <*« volgende kolom der />i^i>» ia plaats van ii /i«#y. Deaca
10 ft&fr. : daar nu 19 fiuiy* niet van 10 ftuly. kun«en afgeitrott»
liordeQ, zoo -moet men wederom Öe 10 //«/y. met ééflen guideft^ «■•
Mg met fio fiuiyers verboogeo, eir van de fom, die 30 /lm># U«
« 19 /r«/y» aftrekken , en de 11 ftuiy. , welke men voor het Tce^
Koii vindt , in de kolom der fttiivers ichrVven. Eindel^k motten
de U79 guldens één minder genomen worden , en men moet dos
5. van 1178 guldens aftrekken* Het geheele verfchil wordt dia
fi* uft.Z penn. (4).

300 g/. o y?. O ptrm.

28^2 gl» a /h 4 ^gtw

•00. I Aanmerking. Wanneer
bet, gelijk in bet nevensftaande
▼oorbeeld, gebeurt: dat, na ^at
neo, by ée afcrekking van eene ^
voorgaande loloin , het hovende geul met zooveel éénbedoa
heeft moeten verhoogen, tls er deelen in bet naastvolgende
mioderdeel begrepen zijn; en, betbóvenfle getal, In de acagtv
Yolgende kolom, eene nuP zijnde, dit getal niet met één kan
verminderd worden ; dan ênpleeni men , 'bij het eerst voorkomen'
de minderdeei^ in de groatfle grootheid^ waaryan men aftrela-^
eene éénheid^ welke' men o^er de volgende kolommen behoor tijk
verdeelt^ ais wanneer d^^£ftrekking ^ in dè' tmfchen kohmmen^
eleijd uitvoerbaar zaUTofi^^")

'■■ ■ .'i i "1 .1 II ,1 I M.H I II P'

f|^ Hoe worden de gelQkflachtigegroocbtden van elkander afgetrokken I

U) Halder dien regel, door een voorbeeld, op 9

(^ Welk eene omlUndigbcid moei BDg hi acht genomen wo^etit ^

öe*e IS 19 ftuiy. 16 penn^ waard : men denke dan 300 guldens aU
flSK> guldens 19 /i:«i>. ^« 16 ^e/j;». en trekke al de kolommen vaiT
eökinder af, zoo als bj den regel is voorgefchreven; (JS)

VoOWBELDfiN.

fiyni: maai: -- V • ■ 27;V.

9H rd» 3 irti 8 dm^ 7 L j «^ 9 dagi gl tfgr; 17 m. 47 f^*
FerfcMj: ~J * "^l^MlT
io«, IL Aanmerking. ' Somtijds zfin de gelijkOtchtlge
grootbedeir, ^elke opgetetd of tot één geheel vereenfgd mpe»
ten worden, niet g.elijjcnamig : in dit gevalt woetep. zij gelijk-
namig^ gemaakt 'worden^ m. tot dat, ^inde moet men de betr^
hing hmeth^ welke er tusjchen de ééwuden. bejiaaty imorin deze
grootheden zijiv ti^iédruMTfom ellté VOn ièzefyc t&t^: 4ezelfd€ één^
h^Je herjeidenp .j)

*^ r? voorbeeld. Iemand heeft 'in kas U3 Daalders, ^ Xf
il5ifsdaalders , 103 achNen twintigen , 37 Dukatona, 317 Z<?sthalVea-,
en begeert te wetens hoeveel de [qiH yan alle deze geldfpmefi^ in
é^ld^ns^kedraagt^ a //- f • -f

Man herleide , volgens de regel»
'^tt» 4t 'XIV Les , elke geW wiiaf de
iW-guldens; - • •
»f3 ötóliters .

ii*err celle voorts .^^ ^^,^

wii#dch b9 elkander; dan ver
k*«g« meto dtt begéefde fom* (8)

XVI, LES. Over de VermenlgvuldigiDg der groötfiedefi ^
M^^ke in Qeheehn , Deekn en Mndefdeelen zijn uitgedrukt

to4« Rbgsl. Wanneer eene grooéheid, welke in geBeelen,

'deefen eö mlndetdegteff te «itgedmkt, ecnige malen moet ge*

nomen, of met eenig geta! Vermenigvuldigd^ worden, <^ moe*

ten al de deekn , waaruit 'die grootheid be/taat, wet dat getal

yermenfgvuldigd worden^ en diss moet men ^volgens de lil Grondfe

der Vermenigvuldiging, Bladz. j6, alle deze gedeeltelijke prtU

ducten tot één geheel yereenigen^ we^e font alsdan hei begeerde

froduct zal zijn; (r) doch^ om voor het prot^ct eene mlgeor^

■ ■■ ^ . _ '

(^) Heider dit door een voorbeeld op V

Cf) üoe moet men te werk gaan» ivsiuieer 4e grootheden , die men

€»*^^^ OBgelfknnmlg «gni .- : ^ « «

W ttelder dit jop door oen VMrbetkU
CO Op welk eene w^fie wordt eene grootfa^d uit gefaeel«a, daete en

mmdfi^deden beiUaude^.nijK eeoig getal vetfflen^vtUdigd ?

iiS Daafdé 3S/ 169% 10 t ^
a? ^* Rljksd^^zis. fox 4*

f'; dan irindf mo»^ veer 103 achtten tMt. 23 144 ^ 4 t -^
rs 109 guld. ro (t^enz.- , 37 Duhatons r=f^ n6 : n : •
oons al de lierJtflde gold-, f 3t7 Zestln =r \'^\x 8 ! 8
"'*"*'"^'" ^"" '~ Som =:/s^ >,i^ ;^

/ cgFEiLK-U-NST. U. HOOFDT)* XVf. £e8. ft

lak vHdruUking tk '^yeriMjgm^ Èo^yèeginne men de^érmtnig*
M'gf'ng van dé M^'^Slf^ minderdeehn , en ga^ van d^z^\ tot de
mst hoogere^ en ^ êfndeUji, tót'de gehéekn oven Men herleide ^
mts^lkpnoAi^t^^ vctg^ni'd^ f^ek ^4n de WW hes-yo^rge/c^e-
ym, door de vet hfmdings'dmjie ^ /»/ fninderdseieh v/m de naast
hogere foart , ^eVfA dm hij het vellende product Roeten g/eteid
mden. C^") .

to^. VoonBiit-p» -Nemen -wïr 'tot ten ▼6o«>eel(ie ^ de
vtlèsaarde yqn S7, Sh ?7 T^^^* ^' P?°^ uven^^en^higmaal

" ' . Cs; . .

noét genomen 'v^ltden.

?iii&CAifem<'« Men veirafc^vOl-
dige elk deel van de gegevene geld-
leurde, van de t>ewirigeff'te'begifv'
Dcn,en,van daar tot de duivers en
toeé&giUdeim OKi^f^todfa^ mec^^
gegeven vermenigvuldiger 37. Hei
prSdact der II penningen met 57
vecmcBigvuidigd'^ .^ecft 4x57 p»nnk
Dit getal peottingea herleidt men,
door betielve Inet \^ te meten, tot
ftuivers en men viWt fts JhnVè eti

'• B9Wefking^'\ ' *
S7 gh. 17 P' \'ti'peniti

viAig^' Cu^.* y^ênn.
komt , Yooi het product , ftf4i yf /.

r p^««. De 9S )?«ir. welke men | ^ , \^^

kir veckr(gc , ftelc inen pad^ de kolom v^n^^e f edeelo^)DI( e produc-
ten der ftuivers en telt dezelve met dezt gedeelteltfke producten op.
De fom is 654 ftviv* Öc?c fom van (luïvers herleidt men, door de^
ïdve met -»o 'te mete», cot guldens ^ en ^Indt voor dezelve 3» pA^
d»s 14 ftuiv. ööie 39 guldens ftelt men ia de f^caom van de ge»
deeltefijke produetea d«r gi*l<^n*» «» 5^1* dezelve mee de fo«» deser
geaeeltelJIke sffoducten op. ,peze fom bedraagt 2141 guidjews^ welke,
ie zamen genomen j^ m^t de 14 //w'x- en 7 penn. die men, t)|j de
twee vooretande bélekllh^n , >«d overgehouden , voor bet f evtaagde
prodoct, geven xal 2141 guldtn% 14 fmirers en 7 pemiingsn. (4)

tooi^^BLDltlv. iM oefimng.

ü Pèrmenigvutdii^ 3>7 dC, 17 fi ^^ ^ ^^' ^^ ^

^.rermenigyéldig 318 guldens n penn. met ê67»

f. VetmnigvuUig a7 « ^3 oneen 19 eng^ 03 «en mw^ ^

4. Vermenlgyuldig 379 roeden 8 voet 3 tkim 9 fijnen EJfntadicHe

5. hrmenigtttidig 196 rceéoi tft Hfoct 8 dmm , Amnerdamfirlie
wat , met 9ï7» * '

6. £i?» huk taken heeft de lengte vcPn 47 ellenden de el h geke&he
nten 5 gtiideB « 4ltóv» -H P«»»: imvtêt-keérttagt dsn éit geheete

ftukl ^ .,'..,.-''....,

^tyn^fi ■ m 11*1 n> i II i'i inHmi— ^wiw^^w»»»*^^^! i i i h ii

(O Wat moet men ,'bö zulk eene vermcnlgvaJdigitte ^0,*^^ «*?««?
to Geeft eens een voorbeeld van icnfk «ene ^wmfenlgvüïdW^
(41 Werkt deze vermenigvuldiging uit, en geeft te^fimmag ifaa
ü de deden der bewerking ? °^ -^ '' ^'

y% A tL E RE ER STE óRoifDiw DE »

7. dh I pond %ott 3 fliflv* 8 pfn^ hwtrfél le^sttn dam 97 f on dU
ponden T

8. Foor 7 gutd. è *oïv. 3 penn, koopt men éénê el; ho^eel kotten
doM tSJ tületi*

^ Ms iemand ia guU, is ftniver» •ƒ vtf«lx verteert $ hoeteei ft
de geheele vjer tering , in Ün faar^ of 5S weeken ?

tCh Jh I fchippond hennip koet ,^ guldens 12 ftaiv* 8 peon, %hoeyegi
kostejf dan 117 fckippondenf

lU ^en last kost 56 guldetas 10 (luiv. 12 penn. : hoeveel dan 48 17/# i

i9t £m pond koet 17 ftttiv» 5 .petm* koeveel 9 fchippond , xi ig«»
pabd» il pond? ' i. •

13* -<^// I Tcbepel kost xp ftuiv. ia penn.*, hoeveel dam 3 lasi 17
^tnuddeo?

14» ^#0 ji/tm Uandewljm kêii iZ goid* 18 ftoiv. 4 ^Mnn* : hoevaei
dam 67 «t<n ?

15» dit I ffludde ;(ox/ 5 goud*gU 17 ttvdv. ; koeveet so last ix mn^
de. i^mfterdamfche mia&t^

.16» Bereken f hoeveel 17 poiid 13 onceo gmlUm kostem, aSe x oQce
Ü^f/ XI guld. 12 ftuiv* 4 penn#9

XVtt» LES. Of er hef vinden der i^êrhouding van wee

geUjkJlachtige [grootheden^ die in Geheelen^ Deelen en

Minder deeien au'jn uitgedrttkt.

207; t ^r heftaat geene verhouding dan tusfchen gfóétké^
den^ die geUjliJIachtig zijn. (i) Deze gelijkfladnige grootlfó.
deo kunnen nu, of, in dezelfde geheelen, deelen, en minder*
deelen zijn uitgedrukt, of, in geheelen, deelen en minderde
lea, welke van elkander onderfcheiden «Hn. (2) f Doch^ Jn
het batpe geval ^ kan de verhoudipg pièe bepaald worden « hm*
dien niet de betrekking tusfchen deze geheelen en minderdeekm ^
in ge$allen^ bekend , of gegeven:is^ (^Z^ :

tojTi Regel. In het algemeen, moet ili€n,'bij .b^bepBleD
yan de verhouding v^ twee grootheden, die in getallen gegeyen
zön, als eenen algemeenen regel, onder het oog houden? t ektt
die verhouding, door de bewerking dér deeMg ; niet gevoHdm i^m
worden^ wanneer niet die grootheden^ in dezelfde eenheden of meo'
$en^ zijn uitgedrukte. Dit l^ginfel is jten algeme^ regel van èéi
ftmtr^ in de bewerking vm al tüe onderfcheidene gevalUn,^

(x) W^kè gfoothedcrt hebhen tot elkander eene verfioodfngt

(^) Op hoeveel onderfcheidene w^nn kmmeii * die geli)kfl»chtlÉe

footheden in geral z^p uitgedrukt t. . , ., ^ ..^,, *

Wat wordt er veteischt » om , Iq liet ItatOe geval. dt.T^&0H<8^
le^lumne«vni»tem... rc^i^c,\o

Digitized by V^jOOQ IC

'C JJFERK UNS T. II HOOFDD. XVÏL lz$. 73

waarin de verhouding van twee. groot men , die in getal, uitgt*
drukt zijn ^ door deeling gezocht wordt. (4)

aoS. * Wanneer eene grootlieid uit gelieelen, deeleti en
. minderdeelen beftaai; dan noemen wij, in het vervolg, deze
gebeelen, deelen en minderdeelen, leden qï termen van dk
grootheid* of uitdrukking^ welke één^^ twee-^ drieledige enz»
genoemd wordt, naarmate dezelve uit één, twee of drie le-
den beaaat. (5) Alzoo is (Je geldwaa)"de 7 gulden éénledig;
de lengte 3 duim en 7 llnien tweeledig; het gewigt 7 ogcen,
13 engels 17 azen, drieledig, enz. (6)

aoo. I. Gbval. JVanneer de deeler éénledig en geUjkna^
mig is met het hoogfte lid van het deeltal; (7} bij voor-
beeld, wanneer men begeert te bepalen: hoeveelmaal 19 gui*
^em in 735 guld» ia ftuiv. 8 penm begrepen zijn?
deeler f deeltal» 1 quotieni

19 gU l 735 ê^- i^ fl^ ^ P^""* i 38
S7

- ' rest 13^/. ia ft» 8 pem^

VwucL AUiNG. Men meet de 735 guldens , even als of er geene ftufvers
en penningen bettonden , door 19 guld. ; en men vind^ : dat 9 gh in 735 gl.
oeer dan 38 maal en minder dan 39 maal begrepen is. Men houdt
voor re«c der deeling 13 guldens \ dat is , van het gebcele deeltal 13 guld.
ia ftuiv, 8 penn,, ov«r. — Men moet nu nog bepalen, welk eene ge-
neenemaat er tusfchen den deeler 19 gulden, en de rest der deeling, of
13 al. 12 ftulv. 8 penn. beftaat ? Deze zal men ontwijfelbaar vinden , waa«
neer meo beide tot dezelfde benaming van minderdeelen; dat is, tot pe^
Hingen herleidt: doch , aangezien 8 penningen éénen halven ftui ver ^a*
ken, zal men gemakkelijker de \erhouding vinden, waniicer men don
deeler 10 gulden en de rest 13 guld. Z2 ftuiv. B penn. tot halvt ftui.'
vers herleidt. Zulks doende, vindt men, voor 19 gl. het getal ^éq,
halve fluiv. of grooten , en voor 15 gl. 12 ft. 8 penn. 545 grooten :
één halve ftuivcx». of ééne. groot, zal derhalve een evenmatiff dcet
VM) deo deeler en van de rest der deeling zQn \ éétimzeyenhonderd-Zif
tig/Ie desl van den deeler zat dus 545 maal in de rest der deeling
h^êpe» xiJHi het gebroken, hetwelk derhalve bQ het gevoudetie

Ca) Weike0 regel moet men hier onder het oog hoii4«af

C5) Door welke benamingen onderfcbeidtmen dfi grooth.e4eD« Wdke

10 ffehedent deelen en. minderdeelen t^n itftgediHKt? \
(O Ccef hier van voorbeelden^ DigtzedbyGbbQle '

(7) welk la bet ecrfte gcyail 0

74 ALLEREERSTE gronden der

quodent gevoegd moef worden, fs |||; maar de teller en noemer van
dit gebroken z^n door 5 deelbaar ; h*»t is derhalve Cart. 142; keliik
JOT ffl; hei gevraagde quotiënt is derhalve zHfh 2.U bier de ae-
he^e bewerking, (8> *

40 57 I groof.

(5) 2^^ ^'•ö^'^»
152 Jlooters

rest». 9. 13^/.

— — i. 20

S^ $iS grooten.
ló^ fioofers.

OPttELDiRiNo. Den teller en noemer van de break tó door <? te
deelen, is even 290 goed, als of men de 7Ö0. grooten en 545 croo-
ten tot ftooters brengt; en dan bUfkc hetidat er in 19 guldens een
aantal van 152 ftooters en in 13 gkldcns ia ftuJv. 8 penn. een aantal
van 109 ftooters begrepen zfn. Me» kan dus; uit' deze omftandigbeld
deh oorfprong der breuk m verklaren , indien dtóUe nitt , uit het
gecne reeds, m art, 182 verklaard is, verftaanbaar ware.
yooaBBELüBN Op dit GdfaU

I. be^gcldwadrde van i8s> gl. 7 ff. % j^i mt dU vên 15 ir/.

s. mcreetmaal h 14 gulden ïn ÏT^^.gl^^ fi. 9 P^né. higtéten tf

3. Men begeert êene lengte vak ^m fMen^ 7 voeten. %lUne»
JR^nlandsch. met eene lengte ydn ip ro^èè Kifnl. te m/tenf ^

4. HoeyeelmaaJ zal ae tengt'e man 3Ö rShfén' AmtïèrAA^^r^i»^
ig^^ in^l roeden 3 ioeteü f ^ ituim vh meiilfdfS^^^^^^

5. Hoeyeelmaaï is het gey^iit Van ^ ^ o^ yf^^i ^ 18 oncên 1%
ékgels en 15» azen Begrepen ? -^ '^ ^ ^ yro m y^^pn 15

• J?,-^* ^}* pBiVAL, t^amifier 4? diiller iUftfèJBg en bovendien
g^jkmmtg. m^f een lager lid van het dèèltalis; gelijk, n^an^
ij«r, bij voorbeeld, 37 iüMen 8 fiuii^i m tü peim. inêf 16
ftuivers moet gemeten worden f (p}

' DigitizedbyV^OOglC

CIJFERKÜN5T. Il HOOFDD. XVII. les. f9

deeler ( ^eüal J quotiënt *

l6ft. l 37 gl 8 fi. i'f, penn. \ 46^

4 ^o 3

ÓJ^vierde 74^ fi»
fiusyers 64.

108

12 fi. rest der deeling
U ^4

51 vierde fiuiverty of oortjes,

VewaAaiNO. Men herleidt de. sr gl- 8 (liiiv. tot ftuivers, C|i
viihlc voor dezelve 748 ftuiv. Deze loeec men met 16 (luiv. en viod*
voor net quotiënt 46 en voor de rest der deeling 12 lluiv. 12 pe&
Vermits nu 4 penn. een evenmatig deel. van 13 penn. en lö penningöi
is: zoo bevatten 12 -^zv.v^. 5 k'^'arc Huivers, of öönjes: men hcrlelAi
wi «fe f2 ftiilv/i2"penri. totoórtjes ah 'ook de itfftuivers, en vindt^9oi3v
bet gebroken , dat bU het «luotient gevoegd moet worden , j} (ip)
VooRBKBLDBN Op dit GevaU

I. Haereelmaal zijn 17 $ of %o öC il fi 7 ft begrepen'!

A. Hoeyeelmaal is een gcwigt van 17 /öo^ op 37 fg 13 looü &»
grepsm^

|, Hoeveelmaal het gewlgt van 1$ engels op s^marh en 7 oneen»

4« JRififtf /^a^/f y/i« 370 Kljnl, roeden ^ 10 vo^i 7 duim moet ver^
deeld 'liforden in gelijke deelen , vi^elke elk de lengte van 9 voeten b^
ifagen i hoeveel zulke deelen zullen er dan in die lengte begrepen zijn f

5, Eoeveelmaal is eene oppervlakte van 133 vierkante duimen^ hs
eetu 9ttn 23 vierkante ropden üi/nldndsch begrepen f

ttl. III Geval. fFanneer de deeler twee- of driekdig
en ha hoogjle lid des deelers i^et het hoogfte lid des deeltak g^
lijknamg is. Regel. Dan moet men^ volgens het aangenomen©
begrafel te werk gaande, den deeler tot de laagfte minderdeê*
leny welke in dezelve voorkomen^ en het deeltal insgelijks tot diê-
ulfdè minder deelen ^wejke met de laatstgenoemde gelijknamig zijn^
herleiden , en voorts de deeling y als ^ in ééne det twee vowé
gaande gevallen if uitwerken. (11)

Bi| voorbeeld. Hoeveelmaal zijn 13 goud* gl, 12 /?. in
174 goud-gh 8 y?. ia penn. hégrepen?

(io> nclder dit'geval door-een voorbeeld op%^,^^^^QoOQ\iZ
Cl»} Cccf cc»e omfchrqving van bet derd^j geval I ^

G a

f6 ALLEREERSTE gronden deh

deeler r deeltal tquotUm

28 ~"

28

37öy?.

1504 oortjes

10480 fiuiy.'i2 pentt,

2960
2632

3*8 fi, -p^L penn.
J^(S (4 5 oortjes

131 5 oor ij es *

Verklaring. Men
herleide cfe 13 goikl-gl.
12 ft. tot duivers , en
vindt 376 ftuiv. De 374
ftgl.8 ft. insgelykstot
Ut en men vindt 10480
ftuiv. Men zal diens-
volgens moeten bepa
len: hoeveelmaal 376
ft« in 10480 ftuiv. 12
penn» begrepen zgn.
Zulks b(5jïOort nu tot
het eerfte geval. Meiv
vindt voor het quotiënt
27 en houdt voor de rest

der deeling 328 Itiiiv. ^

12 penn. over. Omdat nu 12 penti. geigk 3 oortjes z^n, en óéti uui*
vor 4 oortjes bevat, maakt men den deeler en het deeltal tot Oortjes,
en vindt, voor hei gebroken , hetwelk b^ hec reeds gevondene quotietfc
in;«t gevoegd worden, i|é|. (ia)

Voorbeelden op dit GeyaL
r. floeyeermaal is 17 G/. i3/?« I5P^»»«ö/» 12CO guldens ^êgrepétiV
£. Hseveelmaal U S3 dC 1/ fi op 1736 dC 3 i? 7 ^ begrepen ?
'$. Hoeveelmaal een gewigt van 1 Mark , 13 oneen ^ op laö Mark ,
3 meen j 7 tf«^Wx , 13 azen ?

ai 2. ly. Geval. Wanneer het hoogjle lid des deefers ge*
Ujknamig is met een minder lid des deeltals; dan gaat men^ cp
dezelfde wijze ^ te werk. (13)

INemen wij » loi een voorbeeld: dat 80 gh 19 flutv. r penn.
met de geldwaarde van 1 3 fiuiv. 1 2 penn^ moet gemeten worden f
deeler f deeltal f quotiënt

13 y?« ia penn* ^ 80 gU
16 20

19 fi* I penii.

{.l

I7i

''m

iij 4

16 19 flain
C16

259015 penfti

S9
170
5) iiS^ penn, rest der deeVng. /

■ïi -
3

Vrr klarino-. Hier moet men den deeler en het deeltal vooraf tot de
laag^fte benaming brengen : dat is , tot penn. tn dan komt de vraag

(li) Verklaar hetzelve door een voorbeeld fg^^edbyGoog Ie
C13) Waarin bcftaat het vierde geval?

CIJFEJIKÜNST. n HOOFDD. XVII. LEI. 7%

lier op neder: dat men 05905 penn. door lao peon. mete. Men
viadt 117- maal, én de rest der deelin^ is 165 penn. Het deeltal en
de rest hebben elk 5 penningen tot gemeene maat; de deeler bevat
doi 44 ftukken van 5 penn; en de rest der deeling 33 ftukken van 5
penn Deze 44 ftukl^en en 33 ftukken van 5 penningen, hebben nog
Ml gemeene maat il ftukken van 5 penningen, welke in 44 «ui ke
fbkken 4 maal en in 33 zulke ftukken ö maal begrepen zjjn : bet ge-
broken, het\¥elk bfl bet reeds gevondene quocient moet gevoegd wof-
dea, isderhalve i, en het gelyeeJe quotiënt bijgevolg is xvj\^ C14)
VooRBEBLDSN op dU GevaU

u Hoeyeelmaal it 8 fiuiy. 4 penn^ op 60 gU ia [iuly. w pCHHé
higrepenf ^ .,

u Boefeelmaal is 47 Mi^- »* P*^»* ^P ^ S»^^' '7 #««v* »»
Unn* Ugrepen ? ^ ^ " , . , *» •

3. Ho$Yeelmaal is 18 fiuiy. 14 penn. op 336 goud* guldens l/^fiuh.
L penn, begrepen? „ . .

4. Hoeyeelmaal is eene Jengte yan 7 duim s lijnen Kijnlandsth^
o/> eent lengte van 39 'voet 3 duim RijnU begregen^

5. Hoeyeelmaal is eene vlakte van 416 vierkante voeten en 45
vierkante duimen op eene andere yan 961296 vierkante yoctê* «1 ^
vierkante duimen begrepen ?

2i3« Bijvoegsel. Oin. geene zaak over te flaaa, welte
aao den eer^beginuenden eenige moej[)eiykheid zou kunnen
veroorzaken, zullen wij nog de twee volgende uicgewerkie
voorbedden hief bijvoegen. ^

L Voorbeeld. Te vinden: koe menigmaal 13 gufden 12
ftuiv. van 397 guldens kunnen afgetrokken worden?

deeler r deeltal e quotitnt
13 gl. 12 f. \ 397 01. l a9éi
so ' ftO

Verklaring. Men maakt
4ederen dcejital tot ftuiVé
en alles komt ctan neder op
7040 ft. door 27a ftuiv. te
mct^. Het q^uoiien^t is 79
en de rest der deel ing 5a
ftoiv. De de^era/a ft. en
52 ftuiv. hebban 4 ft tot

4) ^ii ^

68

tm 4) SjL A«'>*

eene aeinecne maat , en men f ■ ■ ■- ■«■ 1 . ■ .i. ir.

verkrlfft, in plaats van de^selvcói ei 13 vie;- ftj4yör$ ibujtke^iV?»'^

de cSvoUtlïk ket gebroken, ketwelk bj ^let reeds verkregene quo-
lieot motx gfevoegd worden , ^J^ én he^ geheele quotiënt 09^-

II. VpoRBEEW?f ffo^^^^m^^ « 3 M^s y? fiMy* ï? P^nr^i
of lil güidéni begrepen?

(14) Geef eene Ufchr^viog vm de bebinddlng vatf dit gevalt

G 3 Digitizedby Google

78 ALLEREERSTE gronden dei

deeUr 'f deeltal equoti*nt

3 Gl. \7 ft. fj, penn» \ZiiGl \ 80 *
20 '3 ao

Mt'

6220
4

31 j oortjet

2j88o W///V*

2488

oo.

Vebklarino. Vermits ia
penn. 3 oortjes bedragen,
waarvan er vier in éénen liui-
ver gaan; zoo maakt of her-
leidt men den desïer en het
deeltal beide tot oortjes; men
verkrijgt dus voor dendceUr
JU oortjes, en voor het deel»
tal 24^80 oortjes en vindt ,
i door de dadelijke deeling de* i
Zer herleide deeltallen ; dat 3
gl. 17 ft. 12 penn. insiigl.
juisi tachtigmalen begrepen ZQn.

214. I. Aanmerking. De voorgaande voorbeelden behel-
ten alle gevallen en bijzonderheden, welke, bij »het bepalen
van de verhouding van twee gelijktluchiige grootheden, iu de-
zelfde hoofdmaat en in derzelver deelen en onderdeelen, uit*
gedrukt zijnde, kunnen plaats hebben, Vermits men nu ^ in
il€ze foort van berekeningen , niet genoeg kan geoefend zijn , zu!-
len wij er nog de volgende voorbeelden bijvoegen, "^

I. Hoeyeeimaal is ij ftuiy* 12 pcnn. o/> 18 guld. i^ ftuiv* 9 penné
yerhöudeii ?

2» Hoeveelmaal 17 ftuh. 9 penn, op 38 gald» 16 ftuiv. il penn..
begrepen ?

$ , Jlceveelmanl is 17 goud-guld, 1 8 ftiiiv. op 74 1 goad^gt^U, legrepenl

4. Hoeveeltnaal is 17 pond vlaamsch ic groot 0^2863 r>ndl;eyaif

t. 'Men begeert te weten ^ Hoe menigmaal Z5 gi» I5 ftttiv* 9 ptn»,
op S7S6 guld 14 ft" lp» is begrepen?

4, Hoe menif^maal zal 117 matk^ 8 penn^ 19 grein op 4827 mark
•*li gTein begrepen zifn?

74 Hoeveel it- 11 vast, 7 lijwn lijnlandschf 0^ 133 roeden en
9 duim begrepen?

8. Hoeveelmaal is eene fcttacht aarde ^ bevattende 144 cubigke
yoeten Mijniandscfi^ l)p 9678 cubteke toeden en gz^'cubieké voeftn
begrepen 9 , ,

ai5.' II. Aanmerking. Somtijds snijn de gelijkfiachtige gropt
heden ^ Welker verhouding bepaald moet Wêrden^ niet iu dezelfde
hoofd^aüt uitgedrukt. (15) f In dit geval, kan de verbou*
ding niet gevonden worden, indien de betrekking der hoofd,
maten, waarin die gcooth<?den zijn uitgedrukt , niet bekend
Is; Od} doch deze betrekking is gegeven, wanneer mèn wwt:

(15) Welke omftandigheid kan, bQ bet bepalen vtn de verhoitdiBg
van twee geTijkflachtige groothenen» nog plaats vindenf

(16; Wat moet er in dit gev9^ qqig gegoven tflo» om dt verhondli^.
ie kminea vinden?

CIIFERKUN ST. II HOOFD D. XVII. les. ;

keveeimaal de gemeene maat dezer hoofdmaten , op elke van d
zeil e verhouden is. Stellen wij, bij voorbeeld: aat men A
^ere te weten: hoe menigmaal \7 gL \<i (l. ^ penn. i
iS^' Dukaten, het ftuk tegen 105 ftuiv. gerekevd^ begrept
zijn? (17)

Verklaring • Men her-
leide den deeler toi oorcjes
en de Dukaten vanhetdeel-
til eerst lot ftuiv. de ko-
metKie fluiv. (ot oortjes ,
en dao komt de vrang bier
op neder : om te bepalen :
hoey celmaat 1409 oortjes cp
642^ oortjes begrepen zijn'i
CU men viudr, dooi' dadelijke
«leeling, 45/^0^ maal. (ib)

deeïer " r deeltal equotic
17 gl* 12 fi* 4 P^^''* U53^''*» \45i|^3
20 1 105

t^ (4 153

1409 oortjes 16065 p.

04^/0 oortjes.
7900
rest 855 oortjes*

ai6. Men bewerke verder de onderilaande voorbeelden.

1. Hoeveelmaal is 17 goud gh 11 fluiv. op 6%i gU 16 fuiv* h
grepen f

2. Hoe veelmaal is 37 goud^gU zi ft* 12 penn. op 635 gl. 5 fiui
hegrepenl

3. Hoeveelmaal zal de geldwaarde van 63 gU 11 J't. % penn. <
de geldwaarde van 678 Daalders en 4 fiiiiv, begrepen ztjn }f

^ Hoeveelmaal is 16 goudgl» 11 ftuiv» 4 penn» op zo^Z» Rijks
6 jiuiy. ia penn. begrepen i

5. Hffe menigmaal is 17 fi II ^ op 381 gh 12 ft. ^ penn. begrepen

6, Hoeveelmaal zijn 31 Dukatons 18 ƒ/ . ia penn* op 1687 öC ö
7§ \ verhouden ?

217. III. Aanmerking. Er beftaan nog meer zamengejieli
mallen^ én welke de verhouding van twee gelijkfiachtige groo^
heden i uit de wijze 9 op welke zij ^ in getallen van maten ^ d
een e bekende betrekking hebben^ kan bepaald worden: docfc
daar, voor het tegenwoordige, deze (lof ver genoeg ontwiklie
is, zuilen wij de befchouwing van deze meer zamengeftek
gevallen lot de behandeling der breuken en der evenredfgbeA
aitfteileo. Alle tot bier toe behandelde gevallen komen, ItkIK
meo dezelve mee elkander vergelijke, neder op de ultoefenii
van dezen

Algemeenen regel* Men moet^ in de eerfie plaati^ m
ioan: <f de grootheden^ welke door elkander afgemeten moH

%

i

[17) Geef eeis een voorbeeld? nigtizedby Google j

li) VcfkUar 4e bewerking vw alt voorbeeld? ,J

G 4 • J

Sö ALLEREERSTE ojtOND^ci der

u^rden , gefijkflachtig (f ongelijkflacbtig zijn ? In Jiec laatfte ge-
vul, is de vraag ongerijmd; want er kan alsdan geene verhdu-
ding tusfchen dezelve -betlaan. Zf'jn de g^geven'e grootheden ge^
Ujkflachtig; dan kunnen zij gelijknamig of ongelijknamig zijn.
Zijn zij ongelijknamig; dan moet de betrekking der hoofdma*
A^ , in it^elke zij zijn uitgedrukt , l?ekend zijn In al deze gem
vallen f moet men den deeler en het deeltal\datis^ de maat en
de 'grootheid^ aie men meet ^ in getallen^ van dezelfde eenheden
uitdrukken; hetgeen meri , in alle gevallen^ trachten moet ^ op
de eenvoudigfte wijze^ in het werk te Jiellen, Deze voorbereiden'
de herleiding volbragt hebbende^ moet men de gelijknaniige minm
derdeekn^ ^yelke men^ in plaats van den deeler en bet deeltal^
verkregen heeft ^ door elkander deeleru C^Pj

XVIII. LES, Over het verdeden der Grootheden^ welke in
-. Cektelen , Deekn en Minderdeelen zijn uitgedrukte

ai 8. Van dexe verdeeling hebben wij, in de XIII Les^
art. 17, Bladz. 58 en 59, reeds, met een enkel woord , gefpro-
keo. Bi$ onderwerp is^ in het dageUjkfche leven ^ van zulk een
onophoudelijk gebruik ^ dat bet wel noodig is^ hetzelve nog wat
air Handiger te hefchouwetH

tip. Voorbeeld. Stellen wi^: dat eene fom van 17936
gfêlim 12 fif 9 pehn* in 48 gelijke deelen , moet verdeeld worden?^
VwncLAHiNP. l^ l?egm eerst de 17^^ Guldens, zoiwjer op de
bijgevoegde Huivers en penn. te letten , tn 43 gclQke dcelen te vef-
d^eJen ; .dan vind ik , voor één^drie-en-vecrtigfle deel ^ ^17 guldeós *
en houd 5 guldens over; 200 ais bier ie sieu iss *

deeler» g deeltal. ƒ quotiënt

' 4J l»793f0 gt. ia. ft. 9 penn. \ 417 gU

17a

reet . # • • 5 fuldens* '

Kfip|^{bc nuUgteiykidat nten, voor elk deel 4X7gpld^sAeJUi>«
de, er vatl>ae fom, die verdeeld móet worden'^ 5 gU lA ft. 9 penn. zal

<i9) Oflder welken tlgemeenea regel kuimea no daze gevtlleo.'jebrtgc

worden! ^ • ■ , , \

CIJFE11KUNST.II HOOFDD. XVIII. les. 8i

overblpén, welke nog in drie-en veertig gel «k e ^^^len moeten verdeeld
worflen. Om "nu die vei deeling verder voort te zetten , hei leidt men de
5fel. 12 ftuiv. tot auivers, en vindt, voor het getal ftuivers,dai datr-
m celök is , ua Ihiiv. , welke nu nog in 43 tieeten moeten vefdc«ld
worden: Men vindt, voor elk deel, 2 ftuivers, f« j^^^^^.^.t* "*
ftuivcrs nog 26 ft. over, gevolgel^jk van de geheele fom 26 ftulv.en^
pewLDe bewerking, lOt zoo verre voortgezet 2unde,.!taat ais^igi,
^ deeUr r deeltal r i^ottent

17a

73

43

306
301

5 g^» ^ •

112 ft<

26 ft, rest der tweede deelingl
Deze 26 ft. Q penn mceten no^ in 43 gelijke deelen verdeeld wojy
«en. Men hetleict dezelve, om dit oogmerk te bereiken, tot pennin-
gea.'en vindt 425 penningen, voor de waaide v.n 26 ft 9 pènn» Deze
ii'; nenm in 43 gelö'^e deelen verdeelende, vindt men , voor elk. deel ,
o penningen, In er blfvcn nog 38 penniiigen over, welke in 43 deelen
moeten verdeeld worden, en de gehtele bewerk mg der voorgefteOdovef-
deeliDjr is nu , in deze volgende fchets , vervat.

loeier e deeltal r quottsnt

\ 179^0 gl ia fi* 9 f^«»- l4ïa gh 12 ft. 9ii j^w»

43

172

73
43

SC6
301

terfte rest • • • 5 ^'» ^

vvieUe rest • • • ^^ ^^* / a

A2$pentt^ \92^^
387

derde rest • » . 38 ^«iw-

igitizedby Google

8^ ALLEREERSTE growden dbr

AAtfMfïRKiftïO. Mefi' kan geene penningen ^ /'want deze munt be»
ft«« niet,) yeel minder gedeelten van penningen Betalen» Deze bfe*
Pökenfng leerr dan : dat elk drie-en^veerti^Jle deel grooterdan 412

fl, 2 fl g penn, en kleiner dan 412 gL i% jl 10 penn is', dóchr het
ortt nader bji de 10 peniu dan hij d 9 pepn. er ontbroken echter'
aan de geheele föm 5 penn. , om elk deel tot 412 gl. a ft, lo peon.
te breögea. (i)

VoOKbbrld»n tot oefening.

%* Ferdeel 338 gl, 5 jluiv. 12 penn, in 9 deelen?

«• Verdeel 8668 gl. 2 y?w/v, 8 penn, in 23 ^/e^/^w ?

f* Verdeel 4.r2 ^37 ^/. 8 ftuif i2 p/r«;ï. /« ^7 deelen ?

4« Ttf ver deelen 41-^77 é'/- 8 ftuiy,'io penn, in 49. deelend

S* Dtftf/ 4.'I9i8 po«^ y/. 12 fchelL 2 ^roo^ i« 47 deelend

6m Te verdeden 196848 goud-gl 20 Jtaiv. 6 penn, in 83 deelend

f* Te verdeelen 991848 zeeuw» 2 Jtuiy 2 penn. in H17 deelend '

8. Men begeert <^8 ^/. 16 />. 11 /?<?««. i« 6-^ te verdeelen?

9« O/» 1472 mark , i o/ïc^ , 15 ensels , 4 azen in 39 /^ vcrdeeleH ?

10* 0ȕ 1088 fchippond ^ 19 lijspond in 29 deelen te verdeelen t

II* O/» 6506 /flj-^, 15 mudde in 372 ftf verdeelen?

Z2. iVi?^ 607 ^/. i/I 16 ^tf verdeelen?.

ftTO- I. AA'^wr^KurG. IIc: v^deslêü der ^rcGthêücii, m

gdi^dep, deelen en ininderdeeleu uitgedrukt, vooral |n h^ve,
dejd^, vierde, vijfde, zesde, achtfte , negende, tiendt/^^
twaa1/ae, zestiende deelen, V«2. is, ih alle werkdadige *bére-
kenlagen, vooral in 4eb praktikalen koopmanslUjl , van zoo
veel aanbelang en van zulk een uitgeftrekt gebruik, dat het
wet genoeg is ^ de gronden ^er hoofd^bewerkingen duidelijk te ip^
grtfjmt : maar: men moet ook hierin eene zekere vaardigheid tracf^
tm te 'verkrijgen; en, wanneer men in kleine (jeelen, ^Is in a,
St 4» 5» öf 7, 8, 9, 10. 12, 16, verdeelt, deze verdeeling
gemakkelijk' leeren uitvoeren; zonder dat men noodlg hebbe,
ai de^ deelen der bewerking, op de lei of het papier, nic cè
fchrijven. (2) Zulks fchijnt^ in den eerften opfiagy wel eenig^^
^M bezwaarlijk: doch de lust ^ om zich deze hebbelijkheid eigen
te maken , overwint weldra alle moeijelijkheid

«ft^i. Voorbeeld. Stellen wij: dat men b^egeere te bere^
kmen': hoe groot de helft ^ éé^- derde , ién-vierde^ éénm
vijfde , éin - zesde , éèri' achtfte , één - tiende , één • twaalfde en
één 'Zestiende deel van 51738 gl. 5 /?. 10 penn. zij^ (%)

(i) Wérkt eens het voorbeeld in art, 2r9 opgegeven uit, en geef een

duidelöke en betoogtnatige verklaring vaw elk deel der bewerking?
Ca) Wat merkt gö omtrent de uitoefening vau dezen regel aaa^ •
(3) Geef een voorbeeld^ DigtizedbyGoogle

C rj F E R K U N S T. n H001FDD. XVIIL tES. 83

i

j . t 17346 :
i . . 12934 i
f . • 10347 :
I , . 86a3 ï
t . • 64f.7 :
^ • • 6173 i
4311 «

3233 2

^

I :
II :

13 8
o t

5 s
161
10 j

ift :

13

11

a

13 1
11*

Ï3l

^Terklaring. • De gedeelten der ge*
gCYene geidfom worden , als in de vooi^
gaande voorbeelden, door verdeel in^ ge«
vonden : maar men moet die verdeeling ,
(b^zonderlïfk , om uit bet hoofd teleeren
rekenen,! zonder óij'fers ie fchrijven,
uitroeren» By voorbeeld, om het twaalf-
de deel te vinden , ja oi^ 51 viermaal
bljft 3 over; ia op 37 driemaal bltjft
I over; ia op 13 éénmaal blgfi i over ,

• ia op 18 éénmaal bltJft 6 over; óguld, ,

5 ft. is 125 ftuiv. ia op las is 10 maal, bl^Jtt 5 over; 5 ftuiv. en 10
ptoii. is 00 penn. ta op 00 is 7, blijft 6 ovetj-ia öp 6 is {• ^ En
op dezeitde w^ze , mee de andere. (4) *

aaa. II. Aanmerkinö. Veelmalen koiöc het ook te pisi
ééa-tiende, één- honderdje, of één- duizend (te deel van «ene
bepaalde en gegevene geidfom te berekehert. Bij voorbeeld:
iéthhonderdfte deel van 5Ji7Z^ i^* 5 A lo j^tin. te vinden? (5)*

VBRKj^RiNo. Aangezien ('zie art» '
154). e^n setal door xoo gedeeld wordt ,
wanneer men deszelfs twee ^ achierfte
elf èrs afinj^dt ; zbo f>it^de men van de
5173^ g1. de twee achtei-fte ciffers Jlf ;
en. dan yindt men vo(^ één* hoqderdfte
deel van 51736 gl« de waarde van 5 17 gU
en men houdt nog 3(5 gl. over. Men ber*
leidt de 3Ö gU 5 llüiv. tot ftoivers, en verkr^jgi 725 it. nier van 1»
één-bonderdde deel 7 ft.; tn er bleven 25 ftuiv» over. De 05 fioi?
10 penn. tot penn. herleid zjnde, verkrggi men daarvoor 410 penu
hier van is één-hondercirte deel 4/5 peun. het één-honderdUe aüdeeltê
il derhalve 517 gl. 7 ft. 4/5 penn, (6)

III. Aanmerking.

517 I Z^ gl' $ ff. 10 pêtm.
I ao

A 7 1 25
penn, 4 1 10

•23. III. Aanmerking. Nog verdient eindelijk te wofdeo
opgemerkt: dat, (ingevolge betgeen, fn art. 156^ geleerd Ib \
waaneer het aantal deelen^ waarin eene gegevene grootheid moet
gedeeld worden^ een getal is , hetwelk uit het product van twéé
(f meer getallen beftaat ^ deze verdeeling, door het voorfchift
fM dit artikel f kan worden uitgevoerd. (7^

Verklaring. BJ voorbeeld, de geid-
fom van iTsSi gl* il ftUiv. 10 penn;
iBoet in 55 gelQke dëclen verdeeld u'Or-
éta: dan verdeelt .nien eerst (omdat
§ö = 7 X 8 i» «) de gegevene fom
V t gelQke deeleo , en men vindt voor

131 f^i' itf A4H^

O VerklMi* die bemerking nacfet f

0 Wit me^t 1^ verder i^n f,

,0) Verklaar mü, hoe men eet^éJgtldrm ^ i<^dëéla}v^(léélt^

7) W^e bQaondetheië merkt men hier nog verder ppl

«4 ALLEREERSTE GKottóEK i)br

dit Z€Tende deel 1054 gU 10 ft. 3) penn«;van ditzevenie dtel neemt
racB het SLcWÏQ deel , eu vindt 131 gf. 16 ft. 4|| penn. hetwelk het
één-zes. ien-vöftigfte deel der gegevene fom is. (é)

XIX. LES. Toepasttng der bewerkingen , welke pn de

drie voorgaande Lesfen geleerd zijn , op gevallen

van het dagelijkfche leven^

aö4# De vermenigvuldiging der groothedeö, welke uh ge-
heelen, deel?h en minderdeelen zynzamengefteld, het bepa-
len van derzelver verhouding, en eindelijlc de verdeeling de-
zer grootheden in gelijke deelery. Is, in hec dageliSkfche le-
ven, »»n zulk een uitgeftrekt nut, dat wif verpligt' zijn , het
gebruik van al die regels , door een goed aantal werkdadige
voorbeelden , op te helderen. Het gebruik dezer bewerkingen
bepaalt zich tot drie voorname haofdzaken.

125. 1. Tot het berekenen van het behop van 'êêm gegeé
VMe koeveelheid van koopman fchappen ^ van allerlei foort ^van
mnkehfaren , ruwe fabriekftofen , enz. , wanneer de prijs van
de éénheid der maat^ waarmede zij gemeten zijn ^ bekend of
gegeven is. (i) Wij zuilen, in die berekeningen, het gebruik
vim den koopmansftijl volgen.

I* VoosBEBLD. Hoeveel bedraagt een Jïuk linnen^ lang
56 eilen^ de el gerekend tegen 17 ft ui vers f

56 ElUn.
17 A.

Y]lit,<&A&iNC^ Daar men, voor eljke el,
17 ft. betaalt, zal |nen zoo veelmaal 17 ftai.
ver^ voor het iluk betalen moeten , als het
ftak ellen lang is* Dit getal ftulvers vindt men
ddrbalve , • wanneer men 17 ftuiv. 56 maal

verkrïgt dan 952 ftuiv. , welke tot Guldens
herl^a worden; gevende derhalve, voor bet
beloop vin het geheele ftuk , 47 g\. ia ftaiv.

95 i a

ft» VooRBBELD* Bereken het heloop ya» 161 ellen hand ^ tegtn •
'dêitett dó élf ■ ö 5

. s» ^» 59 ellen dito^ tegen 7 penningen de eH

4. ran 137 ellen lint^ tegen 5 puivers de elf

^ Fan 49 ellen laken » tegen 5 gulden de elf

(8) Helder dit door een voorbeeld op I f

(i)Welk ii het ewfte geval, wtarop b«c Y^/mdeUe In da drie
vopciaa»^ leafeii kan toegepast worden? ,,,;ed.vGöógl ^

f

49 EIUh»,
I7k ftuiy.

S43 *
49
.•S4 : 8

.8517:8

42:17:8

47£//.

8).

235
..411

47

329

4X§

CIJFER KU1>ÏST. II. HOOFDD. XIX. LES. «5,

7. Hof veel bedraagt een fiuki linnm^ lang 49 f//?«, ^^ el
gerekend tegen 175 ftuiversP

Verklaring. Men meet zoo veelmaal 17
ftuivers betalen, als men ellen gekocht heeft,
en nog daarenboven zoovel halve ftuivers;
dat is, 49 maal 17 ftuiv. en'49 halve ftuivers:
men vermenigvuldigt daarom 17 raer 49 , of 49
met 17, en men maakt ,^g halve ftuivers, door
deielve met & te deelen, lot heelc ftuivers; dit
geefc a4l ftuiv. of 24 ftuiv. en 8 penn. , wel.; e
men met de verkregene pArtiele producten op«
(êtt; wanneer men ?57 ft. 8 penn.(verkrögt ,
of (na de ftuivers tot guldens herleid ce heb-
ben,) 42 gl. 17 ft- 8 penn.

»7. Hoeveel bedragen 47 eUen laken ^ de el gerekend tegen 55

guldeus?

Verklaring. Hier moet men te zameo ne*
men zoo veelmaal' 5 gl. en zoo veèlmial z^y^n
ichtfte gl. a!s er ellen gegeven z^n. Men ver»
raenigvuldigt dus 47 met x, en viodc 1135 gl
Zoo veel zonden de 47 ellen bedragen , indien
de el tegeu 5 gulden gerekend werd : maaf nu
beraalt men boven de 5 guldens nog ^ gl. Men
neme dan 7 achtfte guldens zoo veelmaal , als
er ellen zgn ; komt 329 achtfte gulden. ; deze
maakt men, door dpzelve mei 8 te dcelen^ tot ^ ,

gl, en vindt voor 47 maal J gl. 41^ gl. welke men by dfeasb g»- ot 47 maal
5 gl. optelt, als wanneer men , voor het gebeele beloop , 276|gl. vindt.

2a6. I Aanmerking. In veel gevallen , is het ft ijl , dat men
den prijs van de maat der waren^ bij halvt^ kwarten , acktens
Tof octaven) zestienden van guldens ^ ftuivers of grooten rekent :
het zal dan het gefchiktfte zyii, om te rekenen, als^ in hec^
bovenftaande voorbeeld, fs aangewezen: doch, daar het geeo
öijl Is, tet beloop der gekochte of verkctchte waren, in hal-
ve, achrtens, zestienden van guldens, uit te drukken; maar
vel in ftuivers en penningen, moet men die halve, kwarten,
achtftens, enz» van guldens in ftuivers en penningen, en de
ftuivers in penningen kunnen herleiden. Zulks is nu zeer
eenvoudig. Stellen wij, tot, een voorbeeld :• | gl ; dan is
het klaar: dat één achtfte van éénen gulden 7 maal mbec
genomen ^ordent of liever, dat men éénachtfte van 7 gul-
den moet nemen: inaar één- achtfte van 7 gulden is één*
achtfte van 7 maah 20 ft; of van 140 ftutv. men deele dan
140 ftuiv. in 8 gelijke deelen; dan vindt men: 17 ft. i^n
er blijven 4 ftuiv. over, dié nog in 8 gelijke deelen moe-
ien verdeeld worden. Nu is a ftuiv., 4 maal \6 penn. of

H ^

>f/27<S:fl.8.

u

ALLEREERSTE GRONDEN der

64 penm waaf ran éln - öchtfte 8 penn. is ; Avaaruit évs
volgt: dat 5 gU is 17 ft. S penn. (2) — Men zal door de
toepasfirig van dit beginfel vinden: dat J gl. = 10 ft •

B, Beuken het tfeloop van 17 ElJen laken , tegen 6} gU de el ?

Qk fan löo ellen dito ^ tegen 5| gh de el?

10. Fan 417 ^//tf« ^fo, /^^<ffi 10^ gU de el?

lU Fan ata ellen linnen^ tegen \^\ Jl. ete el7

iflu Fan 10:) ellen dito , te^en 23! ;?• de el f

13^ £tf/i koopman heeft geleyerd zss fiukken linnen, 9lk van 47 eU
ten lengte, tegen 16 , i6\, 17J, 19^, 23 en 24* fluiy. de el; hoeveel
beéraaet deze geheele fartijJ ...*''"

14. Bereken het bèoop van isó ^ kofflf, tesren 23 ftsfly, h^i po„dt

t$. Fan $\7 ^ thé^ , tegen 6^h ft. het pond ? ^

16. Fan 413 ffi diio, t eiren 107 />»!>• ii^r pond f

%7. Fan %o96 fig biruine peper, tegen 78 ^ bankb het pond?

18. ^tf« 89^ i» J«ii^o y^vtf , tegen %r />• *»//*© Ai?/ pond^

19. Fan ^1%'^ geraffineerde Borax, tegen ai| />. Ar/ />n»rf?

20. Fan 93 fehippond vlas, tegen m gU het fthipponh

V«r.x:laring. Men maakt de aaS goud- «23 ^-/ ,« /v

gnldens zoo, als (art. 185) geleerd is, tot L^^* "^'^'

gtildena, en trekt er de ia ftuiv. bM ; dan ^

yermenigvuldtgt meq de 319 gl. 16 ftuiv^ ^xca

ïoo ala in ae XVI Les geleerd Is, met 84 ; dan ƒ \^sU i6 tt

vindt meni^ voor het beloob van de 84 last , 3*9^'. ">//•

«^8^3 gU 4 ft- °4/^^^'

I27<J ■ 64
S552 1^6

ta. Vjn ns fó« /?//ö , tegen H%SSU xi ft. 4 penn. het lü$t?
pJS:Aêtla!t?"'' '^'''"^l '''^' '^^^* '^^^* «i^^^Z-TaAS

^"kXrSnïï^^^^ *^^^^^' «^^^°« en ftuitcraiot

Digitized by CjOÖQ IC

C IJ F E R K U N S T. II HOOFDD. XIX, hnu tj

84' f^an 103 latt hruim rogg$ , Ugen 2^5 ggU %z />• l% p9tnf»
iet latt,
a^^ Fan 2,24 tast 'wlttter gerst ^ tegen 96 ggU 13 ft» het last 7

227. II Aanmbekijsg. Sommige waren worden, by de 100 ffi»
gekocht. /« iüt geval, rekent men, als tf de prijs tegen hei
fond bedongen ware: maar, daar het beloop alsdan 100 makn U
gróót wordt , moe? men , om het eigenlijke beloop te vinden , éin*
knderdjle gedeelte van hef gevondene nemen» (3)

a& Hoeveel bedragen 3876 S ^damfche kaas , Ugen 33 gf*
lift. 12 penn, de 100 g f

ga? 1 81 if/» 15 A» lO

I flO

16 I 35
I 1.^

m j <

5 J Ö3

Ao/»/ 9a7ir'« i6fl.i1pewt. gh

»87<

I»

465M1

^»Ö?l5

.?^^* •'

927^1 g^^

'Verklaring. Menver-
i?enigviilui^vnaar hec gee-
u ia de XVl Les geleerd
ïs» den 23 gl* 18 ft. 12
penn», welke de vtt9fé%
VM bf t ïQO ffi g?wigr uk
drukt , mee 387^ , en meo
vindt vodr het beloop 92781
^Id. 15 Itaiv. enzooveel
zoudeo de 3876 bedragen ,
indien bet pond en niet j[le
100 S tegen 23 gl. 18 ft. t2
peon. gerekend werd. Méa
«Ml derhalve , naar hec
geen in art. 222 geieerd ia ,
•et 100 gedeelte van 62781 «•
gU 15 ft. nemen» (4}.

27. Heeveel hedragen 4716 ^ Proyencê amandelen^ tegen 45 ^ i5
ƒ^ de 100^7

«8. Hoeveel ^96 ® W/V/, ftf^^ ïOii fi i/^ 100 ©?

J9. Hoeveel 796 fè rood koper, in bladen, tegen ml gl d^too^J

50. Hoeveel 6017 fg tnlandjche 'tabak, tegen 53 gi. 10 />• 8 p*»*»
<« too ft ? ••'

228. II, Somtijds- it de h^eveeVieid van eene waar geg€*
ten^ benevens de /hm, welke men er voor betaald heeft, e^
dan kan, in dit geval, door de verdeelings^divilte , gevonden
worden : hoeveel de éénheid van het gewigt of de maat m geld»
vaarde bedraagt. Qs)

31, VooBBEELD. Iemand heeft een ftuk linnen , dat pellen
kmg is, voor 46 gl. 10 ftuivers gekocht; hoe duur is de elf

(a) Hie worde de prffa van fommlge waren bepaald t

U) Htlder dU geval uoor een voorbeeld op ?

(5) Welke andeie foort van vragen komen nctpneer VW t i

^^ il 2 ■ DigitizedbyV^OOglC

88 ALLEREERSTE grondbn der

Verklariko# Men verdeelt, geijjk
in de nevendarnd; bewerking te zien is,
de 46 gl, lo ft. in 56 geJ^ke deel^a i het
les en v|jftiglle deel of 16 ft» 9I penn.
is dan klaarblQkeiijk de waaide van elke
el. CÖJ

56/

ifi gU Vi fU

370
330

40

ga. Iemand heeft ingekocht 613 fQ thee^ welke ^ met on^
'gelden^ bedragen 1539 gU 10 ftuiv,; tegen hoeveel woet hij
het pond uitverkoopen^ om één^tiende^ of tien ten honderd ^ te
wwnenP ^

*.

613)-

1539 5^^» 10 fi' Inkoop*
• 153 s 19 IfijielU

1^93 : 9

^gl^isrt^A-ffzpentt.

Verklarino* Men telle. b|J het be-
loop van de thee; dat is, bq 1539 gl* 10
&• één> tiende gedeelte , hetgeen volgens
art., 222 berekend wordt; "de fom is 1693
gl. 19 ft. Indien hg nu voor deze fom de
<5f^fi thee verkoopt , wint bö één«tiende ,
Vf tken pCt. Men deele dan 1693 gl. 9 ft. \n

^13 get^ke deele»; -dan vludt men 2 gl* £5 ft. 4,^^ p(.nn«, waaavoor
het pond , tot uat einde , moet verkocht worden.

* 38* Maar tegen hoeveel zal hij het pond van deze thee verkoop^n
moeten , om 'één-derde van dê geheele inkoop fom te winnen!

34. Indien her honderd St, Vbes zout van 4Ö4 maten koit 450 ^
''7 fi 4 % » hoeveel- koit dan elk dezer maten ?

• SS» IVanneer de 100 fg Roomfche Jlitin kost iio fi, hoeveel moet
men dan ^ktt pond uityerkoopen\ om de helft van de inkoopfom te
^^innen'^ . ' /

s6. U^anne r het last Zeemvfche tarvf ^\Amftetddmfch€ maat ^ kost
'^30 ggl» 22 ƒ/ hoeveel kost dan d$ zak en het fchepel ?

37. Eene partif tarw , bedragende 37 last , is voor^fpo gnïdems
Angekogt^ tegen hofveel goud-guldens Zal men het last weder muejen
yerkoopen f om ëén^zesde te winnend

22g, lil. Ook heeft wen dikwijls noodig ^ om de hoeveelheid
te 'bepalen , welke men van zekere waar , tegen cene gegeyene
Prijs , voor eene bepaalde én ^egevene fom , koópen kan \ en
zulks gefchiedt door de verhoudings-divijie. (7)

(6) Helder dit door een voorbecid op ?

C?) Welke Föort van vr.igea kao men Jil meafbyfö^cMilvoorffatiide
regels oplosfen? o »

C^FERKU.NST. H HöOfDtt XIX. le«. 89

|8« Ummié kteft eene fom van éöoo ^/. , en wt7 daarvoor
tfhopen koffij\ tegen] 24 fiuh. èet pond^ vrage: hoeveel ponct
hj foor die fom koepen kan?

VKucLAftma* Men beptle - hoeveel- f y. f öooo*'^ 1r^^,m
ffiiil 24 a. op Coo ^. begrepen £$11 f bet- ^ /'• \ so / -°^* »
lecn, onar ck voorrcbriiten vin ileXVH , ■

Iti , gcfchieilc , dour deóceo gU lot ftui v. : iaocc<>/>,

te horitidêti, en de komende ifiooco ft. '— — — ■ «

Ax>r ft) ^uiv» te taeren; wamreer men vinden 2al : dat , tegen dien pr^J»
fcrekcnd, voor 6000 gl. kunnen ingekoclit wo den 5000 ff koffij. (a>

39* Hoeveel pond koffij^ tegen 22 ft. 8 penn* het pond t kau pten
^pen voor '2500 gl,^

40. Indien een last grann koet ftio ' ggU i3 fp. hoeveel latt kan
9eu dan kunnen koopem voor. ^00 gi, 9

230 AAMtERKK^G* Vele andere vrvfigilnkken Kun menv
door de toepasüng der voorgaande regels, oplo^i}« M«i
moet deze {oepasSng zelve ipekeo v waarin men ak^d flagen*
»I, wanueer men het geen reeds, ten dien aanzien, art. 78^
Bhdz. 94 en 25 Is voorgefciireven , belioorlijk in acht neemt.

40. VooRBCSLo» Eene fom van 900 gh moet onder tvt^ee menfchew
terieeld worden « zoodanig dat » zno menigmaal de een drie gulden
fcrkrijgt y dt andere pwee gulden neevu \ men vtnagt z- hoeyeel tlh
MheM moet f

41. £en Metfelaare haae heeft 15 metfel'ears en 15 opperüede» in:
zijnen diens/ ^ welke aan dagloon, de mMfelemr t gL z fu en de
merman 15 fenlv* daags verdienen: hoeveel hedraagt nyUe^ in dem
M/^ yan 6 dagen ^

4t- Wanneer op eene vrdgtkar 1030 9 geveigts gehaden kunnen
Vürden : hoeveel zulke vragtkarren zal men dan nooilg %ehbeM ,. 0^
^•en last vnn 171^ fg te vervoerend

Al» 7vfee perfonen moeten 60 gulden deelen, modmMtg-^ dat\ mtui^
mer de eer/te de helft e» de fvee^e een 4frde gedeelte voet ^eze
Jm genomen heeft ^ de rest onder hen moet verdeel d, gorden y in»
ifenredigbeid van hetgeen zij reeds verkregen hekken ;.men vraagt :
hoeveel elk na de ein4eUjke verdeeling verkriigtt

44* Waanneer men het zonstejaar op 2^ dag^n^ 5 nren 48 minntet^
46 féoandea f telt ^ en volgens den juHaattfiSen^ AUnanak^ door ^ van'
fier tot yier jaar , een jaar van 566 dagen aan te nemen 9 het *«/-
gerlijkejaar op 36$ dagen en 6 uren gefield wordt p, vraagt men^ m
hmeeljaxan hee ondeefeketé é^sen deg keéragen Moü^

Digitized by CjOOg IC ■ .

fff

$<> ALLEREERSTE gronde» dèr '

Ilf; HÓOFvDDEEL. Ch^er de genytmi&gfié eigeïifcA^
pen der Getallen^ enz. ,

^ XX. . L E ?., Over de deelbare en .ondeelbare GetaU

len ; jommige kenmerken .van deelbaarheid. r

23T, * Een kleiner getal 7 wordt gezegd een deeler van
45en grootcr. getal 35 te zijn, wanneer dit kleinere getal eeo
^ evenmatig deel van het grootere is. (i)

232. \ In elke deeliug, die opgaat, Is dus d^ deeler ee<i
deeler of evenmatig; deel vau- het deeltal. (2)

233. * De éénheid is deeler van elk getal: m;^«^ geen ge-
t9l zijnde , wordt zij niet gerekend tot de deelers van hei#

! zelve te behooren. (3)

I 234- * Een getal is wel door z-ch zelve deelbaar: maar

ook, in dien zin, wordt hec woord deeler niet genomen. (4)

* 035- * Derhalve wordetfy om dit alles t^ zamcn te nemen,

de éénheid en het getal zelve niet als deeler $ aangemerkt, (5) -

.- 236. Men onderfcheidt ' de getallen in deelbare en ondeei'

*v. •; hare.^XlS) :

"■'"■•■ 237/ ♦ Deelbare getallen zijn, die (behalve de éénheid en

_ •. zich xelve) 'door geen kleiner getal, zomkr overfchot kun-

'^•* iien :gedeeld worden.. — Korter. — ♦ Deelbare getallen tijn

- ^ 'Htzvffte^ welke ^e^nig kleiner getal- tot deeler hebben.. (7) Ji4j

v-öorbeeid 35, 72, 91^ iip., ^»s. welke 7, 12,*^ 13 en 17

«ot^.eelers heb^eli. (8>

• . ' 238. ♦ Oudeellqre getallen zijn i- die, door geen kleiner gef^
deelbaar iijn. ^p> iSy voorbeeld 1 j, 43^ 97, enz.

259.^ Daa^ het van veeV belang is, de ondeelbare getatleb
te kennen, zullen w^ dezelve alhier, 'van één toe dnizenrf
^PS^^^wo, opgeven.

(O Wanneer wordt een getal een deeler vaa een snder senoemd»

|»J Wtt velgt «lftar.wtf , _ ,- „«^•^««'..

(5) Wordt de éénheid Wel deeler genoemd?

(4) Kan ook eeo gVil als deeler van sicK «elve beftkoiwd wkI^»

^5) Brengt d*t alles te zamen» ^>^ ' ^'^

<6> Hoe' onderfcheidt men de getaüeat

^> Wac zQ» deelbare getallen f .

Ca> Geef voorbeelden t

CS> Wat veiftMï a«a dgo« ondedbare gettllMifby Google

CIJFERKUNST.inifOpfDD.XX.it». gt
Tafel dkr omdeblbarb OBTALten.

a , 3» 5» 7, lï» 13» '7> ïP.^3. «9» 3i » 37» 4» » 43»

47» 53^ 5P, 61, 67, 71* 73» 79» ^3. «9. 97» «ot, 103^
107, 109, 113, 127, 131, 137» «39» 149» >5i»i57» 163»
167, 173, 1799 i8l, 19* jr 193» 197 f 199* 2JI, 323, ^^7,
aap» »33» 23y» H» » -S^» «S?» 263, aóp, 271, 277, 281,
283, 293, 30^ 3tl» 313» 3ï7i 331» 337» 347* 349f
353» 359» 367. 573, d793 383» Z^9t 397»' 40«. 4ö9f
419» 4^*» 43Ï, 433. 439» 443» 449» 457» 4^1» 403»
4<^7» 479» 4«7» 491» 499» 503» 5cr9, S»»» 5«3» 54« t
S47» 557» 563» 56P» 57^9 577 9 587» 5J)3» 599» <^»»
607» 613» Ö17, 6ip, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 66%i
4^3, 677, 6B3, 691» 7Ö1» 709» 719» 7^7» 733» 739j 743»
75^» 757» 7Ö1, 7<59» 77i» 7^7? 797» 80^» 8n » «21, «25,
827, 829, -839, 853, 857» 859, 863, 877, 881, 883, 8Ö7,
907, pii, 919, 929, 9^7 f 941» 947» 953» 9^7f 9/1» 977>
983» <^9^9 997 y Jo<^9» 'Oï3» enz.

19 B» Men raadplege, wegens de vr$2e, hoc deze gcta 'co gevondeo
wordeo, den serften Curju$ der ft^isknndi^e Lesfen^S ï75 ^ $ I78#

240. f £^« g^/// i% dielhaar of cmdcelhaar ; Qr bcfiaat ge^-^
ne derde foort. (10)

2^o. a. De begiirfclen, op welke de cigeGfchappen van dö
^ daelbaarbeid der getallen berusten, zijn de volgende:

I**. t ff^anneer een getal n een dceler ii v«^» eenige geiaiien
aj b^ c^ dy enz.; dan* is het (Mtk een ikelcr van de fom de^
zet' getallen. ,

tl"*, t £^fi g^^^i n^ dat een deeler ii van twee getallen a
en ^9 SS ook een deeler van het verfchW van dezelve. ' _,

3f . t ^^ ^^« getal, n een deeler van een ander getal a ; dan
is het oek een deeler van een veelvond van ketzehe.

4*^. t Wanneer een getal n een deeler ii van eènige gegeveui
getallen a^ b, c en d , m^ar geen deeler van een ander getal e ^
zoodanige dat wanneer e door n gedeeld wordt ^ het getal q
in de deeling overblijft 'y dan zal y wannéér de fom der getallen
a + h + e+d+e door n gedeeld wordt;, liet *oyerfchot vah
die deeling insgelijks het getal q zijn. ^

ft4t. Ons fcelfel van cellen bezk verfcheidene kenmerken
▼tn deeibairbeid y welke w^^ in den Eerfteti Curfm óa^

p ■ ■■ j ' ' " ' j ' ■ ■ I' * ■

(10^ BeflMMI er nog eene dorde r<wrt vaa getaUtet' ^^^ ' ^

5» ALLEREERSTE gr*onbbm B«ft

I

dTtskundigê LesQ:n^ betoogd fiebbenf e» wa«rvm w^ hiet dé
ceiivoüdigfce en onontbeenijkfre zullen opgevA.

242- * EviM getaUcn zijn ge/aikn.^ dit è>ar tvm d^eïbatfr
*^ (il)

* 542. tf. t ^^^ ^^ getalkn %ijn in den vorm na en üUè
me^erte in den vorm %a '^ i.'^egrêpen^

\ «43* * Onerene getalkn zijn ^ welke ^ deer H-ee gebeld zHn^
de f één in de deeiing arerlaten^ {12)

144. t ^^^ getaUen^ wtlke, in de plaatider eenheden, op^
jde cijfen^o^ 2^ 4^ 6 tf^ eindigen^ zijn evene getaikn^en dus ^
$en minjien door twee deelbaar. (13) Bij voorbeeUi, 30» 4a ,
64^ iftO, 31^8 erfz.

«45. t Jlle getallen, u'e/ke^ ik de phaU der eenheden^ op
één dtr eijfei^^ i ^ 3» 5* 7 <f 9 einaigen^ zijn onevene &.
taikn. (14) ^

%i^i.a. * E«ne nj tot gecalfen, die mee geUJIce verfcliillen
opklimt, noemt men eene rekenkundige reeks, f /lile yeel-
rtmden van een getal w zijn ^ in de reÉenkmflfge re$h ^ an^ ^n^
4n\t yn, én, 7», 8»,.9«, iö«, enz. begrepen, f. Een ge-
taiy dat een veelvoud vnn n ef deer n deelbaar a, h in den
aigemeenen vorm n X a (f na ^ begrepen; en een getal ^ dat
^dscf n gedeeld zijude , i in de deciing overlaat^ in de fiwmule
na + k^

«45. b. GEvaLOE^v j**. f -^^<? getalkn , doer 3 de^kaar
nijnde, ^jn in den vorm 34^ begrepen;, maar zeo uj i of 2
in de deeUng overlaten , in de vormen 3 <? + i ^7/3^ +8.

fl^, \ Aik ondeelbare getalkn tê^ in de vwmen €^ + t
9n 6a + i begrepen^

S®, t ^' kunnen eek gekftkkn werden in de vormen 30^-f r ,
Zoa ^ 7. zon + 11, z^a+ 13, 3<^iJ^- 17, 30*^ + 19,,
|ov» 4- 23 «I 30 tf + 2p begrepen te ujn^ — Het omgekeerde
wan èkne iaatfte fieWngen , gaat met algemeen deor^

&0^ f fPanne^r het achterfte ciffer van een getal éé^ nuf,
ff eé$ .viffis ; dan H dit getal door vijf deelbaar. (15)

C IJ FE R K U N S T. III HO OIFD D. XX. ttu pj.

247. t ff^anneer men de twee achterfie ciffers van een ge^
tal affnijdt en dit afgefnedene gedeelte ,' als getal op ziek zelve
if nomen y door vier deelbaar is; dan zal het gefielde getal altijd
du9r vier deelbaar zijn» (f 6) Bij voorbeeld, in het geial ,
17324, is het achiepde gedeelte 04 door vier deelbaar \ I73t4.
2fii dos ook door 4 deelbaar zijn.

248. \ Aüe getallen^ welker laatfie cijfers\ zijn (^of^S^
ƒ50 (f 75 9 zijn door 25 deelbaar. (17)

Aanmbrkimo. Men kan de kenmerken van deelbaarheid door 8»
1^* 32» 64, ia8 enz. en door 125» 625, 3125 enz. uit dezelfd*
firoudeo, gemakkelQk vinden*

249* t fyanneer de fom der cijfert van een getal door drie
<f negen deelbaar is;, dan zal dit getal ze^ door drie of nem
gen deelbaar zijn, (18) Bij voorbeeld, in het getal/32172,
is de fom der cyfers 3 + 2 + 1 + 7+2 :=^hs door
3 deelbaar; men zal dan daaruit' mogen benuiten;f dat dit
getal 32172 door 3 deelbaar is. «-^ Wederom, de fom der
cgfers van het getal 71325 is door 9 deelbaar; men zal dao
dtaniit insgelijks mogen beüuiten: dat dit getal door 9 deej»
baar is. (ip)

Veelvouden van, 3 zffnMT/, 5319, 41^85, 157773 >^»^» — «o ^ö«*
youdco van 9 zön; 888777 > 277443 » 1 73321 19, enz.

250. t Wanneer de fom der cijfers van een getale door dri^
(f negen gedeeld wordt ^ en dezjs deeling niet opgaat; dan zal^ de
rat dezer deeling dezelfde zijn , als ^ wanneer men het getal
tihe door drie of negen deelt* (20) Voorbeelden. In 713
is7 + i+3=:ji; deelt men 11 door 3; dan bl^ft
er 2 ©ver: nu zal er ook 2 ovfrbltjven, indien men .713
door 3 deelt. In het getal 71258, is de fom der cijfers 23.
Deze fom door 9 deelende , is de rest der deeliiig 5 , men zal
dnn daaruit mogen beduicen: dat dit gecBl, door 9 gedeeld
zynde, 5 in de deeling zal ove:laceta^(2i)

251. • t ^^« g^f^^ zal door 11 Mbaar zijn; wanneer, van;
den rang der eenheden'' af te rehnen^ de fom der eerjie ^
eerde y vijfde^ zevende y enz. cijfers van dit getal , met d$

(16) Welk is het kenmerk van de decibaarheid door vier? •

ii7) Welk is bet kenmerk van de deelbaafhcM door 25 1
18; Welk is het kenmerk van de dtclbaarheid dtfór drie en negen?
(19) Geef hiervan voorbeelden?
(io) Hoe kan men van getallen , die niet door drie oF^g^ deelbaar

xjn, de rest der deeling vilden t nigtized by v^ *

(2i> Geef biervan voorbccidcnV

^ ALLEREERST^ OAaNDEif i>Eit

f$m van deiz$lfs tweede ^ vierde^ zesde ^ eoz. cijfers verminderd
zijnde ^ dit verfchil gelijk nul^ of door elf deelbaar is. h de
urjie fom grooter dan de tweede; dan zal het yerfchil^ zee
veelmaal met elf verminderd 9 als mogelijk is^ de rest der deem
ling zijn 9 wanneer het gefielde getal door 11 gedeeld wordt ^
Maar is de laatfte fom grooter dan de eerfle; dan zal men di^
laatfte fom zoo lang met elf moeten verminderen , to^ dat de
Aftrekking kan plaats hehben; het ^ verf chil zal dan de rest der
denlirg zijn (22) Voorbeelden* 55, 187; 3883 230075;
üoofS, 15294. C23)

252. f Een getal zal door 7 deeJhaetr jidjn^ wanneer het-
dubbel van hes achterfie cijfer van het voorjh- gedeelte
des getal s afgetrokken zijnde , bét verfcbil door 7 deelbaar
is* (24} C^ voorbeeld, 301 h door zeven deelbaar; omd^
30 — '3 'X I =3 a« door 7 deelbaar is. (25) •

st5ft, ai t ^^f^ g^^ ^ ^^^ 13 deelbaar zi^'n, warneer
het acherfle cijfer van dit getal afgefneden zijnde, de font vasf
tkmeêal het achter fte cijfer en het veorfie deel insgelijks doow
f3 deelbaar is. Bij voorbeeld 42627 , 559663 en anderen.

253. b, t Een getal is door ly deelbaar ^ wanneer vijfmaat
het achter/ie cijfer van het voorfle deel afgetrokken zijnde^
het verfihii door 17 deelbaar is. Als, Wj voorbeeld, de gé»
taüeo 369801 en 210522^. ^ ^^^

252. r. Ëen getal is door i^Ldjelbaar^ wanneer tweemaai
het achter Jle cijfers bij het vootflef gedeelte opgeteld zijnde^ de
fom insgelijks door 19 deelbaar is. p. v. 40451 en 586093/

2^53. f If^anneer een getal door twee of meer ondeelf^are ge»
tallen^ in het bijzonder ^ deelbaar is; dan zal dit getal ook door
het product van twee (f meer dezer ondeelbare getallen kun»
wen gedeeld worden. (26) 'B^i voorbeeld» 2310 is deelbaaf
f^^^^^ 2, 3, 5, 7 en 11: bet zal dan ook deelbaar zyn» doqr
^X3,2X5»2X7»2Xn,2X3X5X7»a>Cs
X 7 X II , enz. (27)

Alle deze eigenfchappen der getallen, benevens nog vele
anderen , zijn , in den eerften Curfus der fVisk. Lesfen^ betoogd^

^^ga) Welk is net kcjiiiierk van de deelbaatheid door elf?
^^(a3) Geef biervan voo beelden?

(24) Welk is her kenmerk van de dee'baarheid 4oor zeven?

(as) Geef voorbceHcn ?
"^ao; War aai er plaats hebben , indien een getal door iwec of
ondeelbnre getallen deelbaar is? nr^r^n\o

Car) Helder dk door eea voorbeeld op I Digi izedby woogie

CIJPÏ^'^ KU MST. Itl HOOFD ^. XXI. LÉS. 95

XXL LES. Oyer het vinden van den srootHen gemee-
neti Deeler van. t^^ee getaUen.

254. ♦ Een getal 7, dat een deeter, of evenmatig ♦eel ;
vnft twee getallen 21 en 35 ^^^^^ '" ^^ bijzonder , Is , wordt een
gemeene deeler van die getallen 21 en 35 genoemd, (i)

355. f T;;ee getallen hebben , onder de volgende omfianm
digheden, geeiien gemeenen deeler. !*>• Wanneer het beide
mdeelbare getallen zi\n. a''. Wanneer wel het eene getal deel*
baar 9 doch het andere mdeelbaar is. %^. Wanneer wei beide
getallen deelbaar zijn; doch geen der deelers van het eene getal
te gelijk een 'deeler van het andere i% (2)

\k,6. * Getallen, die geenen gemeenen deeler hebben, wojr-
den onderling ondeelbare getallen genoemd. Cs)

257. ♦ Getallen 21 en 35, d^e eenen gemeetmi deeler 7
hebben, noemt men onderling deelbare getallen. (4}

258. t f^anneer een deelbaar getal 5o aw gerueenen deekr
van t^e getallen 300 en 540 i%; dan zi}n al de deelert
9an dit getal 60, als 2, 3, 4* St ^% io> ia, 15, 20 en
30 , insgelijks gemeene deelers van deze getallen (5 J

259. f Er zijn dus gevallen ^^^aar in twee getallen meer dan
éénen' gemeenen deeler hebben i onder deze gemeene deelers is één
de grootjle. f ^« aêder^ gevallen^ hebben twee getallen fle^Jat
éénen gemeenen deeler^ •"die loen, even als in het eerde %94
val, grootfien gemeenen déekr oioemc, (6}

a6o. Het is in veel gevallen, van belang: dat men weter
of twee getallen eenen groot Hen gemeenen deeler hebben ^ en
we&e die zij f Men gebrutkc, om ziïlks te onderzoeken, den
volgenden

. Algemeenen regel. Men deéle hef grootjle der twee gege*
vene getallen^ door het klein/Ie^ de deeler van deze eerfig dee*
4mg door het overfchot van diezelfde deeUng. Men ga^ op de-
^Kie wijze ^ voort ^ met den deeler van elke hotst veorgamde
deeling y door het overfchot of de rest van dezelfde deeling te dee»

tO Wat verdaat men dooï dea\gémecnep deeler van twee geialleii ?
Ca) In welke geval leir, hebben twee getallen geenen gemeenen deeler?
faS Hoc noemt men de getallen, die geenen gemeenen deeler hebbent
Cxi Hoc de getallen, die eenen gemeenen deeler hebben ?
ÖD Wat heeft er plaats , indien een deelbaar getal de gemeene deeler

van twee getidlen ia? , ^ ^ ■ .

(^ Wat verftiMC suea door den grooMteQ geme^ta dealer vaq ti^ee

£ctaIlco?

95 ALLEREERSTE GRONDEN DER

kn: indien men dan tqt eene deeling komt^ welke juist opgaat
is de deeler van die laatfte deeling de grootfte gemeene deeler der
twee gegevene getallen : maar komt men tot eené deeling , welke
de éénheid tot- rest heeft ^ is zulks een kenmerk: dat de gegeyene
getallen geenen gemeenen deeler hebben, (^y Men kan hier bij-
voegen: dat 9 wanneer men tot eene deeling komt^ welker rest
een ondeelbaar getal en geen evenmatig deel van den deeler is ,
welke tot die deelitig behoort^ daaruit mag befloten worden: dat
de gefielde getallen geenen gemeenen deeler hebben. (V)

a6i. Deze regel is, in den eerflen Curfus XVI Les § 258
betoogd. Stellen wij tot een voorbeeld: dat de groot/ie ge*
tneene deeler der getallen ap7P5 ^6313 moet gevonden worden"^

ö3iS/a9795f4

/2525a'-

4543/Ö3T3/1
/4543'-

1770/4543(2
/3540V

1003/1770/1

/iC03^

I 7^7^

59/a35f4
r$it / o^ .

VBnKi.ARWO* Men deelt het grpotfte gei;»! 89795 door hét klein-'
fle ($313 ; het quotiënt (waarmede men niets te maken heeft) is a »
en de resci der d^eling 4543.- Den deeler der eerfte dseling Ö313 deelt
men , volgens den regel , door het overfcbot 4543 der eerfte deellng ;
4e res« dezer tweede deeling is 1770. Men gaat nu, volgens den regel-
vowt» om den deeler 4543 der tweede deelliig, door de rest 1770 vau
diezelfde deeling te deden; de rest dezer derde deeHng is loo*.
Men gaat dan , op de zelfde w^ze , voort , geigk in de bovengaande
fchecs verder te zien Is 4 tot dat men bevindt : dat de rest 50 vun
de zevende deeling, een evenmatig dceA van den deeler qa6 dezer dee-
Üng !$, en befluit hieruit» dat 50 de grootfte gemeene deeler
der toorgeftelde getallen is. Indedaad 156313 * 59 = xo7,en

Ct) Hoe vindt men den grootften gemeenen deeler^aa twee ffetatteof
<8) Wdt lura men hier böy)egent mgi .ed byV^oogl e'**»^»

CIJFERK UNS T. III HOOFDD. JCXI Lps. p7

39793 ; 59 rr: 501 ; en danr 107 een ondeelbaar getal is , zïet men (verg,
aru 055) ^*^ ^ getallen 107 en 505 geenen geraeencn declcr meer hebben.
Voorbeelden. Den groof/ien gemeenen deeUr tê yindtn^ 1**. .yan
65091 ^«104000? 2^. van 17085.^» 53i9?3*^#r4« <5o9/« Ii3.^?4<». y4«
»S9999 ^" Ö3879 ' 5**« y*'» 135209 tf« I48Ö95?6*. van 133187 «/i 400932?
70^ Vö« 180964 en iP9o8a? y/x« 175325 ^/i 810375?

062. Aanmehking, /Tip/ r/wöV» van den grootften gemeencn
deekr van t^ee getallen is ^ in de behandeling der breuken en
evenredigheden^ van veel gewigts. Meer bij zonderheden vindc
men, in onze fFiikundige Lesfen^ op de boven aangehaalde plakt^,

XXIIf LES. Over het vinden van het kleinfte gemeene .
Veelvoud van twee of meer getallen.

. «63. * Een veelvoud van eenig getal 5 is een getal, dat
door dit getaPs, waarvan het veelvoud genoemd wórdt, deel*
baar is. (i) | Een getal 9 dat een veelvoud van a h^ en een ge*
tal, dat door a deelbaar is, zijn twee manieren van fpreken ^
die dezelfde beteekenis hebben.

264. * Het woord veelvoud is een algemeen woord ^ hetwelk,
naar het getal, waarvan hec een veelvoud is, de benaming vati
tn^eevoud^ drievoud^ viervoud, twint^igvoud , etjz. verkrijgt, f2)
* Tweevoud is dus een getal , dat door twee deelbaar is ; drie*
youd een getal , dat door drie deelbaar is ; iwintigyoud een ge*
tal, dat door twintig deelbaar is, (3) enz.^-\ Een veelvot^ van
een getal ontflaat derhalve uit .de vermenigvuldiging uan dit ^e*
tal mei een fln4er. (4) ^

ft<ï5. ^ Veelvouden van hetzelfde getal noemt men gelijk'
nomige veelvouden» Zoo zijn alle tweevouden, alle drievou*
den, enz. gelöknamig. (5)

%66. * Veelvouden van onderfcheidene getallen z^n, ten
opzigte van elkander , 4ngeUjknamig.^ Q6)

267. f De firn en het veffchil van gelijknamige veelvouden 9
hHjven, met elk dezer veelvouden,, gelijknaiHig ; en hei veelvoud

(O Wtt beteeken t bet woord veelvoudt

Ca.) Verklaar mij nader bet woord veclvondf^

fg) Wat beieefcent aesvoud, dertigvoud, énxt

M Wat volgt hl emlt f

CO Wat zM gelQknamige veelvoaden?

CO Wat zftt OB«I|knamige veelvoiidea^ ^ t

. , .^ , ' J • DigitizedbyV^OOgle

p8 ALLEREERSTE ORO n p s n d é r

van een veelvoud blijft imgeUjks met hetzelve ^Hjknamig. Xf)
Zie $ 240 a , bier boven.

268^. * Een gfeftil (So, hetwelk door de gemllen 5, 3,4,
5, 6, 10, i«', ^5 en 50 deelbaar is, wofdt een gemeen veeU
voud dezer getallen of deelers, a, 3> 4> 5» <^> 10, 12,
tS en 30, genoemd. (8) — Aldus is 105 een gemeen Veel-
voud van 3, 5, 7, 15, 21, 35, enz.

269. t ^^^ gedurig product van eenige getallen ö, 3i 5^ 7,
namelijk aio,/5 natuurlijk een gemeen veelvoud ^^zoo van dezelve^
als van twee of meer dezer getallen , met elkander vermenig*
vuldigd. (9) f Maar ^ wanneer deze getallen^ als ^ bij vr>or*
boeld^ 2, 3, 4, 5,. 6, 10, 1^9 IS en ^o gemeene deelers^
hebben^ is wel het gedurige product 38880000 een gemeen veel-
voud; maar niet het klelnjle; waoc, wij hebben, zoo ei^n,
gezien: dat 60 ook een gemeen veelvoud vun die getallen
h. (10) t Ook, wanneer men een veehoad van 'eenige geaai*
ten met eenig ander getal vermenigvuldigt ; dan blijft (art 2^)
het product een gemeen veelvoud van diezelfde getallen. O')
f Een aantal van gegevene getallen heeft dus ^ene ombepaalde
oneindigheid van gemeene veelvouden; onder welke noodséak^tijk
één het kleinfte is. 00

270» * Het kleinjle gemeene veelvoud van eenige gefaHen^
h aan het kleinst mogelijke getal, hetwelk door al tiie getal-
len deelbaar is; of, waarvan al é\t getallen, elk in het b\)-
ionder, evenmatige deelen zijn, (13)

271. Aanmerking. Het is, in veel gewone en ffelknnftige
' berekeningen, van groot aanbielang, het kleinfte gem%ene veel-
vond van eenige g^g^v^T^ getallen te kunnen vinden. Men
vindt hetzelve, door den volgenden regel naatttrkeorigmk in
acht te nemen*

Algemeens regeu i^* Men fchrijve de gegevem getal-
len naast elkander ^ en beproeve^ welke getallen door één der
ondeelbare getallen, 2, 3, 5, 7, li, 13, I/, ip, as»
2y, 31, e»2. C<*en rang der Öötfeelbare getiliren VóTgéndè, ëb

(7) Welke zyn de hoofde!gcrt(bbap|)en der gelDkdtmigè ^eelvoodea f

(8) Wat veruaat men door een gemeen veelvoud van 'eeni^'geialleiit

(9) Wat merkt g^ ten^Qii^a van een g^diiria product op^

rio) Is een gedurig product wel altQd uetklenfte gemeene veel foodt
Tic) Deftaan er meer gemeeue Veelvouden dtn één f
fia) Hoeveel is het aantal der gemeene veelvottdai| Van eentee §eiallett T
^3} Wat vorftaa^ men door het Ueinfte gemeene veelvoud ?

CIJFER KUNST, m H00FDD.XXU.LE5. gp»

geen van detzelye. py^lhandje,^ deelbaar zijn; men fchrijve dê.
ieelers^ die men gebruikt^ in e^ne kolom onder eikandet^ en^
de quotiënten onder de getallen , welke door den aangenomen
deeler deelbaar bevonden ziln.

2\ Ten opzigte van deze deelingen , moet men vooral op twee
dingen oplettend zijn. i*^. Moet men nooit do^r eet^en deelen
deelen^ of er moeten ten minfie^ onder de gegevene getallen.,
twee geyonden mrden^ waarvan die deeler een evenmatig deel
f>. a° IVmneer men reed$ door een getal gedeeld heeft ^ moet
men nogmaals de nieuwe rij van. getallen, mef dienselfden, edeler
beproeven; en daarmede zoolang aanhouden^ tot dat, onder de
opénfiaande getallen , bij de laqtfle deeling verkregen , geen twee
getallen meer gevonden worden, welke beide door dienzelfdet}
deeler deelbaar zijn.

3**. Men mpeP de beproeving^ met de volgende ondeelbare de&^
Iers f voortzetten, tot dat er, onder de overgeblevene getallen en
laatst verkregene quotiënten, geene meer gevopden worden, dié
een* gemeenen deeler hebben. Afsdan vermenigvuldigt iken die
overgeblevene getallen alle met elkander , en het gedurige pro*
ihtct met al ée deelers, waarmede men wet;kelijk gedeeld heeft,
en die, op zijde ^ in de kolom der deelers, gevonden worden. Dit
gedurige product is dan (wanneer men dezen regel letterlijk, gf
vo^ heeft ^ het l^^lie gemeene ve^lvQtid der gegevepe ge»
tallen. (14) -

fi7a. VooRBEBLi),. Het kleinfte gemeene veelvt^d van de g^*
iailen 27 , 15^ 35, 42, i^o, 77 en 55, te vindent

J^ 3. 9 $ i n (50 tt tt
% 5 7 ^

:ï 7 4

II

diiS4X 9X11 X7X5X3X2=: t^i6o het klelnftf
gemeene veelvoud der gegevene getallen,

Ve&K.LARiNG, Men deelt eerst de getallen 42 en 12© door twee,
en (chryfc de quottenceii 21 en 60 onder deselve f dan heek men de
^ «7» ï5» $5» fti» öo» 77 en 55 • en daai er in die rtJ maar één
geta^ 6a door twee .d^lbaar U , beproeft men d^-iieUlleii van des^e
twee Ie t'i met den deeler 3 , en deelt rj , 15 , 21 en^4$,o doof drie ;
dan verkrJBgt men de rj, 9 , 5 , 35« 7» fio, 7f en 55, onder welke

(14) Welke is de regel, om bet keinae gemeene veeWoudTV^ eeni^
« • getal Icn te vinden f ^ 09^^^^ by v^oog 1

i

ïoo A L LER E E RS TE GR o NX> E N 4) e R

(lecbts één getal 9 döof drie deelbaar is. Men hepcoeve de getallen
dezer nieuwe r|j mee den deeter 5 \ dan vindt men voor de \'olgcnde
'iJ 9. ï » 7 » 7« 4 > 77» II. (Het is niet noodig de i te fclirtfven.)
Men beproeve deze nieuwe rö door 4en deeler 7} dan verki^gt men

g, 4, tl, II* Eindcl^ deze laatilc rq door den deeler 11; dan
oudt men eindelifk 9 en 4 , onderling ondeelbare getallen , over. Nu
vermenigvuldigt men deze getallen 9 en 4 roet elkander, en bet pro-
duct 36 met de deelers s, 3, 5» 7 en 11, Het gedurige product
B3160, is dan bet kleinfte getal, dat door de gegevene getallen
«7» 15 > 35» 4«» lao, 77 en 55 deelbaar is. (15) Het betoog vrn
"dien regel vindt men, in den eerjien Curfus XVll Les^ Bl^dz* 16^
en BegInfeUn der Stelkunst , § ai6 Bladz» 92.

Voorbeelden, Het klei n/f e gemeene yeelvond te vinden ^ !**• van
a8 en 42? a**. van 12 en 16? 9". van 45 en 63? 4*. van 51 en 57?
50. van 8< 10 en I2f 6*". van ö, 18, 55 en 99? 70. yan 18,35,33,
36, 63 en 55? 8®, van s6, 45, 60, 105,*! 15 en lóf? 9*. vana, 4,
5, 12, 2», i« en 90? lo^, van a, 3» 4 5f <?» 8, 10, ia, 15 , ao,
«4» 30^ 40, öo en lao? 11". van a, 4> 8, 10,48,96,193603^(1?

\ IV. HOOFDDEEL. Over de behandeling der
Gewone Breuken^

XXIII. LES. Over de Gebrokens, in het algemeen ^ en
derzêlver Herleidingen.

273. Volgens art. 109, BlaJz, ^S^^ is eene breuk ^ of can
gebroken getal y de voorftellir.g van een zeker aantal evenmatige

' deekn van een geheel, f Zij moet, om bepaald te zijn, door
twee getallen zijn uitgedrukt; (art» iio.) ♦ door een getal»
dat men noemer noemt, en de waarde of {laam van elk even-
matig deel bepaalt; * en door een getal, teller genaamd, het»
welk het aantal voordek der evenmatige deelen, oit welke de
grootheid , door het gebrol^ en uitgedrukt, beftaat. Aldus h^
jn />5, het getal 16 de roemer en het getal 9 de teller,^ ^i)

^hans zullen wij de breuken af gebrokens nader lecrea
Rennen,

274, t E^^^ ^r^h ff^^^ Czoo wel als een geheel, getal,)
eene zekere grootheid voor oogen , welke , zoo dra de éénheid ^ of
wodulus^ genoemd wordt ^-bepaald is. (2) AI^ ik ? eg 7 voeten;
dan denk ik aan eene lengte, die zevenmaal de lengte v«i
éénen voet inhoud; maar zeg ik ^ voet\ dan detik^ aan i^ene

Cis) Geef eene verklaring van dien regel?

(I) wat is reeds van de gebrokens geleden! ^ig^^.yGoOQle

{Jij Wilt worde door con gebroken voorgdleld f ^

J«qgr?, die zeTeo-m^al-ééurtwaalfde deel van éénen voet kng
^' u3 — t ^^» geheel getal bevat dm eenige malen het ^^
kei o f de maat; doch een gebroken getal eenige walen eenig be^
faald evenmatig deel yan het gebeeL (4J .

S75« Naoerb V£RHU4aiN0, In het algemeen ^ drukt elk getr^*»-
ken de betrekking uit yau de grootheid ^ door dit gebroken voorgel
feld , tot de grSotheid , welhe , ia het uiifpteiên ya» dit gebrake»^
genoemd wordt. Wanoeer ik | van de iawoners van Atn^erdtm ^^$ ^ '
dan ileok ik atn zulk een aantal dezer inwoners , weikÏB tot al de &•
woBcrs ftaac » ats 5 coc 8. Wanneer ik eene Ij^u in 13 gel^ke deele»
verdeei «n 7 van die deeien neem ; dan worden die seven decle»
door /j \zn die lün uitgcdrukc en ftaan tot de gebeele \^\\ ^ als 7
lut 13. C5>

276. Men ondericheidt de br^ukea ia eenvoudige en z0r
wcngeftelde. (6}

2'jj. ♦ Eenvoudige breuken zyn zoodanige, welker tdler en
Doemer eeq geheel getal is. BQ voorbeeld, |, i|, en», (j)

378. ♦ Zatnengefielde breuken zijn foodanige» wellcer teK
Ier of noemer, oi welker teiier en poemer beide , gebro^
kene of «amengeftelde gewUen zijn^ (8) Zij zijn van drij^
foorten. 1°. H'^anneer de noemer een geheel getale e» dd:
teller een zamengefteld getal is » l^zie^ wat een ^am^ngefteld of

gemengd getal is y art. i^^,Bladz. 4a en 43^^) bi) voorbeeld — ,

welke breuk eene grootheid voorflelt, bevattende drieosaal-een^
vierde^eel,metno&de helft v^ één-vierde-deeL (pj 2\ fFanf
neer de teller een geheel^ maar dt noemer eep zamettgefield getai

isy bö voorbeeld, TT f welke br^uk aldus moet verdaan wor#

den: één geheel i$ in negen deeien verdeêU ; aehe van die
deeUft Mjn ge^jk 9 en het negende deel ii g^l^ aan twee*
moêl-één-d^rde d^el van één ^ dezer 0€ht gelijke deeien; en
de grootheid , door de namengejlelde breuk f/ti$ gedrukt ^ hen

•&

Hdder dit tem Anete vioerbedéeti 0^?

Ve^elük etm 40 bececkeaia van e&ii %^iêm\ V^^ met ta» \VÊ
ceo g^rokenr
" Omfcllftf ee» gekrokeo nog ndert^

Hoe worde» de lufMitai cmderfchiitot

W«t JQa eenvavdlÉe taeokCB T .

Wat s^n sameogeSelde breuken T

VMkrilt 48 «M«eft«)4e timlMft vaa dt^Mltt feoft^r

1% • '

102 A L L E R Ë Ê R S TE G R O N6 E if 0 B II

iat drie van deze acht gelijke dceïen (lo). 3^ fVanntet
teller en noemer leide gebrokene ef zamcngeftelde getaUen zijn ^

gelijk ^f (ii)» Zie verder, over de twee laatfte feoreen*

van breuken, wellie vooreerst vanmloder belang zijn, d^nEerjie»
Curfiis, §276—5 280 en § 29a.

279. De eenvoudige breuken, welke ïiet meest in gebtuilc
i^n , worden ia gebruikelijke en ongehrutkeUjke oLderfchei-
den. (ia)

28a. * 'Gebruikelijke Breuken zijn zulke ^ welker teller klei-
ner dan de noemer is, ea die bijgevolg eene grootheid voor*
ÖelleD, kleiner dan het geheel; 200 als |,^, ^J, enz (13J

281. * Ongehruikeli}ke breuken zijn die, welker teller gelijk
of grooter dan de noemer is. (14) a) f Indien de teller gelijk
aan den noemer is, als |, |, |§, zijn de breuken gelijk aan
flfe éénheid. (15) b^ f ^^ de teller grooter dan de noemer, ge^
lijk, in <le breuken '| , Vf , enz.; don zijn zulke breuken grco^
ter dan het geheel y en zij kunnen, in dit gevolg altijd tot
een zameHgefield getal herleid worden • (16)

282. •* Er zijn ook nog oneigenlijke breuken. Tot deiie bc-
liooren: d) brduken, die de éénheid tot noemer hebken: als
Vr ?> ^^^'y ^° v^n de geheéle getallen, 16 en- 18, niet
©nderfclieideii zijn. Zfi worden gelezen, 16 gebeelen , enz.
{17) b) Breuken van den vorm \f, ^^ eo %, Zie, over deze
fiwicf van breuken, ie^ Beg^ Stelk. % 532 en vérv. (ï8)

283. De wyze, op welke de breuken, in de berekening,
«loeteii behandeld worden, (leunt gefeeel op de drie vdgendb
itoofdeigenfcb ai^en.

v^\, f®# Ëén gebroken wordt' grooter^ indien de teller gr^Om
mr wordt, en de noemer- dezelfde blijft. • Aldus is ^, gröoie^

fïoyWelK zÖti dfe van dé tweede fóort?

f si) En welke zQn die van de derde foort f

ija) Hoe onderficbeidc men de eemVbudf ge breutcn f .

£b^ ^9H!t verfttaSt men^ docv gebmildetpe breuken t .. ^ .. / ^

^14) Wat verftaat men door ongebruikelijke breuken Ti 1 .

C^ OtnrcbrQf de eerde foort vin mig«bruM[éltHte boenkfaf

^85} OmfcbrUf de tweede IboM vmi onf(CiirtiUceJ|fke bMukenf

<[i77 Hoe verklaart gQ de ooeigenl^kc breokeir» wdke de ééohtKht^

noemec hebben f :_,..:.

(x8D VMkc«iifoi^(èoiteii vm.oitigc)sU{keJbc»^^ ^

(U^ Walt if 4e %W^ elfi)»ifcbmi^ tdtt bl«t^i«ik>

C ÏJ F E R K Ü N S T. IV HOOFI>to. XXHl/Lfc». iój

• 285. 2^. Een gebroken wordt daarentegen kkiner^ wanneer ^
ée teUet dezelfde Htjvende ^ de noemer grooicr wordf. Aldus
Is ï^ grooter daa /j. (20;?

286; 3*t Geiijke of getijknamige veeltouden ^ of geHjkna*
tuige evenmatige deelen van den teller en noemer van eenigc
breuk y geren eene andere breuk , welke altijd dezelfde waarde uif'
druk/. Cai) •

287. De twee eerde dezer eigenfchtippen zijn, wit zkb
- zelve, klaarblijkelijk; en de la«:fte is reeds, art. 141 fen. 14a ,

in andere bewoordingen, voorgedragen en aldaar volledig be-
toogd. Men raadplege bekie dezQ artikels, (22) -^ Bet. is
echter van belang op ce merken: f daf de derde of laat/ie
eigenfchap zoowel voor de zamengeftelde , als voêr de eem'ouaige
breuken y geldt. Men raadplege den eerfie» Qurfut der H^isk.
Les/en , § 25^2 en y« n

288. Aanmerking. jOm de gebrokens even gemakkelijk^
als' de geheéle getallen, te kunnen bebandekn, is het noodig,
dat men- zich met de volgende elf onder fcbeidene mauieien
van herleidingen gem eerzaam make. (23:)

28p. Eerste herleiding. Om ongebrutltetijke h-euken, kt
zamengefielde getallen te herleiden* E^ne ongebruikelijke breuk /s
gelijk aan zooveel geheelen , ah de noemer malen in den têlkm
^grepen is. Men deelt derhalve den teller door den noemer ^ het
quotiënt is het geheel^ en de rest der deeling de. teller, voft
ae breifky welke bij dit geheel moet opgeteld worden... (^i\X

VöORBKELDEN, ^# = S%; 'f = '315 ¥f =7;^^*= I3ïj >

ïJI^ = 9ii^3» enz.^ (25J Deze bewerking is vao de .herlei-
ding der deelen en mlnderdeelen tot geheelen,, in ^e XIlI Les
geJecrd, niet onderrcheiden».(26)

290* II Herleiding. Otn zamengejleïde getalUn tot- onge*
bruikeUjke breuken te herleiden , moet men den noemer dér bij ge*»
'voegde breuk t^ veelmaal nemen ^ als er, geheelen gegeven zijnp

T'ioJ 'Welke 1» die tweede ?

C2i> Welke U ae derdei , .

(i^; Waar is de liaatfie efgénllhap reed» betoogd 7

raa> W&t wordt er verei^bt, om de gebroke«i even gemtkkel^^ als

de gebeele get»llei|, te kutinen jiehimdelcnl
(sA^'Hioe worden oiigebrulkeiakë' breukea tot üameiigeftelde^get^et»

f«0 Geef Uervait voorbeeldefr? , n^v-^r^ï^

X^ Waanasde koou deeo herleiding overeèü9t^^^y^^"^8^^ -

i 4 '

104 ALLEREERSTE gronden dir

en dep Ulier der bijgeyoegjde^ breut; inj het pr»duei. opulk»^

^ X 3 + 2

(27) VOORBEFLDEN. Aldus IS ^ = = Y; 5^

Itl H&RLEioi.vG. ,Alle geheele getallen warden , onder de ge^
daante ran eenê brc^k , gehragt ^ wanneer men het geheele
getal tot teller en de éénheid t&t noemer aanneemt^ (^9^
Alijgs is ia :;= '/» ^ = f i enz* -

«9% IV Herleidino, PFianneer eenige èreuik.^in eene ke*
rekening y of^ in de uitkomst eener berekening^ voorkomt i
dan moet men ^ alvorens deze breuk verder te gebruiken^ on^
derzoeken: (zie XXII Les) $f deritelver teller en noemer eeneu
gemeenen deeler hebben; wanty indien er zulk een gemeene
deeler befiaat , kan de breuk-altijd y op eene eenvoudiger wijze ^
^worden uitgedrukt , wanneer men teller en noemer door dien
gemeenen deeler deelt. Cso) * Men noemt deze herleiding-^f^-
brevfatie of Ferkleining der Breuken. Cs U

S95. B$f voorbeeld, hec gebroken ^1^^ gegeven z^ndeV ontdekt
men, dat desïclfs teller en noemer cjcn geni«eacn iteelar 7 hebben^*
nu is 49 : 7 :=p 7 en 103 : 7 := i^, Uta bcfluic liict uit: dat
«t = /r J». C32)

VooRBERLDKN. Te ojiderzoeken : of de breuken JJj |f; UJ^
«§;• fif» mè* 7!?? i II4§» iim yerUeinbaar zijnt

294. V lip LEIDING, y^lle zamengeftelde breuken van ^ de
terfte foort 4zie are 1186^ kunnen tot eenvoudige kérkid
worden* \ ^

s Ltat, bQ voorbeeld» gegeven s^fns ^« Wm^ ^ r= |f =: f

neer men teller en noen;er vaq dit zamengeftelde I
gebroken verraenigxoildifft met den noemer der breuk , die bV het za*
meogcfteid.fKft}, in den teller, ftaat» moet meti (art* aoj:) eene
breuk verkrjfgcn, vrelke dezelfde vaarde uitdrukt* Om nu tl niec
% te verqicn»gvuIdigeo, moet men het geheele 'getal % met 3 en Ihïc
gebroken } met 3 vermenigvuldigen I en deze gedeMtel^ke productèit
bö elkander voegen* Nu is aXS5=9 cn3X # = li derhalve

(2r) Hoe wordt een lameogeaef^ getil tol een oagebrulkellk gebrom

keii bcrlcid ? -

(fil) Geef voorbeelden t

rap) Hoe breidt men een g efaeül gewl onder é^gednnte t« eene breuk r
CaA) Wmt moet men» bf eene voorkomende bbuk'. la RCbC aemcat *^
tsO Hoe wordt die herieidiag geaoemdt •*'~» ** ""^ #i^i««i^
^-->.Oe«C e» voorbed?. ^ ' n,.zedby Google • ••

C Ij F E R K U N S T. IV HOÓFDD. XXIIL izs.j6s

si X 3 =^ 10 en dttf 3 X 5 = 15 is , zul de gegevene zaneoge»
Üelde breuk = \% zf|o» uelke, verkleind ^tinciey gel(jk f w/>rdu
Men kin dan , h^ deze herleiding , tot eenen algcmecnen regef ftel«
Icn. Vernuttigyuldig ulier en noemer van het zamengeflfld ge^
hroken met den noemen der hreuk^ welke in den teller voorkomt^
dan zal men een eenvoudig gebreken verJtri/gen^ dat aan he$ za^
nengeftelde gelijk is^ en hetwelk 9 indien het mogelijk Zij ^ moêf
verkleind w^rden^ (33)

Voo.B.iax..N. Herleid ZL, 4; Ë.j ïl?; iS, ?L. !l. '

13 lÖ 2D ' 32 37 l8 31

opS» VI Herleiding. De zamengeflelde breuken van de
tweede foort woKdkn , op dezelfde wijze , tot eenvoudige her*
leid. Zie , m%kund. Lesfen , Eerjle Curs. XIX les.

B^. Jll Hebleidiko. Het is noodzakelijk^ dat men ook
gebroltens 9an ötjze gebruikeHfke maten en geuigten tot dev-
zetver Jeelen en minderdeekn wete te herleiden.

taat, b^ voorbeeld, gegeven zQn f gl. om in ftaivers en penn.
Bic te drukken s dun redenere ik aldus: | gU is 2 maai één -derde
gulden, of één-derde van 2 gl» maar du is a gl< = 2 X 20 ft* =;:
40 fl:.; derhalve is f gl. = één* derde van 40 ft. dat is I3f ft.
Wederom is i ftuiv» = één- derde ^an 16 penn. dat is sf penn. hii*
gevolg i^ I gf, n^ ï3 ft. 55 penn. Ik moet dus den teller van het
gegevene gebroken vermenigvuldigen » met getal deel en of minderdêe*
ien , in het geheel of eenig deel begrepen ; en voorts het product
door den noemer doelen. (34>

VOORBSBI.D£N«

if V öo *

i". H 01. = -^^ «, = w ft. «: i<5fl ft-^

il ft. = iï !^ penn. = yf penn. = I4f|. pomi öorhal-

V6 Is II gl* = 16 ft. 14^1 penn.

^- a^ f Voet RSnI. = lüi? duim = V ^"»™ = N ^^^^*

7

^ duim '=: — — linie ZZZ-Üf linie = ÖJ linie; dus f voet = 8

duim 6f linie. C35)

. t» Ifaek i^ Jasten tot mudden en fchepels Amflcrdamfcbe maat f
4. Dito tot mudden en fpiuten 'Groninger maat y

C3$^ Hoe wordt een zaraengefteld gebroken tot een eenvoudig gebro*

ken herleid ?
(34> Hoe / worden breuken van onze toaten en ge wigten tot d^ko eo

minderdeelen berïeid t ^ • r^ ]

(3£) Geef vaorbcc den ï DigtizedbyV^OOgle

lo5 AL^^ERE E;i;.ST£ grondbn DBft

5. Herleid .|f dC tot fchellingen en grooten f
6^ Herleid Itr Rocdeo^ Rtfnl. tot voeten^ duimen en lijneHf :

Tm Herleid \% Amftércl* Roeden tot voeten^ duimen en acht fie du' men \
8. Herleid || van eenen dag tof uren , minuten en fecunden ?
9» Herleid jj yan eenen regten boek tot graden^ minuten en fj,
€unden7
fo« Herleid ^ vlerkante R^latidfiche foetem tot yUrkanu dut
. mm en yier kante li}nenf^

11. Herleid jjIj vierkante AmflerdamrchcL B-fleden- tit vierkant
Jmflerdamfch^ voeten , e^ vietkan$p duimen t

12. HerléUd j^ §^ HolUiviscb tr^lsch.^ tüP onfen,, engels en azen'

297.. VIII Herleiding. Men moet ook^ omgekeerd^ deelt
en minder deelen onzer maten en gewigten ^ in gebrokens va-
die maten en gewigten vleten over te vletten. — De deelen é^
mihderdeelen zijn niet anders dan gebrokens van geheekn e\
deelen^ AIzoo Is i p^n* =s ^^ Ih; p peur, 1= 3^^ ft.
r ftwiv. sa ^ gK; 7 ft. = /è ^* ^ oneen =Z3 JJ A|
7 duim =: ^ voet; ip uran =: Jf d«gf 17 mudikn ss ^,
lasr, ^»». (36;

VooRBBBLp. L9at nu gegeven zjfn 17 ft^ 8 penti, om tot eeiii
brcul^ van Guldens te herleiden; dan t edenere ik aldus: 8 penni

^ ft'<. = i ft.; derbalve 17 ft* 8 penn« =s Z7I ft. = ^sU

I>eze biatfte Is een^ sameniaQelde breuk \tif Outden»^ welke» dpot
(dUr en noenuer m^c 11 te vermenigvuldigen ^ tlot êene eehvq»^^
dige breuk van Guldens herleid wordt[. ^^ b^e(t 4ua 17 (U d

penn, = ^ gl. = \% gl. = { gl.

2p$. Regel. Men iegtnt derhalve van de iaagfte ffün-
derde,elen\ welke men tot minderdeelen van^ de naast hoogere
foort herleidt ; bij dit gebroken van de naast hoogere mihderdee-'
Un telt men de naast hoogere tuinderdeelen ^ welke y in de gep
gevene uitdrukking^ voorkomen^ Dit zamengefielde getal van
naast hoogere minderdeelen , herleidt men , op dezelfde wijze ,
tot 4e hoogere minderdeelen van de volgende orde , en gaat j^ of
deze 'Wij ze , voort ^ tot dat men de geheele zamengefielde nit^
drukking , in een gebroken des geheels , verkregen Jteeft. (37)^
299. VooRBBBLD. Om j voeten s duim f\ lijnen Rlfnlandscb.
tot een gebroken yan Kijnl^ndfehe voeten te hfengent

^(sO Hoe moeten de deelen en minderdeelen van maden en gewigten
aa«gemerkt en herleid werden?
CZ7) Welke is de regel» welken men» in deze herleiding» vo*gen moet 7

CIJFERKUNST. IV HOOFD D. XXIIL les. 107

7f Hjneo = ~ daim. = |i ^iiiroen*
a dm* 7i ISoen a=6 sjf dm. = 5^ voce =i fH voee.

7 V. 3 d. 74 mn«» = r?y| V. == Ml Rood, BC i}?i Roedctii

Mber voorbbildbn« Te herleideo.

I. Tot een gehroken van Guldens ii A 7\ penn,f

9, Tot een gehroken yan Guldens 7 //..f penn.f

3. Tbf ^i?« gehroken yan Guldens 19 >7. i| ^tfw/r. ^

* 4» Tot een gehroken van RifnU 'Roeden g voat ii| tfnief^

• 5. Tot een gehroken yan Jlmflerd, 'Roeden 7} dufm ?
o. Tot een gehroken van Goud^guldens s ft. é penn, ï

7. Tot een gebroken van 'Guldens ^ 'pénn* f

8. Tot een geif roken yah pnnien fiDUandsch Trooisch gewlgt, 17
:itgels 19! azen f ^

-^. Tot één geffWteit "van l^sHn MmfterdainFcKe ihaét ^ 3 mudden
[} fchepen

lo* tot een gehroken yan lasten ^ Groninger maat^ ta mud'den
iffpint?

300. IX Herl^dino. Dikwijls is Ast ook n^dtakelfk^
om gebrokens tot gebrokens 9 die eenen gegevenen 'noemer heb^
btn^ te %erieitten. (38)

B5 voorbeeld: er is gegevtn de hréuk /r, wel^e in zestiende ^ee-»
Isn yan het geheel moet worden Uitgedruh^ti dat is^ herleid worden
tot eene Ifreük, die^ifi tot 'nóetner Jieeftt Ik vétibenigvuldig teller en
noemer der gegevcne breuk met het géttth>i6; tfat Is, met deti
noemer, onder welken de breuk -g^agt moet woeden; dan. heb

tkf ^ SS J^^^zÈz 7~^«^^ a*«l ik^éKer eto üoetnec d^
II X 10 II Pv zo

xer laatfte breuk door ii» dan heb iks

^^ 11 X 16 "~ II X 1(5 ~ 16 * ^^^^
'30W RsÓEL- Men vermenigvuldigt dan den teïï&r en den
noemer der gegevene èreuk , inet den nae^n^ OHdek' welken
.%if moet gebragt worden; dan herkrijgt then. eéie breuk ^
welke aan de eer ft e gefijk is: derteller en memir dezer laat-
fie deele men door den noetHer der 'gegevene breuk; dan zal
Jeme nieitwe -krettk tttm^t gegevene gelijk tijfr^n itm-^ége-
^enen noemer hebben; en deze breuk taf altijd eene zamerige*
fielie tijn , iridien de gegevene noemer ^ onder welken de breuk

Cs8) Wdke endere foort ven berltidüig'ikolnt'iiog'Wdrte ^t
(^) Geef een voorbeeld?

108 ALLEREERSTE GRONDEN DER ^

herleid moet worden » ^en evenmatig deel van den teller der
ge gevent breuk is. (40)

VogRBEBLDBN Op dit Gcvah

1®. ^ Onder Jen noemer 19, a\ i\ ond'r den noemer 04.* S**. /i
OJ^der den noemer 8. 4®. /t ofl^^f ^^» noemer 10 ^^ brengend

^a. Aanmerking. Deze fbort van herieiding, lost oofr <!e
volgende vraag op. /«///V» het geheel een zeker aantal ge lij'
k$ deelen bevat; hoeveel van die deelen bevat dan een zeker
gebroken van dit geheelP (41)

Een sefieei , hij voorbeeld , ber/tg f)o dfelen i hoevee! van die dea*
ien zijn .dan in ji van dit geheel begre^nf De beandwoording van
deie vraag bedaat in plets anders , daa in hec gebroken fi «onder den
noemer 60$ te brengen.

ft =

«ï X ^ — ^^ «^ lïJ

i6 X (Jo , 16 X 60 60
jnen vindc 4üzoo : dat ü van bet geheel 41! vap die .60 deelen bew
vat. r4a) t

MBSR VOOlIBBBldBN.

t. ffet geheel bevat 1x3 deelen » hoeveel f|t
d. .J5f#^ geheel bevat 3084 ^«^/^/i , hoeveel i^ f
g. Jftf^ geheel bevat 709 deelen^ hopveel ^jt

303, Regel. Korter nogtans, en, met mindet omflag, gut
men te vu^rk ^ wanneer men, hei gegevene getal deelen met den
$eüer der breuk . vermenigvuldigt ^ en het product door de s^
zelfs , noemer deelt. ^43^

304.* X Hbrleiding: Men kan ook elk gebroken héyiei-
^en tot eene breuk ^ welke eenen bepaalden en gegev enen teller:
heeft, f44)

Voorbeeld* Het gebroken | te herleiden tot eens breuk , welke
Il tot teller heeft? dan vermenigvuldig ik teller en noemer met den

gMcven' teller; daq heb ik, J = 2-~i = L2?^;.en ik.4eel
^ ■ 9 X 11 99

teller en noemer dezer laatfte break door deft teller 46ff gegevette
breuk ; dan verkrif g ik elndelyk : •

* 9X «— 99 . mT '

CaO Welke is de alg^meene rcg 1 voor deze herlcidin^^

t4i) Welk vraagftuk kan men door deze herleid'mg nog oploelbo* 1

C4«^ Geef een voorbeeld t

(45) Kan men de oplosfing van dit foort van vragen tot een «eavta«

., . <fig<r TCgeL brengen-f

C44J Welke andere herleiding komt nog In aanmetl^ing f ,

Usi Oéef hier .van een. votrb^W/ . : DigizedbyGoogle •?

C IJ F E R K p N S T. IV HOOFDD. XXIII. les. test

305. Reöel. M^n vermenig\'uïdige derhalve den teller en
noemer der gegevene breuk met den gegevenen teller , en deelt
feller en noemer van de breuk , ^èlke men ahdan verkrijgt ,
doüT den teller der gegevene breuk. (46)

Voorbeelden. T^e gebroTisns i, ^, \l% |J, /o te herleiden tot,
JfUuken, welke refpectieyelijk 5, 21, 17 1 33 en iZütot teller hebbent

305. Aanmerking. Deze herleiding lost ook de vraag op •
Indien een zeker gebroken van eenig geheel een gegeven aam al
deelen bevat; hoeveel van die deelen gaan er dan in dit geheel f
(47) Men vermenigvuldigt (om dit, op de kortfte wijze,
ie doea,) het gegevene getal deelen met den noemer det ge*
gevene breuk, en deelt het product door den teller van de#
zelve, (48)

MCBft ANI>ERK ,VOO^BÏElt(KIf« • ,

1» Indien |? hevat 100 dc€len\ hoeveel van die deelen Uyat dan,

a. Indien f^ heyat aoo deelen ; hoeveel dan Vet .geheel ?
S. Indïeri || hevat 113 deelen; hoeveel dan he^ geheell

307. XI Herleiding. Vooral Is het van het uitef(!e öanbe-;
lang : dat men eenige gegevene eenvoudige breuken , u^elke onder^
fcheidene noemers hebteü , tot andere eenvoudige breuken herlei»
de,, welke, denzelfden kleinst mogelijke noemer hebben. (49)

VóoUBtBLD* Men hehhe de hreuken l^ ^|, IS-, \% en |J, welHt^
noemers alle van elkander onder fcheiden zijn ; nu begeert men den'
Hetmt mogeliHtèn noemer té vinden '9 onder' welke deze hreuketf kum
men herleid worden ^ onder die voorwaarde ^dat de gevraagde hreukem^
eenvoudige zijn^ en dezelfde waar fie ^ als dje gegeven^ ^ hebhen ^ Op,
dat de komende brctiken eenvoudige zotrden z^n, ij hrec noodig: daii
men tot den algeinèenen noemer neme zulk een getal ^ dat door ai
éa>MBemersder gegevene breuken deelbaar s^j; en, opdi^ de ge*
xocbte breuken de eenvoudigftè zouden z^n ; moet men tot algefriée^
men ■ noemer het ' Jcleinfle gemèene veelvoud van de noemers der gego^
yene breuken nemen. Volgens de XXII Les , vinöt men , voor het
kleinfte p.emeene veelvoud der noemers 8 , ia, 3^, 45 en 80, het gef
tal 7a)0;ïdlrcetal neemt men aan tot ^Igemeenen noemer; or Ir^er ^^
ineii onderftelt*. dat bet geheel in zooveel gel^ke deelen verdeeld zQ.
Nii «agt men bet geheel bevat 7flo deoleo ,. boeveel vta die deelta a$a
er io I van het geheel begrepen? Znlks vindt men« naar art. 31^-^
lik ons gf val «eenvoudiger ; wanneer t^en, door deeling } van 700 dèè*
teo bepialt; dit ia 90 deelen» en d|6 90' deelen 7 maal neemt» Mea

.W^Ike U de.aJgemeene régd on deze herleiding ?
Welke vtaé^ftiikk en kan men door deze herleiding oplosfeU?
Welke \!B de regel op dit vraagftuk r
Welkt gewigti89 herleiding komt nog v«rder ld «anoierlUng?^

K

iio ALLEREERSTE oronden dea

verkrijgt dan { = ?§§. Op dezelfde wï«e vindt men: |5 =. fgi
fjj = JIS •. 41 = m en i§ = f ïê. (60J

308, Algemeene regel. i>f<?« neme, tot gemeene noemer^
het kleinfte gemeene veelvoud van de noemen der gege^'enc breth
ken; en, om den teller, welke tot elke herleide breuk behoort ^
te vinden, deele men den algemeenen noemer door den noemer der
herleid wordende breuk, en vermenigvuldige het quotiënt met den
ttUer, welke 'tot die breuk behoor). (51)
; 309. Voorbeelden op deze herleiding zuUen,in de volgende
Lés, !n een grooc aantal, voorkomen.

XXIV. LES. Over de Optelling en Aftrekking dir
Gebrokens.

350. t y^^ö gelijkflachtige grootheden kunnen, in gébrbke-
ne of gemengde getallen van dezelfde maat, hetzelfde ge-
wigt , of dezelfde éénheid , zijn uitgedrukt., . * Om nu , door
middel dezer; uitdrukkingen ,. te vinden j hoe de foin van die
gjr.oothed^n , of het yerfchil i^an. twee derzelver , in een gebroken
cf gemengd getal van diezelfde maat, van datzelfde gem'gt ^ of
aiezelfde éénheid, moet worden uitgedrukt^ is die gegevene ge*
trokens op te tellen , of van elkander af te trekken. 1 1 ) ^ De
Optelling en de Af trekking der breuken is dus niet anders , dan
de -^fom of het verfchil van eenige breuken te vinden. CO»

3ÏI. Optelling. Men onderfcheidc , in de Optelling, drie
gevallen, «) Wanneer de gegevene breuken denzelfden noe*
mer hebben. ^) Wanneer zij onderfcheidené noemers hebbeo. c)
Wanneer gemengde getallen moeten worden opgeteld. (3)

31a. I Geval. I Algemeene grondregel. De fom der kteu»
km 9 die denzelfden noemer hebben , wordt gevonden , indien men defom^
éUf tellers door den algemeenen noemer deelt. (4^ £lj voorbeeld ,

ft + s^. + A + A = ■ ;^^^ = fl = ïff. C5)

. , lil ^ I ■ - ^ ■ ■ .--■-,- -.--■---, , , -, - . . . — -^^.^^^^ I ^

i5o)^.Geef een voorbeeld ? ' , j -^

51) ^y elke is dan de algemeene regel, om eenige breuken onder deft
kfeinften geraeenen noeme^ te brengen t * '

KO Oeef my eene omfchrgving van de OptcUi^g en de A&fekldac

4er breuken?
Ca) Hoe volgt hieruit eene kortere bepaling? \
Cij, Hoeveel gevallen onderfcbeidt g9»in de Optellfog der gebrpkentt
m Hoe vindt men de fom der breuken, die denzeifdeft^ooemer hebben f
W Ocef ew voorfeceldl DigtizedbyGoog

C II F E R K U N S t. IV HOOFD D. XtlV. Lfis. iiï

f En deze regel is klaarblijkelijk: want, even Z90 als aeii
zegt: 7' Guld + r Gl. == 8 Culd. ; zoo ook xègt m|i> 7
dertiende deelen en i dertiende deel maken 8 derciedde öe«-
leq; enz0 (6)

313. VOÖRBE&LDEN. J + f = f = f;f+J + { +

T^. + A — A = I; ^. + /. = i; s + $ = |;r:

1»

^/^s.

^ + ï% ^== 15 5 »

J14. II. Geval. IL Regel. PTanneer de noemers der hreu*
kefty welker fom men vinden wil^ onderfcheiden zijn^ moet mêH
de gegeyene breuken vooraf onder den kleinst mogelijken aJge*
meenen noemer brengen; (zie art. 307 en 308) alsdan is de op*
telling tot het' voorgaande geval gebragt: men deelt derhah'e dé
font van de tellers der verkregene breuken door den kkinfim
atgemeencn noemer^ onder welken de gegevene breuken gebragt
mjn 4 eindelijk verkleint men , indien het mogelijk zij , ket g4m
broken^ dat in deze fom voorkomt. (7)

515» Voorbeeld. Stel^ dat de
ftm der breuken A , 1* , A , 7J ,
H» H ^'^ h% ^'^^^ gevonded Worden.
' VBttKLARiNO. Men ftelt dege-
géveae breuken onder elkander, en
sockt het kleinllegeroeene veelvoud
lOer noemers is, S4, 16, 36, 54,
56 en 63. Dit klcinfte geroeene veel-
tood is iitt getal SÓ24* Dit.kleinfte
gemeene veelvoud neemt men tot al-
gemeenen noemet aan , en ze^tCvoor
de cerfle breuk ^^^ een twaalfde van
8^4 deelen is 253 deelen , (dit vindt
nea door devcrdcelings-divific) de-
se 1152 deelen neemt men 5 maal ; dit
4aakt , voor 4^ van bet geheel , 12<)0
▼an die deelen , waarvan er 3024
ia bet «eheei gaan, of /^ = ||g|

Men fchr«f t , zoa als • in de neven- s'om der gegevene breukem
llaande bewerk ing te zien is , het ge- ^ ^ ■

tal 1260 alleen , zonder den noemer , in eene kolom , welke voor de
^(ers é€t herleide breuken gefchikt is. Op dezelfde wlJze , vindc
men, voor |^^, de breuk ilf$, enz. Nu telt men al de tellers 1060»
-1380, 1323, 1428, 728, 1242 etir 91a der herleide breuken op»e»^
'Vindt voor de fom; dat is, voor dé fom der gegevene breuken jHf^ X±j!

5024 algemeene noemen

1260 ^ t;
1386 ^ g

15.

1323 1 2

124a tr&é

1*

3024.

^9

3024 . "

(jSy Betoog m9 dezen regel ?

{fj Welke is de regeld om dé fom^ Vin breuken te vinden, die oiw
derfcbtidene noemers hebben Ji

Kn j

$1^ ALLEREERSTE gronden i>Rït

hetwelk , een orgebraikelgk gebroken 2ünde , tot een gemengd getal
^--.ierleid wordr. Men vindc dari , voor de fora der gcgevene breuteu,
^ii^.MK^^Qiuie het geb okeni^Ü^ onverkleinbaar. (8;

^j^'VooRBEP.LiyEN Op dit GevaL

U De fom vinden van § ^» f ? a. Fan | tf» | tf« f ? 3. Fan^ en ff
^. Fan^ etti7 5. /^^^ f , ^ en é^ «• Fan ^, €n ^ ? f . Fan^j ^^en
|i?8. Fani, \ , k^njE^ 9* Fan\^ |,ï'^, ^? 10. Fanj\,A^lh^
II. Fanï\y ^ , h en J? i*. /^^»f»^. en ^3? 13.. Fan j\ ^ t^ , ^\ gtt
il? 14. >r^« ft,/3»/ï, ^f.^^^H ï5. ^^^1,^,1, ê,l,f,^«^^
I'S, ftf« ii,H^H»t^»^l^« iïï?i7* Fan ^^,4J, ^y, M » il? <?» 3^.»

Jfff f^an jy,, A> ii , /j ^« T%^

3r6. IIÏ. Gevau IIÏ. R.egel. Ow <& /om van gemengd
$f zamengefielde getallen te vinden , zoekt men eerst de fam der
trekken ; en^ bijaldien deze fom groot er dan het geheel ss; dan
Jèlt men de' geheelen^ in die fom begrepen zijnde, bij de fom
jder geheelen. ( 9)

317. VooRBKKLD. De fom te vinden
van^zh a|, 75' *» 23I ? - Ferklaring* —
Men telt Qzie nevensltaande bewerking,) de
geljrokens ^p; derzelver fora is a^'^'s» De
twee geheel en van deze gedeelteJ^'Ke fom
leJc men bü de fom der gebeelen , en vindt
voor de gebeele foi» ^7iio* (10;

33i

a«

7i

?3}

Som

tiO gem, ttofm.

105

80 , .

f l§ = a^»

Voor BE Hl DEN op dit Gevat,

u De fom te yindenofdn isf » 7l v9Ji> 3^5* en i/^? »• #^Jf i4,.iüJ,
8H>9/ï.8ïè en ij?;3. ^tf/»7fi,S5» 7ll , 8^^,,, 7f* 8ê»#? 4. A'tfn

318. Aanmerking; Men kan bier byvoegen: dft^ om s^*
jttengetlsM^ breuken op te tellen , deze z^mengeflelde hrmhn eer^
tot eenvoudige moeten herï^d^ ^n daarna^ volgens de voonfiihmf^
ten Oer voorgaande' gevallen ^ worden opgeteld, (li)

4 9 1^

,, ii, ï= 1,^=4 en ii =33 A. Mtn
4 9 10

ffljoet derhplve dp breuken tf^» ?. i en ï\ optejlen; co dan vipdt

319; BlJ VOORBEELD, Om — - ,

raen (/zr/, 294) ■- = IJ,

o

piei,

voor derzelver fom ,

(t)' V«f4(l4»ar éQtA^^&%éa doAr. een^oocbeeld ?
(9) Welke is de regel o? het derde geval ?
(lo. Geef ecne verklaring van dezen regel f^-

CIJFER KUNST. IV. HOOFDD. XXIV. lïs. 113

320» Aptrekking, Men onderfchéidc, in de aftrekking der
gebrokens y de zes volgende gevallen*

far. L Geval. I. Aloemeene REOELi Wanneer de breu*
ken, ' wdker verfchil men zoekc, denzelfden noemer hebbetf,
j:aH worc^et verfchiUevhnden , wanneer men het verfchil der tellers
door den gemeen fchappeHjken noemer deelt, (ji^) By voorbeeld.

*- è — —rr^ — ft — !•

12

Vtfi^KLAftiNO. Waot, even xoo tls men 2efft, 5 gulden fnin i gQ|>»
den Is 4 guldens, even Z09 zal 5 twaalfde van eenig geheel min ié^
twaalfde van die geheel, geven 4 twaalfde van dit geheel; dti is,
één*derde.

33

Voorbeelden. A — A = A>

3121Ï. IL Geval. II. Reoel. Wanneer de breuken, welker
vejj^ll men zoekt, onderfcheidene noemers hebben; dan moa*
MvBf)' eerst y volgens art. 308 j onder denzelfden noemer gehragt
wo^m; het yerfchil dezer herleide breuken zal dan het verm
Jim^der gegevene zijn. (14)

Voorbeeld. Men vraagt /^ van }| af te trekkeuf

WttKLARiNO. Men brenge, lie nevenflaande be
werking, de gegevene breuken |J en /^ onder den
STeinst mogelgken noemer 96; dan woedt i} r=: $1 en
^ =:= II ; en men soikt , volgens bet ecrfie geval, ^t

rfchil van §J èn i|, in plaats van i\ en^ envisdt

van II 1 68

enz.'

3^23.; III. Geval. III. Regeli Om gemengde getallen van
cikander af te trekken, /r/i/ wen tent de gebrokens^ en daar^
na de gehelen van elkander af\ de f om dezer geditUelijh$ ver
JfhiUm zal het ^vraagde verfchil zijn. (15)

Voorbeeld. Om van 17/j af te trekken 9js? *-

■ Ui. III. ■Min>.ii. ...i .r.r ,1 . ,1 p.-,,ii, ii^iry^ii,, I I ■»

(tt>Hoe wordt het verfchil van twee breokeo gevonden, dit de«7
'^ celfdéD noemer hebben 9
-^^A> Hoe vindt men b^t verfcbÜ der breuken, die eogelQke notmen

'^C^fJI ÜPt worden geffleqgde geoOton vftn eUtnd^ afgetrokken^

KV-

U4 Aj:i.EIlE ERSTE c$omnz^ i^ke

Verbcarin^j. M^h trelrt, «ie neveniUande be- ,
irefkiBg, eerst de gebrokens x'ï en f^ ^ vofgens hét "
tweede gevai^van elkander; hét- verfchii U ï|« Het
Verfcfeil der geheeten is 8 ; gpvqjgclijk bet gebeeie
A^rfchil 841.

van 17/,

vér]

^

ir

ia.

14

ia

VooaBEELDEN. i?f -T 9{; pj — 7S5 117$— lil P0i«^ u ;
99is — f 5 117I — iP/55 öï7i ~ 8i

324» IV Geval. IV^ Reöbl, Wanneer gemengde getallen
*an clfeöoder moeien afgetrokken wofdea; dan gebeort b^ dik.
wijls: d7t de Breuk, weike bij het fuBirahetidum ftaat^ grgom
ier is^-dan die^ welke zich bij het grootfie getal bevindt \
alsdan verhoogt men de kkinffe breuk met één geheel \ en trekt
de grootfle breuk van deze /om af; tntfs Ifat men, bij de a^r
trekking der geheelen^ het geheele getal ^ waarvan men aflrekt ^
met één verminder e. (l^)

Voorbeeld. Om van 17I 'ofte trekken 8f f

. Vbrklahing. Nadat men de breuken f
en f onder den noeraeir 21 gebragt ,«n,in
plaats van dezelve , verkregen heeft : |^ en
* J , kan 18 v^n 14 piet^ifgetrokk^ woeden.
Men verhoogt derhalve f J met één geheel ,
dat is, met |^, eii trekt van de fon, die

H is , af Jl ♦ resi; ^t- Mtar nu heeft men ,

het gemengde getal , waarvan men afirekt, ^én te groot geuottien; men
neemt derhalve 4e 17 één miitder, es tvekt 8 vaa !<$, blieft Si eifnde
liet veifcbil S^ï^

VoORBEELDEiir. 115* — l8|; iipjf — i7|^j p5^ — . 8|.

325. V. G^EVAL, V- Rbcbl^ T06 het Yoorgaan^e g^tal beb
hoorr ook het meer bijzondere ;^ te wetens wanneer men ee|i
gebroken of gemengd getal van een geheel moet aftrekkeo.
AMan trekt men het gebreken van één geUeel^en véimmderi dam*
na het getal ^ waarvan min aftrekt , met één. (i^)

Si| voOKSBBLDs om ^ ican 8 af te trekken; xegt loev ^ nh Mt

Sefieel , 0ï hii blQft ^ t Uk Beemc neo bet gebed g%m iéa nteaerT
ao is het vcrfc^lï y^f

tf 8f

verrch. ajj

I

ïi

«7

0^) Hoe gaat men te werk * wtoD^er, w d^ rftr^I^ ^ gei*Mgde
getallen^ de breuk, die moet afgetrokkea vordeo* grooter u djoTda
.freuk, waarvan meni^ekt f .?ir^ f tivuv«. ^ ij^ i»

t^ Hoe maakt men bet.waaneer eftn gabfot^ea Of genMOftd lecil ffaa

CIJFERKVNjJT. IVHOOFDD. XXIV. tii«. HS

396r VI, Gfi?AL. VI. Regbl* Om zamepgedeide brenke>
van elkander af te trekken; «r^?^/ 1»^» «/^ zamengefltlde br^kem
$êt eenvoudige herieidm ; m daarna dm» ^ naar de ^oorgaandi
regeh^ van elkander aftrekken» (18}

al xé

VooiiBBSi.1», om van -^ af ce ctekk^n -^r redeneert oiea ahiivii

«let gebroken ^ = Al en ^ = I5 derkalve ^ - ^^^=5 ji^-f

2Ü(V. LES. C^^ ^ Vehnenigmldiog der Q^roktm.

%%fi Ij? <le getrplieos,, .Wordt het woord venuenigToldigeny
iD eene nltgedrektcre beteekQnif , ddo in de geheelé getalleD,
jgeDomen» In geheele getaüm « /$ de verminigvuldiging die be*
werking y waardaor men 9 op eene kortere wijze y dan door dfi
OptelUng^ dè Jom yan gehele getalkn rindf. (i) Het wox)^
▼ermeDigvuldiging moet, naar gelang der oraftocdigbeden èa gé.
TiUeir^ waarin bet bier, en, m bét rervolg, zal vooïkoraen^
in de Tolgende betèekenisfeii , opgenomen en yerfta^i worden*

|2€. 1^ ^ Een geheel p5 , met een geheel getal \ia (^
▼erna enig vuldigen, iegt het getal p6 zoo menigmaal te nemen ^
a/s 'er eenheden in 12 begrepen zijn; dat is, de fpm van
cwastf getallen, e^ gel^k ^ te vinden; en, on; Tulks eè
▼inden, moet er eene eigenl^ke vermenigvuldiging^ in geheele
gecalleo, pHiata hebloén. (s)

35^ ft®. ♦ Het gètarp^ met één te vermenigvuldigen, wil
pe^en: hef' getal ^^ te taten\ zoo ^k het is; of eep ^etal te
neweeuy geMjk aan p<5* (3)

J30k ^^ ♦ Het geheele getal pi$, met een gebroken ^ ie
vermenigvuldigen , wü zeggen : éin-twaafde deel van ^ te
wemen. C^) £n deze vermenigvuldiging wordt door eene eigen»

^ke ^^}\tyjg VOlb'lgfa _. -

* '*■ ' ' ' ;"< '- ^Kfii'^.mM^m^m i.i^n jujjijj. jiinjaxi f$f

|8> Hoe worden zatnengeftelde lireuken af^atfokkep ?

[tj Wat \% djB^. vermenigvuldiging des geh«^ g^tallfD ^
Wat wil bet zeggen 24 ipec $ te vei;meijtigyuldigQo|
Wat beteekent o vermpoigvuldi^ met Ma %
Urit beceeke^ a4 vermenigvuldig* iw>|^^^^^^^^ GooqIc

ti6 A LLÉRE E R^T'E gr on fa en' drr '

33T. 4**. * Het geheele getal p6, met een gebroken /<, 'te
▼enuenigvuldigen, wil zeggen: Aef één- zestiende 4eel van ^
zeyeamaal te nemn; {$) en zuljc eene vermenigvuldiging wordfr
dpor twee bewerkjn^e;!, eene deelteg en eene vermenigvuldk
ging, volbragt.

33^?* $**• * Hec geheele getal 95, met het gemengde getal ^%
te vermenigvuidigen , wordt aldus verklaard : het getal 96
zev^enmaal te nemen en daar bij t€ voegen tweemaal êén/derde
deét van 96. (6)

sas** ^^* * E^" gebroken | met de éënhèid, of met éévi
te vermenigvuldigen , zal zeggen : het gebroken | te Haten zoa
ak kt is. (jy '

334- 7^» * Een gebroken | met een geheel getal 18 te'
vermenigvuldigen , zal zeffgeh: tweemaal één- derde derdes
gdkeeü achtienmaal te nemen, (i^ 1

335, 8°, * Een gebroken f met \ te vermenigvuldigen i z^
zeggen: het geheel in drie gelijke deelen te yerdeekn '^ en één^
vierde van ^én dezer gelijke deelen te nemen. (p).

i^* p**. * Een gebroken | met. een ander gebroken | te'
'vejrménigvuldiged, j&al zeggen: drie -vierde deelen dei geheels
iu drie gelijke deelen te ver deelen en dan iufèe va» ^ deekn té
nemetr. Cio) . ' ^

337» Algemeen VóoRsciïRiïT. Fan deze bepalingen mag
men niet afgaan t xij geven ^ in elk geval ^ eene verfiaanbare en
bepaalde beteekenis aan het algemeene woord ver menig^ttldi ging
of vermenigvuldigen ; en de regels , om deze vermenigvuldigingim
nit te voeren j hangen van, dezelve geheel en alleen .^ ^ij

338. Aanmerking* Hier moet mep^ nog by in aaomerklog
ttewen: dat de fpreekwijzé% van 18, hhzelfde hetetkent ^ 'ak i§
met f vermenigvuldigd. — Insgelijks zegt f van | hetze fde^
hk I vermenigvuldigd met f; — In oudere q}ferboekenZiegt
men ook | uit 18, en f uit f. (ia^ ^ .

^. Wat bcteekeot t54 vennen!gvtfl<fif?d met Jt
Q Wat beteeken t 94 venqenlgvuldigci met 6j 9
t5 yfti beteekent | vermenigvuldigd met 1 V
%5 Wat beteekent } yermenigvuid^gd met 1^9
lo^ Wat beteekeot } verroenigvuldigd met i '
i jq) Wat beteekent f vermenigvuldigd met {t

U;| Wolke andere fpreekwIfMo gebmiika wm wgi ^

cif FERKÜJ^STi IVHODFDD. XXV. tE«. .wy

3$9' Wij züHen elk der boven opgenoemde gevallen , door

middel der zoo even op^ege^ene b^palingeo, afzonderlijk op «

losfen, en dezelve daarna^, alle zonder onderrcbeid, tot dcH-

zelfden algemeenen regel brengen.

340. I Vraagstuk. Hei getal ^ met i^ te vermini^
huldigen?

OPLOSSING. Het getal 96 «letTVte vermenlgvuWigen , Ij éét^twaülU
4€ dt€l van 96 te vinden. Nu vindt men: hoe groot één*twtalfu«
deel vin 96 is , door 96 met 12 te deelen ; deze deeling geeft 8 voor
het quotiënt. Men vindt ém het product van 96 met ^^ niet dooc
^me vermenigvuldiging, maar door eene -deeling; dat is, door eene
bewerking, welke tegen over de elgeiilyk.e vermenigvuldiging ftatu
Men ichrgft doEc bewerking aldus. 9<^ X i'^ =: f J r=: 8. Ci3)

Voorbeelden. 17 x.f =*: Y = 5|; ip X xl = i8 =

z*

341. II VtiAAGSTWc. Het getal 96 met het gebroken {^U
'ynrmenigyuldigen?

, Oplossing. Het getal 96 met ^ te vermenigvuldigen, wil ^ea#
gen: é'én zestiende deel van 9Ö zevenmaal ti nemen. Nu wordt één
zestiende dtei van 96 gevonden, door 96 met 16 te deelen ; bet quo»

vermenigvuldiging gevonden. Men kan 4iet nogtans nog anders v'a*-
xwo. iV vin 96 ifl natuurlek «hetzelfde llr -^ van 7 maal 96- t*ai'l«,
4 van Ö72 ; dat i^, vo»gens i Fraagfl gelyk aan ^ := 4a» -*'«»
polgp tiefst diJne ioiit/e' b^^fenkir^ $ en dut ver^emgvuïdigt mem het;
Mei^ele ge^l met den teller des ^crmenigyt4digers ^ e» deelt kei pro*
atèêt doot'deszeljs nóeker» (14)

Voorbeelden. 17 X | ^r -^ = ^ = iif ; 19 X j

•f = 14Ï; 3ï X 5 = Y— ^7h 9^X^s^V^ 4ci«
• 342. ill Vraaost^ük. Het geheele getal 19 met het gemengde
'getal af te vef^enigvulaigen 9

Oplossing. Het gemengde getal 2f is, volgens art. 306, gelQk^MRi

liet ongebruikeljkc «cbroken f; derhalve is 19 X a| = 19 X |}dat

is, yolgpns bet 2 Fraagftuk^ 19 X ?ï = 19 X f =, '1* == ph

•men herleidt derhalve het gemengde getal tot eene ongelfrfitkeUJke

breuk , en werkt , als in het 2 VraaglluK. (.15)

f13) Verklaar mö het eerfte Vraagftukr

(14 » Verklaar bet tweede Vraaaftuk ?

U^ Verklaar bet derde Vraagftuk.? . n ]

Digitized by V^OOglC

ii8 ALLEREERSTE o r o n « B n dbr

VOÖRBEBLDBN. 3X 11 = 3X5= V =55? i^X sf =5 I 7
X5='|» = 39|; 38X s,'p = 3ÖXf| = 78i i7X3f = I7
X V* ?= ?P = 54f.

343. IV Vraagstuk. Het gebroken getal %met hst geheele gêm
êOt^ó te vermenigvuldigen 9

OPLOSSING. Hier moet twee»maal. één-derde deel des geheels 36
ttttfil genomen vrordeo. Gelgk men nu zegt: 36 maal 2 gulden i$ 7a
gulden , zoo zegt men ook : },6 maal twee-derde decicn van bec geheel U
7ft derde deeleu; dat is 72 derde deeleu; dat is, ^j* of, i8. Men vef^
fwni^yuldigt dan den teller der gegeyene breuk met den vermenig*
rfftdJgerf die hier een geheel getal is len men deelt het product 4^9

UenpQfiner, aldus : f X 3Ö = ÜÜ^ = V = ^4. Ciö}

3 ,

3 X I<
Voorbeelden. J X 15 = ^ =1: V = iïÜV I ^ i>'

Jg K 16 = óf.

344. V Vraagstuk. Het gebroken getal i met het gebroJte»
\te vermenigvuldigen,^

OPLOSSING. Hier moet één-derde gedeelte van één^half genomoa
worden. Wanneer men nu eeti geheel In tvvee gel^ke deelen d^U , eo
dke belft wederom in drie deelen ; dan^ is hec geheel ia tweeroa») driei
4|t is, in zesgeJQlce deelen, verdeeld; eeu»derde deel van één h^f \k
derhalve één-zesde. Gevolgelyk é X f = é» Het product U 4us ^
dMteid f gedeeld door het froduct der 'noemers* (17)

VpORBEELOEN. J X J = /j ,' ^ X J =^ | f.X } =? ^^^ c

345. VI Vraagstuk. Het gebroken f met het gebroken \ M
vermenigvuldigen ?^

O^LosslNG. Hier moet men tweemaal één-vjjfde van twee derde dae«
leii des geheels nemen. Een-vfifde van één-derde is ,',» gevolgel^k twee
Vtffde van één. derde is ^. ; en dus twee vgTde van twee derde twe»*
tittal /;,dat is i ; maar ^ is het product der telters, gedeeld door het
product der noemers. Om dan eene breuk met eene breuk te virm^
fOgyuldigen» deelt men het product der tellers door het produci dfiZ

noemers: aldus f X f = ~^ = tV (iÖ)
3X5

VOORBEELDENy J X f = |-~-^ = flï & X ^^ ^

>'b.a ^ g. >

(16) Verklaar hec vierde Vrangftuk?
C17. Verklaar het vgfde Vra-gUuk?
(IBJ Verklaar hec zesde Vraagüuk'?

Digitized by CjOOg IC

CIJFERKÜNST. rV HOOFOD. XXV. L]fc». iip

345. VU Vraagstuk, Om h^t gemengd^ getal ^\ nm ^\h
nrmenigyuldigenf '

Oplossing Men heeft i! =: 5^ en 2} = |; .cevnlgeljk i\ X ai
ZZl^ i = V ^^ 3^« Men herleidt derhalve de gemengde getal'»
Un tot ongelruikelijke breuken, welke men dan y volfrenx het^ voar^

347. i Aanmerking* Wanneer men de gevallen, welkt,
in de zeven voorgaande vraagrtukken , afzonderlijk overwogen
«yn, met elkander vergelijkt; dan zfet men: dat zi) alfe ftm>-
oen opgelost worden, door den Regel. Breng al/es onder dt
piaante eener breuk; da f is^ de geheele getallen tot hreukw^
die de éénheid tot noemer hebben én de gemengde tot ongebruik
kelijke breuken ; en deel daarna het product der tellers door het
froduct der noemen. De vermenigvuldiging der geheele 9».
tallen is, de zaak wel ingezien zijnde^ vau dezen regel niet
nitgezonderd.

VooRBEELOEif. 7 X3 = ?Xf==y=? 2i;7X|

J x'j = II; 7 X if = ^r X $ =f = 9ts 7 Xjl
2= j X I = ¥ = loj; 2i X 2i = I X I = V = (^ii

348. Il Aanmerking. Even gelijk men^ uit veel getalhn ^
mth gedurig product kqn maken , zoo ook kan men vele breuken
met elkander vermenigvSHdigen ; doch de regel blijft altijd : het
product der tellers te deeien door het product der noemers, ("ai)

* '^ *^V"^ 8 X 5 X II, ^

349< UI Aanmbpkino. Somtijds zijn de breuken ^ dh men
fOor het product yerkriigt^ verkleinbaar ; dit gev.1l kan geeu;
plaats hebben, indien niet een teller van eenigen factor ^ met
den noemer van eenen anderen factor , eenen gemeenfn deekr
heUe^ Nu vindt m^n/gemakkelijker de gemeene deélers van
Wjéiae dan van groote get^jlen; (aji^ om die reden /volgt
mca dan eindelijk dezen regel, ' '.

(19) Verklaaf het zevetide Vtaagftukt '

(ao) Onder welken algeraeencn regel kunnen al de f egels, «^I)m, Sn
- de voorgaande vftagftHkken , opgegeven ajfn , gebragt worden f
(ftO Kan fuen ook meer dan twee breuken met elkander vermenigviiK

digent
(88) Wat valt er op den algemeoneo regel ain to mcrkeo >joQle

m ALLEREERSTE gronden per

354- I Geval Wanneer een geheel getal met een gebro-
<ken raoet vermemgvuJdlgd worden; dan vermmigvuldist men

het gegèvene geheel getal met den teller en deelt het product door

den noemer CO

VooE. B E R L D . Om ^1% met Ite vermenigvuïdi'

genl - FerUaring,-- Daar, volgers /jr/. 341 ,
'toet vernienigvuldiictaï 713 met den teller der bi*euk

moet vermenigvuldigd , en bet product door den
.noemer gedeeld worden , vernienigvuldigt men , zie
.nevensftaaiide bewerking, 713 tnet 5 en deejt het

product 5$(>5 door 6; komt voor het product ^044. C2^

•Voorbeelden. 713 X i^r 8102 X A, 9^i«V i f A/»-«^ , . •

J 355.^ II Gevai« Wanneer een gemengd gefal met-èen ce-
heel moet vermenigvuldigd worden; dan vermenigvuldigt men
eerst het gebroken en daarna het geheel van het vcrmenifyuldi^^
tai met den vermenigvuldiger; en voegt deze twee gea^eltelii^
tty>diiften , in ééne fom , hij elkander. (3) S^a^etteiijkff^

. '^i^^V'^y?^, *73l tnet ^ U vermenl^vum- \ 177,% % "

f t^T -- Verklaring. — Men vermenigvuldigt eerst f ^ o *-JL: v •
met 9, zeggende, volgénéf den reegel Op-ditc©* f i^rol "TaT" ^
wEl, (zie art. 343)- 9 ™aa»2.is 18, 5 op 18 ia 3^ | ^ ' ^f

Dfl I fcbrflff men in het prodoct. eii telt de drie gtheelenh^htiv^V
dp^c van i73inetp; zeggende pmaaU isa? v27en3maakr3o; iJJ^fJ^)
. 356. in Geval. Wanneer .een gemengd getal, met een ee-
biok^n moet vermemgvuldigd worden; dan verm^nigvufdiet mli
:het gemengde getal e^rst met den ttüer der geg^e breuk m
r deelt, het komende product door, den nimmer. .Q^) * .

VooRBEkLD. . Otn 733| met ^ té vermemw'^

rpM^igem7 Opheldering. Men vèr

nrenjgvuldlgt eers^ 733l tnet r, komt stzH*

<l>|t iJrbduct deeflt tnèn door 16, komt 021 resc

|; welk gemengd gdt«F nog door i«-moet ge. %2iJr ntnèn^

aêeld worden. Deze decling geeft de zameige. | ^ '^^ Progpct,

iteldê ire«k A^, «welke , volgens art. 324, tot ten rtnvoiidfg gebro.
ïeii herleid zjnde, geeft ,V Men verkrögt alzoo. voor bet boaerde

^-M -'^^ -r '1 '''' ^' "-'r'' '*■''"■ :-•'-'• \ '

<t> Hoe verineiiigvuidigt men een geheéf met.èen cèbrektif f ^
(») Verklaar dn door een voorbeeld ?

"l

1 X 7 = 4l

951

10;;

^^—1 >

io|

. I05fl

product» ^

C IJ F B R K U N S T. IV aOOP D D. XXVI. lbi. las

Voorbeeld. 819J X tÏ» '819,! X J; iTÖIi X SV 3^751 X tl;
i9*7ü X ,'^. '

357. IV Geval. Wanneer een gemengd met een gemengd
geuu moet vermenigvuldigd worden 5 dan yermenigvuldigt nmn
Fvolgens art. 355.) het gemengde getal eerst met het geheel en
aaarna (voJg. art* 356.) met het gebroken y dat in den ver^
tnenigvuldiger vojorkomt; en men telt daarna deze twee gedeeh
telijke producten bij elkander. (7)

Voor B BBL D. Om laf met 7% te yefmenigyuldigenf

OraELDBRiNG* Men vermeni'gvuldige eerst laf

met 7 eo men vindt voor het product 95^ idaar-

nA vermenigvuldigt men 13! met \ ; bet produa

j|i io| ea de fom der gedeelcelQke producten » 95I

'4m to|» geefc het totale product 105 |f ; even zoo

^B men hetzelve, door den a^emecnea regel yvin«

Ka zal. C3>

f Voorbeelden. 81} X ii{> 8i3xJ X i^hl 7^Zi\ X SiaJ;
ir^^T^X siZii.. , .- .'

358. Aanmerking. Men vindt , i« den l Curfus'ff^sk. Lesfen^
%* 337» ^^ verklaring van eene andere w^ze , op welke b«
product van twee gemengde getallen kan gevonden wordéiV;
doch, deze is,, hpe fraai zij zijn mog.e, altijd pmflagtiget eb
duj minder bruikbaar, "^ -' ? .: . . ■

359» ^ Gevai*. Croothedenj welke ^ in geheelen^ dceten en
minder deekn 'y^ zijn uitgedrukte kunnen ook met gebroken e of ge*
mengde getallen verm§nigyui^i^d . worden ; en zulks , met be-
hulp van de regelen ^ welke y in de XVl en XVlIl lespn,
geleerd zijn. (!)

I. Voorbeeld. Me ft begeert 33 gl, 17 y?. p penn. met ^ tê
vermenigvuldigen f ^ . . ^ *

Verklaring. Hetgeen mep vcrmenig-
VRidigt « 2^n getallen , of grooidcden ,
welke door benoemde gei allen word'in
voorgefttld: de vermenigvuldiger, bet 2|j
bi} een geheel, .of' gebipkeii geial . z\| , is
ait(td onbenoemd, of Qioei ten minlte«

ia)

aa^/.

17 fi.

gpémi.

\^r 0i*

f^p^

15 p4»«.

. 13 gl*

x^fi.

gipAftn»

yüic

(fi Hoe kan een ge^Qpigd met écn gemengd getal vermenigvuldigd

. worden ? . * .

(8) Of cf hier van een voorbeeld?

m^ Wat merkt g0 aan, omcreiTt het geval , wanneer grootheden^ we1*
JflLtt in geheeten dcelen en mindcrdeelen; zyn uitgedrukt, met'eeif '

.£et>rokca moeua vermenigvuldigd wördci) y

tM ALLEREERSTE OKorrDrw der

: *€te^%eteck«nis van verven igvnldigea » tf« onj^enoemd , gcd -dit. _
dea. Wanneer ik nu eenig getal, or eenige grootheid, met t^ ^al ver<f
menigvuldigen , meen ik één^twaalfde yan dU grootheid zevenmaal
te nemen; (331), of ^zie 34.1) één-fwaalfde deel van zevenmaal dU
grootheid ; en znlks ken « wanneer hef vermenigvuidigtai uit geheid
Un^deeltn ^en ndnderdeelen hefaat , op geene andere wlfZ4 » verklaard
nwrden, ik ver menig viXldig derhalve « volgens den rj^gel, art. 204. de
geldwaarde 23 gl. ^7 il. 9 penn. met 7 » en neem van het prouuct ^
dac 167 g;l« ft Ü.' r5 penn* bedraagt, (volg. ^r/. 219 Bladz.Zo.) het
twaaifdo gedeelte h en dan vcrkr^'g ik 13 gh iB it 94 penn, «o 4ic i#
dao bet begeeidp product.

ft. Voorbeeld. Men hegeerf 35 RsjnL Roeden ^ 7 ««^Mr»
5 duimen y 11 lijnen^ met 13/j te vermenigvuldigen} i

35 R. 7 vt. 5 dm. n *!•

ïi*

4^3 K« t vt. 4 dm» II In,
ï^.ii R. I vt. 7 dm. ii^\m

ATA R. 3 vt. o Mm. o^U

TTruklaringu De voorgeftel de vraag
wil rzie art» %%z) zeggen : dar de gege-
vene.icjigie, In^Hónlondfcbe Roeden, ^/;;8.
oirgcdrukc, 13 maal genomen moet wor«
'i^ton ,^ 4ac »«« b^deze dertien voudige
ieo^t'e nog vöfmaal bec zattiende deel
Vbezer gegevene ' lengte Voegen moet. Men
moet derhalve^ de gegevcne lengte, vol
«ens #//• lOA^ met 13 venneaig\iildigen en diezelfde lengte, naar
^bet voorgaande art. ^ maal nemen, en dese twee gedeelteifkc.produo»
ten in ééne fom brengen ; zoo als men , io de nevenflaandê bewerkli^^
ixlea kan.

3^0. VI Geval. En, wanneer er, bij de laatfte minderdee-
len von het vermenigvuldigtal , breuken (laan; dan wordt n^m
tans de bewerking^ op deze f de wijze' ^ naar de voorgamde
yooi^chriften ^ volbragt*

Voorbeelden, i. Vermenigvuldig 17 /f. %\\ penn. met \i^\t
' M. Verm. 317 dC il fi 91^^ ^^^ i9r}T , ^^ ^ ^ t.

3. Hoeveel is ,'| van 11 Last 17 mud» s{ fchep. Amjhrd. maar f .
•. 4. üieveal maakt 17 maal de lengte van tzg Amferd» voeten^ 9{j
duimen met nog elfmaal één-dertiende deel dezer lengte f

Km Het pond ge wiet van zekere waar, kost 3 gl. 7 jf. pi ^^Jij^
Itoertél dan '117 podf en 7 oneen oA.ir/A ponden f

Mebi voorbeeudeN van alterlei aard.

6# Hoeveel is is van de kei ft van anderhalf^

f.twee^ derde van de helft van 7I «•'' met anderbalflnêttHo
rterde part-rnn-fi vermenigvuldigd worden f

8. J^en begeert anderhalf' zes tiende deel negen^ewvijf zesde maai
te nemend \, ^

9. Men begeert anderhalf^kwart met derdehalf aeUf e te vermeng
VttPdigenJ ...

10. De fom van één half en één derde moet met de derde part van
Anderhalf vermenigvuldigd word en f

11. Het getal ioit met 7 maaide helft vantfte vermett^gvahdigom^

12. Aan iemand valt ten deel van eene fom van io/> gulden^ en 11
fonn* eerst 250 gulden en dan nog de krift yan een vUrdo fano'a^

CIJFERKÜNST* IV H00FDD..X3j:VL Lat. ti}f

H TBU: hoeyeH guldeiu ^ fuWêfs ammp^oaiffgén i^trM^gt kij dun, in,
%ct scheel ff r-**

13. Hoe moei pa» 150 gl^ i?^/» <" ^* P^^ni onder drie perfo^rt
if , B^n C^ ye'rdeelerti zoodanig ^'' dat A Heeft Jt ie- elfde van de ge»
k^ete fom ; B t^ee^^uegende yan het geen êr ^verlilijfi » nadat a fijn
êoetdeel. genomen het ft ^ en C de restU

XXVII. LËS. Over ^ T^^Vmg der QeAkênu

°'^

36f. De deeüng der geb'rokene getallen ttrela> even al»
dl« der geheelë, tot twee einden. i^'.^O/v? het eene getal,
door^ het andere te meten. a"*. (Tm een gegeven getal ^ in een'
gegeren aanfal van eyenmattge deekn ^ teverdeeUtt. \^fj f Dt^
veriioudjngs* en d0 verdecUugS'divine bedanii .derbatve, aoQ,
wel in de gebrokene» als in d^ gebeele gi^allen,

r 363, ^'In èene verhoudihgi^ divifie^ tneeten deekr en deeltal
gelijknamige getaüi^n zijn (a) (verg* ^ar/. laSi.) f ^^ deeling,
der gebrokens \$ aaö liQuA^dJi voorwaarde onderworpen. (3).
Men kan wel {^ voet met J voet meten 5 maar geen ^ jarr
net } pond. (4} f ^el eetüge onder/cbeid tusfehen dever^u^^
üttg^^rifie der geheek en gebroken^ . getalkn ii hierin gek gen: ^
dat y in de geJteëk getallen^ de deekr en kei , defifal yoljhekl
gelijknamig zijn^ daar , in de ge&rokem, deeUr- en deeltal wel
g^Ujkjhortig zijn: dat. is ^ totj dfizelf 4e. éénbei d,; maar^ met a*l^4,
t^ hetzelfde evenmatig deel vq»: die Hnkeid^ behooren. (5).rTï
Wanneer men ^ guldep met-. 19 gulden meet, of iS^twüutigd^
giöden met 3 twintiglle gulden; dat is,- iSlluiv; met 3 'ftwii^,
vers; dan kan deze utttnecio^i door de eenvoudige: deeHng^
der getaiien ^ .jnet :i2 ei»: 18 ^t i3,/wor4,en. ujtgevoerd:.
Biaar, wanneer. men % voet met. i*^ voet. metejii 'wil * meet. in.en
)?el.eene grootheid met jsccé gelijkHachtige, èn een gebrokei^
jaet een gebroken^ van dezelfde éénheid;^ f doih^ daar ^ in dif,
geval, de groothe*den^ die 'men mt elkander vér geli]ki^* in 01*
dfrjcfuidenes evenmatige deekn van het geheel , zijn tdltgedr tikt;
zoo moeten deze gebrokens vooraf' ,tot. dezelfde eyenmati^e . d^e-

'■ iii4*Ci"i ■[■■ui>.4 *lAf ■■^''' ''«^ '■"'■^ '^ ^'i.» Ui i..*». ■■*■■*■ ..Il .'itl •;>■.-

(f Ö Tot welke einden ilf eki de deeling der gebrokens t .

^(p U die vereischcc ook in de vcrTioudinga-divitfe uer breuken nood»

1*4) Helder dit doqr een voorbeeld op f

U) Welk onderfchetd k%ii'^r'!ii>W:l»cii tie vefb(nidln^l*dfvi(!e dei* |e«

Hb^^ac en oer aAioüénr gejatte», iiettawtf • ,.^;,,,,;^Goo'q1- • - ^

m V4n *et ge/ml A^i^j; Au ü^ i^ndar éenteifkn .nsêmê^
gjsbragi voorden* (6)

363» Voorbeeld. Om dan % vêden met /; voHm $€ ^e^
^«? brengt aen deze gebrokens, votgeos den^eg^I \^ti m^^
307, Bladz. 408, onder denzelfdenuoemer ; ^bergeen , In tww
geval, altijd gefchieden kan, wanneer men teller en noemer
van bet ^e^l | mtt den noemer van Men êeelér ^^^\dat /x,
met i6t en teller en noemer van den deeler /^ met den noemer
vm het deeltal %; di^ is^met 3, vermenigvuldig jwznt dan ?rer-

krUgt m«»: 1 1= ||-^^ = g en ,^, == f^^^ = ^; eo

éiensvolgkns is | voet: /^ voet =3 ^ Jroet: -^ voet = 33^
p 2= ^ Si 3|, De vetlïonding van ^, voeten op f vóetes
wordt dus door 3| vooigefteW. (7)

' 3<$4. Door deze wQze yan redeneren , A Aet rinden ^nm
ie retkoudlng ¥an fj op | gétragt tot het vinden^ van ia
verhouding van het geheek getal 9 op tut, geheek getal 3».
let men nu, op de wijze: lioe de getallen p en 3» ontfiaan*^
vïIjd; dan ^tet mews dat het getal 32 ^mjlaan Js, d^ denieU
kf van ht deeltal \ met den noemer van ^kn deekr 4^ en k^"
getal p, door den noemer van het deeltal | met den -moemtr
ran den deeler f^ te vermeulgvuldlgeni eo dat, warmeer mem
ien deeler ^keei-p; dat -Is ^ dén^ teller fn plaat» \van den noe^
«rer en den noemer in plaats v»<len teller fcbnjft, het quo;*
itent, of de verhooding, 2al gevondw worden, indkn mm
ièf deeltal f met het mgekeertk van den deéter^ dat io^
Étêt^ vetmenlgvuhh'gti want, dttn verWjgc «en, volgens den
Kegel van arte »4P, voor | : /^ sr: f K ^ = ^» = 3|. (gj

365. Men gevoelt mi, door dtt beredeneerde; dat men, In
iödere gevallen, door eene geüjke redeneerwijze, bet qüo-
ilent zta vinden; en dat men diensvölgens, tot eecen algemee»
iien regel, 2al kunnen (lellen* .1

2lLGefiiK^K£ REGEU Fermenigvükffjg het deeltal mei Ikt
ingekeerde van den deékr, vó^em den atgemeenea regel ^ welke ^
vmr Je vetmeMlgviUagln^ der kreuken.^ is vmgffchreven^ e»
hei product^ dat men akdam vtrkrijgf^ zal de verhouding vm

keas, onder het oog bowdeat t m^ -«i«« «^ 1«^,

C7> VerkiflyrifiMftMdar^éoor mat voorbeeldf
<«> Wtt i;^ nu .€%eiKtk fai *«• knmtSüag 4«fiAW^%ooQle

}

CIJFERKVNST. I? HOOFI>J). XXYIL w». ta?

êm éééter 9p hét éeétml v^fUlkn. Wènmtf ity mkr diik
tkeier (f het -deeltal^ gettèek if gemengde gétaiUn yoorkomm^
mmakt 9ufks ^p éien regel geene ék tMinfie uUwaéêring, \^
Zie hier-voofbeeWtti; . ^ .

('

f:|=iX} = J

> s il = /, X ïl =41 =r l|i

. : gi = 5 X i? = }f = lA

*|: i|=s|:| = |X| = i = l|
ïs3 = i:f = |X4=ri

I : li = ^ s I = é X I = /j

35 : 31 = ,y ! V = 1? X A ï=f I
8 : f = • X J = ia.

3($5. Nadbab vsftELARBto. Om -ite raeenfaig van den «Igc
Bteenen regel wel te verdaan, moet men weten: éu <alk ge-
stie .fetalkHt:5, 6, loo, alduSf <mdtr ie gtdamtt ytm meigf».
Hjke breukmi f, f, ^, hmntn gefield worden ; * dat yowtt hit
smgekeerde v^n -een getal gevonden wordt, wamteer wt» (dit gt.
'taf zich altijd onder den vorm eèner breuk voorflellende.^ _d*tt
ftlUr.met den noemer verwisfelt: aldus is,

|iiec omgekeerde van }
i.......... .. 2|

tnz.\ met »lle «Bdere, (to;)

l<^. AANftisRKiNO* Het blijfcc^^k de b^gebni^e Y^osSm^
dea: f ^ ^^ quofieta groofer ef kleiner dan ea» gehnd wordt j^
maarmate dat de deeler kkhier of gre^ter dên het deeitul «i., Cii.)
CQ bi€rio komc de verboudingA«dtvi&e der gebrokens» met die
éer igébeele ^etailen oveiééo* I>Qch, bebalve de mst^eaag
Tta d«a regel » behoon de i^eerling bet .«^oociemi, i» tUe ^
vaUeo^ beboorlijk ce Jraqnea verklareiu <ift) \De wee ygh»
gisde voorbeelden rioUen,, coc dtc eiade, ^vQld«letlrie ^iCOtiu

(pl)Hie0r welken ttgeiBeeora T^pBt kiimieiiite gebrilkeit itooe eikttü

dar gedeeld worden f
CicO Boe «ecc de «tgemeeneiregel tta^tef verkfuvd woHtoiT
Cti) WK Mykt uit de btgei>ragte veorbeeldeii I
OiA WiT wentt^^ Müve^ iiüvoeMÉg n» «Mtefel »t«rdi^M

ii8 ALLfi R &iB.R ST E ö r ow p e n p iïrï ,

i^ Waon^er. nwn § door f deelt of meet'; dsn vei;ki1jigt
uien V'Oor het quotiënt óf de verhouding ij — Wac bewe-
kent nu die i|?.KJöarbjijk^lijJc het volgende: ^ /k'(/t van jwp*
ker geheel^ bij voorbeeld^ van éénen voet^^ word f met ee^e kngf^
van twee^vijfde voet gemeten : die twee-vijfde voet is^ in aén haU
ven voet 9 'éénmaal begrepen; ên dan blijft er van' den hahtn
vo(t\ die met twee-v ij fae ^ ah maat ; gemeten worat ^ nog ^m
fikk over 9 dat p^eeie^ eén- vierde gedeelte van twee- vijfde voet is^
a^. Wanneer men | voet met i voet - meet ; 4/^» bcfchouwt
men I ak tff^^at^ <f éénheid; en dan wil het quotiënt -^g zeggen^
dat één achtfle yan %eker geheel juist drie zestiende atèkn V4m
Pwee derden van datzelfde geheel uitmaakt. (13) -r l^^^të tw^
voorbeelden zijn geiioegy^om alle ander ^', naar dezelve, te kux^
Dec. verklaren. — Men ocfene zich intusfchen, t^n einde, in
het werkcuigeltjke van de dee4ing der 'breuken, bekwaam te
jvoideo^ in dejuitwerking der volgende voorbeelden» ' < .

- w ^»et liyl msf ^f 2. Me€t A f et v^7 3* IÏm groot is ie y^T'»
houiing van ^ op tos^ 4* ^« ^ff'' »ïï o^^oi 5. Jin r0n.izi op
i^hf^» ^Uet het gf braken XiS met iiö,'^ }» 7. Meet iif.ii mei lifjl
8. Uoeyeelmaal if 9$ duim ia H^ roet begrepen 7 9. Hoeveelmalefl
gaaiHij'i fltiiy. in I23fi guldens f Uoeveelmaal is \i fi^ 17\ peaif.
in 13I4 guldens begrepen f 11. li^at gedeelte is i»i gulden nut i^
Jlui¥* \\ petin, ? - ,

3^^. Vkrdeelings-divtsie* Gelijk , /« geheele getallen , k^t
bepalen der verhouding van twee getallen ^jn het veraeelen v^
een getal in gelijke deelen\ door ^ dezelfde' bewerking ^ vo^ragt
worden; zoo ook worden^ in de gebrokens^ beide foorten ym
wes^kflukken ^ door den zelfden regel ^ ten uitvoer gebragt. (\*0*
i>9cnde vérdeeiings*divi/ie verkrijgt , in tk gehrokehi^ fomtt:4is
(jgèi^k di vermenigvuldiging der breuken ,) eene omtigenU^'^
1^1. met den letterlijken zin van het woord verdcelen, ftriidig4
beteekeniu (15) Wanneer men 19 in drie gelijke deelen ver.
deeit ; dan is elk deel 4 ; en dan komt geheel en deel i» HJ»
«e^ eig«ne beteekéqls voor; maur^ wanneer het deeltal^ dat
HUJhit aantal St^- geÜfke deekn^ waariHhef geheel moei verd
détid morden i^een gebrokemisi -dan wordt de beteekenif ^Wö
j^eheel en deel oneigeniyk.-^A?/ geheel wordt gedeelte emj^^ '

'-'" "fy ^ü ' " '■'- V' t ! . .1 '■■ .■!. ■■ "H'^^)

(is) Oeef^ecne v^kltrijig v$n de becee^Rit van het qaetÏQntr ; )
m) Wat moet » m de deettng <Jei> breuken , opiemc-rht wurdeof ' j •*.

^ DigitizedbyCjOOglC

C IJ F E 11 K UNS T. IV U OöFDD-JO^VIL Lii.^ap

tttófir ge&eet; of, tkt' lie««lfde Is; het ver^eekn wordt •wy

^grêoten. (i6) ^ Waooeer men «egt, va 'va 2 geiljke dealen te

verdeden; dan zegt men: een deel te vinden^ dat ttpeemaol

m m begrepen />.• maar 2egt men: 22 in § geliJiLe.deefen te

▼erdeeien; dan zegt men, oDeigen^Jk , «« deel te yindatj^itks

-iiclft gelijk aan ket geheel U^ (^ïy) De algemeenheid der b6.

•rtifotiwingen maakt deze <7nelgetHijke wi)ze vas zeggai hoogte

iioodziikeigk; want, offbhoon bet vreemd kliakc, 12 in ^ go«

"^e te verdeelen; zoo zegt «en nogiatis , zeer Jtigeiatgk : -^

'^tffï 12 /» 3| deehn tevefdeéieni hetgewi ^«^ggen wil: bet^

'tal • 1 2 Y« 5wr dee/en te verdcelen , ynraurymi de drie ^erfU^'^^k

-^n , tn het vier<k gelijk is Oan teti^rierde van ün diur "ëiie

terfte gelijke deelen. (iB)

369. VERjiiARiNG. Om nu zoïlt ccue verdeeHngs-diyiüe tilt te

♦toeren, kan men ahlüs rcëeiierenr 'mtnneffr men 12 /».3i gelitke Hf*»-

Un men yefdnlm; é^n kan men ^ (ondtrftel^ncie, dac «toze ver*

.dcetiag KOUS ««icHied zt^^) elk der drii gelijke 4uUn in vier lUh

mer^ en gelijke deelen yerdeelen^; en dan xitn er ^ in het geheet ^

^ X 4 -h 1 = 13 gelijke deelen i deelt men nu het getat i« in

ie f tien gelijke deelen; dan is elk deel = || ; maar zulk een deel

'■'Wfet riêrmaai genomen worden ^ otn de groote van e\k der #rie.gelti«

ke deden te vmUen. Uien heeft der half e ^ voor elk deel (tvMoecr ift

>in «I gelSke 4eeien gedeeld worde , 4 X i| = ^i = %h % zijnde

^js;: sA + 4 X sA =. i^ (19) I>odi, wanneer wen , higeroJ|e

■ tfeo algemeenen regel van art* %6k , het deeltal is met het omj^W

keerde van den deeler vermenigvuldigt, verktffgt men insgé1^lM>3Vi>

;;t.Hfit W^kt dan: dat de deeling der breuken door denzelfden regel

^ wordt uitgevoerd i het zij deze deel ing, tot het bepalen eener yer^

têêuding , of tot het ^etdeeUn "eener gegeyene gtooiheid , firel^kè», .

moei* Oo)

VooRBBBLOEif yoor de verdeelings^diyifie*
* 'ü P^rdeH J^ ui geiijiïe AeéieH^
%i Verdeel nf in if gelijke deelen t
. A De '^verhouding yan i 00 een ander gebroken is rttmen vraagt 9
vme dat andere gebroken zift

4. Be verhouding van 11 J op eenander getal is ft; welk 4s dit
pééare getul'%

Sm Een getal te vinden ^ op het H^elk aj begrepen is 1351 maal'i
- }óm 'l^-elk is het i^tal^ dat met ijj gemeten zijnde^ aan zevenene*
getale van die 13} gelijk wordt f

(16) Verklaar dït nader t

^17} Helder dit door eea voorheeU op f

^4$) Hm vecklaarc men dexüircekwüs u in 3! .^IQke .deelen (e v^i*

(kelen ? . -

((9) lloe wordt 22 in 24 gcl^ke deelen verdeeld?
Ca^ Welk beCuit uekt g^ uk dit aUes? oigtizedby Google

tZO A'Lt E tl£É RS*E GR ONBBN d & >

T^^elk is het gehield wèarvan IZ7\V hit xevèn^d er tiende deel t^

li Hoeviel kost de el van zekere ftof^ indien xij tegen 7} iru^

dcfU betaald 'wordtl j a /^ a^^^

S70* Aanmerking. Wanneer men alles^^^amen neemt^
wat ^ in deze en in de twee voorgaande f^^iWn, behandeld i$;
dan ziet men, ten dnidelijkf^q: dat de vermenigvuldiging^ en, de
deeling der breuketi, in de uitvoering, zee^ ligt zyn, en dat iben
flechts twee zaken heeft te onthouden r ji^ y<?/ J^a product van
twee breuken gelijk is aan het product der tellers ^ gedeeld docr
het product der noemers; 2°. dat het quotiënt van twee breuken
gevonden wordt ^ wanneer men het deeltal met het omgekeerd
van den.deeler vermenigvuldigt: ,dan, hoe gemakkelijk deae
regels, in de uitvoering, zijn; zoo vereischt het echter veel op*
Uttenheids en oefening^, om met de ware bet eekenis der woorden
' yeemenigvuldigen en deelen zoo gemeenzaam te worden^ dat fnen
'piek in dezelve niet verzinne: deze hebbelijkheid alleen baapt
den weg, om een bekwaam rekenaar te worden, en zich tot
de beoefening van de verhevener deelen.dei Wiskundige Weteft-
f<*Sappeu voor te bereiden. — Wij zullen thans , yan de ge.
wone breuken afftappende , eenige vraagftukken ^ tot oefeuipg Ji)
de gebrokens ,*opgeven; . ^ ...

I. indien joo greinen ^niver water in 84 greitien zuurflof en tfS

êr^nett water (lof kunnen ot^tleed worden;. iPeJiceyvtinfte' deelen yam

. he4^ ge/teel -zuurfiof' en waterflof gaz zijn in He/ water voorhanden 9

öé Indien men aapneemt : dat de dampkrings - luchi uit /y deelèn

zuiffflaf gaz en ^ deelen JfiJiflof-gaz beflaat ; hoeveel cubiek^ ^i*

jeh XMurliof.gaz kunnen dan 1379 cubieke voeten dampkrings luein

uUleverénl • • r s ►oér

- !• ^elk is de .fom van \ en \^ wanneer deze fom met | veruit»
üi^d Wftrdtf .* ' ' . ^' ■ : ' i

frHoeveelmaal is de helft van anderhalf op de hfUt yattitn
he^ begrepen ? . ^ ■ ,.^

§• li^at verkrijgt men tot quotiënt^ wanneer ?5- door — ÊeiêêU

e^44^Un V'"^"'^ ^'^ getallen 3! , r} . * ^» i do^r ^J X Sf X f J X.»

f. Hoeye^.l zesthalyen verkrijgt meny wanneer \\ van eenenl^m '
kaat met l daalder verminderd wordt*

8. ^« welk !tetal is het drie vijfde' gedeelte gelijk aan 7\ ?

g» meveel deeten van' een^n- ctibieten Rijnland tchtn ymft^mijn'^r
Vegrepen in een viti^kant baiije,dat 7\ duim lang . 3* duim breed en
a|^ duim diep is ^ ,

10. £n imlien een cubieken voet water weegt 64^ pond; hoëVfi$
'gmgt aan water zal er dan in dit bakfe begrepen kunnen wordt^t.

• DigitizecJbyCjOOglC

CIJFER KUNST. V HOOFDD XXVIH.'lis 131

V, HO O FDD BEL. Over ée behandeling ^<?r uende»-
> ligè (?ƒ decimale Getallen.

XXVIlIflMjL^ Oyirr-^-? tiendeelige Getallen, dT^jrae/-
^'"^'"J^^^iilê» eigenfchappen en gebruik^ in
^lijkfihe berekeningen^

y;\. De ongelijk^H|^eeHng onzer van ouds in gebruik
geweest zijnde inacèn erh^fj^wrgten maken alle berekeningen ,
welke, inhetdagelUkfche gebruik, voorkomen, langwillig en ver-
drietig (i). De Iftskundigen hebben daarom reeds, fed ere ÓQn
djd van onzen Landgenoot, stevin, (nu twee eeuwen geleden)
die de uitvinder van die «eeHvoudige verdeeling en berekening
Is, die maten , op eene eenparige wijze^ het grondtal vdn ons
talllelfel Pot grondfiag aannemende^ in tiende deelen verdeeld ; (2)
en, uit deze verdeeling, is eene foort van breuken ontflnan,
welke, wegens het getal ticn,^ waarvan zij afhangen, tiendeen
lige of decimale breuken genoemd worden. (3) f

S72. Om cpiv I A

tegrip van ^i^ \ C *^ ^ D

lumdelwlfze , als

nede van de üendeetijzu ureuKen, dte uic dezelve volgen, ie vcrkr^»

J;cn; zoo verbeelde AB céne lengte, CD éénen voet, mee welke de
eiigce AB moet genieten worden. Stel, dat CD in All meer dan
4ric- en itinder dan viermaal b grepen ztJ , en dat er van AU wne '
lengte P overblijve» welke kleiner d^n CD z^. Iji plaats van nu de«e
overbltjvende leegte P^ ujct déncn duinv of één -twaalfde vau éénem
toet, té meten, metert zi| dezelfde lengte P met één-tféntJe aediïehé
ittn èënen voet. Stcl,*dat dit tiende deeJ \n\\ CD of ^ GD in P
fieer dan zevrn en minder dan a^htmai^n, bejirëpen zq'{ dan hoodt
oen. eené kleinere lcngt« Q over, kleiner dan -^^ CD.^ Deeo kleinere
lengte Q meten zö verder met één-tiende deel van één^iienrije vgn CO;
dat is, met één-honderdfte deel van CD, of met ^«5 CDv Stel ,-dac
»«a CD roecr dan zes en minder dan zevenmaal in Q begrepen z^;
dao houden zQ nog eene lenatc R over^, kleiner tian réu CD» Deze
lengte Vl meten zq met één-tiende van één-h jnderdfte deel vwi CD;
dtt !s, met één-duizendlle van CU, of 7^55 CD. Zil gaan , op de-
zelfde wijze, voort; en meteif,' zoo lang er nog een- zekey jjedcelte
twerbtjft ,, dit overblfvende deel met één-titnde van het deel of on»
derdeelder éénheid » waarmede zH bet laatst gemeten hebben. Mytn

CO Welk nadeel volgt i;lt de oogeljlke verdeeling onzer ou^ maten

en gewigten ?
(a) Welk middel, hebben de Wiskondigeii bedacht, om dit moeQe»

Mfke te boven te komen ?
Q) Welke foort van breuken zto uU deze bandelwlfze ontman ?

i%i A L t Eït E ER STE OR ono"e.n obr "

zo^y»ts ari; imt den ynet dotn^ gaan zl/ mt atti hkunê ü^mMih-
ffett ie werk^ en mefen alle j^rootthe^en met geheel en , tien Je-deelen ,
hontienille dcelen, duizendfte deelen , tfcn-duizcndfle declen , hon*
derd-duizcndfte deelei», millïoenfte deelen» enz. (4) Ea» ont de uït-
komsV hunner uitmcifng, op éc eenvoudigfte wü«5, uit te dnf%keo«
fcheiden x9 dé gefceelen vm de ticndeelige», door een cflMinni f,") en
fcbröven, in rangorde, de tiemie deelen, hondérdfte deelen, enzm
achter de cotnma; dat is, achter de eenheden; aldus:
AH = &.7<55 CD

jictwdkdaa gcfezen^ wordt: JB bevat driemaal CD ^ mstno^T

Hn- tiende ya^a CD ^ met nog 6 maal ^én^honderdfi^ yan CD^ mu
nog 8 maai één^duizendfle van CD» (5)

-S73. . Men kai> zich deze fchrijfwijze der tiendeelige ^etaK
len,.door hef volgende tafeltje, zeer Audelijk vcKfföeHeo.

■ ■■ f - ■

8 o p 8 7 3 8 5, 7 3 8 o 567
én dtn ziet men: dal, bli deze fdtrijfi^ijze ^^ in den ovêrg^
van de geheehn t$t de tiende deelen ^ van de tiende deekm
tot de honderdjle deelen y enz. dezeifde -u^et be/faat, dis^ 4n deit
itvergang van ^ hij voorbeeld^ de honderdtallen tot de tten^
tallen en van de tientallen tot de eenheden; zoadat, zoo wel
achter, als voor het comma, elk cijfer tienmaal raeer waard
is dan het onmtddelijk volgende. (6J Men ziet nu ook de reu
de», wanrom de noemers der- tiendeelige brenk^n nfetbèho^i
Ven gefchreven to worden; want, de woorden tiende deeku^
honderdfie^ deelen^^ enz* worden aeht^ bet comma, o^ é^

(4^ Geef mü een denkbeeld vah de^e haodelwjfM en ¥aadi«. Tooit
vm ftretfketft ^

(5> Hoe vorden die foort vaft hreijkw gerchreuctt? . <
"~ Wat merkt gti ra ^ ftWStsfitSit der dendeel^ bceukea opl .

■■ ' -^:' ' ;-■ _ - 1- ■■ DigitizedtyGoogle - .-

%

CfJFBR.KüN;ST. V HOOFDD- XXVIIL hts. 133

zel&Je w^ze, i^s de woQtdèn tUnte^kn^ hmderdiaUen^ enz.
voor bec comina, door de p{aa:s, waar de djfer^ flaan, uicge«
drokt. (7)

374* AAtvMRRffiNG. Ds nul ^f zere bewijst ^ in, de tiendeeli-
ge breuken , den»eifden Menti , ah in de geheclc getallen ; wanc z\}
dient, in beiden, om de ledig'ftaande plaatfen aan te vul.
len. (8) By voorbeeld, zeven honderdfte deelen wordt aldus ge*
fchreveo , 0,07 , door, in de plaats der eenheden en tiende*
deelen, eene nul te. fchrijvcn. £n bier uit kunnen gemakke-
igk de uitdrukkingen, .0,5; 0,00735; 0,003086,0,00000073
en dergeiyken verftaan woriien., (9^

375. ♦ Wy noemen, Tn lïet vervolg, ^e uitdrukkingen, in
welke geheelen en tiendeeligenj^ of alleen tiendeeligen voor-
komen, Cgeiyk 73,83 en 0,385,) tienddtUge getallen^ tiendeeli*
ge uitdrukkingen, ook wel, tiendce^ge breuken; (10) en het
comma, hetwelk de geheelen van de tiendeeligen affcheidt,
wordt ket decimaalpuht genoemd. C") .

375. AanmerkinO, De tiendeeüge getallen of breuken heb*
hen fraai] e , en , met het talfielfel volmaakt overeenfiemmende , eigen»
Ithappen^ weJke^ eer wij verder kunnen gaan , vooraf grondig
moeten verftaan worden*

377. i^ Daar het decimaalpunt de platcs der eenheden be<
pialt, en aan elk cyfeCt naar den rang, waariti bet geplaatK
is, deszelfs waarde toekent; zoo zullen de nullen ^ welke
achter eene tiendeeUge breuk ^ of achter een tiendeelig getale ger
plaatst worden t d^ waarde van dezelve zoo min "v e f anderen ^
alt de waarde van ten geheel getal verandert » wanneer voor
hetiélve eenige nullen geplaatst worden, (12^

Vs&KLAaiNO. Wannéér ik, voor een fnebeel f»eta1 34., eenige nuHes
platcs, bltift de uitdrukking 0000034 vler^eit-derfig ^ wanc ile 4 ^i)-
vea eenheden en de 3 tientallen beceekenco* Zoo ook , wanneet ik
achter 3,5 eenige nullen ftel; dtu blüfc $,500000 niet me^ noch min*
der dan 3 geheelen en 5 tiende deelen beteekenen; omdat het deet«
miidpoot de plaata der éóohetien bepaalt ; zoo dat 3,soooo eiget.l{k

S) Waarom Ithr^ft raen.tnde tiendcelige breuken ; de noemers niet f
> Tot wat einde dient de nul of -de zero , in tte yiepdceüge ■ brcnkea f

(11) Wat verftaat men dodr. het decimaalpunt?

?9) Geef eenige voorbeelden van dit gebruik ?

Wat zQn decimale of tl^deelige ui tdrtiK kingen 1^
. .^^^ , . «»

,d
M

in) Wat is de eerftet dgenfciMp, die g^ in de tkndeeli^e b^enkea
opmerkt t nigtizedbyGoogl^

134 ALLER E^E RSTE'grond e'N he r

«egffen wiW a g^heHen^ 5 tUnd^ê^deeUn ^ giètiê honM-dês duUn . ffe^m
ne duizendfte doelen ^ enz. (13) "^ . * -^

De nulle.i^ achter een gêlieel getal* geplaatst ,raateti wel dit geJteele
getal, voor elke nul, die achter hetzelve konit , liemnaftJ ^r eter;
raaar dit komt daar Van dajo , daic het actóerfl:e:c^fför;' IftAie ceKêele
getallen, altyd eenheden beteekent ; daar, bv de" Meiid^iig^ ultdrwk*
kingen integendeel , de waadde van elk Cflfer van de piaatfingr van bet
decimaal-punt afhangt. (14) r -^

Het bltjkt dan uit die alles, dat, In plaats Taii 37.50', kin gefehre-
vfiti worden f ^ ' , , /*

ooooooöos7,8903ccooeoo •

io welke irftdraktcüig, zoioyeeJ ïMtp\ vd6i- of aciner' kunnen
weggenomen of b||gevoegd worcteji,. als mcn'goedvïftdc, «wiilet^ dit
de waarde of beteekems. verandert» • ^ Deze . aannierkimr zü' ons
weldra te pas komen, • ^ . -f ^ 0 , wi*

378. 2^ Elk cijfer^ achter het dedmaalpunt van een Utn*
deelig getale b^ volgem deszelfi plaatu de, teller van ee»ee^
broken^ heifelk^ indien het het eer He ^ tweede^ 'derde ^ enu eiÊèr
is, dat op het decimaafpunt volgt ^ dt^ getallen iq^ f ©o*
1000, Qnz. tot noerner heeft ; en alle deze bijzondere breuken
zijn integrerende of zamenftellende deelen vcfn een gebroken
hewelk tot telkr heeft alles, wat achter het ^ecimaafpunt flaat
en tot noemer, de éénheid, gevolgd van even zooveel ntdlen
als er in het tiendeelige getal cijfers échter hét dedmaalpunt
ftaan; de 'fiutten, w$lke op het dedmaalpunt volgen mosten s
fnedegerekend wordende. C'5)

Verklaring. JStelten w? , otn dit pp te helderen en te bewifzen •
dat gegeven j« het nwdeellge getal 57,8^,- dan Is bet klaar, dtt
voor dezelve kan, geftel4 werden: » "

sr + fe + ^+ts'l^

maar, Wanneei^ men den teller en den noemer van ^. met loó en van
,1, metio vcrraemgvuldigt; dan verwdefen deze^breuk^ niét i?i
waarde, en de uitdrnkking wprdt ils^n: *"

dat is, omdat de breuken onder denaelfden noemer ftaan, . %

• 57 + 1^5 Of eeövöüdlg ^7^^
en hieruit is. de waarheid vim b«t -gtftetóe-bHfkbaar. op gelUke

Os) Verklaar dit, door een vowbeeldl . ,

C14) Schönt dit met eenigzios van de geheelc getiflen af te tröketi

wordïT ^^^ worden,, wwineer er eene puf achter ^[aat/c
(iö Welke is de tweede cigcofdiiap ? 09^^^^ by GoogI ' ^

CIJFERKÜNST. VHOOFDD.XVin. KE$t HS

o,82S3 > betzelfde üls > ^Vö^
o,öQP3 i . S Tagèo

cfl op deselfde in^ze, fliec alle mderefi» (f6)

379- Aanmerking. X)<?3^ eigenfchap hti'at derhalve êênm
regel ^ öm elk tiendeeUg getal of breuk ^ zonder eenige moeite^
tot ecne gewone te herleiden: x^iü^sx' ook zal men, omgekeerd,
elk gewoon gebroken, dat eenen der termen van de fchaal van
het talftelfel toi noemer heeft, op ftianden voet, zonder eeni-
ge voorbereidende l)«weF](log i in^ ejen tiendeelig getal kunnen
overzetten. ' . ■ :

Regel. Ten(dkn einde ^ zat men fiechts den teller van dit ge»
hroken , als ^en gejieel getal j ter neder ftellen ; en ^ van het aoh'
'terjle cijfer af te, rekenen^ z$ovéel cijfers achter het decimaal*
punt brengen , ah er ^ in den noemer , nullen achter het cijfer één
ftaan ; moetende , Wanneer dit aantal cijfers in den teller min*
der dan iet aantal nullen in den noemer is , de ontbrekende cij*
fers met nullen worden aangevuld* (17)

AldüSjs ;^^.==: 0,4875'; ^,=5 0,0173; J^95 =

0,00018, enz. * ^

3?o, 3^. Eep tiendeeUg getal wordt tienmaal groots (jf met
10 vermenigyuldigd y) waaneer men bet decimaalpvnt ééne plaats
achterwahrds y of verder naar de regterhandj verplaatst. (18)

OphbIiDBRing* B^ yoqrbeeld^ wanneer mea 37^8653 met 10 zal
vermenigvuldigen . brengt men net deciinaalpunt , • hetwelk tusfcben
de zeven en acht ilaat , tasfchen de 8 en de 6, en dus ééne plaats ach*
terwaards : zoo dat

37*^53 X 10 =: 378^53* (ip)
Be reden biervan is zt^r klaar ; want , dodr* de verplaatfing van bet
decfmaalpiint , veranderen de drie tteo-duizendlle deelen in 4Tie dyi*
zcndfte deeien, de y///', Hul^endfte dcclcR in y*// ^ötjderdfte deelen,
de SUs honderdÜe deeten in zes tiendcdeelen , de acht tien^edeelen in
echt eenheden , de zeven eenheden in zeven tientallen en de drie
liencillen in drie bonder di ai fen; al de deelen van het tiendeclige
Retai 37,8653 z^n derhalve , en bQgevolg ook het geheel , tienmaal
yooter geworden* tjSfjï^

(i^) Hoe >ewtfst p!H deae eigenfchai) ?

07) Wat v<^gjc: uk deae eigenfchap? ., \

(xB) Welke is de derde cigenichap?

C19) Geef een voorbeeld f

(ao; Bewös deze cigenichap? ; . Digtzedby Google

I3< ' A LL E RE ER5TE GROND E N öE R

381. 4^. Om ^zeifife re/Jenzalüokeen tiendteUggetalmet loo,
ïooo, loooo, 1 00000 €nz* verme)^g9uldigd worden ^ door kt
decimaalpunt y twee, drie, vier, vyf , enz. cijferi of plaatfetij^
achterwaards te brengen ; en ^ in hejC algemeen, zaleen iien^eelt^
getal met eenigen tern^ van de fcha^l van het talfielfel verme^
nigvuldtgd worden , door het decimaalpuni zooveel cijfen achter^;
waar ds te brengen^ ak er y in dien term ^ nullen ^ achter hit
'^ijfen^éérty voorkomend (ji\)

Aldus hy b^ voorbeeld 2

37*8653 X 100 = 378ef,53
37,8053X1000 =37855,3
.97>8653'X loooo = 378^53 (aa)
en, wantieer men hetzelfde t?endeelige getal 37,^653 met
loooQo, ^ 000000, enz. zou willen vermenigvuldigen, zou men
achter hetzelve eenige nullen plaat fen^ (]37»8653oooo] waardoor
(zie art, '^'}^ de waarde niet verandert en dan zal de regel
geven: C2Z)

37>8553 X.i 00000 =3786530';
37*8653 X loooooo =: 3?^3öo, enz* *
3&'a. 5% Een tiendeelig get^l wordt 9 omgekeerd, '//V«w/7/7/
Uetner y door het dcctmaalpunt ééne plaats of één cijfef voorr
waar ds; dat is, van de regter» naar de Unkerhavdy te ver^
plaat fen f24)

Ophelp'ering. Atdns wordt 7894,07 tienmaal kle'ner of door t^
gedeeld, wanneer het decfniaalpunc , dat tusfchen de 4 co de §
ftaat , lusfctien de 9 en 4 ftett ; zoo dat

7894,87 _-. .^ .
— — ~ 789,487

De reden hrer van Fs z?eer Maar ; wsnt , door het voorwaards vcrplaatfem
Van hec deciinaalpunt , worde elk deel van het gegevene geial 7894 87
en dus ook &ee gjeSieel, tienmaal kleiner* {26) *

C^i} Wm volgt vefdtF «il ^4e derde eigenfchAp ?

(^5 G^c^ **!*' van voorbeelden ?

(a|) Maar hoe maakt men het ^ Indien er minder cfirera achter hei

d'ecimaal^imt ftaan« als dit punt plaacfen moei worden achter 'uii

gezet t
Ca4) Welke ia de vierde e'genfchap f

Cas) Helder dit door een vof)rbeeld op? nr^r^^]^

Caè> Bewös deze clgenfcbap ? oigtizedby^OOgie

C IpF E R K ü N S T. V HOOPDD. XXVIII. Lts, 137

■ 383. *6*. Om dezelfde reden ^ zarook een tiendeelig getal met
100, 1000, 10000, enz. gedeeld worden^ door het decimaal*
pwit twee, drie, vier, enz, cijfers voorwaarde te verplaat'
fim; ^en^ algemeen genomen, zal een tiendeelig getal door
eenigen term van de fchaal van het talfleïfel gedeeld worden ^
door het decintaalpunf^ ti'eii zooveel plaatfin , ^oorwaards te
brengen 9 als er, in den deekr^ nullen achter het cijfer ién voêf^
kernen. C2?)
Aldus is

7894,87 8 100 = 78,94*7

7894,67 2 1000 = 7,89487

7^.87 s loooo m 0,7894^7 (ftö)
fin, wanneer men ditzelfde tiendeelige getal met looooo,
looocoo, 10000000 enz.^ow willen deelen, zou men voor het^
9ehe^ Hn de gedachte ^eenige nullen plaatfen^ [00078^4,87], en^
naar den regel; tr werk gaan. (49)

78^4,87 2 1 00000 =:= 0,0789487
; 785^7 : 1 000000 =r: 0,00789487
enz0 , ' . enz»

. 384.' 7^. Nog moet, ali eene bijzondere eigenffchap der
tiendeelige getallen , (doch welke een opmiddelijk gevolg van
de derde eigenfchap is,^ worden opgemerkt: dat^ wanneer,
in een tiendeelig getal ^ het decimaalpunt wordt weggelaten ^ de»
ze uitdrukking , langs dien weg , vermenigvuldigd wordt met
ten getale hejfaande uit het cijfer één^ gevolgd van zóweel
yntllen^ ah er cijfers^ in de gegevene uitdrukking, achter èe f
decimaalfunt fftaan. (30^

* OVHfiLDBRiNcr* Aldus za! , wanneer in 37,964 het decimaaT^pbne
wordt wegfrelatcn , het getal S79Ö4, hetwelk men daar door vexkrjgt^
bet duizendvond zSn van 37,5^4* CsO

^ XXIX.. I^ES^ Wer de Optelling, Aftrckking, Vermei
nlgvDldiging en Vtelmg der tiendeelige getallen.

't > • ■ . • *

385« Het bl^kc vit dë voofgaande Lest dat de tiendeeBgè

rrft Wat volgt verder uit deze cfgenfehap?
Ca8^ Gtef voorbeelden?
Cw Wat valt bier verdtf op te nêftenT
a$o} Wat merkt gj, tia eene vflfde cigen(cbap , op f ^ogle
<$i) Vcrklaat 4fl» ^enfcbip Rader door een vQorbe«}df ^

Md

14? AL tE RB^^ERSTE GR o-enxEN DE»

maUeo^ in alle» . opzigte , • rajet de geheele getalle» overc^n^
üemmea. Deze overeeiiftemrainè maakt nu : ^/ de tUndee*
Uge hreühn , op dezelfde ui/ze , ah de geheele getallen , opg^^
teldy afgetrokken^ vermentgvuldtgd en gedeeld worden; wet dit
ojtderfcheid : dat men regels viiiden moet ^ om te\eten^ waar
het decimaalpünt^ in de fommen ^ verfchlllen^ producten en
qttQtieisten f moet geplaatst worden* (l)

Wij gaan nu kortelijk elk dezer vier grondbewerldoge» op
^^e tiendeelige breuken coepasfen*

Optelling. 38^» Regel. Om eenige
tiet>*mige getallen, mee andere en voQi
géneele getallen op te telleo \ fchrijft
Pfen dezelve ^ zoodanig onder elkander^
4at eenheden, onder é'^nheden^ tientallen
gnder tientallen^ enz* C^^en gelijk in
de optelling der geheele getajlen)
fiaan; voorts de tiende deelen onder de
tiende deelen , de honderdfie deelen on-
der de honderdlte deelen, enz. altijd dé

Mjfers van deze f de foort, in afzonderlijke kolommen y ander
elkander; ah wanneer de decimaalpunten imgelijkt regt onder
elkander komen. Men telt dan deze aldus onder elkander gem
flaatft^ getallen op^ als o f het geheele getathn ^djn, en flelt
tn> ^ fom het decimaalpunt tusfchen de tiende deekn en dè
Hnhedtn* CO

Wadrrr VERKLARING. McH zict in A,rfebreuken 7,«; 0.038, ^«j^

«p. dt vowfclirevene wlJze onder elkander geplaatst. Men begint, vaA

«cbter af (even als de gcbeele getallen) te tellen: in de kolom der

Ijonderdduizeiuiftep ftaat flecbis hetcjjfer 5. Deze 5. ilelt men in de

' fcm » iti de kolom der honderd duizeudfte deelen. In de kolom der

-tilen-düiïendfte deelen ftaan de cfifers g. en 3.; derzelver fom is^ix.

gelijk aan a tien-d uizendfte deèlen en 1 duizend fïe deeU De 2 tien«

4iuiz€ndfl6 deelen (lelt in de kolom der tien-dufzendfle deelen en telt

Iwit^ I, dufecndfte deel bjg d« ftwn der dttizeodft* deelen^ en gaat, op

dcKewgze^ even ala in geheele gerallcn, voorr. Wanneer men van

de kolonr der tiende deefen tot de kolom der geheelen overgaat, leltt

«en de lientallen [i] van de fom der tiende deelen [13] die natuur*^

M)^ ^Qfiden.z^a^; b^. de: c|^a vaa d^ k<Mom A^ édabedeii (g}

. A-

• 7,3

• 0,038
0,0753
o,8iop5

12
«7.Ï23

37.34725
Som,

B

7,30000
0,02800
t>i07S3o
©,8iop5
ie,ooooo
17,12300

37.347«S

tv^ Wtt voija:t nit bet behandelde in de voo^atnde lea»|-
4^ Hoe ^worden de tiendeelige breuken opgeteld 1
CfiX Verklaar dienr»^el ^ doof aat, V90«f^^ i

)igfeed^y Google ^

CIJFER KUNST. V. HOOVDJX KXIX. leï. np

S87« Bbtooc. T>» Teétn vm d€^ bewerking: !» iigtel|k ift hitgtii
peil (vcrgelUk Aen B> want,wanoeer men acbcer <te ciendeelige breu^
ken , dïe mtnder cfjfers. bebben , zooveel nullen (lelt , dat de cjfcri ,
jrelUk in B, ovefal gefgk komen, veranderen de M^aard^jen derer breu-
ken niet; ec> wanneer men de déctmaa!puncen (zie 6 we(^att, wof^
den z4 alle geheelen getallen, welke (in ona voorbeeld) « het bonderdf
duizendvoud zljn der breuken, waaruit zH entftaan. De fom dezer

Sebeele getallen ia derhalve Qaru 133) bonderd-duizendmaal grooter
an de fom der gegeVene tiendeelige breuken , en moet daarom , ten
einde de gevraagde fbm te vinden ,- dodr bonderd duizend gedeeld wor«
te.» lietgeen gefcliiedc, di>#r bet deoiraaaipunt loodanig U fUlles^
dat er V(|T q|fers achter hetzelve, komen* (4}

Meer vooreeslden.

!•• Zoek de fom van 17 fis + 0,3859 + 0,000312 + M + 3337 +
S79»3037 -h 8,709635111 4- 0,31a + 0,19 + 3,7 -4- 0,0 H- 1,791 •

»•. Zoek de fom yan 33843 + 8199,4597 + 1931a + 79»5 + %^
+ VS^ + «^»«>3975 + 0,0001 ?

Aftrekking* 388» Regel* Om twee gegisvene deDdeelige
getallen van elkander af te crekken, zal men Cgéll)k 10 de ger
heele getallen,) het kleinfie onder het groot fie plaat fep j inyae'
ge^ dat de cijfers, van dezelfde foort onder elkander komen ^
QSénheden onder eenheden , tiende deelen onder tiende dee»
ien , exïZ.y en ,. wanneer de cijfers van achteren niet gelijk uit^
komen '^ zal me» dezelve^ in de gedachte^ net nullen aanvullen^
en voorts deze tiendeelige getallen , ah of het gehcele getallen waren ^
yan elkander aftrekken ; fiellende , in het verfchil, het decimaalpunty
op dezelfde plaats^ als in de gegevene tiendeelige getallen» (sj?
Zk hier drie vooibeeddea. . .

37.81 30,51373 784,3a ' ;

9>53 »P>4S^ tp,7358i>7P:^ ;

9erfeh. 28,28 19,02273 764,5841721

De reden dezer bewerking , is dezelfde , als die van de Op^eliinf
Ote ^rt. stf^y . - . . ,

Meer voorbeelden* \'

i<>. Trek Ov» van 05? a**# Trek 17 van 20,9? 3*» 7"r#* 7>938 v*^
X7»3 ^ 4*« ^^k 0,09 vJn Ojtt 5*. Trek 17,9 yan i>o 9Ö3759I 6\ Trek
7,809637 van sÖ3,oo7t

Vesmbnigvuldiging. 3?p. Om 'de gronden van Je verrae-
sigvaldighig der tiendeelige gettUen wel te vetOaaa^^moet mea

r4^ Hoc bew9$t gif dfen regel f

^ I|oe vocOpft tro^tlJjKS bceoken vao dkaader afj^evokkttil

M ^ nigitizedbyGOOgle

tjgs ibt LFR KER SÜE: o.k oKBB w- ilER O

tfet vdgeikfe wel Begrepen ]i«bbefn."/i^^««r men tv^e gB^éi'^
len A en B met, elkander moet vermenigvuldigen ^ kaf^ men
i44lh^ behalve dpor .eene onmiddelijke en ^regt^reekfche verménig'-
vuldipng^ Qok nog door eenen omweg vinden. Men vermenig'*.
yvléi;e het getal A met p^ sn het getal B met q; dan he^
fren de producten p X A en q % B; wanneer men deze pre
ï^cten p X A eff é^ )< B met eikanifer vermenigyuldigt ; öJj»
zal het produa \ pX A Y, q X MyAeh- gedurige prodtict vafh
4t .gettükn[^>, ^-9 p en q zijfi; uni^ii 'het klaar: dat^ wtm^
fieer men dit gedurige prédmP door het product der factortn
^en q^ waarmede de gegev ener getallen A e» . B ^ijn v€rmc*
nigvuldigd geworden f deelt\ het quotiënt het eigenUjMe product
jer gegevene getallen zal zijn. (6) Öp dit beginfel, w^anHc
ook tie yerraeDtgvuIdtgiug^ éec geWööe bfeiïketïvktó verklaafrd
worden , fteunt de vermenigvuldiging der irendeeUge getalleiK

• VooKBiÏEtD. Stel dat 3,75 mei 63,^ moet .^ermenigykldfg4
vf&rden. ''■■'■'.

Verklaring. Wtnneer men 'uu deze gcgèvene tten»
dedige, getallen de deciitiaalpunten lieeglaat; dan verkr^^gt
inett dè geheelé' getillen sTJS en ^9 , «aar (volgens drt.
^6) ïs %7f^t=: 3*75 X 100 en 639 =: 65,9 X 105 wifti*
neer men der bal ve de geheele getaHen 375 én (^i^ m^i
Pander verirenJgvuldigt , 200 als hier naast cte uuwer-
klng . Haat , is liet product «39605 gel^'k aan 3^5 X
63«9 X ïoo X 10; roen moet dan , -om het prodtict van I 239,025

ft.75 X 63*9 te vindeii*, bet geheele getal 239Ö«5 door f-^— —
het product der factoren 100 X io> of. «erst door '^00 ea <fóu nog^
door 10 deelen^ maar men deelt. %y^^% door 100 1^ wanneer men twee
cijfers achter hét decimaalpuiit brengt • en dan heeft men 2396,25 en
dit getal sfi3^6,25 deelt men door lo; door het decimaal punt een c^-
£er vooTwaards te verpTaaifen ,, en dan heeft inen 239;;ö25 j -voor het
product der getallen 3,75 X 63,9, (7) Hi»uit volgt deien Regel

^ 390.- Regel. Fermenigvuldig dè gegevene tiendeelige getal*
Jen met elkander^ even ah of het geheele getallen waren; fnijdt ^
door een decimaalpunty in het product ^ zoonel éijfers af^.ah
er c^ert 'in hei verntenigvuldi^al ^ qf in defü- vermenlgyuldi^er^
f wei in beide ^ te zanten genomen^ vooitkonien^^ en 'dan zal
\et product gevonden zijn. (8) J t

f4) Op wttk beginfel fleupt 4» vcnatiiigviridigfai^der lieutolige W cukiigf
(7) Geef, door een voorbeeld ^ een beredeneerd betoog: van de vermei

nigvuTdighig der tfendeelige getallen t:
(S^ Wefl» U de jagei>6ci^»|ét te vtrOaeiiigfriM^

Digitized by CjOOQ IC

CIJPERKüNrS^Tj VÖOOPDD. XXlX.L«n $4*

VooRöEMJ)BN. l.^ 237 >C 1,83 = 433»7^ï
3^ 9,781 X «3 = 2249,/^3
3^ 0,385 X 78.5 •= 30.22635
4°* o>^37 X o,oo3i =: 0,0017577
591. AAmiERKiNGi J^ef ian gebeuren: dat er ^ in het prom ,
éuct^ minder cijfers voorkómen i dan 9 volgens den regel ^ d9or
het decimaalpunt y moeten afgefneden worden» 'Dit geval heeft In
het vierde voorbeeld plaat». Wanneer. men Üe geheeje- getallen
837 en 21 met elkander vermenigvuldigt, is het product 175779
maar er ftaan In het vermenigvuldigt^^ drie en in den ver*
menigvuldiger vier cijfers achter het decimaalpunt ; er moeten
dan drie en vier^ dat Is zeven ^ cijfers van het product 17577
afgefneden worden; dan, die product bedaat flechts uit vi//*
cyfers: men plaatfe dan^ om J dan den regel te voldoen^ voor
het ge heek getal 1757/ eemige^ nullen ,. aldus ooooo 17577:
hier door verandert de waarde van dit getal niet; maar na,
kan men zeven cijfers alTnijden; en dan heeft men 000,0017577
en die is het product, Q vergelijk art- 377 y of, wanneer men
BQ <!e twee vporfte traliën als overtollig wegneemt^ heeft men
0,00 ï 7577 vopr h«t ware product. (9)

YooKwiEhtzs tot Oefening. '

!•• 37»8pa X 0,001 ; a^ 895,37 X 0,3853; 3^ 0,8 V X 1^7;
4^- 8M395X 8,31a; 50 0,09 X 3 r, 109 ;6\7,»3 Ja X 0,0032-,
7^. 0,09637 X 0,00982 ; 8*. 3»B7539 X 0,0005375. - •

Deeling. 392. De deeling der tiendeelige getallen ^ welke ^
even als • die der geheele getallen , bewerkt wordt , is alleeti
moeijetiik^ ten opzigte van de plaatfing, van het decimaalpunt;
in het quotiënt; doch de algemeene regel, dien wij (haks ge«^
ven zullen, neemt die imoeijelijkhèid geheel weg. . Om twi
deze zaak in orde. tf te handelen , moeten wö eerst aanwijs
zens hoe eene deeling van gekeeh getallen y welke niet opgooi ^ im
een tiendeelig getal ontwikkeld, wordt? (lo)

393. £ER9t£ GEVAL. * Wanneer men het geheele getal 497
door 13 deelen zal; dan vfndt men, op de gewone wijze,
voor het ^lotieot zZ^'Mm\ ó^Ltix men, in de tiendeelige- re-^

, J \ ^ ^ — _^.— ^.

(si) Hoe voldoet men aan den regel , wanneer er te weinig cïfefS in

het producr i;Qtt 2

(10) Wat komt er, hg de deeling der xticpdeclige ^cttllcn, het evat

.inuoHierkingt o,„. e.., Google

m^ ^ j;^!^ ERE E B..STE. Oiaia^i^Eit Bsft

kening, geene gewooe breuke?^ gebrüikr, mamo ftef ^^ \n
tiende 9 honderdlle, duizendde;, deelen,/«02« herleid worden.
Wij hebben, ar f, 300, Wadz. ^069 reeds geleerd: Aoe ten ge-
geven gebroken gebragt kan wor^f^n tot eene breuk ^ die eenen
anderen gegevenen noemer heeft f men zal dus,, vo^eivt ^^'^^ ^G-
gel, te werk gaande; ^ tot tiende deelén biengi&n* kuni^^a;
Men heeft namelijk: ','!.'..

, _^ 3 X 10 _ 30 _ g^ _ ^ :
* "" 13 X 10 ~.I3 X 10 ~ 10 ~ ^'**
irhmdertiénde deelen rfjn derhalve gelyk aan tweemtiende. deelen
tket viermaal één-dertknde'gedeelte van één-tiende ^eU QM de»j
ZJilïA^ reden, is '. ^ ,, ;

^ 13 X 10 . 13 X iO "^ lÖ ^ r

derhalve is ook !. . r . . ^

A =s 0,23/j

dat \s,drie dertiende deeien t^ getijk v^Mtvmtlignfdé dèèUn ^nté§
nog drie'honderdfte deelen en wog êén^dertkn^ deel 'vdh ién-kffni
derdfte deel. — Men kan, op deze wijze, fteeds verder voycJD.
gaan, en dan zg^l men vinden: ., / . . ' , •, . j

^ == o^f^ =: 0,23/^ =: ó,23o{S = 0,2307^ ==013307^ =
..•'•••. :;= 0,230769^.00

J94* Op deze wijze, worden alle gebrokens, e^ bijgevolg
; de resten der niet opgaande deelingen, in tiende, honderd*
ile, duizendQe deelen van' het geheel, er^. ontwikkeld, én
ilien volgt, tpt, dat einde, bet vdigende vopcfchrift;^, : •

' Rbobl. fVanHeeÊ' de IdaStfte bih \ n^ VhiA'xr.y^csi
werkh^ der deèling is afgekopenh, m , \i2f 167 \öO|,-^ö"/"y^5
naar de gewone wijne , . ilt de Gia^
rest het gemne gebroken , -. hetsnlk
tet het ^uotJent behoor/, gevormd zotr'
worden , ftelt men , achter het laatfie
cijfer van het gevpndeney quotièft^ ^ h^,
decimaalpunt ; men ' vermemgvulJigt
de rest Piet tien ^daorer eene md a3tm
ter te voegen) en deelt het product ,
* ' "" - ' ' < * '

O») Verftlaftr eens, op welk eene w||ze de rest eeiferdedii>gittgcWlê
geiaJicn , In tiende , hondcrdfte deeien , enz. kan outWïkkeld worden ï

■ ■ 30 . •
40

100

.-.. i-tW,

C€f F E?R R ü N«T. V ÏIOOFDD* XXfX. i^f. m

ioor^fendeêkr) fcMfr het ^ihtémL^mmfMl^jk dchüritêt de*
iimaa^ünti m^ge^j e^ éézêtfde mjze ^ voort \ door de r#y/ van
eikenieHWê '2i^eMng m^ 4im te vermenipul^gen ^ het producÈ
dd$r dendeekr te dèelèn\ m'het ^^tnt athtef het naast foor*
g0éVfd^ fe pitAtfen, (rs)

Zie hier ineer voorbeelden.

395. AANMEiièiNG. - De hèrkfdhg der gehruike^jke hrtukeH
h^ ams^^ d^tèivè kait aangèmerki wordm^ aU èené deèUng y
weUter 'qfèötfévtt binder }dafi de éénheid is^ in denzelfden regel
begrepen. J^tn fchrijft', (indien naiueiyk de breuken^ die men
in tie^nd^eljge qiu\Yièkq}^u .wJJ» gebruikelijke breuken .en diu
mioaer dan een- gekecl zijn,) voor de geheelen ééne nuf , en, ach*
ter deteh^e , em deeimaalpunt (flldns o O inen vermenigvuldigi
den teller der Meult dothr tien' en deelt het product Joor den me*
mer. J^evalle deMB^ deeUng *kt ' opgadt\ fcktijffni^ voor^de
tiende deekM eene ml en yèrMentgyulSgt^^hèt'd^lfal^ 'dat\ ifi
dit ffsvaiy di nst .\det eè^edeeUng'^iilêor tien^ ende^h hé
product op nieuu^ door den deeler^ en gaat verder ^-liodr^ den 'i\e2
gflyan art. SP^t ^ ¥^^*' 03> ' : ^ v <.

{ = \o,ï25^ f =ï A375y I =5 o?<^25V|« '0,875-; A =

0^25; fé = <VSB7fi i§ «o^Si^S^lJ» 0,93755-^0
Ofo83333» enz. T ^ r . ^ ^ v,

I = o,s333333S e^o 5 ==^. o,tf<fe[6(J(J enz. f f rr ^,^4085/
enz*; § = o»iii;iii,enz,, j^ =J o^o^dpaj en^;/j =± q,2^
enz. ; ^i^ = 0^00348 enz. ;. .;

VoORBEELpEf*. Men l^erlèidë nog^ide volgende breuken tot
tiendeelige: ii\ iVv é^t è» .sèffi sraSss^ ' - .! ^

39(J, A/iNüE%WJG». De-geiS9iié'bi^u^%. welke déf^'^der ge^
tallen^ 0, 4, 8, i6, 32, 64, ia8, 556, 51a, 1034, enz.
<ƒ S^-^y i^^Sr^^y a*^»-^ i>»tfw#r hehienyZijn dé eenige\

' Ij-.': i.i {..-■•'/'' -V •-. •" ,' / — ^ " " '\ "^

ffa) Hoe wofdoi giewoM lifeukeii%/4lf «^4^ff dMeeQrsg^hMl'zijkJ
«15 tiendcaige» 1.<,1,&» - „,.,, Google .

144 ALLERBEHSTE gronden der

'i^ftke volkomen ^ in tienjeeligen , kunnen ontwikkeld i^rJen Ti 4)
Voor alle andere brev^en ^ gaaf de deeling nooit op; Q«5>
(de reden daar van is, Eerflen 'Curfus ff7sk, Letf. % 384 ver.
Waard ^)tf« pien zou der h^he y achter het laattt verkregene cif^
f er van het quotiënt, nog eene gewone breuk voegen moeten.
Dan , daar men meester is, om de ontwikkeling zoo verre
voor te zetten , als men goedvindt , zoo verwaarloost men de
laatfte breuk; nemende, in geval deszélfs teller grooter dan
de helft van den noemer 'is, het laatst gevondene quotiënt
één meer; opdat, op deze wijze ^ de ontwikkelde tlèfideelige
breuk nader aan de vMarkeid zou komen, (id) *

NAiyRRE oPHBtrERtNa* Deze iiandelwjfze fobjfnt , lor den eerfteti
ópilag , daar men de waarde iets te groot of te klein iieen)C« eene óo*
«aauwkeurigheidjndetlendeelige rekening, te brenjten ; doch« de im^
vloed dezer onnaauwkeurlgheid is , in hef werkdadige , vaa geen he»
iang; dsiV de tiendeelige onderverdeel ingen der grootheden weldra
100 klein worden , dac zQ buiten bet bereik onser zintuigen vallen
€0 alle ftren^ere naauwkeuri^beid in de berekening » boeie^r men dexê
anders altQd m aclit nemen moet, nutteloos zou ^worden*. (17)

. 398. II Cev,ai«^ Deze voorgaande zakec wel bógrepe©
bebbende, kan m^ aldf on^rfc^eidege gevallea van de dee-
ling der tiendeelige ^taeuken onder deo volgeirien a{geaaene«
xejel bienge^. , : ;; . ^

i«r Algemeene regel; fFanneet het aantal cijfkri , ach^
^ het :dfcima0lpunt , : in den. deeler^ : ntet gelifk is aan het
aantal cfffers, aehtef het dejnmaalpunt , in hetJeeltal; iaH
maakt men Jtet aantal dezer cijfers gelifk , ' door \ ackttr
((én van die twee 'getallen, zooveel \nullen. te ft^llen^ ah^
tot dat einde , vereischt wordt. Hierdoof vecandecc de^ uU-
drukkiog^ .waar acH^er die nu^en geyoegd^^qjn, (zie 4»r/. a?fO
ipiet in waarde eri b^teekenia. -

' i^mÜfen late ,^ dit ' gedaan hebbende , de decimaa^unten
in detler en Jeeltal weg i waardoor beide deze getallen , tik
éfzmdérlijk, met lo, loo, lóoo, loooo, enz. vermenig^ful.
digd worden. Wanneec men nu déze producten ddor elkander
deelt Cea deze Jeeiing géfcbledt volgens art. 3935) déi tal

(14} Welke gewone breuken kunnen volkpjnen.to ttentolige wordon

uitgedrukt 1
C15) Welke breuken nieit
(t(S) Hoe gaat nm tta a«»Ien-vtti di^ Wenken te Werk» Wttflf fllit

voUtamen in tiendeelige berleid kunnen woird«iJ^Ar-»rïïr>
(17) U deze handelwijze ntti onnaattwkcurig 9 ^v^^<^8^^

C rjFER KUNST. VHOOFDD. XXIX, LIS. I4J

het qtiotient der gegevene dendeelige |»euken, (zie art. ip3,)
niet van waarde veranderen.

3^. Men deele nu deze producten y (die geheele ^etallea
zijn,) doQr elkander i even zoo ah men geheete getallei^ deelt;
en , wanneer men aan de laatfie partieele deeiing gekomen is ;
dat is te zeggen , daar » waar men , op de gewone^ wijze werken»
de ^ het gewone gebroken (tndien èr-een oveïfchot is) formeren
zom^ fielt men 9 achter het laatst verkregene cijfer van het quo^
Henty het decimaalpunf.

4?. Nu plaatje men^ achter de rest van de laatjie partieek
êeeUngy eene nuU fn deele het product door dendeeler; jlellende
het ^wtient op de plaats der tiende deekn , achter het decimaal'
funti en men ga, $p deze wijze y van cijfsr tot cijfer , voorts
tot dat de deeling opgaat ^ of tot dat het quotiënt pagenoeg in
tiendeeUgen ontwjkkeld /s.^iS)

VCX)RBEELDEN /ö/ e^«/>^.

9,7 9^70 97^ ' ■ *^

84,7004 _ «4^o<>4 ' ^47004 - ■ ^ ' -^
2 Voorh. ï= =: --^ — A ss 8,r^ft*

* 3»25 3*25000 325000 '^^^

0,001931 _ 0,001932 _ I93a._. *

♦ '^^' ■^;s^ — 0,008400 — 8:ioS — ^»^3

1 1,000 1000 ^

7 '^r'^" j>,a3 . , p,a30 paS© ■' '^' ,523

« «. .. itfo.S _ 'go.500 _' 160500 „«

CaS) Wdk.is na de algcmeea» tegeL, on tiM4t«Ugf getikt» .dNt
^«llMBdof tf deelen f

\ , : .; Ji- - ■ • ' Digitize^byGODgle '.; ' ,

i4C ALLS&tiSflSTE otoirD&tf nBit

3ia37 3»a37 . 3237 ' ^^

«3 23»» «30

«WV»? 9t^96*ocf? so^Qo? •*'•

0^00013 T 13

m^ooom2 -1732

C>,0092&

17 Pbari.

,jr rr z 0.0092&

0,OQp.

hemd zijn ^0Hfim^h$^^^op. ^ j 3

$90. VBRKLAaiKO, Dtt verklaring vm flecbt» één «ikel <fé«er
wrbeclden ztl deo rega v«i«iMnbatf nakei. Nemet w« dtartoe bet

fer»; in den deelcr, 9,7, fl«^ één. Jk ftbr^f 4lM voor dea deei^
Woq0,w«g.:,54!^-r^^. »*!« ifc, W «4,7*04 oi !•
9,7000» ie decimuIimiMi weg, e» ém verkrfg Ik» 847004 ea
^^'^AlJf'^^^ gettllen^^lt bet tleM«i«Bd-voad%i 4iet deeim en
Via den deelar ititvtittedr Iku ^ter febedfefleiJ^ifoaH^ 4to^ liet
geheeIeg««|p;ocS 3e«I,c|)t.ik In de éAhe^ffS^^SS^^^
5ï?l^;Ir'^?'^i*?«^ '*^*"« ^* «egcvene ciendeeiige gtttllea l/^S!
lï/Liir^^Tr^*^"^ ^ ^'^** «^»^« fgMItn gflOTgu welke . njnc
liet toorKhrlft vin art. 893f wordt ukgSwkt. Xijö ' * "^

■

XXV. XE S. Op€r M htrMdm van dè Deeim m Mim

derdeelm wier dudé Hêten^ GeifigMtt en M^itt/paim^ .

tM tiendeeligen der geheelen^ en ^ omgekeerd^ over hetf

hrlêidèn vm de tsettdeefigm dezer Maten. GM|Mr

M^ Munfffeiienn m derzel-vet gewme Dnlei^ 4tk

Mnderdeekn.

40a ïitBOTt. Cemk men, (jte XIH Les, Jliiafc jff,>
door de yerhoudingS'diyific minderdeekn V4Ut eene mi»dMe jimot-
ée M minderdeelen van eene naastvolgende hoogere waarde her»
leidt, zoo herleidt men ook ^ trafss»ijxeyde deekn m mindee'deèhtK
m»er wde mmten em g^rngten M tfemkeligen der geheekn. (i)

I Voorbeeld. Om tj finfr. 8f penn. tot tiendeeb'gen ymk
' g»ldens te herleidend

YiftttLAMUCK Redeneert i»«ti tldtii : | pttax» :pt 0,5 peiiti. dec^
bAlve is 8| pqin. = B»i jtenn^ Dit ;ecal van 8.5 penn, dee^
ttea door xfi pevn* Pm ftmv. te vcrkrQgeoi en dtn heeft men : 8^

pauw *^ SS o^9lü5 ÈxStu £S: i| fenu Dknsvolgeiit is tf ilviv.-

8| peno. = i7W53>^ Vm^ Dit getal (MMv* deelt men ómot q,o «
•n gnld^m te verkflteeo; en dan vvidt mes» dac if ftuiv. 81^
peoD* =: 0,8765625 guldens ia. (ft)

4M« AA^»ftltiLliH>k B« fevondene irïtdrnlifti<hg Is , tot in tteif
fantfte cgfer, natuwheurig: dan« wanneer men in aanüKriiiBC neenrv
dat ééD»4uiiieo4il& di»el van ééoen galden weinifler is dat e4n*derd«
▼an eenen penning «Icao wei zich, met de duizendlte deelen vergenoe*
gende , zeggen 17 ft. 8| penn. is 'nagenoeg te]|fk 0,877 gU (en wtl'
«en tot grootere naauwlceurigtieid, er de tien*duizendlte deelen er bQ>
MOiai») gel9^ ana o»M<^ %^* ^

» Voa&B£Bi»»« Men èageert ia oneen, 3 e^ek^ if nzei^
tot tiende deelen ran ponden gem'gts te herleiden t

VBitftt4S.iNO.è Mes beeft 17 aien sz H engelt SCB 0*19^9 tW*

8.S9IM '

gcis; derlmlve s ^eb 17 azen =:: 3*534ft5 engcJa =;:: ■> -^ od*»
een ;;i: 6iift^6ws <mcen ; derhiive ist oneen g tngets tt tsen ^
12,17656^ oneen = "^'^/^ ^^ pond zs 0,76103515625 poïwiu, «uw**
iMurigi of nagenoeg .z;: C9761 pond. (3)

w^^ herleidt nen minderdeelen onzer üdtceQ ^ Oewigt^n tp^

.VodcQUgen?
^»7* VerkJaar het eeirfte voorbeeld ? ^ t

Ca) Verkliar het tweede voorbeeld t oigtizedbyGoogle

N »

145 A LLER^ÏR STE ÓR ÓNDEI^ D E R J

3 VooRBBRLD. Om 7 voeten ii dtthn 7| ^lijnen Rij nlanJsck
$ci ttendeeligen van RijnL roeden te herleiden?

VbRiKLarinc. Men heeft 7^ lijnen = 7,375 Wiien sz: <^j2 dui-
nen = o,<5i4s833 ^xr. duimen; derh. ii ém, 7% lin. = ii;6i45Ö33

MZt duim = Üi-Ü^-J? voeten = 0,967881944 enz. voeten;

^ cindeljk 7 voetefa il dm. 7I tonen' = 7,96788 18444^/jar. voe«

^en ^:;; y»9Py Q* 444 «^ 0,663990162 roeden , of nagenoeg 0,66399

12
roeden , hetgeen ieis te klein is (4)

Deze uitgewerkte voorbeelden zullen voldoende zijn, om
^ volgende te kunnen oplosfen. v///?5 ftemt met de herieiding
van deelen en minder deelen tot geheelen overeen,

I Voorbeeld Herleid 9 voeten ^\Jüim Jmflerd. maat tot tUn*
iceligen van Amfierd, TOeden'i

2. Herleid 26 mudden 2^ fchepeh Amjf. graanmaat tot Uendedeo»
ten van lastend

3. Herleid 17 aren 18 mm 3^ fecunden tot tiendedeelen va» da*
gen (de das op 24 uren gerekend) ?

* 4* Herleid 9* pénni tot tiendeetlgen vHn guldens ?^

5» HerlHd V ^'"*''* '^^ i ^^'^ **'' tiendeeligen van roeien f Cntme«
IMk Rijnlandfche maac.) • ^ . '

. 6, Herhid 73 vierkante' voeten 133I yterkante dumen tot thnds»
deelen van vierkante roeden^

^"402. II Rr GEL Om tiendeelige breuken van onze oude
\vÉiIaten en Cewigten tot derzeiver deelen en minderdeelen te
herleiden^, volgt men de r<gelï . welke ^ Bladz. 26, voor de her^
leiding der geheelen tot deelen en minderdeelen ^tijn opgegeven. (5)
I ViOQRBEELD, Uoeveel ftuivers en penningen zijn 0,3874
guldens? \

' VbrklaEino. Atón vermenigvuldigt de gcgè-
/vei^e tiendeelige breuk van guldens, als of het ge-
■ Üeele g.ldens waren, raet 20; dan vindt ifien , bj
.A;dat o,38?4 gl» waard z|jn 7,7480 ftuiv, 0(7
lluiv. en 0,7480 ftuiv. Voorts vermenigvuldigt
joen 0,7480 ftuiv. met 16, on» dezelve co» pee-
pingen ie herleiden; en men vindt: 11,^80 pen-
ningen. Gevolgelijk is 0.3874 fl. =1:7 ftui.v. 11,968
j>enn. = 7 ft* ii/'/J's ft. = 7 ft. iiffg penn. (6)

547 Verklaar liet derde' vöorljtfelö?
53 Hoe herleidt men tiendettligen onzer Maten en Cewigten tot der*
zclver gewone minderdeelen? , C^r^r^c^Ao

4fi^ Verklaar het cerfte voorbeeld? oigitizedby^^oogiL

0^^f4 gh
20

16

B zi,968o^^iMr«

€ IJ F£ RK Ü eri T. Y BLOOFDD. 3Üt& liri. 14^^

d VóoftseEtDb Hoey^l vdHm \ duHm$ en U^m BijnlmJ$$k'
zijn er m 0,58379 Rijnknidfshe róttkm begrepen f

VXRKiAiiiNO* Men vermcaigvuldigt 4e €<(•- j 0^5887^ fM^**
y«9e tieodoeiige t^euk met i»; daa verkr|gt
iseoy ia Ay 7,0054^ voeteiu Voorts de 0,00548
voeten mee 124 dan verkr))gc men, in fi 90,06576
daincD; deze vcnaeni||vuldigc men wederom
aec 12 { aan vindt men, ui C , 0,78^2 l^nen , en
ucn beiluit bieruU:dat 0,58379 ü.^. roeden C=
7 voeten o dm«' o 78012 T^oea , pf nagenoeg 7
voeten o^ l^neo is. (?>

ia

12

B 0,06576 J»/fli4^
ia

C 0^789x2 ///?•'

Vo)getide d^ze voofbeddeó, zail iaën gemakkelijk de vQ^geaJ^-
de kunnen oplosfen*

1. VooAQRSLO* Herleidt Q^ota$ gU tot fiuir. en penn.t -
'^a. JitrUidt 0,378 /tf ƒ/ -<#«;?• /a/ mvdden en fthepets J*

5» Herleid i 0,9876 roeden Jmfi* tot voeten en duimend
\^4« üerieidt 0,8769 ffi rp^ ofi<;#jy , f iv^Wi ^n azen ?

5, Her leidt 0,8503 d^^^t;n tot uuh\f minuten en fecundenf

6, Herleidt 9,37890 vterkmte titeden KijnU tot vierkante yottèn^
duimen en Itjneht ; , -

VL HOOFDDEEL» (her iet Nieuw Wysgeerige Stel*
lei van Maten ^ Qewigtea*

XXXI. LES. Ferldaring van het Nieaw W^sjjeeclgfr'
Stelfel y^ Maiea en Gewigteo. '

403* Me onze oude Maten en Gewigten zijn^ in derzehftr
waarde^ onxeker, cnre^lptatig rertkeU ^ en daarom fn het gu
kruik moeijeMfitvn ktstig (^ly Nieisflixl kan, net sekerkeid,^
sêscm zeggen: (f onze B^nhtndfche voet^ otme el^ om fortd^
voor twee honderd jaren'^ dezelfde lengte en deze f dé zwaarte ^^
ak 4han$^ haddeni (d> omdat er, fioeh ia ée fMtirar, Boeh'
In de knnst, eenige hulpmiddelen voorhanden zi^jn, waardoor
«en enlks befliafen kiiié (s) Hieruit wofdt dan zooireél o»
lekerbelds geboren: d^f de nakomefingfcht^ over de waarde dfif
iïaten en Öewigten van vroegeren tija^ en ^e toch dezelfde hé^

MÜb'

(7).V<erlda^ het tweede voorheeldt

Welk^ gebreken liebben dè ovd^ «(teA fip gewlgteof '

(9) Welk ia het^eerlta boofd^ebtakt

Waan^t ontftait dit koofdgebrek f ^It^x

>A^ A£ L EU £ ËRSSff^ê RONDS ü otn

ikming ^d^agiHj onzeker zal zij'n. (4) De onregelmatige et?
geheel oDevear^dige verdeeling maakc (zqo als men in de
XXXHl .Z.^f.zien znl,^ ^i^c üechss bec gebruik jascig^ maar
7ij maakt ook inzonderheid de dagelij kfche berekeningen, we^
gens de maifgyuldige herleidingwi , door die onevenredigheid
vefoorzaakt, moeijélijk, langwijlig en verdrietig. (5)

403.^ \h het afgetrokkene iefchouwd^ kan wei elke grooi^
hsïd Pot maat van eene andere geUjkflagtige verftrekken^ en ï%
het wei g.eheel onverfchillig , m hoeveel deéleli en onderdee-
lea die maac vendeeld worde; (6) f maar de grootheden^
welke men tot maten aanneemt^ moeten zoo genomen worden y
dat men, dezelve , na ve/lqop^ van duizend en veei meer jaren ,
me f volkomene juistheid , kan wedervinden; de verdeelingen moe^
ten zoo eenvoudig en eenparig ingerigp zijn^ dat zij ^ in de za-
menleving , het meeste gemak aanbrengenj. (7) Óok m<^t ' het
geheele Jl eifel van Maten en Gewigten in zulk een eenvoudig
verband met al deszelfs deelen ftaan , dat het middeknatigjk ver^
fiand hetzelve vatten , en het zwdkfte geheugen dien zamenkang
gemakkelijk onthouden kan. (8) *

404. Die voordeelen vindt men in het nieuw wijsgeerige fiel-
^A- (9) * Men heeft eetf vierde van den omtrek dér A^pde^
ijenomen, in de.ftrekking van éénen harer middagcirkels, (die
door de polen gaanj in Tien-millioen gelijke deelen ver-
deeld, en één dezer deelen meter genoemd. Z)/i me-tér is tfu
de grondflag van alle J^aten en Cewigten, (jo) Men heeft,,
tot dat einde, den omtrek der Aarde naauwkeurig gemeten, en
ilaardoor .de lengte van^ den meter gevonden. (11) Die lengte
Jtan* niet verloren gaan; wanc, .men kan, in hee veivQlg, zoa
dikwijls men twijfelen mogt,..den omtrek der Aarde meten en
^e: leogte van dJótn. meter wedervindent (12) en ahoo zuilm

^) W<&ike n«deel ontOeac et alt de onregelmadge verdeeling ^er
oude maten ? w • t

ffi) Kan men evemvel de maten maar niet willekeurig aatmémea «m
' "verdeeld ?* ■ • • • * . . v . -^ - . . * *

ijiy Wat moet men nogtans daarbij onder het oo| houdcnf^^ ^ ,
YBJ/ Wa^ *no^t ^^^ "^2 *i ïDcer ïn ac^i heméiiT "^

f9) Waar vindt men ergens deze voordeeUn f , v -

gti^ Welkeia,in dit ftelfel ».de grondflag van die mareh en gewigtèèft
CH5)Hoe heeft' men de 'lengte vaii den meter kunaea bepaleo^ '
tijsS^J&aimeiL die leogjte niet luionea vejileienl

\ \ , - Digitizedby Google

CJIFER KÜNSr..VI HOOFDD. XXM. LM. ^j|

ofize nakomelingen vo^omen zeker zijn: dat ^j met ons dewelfde
lengtemaat zulien gebruiken.

405. Men heefc nodi^: *i^ ^en^te -maten t ^\ vlakte^ ma*
ten, z^- iigchamelijke of ihhouiis - maten y 4*. gewigten^ 5*»
mntfpecien. (13; De grondfljtg van de lengte* maten i8> ge-
lijk gezegd iSy de Meter. (14) I>e gronddag van de vlakte^
maten is het vierkant, op den meter befchreven; dat is een
tolkomen vierkant, dat éénen meter lengte en éénen meter
breedte beeft, (15) De grohdflag van ék ligtihameiyke ma^
ten is de cubo», op den meter befchreven; tjameiijk eén btk,
die éénen meter diep , éénen mecer lang enééoén metff
breed is. (16) De éénheid van kei gewfgt i$ hei gefwtgt yam
ie Ikeveelheid zuiver gedistilleerd water ^ tot deszelfs groot fi€
êigthêid gebragt^ dat bevat kan worden in éénen cuMeken mê*
timet er; dat is 9 in een klein vierkant bakje, dat één Aon*
derdfte gedeelte van éénen meter lang en even zoo breid ett
üep is. * Men noemt dit gewigt GeaMme* (17) Vao de
Mumfpetien zullen wij flraks Q>reken.

4od. Er zijn , in de gewone zameülevlng^, verfchillendt vtm
ten vdn dezelfde loort ooodig, om grootere en kleinere zakeo
te meten; onderfcheidene gewigten, om grovere en fijnete
waren te wegen [ doch deze ffaan , in het nieuwe ftel/el^ in
xulk eene ti'enredige en gemakkelijk te ohthoudeiie betrekking
tot elkander; dat wen f echts de beteekenis van twaalf woor*
den grwdig behêeft te kennen ^ om alles ^ wat in het nieuwe
lielfel wordt uitgedrukt ^ te verftaan^ (i8> — , Déze twaalf
woorden beüaaa uit vijf vtrortél- woorden en zevea vooc»
zetzeJs, (lp)

407, De vijf wortel -woocdc» jt^n de volgende?.

1^ * Metbr, de grondflag van alk* maten: hij is bec tié04
millioetiftev gedeelte van «één viefde part vad deo omtrek VMI
eenen middagscirkel der Aarde. Cso)

O3) 9p« velerlei fborten Vaa matea Wft men, in de £ameQlevii§|4
ooodigl

(14) Welk is de gron^^tg vao de fengte-maten 9

(15) Welke i« de boofdmafjs der vlakce-niacen ?

W) Welke W de 6oofdtna^t der Iigchamelijke of iiibouds-mstent'^

UX) Welke is de hoofdmaatr der gevdgien^

UÜ ^^st moet mea, ten einde bet nieuwe (lel fel van QuaMR e» fp|

wigten grondig te kennen, onder bet 00^ houden 3
(19) Hoe verdeelt men deze tw»tl£.W9orde^«,Digit.edbyGoOQle'
610) Wat bneekeat mtorf ' ' ö

N4.

mV* A^%^ of ARKfiR Cecnè groote vlafcte ^ uitat ,). is ^qo'
vierkant y dac tien nieters lang en tien meters breed is, en
bij gevolg tien maai f/eny dat is , honderd ^ierkanie meten
i^liouds heeft. Oti) ^f

3^. * STê'RB is eigenlijk uiws anders <ïan de inhoud vaii
Odtien cubus of vierkantig ligcbaatn , Q^n de gedaante van eeueii
4obbelfteen,}i dat éénen meter lang, é^nen meter breed en
ié^Q^n meter boog i^. (ji,%) Men kan, in plaats vajn bex
ii^Qor<i fiere y ook cuUekfi meter gebniike». (j^Z)^

4^. * Liter is de ligchameliyke inhoud van eeoen cubus>
^naelke één-» tiende gedeelte wb, éénen meter lang, even zoo^
breed en even zoo hoog i». (a*^) £e« flère beyac aUoo
f^-maalotiefl-maaUtiea, dtt is, duizend liters* (25) De
4^er ts de hcofsimidt van aUe. dreêge en naue waren. (26^

5^. • Gramme (gewigtjey is de grond- x5énheid der gewigi-
ten. ffet h het gewigt van zutv^r gedistilleerd uater^ tot^
deszelfs gfootjten- graad vun dtgtheid gebragt ^ dat kan btvot
worden 9 in eenen cubus 9 ^vetke één^honderdfte deeivoH éénen me*
fir üngf hüed en koêg is. {%^y

408. Voor deze grondnamon worden de voorzetfels, dtd^
eentiy millt^ die van latijnlbhen oorfprong zijn, en de grick-
!fche, deca'y hecte r kilo en mjria gezet; en dan geven deze
Toorzetfels aan den zamengeftelden naam f voor welken «ij
ftaan , de volgende beteekeni^eUé

. • ÜECi beieekent het tiende gedeelte van de maai of het ge.
Wigt, dat op ded volgt, (t^^ Deeimeter tiende -deet van
«erf rteter; deciare tiende-ideef van èene Are; dèciftère tiende
deel van een ftère; deciliter tiende -deel van eenen liter; ded*
gramme tieodeHJdel vbn e^e gtimttie. (jt^)

• CwTi beteekeot het h^rdfie ^edeeke v«n de mast of
^fmg% iw^edrukt, door h^j wo^, dtc er volgt: (jo) rw

i

ai) Wat beteckem het woord üreX
ja«> Wit Wteekebt het woord y?*f»r ' ;
(«$) Wat kan men in plaats van bet wpofd Olre fteUenT>
C4> Wat betcckcnt bet woórdl ïlUr^ ^^ 1^*^ - w ?
(as) Hoeveel liters zjfn et in éene flère bèweMiil. *
C2j Wjat* Toe dient de Uitr f ' wi^^^^^» » . , .

Cw) Wat beteekent brec woord gremme-X
tpai') Wilt bètèèkent bet voorzetfél^^cir
(s^: Geef voorlfOehieRr
tt9^,W«i bctéekc»ic'liM toorxttfei xm^ nigtizedby Google

CIJFERKÜNS^. VI HOÖFÖD.^XXI. Lifc «f

timeter hoxióeTdf\e*dee\ vaii é énen. meter. Centiare jcentifikre^
centiliter , centig^^mme worden ook aldvs vefklaard. ('31')

• MiLLi beteekent bet duiiendfie deel van de maat of het gci-
wtgt, door bet woord, dat er op volgt, uitgedrukt. (32)
MiUmeter beteekent d4iizendöe.deel van den meter, (33) enn.

• Deca beteekent tienmaal de maat of betr gewigt , tütge*
drukt door het woord,- dat er op volgt, (^34) Decanteter
beteekent tienmaal de lengte van den meter; decaliter eene
msat van tien liters inhoud ; decagramme een gewigt vtn tien
grammes; enz. (35)

♦ Hecto beteekent honderdmaal de maat of het gewigt,
uitgedrukt door het woord , dat op dit voorzétlbt volgt, (^3<$)
Hectometer lengte vaji honderd meiers; He<tare vlaktemaat. van
honderd ares; Hectoliter maat van honderd liters; HeOogramme
een gewigt, dat honderd grammes zwaar is. (37)

* Kilo beteekent duizendmaal de maat of het gewigt, uit-
gedrukt door .het woord, waarmede dit voorzerfeV verbon-
den is. (38) Kilometer is duizendmaal de lengte van den

.meter; ktloliter (hetzelfde als flère) een maat van duizend
liters; kilogramme (de éénheid van het grof gewigtj eeij ge*
wigt van duL^end .gramme». (39)

, • MvRiA beteekent tien-duizendfudal de maat of. het ge-
wigt, uitgedrukt' door het wootd, dat^ er, op volgt. (40)
Mfriametet deni-duizendmflal de lengte vau den. meter, ;
myriagramme een gewigt van tien -duizend grammes, of (ien
JuJogrammes. (41) . -

409. I Aanmerking. Het is genoeg , deze twaaJf verklaar^
4e woorden vast in het geheugen te prenten , om de geheele
nomenclatuur van bet nieuwe metrteke Stelfel, niet ilechts te
verüaan ; maat ook , om 2»ch de beirékking van eenige maat
tot a) de andere gemakkelijk te binnen te kunnen brengen.

Geef voorbeelden ?

Wat beteekent het VoorzetiVl /»/ƒ//?

Geef vooi beelden ?

Wtt bcteekcni het vootódtfel rfirc»?' ih *

Geef voorbeelden f

Wat beteekent het voor^etfel JWr^f •

Geef voorbeelden ?

Wat beteekent het Vooiietfél'Wn» f* f • .

Geef voorbeelden t

Wat beteekent het voorzei fel myrla^ r^ j

Geef voorbeelden 7 oigffizedbyV^oogie

4fQÉ ffef gÉiél tien H\ é» ^ 5^1^, «1^ itmffié^ «Vif
#/29 vinke/sMgem eu mderver^Unge» ; ««» hteréogr^ wêrdi O^
^mihefi^ rekndHg dg eeni^ ftgtnUjke rekenwij^^ we ik» of
4it fte^ f0H. (41} Men heeft derhalve fK>^ niec noedii^,
om jiooveel vefichükndé i^alkn, «Is» io .het oa4e (Uh^^^
«Toorkoineo^ te anthondeft; en» d8ï«r eind^yk «lezeUÜ^ nnac
tot TCffthiirende e'todens is kgedgt^ beeft ape« f>o)i, n|un4^r
wmen noodjg; en hierait moec dao onveriHlMelljk volgei^:
ééKf menfiken vmn miUrfsheükn hrofpen en hanéveirken^ ^
koopmaff en fabrikant^ de geleerde en de imgeicerdt ^ d^ h^Hfi^"
sêaêr itn dé Imndwerhm^n ^ elkander in het ytryofgt ^rfimati^
zimder teikem in de ncndzakeiijkfieid ie zijn^ cm^ mif y«</ Uj4»
vmfUes^ en hoofdbrekens « d< e^ne maat rf het eme gewigt i^
atmt.anéetPt naaty af een ander gwigt^ over te krengen^ {43^

4t i« H AANM£RftiNo. B^' het niemwe Steifèl van maten nn
gewigten^ is ook de éénheid der Munteden met het\ geitigt^
rolgens een bepaald roorfchrift van gehalte en remedie ^ -in evefr-
redigheid gebragt. f44) De hoofdéénhekl « der nieuwe nue-
tieke' munt is de B^nt: hij wordt vtté^Xd \ti tienxdèeimet
of In hènderrf eeniiikes* <45) ♦ De ^ane weegt rijf grammes ^
houdt negen^iiende deden zuiver zilver tViéên^ende alliage. {4^)
Et *gn drfeêrtei foort vtn Öükteen gefcJs, i^* éè kopefen,
VL^. de EllVeren, «n j®^ de gouden flukken» f 4/ ) De k<g>e.
ren üukken, die üit stiiver ko|>er TervMid^' zijn, sifo: Vén
viffi dttè en n»ee centfmet} te voflan waren er 06fc ^n érfiie
enkele cemtme; (48) De zilvere (lukken vQn fluMte^ tu
ff^Awiei, van twet Franc^g. v%^ ^4» #Kiwr, van é^^hal^
^en Fr om of viUtig «entimes, v»» <S(J»r wr^ ^V-iW^ of vij^
en-. twintig cenftnes; Dttir hoiiden aUe o^g<?»*"i4en^^ £}n ^ïi.
Ter.QQ één- tiende fOUifeof vi«e«de fiof. (49), * I>^ joM^r

^*ê.

(49}' Welk %tts\ hecrschc , in de verdeeling der maten en gewigten »
welke tiet nieuwe Stelfcl uitmaken f ^

) Welke voordeeien vai| he^ niea««, ^telfel vallen bier fted9 Hi'<
jet oog ?
C44) Heeft. men ook de niuoilbetlfn 1919^ het nieuwe itflijcl 4n ;^«><;
band ?ebra<t ? , ^ »

45> ^elke is de ééiiheid 4Qf^ miinif»^ ... ;

4>y Wat is de Frtnc f ,

^^V S?f velerlei (botten vÉ| HWlOKil^Meft ipwi I* J|p«i Vtrt*^
ifclföl? '^ - \

4«> Welke t^Ki de koperfo iWtken?

welke a|n. de sUftreo (tukken t oi',,zedby Google

cijFfiuicüwsT. viïroorDixxxxi LU* 15^

JWckeo zijn ftnltlten vtii t^vfmig francs e» van reirHgFrmtcg^
tX] be!i!|^tttxeii mgm^tSmélt fijn goud enéJn tiewde «Jliageu C50>
fIteD lieèfl/by IM v<rv«tfdigea vai dese.Ookken, aiifet*^
men: éac het goxxA vijftien '-en 'één- ha^- maal voè^ HmÊiiM
ëan b«t «jlyer f <.si^ wafiff^er mca xlexbalve ^witn fjokken
vervaardigd had , welke vijf grammes gewigt hielden , zouden
deze ftükken de wtatKte ir»rf fijfWen-eo^énen-haiven Franct
gehad hebben. Wanneer men dan zegt: f5| Franci wegen
5 grammes, hoevael'aa fVafticst vjndt men, voor het gewigc
van één (Ink vim so fl^iKs^ 6^x6 gi^mmes; en een flnk
van 40 Francs zal dws het è^wfgi van 12,903a grammes moe-
«en honden. (52) Men;tooet, hi^r bövöegen: dat, «ingezfen
het niet mogelij k^is^dac ftltè (lukken^ in 'de munt» tot gel\jke
zwaarte gelkgen worden, e€n zflver t!uk yao één' Franc 95
HMIfgrammes zwiafder of ^ ^^n *^ th^ y^ ^^^^^^ ^^*^
jQ mllJi^.. ei^ een ftuk va3n vQf tianca '75 "mfitfëF» wag iön^

van 90 Francs is 13 milligr. en voor een (luk VKd.^ rn

XXXIL tl&S reirA2#«ibir 4^» "^ Ki^nWdlflp Jei

413* Naar eea biMt ^Mr ^wi#é M/i5e9tEiT',4W Komi«0 dbe
MÊORRLANDEM , Il liw^ ^^jpéttlgè *!ftl ^Jfe' iHSHen en Ge*
wigten* in de wbij^tfcte IJé^ • v^U)mM,''^ i'éaAi lè^ons Vader*
land algemeen %ig|tiK)«lt;'e^r^, «^tff i4t t^gHnge^derftheid^

413» Om zich met ideze bentmfngeo» op dd gtoMkkelQkAt
wQze» lidseod te nvdse»» «il Vi beat a^^ mi ftrn i»tr
aanleidhy vaq 4e voom^ênJê I^^ 4e TyscenMidfttf Bameo»

rao> Welke zffn «i gnidHi *ÉMieÉ»r: ... ' J^ ^^

Si) Wat heeft aen^Mi het varvalrdigea «er fondea ftukkeo, la^hc

(5a)Hoc vfttfk maa Uer vit het fiwigt ^ dat feodea ftakken moacan

CstXWat Ia bet r$mMê^
(iyla ook b9 flitlH
ugevocrdt

156 AL tE^É EPLSTE "gRqudïw d««

te beftuderen, en daarna de Nederlandfche namen, d>e met
«Jczelve ovcreenftemmen, in het geheugen in te prenten. C^)
D« onderüaande tafeltjes zullen, tot dat einde, het gefchiktté
hu^middel zyrt*

Ji. Oyereenftemmtng van de' namen der Lwstemateri.
tttyriameter

kilometer

hectometer

, deeameter

MBTEa

decimeter

centimeter

millimeter

' m\Jl (mille},

roede (perche)

EL (aüne)

palm

duiiq

ftreep (figne^

414^: Het blSkt nlt dit tafeltle: lat de Si ds éii{téntHkê MeUr U ^
t^ palm één tiende deel van ééne el; of dat ^e el fti tien pelm'bn ; de
palfn in tien duim , en de duim in tien (Irepen verdeeld wórdt : dac
iptoorts ééne rOede tien elleb en ééne m^l honderd roeden of duizeQ<|
•Jieo'ftevi^.'.W "••'—■■-■ "•••-" ' ^-^ - ^^ ^. ''•• ; ~ ■
Bè Overeenflemming van de namen der PMti-ma$en. ^

100 vferfainte myien

fierkante mjriameter
.V : i^^f^ante kitomeie^^
Vkriante hectemeiér fffhetare^
vierkante decameter of are

yiEllK^TE METER , VljEaSANTS JSIk

%i€rka»tfs decimeter
vorkante centimeters
. vierkante millimeter

vtefkiittie^mljr
feÜNDER' (honniery.
vierkante roede

,vierJwte,uölm
,vierkante.:dttiöi'
■vierl^nf9( fl^eip

4t«é Mm xiet^ uit; dik^;aCahj;|M^da£ éék Bvniet^lioilta^ ««Mtailte
Ctfoden. Qf tlen•dfliw|^\vl^kant^^eU,o^^^be^ïat;^(dft|l^
roede ui honderd vierkante ellen? eéiie vi^duotet el. in h(y»d«rA»^#t*
kante palmen, ééne vierkante dWim tn hdddera vierkadte ^eben

Yérdeeld #onitï (4)

. C. Qyeremflemming -van de ^tarnen det Llgchaam^m^ipt»

> ' '•' eabieke mettr ofMré'X cubieke el, of wisfe <corde

cahieke mettr offièré

tfibjeke duim/ofliter^

' 'cubieke centimeter

cubieke millimeter

cubieke el, of wlsCe (cürdéy
cubigke palm ji of Jon . _ . ^
cuBieK auim '" *
cubieke ÖTïeep. . '-

(s) Wdke Is de beste manier, om sicb met de NederdnitCchebeAa*

mingen bek^d te maken f > ,

<$y Verklaar de nieuwe benamingen der lengtc-maien IoqIc .
(4) Verklaas de nieuwe namen der vlakte-matea I

^§'

CÏJFERKUNS t. VI HOOFDD, XXXH. les, 157

416. De cubJeke el, welke bei zelfde .!« als de wïsft, waarmede
bei brandhoudt wordt gemeten, bevat duizend cubiejce palmen. De
cabiekepalra, wc'ke denzelfden inhoud heefr, als de nfeuwe kan of li*
ter, bö'idc duizeéd cubieke duimen; de cubieke duim houdif duizend
cableke ftrcpen. C5) . '

D* Overeenflemming van de namen der Fogt^maUn.

hectoliter

decaliter

UTBR

deciliter

centiliter

vat {baril)

KAN (LITROn)

maatje (j^ri?^)
vingerboed {dé^

417. Uit dit tafeltje blijkt : dat één vat houdt bonJerd kanren ,
Wne kan tien maatjes^ en één maatje tien vingerboeden ^ 5;/;»^^ ds
Moud ran ééne kaa. gilijh aan ééne cubieke palm of cubieke dcci»
meter, {t}

£» Oyereenjiemming yan de namen der Inhouds^maten
voor drooge waren*

Drie kilotiters
hectoliter
decaliter

een last (/«/)

raudde oF zalc^ (ri/) rajilrl

fchepei ' '

LITER KOP of KlAN Qlitron)

deciliter maatje (niefiireihy

f i«

4x8. I>3 kop heeft denzëlfden inhoud als de kan 0^ cubieke palm i
en houdt tien maatjes. Het last , waarvan de nchamel^ke inbond drie
cubieke elJen is, houdt dertig mudden of zakken; 4e zak tien fcbe-
pels; de fcbepel tien koppen; zoodat, in ééi^ last, drie- duiz.^nd
koppen, en, in ééne raudde, honderd koppea begrepen zijn, (7>

F« Overeenfiemming vajt de namen^der .Genigfen»

ons' ' . • . ' .'

lopd (grosy

kilogramme

hectügramme
dècagramme

GRAMME

decigramme

wiglje (^esterling'y
korrel (grain^ •

419. Hèf^pond is dus het2elfde, aU het gewigt van ééne cubïeke
paliD xolver gedistilleerd water ;n bet wprdt^itt tieii onoen, de.ohce
10 tien loode'n, het lood in tien wigijös, bQt wigtje in.fi^ koi:r(^«
verdeeld. Bef pond 'is dus hèttelj^e met de hfogranme\ en het
vfigtje fiaat met de gramme gelijk* \J&) ^ . ^

■ I I I T \ ^ ■'< " ', , II lil I j I jiji wir iliTliyif fiM

' , ■ ' 1 '

fs) Verklaar de nieuwe benartiüg(5n der ligchamelUke maten?
C6) Welke zlJn de^pieuwe benamingen der vogt-maijpn ? 1 : . . .
(7> Welke zön de namen voor de maten der droogQ waren? t
CS) Hoe wOTdeU de nieuwe gewigten genoemd! ' io^iL

O

1^8. ALLEREERSTE owovtryt^ d^

H. Nkum verdeeij^g van den ouden Gu/den.
4ao. De éénheid onzer muntfpecte, de gulden, is dezelfde
gebleven; met deze tiitzondering , dat dei gulden tbw» in
honderd cents verdeeld is. (9)

XXXrit. LES. Over d^ Voordeelexï^ weike ket wijsgeerige
Stelfel van Maten en Gewigten boven de oude heeft.

480* Het wijfgeerige Stelfel vaq Matten en Gewigten heeft !
vele voordeeleu boven de oude,

421. i^ Elke éénbeid der oude RIai;en c» Gewigtfi»- fchypc j
willekeurig aangenomen te ^^n; ten min$(^ fae«ft men^ m de
Natuur, geene behendige grootheid kiuvien ontdekken, mee
welke deze eenheden in eene bepaalde betrekking (laan. (i)

4ai4» a^. Om die leden waren de Leggers of Slapers ^ dat
zijn de modellen of kopijen van dere eenheden^ welke, bij
het fiednur vanecnige Stad of Landfchap, bewaard worden,
om aan <Ha5elve, vap tjjd tot tiJd» de in gebruik zijnde
eenheden van Maten eo Gwigiect 10 . coetfen of te IJken ,
zelve onderworpien ^n v^i^derwt^ en vervalfching; het zij
door natuuriyke oor^ajken, t^t b^ door onkunde of opzet-
telijke bedrog der Ambtenaren, z^er dsc het moigeiyk wH«
die verandering of yervalfching te omdekken. (a) Om »Ue
die redenen dan,' kin men niet verzekeren: dtH onze oude Ma-
ten en Gewigten dezelfde zijn 9 wefke zsj^^ VQor honderd jaren 9
waren f en hierdoor verliest men de naaumkeurige kenms van
vele dingen^ welke voor^ den Handel^ de 'ftaatkundige Muishou-
kunde ^ de Kunjien en IFetfmf^sut^pm eimfèturlijk zijn. (3)

423 • 3*^. De gelijke benaniingen, welke verfcheidene Ma-
ten en Gewi^m^ to cmdèrf^heideBe Landen, Districten en
^ $ceden dragei), feh^nen wel denzelfden oorfprong aan te dui'
* den ; maar de hoegrootfaedeD dezer gelQknamige Maten en
Gewigten verCchüleQ vaa dé eene Sttd toe de andere { onê^ utel»
ke f^den de kandeluar dit verftUl mqet hemen 9 en^ in zijm
werkzamtheden ^ tot g^durif^ ngrl¥^Vge^ ^ k^ngifiijlige^ keitekc^

C0 W»liie i^ de ywdmlIuK van den Gtttcfen f'

<l) Welk il bet eerde {;ebi:ek 4er QQde WXW, 01 Gie«(gUQ9

U) Wauvolgc uit At mrekr

13) Wat al me^rf *" ^ r- t

" Digitized by CjOOg IC

CIJFERKÜWST. VI HOOtDa XXXIII. les. 159

ftingen verp^gt is. Ook geeft dh verfchll aanleiding tol he-
driegeryen. (4)

424* 4^ Er befiaat tmfchen de oude Maten en GewigteH
geen het minfte oorfpronkelijk verband. Zoo is het niet mo*
gelijk, om, nit de lengre van den voet, de grootte van het
pond, of den inhond.van het nrengèl, of de pint, te vimJettten
men kan düs aan onze oude Maten en Gewigten den taseii
van Stelfel niet geven ; omdat er geene de minfte zamenliang
tusfchen dtteive beftaat. <^s)

425. 5°. Eindelijk geven de ongelijke, onregelmatige èh
'geheel Willekenrige ondetverdfeelingen dezer Maten tn öéivig^
ten aanleiding tot lastige én wijdloopige berekeningen, in het
bepalen van de geldwaarde van eene gegevene hoeveelheid
k^warea, en in het opmaken van alle berekeningen, welke,
JD het dage!\jkföhe leven, onophoudelijk te pts komen. (6)

426. Jfan geene dezer gebreken ü het nieuw wijsgeertge
Stel/el mderhevrg; want dit Stclftl beïit de volgende voor-
treifelöke eigenfchappen.

427* i^ In dit fteljeï^ hangt atks pan , ^ meter cf de'^d
af; en die kan altijd wedergevonden wordf^. ^

428* 2^ De vlakte- en Ugcbaams- maten asijn, benevens de
Inhondsmaten, zoo als verkls^ is, door den meier bepaald*

415^ .3% Dt Kan^ of de hoofdmaat der natte en droogé
uitren ^ d« cubieke palm sijnde, kan insgeitjks 9 ^\s vtLU ééne
on^cnuiderlljke leogte^maac afhangende, nimmer verloren gaan.

430» 4*, £n , daar de aard en hoedanigheid der oatuuriyke
self^andigheden , onder dezelfde omHanjigheden^ niet veran-
deren, en dertalve het Zuivere water, In dezelfde temperatuur',
hetzelfde gewigt heeft, zaLmen altyd de éénheid der gewig*.
tea wedervinden, indien Hechts de el bekend gebleven isé

431» 5®. Het onder fiPige verband tusfihen al de deelen van
'hêtMgekeele Stelfel geeft am elk de gelegenheid ^ ofn zijne
eigene Maten en Gewigten , of zelf te vervaardigen , of zelf te
tmtfmé Ook kan geen ge<leeite van dit ftelid ooit verla«
ren gaan,- ' -

(4) Wat is een ander gebrek ?

CO ^^n er nog al meer gebreken t ,

(6) Waartoe geeft de öngelflke verdeellng aanleiding? >Ogle
^ O 2

X

j6o A L L e re E-RSTE OU oi»d e^STdeA

43 a. <S^. Btj de regelmatige tiendeeUge onderverdeeling der
hoofdmaten y zijn de herzieningen ^ waannede men immers in hep
dagelij l^che gebruik ^ kan te doen hebben y tpt de berekening der
'tiendeelige 'breuken ; dat h , iot den hoogstmogelijken trap Van
kortheid en eenvoudigheid gebragt. (7)

433. 7°. Eindelijk is, in het nieuwe (lelfel van Maten en Ga-
wigteu, elke maat en hec gewigt in kleinere onderdeelen , dan
in onze oude maten en gewigten , verdeeld ; dit (ielfel ii dus
veel gefchikter dan de oude maten en gewigten^ om alles ^ mei
de uiterjie praktifche naauwkeurigheid ^ te meten en te wegen*

434» DtzQ laatfte eigenfchap van het nieuwe ftelfel be^
lioort wat nader verklaard, en, door bijzondere bewijzen,
bevestigd te worden.

i<\ Bij de oude onregelmatige Maten en Cewigten^ moeten
de deelen en minderdeelen , door afzonderlijke getallen , die
.yan elkander af ge fc heiden (laan , gefchreven worden : in het
nieuwe Jlelfel , worden daarentegen de geheelen van^ de dee*
len en minderdeelen , door ' het decimaalpunt , afgefcheiden ; zon*
der d0t het noodig is , bij het getal e$t^ anderen naam dan den
maam van het ^^eheé} te 'plaot/en.

Wanneer men duS ^eTchreven vïndt,:

:"■•& re 37*7,39 CuidetfSf . ^

leest. men 3787 Girfdèns en 39 Cents.

789.03^51 meters
■wordt gelezen 5^89 meters^ d decimeters ^^ 3 centimeters, 9 mlitme^
ter s en r% millimeters lés millimeters, oi ySg ellen ^ 6 duimen ^ :%
duimen f^ 9 ft repen y 5 tiende ^ en i honderd fle deelen van ééne ftreep.

789,78013734 myria meters
ivordt gelezen 789 tnyriameters ^ 7 kilometers , 8 hectometers , o de-
camefers » a meters , 7 decimeters , 3 centimeters en 4 millemetersi
of 7897 mijlen ^ 86 Raeden. 3 ^/, 7 palmen^ 3 duimen ^ 4 ft reep.

179,08924631 kilogrammes
wordt geleien 179 kilogrammes, 6 hectogrammes , ^ deca gramme s ^
9 grammes,! decigrammes, 4 centigrammes , 6miWgrammes,ztlsn^
deJèelen van ééne mHligramme en ééiimhunderdffe milltgrammes « of
179 ponden 6 oneen , 8 'lood , 9 wigtjes , i korrel , 4 tiends , 6 kofê^
derdfte , 3 duizend ft e , en 1 tienduizend ft e deel van tenen korrel,
" Omdat een vierkante meter honderd vierkante decimeters, eett
vierkante decimeter honderd vierkante centimeters, ea een vierkante
c^ntlmer honderd vierkante millimefers houden , 200 wordt .
79^*370945 vierkante meters

^^^? ■

C7) Tel daarentegen al de voordeelea van bet nieuwe (lelfd 9^t

\ Digitized by CjOÓgiC

CIJFRRKÜN'ST. VI HOOFDD. XXXIII. les. i6t

ffiezea 7^ vierkante meters ^ 37 vierkante decimeters , cp yierkentè
centimeters 45 vierkante millimeters i (^ Tg^ vierkante ellen ^^ yier^
kanie palmen » 9 vierkante dumen , 45 vierkante ftrepen»

En vermits een cuUMe meter houdt duizend cubieke decimeters ,
zoö worde

1736,869073806 euhieke meiers af elUn
gelezen 1736 euhieke meters , 869 cuh. decimeters , 73 euh* centimtfm
ters , 306 eub^ millimeters ; of 1736 euhieke ellen , 869 euhieke pet»
men , 73 cubieke duimen 9 306 euhieke firepem

2\ De zoogenaamde Opt^Uing en Aftrekking in Gelden \ Ma-
ten en Oewigten^ Qzie XV jL^,) waarbij men teikens door de
getallen , welke de verhouding der minder deelen op de gekeekn
uitdrukken^ deelen moet^ is 9 in het nieuwe Jl eifel ^ veel eenvotc
diger; aangezien deze optelling en afttekkingy even ah die d^
tiendeetige breuhm^ Word$ uitgevoerde (%^

Op te tellen: op te rellen x af te trekken: "■

173>63' Ouldens . 17^9^7 ponden van 1963,17 Guldens»

917.-0 i7»Si2 af 192^63

33.79 . 69,3

• 1,50 17 i770j54 Ouldeni

1126,30 Guldens 280,^9 ponden

3^. Om gehgelm M deelen en minderdeikn te herleiden , moet
men ( zie de Foorb, op Bladz 26 ,) met tmderfcheidene getallen
verenenigpuldigen : zuiks nioec nu ook wel in het nieuwe SteU
fel plaats hebben; maar; daar men in hetitxlve^ tot dat einde ^
ütet jgeené ^ndefe, dan met de geiatien to» 100, 1000» enz.
behorft te vermenigvuldigen y gefchiedt zulks alleevlijk dornr het
9erplaatfèn van het decimaaiiunt ^ en bijgevolg ^ ^ontfer eenige
de minfie moeite^,

Zie bier vooRBBBliD9N«

i**. 783.837Ï ellen = 7838»37l palmen =: 78383117» duimen =£
7^3837,1 prepen.

a*. 785*375683 ponden = 7853>75685 oneen r= 78537*5683 looden
= 785575>o«3 n^igtjes i!^ 7853756»83 borrels.

5®. Maar dit voordeel loopt ^ bij het gebruik der vlakte* en Mg*
ebaams^maten 9 neg veel aa^MnerkeHjker in het oog. Immers, om
vierkante roeden tot vierkante voeten , Vierkante duimen ^
vierkante lijnen te brengen, moet men telkens met 144 vw*
joenigvuldigen ; en zulks wonk nog lastige, wtirae^ ne^cu*

L C8) ^^t Wdeel lieéTt tiet nieuwe ftelfél, in de ÖpteUiag ^ Mi
^ «ekkiog?

t(ï^ A LL B R E E R S TE gii€ni>en ^e^k

bieke vx)eten tot cubieke duimen en cuWeke HJnen moet hei^
leiden; daar raen, toe dat einde, telkens met het getal i^id
Bioet vermenfgvwidigen : maar m&et^ men vierkante meters tot
^ierkaniie decimeper$ , vierkante . cei^imeiers ^ vierkante- mHlU
nieters brengen ; of cuh'eke meters tot cubieke decimeters i enzs.
herleiden; dan zijn 'd& getallen ^ waarmede men' moet vermenigm^
yuldigen ,' ïoo af i ooo ; en deze vermenigvuldiging kost , indten
het gefieelen zijn^ geene andere moeite^ dan, achter het geheelè
getal^ twee of drie nullen te fielten; of\ indien het tiendeeligen
zijn;^t décimaaïpunt twee <f drie rangen ^ van dè linker* naar
de regterhandy te verplaatfen, (^)
Zie hier VOORBEELDEN. . , /

i**. %^7^^^^^ vierkante ellen = 3575^j94 Vierliante palmen S=r-
j87f;694 vierkante jlrepen,

a**. 9^7,563789 cubieke ellen = 9^T5^h7^9 euHeke pa^lmen' =
' 9^7.5^37^9 cuhieke duimen,

5^. Het fpreekt van zelf : dat ook, omgekeerd, de herleid
ding van minderdeelen tot gehelen ^ welke, wanneer men, w
de oude Maten en Gewigten^ rekent ,. telkens eene bijzondere dee^
ling vereilcht\' ookt door het verplaat fen van het décimaaïpunt y,
van de regter^ naar de linkerhand <, en bijgevolg', zonder eenige
moeite noch Infpanning van gedachte y wordt te weeg gebragt. (10^

Zie hier vooRBBEiiDEN.

!**• 975Ö895 prepen = 975689,6 duimen =3 97568.9^ palmen 'z:^
975Ö>o9j5 ellen = 975,6896. reeden.

»'*• 979*^759 '^igtjes = ^7967^^9. lood en == 97907,59. oneen :zz
5^96,759 nieuwe ponden»

%'*m 7687596 yterkante duimen =* 7^875,96 vierkante palmen rz:
2(58,759<5 vierkante ellen r=: ^^^7^9^ vierkante roed^ni

6^. Maar, in het bijzonder, vertoont zkh het nieuwe St eifel
van Maten en Gewigten van deszelfs voetdeeligfle'^ijde, wanneer
wen het Belóóp van koopwaren berekent» (11}; Wij zullen dit
dooc eenige vpprbeelden aantoonen.

Het. i's, 10 de^XtX Les, Bladz, 8| en vervjoig. gebleken :; hoe , in.
Bet oude Stel fel ytnlSlaten en Gewigten, h-^t beloop van eene gege«-
veiie^ hoeveelheid *kt>opwarelt beteltend worrft* Wanneer men het ter
4«zer. -platcfe verkhitrde roet liet volgende vergelekt, zal men van
de voQttrelTelijkheid van het. nie^wa Stclft^t^cnyan het bó'zondere ge.
jn>k, door hetzelve aangebragi,,terïlQnd moeten overtuigd worden..

^} Welk voordeel in de herleiding. tat.juiödcrdec|cn?. . .^

6ip) Welk voordeel ïh dè herleiding tot geheelen ?

^lOJn.welk gcv^l,^is ^ef.v^jwr^eel vanjipt.njeuw^ St?lftl AC^Ofatrr

ïttOmW^'frf . - , . - r.- . : . DigftizedbyGOOgI

CIJFER KUNST. VI HOOFDD. XXXfH. t^s lïj

1. Voorbeeld* Hoeveel kost 378,763 Milogramméj van zeher4
vaar^ t^gen 7 Francs 23 centimes ds kilogrammee

378,763 hilügr.
7,23 Jfranet

I 136289

757526
2651341

komt 5738,45649 Franóf
^f 27j8 /"r. 46- cent*^ nabij.

Men moet, even als in vir/. a*25 ge-
leerd is , de gèldu aarde van elke ktlo-
gr&mme aoo meaigmaal nemen , als er ki*
•logrammes gegeven zi}j?. Alles komt der*
balve o^ de vermenigvuldiging vati twee
tiendeeli:>e getallen, dat is, op eeneen-
keMe 'vermenigvuldiging neder. Men vindi
voor het product 2738,45659 Francs; doch
daar taeofiiet verder dan tot ^ae centime
t>etalen kan, fcbrt'ft men , in plaats van
0^45^09 Francs , 0,46 Francs , of 46 centimes.

Verj^elÖkt . men no dit werk met hetgeen men zou moeten verrfg-
ten, indien gevraagd wasi Hoeveel kosten %i6 pond ^ 7 oneen ^ 13 enr
ftels en 31 azen^, het pond tegen 3 gulden 13 Jïuly. 11 penn.f jdaa
r:l men het merkelijke ondcrfchcid zien; want men zal, om zulks
uit te rekenen , eeist de guldens, ftuiv.- en pe;m. tot penningen moe-
ten herJeWen ^daarna het gegevene gewigt tot azen, en zulk:» vereischt
tijf vermwïigvuldf^ingeu ; daarna zal men door 16 X ao X ?« moeten
declen . en elndel||k nog eens met 16 en 20, alle welke bekomende
bewerkingen, waarmede men, wanneer alles in de nieuwe isiaten, 0%*
wigten en Muntfpecien is opgegeven, niet te doen heeft, allecnlltk
uit de onderverdcelingen in h^t oude SieJiel geboren worden (i2>

a* Voorbeeld. Hoeveel kosten 770 kifoliterr^ 9 hectoliters ^ 5 de*
Cüllters en 4 liters graan t^egen J36 Francs èn 73 cent. de kihlitert

3. Hoeveel bedragen 306,5 meters linnen, tegen.i Franc 64 cent.
de meter y^

4« £ene hoeveelheid van zeU^ere waar^ wegende 3176,^8 kilogram*
mes , is ingekocht tegen 8oo Francs ; te^en hoeveel komt dan de ki-
logramme te jlaan f

5. Maar y indien, de koopman , welke de voorgaande partii gekocht
heeft ^ daaraan ao ten 100 winnen wil; tegen- hoeveel moet hij dan
de kilogramme uitverkoopen^

6. Een akker ^ welke 6,38 hectares groot is ^ heeft 115^7 UloUters

franen opgeleverd; hoeveel heeft dan de are ^ door elkander gere*
end f opgeleverd %

7. Een [chiider hedingt voor het hefchilderen vad den vierkanten
meter 0,83 Francs of 83 centimes ^ hoeveel zal dan het befchilderett
van eene fchutting kosten , welke 73,5 meters lang en 2,73 meters ,
hoog ist

JCXXIV« LES, Opgave van dé oyet'eenjkmming tti^chêm

de ottde Maten en Gewigten fnet die van het nieuw ith

gevoerde wijigeerige Stelfeh

43y. Het 2tti altijd noodzakelijk. blijven,, om de oude Ma*

'0»j Helder dit döor een voorbeeld op t Digüizedby Google '

Ö4j

Iff4 ALLEREERSTE orondêii der

ten en Gewlgten in de nieuwe, en de nieuwe ^vedetlcéerig tot
de oude ie kunnen overbrengen, (i) Om dit oogmerk ie
bereiken, heeft raen, door middel van gefchikte werktuigen,
allé onze van ouds bedaan hebbende Maten en Gewigten,
zoo ah zij f in het begin dezer Eeuw^ betonden, met de
nieuwe vergélekcnl (a) De getallen, welke die naauwkeurig^
vergelijkingen hebben opgeleverd , moeten gekend en toe die
bedddingen gebruikt worden, (3)

435. Fooral is het voor ons yan het grootfte aanbelang , de
verhouding van de oude Maten en Gewigten^ welke ^ in de Ne^
deriandfdte Gewesten , in gebruik zijn geweest , tot de nieuwe te
kernen. De voomaamlle zijn de volgende.

-Ar Voet-maten , Topt^raphifche en Aardrijkskundige Land-ma^

&* ten ; benevens de oude Elle*maten%

'i 437. De Rynlandfche roede, door den Hoogleeraar snei.-

uus, in IÓ2J, in z^ne alomberoemde Aardmeting gebruikt ,

en, federt. c^ tijd, ongefcbonden , op bet Obfervacortum van

' '^o^^e School te Z<fï>V<?» , bewaard gebleven zijnde, is

^are^ 1807, (foor wijlen den Heer aeneae en mij, fn

Sieidene omftandigheden,met den Meter vergeleken (zie

^verbaal , in de Staats-courant , 7 Maart 1 &08 ,) en bevonden

ïe zijn , de lengte te hebben van 3,767358 meters of nieuwe N'e*

dertan^che ellen. (4) In Duitsehland bedient inen zich insge.

lijks van den Rijnlandfchen voet; doch hij heeft aldaar niet

* dezelfde waarde, als by ons; waarop men, bij het ie^en. van

Duiifche fchrijvers, vooral dient te letten. Volgens svtel«

WEIN, is de Rijnlandfche voet 0,313853543 meters, ^ij bepalen

ons by de Rflnlandfche voetmaat, bj) ons in gebruik — en^,

i»it de opgegevene overeenkomst , volgt nu

a. DSit één Rijnhmt^chi V0it\iïi lengte, gelijk ii aan 0,31394^
fneteri^ of Neder l- ellen; of 3,139465 decimeters of pahnen ;
of 3t>394Ö5 ftntfmeters oi duimen; of 313,9465 miilitneten of
firepen.

<i) Wat Is , hQ de invoering van het nieuwe ilelfel van Maten en
Gewigten, noodtg gftweést, en aal het (leeds bleven f

(a) Wat is noodig geweest , om die herleidingen 10 het werk te kua«
nen ft^llenl

(3) Waartoe diMea de getallen , die men uit deze proeven heeft iee«
r<»kenMiir

(4) Welke is de verhouding van de Rünlandfche roede tot de nieuwe
MederlaiuUcbeell oigtizedbyGoogl

C IJ F E R K ü N ST. VI HÓOFDD.'XXXIV. tti. tóg

h. Dat één kijnlandfche duim houdc 26,162208 ftrepen^ of
lfii62L% NedcrL duimen.

c. Eené Rijfj/aridfcke lijn houdt 2,180187 ftrepen.

d. Dat de nieuwe Nederlandfche r/(?//;?f/^ houdt 0,2654380072
^jnlandfche roeden^ of 3,1852560866 BJjnlandfche voeten^ of
38,2230730392 Rijnl duimen, (s)

Om derhalve Rynlandrcbe roeden tot nieuwe ellen te herleiden ,
moet men het gègevene getal Rgj^l* roed, met 3,707358 vermenigvul^
dlgen; — en, o/», omgekeerd, meters of Neder L ellen tot R^iJ»
roed. te herleiden y het gegeyene "getal ellen mit 0,265438 yermen!^"
VMldigen. — En zoo gaat men met alle hier boven opgegevene ge-
tallen, als mede met die, welke in* het vet volg zullen opge;cev(ti
worden, te werk. De Leei meester moet de volgende voorbeelden la*
ten uitwe$AÊ9 en verder verklaren*

1. VoorIMI'D. Om 73a RijnU roed» 7 voet» ilf duim» ro/ me»
tcrs of NederU ellen te herleiden ?

Maak alles, volgens art, 400, tor geheelen en tfendeeligen van
roeden en vermenigvuldig dan dit getal met 3,767358 ; dan zaHïet
product het begeerde zön.

2. Voorbeeld. Herleid tot Nederig ellen lif^^Jnl* toeden
3 yoet0 II duim. 7I lijnen f ^^^Httkt*^

3. Herleid y^6 Nederl, ellen 7 palm. 8 duim. 9,8 ftrepetr^ RiJnU
rotden , yoeten , duimen 'en lijnen f

438. Aanmerking. Daar het vermenigvuldigen van zulke groote
tiendeerige getallen , als welke , bj al die herleidingen, vereiscbt wor»
den» zeer lastig is» znllen w|j aanwijzen: boe dezelve tenigzins kan-
oen bekort worden. Op het einde van de LVll Les , zuilen wg , voor
elke der voornaamfte herleidingen, logarithmifche formulen opgeven v
waardoor dit lastige vterk , door het optellen van twee getallen , kaa
Volbragt worden.

Wanneer men namel|fk twee tiendeelige getallen , wel|^e , bU voor-
beeld , elk zeven c^fecs achter het dedmaalpunt hebbeo , als
8,56793% en 7,5389423, met elkander moet vermenigvuldigen; dan
verkrUüt men, zie art, 39a» in Irec product, achter het decimaal puncv
veertien ciffers; maar. tot de ultcrfte praktifcbe naauwkeurigheid
worden al die veertien c^fers niet vereiscbt. Op zijn hoogst genomsh
zijn zeyeft van dezelve voldoende; omdat de zeyen yolgende zulke
kleine grootheden voor fielten^ welke ^ wegens hare kleinheid ^ ze^ft
yoor onze gewapende zintuigen ^ onmerkbaar zijn» Men maakt dan,
op de gewone wgzc werkende, i^ckerlQk de helft gedeeltelijke ver*
menigvaldigingen te veel en fchrffFt meer cijfers uit, dan noodig \%
Ik zal die bekorting het best kunnen uitleggen^, door deaelve met de
gewone manier vaa vermenigvuldigen te vergelijken*

(5) Welke nieuwe verhoudlngea kutmen uit die proef worden og»
gemaakt? n ^

Digitized by LjOOQ IC

1^ ALLSREERSTE oronokhd^e

A

8,5679385
715389423

B

8,5679385
7.5389423

c

*570S8i55
171358770
342717540
771 114465
*5435öSo

057038155
408596025

59975569^ ,

599755^5

> 4118396925

. «5703817

6854352

,771111

S4»n

ï7ii

B58

f

5

%

9
4
•
5

64,39319398144855 64^59319^9

VEïiKLATliNo, Tn ïetrw A, h tfe vetöienlgvttldiglfig , op de gewo-
ne w|)ze,.uicgewerkr. In letter B, de verkorte bewerking. Indien ilt
M cietidtellgen tot in hst i^venile ctffer tia»iwketir!g verklei ; flan
werk ik aldus. Ik begin de gedeeltèigke producten met de tlfitt^
van de hoogfte rwigM vm den vermenigvuldifer te iormereii, en
icbrQt' d^ producten viq h^t vermeniftvuTdigtal met de twee eerlU
cijfers 7 en 5 geheel Uiti maar, om nu vercfer de overtollige cijfers
te vermeden, laat Ik, bö het formeren der gedeeltelijke produccen
met de volgeode cjffers 3 • 8, 9^, 4, «, 3» uit het vermettigvüldlgial
van achteren, 4én, twee, drie, vier, vQf en tes cOfèrs weg , e^
vermeutgvuldig de vootfte deden 8567918, 856793 r 85679 ; 8567,
856^, 85 met 3, 8 , s» 9 4, 2, 3; hierbij ^^ ^<^^t nemeade; dat. wati*
oter iiet weggelAtem^ gedeelte $ of grooter dan 5 i)St het iiiatft^ cjj-
f er één booger gesoitiea wordt; ±00 dat eigenli'k 8567939; 856794;
85679; 8568; 857 «n 86, me« geiegde getalten 3« <^» 9» 4, a | 3 B^n
irermenfgvuldigd geworden; «i fattwelk men verder uit de titwerktng
sien kaii« Om niet H dwali» fihtifft m» 4e cijfert ^hlh d^n yer»
menigvmidlger ^ ineinê k^Um^ namt 44 ged^ekelijke pfédtéCien^ «»•
der elkander» (j6)

.. 43P« Dö Atnflerdamfche roede (die In dertieo voeten, de
•'■'^lit&èi in elf duimen verdeeld wordt,) heeft de lengte van
* 3»ö8o7a86i NederU tilen of mften — die is ook «ie proeven
gebleken. (7) Uit dete overeenkomst ydgt nü:

aé Dat de Amfierdamfche vaet van 11 duim geltjk Is aan
o;a83i3a97 Nederh eUMn^ of a,83i3ft5>7 palmen ^ of d8^I32p7
fdeuwe Nederl. duimen^ of 283,13297 ftrepen.

b* Dat de Amfterdamfche vi^dem van 6 voeten lengte £cl(}k
ftaat. aan i|öj>87p82 Ned. ellen of meiers.

(6) Hoe kunnen, in die herleidingen, de vermenigvuldigingen der

tieMkelige gAtirileo beKort vfordtn ?
C7) Welke Is de, verhouding van de Amfterdamfche voetmaat W« den

meter of Nederl.^Il n,.zedbyGoogl

CIJPERKUNST. VI IIOOFDD. XXXIV. tns. iS^

c. Dat de /imfftrdamfche duim, ^ S7%91^ nieum Neder L
bimen^ of 25,7393^^ fivepen bedintgt.

é. En, dat omgekeerd, één meter of Nederh el hondt
0,3716853 Amflerdamfche reeden of 3»53 ÏPOP Aatfierd. voeten
lof nagenoeg a^t^S» Amjierd. duimen. (8) Mee deae getalteo
^IttiMn de volgende herleidingen worden uitgevoettf,

VooRBSVLD, HerUU 7963 . Am f. roed» 7 yoeu qJ duim tot
JtrL 0êlen^
IfilfftH^id S6719 Am(i* toeta'%^ duiman t^ Nêderi. alten i
Ijk 4«r/*W irfi dmme» top N0d4rl, duimend
léf^ Berietd 7895,396 NederU elUn tot Amfierdamfckc tHdea, e»
mdêfinllngen van dezelve^

1^ Behaive deze twee Ki^fifmaten 9, zijn^ in^ da noordelQkfi,
Gé^t^eu der Nidirloftdm %n^ i^ gebruik aw^m d^ y^i^
kngfe-maten^

i\l>9i Umciifihe of Stidffiie r^edf, \^ 4^ Unimot^s
ir IA VQ^wpj WJW, voor het burgeclöke^ gebruikt in 14 ^fq^
m verdeeld: zij heef f de lengte, van, 3f75S5> Nf^d. ellen of
, teters*

ft^ De üetderfèk^ roede^ die fd 14 voeten, de voet fn fo
(hjtaien verdeckl wokJc, hebbemie eene lengte van S^BoraS
IMèrk 'eUetts, en duis de vdet 2,7*^^47 palmen.

S^, De Konings roede in Friesland ^ hekèmde eene kngtt van
3,^1*78 Nêderl. elkn; Elf wordi in i» deefen verdeeld. '

4^ De Ooningfcke roede van 14 voeten (ée voet vercfeeld
» ta dtótaen,) iehiende é^^opoy^ Nederh elkn lengu^ Cg)
Uit deze getallen zal men, tot het gebruik der berïeid&gen;. vel
Ie ioderet^ knnnetir viodcok

441. Ih dk ms- en JNhtuttriundijge PP^tenfch^pen ^ behoort
men' vooral de F^anfehe en Engelfehe voetmaten naaumJèeurig te
kefHtetu

I*. De Fhanfckê toij/k (ande» oofc wet de te^ van Peru
genoemd^ die in zes Franfcbe voeten verdeeld worde , Aoudï
1,94903659116 Nederh ellen (10) oï metersé Hferuit volgt:

«• Dat de Dranfihe voet geltfk*r$ a^Q 3,24^394^1^6 palmen
oï decimeters*

' mmit '■ |i I Hl, pimwwm I ■«■

(a> Vfelkt aQ4«r0 veF}|0n4i««eii v^l^en «It deid^r
{ja Welkse aïid«« vo^raa^fl leoi»P-ii««eii; s^n^'m dtt Ne«nlerli|ke Ne-
derlanden, nog ifl gebruik geweeat?

&a metcgrf

1<8 ALLEREERSTE gronden der

h. I>at de Frahfche duim;, van welke de voet er twaalf
bevat, lang is 2,7069^5 nieuwe Neder iandfche duimen of r<?»-

Aimeteru , . ,

^ Cé De Franfche lijn (van 12 m één' duim) de lengte Tteeft
yan 2,25583 ftrepen. ■

d. En eindelijk , dit de mefer of nietim NederlandCche El
de lengte heeft van 0,513074 toife%^ of 3.078444 Franfche I
ykten. Dit laatfte getal is eigenlijk uit de metingen van.
M^CHAiN en- DEtAMBRE opg^aakt, en is dus de grondflag
van de inrigting van het geheeTe tteïfel. <\\). Met die ge«
tóllen kan men de volgende heüeidingeh maken,

U VoQUBEEtD. HefUid 3745 tfAfes 3 voet ^l\um Tranfche
maat tot '^ed. ellen of maters^ ^*

fl. Herleid 7894,3^8 Ned. ellen tot Franfche toifes enderzelyer
»nderdeelen%

2". De ffieter óf nieuwe Nederlandfche el houdt 3,2808527 i
Lmianfche voeten en de Lor.donfche w^/ 0,30475)868 fneters,(i2)
jiardrijhftundige Maten\ en Land -maten.
.^4av Be vierde van den omtrek van den middagSr cirkel der
Aarde houdt 1 0000000 ellen ^ dat is^ ,1000 tnyriameters : X^^y
maar dit zelfde yierd^ gedeelte bevat po graden , of, daar
elke i^raad 15 géographifche mijlen inhoudt., 1350 mijlen.
Duizend myriameters (laan dan gelijk met duizend-drie- hqnderd -
en-vijftig géographifche mijlen; dus is één myriameter gelilki
aan i^ géographifche mijl; en ééne géographifche mijl gelijkl
aan l^ myriameter. Xh^ , . • '

443. Omdat één meter of el o,2(J5438öo72 RijnU roeden i
lengte heeft; zoo zqléén myriameter de knffe^van 2554^389^72 ,
of nagenoeg 2654,38 Rljnl roeden leegte hehhefi ; ep yei;menig,
vuldigt men dit getal met |f; dan zal men, voor de lengte
V(m ééne. géographifche mijl, vinden: ^9669207^6 'RijnL roe^
den* (15)

(11) Wat is, ^an^ande de verhouding van den Franfchèh voet tot de

el of den meter , op te merken ?
(ia"» Welke is de veThx)udlng van den Engelfchen voet tot deti

meter? , « t .

(13) Hoeveel myrlameèers hoadc ééft-viö-de vanden intrek der Aarde 1
04^ Welk eene verhouding beftaat er tusfchen de géographifche mQ]

en den myriameter? ^ * -

(t5> Hoe vindt men^ hoeveel JLfaW^ roeden ééfie-geegïfat^lfcbt mg

makeo^? , * i -•

CTJ^ï^ï^^^^^'^* ^^ HOOFDIX XXXIV. LEI. l^

444, Rekent, men 2D Hollandfclie uren gaans ioéénen
irraad; dan zal één nyiameter ij tioüandfche uur gaans zijn^
fnééfie Hollandfche uur gaans | my riameter ; dn h, 5$ 551, njeu-
m eOent of 1474,606 Kijnl. roeden lengte hebben, i 16; Me»
zal, op geigke wijze, alle oude geographifche land-matcn mee
den myriameter kunnen vergelyken.

445^ De Mijl of Kilometer houdt 0,135 geographifche mij-'
kn? (f o,iJB Hollandfche uren gaans ^ of 265,43^ R^M roêr
den f 17) Men zal hieruit gemakkelijk vinden: hoeveel R$ink
roedeïren voeten de hectometfr en de decametec, of de nieu-
we roede , honden.

Oude Elle-mafen.

44Ö. De Tooröaamfte elle. maten vjndt men in dk ttWijc:
('084117 Parij fihe ellen,
10,87489 Z<?fwfe«/^Atf ellen. :
l>tIMerhelottHeUr\i^iLkJiSA^^ Jmfierdamfche dicn.^

-- ■ 4,1 i^^Jft/^'Br»jiJps:he tW&a^^^mfter^m^
ét Leertlng iwkene hierdoor : hoeveiel meiers , of. nieuwe
ellen, de F^rijf^^^ «w. «»«! Iiouden; en Mj a^l

^n i^enr^' #

dt Pd»'ij/S^ el hondc u,M%2t> pakm»^

^ Amflerdamfehe r 6,87815 V-^-^-^^yW^-^

— Haagfchè--^ lö^S^ — ...

— Bnigfche te Amfierim . 7*00653 ^". ■■

B. Gemni Flakte^inatm en Land-vMie^aiefu

447. In b^ opd^ item, worden de oppervla^ BM
YiSante toeden, viei;k«^ .voeten, vierkante duimen, vlei^
Icante *tfnen, vijerkante lellen, vierkante miijlen, en vierkante
wen gaans gerekend. Zie; aru laa, ietter d. In3iet nieuwe
telfd, meet men met yUriante Nederk eOen^ ^ierhmti rHm

05) ifoeveèl metm tii ^iW*«S5^en«aken ééneHdlapdf^

Cir) Hoeveel geograpMfcbe »ï|to ^n .HoWwlfiche «rap houdt de %^

170 ALLEREERSTE ckonden dzx

deri'i vierkante hectometers y vierkante mijlen ^ vierkante palmen ^ ~
vierkante duimen ^ en vierkante fir epen ^ ^i8)

448. In het oude Stelfel, is de gebruikeiijkfte land-maat de
Rifnlandfche morgen i deze houdt zes» honderd vierkante Rijnm
landfche roeden. In het nieuwe , is de vierkante ^ roede of jire
de grond-éénheid der vlakte- land-maten ; 2;// /s een vierkant van
tien: ellen lang en tien ellen breed; bevattende derhalve honderd
'vierkante Nederlandfche ellen ; zij is derhalve de vierkante de^
gameUr; en óqzq is dezelfde als de Bunder ^ welke honderd
vierkante nieuwe roeden bevat* (ip)

■ 449. Door vermenigvuldiging , vindt men , uit de bove»
öpgegevene getallen: hoe zich de oude tot de nieuwe vlak-
te-maten verhouden. (20) Bij voorbeeld, de nieuwe el houdt
0,26543^0072 Rynl. roeden 4 vermenigvuldigt pien. dit getal
met zich zelve; dan vindt men: dat de vierkante el houdt
0,070457335676 vierkante RijnL roeden. Vermenigvuldigt men
dit getarmet 144; dan vindt men 10,145856337389 vierkante
Rijnlahdfche voeten; en dit nog ééns met 144; dan vindt mèn
1461,00331 25 R4047 vierkante Rijnlahdfche duimen y voor de
'waarde van de vierkante Nederl. ek (^21) Het is niet altijd
iftoodig, alle deze tiendeelige cijfers, in de toepasfing, te ge-
^biuikên^ tnoti moet daariU' de omdandigheden, beuevens d«
Boauwkeurigheid, welke men verlangt, raadplegen.

450.^ Op gelflfce wijze, zal men, uit de giwalleö, onder
letter A^ opgegeven, i vinden s dat ééno' vierkantn Nederl. el
ef meter houdt - ■ ^ - /.:/

0,67045733567^ ^f^rlt.'Wjn^» roeden.

'io,i 458563^7389 • '-^ ^ ï^heteni ' - *

1461,003315584047 ; duimen.

•' o,o73§ia9O04i6 ^erkV'/fmftk roeden. ^
12474331184^81 '^ voetenm

^•"' ^'^tiïo954ooia32p8ooi ■' * ■ *> duinteri^' '
•**'''^' 2,113767 yiefkanfe[Ainllè^d:^e}lèh.'' ' •
■' ^ ' ^,037014 — \ ^ Brügfcièe 'éllen^ té Amferd.

f 18) Hoe meet men dê oppervTaktenT "

I is^. in, bet o^ple en nieuwe Stelfel de vlakte «land- WMic^

CiQ) Welke is^, in, .bet oude en nieuwe Stelfel de vlakt
i^VA2^''vfndl men dê^verhoBdlbg déf^Makte-MtêÉt
faif flitier dii doöf eé» vdWbWld'^pf t- Ji >^ i ,'

_ ■ DigitizedbyV^OOQl\

CIJFER KUNST, VI HOOFDa XXXIV. LU \7i

Zn, omgekeerd; ^la/
iénevierk^ Rijnh roede houdt 14,192986300 vierk* Ned. elkn^ *

— voet — 9,856240486 palmen.

duim — — 6,84461 «449 : duimen^

iéne vierk. Amft» roede — r- 13^547769799 ' e/Ien^

f— p^. voef 8,016431834 paimeni

duim ? 6,625150376 — — — duimen.

iéne vierki Amfterd el houdt 0,473089 vierk* Ned. ellen.

Brugfche — te Amft. houdt 0,490915 vierk.Ned.eU0n.

' Haagfche — houdt 0,481965 vierk. Ned* ellen.

Dac al verder
iéne vierk," roede houdt 7,045733568 vierk. Rijnh roede».

— decare 7o.457335<57^ "

— — — bunder 704,573356760 ^

ea deelt mea dit laatfle getal door 600; dan vindt xxjXXii
(omdat 600 vierkante roedeo ééne morgen maken ^ dat één
Bunder houdt

1,174288928 Rjjnl. morgen;
eö, omgeteerd, dat ééne Rsjnl. morgen houdt
09^515797^0 Bunders.

Men kan hier bijvoegen:^/ ééne nieuwe vierkante mij/ houdt
0,18225 vierkante geogrnphifche of Duitfche mijlen; en^ om-
gekeerd , iéne vierkante Duitfche mijl 5^48(^87 , of nagenoeg
5^487 vierkante mijlen.

451. Aanmekkino. Men neemt van de tiendeeligen , welke
in deze verhoudings-getallen voorkomen^ zooveel cijfers^ als de
naauwkeurigheid vereischt. Bij voorbeeld: ik wil 316,3 vier^
kante ellen tot vierkante Rijnl voeten herleiden; dan is het
voldoende, dit getal met 10,145856, ja zelfs, in de meeste
gevallen, met 10,146 te vermenigvuldigen, (22) Men ztl
OU gemakkelijk de volgende herleidingen kunnen maken:

I» Herleidt tot vierkante meters e f ellen t
*) 179 J ylerk. RijnL roeden.

b) 4165 vierk. Hijnl. voeten.

c) 307 vierk. yJmft. voet. 60 vierk. duimen»

d) 176 J vie/ kante ^mp, ellen.

e) i7oofJ vierk Haagfche ellen.

f. Herleid i79ö»3ai vierkante ellen tot vierkante Sifnl. voeten'^
pot vierkante ^mfierdam/ehe voeten ^ tot yierkante Am f. ellem'i

Cft2) Wat behooit lucn b|j deze grooce getaJlea in aanmerking te oemcn f

P 2

|;rt 'ALLEREERSTEgroicdender

8* Sf «'ƒ» esnige pereeelen lands » groot^ te zamen , 916 morg. iit
roeien Rijnlandii boe gtoot is du^ inRundersi NB. Daar «te moi^.
houdt 600 vicrkanie roeden » wordt 143 vierkante roeden 0,2383 mor-
ken nagenoeg : men vermenigvuldigt dan 916,2383 morg. met o,8ia8654
ctan zal men het begeerde getal Bunders' vinden*

4» Men hegeert 916 Bunders 83 yierktsnu roede» 70 vlerkante eh
^ê» tot RijHlandfche morgen te brengen i Men moet de buadera, tot
dtt einde , met i«]74289 vermenigvuldigen*

S* Breng 6713 vierkante geographifche mijten tot y ierkante kilo-
meters of nieuwe miflenf y

6. ifrcxr^ 3176 vierkante myriameters tot vierkante geographifche
mijlen^

7. Hoe vindt men , «// de overeenkomst van de toife en den ftatt'
f eken vut met den meter ^ (zie art. 416.) dé overeenkomst tusfchen de
vierkante toife enaen vierkanten f raufchen voet met de vierkante ellef

8» Hoe vindt men , naar de opgave van art* 417 , hetzelfde voor
ét Londonfche voetmaat^

' C* Gewone Ligoknami-maten ^ daaronder begrepen de inhu^
maten ^ voor drooge en natte waren.

452. In het oude ftelfel , worden de ligcbamen gemeten
met cubieke voeten, cubieke duimen, cubieke lijnen, zie
art. 121. 'letter e. Cubieke roeden zijn minder in gebr«iik;
cubieke oude ellen bijna geheel nier. In het nieuwe flelfel,
nijn dé maat der ligchamen cubieke nieuwe ellen , cubieke pah
men^ cubieke duimen ycubieke ({repen. (23) Men heeft flecb»,
voor den cubieken meter, het bijzondere woord fiere inge*
voerd; (24) want de naam van kan, welke men aan eene cu^
bieke pakn gegeven heeft y behoort tot de iohauds-maien van nat'
te en drooge waren; ook is men overeengekomen ^ dat het woord
kan niet zou gebruikt worden^ om Ugchamelijke inhouden uit te
drukken. (25) Een cubieke el houdt 1000 cubieke palmen,
de cubieke palm looa cubieke duimen, en deze laatfte 1000
cubieke ftrepen; en hieruit volgt dan: dat de inhoud van eene
flère gelijk fiaat aan duizendmaal den inhoud van de kan^ (f
geUjk aan éér.e kiloliter. (26} V

453. Men vindt den inhoud van eenen cubus^ wanneer mem
de lengte met de breedte en dit product met de hoogte verme^
mgyuldigt: alzoo t%X een cubieke Èijnl. voec 144 maal 12,

tas) Hoe worden , in het oude ftelfel , de ligchamen gemeten ?
\%0 Wat komt in plaats van den cnbieken meter t
(25) Welk fs het eigenlek gebuik van het Vioord Uier of kan\
Ca4; Hoevealmaai houdt de ftère de lieert

C IJ F E R K ü N S T. VI HOOFD D. XXXIV. lei. 17$

of 1728 cubieke duimen inhouden, (27) Naar dien regel, zal
mien, met behulp der verhoudkigs-geiallen , welke, onder Ut^
ttr A, hier bo?en opgegeven z^ju, vinden r (a8)
De cuhieke el, of flère houdt

33»3ï7i5o<552?i3 cu^* JUfnL voeten;

44>o58379i74»9^ -^ ^'"fi"' — -—
De cubieke phlm ^ kan, of Itter, houdt

55,844036327888 cub.Rijnl. duimen.
58,041702680849 -*— Amft. I ■

Voorts houdt de cubieke meter of el 0,2244247 Jchagi aarde,
van 144 ctibieke Rijnh voeten. — En, oiögekeerd; . .

De cubieke Rdjnk voet 'houdt

30594332 203 8086 cub. palmen, pf kannené
De óèbkke Rijnl. duim houdt

17,907015068337 cub» nieuwe duimen.
De cuhieke Amfterdantfche voet houdt

2 2,697 ï 6 1 53953 1 ^^^* palmen p of kannen^
De cubieke Amft. duim houdt

17,052713403 c«^/V^tf «f/Wm'tf duhneni
Eindelijk houdt dit fchagt aarde ^ van 144 c»^^« Rsjnl
voeten , 4,45583837 cubieke ellen.

454. Men gebruikt van ^ezQ getallen wederom zooveel
cijfers, als de naauwkeurlgbeid en de aard der zaak vereifchen.
Zie tff/. 427. (29) Zie. hier yoorbeeld^y.

%. Maak $807 cuhieke Amftwrdam/che voeten tot cuhieke p»ltmn
#ƒ kannen ?

a. Hoeveel hectoliters oï nieuwe vaten waters zijn er begrepen in
eenen regenbak, welke 12 en 8 Rijnl. voeten in grondy lakte en "ix
voeten hoogte heeft f

3« IFanneer men , Utet LULOVS, aanneemt s dat de Amfitrdamfthe
pekan h'ondt 140,7245 euh. Amfi. duimen i hoèyeel nieuwe Vdien^udt
dan de fiekan ? * . ^ ^

4* Uveveel ftères houdt een halk, die i6 en 18 Jtml^erdamffhe
duimen in doorfnede en 22 Amper damfche voeten lengte'^heijif

455. De hier opgegevene getallen hebben kuiipen.^diè^eh,
om de flapers of leggers der oude inhouds^maten met^de tü(Mi«
we te ver^yken. (30) Men heeft bevondrp/dutff >.

(a7) Hoe vindt men den Inhpud van eenen cubusf

Cs8) Hoe \liidr nieri de getallen, welke dé-vergéiyklnt ^tAMitn dt

oude en nieuwe ligcfaaams • maeen uitdrukken f . . ; f

(29) Hoe moet men mee deze getaUeo te werk gam? T-n>' 1
{30) Tot welk einde bebben de boven opgegevene getalUp \w M

Intrekking der inhoadi^ioatcn kunnetf dienen?

P3

174 AI#tERE£RSTE okondek dek

f. Voor de Graan'maten :

een korenlast hoiidc .... 9*01154 nieuwe latten.
eene muftde .•.•.., 1,11255 w^«J*'^ mudden.
een s/yi •••••••• 8,34411 nieuwe fchepeh.

t^n oud fchepel ti.^}%iZ7 nieuwe fchepeh.

een vierdevat . . • . . . 6,953426 »/>iWtf koppem
een *öf ••••♦.. , 0,862175 «/^«w^ koppen.
houdende^ gelijk bekend is, één last 27 mndde, 3$ zak, loa
fchepels; een fchepel 4 vierdevat; een vierdevat 8 kop^.
Waaruit men dan , omgekeerd, vinden zal: hoeveel lasten de
lik)iiter, hoeveel mndden de hectoliter, hoeveel' zakken dedeca-
liter, boeveel liters, het vierdevat en de kop houdt? wanneer
men de éénheid door deze getallen deelt* Mes vindt name»
^k, dat:.
ÉM'derde van het niewwe hu houdt 0,2239028 last.

8,9883748 mudden.
I f ,684500a zakken.

. . ^ y, i^jt ^ \. ^ 35>953499a fckepels.
de metivt^e mudde, of, de zaJt^ houdt • 0^,89.883748 mudden.

t>i98450oo zakken»
Z95953499^ fekepels.
ï4»3.8 139967 vierdevatem.
^^ ^ II 5.051 19731 koppen.

\tt nieuwe fchepei ^ ....... 1^43^ i^vierde-yatem^

ïi>505i2 koppen.
de ii«?»«'tf it<?/> ....... • 1^150512 koppen.

SfOM vfeJke getallen men weerom zooveel (f weinig tiendeeUgew
neemt 9 als de naauwkeurigheid vordert; zullende é^zé getalléa
kunnen xiienen, om de volgende voorbeelden uit te rekenen^
u. Hoevett ntèuwe lasten zifn 217 last ti mudden f
ftv Haak i79if7^ nieuws lasten tot oudt lattenl
l. Herleidt iz\ vierdevaten tot liters of nienwe hoppe» f- '
4* En 17,58 liters tot koppen 9

5^ Op een horenzolder ^ 31 voeum lang 17 voeten hreed (RifntL

maaty lig,t ff t koren ter hoogde van fl| vooten» door elkander genei

kend^ hoeveel kiloluers of hoeveel lasten koren liggen opdie zoldert

r ^^Boeveet iask^ en hoeveel küotiters koren kan men bèrsen /»

'msth^ki Ma 9^jtm^voeUn, tang »r'neténhreed^enj^\yf>etenhwg irt-

45d, Be^ve deze opgave voor de Koren-maat^ heeft mea

nR>g de volgende,, door proeven, bepaald;

* ai. Voor de Fruit-maat^ houdt de fruitten *,43309 muddèm

iet vierdevatt 7f 15615 koppen^ en* de kop 0,89452 nieuwe koppen.,

è. Yooi de^ Zëüt-^moatr het vat zout /,87x>9 nieuwe nmddm

lMt muu-adkt of M^pei 4kAlZl nieuwe fcAtpeiu

CIJFERKÜNST. VI HOOFDD.XXXIV. les. 175

r. Voor de Haring WMat^ een laa van 14 fekeéps-toéuem
boude iy<^4i kiloUters; een lasc vtn 13 verpakti fchetps-tam^
ff^ l»4533 kihUters; een harington ^1^2101 hectoliters.

d. Voor de Zeep^ma^t houdt een zeepton 1^116 mudden en
een zeepmengtl i^a koppen.

e. Bene /^(^i/ Steenkolen boude 0,3908 i^x/^«
ĥ Bene /01S1 Houtskolen houdt 17,371 zakken^

f. £ene Turfton houdt 2,9701 zakken.
. Voor dé Ai?i*. en Cement-maat^ houdt ééne Aart/ 9,70*7
zakken; eene /^ 1,2136 zakken; cqu kinnetje I9517 /ikepercÉ
een *ö^ 1,01 i niV^if^f koppen.

I*. £n voor de Bikfieen maat houdt een kinnetje 7,963 nrVimv
/(0/>^#» en eene iè^;^ 9,966 maatjes.

Uit welke geuUen^ verfcheide andere yerhoudicgeii kuone»
gevonden worden.

457* Voor de ^«- en OHe^maten zijn, door proeven, de
volgende verhoudingen gevonden.

a.Toor dé fpijn^' en OUe^^naat:
Een vj/ van y/^r oxkoofden houdt . . 9,313a «/«w^ vif/fic

Een oxhoofd van zes ankers . . 2,3383 «^

Een aam van vier ankers Franfche w^a — • 1,552 — ^ — — _.^

Een aam zaad-oUe van 130 mengel» 1,455 — -- — — —

Eene pijp olijf - oHe van 717 mengel. — 8,696 — — _

Een vat van 12 fiekan traan ■ • • 2 3383 — — — — —

Een anker van twee Jiekan — — ' , . 0,38805 —■ -^ ,»in

Eene yfe^^ ^^ 0,19403

Eene fioop •••...• 2,43507 ^^a^nr..

Een mengel 1,3125

Eene pita — — ..♦.*.* .6,0625 maa^jeu

b. Voor de JBrandewijn-maat:

Een AM» v^m 30 viertels houdt 2,2362 r^?/^.

Een 4;aw Rijn* of MoezeMjn van 20 viertels. 1,4840 — —

Eene fiekan VZQ 2I viertels •••••• 1,8553 ^

Bene r/rr^/ van o mengels . • • • • » 7s42o6 kamaté

Een mengei •••••••••.• 192368 -

r. Voor de Bier^maat:

Eene /m van i9c^ fiekan houdt • . » » • ^9555^ i^j/ni.

Eene Jiekan of Dordfcie kit •••••• o»i5>44 ■

Bene Dordfeke fioop • . • 2,0464 kannen^

Een mengei ... ••••»••• 1,215 -^

£eoe|i^«/ »•.•••••••.. ó^o^s maatjiu

176 ALLEREERSTE crondendue enz.

J. Voor tte Melk»maat,

Een vat van i6 mengelen houdt . • . . . 0,25)04 v^/f«."

Een mengel . . . ; 1,815 f^ofinen.

Eene p/ii/ . .' . • 9,075 maatjes.

Men zal, uit deze verhoudings-gecallen, gemakkelijk de om-
fekeerde, beneyens vele anderen, vinden kunnen,

D# Fergelijking der oude Gewigten met de nieuwe.

458. Het is, volgens zeer naauwkeuiige proeven, bewe»
zen, dat hec nieuwe pond, gelijk Is aan

2,023921 Amft. ponden waagwigt.
en 1,0159135 matk Hellandseh trpoisch.

Waaruit dari, omgekeerd, volgt:
. l®. Dat het Amfierdamfche pond ^magsfitgt Aw/iSr 494,09043 17
Wfgif'es of grammes*

QP. En het mark Hollandsch trogUeh i\6yO%^%6 wigtjes. Zie
de verdeeling van. het Amfterdamfchepond waagwigt en het
mark Hollandsch trboiscb, op Biadz. 38. o\ïéQt Letter f (31)
"Naar deze getallen, zal men de volgende herleidingen kunnen
maken. •

X. Herleid 317 pond 9 óncen Amflerdamsch tot mew^e ponden^

t. Herleid 713 kilogrammes- tot Amfi. ponden,

5. Herleid x 17 mati 7 onc^ 17 engels 19^ azen Hoth trooissh tot
■fthtiwe ponden* . ~-

. 4^H£tUid^^ oneen $ drachmen i fcrupfl en 1^ grein ^tot nieuwe
ponden^

5. Brenff 7,83796 nieuwe pOnden tnt mafkert Hottandsch trooiseh en
onderyerdeetingen* * « . . -

6. Hoeveel gewigt aan, zuiver gedistilleerd water zdl er in een*
hak gaan^ die ^^ 4 en s Jmfierd* yoeten lang ^ breed en luiog is 7
dit uit te drukken in kilogrammes , Amfi. ponden en Holt. trooïschj

(3O Welke Is de "betrekking tosfcben het HoUmdfche gëwiat en de
' kllogramtbe, of het oieuwe UtdL pond? 5 •

ÏIIfOB VAN HEt EERSTE DEEL. ^

Digitized by C^üOOg iC

ALLEREERSTE GRONDEN

D E tt

C IJ F E R K U N S T.

igitizedby Google

igitizedby Google

ALLEREERSTE GRONDEN

B £ B

C IJ F E R K U N S T,

T fr E E D E D E E L;

BEVATTENDE ÜE VERKLARING VAN HET TIENTAL^IGE

STEUEL VAN TELLEN 9 HET BETOOG DER VIER

GRONDREGELS 9 DE BEHANDELING DER GEWONE

EN TIENDEELIGE BREUKEN;

en bijzondedijk^

DE OPGAVE^ EN DE VERKLARING VAN ,HET NIEUW
INGEVOERDE STELSEL VAN Jtf ATEN EN GEWIGTEN ;

ALLES lOEGEPAST OP VOORBEELDEN , GENOMEN UIT HET

lUGELlJKSCHE LEVEN, DEN KOOPHANDEL , DB KUNSTEN EN

WETENSCHAPPEN j EN OPZETTEUJK INOSRIGT NAAR DE

BEHOEFTE VAN DEN TEOENWOORDIGÈN TIJD;

OPGESTELD, TEN GEBRUIKE DER SCHOLEN EN KOLLSGJEN,

DOOR

JACOBde GELDER,

MiAth. Mag, et PhiL Nau Do€tor^ Hoogleersar, in de

^ ff^is * en ' Nafuutkundige Faculuit^ aan *s Rijks Hooge

School^ u leijdbn; Lid Consultant van ket Ba*

taafscke Genootschap der Proefondervindelijke

Wijsbegeerte ^ t€ Rotterdam.'

DERDE DRUK.

CHRUVER rELVEKAA
BESCHAAFD EK VEl^^ËaB.

BOOB DEN SCHRUVER rELVEKAANMERKELIjK

ERl^ËB

Tt ^sQratênhage en Amsterdam f
E IJ DE GEBROEDERS VAN C L E E F.

i. o nigitizedbyCjOOQlC

^ , 1 O 2 5»

.^

r:

.v-.^

igitizedby Google

y OORREDE.

%hfllye ie opmerkelijke en ielangrijie verhefenngen, mar-
deor dit tweede deel van de AUereerfte Gronden der Qjferkunst
hoven de twee voorgaande drukken uitfteekt; vooral^ ten aanzien
van de onderfcheidene hoofdzaken der Evenredigheden^ ah inzon-
derheid ^ wat dt Leer der Lo^ritkmen betreft; zoo heb iker^ .
op het verlangen vm fimmige kun^e QndetyHjzers^ drie bij-
lagen achter gevoegd r de eerfte betrekkelijk dè zoogenaamde^^^-
kenkunHige en Hannonlfche Kvenredighcden , ^n ^de tweede
oyer het formeren van den betrekkingswijzer van twee geiyk-
flacbtige grootheden, en het gebruik van dien wijzer^ étnl uit
denzeïven, de betrekking dezer grootheden té vmdenf atf niê.
de, om, in de plaats van eene onverkleinbare breuk ^ ééne In
klein^e getallen te vinden, welke, zoo na mogeHjk, derzel-
ver waarde voorfielt. En^ eindelijk ^ in de derde ^ een kort
overzigt over de verfchillende fielfels van tellen.

Hoe ik <^e¥ de nutteloosheid der zoogenaamde^ekenkunjiige
Evenredigheid denk ^ kan men in den tekst zelve vinden: zij be*
hoort tot die ontelbare menigte' yan overeenfiemmingen ^ tusfchen
getallen ,en getallen, welke^ indien men aan effée van dezelve
eene bijzondere benaming zou willen toeëigenen^ het aantal na*
men niet zou te vinden zijn , en niemand dezelve zou kunnen pnt*
Jwiden: bovendien is reden of betrekking /kehts een eenvoudig
beprip^ dat in geene foorten deelbaar is; en^ zoo men nu aan de
Evenredigheden onderfcheidene benamingen geeft ^ zijn deze nog*
ians van den bijzonderen vorm der termen afkomftig^ en geenzins
in eene wijziging van het grondbegrip zelve gelegen : akoo is de
iarmonifehi evenredigheid f welke ^ in óndetfeheidene meethmftige

•3

Yi ~ Voorrede.

befchmwingen ^ vim gr^pt 4Uit «, une hiJTfmdffri betrekking van
drie grootheden i welke op eène eigenlijke' gezegde evenredigheid
nederkomt»

De tweede bijlage is van grwter -gfwiff^; daar het onderwerp ,
in dezelve behandeld^ eene omftaodige ontleding is van bet a!-
gemeene begrip van Reden of Verhouding, f» dus als het hoofd'
principe eener flrikte Meetkunst moet worden aangemerkt; om
niet te fpreken vOn het nutïige gebruik ^ *dat men vali hetzelve ,
ifi de hoogere deeten der algemeene Rekenkunst^ maken katt.
Men had eene eenigzins uitvoeriger' verklaring ^ dan ik elders
gegeven heb, verlangd: aan dit verlangen meene ik hU ^ teti
vofk % voldaan ^ en de Ónderwijzers in fiaai gefield te hébben^ om
de opgegevene voorbeelden met anderen te vermeerieren.

J/iC&B DE GELDEJt
t V0» Iinum0tm4

#

, ' , Digitized b^ CjOOÖ IC

u

I. Jï . H Ó ü Ö

_^ . v\a N H e T
.V T W^E E.'d.E> de e L.

•^ Aanidding m fmgen kunfigheden.

VII HOOFDDEEL. Over de Evenreaifehi^deD , /« /w

algemeen» • • • Ji^i/s. i.

XXXV Les. Inleiding tot de Leer der EvenrecUgheden ,

béyatiendé d& i'irÊiarini^^^étn'eetiègè siMitf.;^ ;:
'^ ' Woorden én mkenr. v W^V^ . . i^Vi

XXXVI Les* X)ver' de Meetkünftige^'t^èeiéns en Evenre-
digheden, in het algemeen. • • 13.

XXX Vli Les. Over de Evéiiredi^id ^ySetalIen, der*
zelvér algèmeenè^ ^igèrtfèhafpen ; en biJTum-
ierüjk over de gewone <rf regte Exen.

'• nigitized by CjOOQIC

TUf INHOUD

%

U Hocfdtigifjfeh/ft* • • Bkdz. 26^

U. Over het vertlaatfin van de Urmen
éèner Êiknredigheiéf* '^ .i . ap.

III. Evenredigheden^ welke ^ uit eene gefieU
' ' 'de Évenrèdig'Heli ^' door vermen^uidU

ging <f deeling van fommige van der-
— zétver termen , künnèm mrden afge- .
^ kid* • ; • • ' . 30.

IV. Evenredigheden^ welke uit de fommen of
verfehiUen van fommige termen eener
evenredigheid ontftaan^ . • 31.

V. Evenredif^den , w^ike i uit twee of
, ,; ,,^ ^^^^ Evenredigheden , kunnen worden

afgeleid. . . • . •33.

XXXVtil L^ ïASwfwfttf t9^^8 y^ ^ verkldardt eigen
. fdtappeti der Eveure^hedfn ; kehehen-
de de verklaring van drh reosl van

XXXIX Lfis. Wetyolg van den Regel van Drieën ^ èe*
/ ftamde in de hefchouwing van aUe zijne
5 .^ m^imdere gevallen. ♦ . . ^Sr

-■ ' '■ • ';-- -I- 3 .:./..>•. .

. L Hr^tf/ v/tn Dri^i^tt '^eheele Getal*

len» _• • • « ^ • y • fïw/»

Digitized by LjOOQIC

ITAN HET i^ÉEDfi DfeEt-. «

• ^ talïeli.* . • . . fiA»^«* 54»

XL Lw. ^9^¥a^- der vowr^êériuk • i^n PTidtre Bft» /.
. fch(mwin§ vaneden R/sgeLvan £hrieën. . 58,

f» derzelver gebruik y in de. woogenaamdt
Gezelfchaps-Rekenipg. • • • 64.

ÏX.II Us. Ow 4e omgekea4e. Evöyedigbeden , en

den omgekeerden kegel vao Drie£a« • • 69.

• . \ X "> ''t .\- '!•'.'■'•• ^ ' . .]

XLin LES.\Oyer de ^junengefteMe Eveywedijfheden. . 75.

XLIV Ijlt». 7!M#i{f»v *»" Mommfiifiad^ fym^d^*»^^ 84-

^^^ ■ ■ , .

ttd^tf^m^ dmelf^ iff^sfing; en^ in^
zottderheid ever dè» zoogemamden ket^

VIII HOOFDDEEL. Vètaert toepaiffiiif v«i^.b« toöiw
d gaande. • • • • 115*

■ • ,, - ' \. <.....:•-! ^ / (1 :-■ • .:

XLVI Les. Omw' * terceot-Dlekenuig. t . ' ihld.

XLVII Les. Ot^^ *?/ berekenen »an Winst ^ Verlies

giLdby Google

in den Handel. . . n^^.. C^oooïp^^^-

XLVn^Lsi« Omr.ii^^ htrekenm 4^45» de xftidtfetbare

foar^e^ der vermengde kaofmarfn. Biadz. 128.

XLIX Les. Over het Ocb^e van het CUmd ;m ZüV

.-. irer» - .".■•. .•A..*^M. ;. \. \ 131,

, ken* '• •, ''*v\' •;:•.::■•'• ■^ ■ . I40t

HOOFDDEEL. Oi'^r h«t trekken der Qaadrtats. en

' Cutrös-Worcóieh. ' 'v ' i^ j.^- - 147.

IX

LI LEfr Op;fr A^/ trekken van den Quadraacs*

•worcei.\' ^. ■ '» -- .^ ''u'- ^^..:': i y^iüd»

LU LiH. O^er Aet trekken ^n éeu Xlutm^vmnéi. /- t^.

X HOOFDDEELé OférétKikm^wmei^i^i^^l^

fc»r« * Logari^haéBgr : *: • 167.

' LUI Lm. Orer i<? Rekfokuuftii» Reekfen; ♦ /foV.

UV Le«* Ow ^ -MeeApnWfjï l^eekfeii. ^ ij^|.

LV Ljw. Otfr i^ Logiritbmèn en der^zelver eigen* \
fchapptn^ . , • 179.

■ o 1 . ,:

LVI LEf. Verklaring van de inrigting der Logirich-

' ^ men-taftlèD. . * * .> J . . :i«4.

nigitizedby Google

•A^^VAUitftf^fvnïDEÜEEL. -

XI

Oï-er Ji^ Lo^iehmen liW- gebruikelijk*
• breuken. • . • • Biadz. 187,

tVn t-ES. etffbWigè^ yerkhrtng ^an het Gebniik der

^Lt^gÜtHhnren. ' ; '^ • . . ipo»

A. Bekoiiing 3^ Fènhenigvuldiging.^ ; ipi. ^

. B. Bekorting der Dee&ng. • . 192»

C; Oi^ èet^ jÊOógenaan^ Arldittetifth^

Complement -r . . . wf/^^

D. Over.itii xindtn 94n het prpdifei
van etnige getaUeH » gedeeld dèor het
froduet ran twee (f meer andere gê»
tallen p • . . •. . 1J5.

E. M^gts^ferhef^g éhtr Legaritimen. 19&

F* f^rteUrekking doór Logarithmm. • 197.

G. Cehrulk der Logarithmen ^fn het he*
roekenen van de waarde van meer m-
mengefteide fermuJen* , . «03.

H« Logarithmifehe Fermukn^ em de êtf
de Maten en Gewigten in de nieme^
en wederktrig^ over te brengeim . S07*

Digitized by CjOOQ IC

xu INHOUD vAi* MtT» TWEEDE DEEL.

h Regel van- Drieëü door Logaritk-
fnen* • . • . , BUidz* aio»

1 Kf Qebrtdk d^ LfigmtUhmen^ in hit ke-
. rtkenm ¥an.Mi$€rj^$$ ^ Interen. . au.

EERSTE BIJLAGE. Iet% e^er de Rekeokaofiige
en Harmonifche EvaareiQgbedeiiU •. . ^ • • • si3«

TWEEDE. BijLAGfi. SiJvioeer^)op het verhan.
. dèlde van art» 494 -"^ art^ 503. ,^ . • . 315.

DERDfC Bi|LAGE.t mtarim Ben denkbeeld van èh
deH we^ijU fielfeb ym uUenWrA gegeven. « • 225.

^

Digi

liizedby Google

ALLEREERSTE GRONDEN

DER

C IJ F E R K Ü N S T,

T W E E D E DEEL.

Aanleiding tot hosgere- Kundigheden.

'VIL HOOFDDEEL. Over de Evenredigheden, in het

algemeen. - ^

XXXV. LES. Inleiding tot de Leer der Evenredigheden^

bevattende dé verklaring van jenige zaken ^ woorden en

teekensm

450. J-*/e vier gropdbewerldngen der Cijferkimst worden,
gelijk reeds, uit het eerfie Deel^ geblelcen is, door bijzondere
teekens uitgedrukt.

\^. Optellen^ tot ^én geheel vereenigen ^ wordt door bet
teeken + uitgedrukt, (i) Aldus zegt 3 + 4 4. 5 de fom der
getallen 3 , 4 en 5*

a°. /Iftrekken , verminderen met , wordt uitgedrukt door
het teeken — (2). Aldus wwdt 17— 12 gelezen: 17 met ia
verminderd, of 12 van 17 afgetroki^en.

3^ Fermenigvukkgen worde uitgedrukt door bet teeken X fs).
Aldus wordt 3X5 gelezen: het getal drie vijfmaal gemmen y
of drie vermenigvuldigd met vijf.

4°. Om uit te drukken, dat een getal door een ander g«*3
deeld wordt, fchrijft men (even- als in een gebroken,) het
deeltal boven en den deeler onder. C4) Aldus beteekVnc-
^i f het getal 27 gedeeld door 3 ; het getal 27 gemeten doet-
3; 'een derde gedeelte van 27; of ook wel, wanneer nren

Cl) Welk is het reeken van de optelling ?

(1) Welk Is het leeken van de aftrekking?

f al Welk is het teeken van de vcrmetiicvuldiging? rr^r^r^\r>

U) Hoc wordt «ene dee|in« «itgCifruktT ^gtizedby woogie

IL oskL. A

2 ALLEREERSTE ORaNOEN der

het als een gebroken befchouwt, zeven-en^twintig derde •dee^
len. (s) Ook drakt men eene deeling uit , door eerst het deel-
tal en daarna den deeler te fchrijven; tusfcben beiden twee
punten (:) (lellende. (6) Aldu» is 27:3 hetzelfde als ^
enz. (7) «^^^

45i. Aanmerking, t OetaÜen kunnen^ door middel dezer
teekens, op oneindig vele wijzen^ met andere getallen vf orden
zamengefleld (8); als, bij voorbeeld:

wordt gelezen: defom der getallen
7» 13 en II, verminderd mee 17*
worde gelezen i*hei product der ge-
tallen 3 en 6 opf^eteld met 9 , ea
deze fom verminderd met het pro«
duet der gctalien 2 en $•

wordt gelezen : liet product der ge»
tallen 3 , 5 , 6 en 7, verminderd met
bet product der getallen 7 en 9.

^3X6+9—3X2

03X5X6X7 — 7X9.
9

13 + 11+7--11 , 18
Z ^ + "TT

wordt gelezen: de fom van twee quo-
tiënten, waarvan het eetfte beftaac
uit de fom der getallen 13 , 11 en 7
verminderd met 11 , dit verfchil ge»
deeld door 5 , en' het tweede bc^
qaotienc van 18 , gedeeld 4oor 9.

461^ • Ziilke zamenftellingen van getallen en teekens noemt
men zamengefielde uitdrukkingen. (9) t Zulke zjimengeftelde
uitdrukkingen ftellen altijd een geheel, of gebroken getal voor:
zij hebben daarom altijd eene zekere waarde^ die^ zoowel van de
zaHtenftelknde getallen ^ ah van de wijze van zamen(iellen\ afhan^
gen. (10) Men vindt deze waarde y dpor de getaUen^ welke j in
deze uitdrukking^ voorkomen^ naar aanwijzing van de ieekenr^
waarmede zij aan elkander verbonden zijn^ op te tellen^ af te
trekken^ te vermenigvuldigen of te deelen. (Ji)

OPHKLDBRiNG. In het voorbeeld a^ zeg ik < 7 en 13 maaict flo;
10 en II maakt 31 ; 31 min 17 geeft X4. Het geial 14 is derhalve de
waarde van de uitdrukking in «•

Cs) Geef een voorbeeld ?

(63 Wordt de dopeling ook nog anders uitgedrukt?

(7) Geef een voorbeeld t

#8; Kan men deze teekens ook zamenftel len * Geef fatervan voorbeelden f

(9) Wat naam geeft men aan de xamenfteUfngen van zulke getaUoi
en teekens f ^

(10) Wat merkt cnea« iii zulke zamengeftelde uitdrukkingen, op f
Cii) Hoe vindt men de waarde van zoik eene uitdrukkiogl

C IJ F E R K U N S T. VII HOOFDD. XXXV. Lts. i

In bet voorbeeld h, zeg ik: ft ^^'^ ^ ^^ i8» x^ ^^ 9 ?^^^ ^ •
s/, veroiinderd met 3 maal 2 , of o , blQft 2i« Het getal 21 is dan de
waarde van de uitdrukking in b,

In het voorbeeld <r, zeg ik; 3 maal 5 is 15; 15 maal <$ is 90; 93
maal 7 is 630; 630 verminderd met 7 maal 9 of 63 bl^ft 567* Hec
getal 567 is dan de waarde van de uitdrukking in c*

In hec voorbeeld d^ zeg ik: 13 en 11 maakt 24; 24 en 7 maakc
31; 31 min II biyft 20; 10 gedeeld door 5, komt 4 voor hec quo«
tient ; bg dit quotiënt 4 moet het quotiënt van 18 , gedeeld door 9 ,
opgeteld worden; dit quotiënt is ai derhalve is 4 opgeteld met 2 ;
dat is 6, de vinarde van de uitdrukking in </•

453. * Zulke Bewerkingen of uitrekeningen noemt men de uit*
drukking tot har^waarde te brengen, f Door zulk eene bereke*
Ding (die door de gewone regels der Telkunst volbragt wordt ,)
worde elke üelkundige uitdrukking altijd tot één enkel getal ,
eo gevolgelijk tot de eenvoudigfte gedaante gebragt. (12)

464. * Om uit te drukken; dat twee dingen even groot
zijn t of dat twee uitdrukkingen dezelfde waarde hebben^ ge-
bruikt men het teekeu =, dat gelezen wordt: ge/ijk ^e^ zoo
veel waard ah. (13) Aldus worde 2ï Francs =:-io Guldens
gelezen: 21 Francs zijn zooveel waard als 10 Guldens: en wan-
neer men gefchreven vindt, 7 + 3 +16 — 2=4X6,
wil zulks zeggen: dat de fom der getallen 7, 3 ^w 16, met a
verminderd j zooveel waard isy als het prdduct der getallen 4
en 6. (14)

465. * Uitdrukkingen of grootheden^ welke ^ door het teeken,
= , dan elkander verbonden zijn ^ noemt men eene vergelijk
king. (15) Aldus is 7 + 3+16 — 2=4X6 eene vergeiy-
king. (16^ ♦ De uitdrukkingen, welke, in eene vergelijking^
door het teeken = aan elkander verbonden zijn, noemt meo
de leden dezer vergelijking* • Wat voor het teeken = (laat,
het voorfie Ud; en, wat achter hetzelve Haat, het achterfle
iid. (16) * Alle enkele geeallen , producten of breuken, welke,
in ééne dezer ledeq, door de teekens + of — , aan elkander
verbonden zijn, noemt men de termen van dit lid. (17)

466. Aanmerking, f Eene gefielde vergelijking is waar, ttf^

C12) Wat doet men eigenlgk , wanneer men 2ulk eene uitdrukking ^oc

bare waarde brengt?
Cl 3) Door welk, teeken worde de geljf kbeid viti twee dingen uicpedrukt f

(14) Geef een voorbeeld van bet gebruik van hec teeken gelakt

(15) Wat verft/iat men door eene vergeïöking?

(16) Wat verflaac men door de leden eener vergeigkingf ïÓQle

(17; Wat verftaac meo door de termen vandc leden eener ycxgelSlLin^ ?

A L L E R £ E RS miyu OND t N der

dien de waarde van elk van haf^leden hetzelfde getal geefL
Zij is vahch , wanneer zulks geen plaats heeft ( i S}, Aldus iT
3X4+7 = 3X6 + 1 eene ware; maar3X5 + i=£o — 3X3
ceiie Ifalfche of onware vergelijJriDg. (19) ^

467. De vergelijkingen hebben zeer veel fraaije en merk^
waardige eigenfchappen ; waaronder de volgende de voornaam- •

'üe Eijo.

468. f. "Eigenschap, f Tvknneer men elk van de leden
eener vergelijking met hetzelfde getal vermeerdert óf vermindert i
dan verkrijgt men altijd ecne nieuwe vergeUjkipg. (20)

Bij voorbeelJ , wanneer men b|| beide leden der vcraelyking

7+18-3—1=4X5+1
optelt het getal 17; dan zal

7+18 — 3 — « + 17=4X5+1 + 17
eene ni uwe vergelijking zjn ; en , wanneer men van elk lid aftrekt het
getal 8 i dan zal

7+58 — 3-1—8=4X5 + 1 — 8

insgdijks eene nreuwe Vergelping zgo. Csi)

' De reden hiervan is klaar; want men doet hier niet anders, dan
tw^e gelijke grootheden of getallen met hetzelfde getal of aexstfife
gTkoiheid te vermeerderen of te vertnindereB ; de lommen of ver»
Iciiüien moeten dus klaarbiykeljjk gclyk z|}ii« (92)

JI. Eigenschap, f fVanneer men de overeenkomjlige leden
van twee of meer vergelijkingen bij elkander optelt^ of van
elkander aftrekt; dan worden de fommen of verfchillen de Ie*
din eener nieuwe vergelijking. (23)
. Men llclle onder elkander de vergelijkingen:

7X3 + 5—9 = 3X4+5
• 7+3 = aoX§

^•fndten men dan de leden dezer vergelijkingen bU elkander optelt of
' van elkander aftrekt ; dan zal men de vergelijkingen ^

7X3 + 5— 9 + 7 + 3 = 3X4+ 5 + toXi

7X3 + 5 — 9—7—3 = 3X4+5-20X1

verkiijf^en; waarvan de waarheid, uit het^ voorgaande, blijkbaar i«. faO

tiS) Wanneer is cerie vercelijking waar?

(19) Wamieer is zij valscn?

(ao; Weïke is de eerfte efgenfchap der vergelijkingen f •*'

Cfti) Helder deze door voorbeelden op?

(sa) Op welke gronden (leunt deze eerfte eigenfcbapf .

(aO Welke is de tweede eigenfchapt JOgle

iaO Verklaar dcldve door voorbeelden I

'è'l.El.

C tj F E R K ÜN S T. VII HOOFDD. XXXV

-^^o. IIÏ, ^Eigenschap» f ^^neer men heide leden eener
vergelijking met hetzelfde getal vermenigvuldigt of door hetzelfde
getal deelt; dan worden de producten of quotiënten de termen
tener nieuwe vergeHjkingm (25)
Stellen wQ de vergelQking

/ 18 + 6—9=8 + 7

vermenigvüMigcn wQ nu al de «ermeo dezer vergelJjkiDg mee s^\ das
zal men vinden s

36+12 — 18 = 16+14

oT deelen wjj derzelver termen door 3; dan zal men verkregen 1

<^ + 2 — 3 = 2f + 2j ^

welke eene nieuwe vergelffking is. (26)

Men mcrke wel op : dat ^ bij' de vermenigvuldiging of deeling ^ al de
termen van elk lid met den aangenomen faeter vermenigvuldigd of
mei den aangenomen factor moeten gedeeld voorden ,• en dat voorts
de producten en quotiënten , door de teekens -f- en — , op dezelfde
^ wijze ^ als in de oorfpronkelijke vergelijking ^ met elkander moeten
yereenigd worden, Q27) ^

De reden nu van deze elgenfchap is k&ar; want de leien eener ver-
gelflking 2|jn gelpe grootheden, welke Hechts onder verfchiUende «e-
daanten zöo voorgefteldi en nu z*^n de gelöknamige veelvouden en de^
gelijknamige evenmatige deelca van gdyke grooibeder alttfd gelgk. USjV

47.1 • IV. Eigenschap, f Wanneer men de overeenkomstige
leÉen van twee of meer vergelijkingen met elkander vermenig-
vuldigt of door elkander deelt; dan worden de producten of
quotiënten de kden eener nieuwe vergelijking^ (29}
* Zulks is, uu de voorgaande eigenfchap, W|jkbaar«
472. V. ÈiGïNSCHAP f Elke^ term^ m't eenig Hd eener ver^
^tgeUjking^ kan in het andere lid van dezelv&worden overgebragt .
%4Üfor het teeken van dien term om te keeren. (^o)
^ Wanneer, by voorbeeld ^ gegeven is de vergél(king
'MB+6 — 9=8 + 7
4il zal lüen Ihogen fchrgven s

lap?

^voorbeelden op f ^

Uoeptsfiug van die elgenfchijp ,

onder

pr.. ^««..iv^sze eigenfchap?

wae eigenfchap der vergel^kingeo I ^OQie

«'''Ie eigenfchap der vergel y kingen f "^

Aa

< ALLEREERSTE gronden der

,8 + 6=8 + 7+<>
18 = 8 + 7 — 6 + p C31).- • -.
De waarheid hlervnn is, uit de eerfte eigenfchal^, bipbaar. (32^
473. VL Eigenschap, f Elk getale dat ^ ah een enkelen term^
tf als een zamsnfiellend deel van eenigen term^in eene vergelijking
y oor komt ^ is van al de zamenftellende getallen^ uit welke die
vergelijking is T^amengefteld^ afhankelijk , en kan , door eene wetii^,
^e redenering f met behulp der voorgaande eigenfc happen ^ in het
voorfie Ud w^den overgebragt^ waardoor dan eene nieuwe , ver»
gelijking te voorfchijn komt ^ die aanwijst: hoe dit getal van ai
de overige zamenfteHende getallen der vergelijking afhangt^
Opheldbrino. Uit de. vergeltfkitig

ax + H ziz aa '^ hx
volgt, naar de V BigCBfchap,

ax 4- tx zzz ae -• H
voor d«ze Ij^an mtn nu rclirqven:

Ctf + &) * = C« — *) ff
ea wanneer men deze laatile door a'^ b deelt;

vit welke Iaat(te blQkt, hoe jp van al de andere getallen #» I en r

afhangt.

474 I. Aanmerking, Men t-edeneert dikwijls over bekende
en onbekende getallen^ zander dat meuy in dit redeneren^ met
dè eigenlijke- waarde dezer getallen te doen heeft^ (33) * In dit
geval, is het BUttig.'dat njen de bekende getallen, door a^by
e^ dn enz ^ de «erfte letters, en de onbekende, door de laat-
fte letters van bet alphabeth^ nitdnukke; (34^ en dan worden\^
deze bekende en onbekende getallen , door de teekens vanf
optelling ^ aftrekking y vermenigvii^ldiging en dee^ng aan elkand^.
verbonden. ♦ Men verkrijgt dan uitdrukkingen on vergelijldi* '
gen , die d^n naam van Jlelkundige uitdrukkingen en vergelijkiL
gen dragen. (35) Dit alles zal, dopr volgjende voorbeeldei
klaarder en- verftaanbarer worden^ ' ^^ r

A

L

(3i> Geef een vooïbeeld f f

C32J Op welke gronden iUunt deje ergenOcBap f /

il3) Op welk een« wijze redeneert men fomiljds ever de getaM«> • .
\84) Op welk eene wjze drukt men de getallen uk^ wann»ct ae/ri

derzelver waarde niet Ut f "^

(|5) Welken nt am geeft men aas de oftdruk kingen , in welke ^ f ei

len » 0^ eeor alfteoicena w|«e^ zUu voof^efteidl

C IJF ER KUNST. VII HOOFDD. XXXV. LES. 7

''- Kadsus ophblob&ino. Wanneer metr twee getallen deokc; dan
kan men zicb hcc pruducc dezer twee gccalleu voordellen, en zs^gtm
het product dezer \etallett ^ door een yan dezelve gedeeld zijnde ^
zoo geelt het quotiënt het andere getal i ^lijk zulks uic de gronden
bekend is. Doch d|ta kan üic alles , zonder z oveel woorden te ge«
bnüken, korter, in teekens uitdrukken. Men noeme de twee gedachie
getallcu tf en ^; bun product pi dan wordt hetgeen» pS^ even, ia
woorden» gezegd was, in teekens, aldus voorgefteld:

P P

^^ b a

en zulks heet : hetgeen men denkt , '^ed^neert of hefluit , iu felhuu*
dige teekens , te fchrijyen of uit te drukken, (36;

475. IL Aanmerkusg* Op zulk eene wijze ^ kan alles ^ wat
men zich yoorfielt en denkt , alk gevolgen , die men , uit eene
gefielde betrekking^ tusfchen getallen en getallen afleidt ^ in mtl*
ke korte en alles omvattende teekens ^ worden uitgedrukt,

Alzoo zal de uitdrukking

a ^^ aXn _^ a:n
b bXn bm .. . . .

seggen : de waarde van eeu gebroken yeraodert nief\ wanneer men
deszelfs teller en noemer met hetzelfde getal Ycrmenigyuldigt </
deelt, — I>«. uitdrukking

> ^ d "^ bXd
tvA zeggen i het ^gfmct van twee gebrokens is gelijk aan lm produH
yam derzelyer tellers , gedeeld door derzelyer noemere ^ en

k * d b e

^Tzeggen : het quotiënt van twee breuken wordt gevonden ^ wanmeer mem
het deeltal met het omgekeerde yan den deeler yermenigyuldigt%{^%f}

476. III. AANMEaKiNG. IP^anneer men zich aan de bete'e*
itenis en het gebruik van zulke teekens gewend heeft; dan kan
^nen gemakkelijk de regels ontdekken , waardoor men alle onbe»

')ende getallen vinden kan, (38}

Nadbrb OPHBLDBR.iifo* Btl vooTbeeld s Ik denk een zeker getal i
anneer ik dit getal mei eenig getal t vermenigvuldig , y er krijg

fó) Geef een voorbeaM van die wgze van uitdrukken t

' 7) Geef nog meer voorbeelden Y

v\relk voordad ani lioc geven , indien men i^ich met deaaceekeoi
f^emeenzaam maakt!

A4

t ALLEREERSTE gronden dei

ik eeniff getal b ; wetk is nu de regel , om dit gedachte geui tt
% inden i ik iUl die gcttacbu getal gelijk aan jr; dan is

aXx:rzb; gerolgelijk a:=-j^

Ik moet derhalve miJn product deelen door den Vermenigvuldiger ,
bm hec gedachte getal te vinden. Ik zou die nu ook wei , zonder
ÓQZ^ leekcns, door redenering, hebben kunnen vinden; maar, wan-
neer de bekende eh onbekende getallen, op eene meer ramengeftelde
wöze , van elkander afhangen , zou het onbekende getal , zonder deze
onderlinge en dikw^ls zeer zaq^engeflelde afhankelijkheid, door zolke
zigibare en juUce teckens uic Mdrakken, door de redenering alleen,
zoo gemakkelijk niet gevonden worden ; omdat onze voorilellingskracht
te zwak is, om, zonder de hulp van zulke zigtbare teekens, den za«
menhang der redenering, w^ke lot het onbekende brengen moet,
met een* vasten tred, te kunnen volgen. Bö voorbeeld, wanneer
oen zich voordel t; een zeker getal a, in twee deelen ^ zoodanig te
yerdeelen : dat de helft van het groottte deer gelijk zij aan tweem
maal het. kleinfie deel f dan zal men, door redenering, zoo gemak*
kelijk niet vinden, hoe de deelen van dit getal, doorberekening,
gevonden worden; maar gebruikt m^n de boven verklaarde teekens;
dan zal dit zeer gemakkel^k gaan. ^en ftclle het groocfte deel
:z= xi dan is het kieiiifte deel z=: ü — • x; en ou moet .g^

«Jn. Vermenigvuldigt men de leden dezer vergeliiking met twee ; dMi
verkrijgt men; o » i». . ^ » •«

•a , ttlt deze volgt dan, volgens de V eigenfchap : *

•41 eindeijk , beide leden dezer laatfte vergeljking door vjf deelende t ]
x'zn^a het grootfte I

e« nu ziet m^ni Jat ^ om de yraag op te lorfen^ het grootfie deeB^^
ran het ge^eyene getal gelijk aan vier-vüfde yan hetzelve i en hit
hieinfe gelijk aan één^vtjfde yan hetzelve moet genomen worden. (39J ,

^7r * A^ ^fi^t^ om over de getallen en derzelver oneindiX
%^k zamenftelHfigen en de betrekkingen^ welke uit dezelve gebo\
ren worden , door middel van zulke teekens , te oordeelen en t%
redeneren^ noemt men stelkunst of aloébra; welk laatfli
woord van ArabifGhen oorfprong is. f40 j- zi\ is van de Tel
g£ QjferkuDst daarin onderfcheiden: dat zij, in elk voork(|

^^ J!!(^'^^^ï voordeel een weinig nïtvaerigcr tantlG'ooQle
^o^ Wat is de Algebra ot Stelkunst? -^

1

CIJFERKÜNST. VIJ HOOFDD.XXXV. les. f

mend geval, leert: hoe dé ^egevere getallen moeten behan-
deld worden, om, uit de gégevene betrekking tusfchen de be-
kende en de onljekende, het. onbekende te vinden? isfe Jgeèra
'yiitdt derhalve de regelseen de Cijférkhnst past dezelve toe. (41)

478. AANMERKii^o, Het oogmerk is niet^ onty in dit twee^
de deel der Cijferkunst ^ de Stelkunst ö/ Algebra te keren;
maar, daar wij de leer der Evenredigheden en de menigvuldige

joepasfingen, welke van dezelve afgangen, grondig en volledig
wenfchen te verklaren, en dk oogmerk niet, zonder eenig be*
grip van den. aard en het gebruik der ftelkundige teekens ver-
kregen te hebben, dan op eeoe ^éer pmflagtige-wiijze , kan

'bereikt worden, hebben wij die weinige, hetwelk tot dit einde
voldoende is, laten voorafgaan, -Men-make zicfi hov^n^ien nog
met de volgende dingen gemeen zaam.

479. * Het product van twee , getallen a tn h^ dat door
o X b wordt uitgedrukt, kan öut gefchreven worden: ab^
dofcr bet tceken X, dat, in die uitdrukking, niet volflrekc
noodzakelijk is, weg jte laten. Op deze wijze, is abcd hec
gedurige product der getallen/?,^, c en d.* De vorm ab + cd
beteekent het product der getallen a QU b opgeteld met hec
product der getallen c en d. (42) v

480. ♦ Wanneer een bepaald met een onbepaald getal veN
menigvuldigd wordt; dan kan men insgelijks het teeken X weg-
laten j * en zulk een bepaald getal of bepaalde factor worde
dan gemeenlijk coëfficiënt genoemd. By voorbeeld, ^a i$ her-
zelfde als 3 X ^» * en beteekent : driemaal het getal a; 17 ab
beteekent 17 maal het product der getallen a en b; %ab€
'beteekent drie -vierde deelen van het product der getallen a,
b en c. C43) ' /

' 481. * Wanneer de fom of het verfchil van twee of meer
bepaalde of onbepaalde getallen mee een ander, getal moet
vermenigvuldigd worden , moet men , om dubbefziiinigheid
voor te komen , de fom of het verfchil dezer getallen tusfchen
twee haakjes y ( ) ^Z [] > M^n. (44)

Cii) Welke is het onderfcheid tusfchen de Algebra eo CSferkunsc ?
C43) Hoe wordt bet product van twee getalieo , in letters uitgedrukt ^

gefchreven > ' - % , .. •

C4S) Hoe gaat men daarin te werk, indien er bepaalde getalien.m

het product voorkomen ? ^ . ., ^

(44) Hoe maakt tnèo hei. Indien de fom of het verfchil van twee of

meer getallen met eeii tiidcr getal moet vermenigvuldigd worden?

lo ALLEREERSTE grondbn dbr

<4+5 + ö)X8 . . .
Os—P— a + 0Xi3

(3 +6) X (8+9) . i

(a+6)Xe ......

(«— ^)X(f+i) . .

-xo+^-0. . .

beccekent de fpm der getallen 4 » 5
en 6 , vermenigvuldrgd met 8 $ be-
teek ent betzeiide , als 120.

beteekenc de fom der getallen 15
en I , verminderd Qiet de fom der
getallen 9 en a , en dit verfcbil
vermenigvuldigd met 13 ; beteekent
hetzelfde , als 39.

beceekent de fom der getallen 301!
6 , te vermenigvuldigen met de fom
der getallen 8 en 9; beteekent 9
maal 17; dat is, 153.

beteekent de fom der getallen a en b^
vermenigvuldigd met c*

beteekent het verfcbil der getallen
a min b^ vermenigvuldigd met de
fom der getallen c en 4,
beteekent het quotiënt, dat men
verkr^gt , wanneer men het product
der getallen <z en * door c deelt, ie
vermenigvuldigen met de luva der
getallen p en ^ » verminderd met het
getal r.

482. * Wanneer men de factoren van een gedurig product
abxdefg gelijk, neemt ; dan ontftaat er een gedurig product
van gelijke factoren, en men geeft aan zulk product den naam
van magt. ^45) * Men onderfcheidt de magten in tweede,
derde 9 vierde en volgende magten. (46) AfSïll^ \% aa of
ay.a de tweede magc van a; aaa de derde magt van a%
aaaa de vierde magc van ai aaaaa de vijfde magc van
tf, enz. C47) * Omdac, in de Meeckunsc, de inhoud van een
vierkant gevonden worde, wanneer men de zijde mee zich zel-
ve vermenigvuldigc, of die zijde tot de tweede magt brengt,
beteekent tweede rnagt van^ een getal hetzelfde akyierkant van
een getal. C48) * En, omdat men den inhoud van eenen cu-
bus vindt^ wanneer men de lengte, breedte en hoogce (die in
den cubus even grooc zijn,) mee elkander vermenigvuldigt,
xoo -beteekent derde map van een getal hetzelfde ah de cubus
van dat getaL (49)

C

(4«) Wat is het quadraac of vierkant van een »tA\r^^^\^
i.49-) Wat is de cubus van ceo getal? Df^izedbyV^oogic

45) Wat is de magt van een getal?
4^> Hoe onderfcheidt men de magten f
(47) Geef hiervan voorbeelden?

CIJFER KUNST. VII HOOFDD. XXXV tEi. ii

48$. ♦ Het getal ^, wairmede, in de wording ecner magt,
ooophondelijk de éénheid vernienigvuldigc wordt, noewPymem
wort€l van die magi (50") * Omdat het te lastig is , in de
uitdrukking eener magt, (gelijk in aaaaaaa; dat is, In de
zevende magt van a) den wortel , bij herhaling, te fchrijven,
zoo fchrijp men den wortel flec hts éénnuial\ waar men fielt ^
boy en aan het hoofd van dien wortel^ het getal ^ dat te ken*
nen geeft : hoeveelmaal die wortel» bij het vermenigvuldigen ^ her^
haali wordt. * £n men noemt alsdan dit ^getal den exponent
of aanwijzer van die magt. CS^^

Alzoo is

a* of aa de tweede magt van a.
a^ oï aaa de derde magt van a.
a* of 'aaa a de yierde magt van a,
tf' oï aaaaa de vijfde magt van «•
il'» de f^aalfd» magt van a.
tf'o® de ppnderdfte magt van a.

484. * De waarde van de magt van een getal te bereke-
nen, i% dit getal tot die magt te verhefen. Dit gefchiedt,
door eenvoudig vermenigvuldigen. (52) Bij voorbeeld, om de
tweede en de volgende mageen van hec getal 3 te vinden,
werkt men aldus: /j^ = 3 X 3 = P dö tweede magt van a\
^«=3X3X3 = 9 X 3 = 27 de derde magt van^; ^?* =81 ;
^«=343; a^-=^7^9\ <»'= 3187; fl« = (J5<5i5 a^=,\^t^i\
4^10 = 59049, enz. (53)

485. Aanmerking, f Wanneer men de magt van een getal
kent, kan men, ook omgekeerd, begeeren te weten: uit welk
getal ^ of uit welken wortel^ die magt ontflaan zij? (54)

• Men noemt de handelwijze, waardoor men dit getal of
'dien wortel vindt, in het algemeen, de JVorteltrekking. (55)

• Is het gegevene getal eene tweede magt; dat is, een qua-
draat of vierkant getal; dan noemt men die bewerking de
Quadraats^ vierkants of tweede -magti worteltrekking. Is het
gegevene getal een cubus of derde magt, de Qubu% of derden

Y50) W« is de wortel van eene öïagt?
(50

Wat ver (laat men door den exponent of aanvQzervao^eiif nagtf
Ött) Hoe wordt een getal tot eenif^e magt verheven?
C53) Geef hier van een voorbeeld ?

<54^ Welk omgekeerd vratRitult volgt u?t de mtgts»verhf fling T
^5) Hoe noemt men de htndelwQze , door welka de wortel vui té«ig«
«agt gevonden wordt! n,.zedbyGoogl

I«

ALL E RE ERGSTE gronden Dsr

magfS'WO'teUtekkfng. Ts de gegevene m.agt eene tiende ^agt,
de tiénde^magts worteUrekking , enz. (56)

486. Deze worteltrekkin^en zullen naderl^and geleerd wor-
den. ♦ Voor bet tegenwoordige is het genoeg, te zegden: daf^
in het algemeen , de wortel eener magt ^ door het teeken \/^
wordt voorgemeld , en bovendien de foort van de magt door den
iianwi]zer van de gegevene magt bij dit teeken te voegen. CS?)
A'dus is

ya^ of eenvoudig i/^, de vi^rkants . wortel of tweede-
magrs- wortel uit a. •.

V^^ de cubus of derde-raagts- wortel uit <?•
^ a ^Q vierde-magrs- wortel uit a^
]K« de vijfde-magts- wortel uit a.
><■ " " ' .
\/a de zestiende-magts- wortel uit a. (58)

, 487. En dan is eigenlijk de Pveedc^magtumrtel uit een getaL
ten getale dat ^ tot de tweede magt verheven zijnde^ het getal a
'voortbrengt: en de cubus ' wortel uit a een getal ^ welks der 4e
magt het getal a geeft ^ enz. (59)

488. * Wanneer de fom of het yerfchil van twee of meet
getallen tot eenige magt verheven, of, uit die fom of dac
verfchil, eenige magts-wortel moet getrokken worden; dan
fielt men die fom of dit verfchil tusfchen twee haakies , en men'
brengt den aanwilzer der magt of het wortelcéeken buiten
deze haakjes, (60/

ia + b—cy .
(^a^+b^y . .

beteeketit de tweede magt of het vierkant van
het getal', dat tnen verkrggt , indien men van
de fom der géiaU^n <i en ^ het getal e aftrekt,
beteek ent de zesde magt van de fom van de
vierkanten der getallen a en hm
beteelcent den cubus-wortel utt het vcrfchH vaiï
de cuben , of van de derde magten der ge:al«
1 len X tn y Q61)

C^6^ Dragert die worttfttrek kingen ook onderfcheldene benamingen t
f57) Hoe wordt de bewerking der wortel trekking of den wortel uiteen
ectal uitijedrukt? '

(58) Geef bier van voorbeelden?

(59) Omfchrijf ecos nader, wat men door een quadraats* of cubai>
wortel verftaat ? T

(Co) oe wórdt het jiitÉedfukt : dat de fom of het verfchfl van twee
. of m^er grootbedeïi t^t eene magt verheven , of uit dezelve eenice

•mrt -wortel moet gfttroWcen worden ? r^ T

(Cl) Geef voorbeelti^n vaa 4ezc fcbrjjfwïzc^^^'^^y^^^g^^ ^

C IJ P E R K U I»S T. VII HOOFDD. XXXVI. lr». 13

XXXVÏ. LES. Over de Meetkunstige Redenj en Even*
redighedeo, in het algemeen.

NB. Eer de Leerling tot het lezen van deze Les ^vergaat , he*
hoort hij vooraf de IX Les opzettelijk nog eens te lezen en te her*
lezen. ' s

489. De Wiskundigen onderfcheiden driederlei foorten van
Evenredigheden of Proponien: i^, de Arithtnetifche of Re*
kenkunstige: a**. de Geemetrifcke of Meetkunstige^ eri 3**. de
Hammifche. (1) De Rekenkunftige , welke geene de minfte
niAbeid heeft, zullen wij, bij eene andere gelegenheid,
wew[een|t lecren kennen; vnn de (ïarmonifche hebben wij, in
ovizèk TVitkundige Lesfen gefproken fVij verklaren hief alleen
de meetkanftige reden en evenredigheid, (a") • In het vervolg,
zal het woord reden meetkunftige reden , en het woord £.vb^
REDiGHÉi D eene meetkunflige evenredigheid beteekenen, Q)

490. * Eene Evenredigheid of Proportie bejtaat uit de gelijk'
heid van twee redens. ^4)

491. * Er kan geene reden dan tusfchen twee gelijkfiathtige
grootheden bellaan. Cs)

492. t Twee geUjkJlachtige grootheden ia jn gelijk of ongelijk;
dat is, even groot y of eene van dezelve is groottr dari de tih-
dere. (6;)

493., • Wanneer twee gelijkflachrige grootheden gelijk' zijn z
dan beflaat er eene rede - van gelijkheid tusfchen dezelve , en
men zegt: de eerfle grootheid (laat tot de tweede ^ gelijk één'tot

één. Cr) '. ■

494. ♦ Wanneer de grootheden ongelijk zijn; dan^w^it ie
reden o f de betrekking dezer grootheden^ door twee getqf/etiJ ^f*

' > t ' ''^ .' li <j; nu li u m

Cl) Hoe ▼elcrlei foortcn vgp Eyenzedigbed^ui zin er ? _

(a) Welke foort van Evenrediglieid wordt hier eigcnlSkVehindeldï
(3; Wat verftaan wj, in hgx vej^vQjg^ dopr ^Q rooiden, reden ^
I evenredigheid f '^ .,

Uj Wat vcrftaat men das doof f ene Evenredigheid l
M Tusfchen welke «[rqoibédèo kan er alleenlök Jetiè Veden hêftaW»
(6) Welke gevallen kunnen er plaa^ hebhen, indien men iweV tólft.
aachtigc grootheden ipet elkander vergelekt % ««v*-

f^ ??* •*" °*^ ^^ gclökheid van twee groithcde? v^éisn vit*
(HruitKcn f .. .^ *

Tl, ■ ' ' ' ^ ' '- . r' ■ ' 't. . : - 1 i .; t-f .. '. . •■

14 ALLEREERSTE orondbn Dtn

paalde welke uitdrukken: hoeveelmaal de gemeene maat ran
deise twee grootheden op elke van dezelve begrepen is, (8)

B

M

495, VEttKLARiKG. Er z^n , bö voorbeeld, twee lengren of aft
ftanden A en B. Ik ftel , dat deze cene genicenc nia«t M hebben ; dat
wit zeggen, dat er eene derde grootheid befta, welke ten evminarij^
«tosi vtn A en tevens een evenmatig deel van B 2^j, (zie art. 105.)
Wanneer dan de gemeene maat iVl ii? A 4f maaF, en in R 18 maal bt.
.grepen i« ; dan wordt de reden der af Uaiiden A en B , door de giv
tallen 47 en 18, voorgeftdd; en men zegt: de afflattd A vertoudt
zich tot den affland £ , geltjk 47 zicb tot 18 verhoudt, (9) t

495, •Zulk eeue reden worde aldus gefchreven:
A : B = 47 : i8,
^Q gelezen» 2öo als, in het voorgaande artikel, gezegd^fs. (10)

497* * Wanneer men, op deze w^ze, twee gelykflachtfge
^ootbedëo met elkander vergelijkt; dan is men gewoon, deze
grootheden de termen der reden te noemen; ♦ en het gebruik
ketft gewild: 4b/, in het opnoemen cf uitfpreken van eene re^
den^ de grootheid^ die men het eerst noemt ^ nou genoemd wor*
den de eerfte of de voorgaande term; en de grootheid, die men
het 4aatit noemt ^ de Jweede (f volgende, term^ der reden, (ii)
* Z)tf eerfte term der reden is alzoo de grootheid^ die men verge»
Jiiktf rf nieet; en de tweede, term de grootheide waarmede de
eerfie vergeleken (f gemeten wordt. (12;)

408. I Gevolg. Tot het bepalen van eene rede wordt
ièrnalve vereischt: dat men de gemeene maat der voorgeftelde

grootheden kunne vinden ; en dat men , deze gevoadeo hebben-
e\l^èpdlef hoeveelmaal die gemeene maat op elke dezer grooP»
ièddh begrepen zij? (13) + Elke twee grootheden hebben nu
geéne gemeene maat; Czulks wordt, in den eerden Curfus der
ffikkunégeJei/èftf beweaei^,) en^ tn i^ geval, kan dè reien

^^tf) noe *wordt deTedéti van tW6e óagelQ^e geigkfla^Mge groocli^d^

roVH^ldec ajulki door een voorbeeM ipt '^
öp) Hoe woi;dt,?«llf,, eene reden ult;ge4ru|;t?,
'ftx> Wtt veritakt men door de termen vao eene redeof
Y12I Welke If 4%a eigenlek, i^ eeuQ wdm, dfl voorga^* itfüi^qB
'^ Welke «fevolgtttdet ' ' , ' ' , u • 1

Ci3> Vf ac worde dan toe de bepaling van eene rede vereiKbt f |

CIJFERKÜNST. Vil HOOF D IX XXXVI. Lif. t$

#f de betrekking der twee voorgeflelde grootkeden met precies ih
getal bepaald worden. (\a) Dit «eer merkwaardige geval
worde, op de aangebsmlde plaats, en,, in hec tweede Boek
van de Beginfden der Meetkunst^ opzettelyk behandeld. Hier
onderllellen wij : dat de grootheden^ welke met elkander verge*
leken worden^ cene gemeene maat hebben^ en dat gevolge lijk
derzelver betrekking altijd door twee getallen kan worden voêr^

499* li Gevolg. Warneer de reden i>f de betrekking van
twee grootheden, op de voorgelthrerene wijze, door twed
getallen , is uitgedrukt ; dan 2al men , door middel dezer getak
len, kunnen bepalen: door welk geheel of gebroken getal de eer^
fie grootheid ^ in eenheden van dè tweede ^ kan worden uitgê^
drukt! (16) Wanneer men, gelyk in het voorbeeld van art»
495 > gevonden heeft, dat A tot B zich verbouf^^n «Is het gc-
tat 4;^ tot het getal 18; dan zal daaruit volgéifc dat, wan-
neer men A met B meet, eene grootheid , die '47 deelen,
e:k gelijk M, bevat, gemeten wordt met eene andere, die
18 déclei) M inhoudt, f ^^*^ ^^^ ^^ -» die getallen 47 en 18'
Itennende , niet meer A met B dadelijk behoeven te meten $
maar het zal genoeg zijn^ het getal 47 met het getal 18 /*
meten; dat is, Comdat deelen hctzöltde beteekent, als twee
getallen met elkander te meten,) 47 door 18 moeten dcê*
len; en, daar dit quotiënt sJJ is, zoo zal men daaruit be-
fluiten : dat A gelijk is aan driemaal 5, met nog eff maal
één achticnde deel van B; en bijaldien dr.n B één voet, éé\^
el, of édn met^r ware; dnn zou men de uitkomst van die
metinjr, in den gewonen ftijl, aldus uitdrtlkken: A is 5|5 voet^
of c^] el of 2iJ meters lang { j)

500- lil Gevolg. Hier op (leunt de fcbryfwgze, ^
A j B = 47 : 18
welke, vermits (:) het teckcn van de deeling is, en dec*
len eigelijk meien beteekent, gelezen kan worden: de groot*

C14) Uebben alle grootbeden e«nc ^emee e maat ?

(15) War onderde II Cl) w|| hier en ia bet vervolg f

07) Wat zal me» door de twee ^texallen , die uitdrukken , boe veelmaal

iie genicene nnaat van twe&grootliedcu op elke van dezelve begie*

pen is, kunnen bepalen?
Ci7> üeldcr dit doo/ een voorbeeld op? DigtizedbyGoOQle

B 2 ^

i6 ALLEREERSTEonoi^DEN der_

beid /fi gemeten door de grootheid J5, is hetzelfde^ als het ge»
tal 47, door het getal j8, te meten. (i8^ i

501. IV Gevolg. Hieniit vo'gt dan: dat^ in de gewone
dageiijkfche fpreekwijzen , in welke de hoeveelheid van iets , door
een getal van maat^ g^^^t ^ ge/dwaarde ^ enz. wordt uitge*
dt'ukt^ altijd de reden of de betrekking van twee grootheden
wordt voorgefteld (19)

OPHELOERiNfS, Bij voofheeld ', w.nneer men tent 17 êlUn ; daif
drukt men dtardoor uit eeae lenffte ^ welke tot de lengte van één el
ftaat^ als 17 tot u De uitdrukking 47^ pond (Iele voor: een ge^
mgt , hetwelk tot het gewigt van één pond Jlaat^ als 47^ tot
één f enz. (20}

502. I Aanmerking. Hoewel de betrekking van twee groot-
heden A en B gevonden wordt ^ indien men eene gemeene maat
M tusfchen dezelve vinden kan^ en deze handelwijze de eigen*
Ujke naauwkeurige en regtflreekfche is i zoo is zij nog tan s 9 in
bet dagel/fk/che gebruik* moeijelijkf en veronder fielt ^ in derzel»
ver uitoefening y kundigheden van andere weten fchappen y welke
hier niet mogen aangenomen worden^ Men volgt dan , in de za-
menleving, eenen gemakkelijker weg: men meet alle groothe-
den van dezelfde foort roet de aangenomene Maten en Gewig»
ten, welke tot bet meten dezer grootheden beftemd zyn. (fli)^
De getallen derhalve^^ welke uitdrukken : hoeveelmaal de maat of
het gewigt y in elke dezer grootheden ^ begrepen «, drukken dan de
verhouding dezer iwee grootheden uit. En, wanneer men dan
die twee getallen door elkander deelt ; dan vindt men^ de reden
dezer grootheden i dat is ^ de eerjle grootheid ^ uitgedrukt in één*
heden van de tweede. (22)

503. OPHELDERING. Er rfl'n cwce lengtens A en B ; de eer-fte
beeft de lengte van 113 meters, de tweede die van 23 uicrcrs; di^n
Is A : B =: X13 : 25 en A bevat 4ï? maa' 1^«

Er zyn twee gewigten P en Q; bet ctrfle weegt 137 kilogrammes,
het tweede ao kilogrammes ; dan is P : Q izz 137 : co eu P bevat

(^ maftl Q- *

Er z\jn. twee hoeveelheden vogts R en S ; de eerfte houdt 57 Uier»
en de tweede 213 liters; dan is R«S=:57:2i3 en H = \% S, (23)

- .*. -

(18) Wat volgt hieruit f
Up) Wat volgt hieruit al verder?
(2q; Helder dit door een voorbeeld op f
C2O Welk eene handclwöze volgt men door.fraans, fn d« gemcenc za«

menleving, om de reden van twee grootheden te bepa'en?
Caa) En iioc bepaalt men dan , door die twee gevoudcne getallen , de

reden of verhouding?
(23) Geef hiervan ecnige voorbeelden r • oigtizedby Google '

CIJFER KUNST. Vil HOOFDD. XXXVL les. if

504. Il Aanmerking. 'Wij hebben art. 139 gezien: M
het quotiënt eener deeling piet verandert^ M'avnêer éen dceler
en deeltal heide met hetzelfde getal vermenigvuldigt of iceli.
Hteruit volgt dan: dat , wmtteer de betrekking van twee groot*
heden S^ en 5, doér twee getallen a en b ^ wordt vQorgefleld; dt.n
^^ok de betrekkitTg van diezelfdi^' grootheden A en B'l^op onnoe'm-
'lijk vele manieren , diar twee andere getaHen , kan voorgefleld
worden ; wam/eer men namelijk de getallen a en h heide met één
en hetzelfde getal n vermenigvuldigt of deelt. (24)
- 505, OPHeLDKRiNG. ^ indien, lijj voorbeefd , A : B rr: 318 j 10»
|s, zoo zal ook 9 doof deze gccaikn» iiieit2 9 3» 4» 5, 6, enz» ie
v<:r menig vu) digen, of ce dceicn ,

A t B ^=: . 6.^6 : fi04

A : l> rr- 954 : 206.

A : B = 1272 : 4QB

A : B m 3180 : 1020
CDZ. \ enz. • • ^. (35)

$06. III Aanjierking. Hieruit blijkt dus: dat de rtélen

van twee grootheden ook do^ twee gebrokene (f getnengde ge*
tallen kan worden uitgedrukt^ en verder: dat , wanneer de rede f
van twee grootheden , in gebrokene of gemerigde getallen is vooTf
geftfld^ die reden, indieft men heide deze gemengde of gebreken^
getallen met het klein jie gemeene veelvoud v^n de.jnêemendlH'
breuken vermenigvuldigt ^ altijd door twee geheele getallen kfin
worden afgebeeld; omdat de producten, bfl zulk ecue bewei>
king » altijd geheele getaüen moeten g€ven, (26)

507. Op HB LD ER IN o. De vol^eiide voorbeelden zuflen dit nad6^
opbwiderciu ^

A : B =

ï5? : 51

A rB ::=^

IQl^ t^>

A: B =

79l s a-ïl

A : B =

63i : fto|

enz. •

• ^ •

Üic A :

B = J :

h

TQlgt A

: B

=S S3

3 flS, . '

/

C :

I^= }|:

h

C

f D

= 33

V^'-

E :

F = 17 :

2?

E

: F

= 5ï

G J

H= 3i|:

n

■ C

: H

= 752

i 26/

P :

Q =11311:

P

sQ

=r4ioi

r 17»

JWe»

verménigvuldige , in

het eerBe voorheeld

> de firel>r<r1^èns f eli

/r etk

mee

44V.\dni, veriirVgc

tsM' voor

de iwedt^reiT

I^S en 48 ;

waaruit

men

befluit: dat A : B

= 33 '

28 (laat. la

het tweede

|a'f> Ktn de reden vtit' twee j^rooi heden ^ fieehts op ééée w^zè, of o|l

meer wijzen , door gei allen worden yoorgclte.d?
(25^ Ge3f l»i ervan voórbeeMciitf
^1' Hoe vindt men de reden va^ twet jprobi beden ^ éit door geWoi»

keos fijn uitgedrukt» ia gehele ^raHenf r^ r '

■ ■ A JE DigitizedbyV^-OOglC *

|9 . A LLE R E E R S T E GROMDEN DE R

voorbeeld, vermenigvuldicrt men tnct 36; ,in het derde met 3, ifi het

vierde met 24» in het vijfde met 36. ('.7}

507» 1 IV Aanmerking. Wanntter de reden van twee groot*
heaen door twee getal'en ss uitgedrukt^ is die uitdrukking nog
niet altijd de eenvoudigfte: zulks heeft alleen dan plaats, wan-
neer die twee getallen geeneo gemeenen deeler hebben. Men^
moet derhalve onderzoeken: of de twee geheeh^ getallen^ welke"
de r^den van twee grootheden uitdrukken, geenen- gemeenen dee*
Ier hebben ? Hebben zij dien ; dan moeten die getallen door dien
gemeenen deeler gedeeld worden ; en dan eerst ftclïen de quotien*
ten de reden deur grootheden , op de eenvoudigfle wijze ,
yj^r. (28)

VOORBBBI.DEN* Onderzoek % of de volgende redens ^ door cenvou»
diger getallen^ kunnen worden voor gefield f

A « B =2 1785 : 530
C s D rr. 8346 : 3000
E : F =: 93737 : 9186

508. ALGEjtfEBN GEVOLG. Het blijkt uit dit alles; dat ^
wanneer twee grootheden onderling tneetbaar zijn^ (en dit wordt
hier altijd onderlleld,) de reden dezer twee grootheden, het
zij door een geheel ^ het zij door een gebroken of geimngd getal ,
wwrdt uitgedrukt, nrtmdat de volgende term dezer reden een
evenmatig of onevérimatig detl van den voor gaanden is. ( sp)

509. Naobrb opheldering* Tusfchen alle twee gelijk flachtige

rotheden beftaat eene reden ; en die reden wordt , gelök gebleken ,
bekend» wanneer men weet *, hoeveelmaal de groot jl e gcmeene maat
dezer grootheden op elke van dezelve begrepen ix. Maar. hieruit volgt
niet: aal de getallen ^ waardoor twee gelirkflachtige grootheden zijn
uitsedrukt , altijd de reden van die twee grootlieden he palen: (30)
ïulks doen ifi alleen, in het geval , dat die grootheden^ in dezelfde
eenheden , zijn uitgedrukt. Aldus ft aan 37 gl. lot 120 guld. gelylc
87 tot aa, en de reden van 37 ^/rtot ao /r/. Js derhalve i^^, (31])
Maar, wanneer ik mö voorftel 37 goud-gulden$ en 120 guldens i dan
ftel ik mH wel twee getfikflachiTge grootheden voaf^mapr %om de re*^
den van deze twee grootheden te bepalen , moet ik de reden tuslchen
dénen gou4 gulden en éénen gulden kennen ; en , door middel van die
betrekking^ de twee voor gefielde geldwaarden tot dezelfde maat

C%i) Helder dit door voorbeelden op ?

(a8) Hoe wordt de reden van twee grootheden , op de eenvoudigfte

• wtjze, uitgedrukt?

(-9^ Welk een gevolg trekt gö uit allea,wat tot hiertoe verklaard Is f

($0) nepalen de getallen , waarin twee gel^kflachiige grooibedeo zlü

uitgedrukt, altUd de reden van deze grootheden?^ ,
(ft) la welk geval bepaleo dte getaliea de reden l^y Google

^ CIJFER KUNST. VII H.OOFDD. XXXVI. lbs. tj

hrengen^ eft dan eerst yerkrirg'ik de getallen^ nt^lke de reden ian
37 ggud'gU tot lp gulden bepêlen. (3a) Jl; wee , dat één goud-guidcn
houdt 28 iluivers, en één gulden 20 iluivers; pF dat één goud gulilcn
houdt 14 dubbeltjes, en één gulden 10 dubbeltjes; of dat één goud-
gulden houdt 7 vier- duivers ftukl;en, eo één gulden 5 vier-ftufvers
ftokkcnj 37 goud-gulden houden dan 7 X 37 of 250 viei-ftuivcrs
ftükken , en 20 gulden houden 5 >^ &o of 100 vier-duivers (lukken,
eii ik beliuit daaruit '• dat

37 goud'gU : ao gtild, =: 259 : 100 '

en dat hij gevolg de reden of de verhouding yan.yi gêud^gh $^t so
guld, dcor 2iVo- 'vordt uitgedrukt. C33>
VooRBBBLDBKf tot Oefening.

1. F^elke is , in de kleinfle geheele getallen ^ de reden van 317 gU
iS ft 12 peun, tot 17 guldenl

2. IVelUe is de reden van 17^ Zeeuw f» Rij ksd. tot ico zes t halven f

3. JTelke is de reden van x J gulden tot l fchelling f

4» Welke is de reden van ^ ducaai tot \\ maal een hnlvan'fchelllng 7 .

5. fFelke is de reden van de ylakte^inhouden van twee landen ^
A en B i waarvan het eerfte A lang is 17,3 decamej^ en breed i^
decameters ; en het tweede B lang is 30,37 decameters en breed 95,7
deeameters ?

6. l^elke is de reden van de inhouden van twee regenbakken P en
Q,^ waarvan de eerfte P lang ^ breed en hoog is 7^Z ^4^^ en ^^5 maters ^
êtt de tweede Q , lang^ koog en breed is 33,17» 35* ^n 9,5 niete s f

In al diQ voorbeelden , moet men de verhouding , in de kleiufte
geheele getallen , zoeken.

510 , I Stelling. Eene befchoiiwing. van veel belang b
de volgende. fFdnneer twee grootheden A en B (ot elkander
ftaan^ in reden, als een getal a tot een getal b; dan zal de
grootheid A ^, zooveelmalen genomen^ ah er eenheden in b zijn^
geltjk zijn aan de tweede grootheid -ö, zooveelmaal genomen ,
ali er eenheden in a zijn, (34)

Betoog. De grootheid A kano^iet tot de grootheid B (laan, als
het gerat a tot net getal ^, indien. niet de grootlieden A en 8 eene
gemeene maat M hebben , welke in A begrepen is « , en in B begre-
pen is b malen. Dit zoo zfl'nde; dan is A = tf X M en l\=:*XM?
en derhalve b X hzzzab X ^ ^rk aXh zzz ab X M,en diensvoU
geos i- X A = tf X B# (35)

iZOk) In welk gevtl doen zQ zulks niet, en vrti wordt dtn vereiicbc,
om die reden te bepalen ?

(3S) Helder dit door' een voorbeeld op ?
04) -

Welk bi^onder gevolg trekt §9 oit de uiigedniktc redes vm
twee groocbeden ?

Ü5i Hoebewjsi gfldii?, ^ ,

B 4 DigitizedbyV^OOgle

so ALLEREERSTE caotfDtnt^tK

jtr. Il Steluwc* Men kan, omgekeerd , uit de vergelijk
king aXBirzbXA, bejluiien: daf A : B z=z a i è is. (36)

Bbtoog* Want , indien niet A : B ziza t ^ is ; zoo zal A : B rz: a : p
zgn; (z-Qnde p cca getal groater of Kleiner (ian ^,) inaar dan zaï
^X AZ=tf X rtzSni^ch» volgens de onderftelliiig, is &X A = tf X B;
derhalve zou pX A = J X A moeten zün; maar dit is niet mogelAJ^^ •
indien Diet ;>=rr5 Is; derhalve ftaat A : B=rtf i ^. ^37)

5i2« Grvolo. Uit dit bewezene vulgt ; dat men , «r/V de volgends
rergeiijkingeMi bejluiien mag»

Ült 5 Goud gh = 7 Guld.
5 Z. Rülisd, = 13 Ould*
5 Dukatons z^ 3 Dukaten»

Hm ilA. yotf/. =r 3,767358 w*^»
3i P = 71 Q

C guld. : GU =Z 7 i 5
Z. Rijksd, : G/, = 13 : 5
Dukaat ; Dukaton rrr 5 : 3
ÜA. yw/ : Meter z=z 3,707358 \

a/ P ; g = 44 : 21

5r3é AANMERKmo. Wanneer men zich nu een doidelijk
begrip van eene red^n gemaakt heeft en dit xamengeQelde be-
grip, in alle deszelfs deelen, heeft feeren kennen; dan zal
men, daar (gelijk art, 490 gezegd is) eene evenredigheid in
de geUjkkeid van twee redens beftaat , het begrip van evenre-
digheid of proportie zich,- in aJle deszeifs klaarheid, kuuneo
voorflelleri.

5l4t * Twee gelijhj^achtige grêotheden A en B zijn evenredig
HHet twee andere gelijk/Iachiige grofftheden P en Q^^ wanneer de
reden der twee- ecrfle^ door dezelfde getaikn ^ ah die der twee
iaatjie^ wordt voofgejieid. (3^)

515. Daar de getallen , welke de reden van twee groor-
heden uitdrukken, eigenlijk getallen zijn, welke te k"ennen
geven: hoeveclmaal de geraeene maat Van twee grootheden, op
elke van dezefve, begrepen i»; zoo zal men, de evenredig-
heid rader omfcHrijvende, kunnen zeg.^en: * twee groothden
A en B zullen met twee andere grootheden P en O evenredig
9^jn , wanneer de %emeene maat van A en B ^ op A en B ^ in
dezelfde rangorde genomen , zooveeltnaal begrepen is , ah de ge-
meene maat van P en g,, op P en fij-CW

(jfi) Wat Is het omgekeerde van deze grondftelUng t

C37) Hoe bewösr gtl dit ?

tfi) Matk eene toepetfitig iran deze grondftelfiii^eiif

<39) Wanneer zffn t-'ee grootb den evenredig met twee MdetOl?

(4o> Hoe kiQ men de eveorecUglieid anders oad^thpiveftl

Digitized by CjOOQ IC

C IJ F E R K ü NS T. Vil H^OFDD; XXX^L n». m

51 5. ♦ Zulk eene evenredigheid wordt, 'm leekens, «ldu«
gefchreven:

A : B = P : Q C4O

en gewoonlijk gelezen: de grmheid A ftaat tot de grootheid
^, gelijk de grootheid P tot de grootheid Q. (42)

517. ♦ Men kan echter de evenredigheid. A : B = P : Q
ViOg^ op ééne van de volgende wijzen, lezen en omfchriJviHi:

i°' De reden van A tot B is dezelfde , ah de reden van^
P fot Q.

2°. A heeft tot B zuik eene reden , ali P tot g.

3*^. De verhouding van B op A is dezelfde , als de verhou* >
ding van Q^ op P.

4^- A_bevat zooveel eenheden of maten B^ al^ P eenheden ,
of maten Qj

5*^. Zoo groot A i$y in vergelijking van B^ zoo groot is,
ook P9 in vergelijking van Qf

6^» Of A is even zoo groot 9 In vergelijking van B^ als P^,
in vergeHiking van Q, (43)

518. * In de befchouwing en het gebruik der evenredig-
heden, in de Meeibunst en andere Wetcnfchappen, z^n eenige
kunsttermen In gebruik, van welke men niet mag afgaan en
die men zich derhalve diep io het geheugen moet inprenten*
Zij zijn de volgeode: iu eene evenredigheid, A :B =: P : Q,
noemt men:

1 '^. A en B de termen van de eerjle reden*
» fl^. P en j2i de termen van de tweede reden.

30. A de voorgaande term van de eerjle reden y en P de voor*
gaande term van de tweede reden. y

4**. B de volgende term van de eerjle reden ^ en g, de volgende
term ^an de tweede reden.

5**. De eerjle en derde te'rmen; dat is^ A en P, noemt uten
de voorgaande termen der evenredigheid.

ö**. De tweede en vierde termen^; dat is^ B en g,» noe^fit mem
de volgende termen der evenredigheid^

?^. A en Q^y of de eerjle en vierde termen ^ de uiterjle
termen.

f40 Hoe wordi titlk eene evctit^dlgheid gjefchrevenf

(42> ^rï boe gcwüonlilk nog anilcrd gelezen ?

(43; Hoe kan men eene eveuredigtieid nog anders lezen? iogle

Èê ALLEREERSTE o ronden der

K^» B en P\, éat fs ie tweede en ierde termen^ ..de mid*
delfte. (44) f

519. f De termen van eene reden moeten (zie art. 491.)
gtUjkflacktige grootheden s^Jn; en daarom kaa et onmogelijk
caoe evenredigheid

A : B = P : <J
beftaan, Indien niet 1*** A gelijkflachtig met B en a®. P ge*
igWlachtig met Q is ^^maur de termen ran de eerfle reden
rnamelijk A en B) kunnen met de termen van de laatfle rtden
(namelijk P en Q) ongelijkflachtig zijn ; want , tot het wezen
ran de evenredigheid wordt flechts vereiicht^ dat de getallen^
welke de reden van A tot B uitdrukken^ dezelfde zijn ah die^
welke de^eien van P tot HveorfieHen. (45)

520* Naobrb ophbldsrino, lodieit men dus heeft twee affhiw
ileti A en B9 welk« toe gemeene maat hebben den affland P.

Twee vlakten C en D , welke tot gemeene maat hebben de vlakte Q»

Twee ligchameltike inhouden £ en F , welke tot gemeene ma<ic
b^bbcir den ligcbamclüken inhoud R«

Twee gewigcen G en H » welke tot gemeene maat hebben bet ge^
wigt S.

Twee krachcen I en K , welke tot gemeene maat hebben de kracht T«

Twee geldwaarden L en M, welke tot gcmeeue maat hebben de
geld waarde (J«

Bijaldien dan P op A en B ; Q op C en D ; R op E en F ; S op G en H*
Top I en K ; Hop t en \f; elk op zich zelve en afzonderlök » begrepen is
113 en 60 malen , of, algemeen ^aen b m.len ; datt zal men mogen" ftdlen t

A

B = C: D

C : D = G

: H

A J

B r=i B : F

C : D = I

: &

A :

B = G t n

C : D = L

: IVI

A t

B = 1 t K

E : F = G

: H

A ;

B = L : M

E i F = 1

: iC

c:

•

0= E sF

E : F = L
enz» • • •

C40

521. Aanmerking. Men onderfchejdt de evenredigheden
der grootheden van de evenredigheid der getallen: f47) en
itt.ks gefehiede met reden; omdat men^ in veel gevallen ^ ge*

C4A^ Welke t^n de gebruikelüke kun.^tterracii, bg de befchouwing

van eene KvenredIgheiJ , gebezigd wordende t
f45) Kunnen de termen 'van de etrlle reden onselöknachrig zjn met

de termen van de (weede reden?
C4<5) Toon m|f, door eenige voorbeelden, dat de termen van ée ccr«

fle redm met die van de tweede ongel (^kOachng Linnen x4al
(,47) H08 onderlcheiüc men de Eveureaigbccteii ^byGoogle ,

C HF E a K U N S T. VII HOOFD D; XXXVI.^if, a«

4ifk fff de Meefkiwn, EvtDwigUleer en ark/ere t&egépaste v4$^
kundige iVetenfchappen^ zander de getallen te kennen^ dit dfi
reden der grootheden uitdrukken , tot hef beflaan der evenredig*
heden befluiten kan: daar integendeel^ wanneer eene evenredig-^
heid^ in getallen gegeven is^ de y^aarheid of vahchheid van de*
2$lv$ uit de getallen zelve Blijkt. (48)

522. Gevolg. Foor het overige ^ is de evenre^gheid der ge^
tallen van die der grootheden ^ in hei wezen der zaak 9 niet
onderfcheiden. (49) * Want vier getaUen 7-12, 21 en 3^
lijn evenredig, wanneer de reden van 7 tot li dezelfde h,
a)s dié van fti tot 36; en dit vfndt men, wanneer men 7 met
ia en ai met 36 deelt of meet; en, daar beide redens ,^ zijn,
zegt men 7 : ia = 21 : 36. (50) Alleenlijk denkt men hier
de getallen 9 in het afgetrokkene ; mts de eenheden van de termen
der eer He reden dezelfde zi'in ^ en die van de $)»eede reden inp^
geUjks dezelfde. (5 O

Tn bet tw«ede Boek der Meetkunst ^ befcliouwen w|J <fe evem-eaJ^
heden der grootbeden algemeen , zélfs in bet geval der onmecibaaih
beid- doch bier zul en wü Hecbts de evenredigheden der getallen
overwegen en derzelve* eigenfcb^^peij «y i^ dagdgkicbe gebmiH
leeren coepasfen*

XXXVIT. LES. Over de Evenredigheid der Getallen,

derzePver algemeène eigenfchappen ; en bijzonderUjk

over üe gewone of regte Evenredigheid.

523. Het zU men de Evenredigheden in grootheden of ta
getallen befchouwt, pnderfcheidt men a) de gewone of regtt
Evenredigheden^ die wij . eenvoudtg Evenredigheden zullen noe.
men; b) de aaneengefchakelde Evenredigheden ^^ c) de omgekeerde
Evenredigheden; d) de zamengefielde. De eertle foort van even-
redigheid is de grondOag der drie andere foorten. (1)

524. Om zich te verzekeren ^ dat vier getallen a^B^ € ên
d wezenUjk eene evenredigheid uitmaken; moet men het etrfle

aS) Waarom ftelt men dit onderfcheid ?

clo^ Matr is dan een« eveortdigbeid in getallen van eeiie eYtmtdli^

held in grootheden, in bet wezen der zaak, onderfcheiden ?
rtó) Oeef reden . dat dit onderfcheid niet beftaat ?
(51) Hoe m et men zich nogtans eene evenredigheid in getallen voor-

HeMen ?
Cl) Hoeveel foorten van eyeawdighedcn ntOftMB wff kier ovnnwgen»

«4 ALLEREERSTE grondbn Dk»

I
getal door het tweede , en het derde door het vierde deelen ; eH
bijaldien dan deze quotiënten even groot be^'onden worden; dan
zijn de getallen a^ b^ c en d evenredig. (2)

Witre 'evenredigheden. | Valfche evenredigheden.
7 .13 =21 .-39 7 : ï8 = 14:35

3^ : iil =: loj: 34| I 9: 45^=100:5: . . CÖ

- 525. AANMERKING. Men kan v«n de evenredigheid der ge*
tallen, behalve de bepaling van art. 522, nög deze andere be«
paling geven, * vier getallen zijn evenredige wanneer de groots
fte gemeene deeler van de twee eerfie , op ^elk van dezelve
tooveelmaal begrepen is, als de groot fle gemeene deeler van.de
twee ladtfie, op elk van de twee laatjle; (/^) wanr deze bepaling
ftemt met die vanW/. 514 en met de uitlegging van dtZQ^
in art. 515 en 516 voorlcomende, volkomen overeen.

Nader B opheldering. BÖ voorbeeld, in 7 : 13 r=: ai : 50 H
de grooifte gemeene deeler van 7 en 13 de éénheid j en vun ai en* 30
het geral 3. Nu is, enz C5)

' Öe reden hier van is deze. SteT Azt'a ',b z^ e \ d eenc evenre-
digheid z'i, Uaat p de grooifte genieene deeler van « en *, en ^ de

grootite gemeetie deeler vtn c en d zö'n. Stel — =r A, — = B

d PP

en — = C , — = D ; dan is ook noodfakelfk ii ==: p X A ;

> = p X B; tf == f X G; J = ^ X D. Men kan -derhalve,
in plaats van a : ^ = ^ : d^ fchrljven i

pA : pB = ^C : yD
Bifltf dan moet -^ r=r — zjfo. Wanneer men nu ook deze geljke

^ A C

breuken verkleint; dan wordt "sr ^^^ TT^ maar, daaf deze breuken

B D

onverkleinbaar zfn , kunnen z|f niet gelQk c{jn , ten aQ A ^= C en
B =: D is. (6)

526. I Aanmerking* Wanneer er eene evenredigheid ,
ft \ b zr: c \ dy\n getallen, beftaat; dan zal, indien men den
derden term c door den eerflen a deelt, het quotiënt altijd
een zeker geheel of gebroken getal ^ zijn ; en, wanneer men ^

C») Wair aan herkent men, dat vier getallen evenredig zSn?

C3) Geef .voorbed den?

(4) Kan men van de evenredigheid der getallen nog eene andere be«

paling geven ?
f5) H«lder het gebruik van die bepaling door een jBipor^eeid opf
C6) Bew(M n{| lie gronden van die bcpalid^lgtizedbyG

CIJFER KUNST. Vn HOOFDD. XXXVII. les 25

nu de, termen van de eerfte reden met dit getal p ver-
menigvuldigt; dan zullen de producten ;>« en ^^ zijn; nu ii

^ — . J?- zr: -—; maar omdat pa =: c is, zoo moet ook
ph"^ h d\

noodzakelijk pb -i^d zijn. ^^ . .^ . - „

Hier uit volgt dan: dat er- geene evenredt^hetd tn gaaien
bekaaid of er beftaat tevens een geheel of gebroken getal ^ zon-
danig: dat^ wanneer men de termen van de eer ft e reden met
dit geheel of gebroken .vermenigvuldigt ^ de producten aan de
termen van de tweede reden gelijk worden. (7)

527. Gevolg., f Alle evenredigheden ^ het zij in geheek ^
het zij in gebrokene getallen^ die men bij. mogelijkheid bedenken
kan^ kunnen derhalve^ wanneer men drie geheele of gehrokete
getallen a% b en n^ naar welgevallen y aanneemt^ door den vorm
a : b zz: an i bn

worden uitgedrukt. T8) ^. ^ .^ ,

* Om dcrbalvé eene evenredigheid in getallen te maken, neme men
twee gejiecle of gebroken^ getallen a tn h^ naar welgevallen, voor
de termen van de eerde reden; deze getaUen vermenigvuldige men
reet een ander geheel of gebroken getal n; dtn verkr^gt men de ter»
van de tweede reden. ^

77 ftï M tl »« g ►« .

Men ziet dus: f dat eene evenredigheid in getallen door drie
getallen a^ b en n bepaald wordt. (9) ^

5a8. Il Aanmerking. Daar nu, welke^ebeele of gebro*
Irene getallen men, voor ^,^^Jen.«.,fteIIen moge* d^ geinWen,
a^ b^ an en bn, .altijd eene evenredigheid maken, en hijger
volg alle evenredigheden in deze. algemeene, /?:^ = /7«:^/;,
begrepen zjjn; f zoo zal alles ^ wat van de algemeene evenredige
heidyaxb = anxbn^ als eene algemeene waarheid^ kan bewezen
wordsn , tevens waar zijn van alle evenredi^eden , welke^ in ge^
Iteek of gebrokene getallen ^ beflaan. (^10) ,i

a

b

n

a

: i ^=:an

s-s«

3

5

6

3

: 5 = i3

s«5

7

13

16

7

; 13 = 1 12

l«2

10

; 3

8

19

: 3 =I5«

3-^S

i

?

: I i = 41

fjO Wtt merkt gif in eene evenredigheid op?. ^^ -,. ,, ^

C8) Op welk eene wjze kan eeiie evenréSighefd in getallen algenicVn
worden uitgedrukt ?

O Wit volgt-hier uil f rc^c^n\o /''

'io> Wit volgt ah^eer hitr »ii| oigtedbyV^oogic

IL Duu . C

?

t4 A E L E R E E K S T E gronden p « e

Eisenfchappen van de Evcfirfé^ki^en der Getaikn.
I. /)< Hoófdeigenfchap.

529. * Men roemt eigenfchap van een ëJng, datgene^ was
aan dit ding bijzonderiiik eigeth is^ ht andere dingen nief gevon^
den wordt » en waar door hetzelve van alle andere dingen Qnderm
fc^ieiden /5. (11)

530. Algemeen ghondbeoinsel* f De redent^ die aan ééne
en dezelfde reden gelijk zijn , .zijn oük dan elkander gelijk.

Ophelderi^'o. Indien c i h ':::! c t d ^ etk e i d zsz e t f is* dan
zal ook a i h = e i f z(|ii. *

531. I. Eigenschap, f In elke evenredigheid^ is het />w-
duct der uitetjle termen gelijk aan het prodiut der middêU

Opheldbrino. Stellen w|) de evenredigheden:

3 : 5 = 18 : ^o
7 : 13 ^='iia ; aoB

dan h ^X 30 = 5 X iB 1= 90
7 X £08 CE 13 Xiit =c:i456
»9 X fl* =3= s Xi^a =456
I X io§= 4|X lè= 7
lx f? = rix J| 1=:.^ ('133.
Betooo. Alle mogelpe evenredigheden , In getriHen, ^'^n bestetien
In dwe algemeeoe evcHr^dlgheii:

ai h a= Mn : hn.
In cfe»e, fs het product cler ulteftfte tertaen het prödua van !i« ge-
taf» ♦ vermenigvuldigd mei ^ n ; /"dat is , her product van a^ b^n «) her
product der ulterfte termen beilaat dan èijc het product der getallen
A, * en «; maar het pridilct 4er middclfte^teirme^ is his^jeliks 'hec
product der getallen^ , h en n; derhalve is, In alle mogelijk* eve««
redi^heden, het lAiuct der üiterlle termen gcf{)k a^n het product
4cr middel (Ie. C14T ^

ANDsa wBTooo. h^naih^Ss^-cft'd eefte5'e^rédfg!i^ zfln;
dan mpèt %-.= -r ^Bn. Vqrmenlgvujdig beide leien dcier verge-

HJking ïnet ^; dan is a = -—,• want . -^ K * =t= ^i t en -^ X

>r=:-^. Vermenigvuldigt, men ^ekle ledcp,,van de vcrgeH'kiiif

Ciï) WS^t Verft aat men door de eisenfbhap van een ding ?
Cfl) Welke !8 de ë^e or höordeigehfchap der evfnredj^i

(13) Helder die eigenfchap door eenigc voorhielden ;Qjp t ,

(14) Hoe bewQst gQ aezc eigenfchap f , . oig izedbyGoogle

C IJ F 5 RJC UU S T. Vil HOOFDD. XXXVIL ies* ay

ir r= -T- met i ; dan vcrtf Ugt mon de vergcigkiiig : ad =: hc , ir^l»

53A. AATüMÊRïWGr f Wimneer vier getallen niet in evenre* •
digheid Haan ; dan is ook het product d^r uiierfie termen niet
neer gelijk aan het product étr miideijleM K^6)

Vaifshe E^ytnrciighedtn. \ FalJlcH^ rergglijkhtgen.
• 3 2 6 niet = 7. 2 13 1 3 X 13 **i«ï = 6X7

9i : 4 niet = i 2 i l 9^ X i niet = 4 X |

Betoog, Wanneer a : B niet is z:z o : é; dan is^ d of t^ gwot
of te klein. Stel dat d,+ e liM ware getal ziji dan Is, ïn waar*
beid, a : bzizic id + e^ en , volgens het bewezene , aXC^-j-ey — be^
dat is, gd.+ aé^i:zbc*jéu8ècgfooteT^^i»ad* WuQd -- e het ware ge-
tal , dat met n , ^ eni? eene evenredigheid maakte , zou a i b :ZZ c 2 d -^ ƒ
2lfn en /jX(^ — #) crr'^cof ad-^ aezzzbc z^jn; *c zou alzoo kleiner
dan ad z'in ; uit ai betwelk dan blgkt 2 dat , wanneer aib:=:zeid valsoh
of onwaar is,, ook (^d niet =: bc zal zjjn, en dat de gelijkheid v^^ dê
producten der uit'^rfie ^en middel fie terjnen eener evenredigheid eene we*
zenlijke ei^en/chap yandezelre is ; omdai;i:ij alleen op dezelve /xwi^* (I7i

53^ Gevolg t Wanneer dan^ omgekeerd y een product\van
twee getallen^ a en b ^ gelijk is aan een product van twee anis^"
re getallen^ e en d; dat is^ab =: cd ^ dan zal men ^ uit deze ge^
i'jke producten , oetderfcheidene evenredigheden kunnen opmaken» ^\%}
Indien men, tot dat einde, een factor van het eerfle produet
tot eenen factor van het tweede pt;aduct fielt ^ gelijk de auifere
factor van het tweede product tot den anderen factor van het
eerfte. (19) En men tain alzoo, uit twee geiyite producten ^
acbt onderfcheidene evenredigheden oplleilen :

sfi. uU ab "zn cd
a i c z:;:z d i b
)a i d zi: c t b
* b i e r= d : a

uit 6X4 = 3X8
623 = 8:4
€28 = 3:4
423 = 828
4 : 8 =: 3 : 6
3:4 = 628
$ 2 6 =4 s 8
8 :4 = 'i : 3
8:6 = 4 ^3

b i d rm e i a
e i a = b 2 d
e t b =:s i d
d 2 a rr b 2 e
d : b :zz a i e

X^sy ^"^^^^ g^ dttt ettenicliap ook nog anders bewffzen ï .-
(16^ Zou die eigenfdiap ook niet gevonden worden in vier getallen »

die geène evenredigheid maken f
(17) Zoudi g9 wel bewijzen kunnen, dn deze eigenfchap aan de

evenredigheden alleen eigen Is?
(18; Wat voigt, omgekeerd, uit deze hoofdeigen fchap?
(iy> Hoe maakt men, uit tweegtljike producten, eeue evenredigheid/

C 2

t» ALLEREERSTE gronden de*

welke (omdat» in alle deze^ het product der uiterile tcrm^tl gel(fk aan
■het product der middel fte is,) evenredigüeden Eön. (20)

534- * ^^» noemf de vierde of laatftc term d van eene
eyenredigheid ^ aibzzzctd^de vierde evenredige 'M^de drie
voorgaande, (ai)

^y^^. Aanmerking, f Men kan M elke drie ^naar welgevaU
kn gegevene geheele of gehtokene getallen^ a\ b^ c^ eene vierde
evenredige vinden.

Men drukke deze vierde evenredige, welke geheel onbekend Is,
doror de leuer x uit ; dan moec

.- a \ b =z c \ X

zyn : maar g indien deze vier getallen eene evenredigheid maken ; dan
moet het product der uiterile termen gelijk zjfn aan het product der
middelde; derhalve is ^ X x = ^ X ^« Ik weet dus: dat a maal
l^et onbekende getal gelqk is aan het product der bekende getallen h

en c. Indien ik dus dit product hc door a deel ; dan heb ik :ir =: ^

•en ik leer hieruit: dat ^ om tot drh getallen a^ h en c eetie vierde
evenredige te vinden , Jiet product der twee laatjie getallen door hei
i^rjie moet gedeeld worden, Qia.}
VooRBft^LDSN. £^. Gegeycn zijnde 6j 7 en 13; dan is

6 : 7 =: 13 : fl? ; derhalve x = < ^ ^— ^Sh

t^. Gegeven zijnde 3I , 7, nf ; dan is

3i : 7 r= xii : *; derhalve * = ^ — r— ^ ='2a|.
* 3ï

3<>. Gegeven zijnde | , i^ en ^ ; dan is

\x /5: = {i: ar; derhalve * = ^^*:==/ïX fi X J = ^,.

536. Gevolg, Stellen wij : dat één der vier termen van

eene evenredigheid mogte zijn verloren, geraakt i dan zal men

denzelven^ door de toepasfing der betoogde hoofdeigenfchap^ weder*

vinden, (03) .<^-^.>.,v^^

Stel , ik had de evenredigheid sjj : a8 = 40 : 3a. ', A^ ^

Indien de eerftetermss was verloren geraakt, zou Jk, omdentclven

(20^ Hoe vele, en welke,, evenredigheden kunnen, uit tweelg^ke

producten, gemaakt worden? 1 -' ^ ,. "^

"(21) Wat veillaat men door eene vierde evenredige F
;22; Itoe vindt men lot drie gegevene getallen eene vierde evenredige?
Ca3) Wat merkt gö.nog verder ai^if

' C IJ f E R K Ü N S T. VII HOOFDD. XXXVII. les. ap-

trcder te vio'd^n , dien verloren term gel^k x (tellen ; en dan zou at : 28 =;;

a8 X 40 .. "^

40 « 32, en 4P = ^ = 35 moeten ziiiu

32
Was de term 28 verloren geraakt ; dan zou men Aellen : 35 : X=:r 40: $9.
; . Was de der<te cerm 40 verloroi geraakt ; d&n zou meu iteUen : 95 1 2S

■r = JP : 32.

En, om den vierden term 32 weder te vinden, zou men ftellen: 35:2$
zrz 40 : .r>- en men zou, in alle deze gevallen, den verloren leirni,
^ even, als in bec eerite geval, door de gél^kheid va» de prodactea
^ rter oiterfte e^ middeiae termen, kuncea wcderviuden. (24)

^ , II. Over het ver plaat fen van de Urmen tener Evenredigheid.

^'S7' H. EiOENscHAP, t Jh elke evenredigheid^ kan men de
^, redens verplaètfen ; dat is , de ecrfte reden in plaats van d$
tweede^ en de tweede in plaaSi van de eerfie ftellen* (253

3iJ yoofi^ecid :
ttit 7 : 16 = 21 : 48 I uit ai b zn sn i bn
votgc 21 : 48 = 7 : 16 I volgt au t hn :=z mi b
I^BYooo. De reden hiervan is klaar ; want , daar eene eyertred^
. iKia in 4e gel^kbeid van twee redens beftaat, wordt «Ue geiyiüieid»
4oor de verplaa&Üqg der redens , iii«t veri^roken. Q^S)

538^ III» EiOENSCKAP. t i^en kan^ in elke evenredi^id^
'^ heide redens omkeeren; dat is, in elke reden, den voorgaanden
term, in plaats van den volgenden , ft^eiien ; en, omgekeero. (ft/^
Èij y Oorbeeld s
uh 7 : l5 =: «1 : 48 1 tsit: a i^ ^s: on tbn
Vélgt 16 : f := 48 «'M I vèlgt b z ê z=: big>% ên
BbtooO. Oic il uit ZicHzelveDklaarblSkelök; want , Indien ik twe«
getallen^ en; 4 elk met «vermenigvuldig, verlrr^g ik tweeproducieB,i*
ca ma , welk^ (zie art^ 528J met b en« ^êne evenredigbeld maken. (sS^

^ 53P. IV. EiGENicE»p. i Tn elke evenre^gheid^ flaat dê

\ eerjle tefm it)t den.. derden, gelijk de tweede tot' den vierdem
^ term.(j^y : _ , ^
I ' ' Bij voorbeeld:

. «U 2* : 16 = 21 s 4^ il mt a t b z:r am bm

^ vWJt i i^i :::::< iJfi 48 j| ^Wgt i»iim:sz§ k^m

\ .* ■ .

— fr-^ — - ■>'•-'»- I |.r • ■■ - • iii ■! -lJU^^

t

kp^T^élder dit door vcorbeeklênl>p?
05> Welke is de tweede eiaenicbap der etedreSIglietllttt
^6; »oc1>e^$t g« dezfe^ . * . .

(27) Welke is de derde eigenföbap der eventedfigbedettt
<fi8) Hoe bewgst g% Ci^ze eigenfcSapr OqIc

(2S0 Welke is d« vierde eigenicbsp der ^stüsm^téeÊkP ^ '

Ca

30 ALLEREERSTBoRONDiif dbr

Betoog. De nieuwe evenredigbefd aian zizbibit^ welke uit de ge»
ftdde volgt, voldoet aan bet verelschte eeuer eveuredigbeid ^ wtat

iDcn heeft — = — = --. (30)

üfi .on n

54», Aanmerking* Meo kao derhalve de termen van eene
eveuredigheid, op drie onderfcheidene ^Dameren, verplaatfeo :
!<>• door de redens te verzetten \ 2^* door beide redens om te
Tteeren ; en z^* door de redens te verwisfelen ; waardoor men
verftaat : den eerften tot den derden term , gelijk den tweeden tot
den vierden te ftellen. Het is vön zeer veel belang, zich mee
deze verpiaaifingen gemeenzaam te maken. (31)

III. Evenredigheden , welke uit eene gefielde Evenredig»

heid^ door vermenigvuldiging of deeling van fommige

van derzelver termen ^ kunnen worden afgeleid»

541» V. Eigenschap, t f^anneer men van eene evenredige»
heid ^ of de termen van de eerfte reden ^ ef de termen van
jie tweede reden ^ of de beide voorgaande^ of de beide volgende ^
net hetzelfde gehéele of gebrokene getal ^ermenigvuldfgt ^ ef
deelt; dan zullen de producten of quotiënten^ met de overbHf*
vende termen der evenredigheid, in dezelfde rangorde genomen ^
'eene nieuwe evenredigheid maken. (3 a)
... Opheideritêg.

Z!l de algemeeite eveoredigktid

M tb zzz e t d

es n een zeker getal ; dan zal

an : iu = eri i

a : b rr M : in

au i > r= c» : d

a i bn:i^ € t dn

Z9 de evenredigbeid

Tft : 84 = s^ 2 4ft
en 3 eeit zfrker getal ; dan zal

72 : 84 =: 108 : 120
fti6 : 84 = 108 : 4a
72 : 252 =r 36 r 126

%1

7)

i^ t s8 =: 3<^ : 4a

74:^4= " V jf

; ^ t 84= ia 5 4»

,.,fft j a8=r 8^t *4

a b

:: = r t II

t #

a i

b #

•2 =: « t-^»

<8t>

ao) Hoe bewast g« deze ?^ ^ ^

ai) Tel nu eens op , op boeveer wQ^en , dé tera^et jm

' fedigbe'd koijnen ver plaaïst worden ?

Ca») Welke Is de fSfcle eigenfcbap I ^ ,

/ ^3; Verklaar^ deze nadef f oigtized by v^oog Ie

i

C IJ F ER K ü N S T. VII HOOFDD. XXXVII* Uts. 31

, BiTOoo. ViTant (volgens «r«« 504) de reden vaatwfiCgetalkBif en ^
verandert aiec , wanneer men beide deze getallen tf en ^ mee bec ze!fde
getal n vermenigvuldigt of deelt; derhalve beflaan de i«, !•, «je eu C*
evenredigheden » en , omdat elV Eigtfifchap) a : c = b:d is » 'zullen ,

^ om dezelfde reden, de a«, 4», 7* en ^* evenredigheden beilaan (84>
Üoveiidieu Z|fn ook, in al de afgeleide evenredigheden, de proiuccea
der uiterfte termen gelQk aan die der middelite (35>

542. VI. Eigenschap, f fFdnneer men éénen der uiterfte
termen van eene evenredigheid met een zeker getal vermemgvul»
digt of deelt , en den anderen uiterften term met datzelfde getal
^ deelt of vermenigvuldigt ; dan zal het product en quotiënt , met
de middelfte termen ^ in dezelfde rangorde ^ genomen ^^ evenredig»
zijn: en hetzelfde zal ook voor de middelfte termen der evenre^
digheid plaats nebhen (j^6).

., ZD 4^ evenredigheid

72 2 84 = $6 : 4»
•a 6 een zeker geul i dan zal

4aa

ift s

84 == 36 t
84= 36
_75L« 14 = aj6
7a s 504 = 6 : 4a

Opheldering»

Z9 de evenredigheid
a i b :=:z c i d
en tt een zeker getal ; dan zal

an t b zrz e t z

252

4a

•j 8 b ^^ e i dn

e

a t ha

b
a : j ^zzen : d (37).

Bbtooo* Wtoty in alle deze nieuwe evenrediglieden , Is ht^ pro*
^aucc der uiterfte cecpen gelt)k aan het product der middellté Qj;8>*

IV. Evenredigheden 9 welke uit de fbmmeh (f verfchiïïm tan
fomm^e termen eener evenredigheid ontftaan.

. 543. VI f. Eigenschap, f In eike evenredigheid^ is de fom
van de termen der eerfte reden tot de fam van de termen der
tweede reden ^, gelijk de^ ^owga^nde term van de eerfte reden

t9t dm roorgaanden^ ten

de tweede reden; of^ gelijk de

(34) Hoe bewjst gj dezelve? , ■

(55) Kan men dezelve ooH nog anders bew|zei|f

(56; Welke is de zesde eigenfchap t I^.

($7) Verklaar dezelve lUnler? -. ^. ,

U*) H*^^'"'**' »>*» ****^^' ' DigitizedbyV^OOgle

C4

VI

ALLER BE tl STE oaeMDBN i>Ea

¥digëftde term fan dt eérfle reden tot den 9o!^enden term van
ie tweede reden (3p)*

Opheldering^

4an !^ 1 dan is

1^14-15:7 + 5 = 21:7 I a + hian'^hn'=='man
«1 + 15:7 + 5=315:5 I <i + *:tf»4-^ = ^*^»C40>
Bbtooo Aangezien a + hia^b'=r:aia^^n wederom, « + * : tf + f

=: bibiê^ zoo zal, volgens de rEige/êfihap, indien men de volgende

termen dezer evenredigheden mei n vermenigvuldigt , a + b i att -ir bm

zr tf : j/i en ë'-\-bian + bu::^bibn ontftaan (41^

^44« VI IL Eigenschap, f ïn elke evenredigheid^ is het ver*
fcnit van de termen der e'erfte reden tot het verfehil vau de
termenr der tweede reden ^ gelijk de voorgaande term van de
ecrfte reden tot den voorgaanaen term van de tweede reden;.
#/ gelijk de volgende term van de eerfte ^eden tta den votgeum
dm term tan de tWeède reden (42 )•

Ophelder ing. .

Z9 ftx:i5=:7:5$ i Z^ a xb'nzan i bu$

ian Is i| dan is

gi — 15 : 7**^ 5 =^ il f 7 1 »—'* ï <?« — >«— ir i «i
ai — 15 : 7 — 5 = 15 : 5 1 « — ^ : «» — */r:ï=> : ^«(43?.
BtTOOG. Want, nteb kan itellen a •— ^ i a ^^ ^ rr? a^ a^ en
wederom . 4 — ^:ii — ^ = ^t*. Men vermenigvuldige de vol-
gende termen dezer evenrfdlgbedeii met »i daa verlirvgc men de twee
gefteldfe evenredigheden (44)f

545. IXé Eit&E»HmAP. ilk elke evenredigheid JH^tf dt firn
ter termen vmt de eerfte reden tot het mrfim der te/mék
van diezelfde reden ^ gelijk de fom der termen van de tweede
Pt(^ tot derzelver ver/ihtl (45).

Betoog. Want » ftclt men a ib ^ ci d ; ètm ïsa + b t e+ d rrrdti e^
«te l^II Sigeafchapt en #—^:c — «/ = «:«, zie FJIl EigeMfcbept
«Brtialve «I H-*i4P+4lir:tf — *:r— J(^aat b, doér verWlWblil^ der
«tëeaiyf +»itf<^^ssc+it«-*-il(4o;* "

■^'^■' ■" ^ . I . . . I . , I ^ y iiiif^i II -

(f9) WeTIce is de zevende cigearcbtpf

T|8) VCTKlaïf dè^eWèl ,

'4^) Bewijs dezelve? ^^

(.4

^4ft) Welke is de achtfte eiffenrcbtpf

,43) Verklaar dezelve nader 7

<44) Hoe bewast g9 deze ei^enrclHlI^t

U5) Welke is de negende eigenfcba^f. ^ r'

ièfii^ Hoe bewQu aca dezelve t * Digtized by LüOOgle •

C IJF E R K U N S T. VII HOOFD D. XXXVIL les. »

546. X, EiWNfCHAP. i Ih elke evenredigheid^ is de firn der
voorgaande tot de fm^^iler volgende termen^ geUjk een voor-
gaande term tot zijnen Volgenden (47). ^

Ophdderingm

Z8 aii-rzeidi
dan Za]
a'\'Cih + d'=:za\h
a^-cik-hd^zczd (48).

ZJj fti : 15 = 7 »5;
dan zal

iïi + 7 t 15 + 5 = « > 15

" + r«ï5 + 5= 7 ' 5

Betoog* Want, indien , in bet algemeen , ^i:^ =^:i/is;danUook

aie z=z b.di en, volgens de FU M^igetifchap^ tf + c: J + i/z::4i: ^

547. Xf. Eigenschap, f Ook is, in elke evenredigheid ^ het
ver/chil der voorgaande termen tot het verfchil d^r volgenden >
gelijk* een^oprgaande tot eenen volgenden term (50).
Opheldering.

Zg a lb:=: c: i;

; Zö ftii 15 = 7: 55
dan zal
ai — 7 J 15 — 5 = fli 2 15
£1 — 7: 15 — 5= 7: 5

dan zal

a- — cl h — d nr a l h
a'^cib^dzzzcid ^51).

Bbtoog. Want , indien albzrzeldï^; dan is i? ; c =: b^d &a.a «- c
Ih'^d^zalh^zcld (i^2).

' 548. XII, Eigenschap, f In elke evenredigheid y is de fom
der voorgaande termen têt der ze her verfchil^ gelijk de fom dêr
volgende termen tot derzelvèr verfchil (53)»

Betoog, Want, tilt « :^ = c\d, volgt :iSf + r: J + dz=:za : h en^x —
c\}f^dzila\h', derbal ve is ook tf -t- cvb-^ d':zza'-c\b — i/,eüein-
d^^llt , door vetwisfelinjg der wdcns ,« + « a^c':izb^d\b'^d (54;#

V. Ey4nredlgheden y welke ^ vit twee of meer Evcnredigh^
den , kunnen worden opgemaakt.

S4P. XIIL Eigenschap, f Wanneer men de overeenkom-'
fiige termen van twee of meer evenredigheden met elkander

C47) WeHte is de tiende cigcnfcbap ? \

^4*3) Geef eene verklaring van dezelve ?

(49; Hoe bew(fst men^ dezelve ?

(50) Welke is de ejfde eigenfcbap ?

C51) Verklaar dezelve?

(5a) Bewijs dezelve?

C53) Welke is de twaalfde^ eigen fcbap? ^ r

(54) Hoc bewast men dezelve *<^ DigtizedbyV^OOgle,

t4 ALL£ REEKS TE aftOHfi&N oiEit

'¥erm€nipfui4igt ; dm makm der p'üduam éfkifd iene nkuwe
taftnr€digh$id (55)*

Opheldrring, Z9n gciteld de drie
evenredigbedQn , in n<^. i « a en 3 ; In-
dien men dan de overeenkamftigc ter»

fl) e \ fzzz g : h.
3) k \ l z=z jw : n.

tdcn vaik r en ^ net elkander verme» ; 4) aex hf ut!: «^ : dh.
nigvuldigc; dan verkrggi me» de even» 5) aek : hfl = egm ',Mn.
redigbeid, ■<>• 4; en de overeenkom. ' ^ '■ "

ilige terreen vati de drie gegevcne evenredigheden mee eUaiider ver*
menigvuldigd zgnde» verkrögc men de evenredigheid, n^. 5 (^^6).

Bk rd(H». Uif de twee eerfte evenredigbeden , volgen de vergelijkingen
-r- = -j- en -jr = -|- j Indien men deze vergel^kingen met elkan-

06 CS

Asr vermenSgvnldigt; dan vèrkrBgt men: — = —-, en derbatve

•e i hf z^z'cg X dh. Op dezelfde wjze, blijkt het : dat aêk ; bfl rz:
•gm : dhn ir(57J.

550. XIV. Eigenschap, f Warmeer hen de overtenkomflige
termen van twee evenredigheden door elkander deelt; dan a»/-
ien de quotiënten eene nieuwe evenredigheid maken. (58^

OniEuuuuitGr Wanaeer »eo fteU;

a x }f '^^ e t ê
en'«:/=S^s^

iMia aal — : -7- = — : -r iv» C59)*
e f g h

'^ ü e

te TOOG» Ülc de twee gefielde evenredighedeiH valgt; — =z: -j e»

4r ^=2r ^. Men deele ire de eerfte vergeHklug door de tweede 5 dflrU

-i-X — =r4*X -^««tttde^vergdtlkii^iidcttléle^^s-i^ge.
w e d g •

dceld door •—==-— gedeeld dow — ; da t is ,—: -7 =:-—:— (öoj,

551. XV. Eigenschap, f -D^ quadratén, de cuben èn dt
hogere magten van de termen eener evenredigMd zijn even»

Css^Welke is de dertiende eigenfcbap f

(56) Verklaar deiBcIvef

(iS7) Bewtis deie elgcnfcbapf

(58) Welke is de veertiende elgcnfcbapt

O 9) Verklaar dezelve?

(60; Bewifs dezelve? r- t *

ifió Wat lègt de vöfticnde eigeafcbi^ oigizedbyLiOOgle . . .

CIJFERKüNST* Vil HOOFD IX XXKVII lbi. jf

C»imL»ARiMl»* tndiea 0 :» = v : i/ ü; dan zil

il» : ^» rr ^» : rf*

cb dU volgt miiniddelBk oit de KI H Eigen fchap (tb},

552. XVr. Eigenschap, t De quadraats^ en cubus^wortekH
iHt de termen eener evenredigheid zijn evenredig (63).

OPUBL0saiNOt Indien a : h = c \4 ^ i ^x^ xil

\/a\X/h:=\/c%Vd

en dit volgt ivederom uit de XF EigeofchaP (64)0

XXXVI H. LES. Ferdere toepasfing van de verklaarde efgem
fchappen der Evenredigheden ; beheizende de verklaring

^ van DEN REGEL VAN PBJEêN*

553. Wat eene vierde evenredige tot drie g^gevene g«*

tallen is^ is reeds art, 534 gezegd; eö hoe detelvie gevoBde«

wordt , is aldaar geleerd ^ en reeds ^ door eemge voorbeelden, op-

gehetderd* Het aoeken eener vierde evenredige toe drie ge-

lallen wordt gewoonlijk Regel van Drieën genoennd; (i^i^eene

benaming, welke , hoezeer zij ' door het gebruik gevestigd

15^ nogtans de zaak zelve^ op eene oonaauwkeiirige wi^,

uitdrukt (s); omdat men, in oanoemlijk veel gevallen, nic

drie getallen, een vierde ^tal vinden kan; zonder dac dit

vierde getal daarom eene vierde evenredige is (3). Want,

wanneer a^ b en c drie gecailen z^o, en men (Uli;

a-^b
X z=z ■ ,• X =: abc; x:= Qa +:^) ^5 «,= (<f* +.^^ K;^

en duizenden anderen; ^an vindt mes ook, in al die gevallen ,
uit drie getallen, een vierde geoil jr; terwijl, In geene van de*
£elve, X eene vierde evenredige tot de drie gegevene a^ k
en tf is C4).
554/^ In oiiDoemlIjk veel gevallen van b«c ^^el^H^be !••

<te>!lIoe'Kc«v)|at men deze'f

(55) Hqe bewast men dczet

Roe noemt men tet zoeken van ctiie vkrdft evenreittge?

C63} Wat zegr de zestiende eigenfcb^ ?

(54) H —

|i5 HO

f s) Is deze benaming naaowkeurig ?
<3) Waarom niet ?
'C4> ^Sn er^an meer gevaMeo,!» <w«lke flien, «ft^Mc-JHsiko, %m
vierde getM- zoekt I °'« ^^^ ^^^

36 ALLEREERSTE gronden db»

ven, in den Handel, in de Hand^rerken , Konden en Weren*
fchappen, komt het uitrekenen van eene vierde evenredige^
welke wij , om ons aan het gebruik te onderwerpey. Regel van
Drieën zujlen blijven noemen, ^te pas: hcc is^ om die re-
den, dat jnen dien regel gouden oï gulden r^^^/ genoemd heeft
(5). De reden van dit uitgeftrekte gebruik is klaar; omdat,
iii den zamenhang der dingen., en, in de witze, op welke ^ in
de Natuur, onderfcheidene foorten van grootheden van elkander
afhangen, overal, het zij op de eene of op de andere wyze,
^enredigheden beftaan {6).

555 • Aanmerking, ,,Hoe ^eec nu de oplosfing van eene
vierde evenredige, in zich zelve, hoogst eenvoudig is, en den
eerstbeginnenden geene zwarigheid veroorzaken kan, wordt
nogtans de toepasfmg van dit algemeene vraagduk hierin mQ^
of min moeijelijk, dat men den aard der zaak, op welke men
de berekening wil toepasfen, grondig kènnea moet, om te
kunnen beoordeelen: i**. of er wezenlijk eene evenredigheid
tusfchen de gegevêne en gevraagde grootheden beflaat? en a^
zoo deze beflaat^ op welk eene wijze ^ zij alsdan in dezelve aan^
wezig is (7)? ,

^ 55<). Dit alles verdient, door de befchouwin;» van eenige algemeene
en tevens eenvoudige zaken , te worden opgehelderd,

lO., In de gemeene zamenlevinq en in den htndel, in het grdot en
klein, ruilt men onophoudelijk het eene dins tegen het andere: men
komt overeen; om ^ voor eene zekere hoeveelheid van eenige waar ^
gene zekete hoeveelheid van eenige andere waar te geven of te ont*
vangen (8). De wederkèerige hoeveelheden dezer waren , te geven
en te ontvangen, worden onderling, door het oojienblikkelijke belang
der handel drövende perionen, bepaald; maar «oodra dfe overeenkomst
de onderlinge evenredigheid der hoeveelheden hïeft vastgefteld; dan
bedaat er, tusfchen alle andeire hoeveelheden dezer dingen, e?ne be-
paalde even'-edigheiA C9). Wanneer men dtirvoor 03 ellen linnen 16
ponden koffij geven wil; dan zal men yóor 2, 3» 4* 5* ^ en vmatl
s;) ellen linnen, ook 2,3*495*^ en n maal 16 pond koflfij ge»
ven ; en men zal zegsem, de hoeveelheid van hel te verruilen Vnmn
U tvfinredig aan de hoeveelheid van de in te ruilen kogij^ zoodat

2% el t n maal 23 el — 16 pond t n maal 16 pot^dm
%z\ zQn (lo).

I' ■ ' I ■ -

(5^ Heeft men ook aan den regel van Drieën wel eens eenco «idierei
• na«ra gegeven?

(6) Wat is wel de reden van die benaming?

(7) Op welken din6;en behoott men , bil de oplosOi^ van eeneo regel
van Drieën , in de eerlte plaats , te letten ?

(8) Wat is ruilen?

(9) Wat merkt men bti het verruilen der dfogeo 00?

Cio) Geef hier een voorbeeld van? oigtizedby Google

C IJ F E R K ü N S T. VII H00FDD.XXXV1U.lbs. 3/.

*Cf7. 2?» Toen er nog geenc mumfpecJe^ geen geld^ bekcnH was,
verruilden de menfchen, op deze wgie, de dingen^ die zQ te veel
hadden» voor andere dingen, die zO behoefden^ maar deze ruiling
ilioest altijd lastig en cnnaauwkeurig tijn (ii)« De invoeiing van
bet geld heeft die ruiling gemakkelijk gemaakt , en aan naauwkeuri»
«er regels verbonden (laV Hef geld is niets anders dan eene maat^
fatr% waa)rrnt}de de waarde yan alU d ineen » hei zif van de eerfie
eti meest nOodzaMijke behoeften^ het zij van weelde^ de y^aardt
van dienst en arbeid^ het loon yan bedienden, ^ ambachts* en werk»
tieden^ vergeleken wordt Ci3)» Cajus verbincft zich tot het verrig*
ren van zekeren arbeid, en ontvangt, naar evenredigheid van de ge»
deelten van z^'n volbragt werk, een bedongen loon, dat hem in ktin*
(ende n;iunt betaald wordt; daarvoor koopt hj), zoo ^el de eerfbs
en noodzak elUkike behoeften des levens ^ als andere dingen , die htf
wenscht te bezitten, en welke h'4 zelf niet vervaardigen kan, voV-
tfens prijzen , welke de oógenbllkkeltike omflaodigheden voor die ver«
fchillende artikels bepalen; f14) en zoo verkrögt bö, in den ftaat
der befcbavvng, dujzende dingen v«n behoefte, gemék, Imaik on
weetde, welke by, met nog grooter Ijgchaamskrachten en (lerker
zielsvermogens, in den onbefcbaafuen (laat, zou moeten ontberen Ci5)«
De hoeveelheden der meer of mjti noodzakelijke behoeften , woirden
door de maten en gewigten bepaald : en deze hoeveelheden zijn aliifd
evenredig aan dé hoeveelh^M muntfiukken , welke tnèn daardoor hê*
taalt; (16) en dit is hetgeen men den prijs- dn behoeften en koop»
waren noemt ^O?'), welke ^ naar de omfiandigheden des tljds ^ naar
defzeher overvloed of fcfiaarschheid ^ naar de hoogere of lazert
waarde van het geld ^ bepaald wordt C18). fFant eigenlijk is ev
feene andere vergelijking tusfchtn eejt ftuk goud %f zilver en een hoop
oren te vinden , dan de waarde , welka de xamenloojpcnde omfian*
digheden der zamenleylng aan die dingen^ yan tijd tot tijd, geven Qi^i,

i

558* $^. Met geld handelt men, 10 bet groot en ktein; bet betaaft
4e geringde dienden ; het zamelt , gelijk een seüfteen , bet geringd*
iJzerdeeUje , elke geringe werkzaamheid » de gerii^dc producten vaa
den armden landman ,^elk klein diag*- dat flechr» eeaigewj^asde.beb»
ben kan, ten afgemeene i^ebruike, op. Het is bet algemeene beweey^

m

Had la vroeger tfjd de ruiling gesne ongemakken f
ft er ntderhand iets Ingevoerd, dac die roHiflg gemakkelSlShr
gemaakt heefcf

(13) Wat Is het geld ?

(14) Verklaar het nut van het geld nadert

(15) Ir hit geld » in hét algemeen, ook vt&t de ttmenle^lnf lièttli t
(f6) Door welk middel wordt de hoeveelheid der waren meC bet' ga4
- in evenredjgiieid gebragt ? ^^ ^
(t7) Hoe noemt men die onderling»' oveMettkonttt tusfehea eeie ^mé

veelheid v.m waar en het geld?

(18) Vertndert ook fomtijd» de wlarde der keiepwMOt en em wdlg
reden ?

(19) Befteet er ém géene tolftftkte gtfigkheid tnibbeft eeM iekft#
watr eaeeae §m gelde?

IL DUU D

3* ALLERÊEHSrE growden dee

r^rf» lietweHc dk, op de timp, oni berzelve te verkregen,, en ^a«
ztnen weHland te vergrooten, in werking hondr; en d^ar bet alzoo*
ilier binden werk, ten algemcencn voordee1c,'yereenlgt, breo^ bet,
door den mfnilen arbeid, den grootCkcn rökdora aan (20> Wie bet*
zelve in |:rooteren overvloei bezit, geeft daarvan een zeker, gedSeel*
te ter leen of ten gebruike , bet z9 aan d^ Landbouwer, bet zQ tan
den fabrikant , bet z) a^ den Koopman , en verbuurt , 6nf zop t0'
(preken , een gedeelte van ztfn geld, om djiarmcde te bouten, ruwo
"waren iVte koopen , manufacturen te vervaardigen, gix>otc boevaej*
heden van waren in te ^koopen , deze in het klein te debiteren p.
êttz. (%U en geniet, b|| een vast beding, vp^r dit gebruik eene ee«
kere buur , die men interest noemt , eb ten honderd , voor eenen ze»
koeten t^^ bj voorbeeld één jaar, bepaald woi'dti Ca») «J hier w
wederom eene evenredigheid ; te tvet^» dfi Virhuftrae fmm^en of Jtam
pifaieü zijn evenredig afin d^ kar^n.; daf^ijj aan de percenten^
^itkc men daaryoof ^In h^t faar ph^aongen heeft (js,%\ '

^$9* ^^r ^l <)^ menigvoldige dingen, welke, in êh t%efnee«
m ondenigt, begr^*pco zijn, beeft m«i met evenredl|?becfen te
do^n* Wsrnoeer men no, naar een zeker gemaakt beding, iecj^
berekeoiin moetv dan moet ajtyd eeqe vierde evenredi|re; ^
U, eeg- i^eÉ&el van diieëu». opgelost worde» {x^)% Dto, er
v^ fio^ om)oe«èli>k veel aiid«r«v dinjife», wtwHti evenredighe-
d^ yoprkoraen,, en wefke niet altijd , ^pnder .andéTe kuptfig*
l^èdMT vêtkregen, te hebben^,' 2500. gem^kköljji Immieo- xigje;,
m^kt qn, bepiofd^eld' worden Ca5>

5^ 4», Twee plattfcn «^« «©oveel vereer v«n< etkwcler ver^ Q •
dcré-t Éifewi' voetganger, dte !»e(lendf?e, met rfewseKffcn tred, voorrf
fM. Uf^T tiid oiMlefwc« WWfa, i)tf affhtmden zifn dtrkalve :, in
m fMf^ % étreArfdêg man de. êijdgn^ y^^ekt wtdêudt , om dh af^
l^mdm doêw if l^9p€t^ <fi^.^

' i^* ^4 TTe^ tfétcfifen. Vit» v/tMhdén zifn evenredig ann de ho^.
^Mh^d&n'^im^^' ^eiitc :dij i hu dênzelfden gegeten tffd^ kunndi
refyaardigen («7)é^

56ir 6K De 'Tioêveêthel3 van Touv^lfóf^ noodig , om zeker turk H
volbrengen , ^ ^fir^fdifi.-4ftn Jé, gropiie- va» dit^ 'mré Ca^ - -

Xao") Tel' meer voordeden van het geld opt

Cai) Wat doet men al metr met het geld *

faa; Wat is inccrest?

^i>^VD^i^ HMb mmma^umm UftêH er t«sA;li.e» ktpiuat e» Knfm

• 2Éft.t •'■'.' f

^ft4j Wat komt Viu', in al de boven opgenaemde ifv»||«r>, Mrptf f»
(Mür :W». f»:i9M).i«iiM «M»^ «writi lm bcsrifi.irtii evtoMAgtitU

ügt opgefloten t

I,a3) Waarmede kan de boeveenietd van wmÊÜefPm^bL WffiwiM^tiid

C IJ^ E R K ü N S T. VII HOOFI>D. XXXVHÜ Lfia. ap

5^i# 7^* ^9 hetrekkelïjk$ btyolking yam een land is syenrtdi^ aam
h€t getal menfchen^ hetwelk ^ door elkander gereund f op una yuf
kante mijl ©ƒ eon* iHof kanten myriameter 'iconen tt9X

564* Ö*i De yrucht^aarheid yan eensn fftond h eventeéHg aén ket*
^aan eene bepaalde uitgefirektheid yan dien grond ^ In eene» keptHfi^
den of gegeyenen tijd , Qphyert. (go).

^r» 9'*. Het getal der menfchen^ weRie ^sjaMflijkr geboren I0or*
den en fieryen , is , blijkens gedane waarnemhtgatt^ altijd eyenreêtjg
san de g^heele ieyolking (ji).

566. Ia alle dese op^cuodiBde gevajten ^ kan mea » b| f«a velni^

bpleitend iiackft^c», 4je gronde» en de WMrheia dezef evenredigbodeo
^cvaelui. Bocik 9vvr»l w»ar evtnYje<iig|)eden Ichijiien ie beltaan» kam
ZWlks wel vermoed^ maar zoo gemakkelijk niet bewe;ten worden il»)m
De ^leei eii VVcikcuigkunde leert ons zuiKe evenredigbeden in groo-
ten getale kennen; als daar is, by voorbeeld, dat de omtrekken der
xirkcls eyenredhg zijn aan hunne middelUjnen , en de Inhouden dezer
cirkels evenredig aan de yier kanten ^ op die middelUjnen befchreyen ^
enz, en , om in deze »n foortgelfke gevallen , de eveoredigheden jcc
bcoordeelen en toe ce {Hisfen , moec ineD met oen aard dier sakca xel«
vc bekend z^n gèwofden (33).

667. De 200 eve» verklaarde zaken 2»llea tra. veel Mcliti'
öiper d« toépasfiiig van d« evenredigheden verfprekiem Stel.
len wjj, om ter zake te komen, eentje voorbeelden.

I VooMiBffi^D. Stei: dat men i^oér as gntden %6 pond yan zekera
msfft kan koofien; boevaei guldattt^ zuUtn dan 3718 ponden yatt dia
z^de waaryiegem dianzeljden prijs, bedragen f ,

Hter z^ii de boeveelbeden der waren evenredig aan de prezen of.
feldwaardcn ^ wclkc voor elke boeveelheid moeten betaald worden 1
wanneef neo dan bet gevra^de getal guldens = x ftelt ; daa it

i6 fg I 87*8^0 zm^s gf. i X gf.
. M VttoHltea^D. f^anneèr ik yoor 5 guhlêk kan koopnt 9 oHOo'imm
Zêke^ fhfi koereel Hlen yèn diezelfde- fiof zAl ik dtm % Ugtt^ éiam ^
xalfd'^n prifs , voor, ico galden koopep kannen f

O^ dezeudc gronden Uökt het»tiat men uellen zal:
5 ^/. : 100 gU i:^ 9 e/ t ar el

3 VcoRBEBLD. Um/ind heeft eene hoeyeelheid yan Mekare koop»
waar gekocht, wegende $719 pond , en daarvoor % met Qt^ostea^ 00 •
taald 121671^ gulden i hoeveel kost hem dan het pond f

Cagfy VfMfÉtw U de betrekkel^ciyev^klifg tan een hmd itv«toredigf

C30) Waaraan de vrucbrbSarheid van eentn grond?

l%lX Waaiaau het getal uienfcbe» y die *a,jaarlgk8 Aervea^

(32) Kan men overal, waar evenredigheid beilaat, die cvenredlgbeld
zoo gemakkeljfk ontdekken?

(33) ^^^ eens voorbccldeot dat dit alt^d zoo geapakk£l|k iiiei H^
beoordeeien Is I oigtized by vj

Da

40 , ALLEREERSTE gronden DBk

; Om dezelfde reden ^ als boven, zal deze vraag aldus ge (leid worden : \
3719 ^»4 « I po^ = 1267! ^l. i X gU ,

4 VooitBRBLO* Sit<l: dat men met 100 gl. kapitaal Jn ééa jaar^^
guldens "winnen kan ; hoevepl zal men dan winnen met 6725 guldens »
ïn denzelfden tijd f

Omdat de winden , !n dezelfde tilden , tegen dezelfde voorwaarden^
mck de Mpitaleji evenredig z^n; zoo heeft uien de evenredigheid:

100 kap. i 6725 kap» =: 4 winst > * winSt^ •

5 Voorbeeld. Indien ik, met een zeker kapitaal ^ in één jaar ^
1312 gl. kart winnen i hoeveel tiids zal er dan moeten yerloopen ^
eer dat dit Zelfde kapitaal ^ onder dezelfde omfandighedtn ^ Ö750
guld. zal opgebtagt hebhen f

Wanneer men flechts een oogenblik op deze vraag nadenkt ƒ dan
zfct men: dat de winden evenredig zjjn aan de i^den: men (leiLe
'derhalve

131a winst t 8750 winst = i jaar : * jaren

6 VooitBEBLD. Etit f^birikeur heeft *s wekelijks aan arheidshonen
J76 gulden te betalen; hoelang zal dan eene f om van ^815 gulden^

* die hij no% in kaf heeft,^ deze uitgayp kifni^eo hejljrijdenp^

. I>e t^d» zoo Ung die /oik) dr^kl^en kan , is kiaajFfamk^i^'lc aaoJdU
fofltt evenredig : men ft elle dci' halve f > , :.t

17Ö gU : 3815 gl. ^ I weeki x weken* ^

568. Het. kan hem, die eenigermate fchraiuüer Is, gejnè
nM>eite kosten, om, uic zulke opgegevene vtageti, evenredige
heden op ce ftelien; doch, om niets achter wege te laten, ciat
den eers^begiunenden helpen kan', zoo volge men desen

Reg£L. Noem hef. gevraagde getal x. Stel dit onbekende
^al tot den achtfirfien term der evenredigkeid , ef M den toU
genden ^terrn der tweede reden; zoeh^ in de vraagt het getaf^
dat hier mede gelijknamig iSj en flel dit getal tot den vogr*
gaanden term' van de tweede reden; dat /V, tot den derden term
dei' evenredigheid : ft el daarna de tivee andere getallen ^ welke
in de vraag voorkomen ^ tot de termen der^ eerfte reden; zoo'^
danige dat de voorgaande tot den voorgaanden^ en de voU
gende tot den volgenden behoort; en dan is de evenredigheid
wejg^ordend o^gefteld {^A). Vergelijic de voorgaande vooü-
beelden.

569. Wtnoeer ^ uit h^t vrai^l^ak » de evenredigheid welgeordend iè

C34) Welk eenen regel kan. men volgen, om eencn regel van Dric2a
op te ftelïen? - ^ n \ '

' DigitizedbyV^OOQle

c IJ F E Ricu rr ST* virho(>¥»D; xxkviM. i%u \t

ci^l^eUi'^ém kuft meh nfcts vcrrfer te dbett, dlÜ (ft ^eWe even-
re'dige ^yolgcnssn. 535, te bepalen ; alzoo 2al # ifliidl fOértierd , ti\ 1^

Uk bet voorbeeld » n*« s»

\. — '^ Xj> „ ,-^ . •

sQiu' )£n men zal vinden', in nS ^, x za^fÜJtalnm infi^* 4t
« = 269 ^/. ; tq n<»« 5 , jp =^ 6 jur B maand. 841 dag ; in n«. 6,
# 1:= 2iy% weken»

5;^ö, AAtvttBRKtNÓ, fier w^ verder gaan* moeten wfi eene zwa»
rigueld üit den weg rufmeti . die den eersibeginnienden nitCcbieo ver»
Urgèn zoa kunnen maken, #7/ hehhsn.^ art. S9 gezegd: dat^ in eem
Yèrmenifryuldiging ^ bet yermenigyuldigtal alleen een kenoemd geiOfl'
tan xi]n: nogtans vfotdt^ in het eerfie yoarbèêld^ 05 jj[uid. met KT i^
pond yernenigyuldigd i firifdt dit ntet^ vraagx nien, i»^/ dit gefietdê
tféginfeit (^^y Ducb» dfit is eoiie verlccicrde opvatting. t)e tei;ij»en
Van de cerfte i-eden befUah oic twee gewikt eo^^ welke tot elkander
ftaao^ t\i de getiiiferi 36 en 3718; Isoo b6k Êeuaan dp tecm^n vai^
de laatfte reden uicitwee gelJwaarden, >yelke zich tot etkahdei^ ver* ,
boliden , als a^ iet x.SUn kêefi dn$ ^ei^ ha ^èi^ te kijn^ dat ah
les goed ^ en naar lehooren^ gefield i*^ bentfemde^getnUengefchre^
ten; maar^ in den grond ^ onbenoemde ketatten geawehTi toe welke
roeu eene vierde evenredige zéekfen iioet^ aan welke Vierde even*
f eciige » nadat wen dezelve gevonOeü >eeft « ée tnatm vüt den kieedesi
terra der evenredigbeid moet .wotdee ioegcëtgend Cofiih ■ •«

57U L OEWKynofe AANHkRKtNOv Wg hebftdi fCzfeir: dat
de termen van elke reden eccer eveorëdjgïïeid gêïlfkjfliachag*
grooiheden moeten z^n^ en-^ voca^4i^^ «fioveer deze eveiH
redigbeid, in getallen, is uitgedrukt', Vif termen van tikt reden
U$ deze^dê éénhetkn of mtOtn ^mxnn ktrMd immktk U tfele
vraagftokken , tot cenen regel van Drieën béboörende, h edü
ler deze zoo noodzeketijke voorMarde niet vervuld, en men
xou das een valsch befluit maken, indien tden de gegevene .
getallen, zoo aja zij daar (laan, als, mer bet otibékéndé , ia
tvenredijgheid- (WMAdCy wilde ^efdiëëw^ft. Eèr mtÉ, in zul-
ke gevaUm^ M de ophsfing d»r ¥ienl9 evenreJI$e m^ eiHli^i
gUrn^ tnpeien eerste de imgefijkna^fge tehneh ¥an dez^fiJè rid
den M getyknamigt gebrwgi ifidrdeh , m wHk leimki ée srerten»

%glgi^Mkm ter e&eb.ür de optosflng VkH den itga vM ^klo^nlac

swarigbeid op ? i.

M) U9e Hm^ dftselve otóïöSl! *^ , r- ^t

^^ ^p ^^ Digitizedby Google

Aü ALLEREERSTE GRoifiysji D.ft't

▼. . j

fUmming der verfchWende éénh^^ moet ^kend wfden (37^.
2ie hier voorbeelden* ~ ; *»

I VooRBBBLD* Foot 3 dukateu koopt wen 47 el*, hoeveel dam
foor 7i<f goud^guldens f
Wanneer men ftelc

3 Dukaten t 716 Goud'gU =r 47 r/ i jr el
. dan ftel ik indedaad , 'voor tO& ver ik de groot beden befchouw» wel
eene evenredigheid; maar, wanneer <h mV de getallen , in bet afge*
trokkene , voorftel $ nameiVk s

3:7i<5=4rs*
dan druk ik niet neer de evenredigheid der grootbeden uit, en ik
zou , door tot 3 , 716 ^« 47 eene vierde evenredige te zoeken » een^
yalfche gevolgtrekking miiit^/i ; omdat , een Dukaat eene geheel andere
éénheid -dan een Goud «gulden zgnde, de getf^Ilen 3 en 716 niet de
'verhouding voorftellen, welige er tusfchen 3 Dukaten en 716 Goud*
guldens beftaat. Ik móet derhalve de geftetde evenredigheid tot^eene
evenredigheid in getallen inaken, door de 3 Dukaten en 716 Goud-gul«
dcns tot dezelfde eenheden, tot duivers, b^ voorbeeld, te herlei-
den; een Dukaat bevat 15, en eeu Gond^gulden 4 ftukk^en van '7 lluir
VWS , derhalve is ;

3 Dukaten i 7X6 Goud-gh ZZZ-^ el i x el
15 • • • • 4

45 : A864 = 47 I «

Ik ktn dot , f« plaats van 3 Dukaten , fchr^ven 45 zevenftniveri
• ftukken, en in plaats van 716 gowd^gl., fchrifvcn 5864 zcvenftuivers
jukken; en alzoo, verkr(|g ik^^if) getallyii» de evenrcidiglMid
45 ; 2864 = 47 : * , en

* — *. ^'^4 X 47 ^^ ^,, ^,ffx
45 ■ . '

Hiertoe hkoorP ook het geval , ,i*'anneer eenige termen van dt
ef^enr enigheid uit geheelen^ deelen en minderdeelen beft^an»

A V OORBEELD. Indien 3 pond kosten 7 gulden 11 fiuiv, 4 penn^
ioeveel kosten dan 1^7 pond f
De evenredigheid is . .

%,pon4 '• 137 P^ =?= 7 gi* H fitriv..4 p^n* 'Jn ö/.
Wsaneer men. nu de derde term tot pennrógeto t^ieidt; daii moet de
Vieide term ook in pemjangen lijn uitgedrukt , en men verkr$gt daii^s .
Spondt 137 pofid == 0420 penn. i « penm. <^> , * \ i- .

^37) Wat valt er gewigtigs, in de oplosling van de|| Regel v«liX)rieit».

op té merken?
Cj8J Hoe verklaart r|} bet eerfte- Voorbeeld f . " , j

Cgj;; Verklaar liet tireedc v^Qcljeciaï ' ' - •Dig^zedbyGoogk ' ^

CIJ Ef B R K ¥«8 T. VII HÖÓlfDDiÜSatïVÖU tf««. «»

S VooRBfiEiD. HêêVêd kmên $9 P9ièd li (mSeM4ét^€Mé&n^$
fuiv* 8 penn, het pond ? ^

De evenredigheid i» hier: : : , '^

^ I pottd : z^ pond 11 o»<?. =r 3 G/. 17 fiuW. 8 ^««.t ar (?/. ^
IVanneer men den tweeden term deaer evenredigheid tot oneen
maakt; dgn moet ook de eerlle term in oneen worden uuge4rHktj^
e» dan wordt de evenredigheid: . /. v

16 onc. : 635 onc» = 3 01* 17 fi^^^* 8 ^»»- « * 01.
en maakt men den derden term tot penningen; dan ,raoet de vierd^of.
onbekende term insgeiQks in peuninge|i worden uitgedrukt 9 en lóeb
heeft danv^» > .. ,

^ one. : 635 ojw.- =2 1^40 P*»»« ' * P^>»»- G*o>'
67a. Hét is dan, op dezewjie, dat de evenredigheden, welker
termen uil gphecleo , deelen en roinderdeelen «Sn «ame^eftöld, tpjEr
éene evenredigheid ia geheele getallen gebragt worden, na welke voor •
bereidende herleiding, de vierde evenredige, naar den gewonen regel
berekend wordt. Men vindt, in het tweede en derde voorbeel4j ,^

* = ?l!l2!Li2? = 11051^ p$nn. ZIZ S45 gl^ 7 fiuiy. if penn.
IMOX^ _ 155X635 1- 45^,,|p,„«. = ,53^/. ,5^^ ^,.^^^

Men deelt , namellfk , in het laatfte voorbeeld , deii teller en noemer è&t
breuk '^^^^ ^^ door 8 j da» verkrijgt men , 19 pVW* VJW dezelve , *, :;=:

10 •• ' ■ . :

^S5 X 635

i — :,''':'

573. Il GBkiGTiOE MNMERKiNGfc ^anne& de ïèrmeh'Van
etne evenredigheid uit gebrokene rf gemengde getallen befiadiif
dan kan men ^ door de toepasfing van de V Eigeriïchap, art..
541, deze evenredigheid tot eené evenredigheid tn gelieek geiaU^
ien bref^en ^ zonder dat de achter fie of bekende term van, waar»'
de verandert ii^i^.

i VooRBBBLD» Zff de evenredigheid

i </ 8 71 #i :=: 7 ^« :;ai ^.^ ^ *» : n.^ ^
wanneer ik de termen van de eerfte reden elk met 3 yermenigva!d^;<
4lan zl^n de producten met dé overbl^vende termen evenredig ^ en me ^,
iF^kf^^deihalves ' . •' ' ^" " '■'•"■ ' ' 't \' !: //

^ ■ ; 3'j23i=7-i* ' - '^ • ' '• '*■'*''

eene evenredigheid in geheele; geuUen , H» welke de wsardt vtn «
onveranderd gebleven i's*

^40^ Verklaar het derde voorbeeld 9 , / (^ »

14i3 Hoe gaat men te werk^t ^Vfuineer de< teidiea ^ evctmttiMf

mee breuken j^tiiP aanged^]^ . - i ^ )

<44>YerWwrWiefi:fl%;y9qKl;tj^ëjr^ .. : ...Di^tizadbyGoogl- x <^

Z pomd : nsj pö«<^ = 5ff gl* i *lr^ *' - -

Wtmieer men de termen van de eerfte reddÉ elft liiet ^éét 'té^ibdifB*
vuldip» dan }9ê9U laea t

th d« tO«fÉ)«M^ tè^öA éllt mét aclit ver menigvutdigeaJe t Am lifordi>
de evenredigheid : .

U ^élke d6 Qli?)ekeitd6 <erïQ dezelfde waifdè behouden heeft «•!• in
% eertcgeftèfdë evehrêdigheid t43). ^ ./...-

f Voo&BfUNup*^ Z9 nog gtftvea de evemikKglHÈM? i

Witonéer M» ée tehten Van de eerfte reden met t^^ het kTelnftc ge*
mCiMt VtelVoud vsn 4 en d » vermenf gvtildfgc ; dam verkr^gt men :

39 'y iAH == i7fS ,?/• 5*5'-
en verMénigvuldigt men de voorgaande termen met 16 ; dan vcrkrAgt men f

624^ : 1414 sa 1^ J *
In welke de waarde van x dezelfde geblovea is C44) :>;. ^

5^4» Oift^oÉ.0.^.^ l^^*if /ifi»t, mr al dievioorhet^: dat
mtl^ tytur4digkfikn.t melker Urmen m$ geheeku^ ékekn m- min*
Jerdielen zijn zamengefteld^ of welker termen aii gebtókene of
gemengde getatkn beflaan^ m eene evefiredigheld in geheele ge*
tallen kunnen worden overgebragt ; zonder dat de onbekende term
ü$ dèszetfs waarde verandert (45).

,57$,. IIÏ Gewjctiov. AAWMBftkiw©* ' Maar^ wOmUer efnige
êvStredigneid M zulk eene eyenredig^eid én gekeeie getaikn
gebrast is; dan kan tnen dezelve fmtifds eemyouiH^r imtktmp
d^Js^ tot kleiner geheek getaUen brengen; iudltn mameMjk^ ^
4r teimun van de eerfe redjen^ef dk y^rgamde tenmm^de^
evenreMgheid y eenen gemeènen deeler hebbende^ die Urmm deor^
eUen gemeènen deeler gedeeld worden, (j^y

VOQOBSLD* Inditii gegevtoo is de tovenredightld

' ^ '3* poM : :^9t pond itt'^s gt % x gi. ' ''['

Hè tédfoleft van de éertte'rédén hebben het getal zeyeif coci_
r» iadien Ik dese derh^ve door sevea deel; dan heb ik:

(43) Verklaar het tweede voorbeeld?

144} Verklaar bet derde voorbeeld?'

Sjh m^nz #Kr«li «kt 1$ uil m nst vo^taniel

léfO Wat moet men

wi g.eli6^ getaUen 1

pde voorbeeld f >

iit 1$ uil « M! vo^fanie f

I oog, ten aaifzid» An «eii4 «tyMtlbiMa ^
ifebragt li.WiefctlieiWrt^^^*^^"

C IJ H B R K ü N S T* VII HOOFDlW XXXVlILLEfc 4S

tfe voorgaande termtïn dexpr niaiw« evenredi|Veid l^eüben bet get^l
W/r tot geroeenen deelert indien ik door dien gemecne« dceler dbel;
dtn wordt de evenredigheid:

I : 113 r= 5 : *
welke nu in de ecnvoudigfte geheele gec^Hen is voorgefleld, zonder
dat de onbekende term *• in waarde veranderd is C47). '

De opiosüng van de'vierde evenredige, in de eerstge(leldeevenredig#

beid , geeft x — zir 565 gl^ en de oplosfing van de vierde even»

35
rcdige, in de herleide evenredigheid , geeft ar = 1 13 X 5 =565 ^/. Daar
de lafatfte bewerking veel eenvoudiger dan de eerde is; zoo blQki hieruTt :
4a t meWf zoo veel. het mügeli^k is ^ de termen eener gejlHie of vér»
kr€gene eye/$reéigkeid , itt geheele getallen , moet 'perkleinen C48>.

' XXXIX. LES. Fer^olg van den Regel van Drteen^*be^ \
fiaande in de befchou)4ing van alie zijne bijzondere
gevallen. ,

$76. Offchoon het verklaarde, in de voorgaande £^^, !n al-
Jen opz%ce, voldoende is, om alles, wac cot de OplosQng vaq
den Regel van Drieën behoort, grondig te vertlaan; 3joo zul-'
len w^, daar die Regel van zooveel gebroik is, iiog de bij-
zondere gmilendooFloopen, welke de Cyfernieesters vad den.
zeiven gewooniyk opgeven.

S?7* Men onderfcheidc 'den Regel van Drieën in twee
Ifoofdge vallen: in den Regel van Drieën in geheelen en de»
Regel van Dneën in gebrokene getallen': en deze hoofdgevallen
worden wjderom iH verfcheidene anderen verdeeld, naarmate
van de deelen en minderdeelen , welke bij één of meer der
bekende termen gevonden worden; welke gevallen wij, om
gejgne onnoodige omfchrijvingen te maken, door uitgewerkte
voorbeelden zullen ophelderen (i"). *

I. Rjegd van Drieën in Geheele Getallen.

. 5^, I G£VAL. IVanneer hij den vpor gaanden Urm van dè
tweede reden deekn en minderëeekn ftaan.

I VooftBEELD., Wanneer 5 Jj van zekere waar ioil€n 7
gLlo^jiuiv. hoeveel kosten dm Z7 ^^

(47) Helder dit door een voorbeeld op ?
r4'ï3 Is zulk eene verkleining nuttig? ...,., .

?0 In hoeveel hoofdgevallen kan men den Jlegel vaa- Drxeïn ondpr-
fcheident mg^^ized byTI^cTögl

a: = 55 ^/. lo y?»/V.

VBrRKLAHiKO* Stel , dat 37 fig kost * lïuWcn ; dan hctft Hrttï ifc even»
zeiUgbeid » 5 §g : 3f i^ = 7 ^/» jo ƒ • x g»ld. Ik faeritticl de 7 gi.^po^fi. lOt
iluiyers, enviiKlt daarvoor igoy^h^.Li daBWosdr<ie^ye<M'e^?^keMr^ ^t
37 fi? = 150 y?«iy. : X Pulvers, De voorgaande termen deztr evenre-
digheid zgn deelbaar door 5^ Deze teri^en door 5 deelend^ , viov^ de cven«
redfgfkekl i « 37 1^ 30 ; i". Hier is x niet in waarde veranderd* " Ik
vcrmenfgvaldigntrCvï>l^njdcti regel tot her zoektn der vierde evenredige)
<ie termen 30 en 37 met elkaniter, en behoef door den eer flen term, die
^e éénheid is, niet ie declen* Ik vind, dat--.* = 1110 fiuiv. is, wcl-
k«, toe guldens lierieid z^uét^ |[evenjc zzz $^gh 10, piuif^ (2)

p(f^ Indien: iie J €Um h^^ 3 gh <%7 fi^i^K % penmf i • .1 i /.

Il 5, halve ftuivett^
W6t ^, 1:1' vermem^Vm

product ^6^5 halveTfiuivers

f

!t'I

131 175 heek flüheri
% ^=?2^ 65 ^A 1^7 /?iwV. 8 ptinm
VBRKtARiNO* De evenredigheid is 7 ell. : 119 W = 3 jf I. if /•

d^n iVn t>eide déelOaar door7. Ik verkr?^ ddè ètt evcUiMiltèi» t 1-17
= 155 hatye-fluiy. ;■ x halyc'^uif^ £4«del0ik\gdefk 111$ de of te^mvim
de vieade evenredige x z= 2635 halye-ftuh. = 65 gl» 17 (U Sp^^Cs)

ö

Verklaar de bewerking van het éWfte Vöorbfettd f
|> yecklatr de feéw^rJètn^' van het twce^ tootèwWf^oole

C IJ P I H K B N5 T; ¥11 HOOF&D^ X^EDT. Us^ ^

0m.4if^ dé €t frétekend ie^ té J?«/y. 10 feflfM '

8 ji^iMi. ; hoeveel kost mij datf de gekeelè parnf van fvSi jgt

580^ y Vo0RB»Eib,* Ik heb eeéé zekere wOar ^deiod^^ $^em
fSg^' la fluiv. 8 pem» gekoekt; Jheveel kost ntêj dan ket)pond}
100 ® : X g =r 75 fl^ Xp, Jhnv. ? penn. : a? ^/.
26' > I kalve'fiuiyer

1512 y?»/y;

*"•" ■'" " r: .

30I25 [Zo^ ^fy€^Puiyert,

Vbrkl Auma* De evenredlgïield, is ^ ïpo' ffi V r ff != 75 ^/. ia /.
8 penn. : * ^/. ^fr^75 t^* ta ff.'^ pem* lietleid ik tot halve Huivers ;
dan Is de evenr^igii«if»if>p.:©.|^^ ^ :;=:,^25 hahe^fiitiy. i x halve*

0ulv» De volgende terra van de tweede tedpn^e éénheid zgnde, beliqef
Ift lBééxkffteW^*rtiet t« 'vefnïeA^Mdf|e!f; ik déw dan' 1^025 düor fl«t
etrlken t«r« roor, en verki% ar rS^öf hal^è-JNivi , welk^ >,«or s g«^

v?el l

m

20

501. 4 VOORBEEI.ÖW) ^«f«»ï n^jf PP^ pterffj MOffif gêJfêtf^^
ifi^ndp ^j83. ^ M ioo ^ W- as gl. li JL i^fet^.;, iM«

^ Vit i 37r83 È = 85 gU i^ ftuiv. li >e/ï», 1 « ^4

M r.

1718 y?«/^'

i5

T^i$é^penfh
'Ijy. |.og25^ag f.e^n.^%9Pt \ jl/J^ , ÏV. ■^;:i;*$^!

(0 VfcUur do liewcrWii^ vto Héi ted« voorBcddl^GcMDgle

J|8, .'AL fc E R E E R S T « ö E o N i> E »' b I «

Vbrrlarino. . De gefielde everfeafgheidvpramïeftjtnidtt mm 85 /r/,

18 p. tü-pe9H*^ot vfnmitfLen herleid )»eeft, in too eg : sfiS^^® :=

' i^S^op^fh iix penw* iften deele de voorgaande termen door 100 ; dmn

verkr^gt men i : 57183=275 : *; hieruit vindt men !x.=;= 103^395

. PjfMh-^ c<?39o*a A^ n\p<fpn. :;= 31954 gU ^ fi* 13 ^«n.. (5) •

582. 5 . VooRBEELPn . H^anrieer i(5i élkn koiten 2%\gh \li
fli \^^n>^Bev}!éï^ kosten dan 115 etién? 7 '

, UtèU. : ifS ell. = 22i gl. 16 fi.JZpefm, : « jfA
-'. f 5 gp •

, 4636 >?»/>•

16 ; .

74189 ?^««i''

■ ■ (5 virmen/gK
370945
AM Aör 7; -

% . 1 ^ É • f — * -^ ^ ^ ~ ]

h ' .<[':'. _S3Mvy^»'- 0} pcnn. =: ar /.

/ ^^^'^^ 1Ó5 gLia/^.o^penn. z=: x ^ "

VsRKlAniSro- De ^eHelde cvcnredlgliefd word* i6iW».i|i5^/|«;c=
741^9 pfnitu^ 3: /)Jfl«, De termen dereetfte reden zgndoorftjdeelbttTi
de evenrcdïplieid kan dus eenvoudiger aldus worden voorgefteld ,
7 : g r:r 74,189 penn, t .t p^nn^ Deïe nu opTosfeijde sal men vinden : *
; » ziz pa^gaf p^nn* rz: lös /ï'/, ia ^«ï>i o^ ^^«jï, (6)

583» 6 Voorbeeld. Cefteld^ ^-fï/ 7 tR ^3 ^c^ ^S ^* vaard
»ijn; hoeveel van die waar zai men dén i^of éénen guldfn

fiUktnr > " • '■••■ •■ ' '-^'^ - ; •

pfjf Gk 1 1 GA = 7 ffi Ï3 «i^. : » 8

Vé« M A* 1K6, Ntdat mpn » in de opgeftetde evenredigheid , <f» 7 9 ig
«#c*toc oneen berlefd heeft , verkr(gt men de cvenrcd«gheid , as gL 1 1 gU
T- fS5 offc. : » oMf* De voorgaande lermen zQn deelbaar dpor 25^ ci
tfaa beeft men i : 1= 5 « * » derlialve * = 5 otutn (7),

III tl inii • ' ■ I ■ -■ -^ '• • r

(O Verklaar de bewerking van het vierde voorbeeld?
rK} Verklaar de bewerking van het v^fde voorbeéldf

V VTJ Yeiklaar de ^ewetking van liec lei^e voorbeeld tioole

*• " ■ . •■•■■- o

C ijJ'.ER K.UNST. VI|H00f:D:"P/«X3»xiiiEi 4^

Meer vaonB^RltD^w* ï r - > .

l ft. Jndi^^9(^S>&f^osun5iS6gi. ïi ptf»«. ; h&evtel kosteTidan^oo&t
' a. //w^?^» 1575 « *öJ/^» 6512 ^/. 7.^- 8 P^«» ; b&ty^tl Lffi ? ^
' 4. Voor sö ^/: ia fi. 8 ^^#M»< Atf» /* icp fig kQapethi, hoeveel, pond
zal'ik dan hehien yooT sooo gl»9 , . , , ',

5. /j«?f>n /»<?« met ico ^«W. f« één ]aar wht ^*gU\x n. 12 pin/t.
koeveel zai men dim met 97195 gl- <» denzelfden tijd , winnen ?

6. Iemand hééft *sj/iarlijks 2^10 /r/, 17 fi,te verteren; hoeveel
Udraagt zulks , /» elke week , «fl /» eiken dojg ? jy<?/ /^/y/- gerekend
tegen 52 Vtf*^« <»ƒ 1^5 dagen V - -

584. 11 Gevaï^ IVannéer de termett jer eerjfe reden uit
éecien en minierdeekn beftaan, / _

7 Voorbeeld Wanneer één gj kou 17 fiuiy.i hoeveel koiten
dan 17 08 7 ö«r^«? . . .. r .

I ffi : 17 ffl 7 ^'w?* = 17 y?«^>. V x^fiuh.
16 éne. 16 ■ '/■ ' , • ; "" •'«'""

deel door 16 f A7AZ{ ^9\^h fto^y* = ^ "" * * : « . >

■ .-' • - 1 > I ' ; ^ -' •• ^ 'i •"'

rest 7) 1^ gl* 16 fiuiy^ 7 petm\ t=i 3tl -

VfmtLARiKO» DeeventedWieldi uft Mevr^agvW^m<è>fteni • ,y
fH 7 one. = 17 /?• - f >?• , *k ntaat 17 ffi 7 <>fc. tot onrcn; dan.Iieb -ii
279 ojw;^». Maar vermhs , In eenc evenredigheid , de termen van dfizelfdc
rcdefi;in derelfde éénheden^mocten #ordeTi uitgedrukt, inoet QQk dj* voor
gaande term der cerfte reden; dat is , i fi^ tot onc^n berleftfi^^raên' en
«Urn wordt de €vefired!ghei<f', 16 onc^ : 279 onc» ziz lyftuivi ; xi^liv
wordende jr, als npar gwvu^nte, bepaald (a)« il!!.,'

585. 8 Voorbeeld, Wanneer men voor \^^fi^i^%^^fff^„
*kan koopen één^-fi^- hoeveel ponden kan men dan koopeü voo^
tS^ gullen? ^ ' '

nJhitt.ppènn.^ : I54,^A = l ffi ;.^ » , . ^^

i-ra

55 if/erdefiuiy» ^ go8o jflf«/V,
deet door 55)

<4 • ' '•■'-' :^^ v^-n
lasao y/Vri^ fiuiy0 ' < ''

(8) Verklatr fieJ>^imriaBg^^«o b«t ceMendeWorbeeKfcf ^
il. DE£L. • E

5^ ^ Gr^|^£¥l^ E 1^ fi ¥ Ë o «i ^ 19 ly s4f D 8 n

VsAKLuaiNG. Hier. i8n wederom ile xemta der eefrftt rfede», wa».
«Ier men 13 J4éh.' t^'pei^n* tot Vierdte deelen Van ftiifversaatkc ^|>n.
|et#kiiaa)ig] ik rassk derhalve 154 ^^* lOt vierde deelett vim ftuivcfs.
«n heb de evcnrédtghelö: 55 yierd. ftuiy* : 12320 yürdé fiuiy. =t: 1 $ : « >
^nwtiiit, bfl de oploilUig, Volgt, * 2ïr 224 ® ö).

AANMfiRKjtNG. ~ -M?« i<w» 4*^ ftogtam korter ^aldui hew^rkén:

13 ftttivé ii penn. : JÜ^/J ^7. = I « : « |?

4 ^jS '3 ?^ -

SS , AAvertmigvuld.

Vbrklarino. Na dat ik de 13 fiuiv. is fenui tot 55 vierde ftui.
vers heb her lidd, moet ik 154 ^^^ die dö tweede terid der reden is,
tnet 20 en 4 veriaenigvuldigeo , om dien term mee den^eriWn gel^k-
iiamig te maken; maar nu iEie ik 2 dat 55 en 134 elk door 11 deei«
baar zijn; ik verkrjjg dus, na die deeling, 5 en 14; voorts zie ik:
dac 5 en ao, elk door 5 deelbaar zQn» Na deze 'deèling, verkrijg ik ,
voor den «erfteu term i' en voor den tweeden bet (N'oduct van 4 ,
van 14 en van 4» welk product, aangezien de voocgaande termen elk
geiyk één züo , de waarde vaa x zai moeten geyen (io>h ^

586. 9 Voorbeeld. Indien 17 Mark 4 onceH \6 engeb
kêUen 77 jA hoeye$i^» één Mmkf
^ i7 lifff^ 4 ^^* t^ *'*♦ 5 1 Mark = #ƒ Qh : xOfi

' — : ^mt^ ■ . ■ ■ -

derhalve Wbrflt « !=é 4 13/. 7I //«?y. ^^ ; v

NB. De Leerling ftelle xelf de\eck&aring van deze bewM^kiog'CiiV
587. 10 VooRBEELiN .^*^W»w?r 39 4l^#^^i^<G^ 17 firnr»

14 /i^ffi}*^ hoeveel fl| ï^ luMn-^tfiiM ^^^«1 v^or'665 Gl. 10

ftuivers? , ;,,. , . .£ : ,:

— - ( •- i ::. ,. -.

-^— T^^ ^^ ' '

C9> Verklaar- dar bewwking van bet*96btfte V99r]}je^f .
ftoj-Verklaarife ftidérê bewerking v«n bet achtfte voorbeeld ^
00 Verklaar itoïbgli»tinnttv>g»Wfbiigfttfc>'^limi^ ^ ^

^Ji'^i duiten 130

ét 1840 ffi = *•

VERKLAKiNa. Mcii lieTlcJ^t ceftt 1:5 H. 17 fiüfv* i4 penn» tot
^itea ; de 655 gi. 10 //«iiu t<H ftulverBï We ^imivcirs aioeten , door
^zelve met 8 te verm enig voldoen , insgel^ks tot dm^cn heyleïd wor-
den , ten einde beide termen van de eerde reden in dezelfde eenhe-
den zouden zQn uhgedrukt: ^nar, eer ik die vermeMfli^Migïng uit-
voer , ilel ik bet getal 8 , waarmede ik moet vermenlgvnjdtgen , al»
factor onder laiio/jfuiy. f en zoeke: of de termen yan-d» eer f te re-
den of de heide voorgaande niet tegen elkander verklfh^a^fr zijtr^
^'|>e termen ^2^3 en 39 zffn eersi verklcinbaar door 3; deze verklei*
inng geeft m^ 741 en 13 ; ik zie, dat deze nog dooTTS verkleinbaar
zQn, en ik verkrög» |n derselver plaats^ 57 en i., >rl^<»g ^9» 57 en
>3iio beide verkleinbvar door 3; en ik verkrDg, na de verkleinipg »
19 en 4370: tieze z^n nog verkleitbaar door 19; en dit geeft ih> dai^
eindel0k 1 en 230. Nadat ik nu 9$o t^pt. ft. vei.iii^jpi|VUi4ig4, heb ,, heb
ik de evenredigheid, I ; 1840 z=: i : xi derhatve jr cï i84Qr'g§. cu;

VOOHBEELDéN TOT OEFENlUO*

f. Jttdien één Last koet 4%^UUn ^ hmesl hp^ir^em dan i> f^ast
15 mudden z fchepeli^ * . ^ \' '

a* Hoeyeei Mwpsm 9^ S^ifiM U ib'ê ^ en IO #9 éatSMhip fg
iot 5d guldens f ^ co. ,: j

a* Itidien 4a Justin i^fty k^ite» V^l f gulden^ kowtelikois^- dan
dé» fchepelf . - . c

; 4« Hoeveel ponden kan min Mhm voor «59^ gh. 16 ^M en 5
ficnn* indien één pond kost \f,/htiy» eni^ pe»n V , *

5, U^anneer één Last kost 79 gh 19 fitiiy. ia penui. khffidel Lstst
kan men dan koogen , voor 1587 gl. 3 fi«lrB $ pentu i ^

' 6. ^Indien 10 Lijs ($ ip ^é^et^^gh } hoeveel k(fiJtUmdan^LSeki0
^ l^ Lijs ISi fst 6 t»t ^ ^^

dan koopen voor 8ai ^/. r ftmiy» 4 fenn. ^

i(M. Iff GeVW ^»Wr de Mde middelde termen^ af
npel ^ </i? ^tf^wf^if 'termen der tvenreai^id^ uit gehec/en^ dee*
kn en minderdeelen beftaan^^

mfmm

00 Verkktt d& bttwet^Onf vsQ %et tiende vo(»beeld^.^8'^

/ £. 2:

5* A LX'E R fi IE R S T E o R o N i> Wn p e k

tl. YoQRBBBLDr' Mlm één Ldft kdst 69gL 7 /?. a penii.f.
hoeytel kosten dan Z6 Last 17 nmdden % fchepekf

I Last i zS^L. 17 m. 3 fiA. = ép G/. 7 A a /«w»*.: « G/»
27 '''• 07 »• 20 ^

jf0k/c/5^^.- — - — ;

^4^ p8p w. 1387 /?.

^ 4 i<^

^411 vfr^enfgy. tPi^t '

^'J^ifaf

3d5S> 4U

,.\ .3953 ■' . . _

15836 . ^•

. - — r^x^
f027149

*)-^ ^pH- • . ■ ' _

50*^48 ji. 6j ^tf««. = dr
\*i)f^ '^'S^ii gii^^/t. 6l'penn. rsz X.'

Vl«RLA&i90« ~ N* de evenredighehi te hebben opgefterd , fterrefA
men eerst , zoo als bet behoort , elkeu term van de eerfle reden tot
fchepels; . <lin ^ordt de c^venredighèid ,' to8 fchep\ : 3959 fchep. zz:
69 gU 7 ft* ^ fenHn : x gU Nog herleidt qen den eerften tenn vaa
da tweede rèdea' tot penningen; dkn wórdt de e\'enrcdigbetd, in ge*
beele getallen, 10* fshtp^ 5 ^95?) fchep. = 22194 penn. : x pen». ,
De: Voorgaaiade termen dezer ' evenredigheid z^fn virkleinbaar; eerst
door^A, dan door 9, en daarna dooi* 3; en de evenredigheid wordt',
jia^^vetlLleüitiiig, Aw 3959^=^4ti : *-# welke, als naar gewoonte,
opgelost zijnde, de waarde van x, in penningen geven zaï; wellte
men daarna iot guldens moet b^letdenr 0$^ '

589. , 12 .VooRBRELD. ïfidien 37 tfist 19 mudden en 2
fch'epeh tosten .2616 gl S fi* 7 P^nn.ï hoeveel kost dun
ééri Last f - * • * , '

(13) Verklaar.de bewerking van bet elf^e voorbeeld ? >OgIe

4 ^ lö

^ " : .

dpel-^do0r 05^9/15065)726 faa 194 ƒ«;•». .^é ^^ r± jr
' 1489 V 1387 A 2 fmn.^'zz X
Ï317 6$tiL7:fié2j^mhSZ ir

6332' * ' ^

. . af <J> .

/-\- '^ ,■

n?!/ o-

590. 13 VoorbebLd.- Intffen 3 Scitp ® 4s^f fl^ ^0 5
Sï iö5A?ii 314 guJA 4 A. 9 ^a».^ i&^yflc/ Misea dan jQy

3 &ffi 4l.ffi ^ »: 19 ^.« i« £.ffi ;^=H 3H«/-4/?-t9^ vr^

20 t 20- '2- 20

1 'j "£ *\

iMié9r V9i%

^«026138^
dt3ïi6ptfw,,:~jcr

tó3— —- —

0b LeerlIo^^Mift Slir^ verkhvf]^ (fS3r^

Oi) VerUaiu:.(U^V«ii.|}etd«UMderVoolbni4# . .......

54 A I^LRREBR STE GR o^NDEjf der

VoonBE^BLQBN tot vtjders oifttdus* '

1. Hoeyeél Most n r^ f oneen ^ als mS hst 17 )?«/>• 10 penn. f

2. Indien één Last Groninger maat kost 78 ^/. 10 ftuiv. 4 pcsm* ,
hoeveel beloopen dan 29 Last ^imttdéên n fpintl

5. Hoeved bedragen 19 Sjjiip © Jia li/x É f» 10 §§ » M s^ gU Ifi
/itiflv 4 />^««. *<l Schippond ?

4. /«^itf« 15 5cA/> W 3 Lijs.^ 5 9 *o*/tf« 537 gL 9 /iiriy. ö
peun. i hoeveel beloopt dan étn SeMflè^

5. Wanneer 12 Last ^^ mudden^ en o. fahepels kosten ^^t gl» f
ftuiy. 3 penn*; ho^ffel kost dan één Las tl

6 Hoeveel kost éin Schepel^ wannfiet 7 JLast il mudden en. t
IchepH kosten 317 gl» 17 ftuiv. 15 pemu^

jrvrnnneer vat^rk 9 engels 15 azen kosten 22 dt 14 fi 9 ^ ; Ao«-
y^#/ lmte>Hdttn U ii^cr* 3 o/dr^» 16 eingels 14 tfx;<f«?

8. Wanmer , ot<^ 7 GA tf» één JHooser , 7 />«/y, 9 penn. gewonuem
wordt} hoereèl wint men dan met iz Dukaten en. 23 Zestbalvemf

IL Regel van Driën in Ge^Jrokene Getallen»

59:1. Bit tweede boofdgeval wordt,, naat aanleiding vaiv
Betgenft dienaangaande., in art. 573, is gezegd, tot het eerde
geth^^, ii^mtne&r^ ^-mei^^ide temm^ in welke breuken voorkomen ,,
ftftt'^%n ^Mer'^^n het gebroken vermenigvuldigt: ^Ut dat
wen den tertn ^ w'^//t^ met, dezen alzao vèrmtnts^uldigden term
é^reéikmt;volieh%^dey Eigedfcltnp, art.* 541, met dftzelf^
de getal vermeniphldigt ^ -opdat de onbekende term niet van
waarde y er ander ev ^16) Men doet nogfans iH het algemeen be*
-ter wanneer -men di^n vermentgvufdiger 3^ zijnen term fielt,
en ^ eer men de vertnenigvuldigingen dadélHk uitwerkt ^^ onder*
zoekt' of er eeffT^ verkleining kan pla^^nlS^enf omdat trien ^
alzoower kende i altijd overtollige bowerkh^éë 'uitwint, (ifj
5<^8. 14 VooRBEBl^ö. Jheveel kinten 308 fg,- tégen 17%

A9T _

546/ fi: ^ st

(16) W«t is, va den Regel vtnDriën in het gobrokcn,,lnicht ie nemen I
(17^ Waükan nenViiec "waekikilFiloi^fdoclW té |leutiqMi2^& uu
dieo regel, In tcht acÉmtafc >v . ».. . - ^-J • ■

C IJ F B R K ÜN S % Vil HOaFD a XXXIX. i.if. 55

Vil R|Li.AkiNQ, Ik Verpenijnrutdig d^n derdoi term der evenrccUg-
beid , mee den noemer dér Séuk » waarmede b^ i% aangedaan ; daa
verkigg ik 71 ; maar nu moec ik oók dèn eerden term mei 4 verme*
nigvuldigea; en dan ia de i^ieuwe evenredigiieid.4 5 3o8r=i 71 : s*
• De termen der ' eerde reden door 4 deelendé , zoo verkr^g ik »
1 : 77 == 71 : «, welke, als naar gewoonte^ wurdc opgelost. (iS)

593» 15 Voorbeeld. Hoeveel kouen isj e/, tegfia z^fiuir^
de 3 eiien ?

i ell. : 15I eU. = 7 y?iaV. : Af /?!«>.
'8

4^/ iM^r 8)

35 J A«/y. ö/ 35 /?«iV. u^ penny =: jt. .
Verklaring*. Ik vermenigvuldig den tweeden term der reden met &»
dequoemer oer bieuk»' waarmede h^ ia aai]^edaiii;.e»&nmoet ik ook

ï ]^rme»igvul<M/»

^yefkr^gyta

55^. 16 Voorbeeld. fVanneer i\% ^ kouen 5 ^füd. ^
fiuiy. II penm; Aoeveei kost dan' 271 S^ ' '

— ^ 3 ao,

3£^ 53 — ^.
^ 109 /•

- - - tiSS p^f*^

351
*59. y^f»k...v. '. ^

^ tlR{iB|«Mti!MGv Ik maak dea derdta- cem^ cotc penoingffl , veirmfn%^
mUdig.djDB eerden tfrni' met den 4ioem<r van 9|(ne break, en ltel,onk
dfc ^en .tweedeii,. 4i#nr noemer , n^ ,£ictOf. Mi. verklein ik de vooi>
gaa^ termen 35 cq 1755 door ^ daa v^rkrjg ik 7- en 35i« Voor<«
nog 7 en 371 499« 7|l dan heb ik, I e» 53* i>a «veiirediEhnid vordc'
dM, I : 3 X 53 ofisp i=' 851 s «» «/'s. (ao)

(18) Verklaar de bewerking van het veertiende voorbeddl , ^

(19) Verklaar dïe ven heevjf tiende vo^bêcïdt lOQle
Cao> Verklaar die van het «esdeale veorbcehif

E4

/ . ■ ^

hoeyeet bedragen (hn to^ii ^%

' 20>

• it 1243 — — '

3 16

it4^yêrm^ i

*988S
deel door 3^ — — -

«aP 33i gi^ 9sfi^^= «•-

Y^R4Qtiiit^Qv JKft: dfin cl^nien tern lot ftuivers herlèfd tebtb*
BeiiV vermentgvtndig ik dtn eerften term met 4, den tweeden met
Wüi--óe ptoóncvm z^n 91 en 1A43; onder deze termen ftd: Hf, alih
ivctoten, K. en 4« Nu ztfn 31^ en 496 elk doof s^s. «leeUNiarv ea 4 es^
•M eti& éo«r 4» Ik; verkr^ derhalve ^ $ e U43 sr 16 t: « ^ «itx; (ax)

'596. ,18 VooRBERLD. ffifeveel kosi té» last f als 2|J|, £<<^'
hfsun 167 gU i^fiuiv.?

a^ Lasf s i fias^ =107 CU itfi*^ : « è&

-— • , ;^ flo

5

dèeldóor'sJ

vemü^
5W

• <2f Bi pi IJl ftuin, :± X.
yBiKi A RiNO»^ Ni den defden term tot (hilvers herleid te hebben .. ^
ake^t^i'edSgi^dt A^ iMt ir £i7#^r=f si^^A fivjl, He ^rtiMAgMiiigL
êen ^etden ter» met u», den dnrdes BMt»4« ck ftel» éoi de<cMeinrtf(B|^
IM^ te belioiide«i onder den eoriloii tem^donrlWrof 4^ eiyondrir ê^
tweeden t«fit,dea fiKtoetv; ik deel 25 en 8595 Mk doèr 5;tvo4nit4
on i« elit' door 4,* es iterlirig 5 rj zz: ijti^ t J,. ^wi^ Oi^'

(irj VerkfiWdfe van het z^cntiende x^beeldf-U^^^
X^j VeekUar dio^ van^ |i^ tcko^eudf vo^^b^^

Ie.

C IJ ¥ ï R k iJ N S T. VH HÓ éFDS.XÉKUi h^u Sf

- 597. 19 VooRBEELÓ. Jfknneer fit elkn kosten 9i^ gU Tli
fifiiy*; hoeveel kosten dan \6^elkn? - ' '^

^i tlUx 16A ««C :a 84^/. ui //urM : » 4/.

3 197 — — ^ :.

3^ 735 vwj»» itf9riA ^ .

108 N 142825 - i(fri$ ^

ded J 7J^5 • '

komt 1^322 //* 7/7 f«»«f. 5n *
• . ^» 66 gl 2 fu i}j fenn. = af.
De Leerling ftellc zelf de Verklaring; (23;
598. fio VOORBEEI.D. Indien 2(^ tu ^<^^^ 4 ^ 15$ p^iiir*»
hoeveel kost dan, 2i fi? .

»65 ÊB : 2| ® = 45/* oA I5f ^»» • »i^'

s

l

124 penn. = «f *

<2^, 7 fiuiy. 12 />^»»4 SST «•
De Leerling fteüe xtff de verklsri'ng dezer be^eHting^ (a4)
599. 21 VOORBEELD., Wanneer '% tl kdtt | gsHd.; hoeyeei
kosten dan L ellen?

' %efL:^eU.±^lgLiXgf^ \

il 4 l .':

.^ ■' : .i^ :: . i: - , 'J' '- ^ -:;. r . ■ -

'1 ' • •■ \i^ * . l '^ ,rr Ml . ...^ i t

4 ^

< i^^/ ^ö^r 4) ■^" *

Caa) Verklaar die vaii het negentiende voorbeeidf Ij p^^^^Tp
<a4; Verklaar 41e van ket iwiWiiélU voorLeeWt byv^uuyii.

VOOREBBLDBN TOT OBFSNINO,

I. '^Is ^^ ^Hen^ Maften ^^gvid^ lt:/^« 5 i^«»«l hHVMet kosteit
idn 115I tf/7ff«y ' _

a. Hoeyeei kosten 11 mudden 2{ kkepel /dVs sH ^4/^ iko^/^/i ix?'
guld» 11 ftuiy. IS p9nn.9 " . ' ' ,

S« ^/^ I x»<///^tf G^rx^ ilofk flfï g0nd»gê$S'*; Mereet L^t zal me»
dan kunnen hebhen voar 51a daaid^f*^ ii ƒ?«/!»» ^-^ar«. ?-r—

4* Hoeveel heloapen 135 pond^ale 7f| po^ A«i/fi| s^//. ll-i^ fiuiy. ?

5. if// I flitffi j(<v/#ii 17; ƒ tffv. , ilia#y««/ heloopen dan if mark 5
êncen t

6, Hoeveel Zeeuwen yên si Jfuhrers hedragen vf Last 11 mudden i
fchepel^ ah ij iitfrt ioj*f»,99^ Goud<^gU iai Jtuiyers^f •

3% if/x I tfiftftf *o/# 5 ^»W. 17I ^»w, j hoeveel kosten dan 19/5 «/xf^ f
KTjfh fa ^»«/ *ox/ i6| ^W. ; hoeveel kosten dan ri7§ Mcenf'

f^^ dk % mufit imten 17J fchetHng ; ^ocyrrf Awrtfi rfn^i ifl^ mark

^l oneen f
/» \o. Ats dU \ van f ellen kosHa /y daalder i kQeyeel ducaien he^^

dragen dan 4 van de- helft van iiJ elfen ?

II. -r^// één^derde van anderkalve derde part van dén et J van %\
pulver kost; hoeveel guld. kosten dan ^ enlelt v».

Xa. Hoeveel pond zal men lioopen yoór iSJ Coud-gt»^ «^ f»#i( f
itan i maal 117^ ^oii<2 xaof gukieièi Hr ii,Jktcaaf koiteaf y

XL, Ix£& /^fVö^ fl^err voorgaaniie .l^s. Nadere fefchouwing:
van den R^el van^ Drieën^ ^

foo» Men kan ^ fn de bewerking van den Regel van Drieën»
gebruik maken van de bewerkingen^ welke , in de XVI, XVII,^
XVIif, XIX en XXyi^ les/m verklaard zA (O üelljk ia
de volgende vaorbeel^en te ?ien is* .

6on % YOMMtHU».' M d4 evé^reddghêidi^
- . V a « t 3f7 8 = 1 #A iT/i*Jffenn0 ; x gold»
kan men ^ in plaats van i gl^ 17 //• f^nn^ tot penningen te Her^
leiden^ dit zamenge [telde getal ^ volgenejuu 204 ^ mét 3^7 vermt^
nigvuldigen ; daar nu de eer f te term der evenredigheid de éénheid
U^ is het product gelijk aan dé begeerde vierde erenredlge» C*)

6oa. Op dezelfde WQxe, and mea de volgende geftelde It^elS'vl»
Brieëo kunnen uitwerken.

a) i el i 716 elU ^± % gt% ts fi. 12 pan. r » gU

b) I La^t 1 79 Xwrr r=: 173 gL ti ft^ 5 penn. : * gA

Cas) Verklor de bcwerkfeg imi b«t éïta-en«twintigftc voorbeeld V
\-t^ Katr flMii dm R«f(«l vaa DrieSa nog aukca^ daa ia de voorgaand»

Lei geleerd is, oplosCea? ^ t

'^) Hoe wordt liet eesfU voöfsbteW balNindeldDlizedbyGQOgle

CrlFËRKUNSt. VÏI HOOÏ'b.D. XL LEt. 5j>

ik>3» a VooRBSBLp. tndhn gegeven ware ^e eyenredigheiHi '

«o men v^ble 4e «hkomst in ^uide^s 90 deelen van dien hebben ; é^
zoa men , naadden re«el vap 4r*, 19a, ecwt 3 ^ 17 J} 9 ^ w 'gul*
4eiis bef leiden , en, «U , itt^ tf^ 601 , ter werk g^n. Cs)

öo4« 3 VoöRBÈBt;). Zw obk^ wanner gegeren iparei
^ LAeti t7) i^#r SS 8$ gmdmgi, vl ft* 13 ^Mh : « guld^
«n men de uitkomst iq guldens b^igeerde* soii meuj yQ\&üi9 sef
135, de 83 Goud'gi. Atfi* 13 ^'O''* ^erac toi guldentt herleiden , ea
voorts , ais , in i^rt» €01 , yrerkéh. (4)

^5» 4 VoonesELD* "Gsfteid ^djnde Ottyearedigheid :

15 ® : 8c7 « =r ^3 iT/. t^ A 4 /*<?«^. ï * gi'
daa zal nieti eerst bezien, of de termen dêf eerfte reden niet ver*
kleinbiar z|}n| indedaad u 15 : 807 :=: 5 s a69;.cn men beeft dua
4le ©veutedigheid: ' .

5 1 ^9 r= 33 gU 17 fi» 4 penn, : X guld.
men vermenigvuldigd dan, (volgens art. 204.; 33 gl^ ^7 ft* 4 fêm.
«Af» fitf99 en deete bet i^roduct, volgens tfr//ifci9, io$'gei|ik€.^e«
Ml 5 dan va'krVgt m^m de waarde v»o ;»»(§) ^

éöék Of fnü inen i^ 4Mdeiaii/^4tt deelè «mi ^Mdeunermca iltr
«effte fcdeo door s; dan verkr^gt aenrt , . ^

I i 53f = 33 gi* 17 />• 4 P<?wi. : ap £Ï. / ,

53 ' '

j* ■ • ^ lil miimn*wifci«<»>»ni iiii f .' i . j ^

1794 /?/. r4//»4?^»»l-

«en mótt^erbftlv* d'3 gU 17 ft>^\^pem,ratt^ii^f%MamAvii^iiztTM die
^vtf^kfteingc mèn ildust men vertoeaigvDt4igt^3^^/;«7/^4^i^ftiHépft
K3^ dan IS'btt product if9^gL h ft. 4j^^^-; ^i«ib|f moet iMf i^viett
. «^.- ._.. is^/w 14^^- *^^ -^^ *

worden vier^vSm deelen van $tglé Hfi^^tifi «uien neme 4an 4
één-v^fde deel , dit is 6gUisft.7\^ peufi^ en ^\% v)ffdedce]iieme4Hen
driemaal ; dan verkrjtgt men ao gl. ^ fu ^fetm^ ^ese^lk b|f elkandet
.«(itAijeBde^ vindt men, voor bec begeerde, iBai^/. %6 fi. o^jpffuuifi)

,'i^7v ^p-ÉHieKd^ê^^ijZêy J»hmen dê ^IgênOe tyenfedifflÊêdént
ï^iêMwen oplos f en* * i - 1

«) 13 « ir^^ZSitJ ^l. ^v/t^wi jiemu : «^. ,, ;.
.\ b)\. . . 3 : , ^Sj=y^ B^ gt* ^0* 8 /^«l»^ •• '-gf*'

^08. 6 VOORBEBLD. Wanneet gegeven is de evenredigheid:

^3"^ Hoe bcbandelt jï ihet twécSe vooibeeldf

(4) Hoe het derde? •

C$) Hoe het vierde? v Wed by Goode .

(ft) Hoe kan men dit voorbeeld no| anders oplosren 7 ^

6o ALLE RE ERSTE cij^ONpfiip^R,

«00 «Qek« men (Je reden van 7|tot it3l^»ge^eelp|rpra1!en,daor beide
termen met het kleini^e gemeene veelvoud van acns; dat is, mee ff «
▼crmenigvuldigen, en dan vindt raeti 45 : 680 ;'en , de termen dezer reden
door 5 gedeeld hebbende, heeft men: ^Jijö. Men kan *ui ftellCBï'

9 : 136 = i<3 5^. I77?.,9 /'f»* V* gf.
Men vennemgyuldige dan den derden term me$ 136, en deeie bet
product door 9. ' • , t^ j ^

Nog icorie* «al mrti» werkei? , wamieer men beld« termen der ecrftt
Veden door 9 -deelt ; want da» v«rtó*t^t nwo :

1 : 15$ =5 113 gl» 17 />. 9 P^»»' « * f'» /

is

- . i , , 11 13 I - — ' ,

komt / . 1720 gh 16 />; 8 ^^»». = X
dat 1$, men vermenigvuldlge den derden term me^ 15, en teUe 10
bet prodnct één-negende van dien term op, (7)
- 6o0^ Regel. Im het algemeen, zal men altijd de termem
der eer f te reden in eene andere reden kunnen veranÜfren^ waar"
van 4e êerfie term de éénheid k; en dan zat men de mierde
evenredige de^ar veranderde^ è¥enredigheifi ^ of ^ gewone wijze 9
kunnen vinden» (tf)'

6io« 6 VooK^^nhïu^ 'tFannêér gegeven U de evenndlgheid :
17 fu\^ penn : 116 gt. ,=:xi ^ x x %
dan «al mea» even «00 ala in de XVII Let^ geleerd fs, bepalen,
boe veel maal 17 //. Z^penu* op ItO gl. begrepen fU; en hierdoor xal
# bekend worden. C9) - *- - .—

(Jii. 7 Voorbeeld. In de tyénredightid : - *

% gl ia /*• 4 penn. : ngó^^J» it^ft. =5? 17 ffi : *M
:«•( mim bPpaleo: 4 hoeveelmaal \%gU: ia ft» 4 pMJiifXniif/i gl, 15 .fl»
.iiegffpen *«ö«f «n met dm geheelei^f gemenade geial, zal men i7/fll
vwiBCtilgVöldigen i waardooi: * «alibekend worden. Cio) .— ^

" 6iii B ycoRBBltD. /«'<ftf tyêtiredlftheld :
♦ ^16 i8 : i (f r= 3176 ^/. 8 />• 6penU'i x gU

^bdhoeft^n^én nieta anders te doen, dan, volgens «rf. 219, het «even*
ilionderd^en-zesiiende gedeelte van 3176, g/^ 8 A 6<^arif» -te ]
«R «zal dan gevonden z^n* (ii)

^tS* 9'VoOffBBELD« In dé'eyenredlgheid

pemü i X gl*

47) Verklaar de wflzen , opi welke bet vfffde voorbeeld kin wordea

•"OpltHlllST? ""-- -H-- -.-.-

<8) >Vat kan men , In Ijet algemeen ^ aannerken t

«o) Verklaar bet zesde voorbeeld / , : ïv

(10) Verklaar het zevende voorbeeld?. - ^^\ -••' '

00 Verklaar öct acbtfte voorbeeld? oigtizedby Google ' >

CIJFE R K ÜNST. VÏ! ïfOOFDD. XL. les* 6i

zal men de voorgaande termcrt ; dat is , den eerften en derden terra ,
elk met 4 vermenigvuldigen; en dan heeft ment

307 : I — 335 gl» 8 ft» ia ptf«». : ar ^/.
ea den derden term door 307 dceltn* (12)

614. Regeu Wanneer men eenen regel van dri?ën, in bec
gebroken, door den regel, voor het vinden van de vierde
evenredige, opgegeven, (ziè<?r/,'535) wil oplosfen, zonder voor-
afgaande herleiding, of wegmaking der breuken, (te weten ^
omdat die viefde evenredige gelijk is aan het product der mid-
delfte, gedeeld door den voörften tevm^^ kart men^ nq a^lg
gemengde getallen t&t breuken gebrast te hebben y de vermenig*
mldiging en deeUng der breuken dadelijk toepa$fen; zonder dat
het noodig is^de noemers der breuken vooraf over te brengen. (13}
■ 10 VooRBBBLD* Gegeven zijnde de evenredigheid i

3ï ffi s 'St ffi = 15 gi* i ^ gl'
dan worde ztf, na gezegde herleiding:

en derhalve (volgens art, 535.)

_ 4Ö X 13 X a a$ X 13 .— ^ « «7 /• ^

^ '- Vx-fHTr — 3 X B X 7 - ^^' ^^- ^'^^-

Om nu , in zulk eene opIosfingswUze , alle voordeel uit de verklei*
n!ng der getallen, te trekken , moet men belte^idig onder het oog
houden : dst , bijaldien , in het gehrohn ,

aXhX ey. d Xe

PX 9 X rX e X t

e enige factor van den noemer verkleinhaar is tegen eentgen fatHf^
yan den teller ^ die verkleining altijd kan 'oorden in hei werk ge*
peld; vraar die factoren ^ in teller of noemer^ mogten voorkomen. AU
dus is^ in het i^itgewerkcé voorbeeld, 46 0^n 2 elk door % gedeeld,
eo 8 door a X fl of 4. (15)

II Voo&BBELO. Gegeven zijnde de evenredigheid:

, \ , , *9ta^ = iigl*i*8l.
dkn zal» volgens den regel ,

O ft) Verklaar het negende voorbeeld t

CX3) Wat merkt g|f aangaande den Regel van t)rie5n in het gcbraken ópl

f14) Verklaar bet tiende voorbeeld f

CX5) Wat merkt %\i omtrent dezt bandelwlfze OPf r^ t

C16J Verklaar het elfde voorbeeld t nigl^izedbyGoogle .

II. P£EI« F

6i ALLEREERSTE. GROND f. N der

In zeer veel f^eyallen , kan het voordeelig zijn , dien trant van wer-
%en te volgen,

615. 1 Aanmerking. Men kan nog vele andere kursrgrer
pen bedenken, om eenen Regel van Driën, langs andere, dad
de reeds aangewezene, handelwijzen, op te losfen ; doch, de

.bovenlbande zijn de voornaamfte: alle anderen worden, in de
uitvoering, offchoon inisfdiien kunstmatiger, nogtans langwij-
liger en lastiger, waarom wij ons met dezelve niet zullen op-
houden De*meeste gevallen van het gemeene leven, in welke
een regel van drieën te pas komt» loopen over het berekenen
van 'li^t beloop der koopwaren, tegen eenen bepaalden prijs;
waarvan, in de' XIX Les^ een genoegzaam aantal voorbeelden
ï^Ti opgegeven, met aanwjjzing van de gefchiktfte en ge-
bruikelijkae rekenwijz^n ,-^ welke , in elkgjkzer gevallen, be.
hooren gevolgd te ..wórden. (17) ^^2!^*»êÜQ^

6j6. II Aanmbrkino. Uit eene naauwkeurige vergèHJIdiïg van
het behandelde, in deze en de voorgaande Les ^ met hetgeen, in de
yXXni Les^ art^ 45a, pexcsd fs, moet -het voordeel van het wils*
freerige Stel fel van Biaten en Gewigt^n^ in de XXXI Les verklaard ^

• ontegenzegselijk in het oog hopen; daar y 'wanneer men alle vaaren
en alle g^ld'waarden in de Al aten ^ Gemgten en M'intfpecien van dit
SUlfel uitdrukt 9 men met de ver 'chillende herleidingen van gfiket"
li» ttt deelen en minderdeelen , of van minderdeelen tot geheelen , im
de oplos f ng van eenen regel van drieën ^^ en welke de berekening zóo
lang'^ijlig maa^t ^ niets te doen beeft; komende, in het slIern?oe|je«
i^jkfte geval, de oplosfina van eenen Re^el van Drieën op ééne enkele
vermenlfïvuldiiïing en ééne enkele deel ïng. neder; gelijk zulks, op de
ingehaalde oUats» I Deel^ Bladz, 163» breeder kan gezien wor*
den. C18) * .

Vraagstukken, door den Regel van Drieën op te losferu

\ Vraagstuk. Hoeved bedragen 783 kilogrammes 7 hectogram*
mes 3 decagramntes 7 grammes^ de kilogrammes tegen 7 Francs 25
centimes ^ „ , , ,

2 Vraagstuk. Hoeveel bedragen .z'r<) Meters 7 decimtters tin*
^CMp de meter tegen q Francs 17 centimes^

3 Vraagstuk. Hoeveel bedragen tij küofiters 7 hectoliters 3
decaliters fn 5 lltert Maren ; de kihtiter gerekend tegen 83 Francs 37
temtimes^

4 Vraagstuk. Het heft rat en van eenen iïV^, die j% kilometer»
Jang^ ^ meters 7 decimeters, 3 centimeters, breed is ^ würdt tegen ^to
francs i?? centimes de vierkante meter aangenomen: boekMl kosi
dan de geheele w_eg.l .. . ,

, _ . - ' ^ ■ j , j _ ■ ■ _v

CIJFERKÜNST.VII HOOFDD. XL. lss» 63

, 5 Vraagstuk. Een koopman heeft 3817 kilogrammes J^nn zekere
'waar gekocht f waarvoor Aij^ met de onkosten ^betaalt 9371 Francs 7^
centimes ; hoeveel moet h$f de kilogramme yerkoopen, om 10 .ten
honderd te winnend

6 Vraagstuk. Maar zoo diezelfde waar, op de 100 kilojjramvies^
3 kilogrammes was ingedroogd ; hoeveel zou hij dan de kilograjnme
moeten yerkoopen , om 12 ten honderd te winnen t

i Vraagstuk. fVanneer het transport per as van eene myria»

framme^ voor éénen kilometer afjlands^ ïegen 1 Frana 27 centimes
erekend wotdt ; hoeveel zal dan het transport van 7916 kilogram/*
mes , op eenen a, ftand van 73 myrlameters » bedragen 9

8 Vraagstuk, £en landgoed ^ groot 39 hectares 7 desares 9 de*
dar es ^ heejt ^ in één iaar ^ aan vrugten opgebragt^ ter waarde van
1790 Francs 73 centimes; hoevnel bearaagt zulks per are^
^9 Vraaghtuk, ü/» metfelaar heejt eenen muur t ter breedte
yan 17,3 meters, ter hoogte van 12,7 meters en ter dikte van 0,37
meters , voor 7b 6 Francs aangenomen ,• hoeveel bedraagt zulks voor
clkén cubieken meter of f tére ?

r io VRAAGbtuK. Een winkelier heeft goederen^ welke hem dt
el, AiHjterdamJche maat, 23 ftuiv* 8 penn^ kosten; tegen koeveel
Frauc^ en centimes kan hij dezelve per meter afleveren ^ om 10 ten
100 te winnen 'i

11 VRAAGSTUK. Hij heeft goederen, wetke^ hem het Amfterd^
fg kosten^ 33 J Jtuiv*; tegen koeveel Francs zal hij die per -kilo*
gramme moeten afi^yereh , om lo. ten too te w nnen^

12 Vraagstuk. Itmien het last graan kost 126 goud'gh\ te*
'gen hoeveel Francs j/an men dan de kilollter met lö ten 100 winst
afieveren'i "* -

13 Vraagstuk. Een winkelier heeft onderfcheidene wollen en
zijaen Jlojfen, welke hij, bij de Amflerdamfche el , uit den winkel,
tegetf ló jt, 23 //• 46 Jt. 90 />. 126 ft, 7 gf* 8| gU yerkoopen moet ;
maar nu wo'dt eene nieuwe el , die v^ decimeters lang^^, ingevoerd ;
op 'n^etke prijzen moet hij nu zijm tarifftellen, Oin^p denzeljden
yoet , te blijven yerkoopen ? ^

44 Vraagstuk. Een ander heet waren 9 v^lke hif ^ hét Am*
fterdamfche ©, tot iq, 18, 23, /(h ftuivers verJtoopt; maaf^hu^oet
hij met, èdt nieuwe fë , dat is, de geheele kilogramme , yerkoopen ;
welk is Man het tarif, waarna hij , op denzeljden voet i met het
nieuwe pond , yerkoopen moet ?

y. 15 vraagstuk. Een werkman is gewoon zijn wer^ ,bif den vier^
kanten Amjïerdamfehen voet ,io$ 7j fiuiver te berekenen; maar bij de
inj'chrijying tot eene aanneming moet dit w'erii bij den vierkanten mear
berekend worden: i^p hoeveel Guldens tiwet hij dan den vierkanten
nieter berekenen , om zijne rekening , op denzelfden voet^ in ^ rïgten y

16 VRAAGsruK. Het gewerkt goud moet aan hoojdregt betalen
MO Francs de hectogramme ; nog bovehdiai eens lo pCent ^ en nog
€ens 16 pCent ; hoeveel regt moet dan, in UoUands geld ^betaald wor-
den voor eén ftuk, hetwelk 17 engels 23 azen weegt f
f IJ VRAAGSTUK, Hoeveel bedraagt 4e interest van 17%^ Guldens
73 cent ^ tegen §§ ten honderd "7

18 Vr;aao»ti'K. Iemand h'esft ^7^6 kilogrammes, welke hem 0,76
Guldens de kilogramme kosten : deze waar is tot op 3520 kilogrammes

F -i

44 ALLEREERSTE gronden der

ingedroogti nü it hij ye'pligt^ dezelve^ tegen %\ fiuiy. het Amperm
damfche ffi, te yerkoopen: wint of' verliest hij*^ en koeyeen

19 Vraagstuk. Volgens de jierfiijsten van dbparcieüx, leven
tr van de locoo menjchen , -die geboren voorden , hij het begin Vftn
het 10*, 204, 30», 40«, 50«, 6c«, jro*. 8c* jnar ^ refpeciiyelijk ^
6004, 5558, 5005, 4490» 39^M» 3191* a<09 *» ^12 • «« ^y» ^r /»
eene fiad 4173 kinderen geboren; bcevcel zullen er nog ^ op die ouder^^
dammen , yan in leven zijn Jf
.- ^^flo Vraagstuk., Men rekent ^ dat er^ in grooie fleden^ het eene
jaar door het andere , van de 26 inwoners » één fterjft ; hoe groot is
de bevolking van eene jlad , alwaar , in den loop van één jaar , 53,85
mcnfchen ge f torven zijnt
^^ SI Vraagstuk, Op^ het oogenblik^ dat een opftaande mast ^ die
10 meters hoog is ^ eene fchaduw van 13,73 meters werpt ^ wodt de ,
Jehaduw van eenen toren 98,73 meters lang bevonden: hoe hoog is
dan die torent

22 Voaagstuk. Wanneer de middellijn van eenen cirkel in 113
deelen gedeeld wordt , bevat de omtrek zeel- na 355 deelen ; hoeveel
meiers is dan de omtrek van eenen cirkel tang « die 17,3 meters mid*
deilijn heeft ^

a3 Vraagstuk. De omtrek van eenen randen toren is 25,5 me»
teers groot : hoe groot is dan zijne middel lijn ?

24 VRAAGSTüKf Drie arbetdert kt^nnen- een werk ^ de eer f te in
^f dé twtede in 7, en dt derde in o dagen ^ afmaken: in hoeveel
tij ds zullen zij dan dit werk gezamenlijk volbrengen ?

Oe eerde doet in een dag |« de tweede ^, de derde l van het werk:
in een dag maken zfj roet hun drieën i -+• y 4- è ï= ff? » men zegge ^
din: ^1^ werk tot i werk = i dag tot x dagen.

25 Vraagstuk. Fier aannemers hebben zooveel volis in *t werk^
dat (9 uren daags werkende ^^ A hei werk ia goo dagen , JS in 250 ,
C in 400, Z> in 380 dagtn kan volbrengen; indien dit werk in 70 da-
gen moet ger^ zijn : hoe teel uren tullen zij gezamenlijk daags
daaraan momn werkend m

XLl. LES. O^r de aaneejgefchakelde J^verirerfigbeden ,

en derzelyér gebruik , in de zoogenaamde Gezelfc.hap^

Rekening,

617. • Wanneer drie cf weer rpdeni aan elkander gelijk
zijn ; dan verkrijgt men eene aaneenge/chakeide evenredig*
heidm (i) Bü voorbeeld ,8 :4 = 6:3=:io:5=: 14:7=:
22 z ii'=i3:(^|, is eene aaneengefchakelde evenredigheid f2)

tfiff. ♦ In het algemeen , wordt' eene aaneengefchakelde eveip.
redigheid,in algemeene getaUen , aldus gefchre ven-, /7:i> = <::</

fi) Wat Is eene aaneengefchakelde evenredigheid^ ^ ,
(a) Geef er een voorbeeld van? , nigtizedbyLjOOgle

CIJFER KUNST. VII HOOFDD. XLL LEi. 6$

r=ze .fi=i g i h r=: i z k. enz. Cs) Zij ka" "»t zooveel
redens beftaan, als men goedvindt. (4)

óip, * Men kan eene aaneengefcliakelde evenredigheid ook
aldus fchrijven of uitdrukken:

(^» Cf e, g, O :: (^, d, fy A, o

^or de voorgaande termen der redens^ zoo ah zij ^ in rang*
orde^ volgen^ eersf tusfchen riPee kaakjes te fchrijven^ en daar*
na de volgende ter mert\ in dezelfde rangorde ^ te laten vo'gcn ; en
tusfchen ^de heide groepen van termen het teeken \ \ te plaat-
fen; dat bij ibmnJige Schrijvers, in de befchouvviiig der even-
redigheden, voor het leeken rr genomen wordt (5)

€20» Algemeene eigenschap. In elke aaneengefehakelde
evenredigheid f is de fom van ai de voorgaande ter tneti tot de
f om van al de volgende^ gelijk een voorgaande '^rm van ééne
der redens tat den volgenden term van diezelfde reden, (6J

Ophelob ring. In-de aaneengefcliakelde evenredigheid , 7 : 14 oz 3 : 6
r= 5 : lonr 4 : 8 , zijn de voorgaande leimen 7 ^ S , 5 en 4 ; de fom
dezer termen is 19, De volgeade termen zjjn 14,0 , 10 en 8; de fora
dezer termen is jil : im is 19 : s8 :::= 7 : I4 » of 19 : 3Ó m 3 : 6 ,
of 19 : 38 irr 5 : 10 , of 19 s 38 = 4 : 8. (7) . >

B«TOOG« Indien a : b zzz c : d z=. e i f z;z Mi b zzi i : k is ;
dan zal moeien bewezen worden : dat ^, V

a-i'C'\-e + g+iib'\-d'i^f'{'h'^kz=Za:b
zal zijn» Laat de reden van a tox b C^n is ,,«> gedeeld dopr b) het ge*
heele ^ gebrokene of gemengde getal n zijn.;'dan is ook > wegens de ge-
lykheid der redens, c gedeeld" door d gejyk «,• e gedeeld door ƒ, g
gedeeld door Jt , enz , her getal «• Is die ^00 ; dan is a S|^a > c::zzdni
€ = ƒ»,' g zzi.kn; i zzz ka; en bfigevolg,

a + c-i- è-^- g + i zzzbn-jr.il» +fn + kM + hn
of wel, dat hetzelfde /sz

a'^c + c + g+izzz(b + d + f+k + k:)XM
<ra dienvolgens is:

a + c+e-i-g + i

maar -7- Is ook gelijk n; derhalve is, zie art.- $15:

C3> Hoe wordt, In het atgemeen , eenê aaneengefcliakeye evenredigheid

gefclireven? v^ '

(4^ Uit hoeveel redens kan zf.' beftaan ? *

(5) Hoe kan men eene aaneen^eiciiakelde evenredigheid nog anders

uitdrukken?
C6, Welke circnfchap heeft de aancengefchakelde evcnreuighcid ?
(7) Uddcr dl; dooir een voorbeeld op f DigltizedbyGoÓQl

F 3

6$ ALLEREERSTE gronden der

a + e + e + ff+iib-hd-^f+h + k^zaib
en, dit bewezen zijnde , zoo volgt ook: dat de fou der voorgaanden tot
dj fom der vorgenden, a|s c toe </, of als e tot/, of als ^'tot A, of
ais i tot kf enz, is. W . '

621. Aanmerking. i>/(?« ^/a« ook zooveel voorgaande tev'»
men , uit de aaneengefchakelde evenredigheid^ nemen , al$ men goed*
vindt ^ en de fom dezer voorgaanden tot de fom der volgenden ^^
welke tot die voorgaanden behooren , flellen^ als de voorgaande
term van ééne der redens tot den volgenden term , welke tot die
reden behoort. (9) Aldus is :

a + c + e i h -^d + fziz a \ h
c + g -i- i i d + h + k zz: a i b
a '^ e 4- g • b ^ f '^ h zz;: a i b

tn, opv dezelfde wQze, met vele anderen. (10)

6aa. Gevolg. Uit deze eigenfchap volgt: hoe wen een
gegeven getal Jl\in zeker aantal deelen , bij voorbeeld ^ vier dee*
len , verdeekn kan , welke tot elkander in reden fiaan , als eenige
gegevene getallen a, b, c en d? (^11^
Want, laten deze deelen gefield worden /, «, y, y; dan moet
o t t z=: b i u zz; c t y zis: d i w
zijn, en vijj hebben derhalve:

a-{'b + c + d:t'{'U + V'\-wzrzaitz:zb:uzz:ciyzz:diw
maar, ^-J-ii + y-j-wr^A ztjnde, moet raen^ om de vici. onbe-
kende deelen. te vinden , de vier evenf edtgbcden s.

a^b^c-^^diAzzaitf of a.+ b + c^ d i a z± A: t
a^bJm^diAzzbiUt o^ a + b + c + d ibzz: Ai a
a^b ^c -f</:A:=:c:y, oï a\-b^e^dxezil Ai v
a^b^cJ^diAzzzdiy^t qï a^b + cj^ dxdzZAiw

oplüsfen; vfearnit bl8kr:'datelkder orbekcnde deelen van het gegevene
getal , door de oplosling van eenen regel van drieën , gevonden wordt. Cia)

62^, Aanmerking, Wanneer hec gegevene getal A in een
grootér anntal deelen moet verdeeld worden , welke evenredig
moeten zijn aan gegevene getallen; dan zal men, door eene
gelijke redenering, tot dezelfden regel komen. Men zal, na»
tftelijkf hoe groot het aantal der deelen zij ^ waarin een gegeven

(8) Hoe bev/Jfst gj; deze eigenfchap?

N^et volgc hier uit I «

o) HcMer dit op r ' "

(IX) Wat volgt uit de betoogde efgenfchapT
C12) Uoe wurut dit vraagftuk opgelost f oigtizedby Google

t

C IJ F E R K ü N S T. vil HOOFDD. XLl les/ 67

geifil moet verdeeld worden , de firn der g^geyene getailen , welke
de verhouding der deelefi aanduiden^ tot het getale dat de ver--
ho'iding van het cerjle ^ tweede^ derde '^ en2#, deely tot de ove»
rige deelen uitdrukt , in reden moeten fielten , gelijk het gegevene
'getal ^ dat verdeeld moet worden^ tot het eerfte^ tweede y derde ^
enz. der gezochte deelen. (13; ' ^

. 624. I Voorbeeld. Het getal 322 in vier deelen te verdeelen^
Welke tot elkander ft aan , in reden , dis de getallen 39 4^ 7 en g7

Üoor optelling, vindt men: 3 + 4 + 7 + 9 = 23; dcrbaWc
he^fc men de evenredigheden :

«3 : 3=: 3ff2 : / , of i : 3 = 14 : ^; en f = 42

«3 : 4 zn 322 : » , of i : 4 z±z 14 : 0 j en « nr 56

A3 : 7 m 322 : v, of i : 7 =r 14 : y^ en y ==: 98

23 : 9 z= 322 i v^ t of i : 9 = i^ i Wf Gfi w zzi 126

de foxn der gevondene deelen 42^ 56, 9I en 126 is z=z 323; en 42: 56

r=: 3'4i 4a!v8 = 3:7; 42: I2<5 = 3S9i 60:9^ =4! 7* 5^:126

r=r 4 : 9 en 93 : 126 =: 7 : 9 ; uaaruit bliijkt : dat de getallen » in alle

opzigien, aan de voorwaarden der vraa^; voldoen. (14)

2 Voorbeeld. Net getal icoo in vijf ^deelen te verdeehn^ welU,
tct elkander Jiaan ^ in reden ^' als de getallen ^ 3»7,4»8^if23?

3 Vo. RBEELn. Het getal 932^ in drie deslen te verdeelcn ^ vielke
. tot elkander flaan ^ in kden^ als 1^,2^^ en il f

4 VooRBRELO. yier perfunen 9 yJ y B ^ C en Z) , moeten Coo gul*
dens ^ in, dier voegen^ onder elkander deelen i dat A één derde yan
die fom^ B éérfvierde^ C ién*yijfde^ en D één^zesde van de^elye
neemt ; en dat dan het oyerfchot nog moet verdeeld -worden , in even^
redigheid van hetgeen elk reeds van dte fom genomen heeft: men
vraagt: hoeveel elks aandeel yan die fom van 6lo gU zijn zal V

625. Aanmerk-ing. Toe het algemeene vraagftuk, om een
getal in een zeker aantal deelen te verdeeien, welÉe tot elkan-
der in eene gegevene reden ftnan, behoort de zoogenaamde
COMPAGNIE- of GEZELSCHAPS REKENING (15) \ Onderfcheidene
perfouen, A, B, C, D enz.y hebben onderfcheidene kapita-
leu, die wij <», ^, c, ^ enz, noemen, In één fonds gebragt,
om daar in ede handel te drijven, onder de billijke voorwaarde ^
dat de winjlen y wel ke^ door dit gezamenlijke kapitaal ^ zullen aan*
gebragt , of de verliezen ^ welke zullen gel/eden worden ^ onder
hen^ naar evenredigheid van eüts aangebragt^ kapitaal y zullen
verdeeld of geleden worden. (16/ Indien er nu eene zekere fom

Cl 3) Strekt zich deze Icerwyze verder uit» dan tot bet verdeele
. van een gegeven getal in vier deelen?
CX4} Helder dit alles door een voorbeeld op?
(15) Is dit verklaarde vraagftuk tot iets nuttig f ^ 1
1x6} Verklaar wal Oczclfcbaps- Rekening, z|j?)igiizedbyV^oogle

F 4 '

68 ALLEREERSTE gronden der

w gewonnen is^ moet^ va/geus dit contract^ die firn verdeeJd
worden 9 in zooveel deefen^ ais er participanten of deelnemers
mjn; en deze devlen moeten dan natuurlijk aan ieOen inlage
evenredig zijn. (17)

<5 VooRSBELo* Drie eompagnons ^ A ^ B en C^ hehhen^ om Jtem
gotie te drijven t bijeen gebiugt^ A 20:00 Francs y li 15000 Francs^
en C 1S600 Francs : na verloop van één jaar , is het Vaiig faldo van
de kas dezer compagnie jchap 9650 Francs ; hoeveel is nu elks ^a^
deel in deze winst ^

A • * • 20C00 Francs» "J

B • • • i5«^co '-"-^"-^ Vingelegde kapitalen op te tellen*

C . . 18600 ' — I

536CO i 20000 = 9(^50 : winst van K
* 53600 : ifiooo =r 9650 s win^t van ft

5.3600 : 1S600 =z 9'S5o : winst van C.

1>« fom ^r ingelegde kapitalen is 53600 Francs* Men ftelte dan^ om
bet aandeel van A te vinden, het gebcele kapiia&l 53600 Francs (l at
tot het kapitaal van A, dat is cocco Francs ^ gel^k d? gchccle win^t
9650 Francs tot de winst van A , enz. Insgelijks ftellc men iwcc
evenredigheden, om de winflen B en C te virukn. (18)

6 Voorbeeld. Tot de uitrusting vaneen kaperfchip^ hebben A^
£ , C9 D en £ refpectiveüjk ingelegd aooco , 18600, ijcoo, 14300,
13000 Frjines. Het zuivere provenu van eenif^e gemaakte prijzen he*
draaft 69073 Francs; hoeveel moet elk van de deelnemers van die
winst ^ naar evenredigheid van zijn ingelegde kapitaal^ genieten f
■ 7 Voorbeeld. Onder een fm al deel van vijf f chef en van oorlog ,
refpectievelijk met 500, 450, 300, 380 en 200 maufchappen bentand
zijnde y moet % naar evenredigheid van de manfchappen^ verdeeld word-
den 25000 kilogrammes fcheeps^bejèhuit y 100 hectoliters brdndewijn ,
5620 kilogrammes rijst: hoe moet deze yerdeeling gefekiedent

8 Voorbeeld. Bene gratificatie yan 3C00 Francs, moet , onder
eene compagnie ^ he/iaande uit éénen kapitein^ éénen eerfien en twee*
den lieütenant en 112 gemeenen^ verdeeld worden i zoodanige dat ^
wanneer de kapitein 20 Francs ontvangt y de eerfie lieütenant 15, de
tweede 10, en elk gemeen foldaat één franc^ van deze fom geniet i
hoeveel zal dan elks aandeel in deze gratificatie zijn f
^ 9 Voorbeeld. Fijf werklieden hebben aan een zeker werk ver^
éiend 250 gulden 9 en hebben refpectievelijk daaraan gewerkt ^^ de
eerfie 10, de tweede 14, de. der de 10, de vierde 18, en de vijfde
17§ dagen ; indien men nu de verdien jlen dezer werklieden aan de
tij den 9 die zij gewerkt hebben ^ . evenredig fielt; koeveel moet elk
dan voor zijn aandeel ontvangend

, lo Voorbeeld* Onder vier perfonen moet e^ae. fom van C6co
gulden zoodanig verdeeld worden , dat hét deel van A tot dat van B

(17) Hoe moet die bgrckenin/» behandeld worden » ^

Ci8; Verklaardl e berckejyig door eea yrwwUcWjCiOOgle

CIJFEHKUNST. vil HOOFDD. XLLtES. 69

fiaat^ als 2 tot z; het deel van B tót dat van C, als 4 tot 7; het
deel yan C tof dat van D ^ als 5 tot 8 % hoeveel mpet^ naar deze
bepaling , elk voor zijn aandeel ontvanf^n T

OPLOSSING. Stel de aandeelen van A , B « C , D » die onbekend zffn ,
P t q^ r^ns; dan moetp: /ziia: 3 zijn; derhalve 3 ^ = 2^ en ^z:r f ^,
u it is , B moet hebben ^ «jaal het aandeel van A, Vooi ts is ^ : f zr: 4:7»
derhalve 4rrza7^enrr=:|^=r|XiP =^ V ^ » dat is, C moet beb*
ben V °i^l bet aandeel van A. Bindelijk H ris =5:8; derhalve is

5^ = 8r en j =r I r = ^ X V P = V P- Hieruit blokt : dat de aandee»
Jen van A, B, C en D tot elkander liaan in reden, als 30, |^, VPt
'pp; of als I, I, V» V> en dat derbjilve de gegevene ibin in reden

Jen van A, B, C en D tot elkander liaan in reden, als 30, |^, VPt

^^ pi of als I, I, V» V» en dat derbjilve de gegever * ^ -

van de getallen t, |f V en V moet verdeeld worden.

II V00RBBEI.D. £eae f om van ^500 gulden dnder Vijf per forten 9
Af B t ^» ^ en Ey zoodanig te yerdeelen , dat hft aandeel van A
tot dat van B paat als 3 tot 2 , van B tot C als 3 tot 4^ van C
t<kt D als 6 tot 7 9 en van D tot E als 4 tot ^ f
' 13 VooRBrBLD. Onder drie per Jonen motten 6coo gulden zaodts^
nig verdeeld worden , dat driemaal het aandeel van A gelijk zij aan
fWiemaal het aandeel van B , en vijfmaal het aandeel van B gelijk
aan zevenmaal bet aandeel van C ?

0PL0SS11IG. Omdat 3A=r2Bis;!sBi=:§A; en omdat 56 = 70
ls^lsCr=:fB = fXiA = f|A5 derhalve ftaan de aandeden
van A5 B en C tot elkander als 1, | en f|^; of (indien men desc ge*
.tallen alle met 14 vermenigvuldigt^ als 14, ftx en 15; waaruii nu
bet overige kan gevondea worden»

- 13 Voorbeeld. Drie aannemers nemen gezamenlijk e$n werk aan
$fOor ooooo francs; A zou dit werk alleen /e '300 dagen ^ B alleen
in 340 dagen ^ en C in 500 dagen in gereedheid heiben kunnen breu^
gen. Men ifraagt t in hoeveel tiids dh werk in gereedheid zal zijn ,
e» hoeveel elk van de bedongêne fom , naar evenredigheid van zifn
werk , ontvangen zal f

OPLOSSING» A maakt in eenen dag yl^, B in eenen dag 3^ J^ , en
C in eenen dag ^§9 deel van bet geheelc werk ; derbalVe, omdat 2^
elk hetzelfde getal dagen werken, en elks aandeel evenredig aan den
door elk verrigten arbeid moet z|ju, moet de fom van 20000 francs in
rtrden van ïö»» y|ö en ,'5 verdeeld worden,

XLII. LES, Over de omgekeerde Evenredigheden i en
den Oiögekeerdeo Regel van Drieën.

626. • Eene omgekeerde evenredigheid wordt y uit. eene regte^
of gewone evenredigheid^ gewhdkt^ door ééne van de redens
van die regte of gewone evenredigheid drH ie keeren. (ij

Cl) Wat verttatt men door eene omgekeerde evenredigbcid?.

70 ALL ER EERSTE oeondbn der

Uic de gewone evenredigheden volgen de omgekeerde evenre*

dighedcn*
7 : l6 = fti : 48 7 : 16 9mg» zr: 4^ : 21

16 : 7 omg» = 21 : 48
a i h zzz c i d a i h omg. ^z: d : e

b : a omg» rr: c : d^X^")

627* * Her getallen of grootheden zijn dan in eene omge*
kerde evenredigheid^ indien de eer ft e term ftaat tot den twee»
deny gelijk de vierde tot den derden term. (3) Of, wanneer
de reden van den eerflen tot den tweeden gelijk is aan de re-
den van den vierden tot den derden term, (4)

.6a8. ♦ Eene omgekeerde evenredigheid worde gewooniyk
aldus gefchreven:

ai b om^ek. ^=z d i c

en gelezen: a is tot è f in de omgekeerde reden van d tot c. Cs}

6i^. Algemeene regel. Eene omgekeerde evenredigheid

wordt in eene regte veranderd^ door ééne der twee redem om

te keeren. (6)

Oph£Losrino. Alzoo zullen, uit de omgekeerde evenredigheid^

a : b omgtk, z=z d i c^
volgen de regce of gewone evenrediglieden

a :b :=: cl d

b : a z^ dXc
want , door ééne der twee redens vao^ deze regte evenretligheid om te
keeren , verkr^gt men wederom de geftelde omgekeerde evenredig*
beid. ([7^

630. Gevolg* Daar men dan , op zulk eene eenvoudige wij*
te , eene omgekeerde evenredigheid in eene regte evenredigheid
veranderen kan^ zal men^ door ^ene omgekeerde evenredigheid
tot eene regte over te htengen^ op die omgekeerde evenredigheid

-alles kunnen toepasfen\ wat ^ in de XXX VU Les, over de gewone
of regte evenredigheden gezegd is. (B)

631. Opheldering, Wanneer, bQ voorbeeld, drie getallen j.

C2) Helder dit door voorbeelden op?

(«S^ Welke andere bepaling kan men dan van eene omgekeerde

evenredigheid geven ?
C4) Kan men die ook nog eenigzins anders uitdrukken ?
Cs) Hoe wordt eene omgekeerde evenredigheid j^efchre ven en gelezen^
(6) Hoe wordt eene omgekeerde evenredigheid in eene regte verüti*

derd?

Cy^ Helder dit nader op ?

(8) Wat volgt hier uil? oigtizedby Google

C ITFE RKUN ST. VÏI HOOFD D. XLTL les. 71

h en e cegeven z^r\ , en men tot deze drie getallen een vierde getal
X begeert te vinden ; zoodanifr ^ dat het eerjte getal a tot het tweede
h pk , in de omgekeerde reden yan het derde getal c tot het ge»
vraagde ; dia zal ..

^ a i h omg'ek* = <? : * *

moeten z^n: maar' daaruit volgt dan de regtc evearedigheiil

h t a z^ e : *
en , volgens ari. 535 > ^^ ^^^

632. * De oplosfingswlj^e van bet vraagftnlr,^ her voor*
gaande artikel voorgefteld , wordt genoemd tol ^rU gegevene
getallen a^ è ep c -sene vierde omgekeerde evenredige te z$e^
km; 0^") t en deee is geHjk aan het product van het eerfie
en derde getal ^ gedeeld door het tweede. (11) f Of wel , die
omgekeerde vierde evenredige tvordc gevonden, indien men^
door de* termen van de* eerfh reden om te keeren , de omge*
keerde evenredigheid in éene regte verandert^ en deze^ als
eenen gewonen regel van drieën^ oplost. ï^ia) Qqzq teatfle han-
delwijze zullen wij fteeds volgen. (13)

633. I. AANMERKl^'G* De omgekeerde evenredigheid behelst
geene nottelooze befchouwing; wapt ^r keffadn^ in het gè^
weene leven ^ in de Kunften en fFe^en/chappen ^ ^ele omgekeerde
evenredigheden (14)

634. I*. 0«i hetzelfde werk tèvotbrenfftn ^ zal mitï T^éV ^etal der
Vferklieden .moeten vergr^otep , wanneer het werk in korter tijd zal
moeten gereed zijn. Immers, om het,, in de helft of in één derde
van den tö4» *" gereedheid te brengen, zal men bet getal der werk.
Heden mo^éii verdubbelen of drfevèudig nemen. Men kan dan fteU
\tni dat^ tot het daadlelTen vanden werk van dezelfde uitgejirekt»
heU.^ h^t getal der wefJclMen ^ in de omgekeerde reden der tijdenden
de tijden <i in de omgekeerde reden der werklieden , moeten zijn» Doch
zulks is alleen Vvaar, in de onderftelling , dat de vermogens der werk»
lieden gelijk ïlaan. (15)

635. ft**. Om , met onderscheidene kaf>lt4len , in onderfcheidene tij»
den^ dezelfde winfien te verkrijgen , moeten de kapitalen in de omm
gekeerde reden der tijden flaan^ (indien nameHJk ^z^ kapitalen op
denzelfden voet of voorwaarde winnen:) want, indien het kapitaal»
dat, in ccnen zekeren tfld, eene zekere winst beeft aangebragt , twee,

(g) Toon dit gebruik door een voorbeeld aan f
(^lü) Hoe noemt men de oplosflng van ^ft vraagïlük ?
00 Waaraan is die vierde omget eerde evenredige gelökf .
Cxa) Kan men die vitrde omgekeerde evenredige anders vinden ?
Cis) Vrelke vaii die tw«etfplwfirtgen zullen wfi voortaan volgen?
f 14) Is de omgekeerde evenredigheid nuttig in bet gebruik ? ^
C15) Geef een voorbedd van eeoe omgekeerde evenredigheid t -

7a ALLEREERSTBgronï>en der

drfe, vier; enz, en n mail eewonncn wordt, znJ fleobts de helft /dén
derde, één vierde, enz* één «de van den i^d noodig zgn , om tlie
zelfde winst aan te brengen. Ciö;

6:^6. &**• Hieruit volgt: ///z/, wanneer ik aau iemand eene zekere
foni^ voor eenen zekeren tijd^ zander Interest leen ^ de tijd vcor
velken ik hem eene andere fom leenen ham , 9f> dat. de 'waarde der
weder zifdfche dien ff en gelijk jlaan^ in de omgekeerde reden van di$
geleende kapitaal zijn moet. (17)

637. 4®« /><? hoeveelheid van zekere v/aar^ welke men yoryr eenen
bepaalden prijs hebben kan , is In de omgekeerde reden yan der zei»
ver rijzing of dajingi dat is,, naarmate de waar hoocer in prfts
loopt, zal men , voor denielfden prys , eene mindere Wvcclbeid kun*
nea koopen (i«) ♦

ösJU 5*. In d© M^etkun$t bewast wens dat^ wanneer de inhcttdem
der reffthoeken gelijk zijn , de lengten , in de omgekeerde federt yam
de breedten zijn. (19)

639, 6^0 f n dat 9 v^anneer de inhouden yan twee halken gelijk
zijn 9 de lengten in de omgekeerde reden yan de doerfnedenzijn. (a'o)

640. 7^. In de Werktuigkunde bew|^st men: dat de etrmen van
eenen hefboom of unzer ^ in de omgekeerde reden zitn van de gewig*
teny welke f aan derzelver uiteinden tpgehangen zijnde ^^ met elkan*
der in evenwigt flaan» (21)

d4r. 'Il AanMEKKing. Er zijn vek vraagfïukken^ die ^ in
dm eerflen opflag , indien men aan den klank der woorden bHjft
hangen j M de fieliing van eenen regel van drieën fchijnen H
hekoaren , m welke nogtans , door de fieliing van eene omgekeer*
de evenredigheid^ moeten beantwoord worden. Om zulks na
wel ce onderfcheiden, moet men over de onderlinge afhankelijk'-
heid der gegevene en der gevraagde grootheden nadenken\ om
te zX^ni of deze in eene regte of omgekeerde evenredigheid flaan f
ilaan zij tot elkander in een regte evenredigheid; dan moet d«
vraag, als een regte regel van drieën, opgelost wórden;
maar (laan zij in eene omgekeerde evenredigheid ; dan moet de
oplosfing van de kierde omgekeerde evenredige worden in
het werk gefteld. Zie art. 032. (aa)

C16) Geef een tweede voorbeeld f

C|7) Geef $en derde voorbeeld? ...

f iS') Geef een vierde voorbeeld f

(19) Geef een vgfde voorbeeld ?

f fto) Geef een zesde voorbeeld f

'21) Geef eeiji zevende voorbeeld?

DpizedbyCjOOglC -^

C IJF ER KUNST. VirHOOFDD.XLir. LES ?s

64a. I VOORBEELD. Jfidten 36 Werklieden^ in den- tijd
van 65 dagen ^ zeker werk kunnen afmaken; hoe lang zullen
dan 45 werklieden daartoe noodi^ hebben , (de vermogens en de
bekwaamheden der werklieden gelijk flellende^ ?

OPLOSSING. Hier in het getal der werkliedeu in de omgckcertfc
reden der tijden. Ik ftel derhalve:

36 weril, : 45 werkt • omgek» = 6$ dag, t x dag^
en, om d^zc omgekeerde evenredigheid, naar den regel, in eenc regte
te veranderen, fchryf il^s

45 : 36 = 65 : *

derhalve wordt x = 5l£^ — ):|_£ = ga A%^.

^fen ziet: dat x gel0k is aan ? --^. De getallen C^ en 45 zjfn

45 '
door 5 verkleinbaar ; men vindt dus n en 9, In plaats van 65 en 45.
Wederom i^fn 36 en 9 door 9 verkleinbaar; en men vindt 4 en i«
Men behoeft. n\ deze verkleining, flechts 4 en 13 met elkander te
vermenigvuldigen , om het begeerde te vinden. (43)

64.3% 2 Voorbeeld. ïndihi men , met een kapitaal van
2000 gl. I tegen 4 ten honderd uitflaande^ in 5 jaar^ 400 gh
wint: hoe lang zal dan een kapitaal van 3000 ^/. , tegen 4
ten honderd t moeten uitgezet worden ^ om insgelijks 400 gl. te
winnen f
Oplossing* Men zal, zie art^ ^35, hebbent

acoo kapm : 3000 kap. omgm in 5 jaar : * jaar
waaruit de regte evenredigheid:

9000 : 2000 =: 51 «» o/ 3 : ft =: 5 : j^ '

derhalve * = i-^ == — = 3j jaar. Ca4)

64^. III Aanmerking. Men ziet, uit deze voorbeelden:
dat net geene de minjie zwarigheid in heeft ^ om^ warneer^
uit het voor gefielde vraag/luk^ de omgekeerde evenredigheid is
opgejleldf dezelve op te losfen. Hier komt alles aan op het
yerftaan van de vraag en het heoordeelen van de foort van
'evenredigheid^ in welke de voorkoJ^ende grootheden zich bevinden»
De volgende voorbeelden zullen voldoende z\}u, om den Leer-
ling daarin verder ce oefenen»

%

ftS) Verklaar het eerfte voorbeeld f
%i\ Verklaar bet tweede voorbeeld?
IL DEJU*

igitizedbyj^OOglC '

74 ALLEREERSTE oronden der

3 VooRBHCLD. Eens refrt vUrnoekise kétmer^ welke TÖf y^eten
lang II I voeten hrtti is , nmet op de lengte van 14^ voeten gebrast
worden; hoe groot zal men de hreedte moeten nemen ^ opdat de in*
houd van de vloer gelijk blijve? Zie an. 638.

4. Voo'Rbbelo. Bene kamer ^ die 24 voeten lang iB voeten breed
is, vfordt 3 voef iu de lengte verminderd ; hoeveel voejen moet dan
de hreedte vermeerderd -worden , opdat de ruimte dezelfde hlijve ?

5 V. ORBE«,iJ).; Een behanger heeft, om eene kamer te behan'
gen^ noodig s2o ellen papier^ ter breedte van vijf vierde el ; hoe»
veel el zal hij dan noodig hebben ^ wanneer hij daartoe papier van
éine el breedte gebruikt f

6 VOOR PEE LD. Iloe lang, moet .een balk van % en r^ duim dik f e
zijn, oni zoo zwaar te wegen ^ als een halk van 6 en S duim dikte
en 8 voet lengte. i ondtrJleUendc Me halhen va» dezelfde foiort yam
hout te zijn ?. '

7 VooiiBEELD. * Om door eene engte van 15 meters te defileren
Jfeeft. eene armje den tijd van 4. nren'%o minuten noc^ig,; boe lang
J:al die zelfde armee dan noodig hebben^ om, door eene engte van 20
/tteters breedte , te de fileeren ?

8 VOORBEELD. Jemj^nd, die dagelijks $} mijlen reist, kee^t, om
zekeren weg. af te leggen, 14 dagen tijds noodig; hoeveel mijlen zat
hij dan daags móeten reizen, om dien weg, in 16 dag4n^af te leggen,?

9 VOO INBEELD, Indien^ men aanneemt: dat een rijtuig in den-'
zelfden tijd i| maal zooveel wegs^afiegt ^ als een man ^ weik^, mes
eenen regelmütigen fiapy voortgaat ; in hoeveel tiJds zal dan dit rif*
tuig eenen. weg afleggen » #^Ufc» die man » regelmatig voortgaande ^

. in 7è uur , volbrengen Ica^l - ^

10 VooRBüELD. Indien 150 man, tn 7 maanden, een 'i^'erk kun»
nen afmaken f hoeveel man zal men er dan nog bij moeten aanne»
men , om dit werk in 6 maanden te volbrengen ?

11 VCK)R^JÈALD. . Maar^ indien die igo man, welke in 7 maan^
den dit werk kunnen volbrengen , reeds twee maanden op dien voet ,
gewerkt hadden, en de rest van het werk in drie maanden jnoesf \sem
reed zijn : hoeyeel tnatt ^o|/ nien dan .hoven de < 150 tnan, tot dat einde^
nog moeten in het werk fit Hen ? '

12 VooRBEB^ÏXf Er zijn 42 werklieden, die ia uren daags nr»
, beiden, en, op dien voet, een., werk in 6 maanden volbrengen: indien

ex m ^ werklieden minder .Z4jn„ hqeyeel ,uren zullen* zij ^ dan daifgs
moeten werken , om evenwel dit werk in 6, 'maanden af té doen^

*I3 VöoRBEEtD, Indien 170 werklieden ló tifèn daags ^vp erken ,
e», alzoo doende, een werk i» >g , maanden kunaen Volbfengen; hoe»
veel uren zullen zij ian ^da^gs , moeten a/beiden » ogn ék.zefiOievwerk
drie, maanden vroeger ia gereedheid te hebben ^

14 Voorbeeld.. Gefield ,^d^t een garnffoe» yani^Q^man.,ypor
p maanden , gèproviandeed zjj ; hoe lang zal dart 0e proviand pre^

'k^, inlUen dit garflifoen wet'6oö4aan^4ref'0f>êótw0fa^f ^ ''

15 Voorbeeld. Jn eene vesting ir zooKesil isiowtkaads^é id^ ^Mtt
dagelijks 5 hectogrammes vleesch , é^n kilogramme hrood en één deeW
litU^brajtdewih^^Mi^rende^denjn^^

fchappen^Gji ultdeeien ; noegroot zal dan de dagelifkfche uitdetliug
moeten nijn ^èm dien voorraad it^ 4jUt4^*^ff~d»^^fif<»ikfi(i>¥ *

16 VooR^iLD. J^Jit,ZfiQ» 0(4^>.,yfei^^^lis^^UffH^i9^éjwy4P^

CIJFERKÜNST, VÜHOOFDD* XLIUles. js

tlng is, welke y 8 maanden lang, die- dagelij kfcke uitdeel f ng genieten
kan; hoegroot zal dezelve uitdeellïig moeten zijn^ indien dit gar-
nifoen met 2CO manXvermetrderd wordt, en die voorraad insgelijks
8 maanden lang zal moeten flrekken y ^

%7 VooRBBBLD* JngcyalU ik aan iemand 1600 gulden voor 8
maanden geleend had , zonder daarvoor eenigen interest te vorde^
ren ; voor hoelang zoü hij mij dan acoo gU kunnen leenen , opdat
. int ij elkander winst noch fchade doen * ^ . .

18 VooRBBELD. Jegeu boeveel ten \a> Smeten ' j^o gulden uit*
gezet worden, om , in denzelfden tijd ^zooveel te winnen, als 600 gl»
tegen 3ï ten hpndetdi

19 Voorbeeld. Tot een transport van goederen worden 100 kar*
ren vereischt , welke elk 1200 fond gewigts vervoeren : hoe zwaar zal
men elke kar moeten beladen , tndión men , tot bet doen van dit trans^
port , niet meer dan 86 karren hekomen kan 'i'

do Voorbeeld* Een oyerfiroomd land. kan, door een^ uitwaie-
sing<t welke aooo vierkante voeten profil heeft, in den tijd vau 14
dagen, van zijn overtollig water ontlast Worden; in hoeveel tij ds zal
die ontlasting kunnen gefchieden , indien dit profil Jlecbts 1800 vier*
kante -voeten groot is f

tl Voorbeeld. IFanneer men f met zeker kapitaal, in 8 maan^
den, tegen sh pCent , 300 gulden winnen kan; tegjsn hoeveel pCcut
zal men dan, met dat zelfde kapitaal, die zelfde f om, in één hatf
ja^r , winnend

'22 Voor«»eld. ÏFanneer één Last Rogge lost 130 gulden^ dan
geldt een brood van 3 $ 5I Jiuivers ; hoeveet pond brood zal tnen dan
y&or diénzelfden prijs hebben , als het Last 10 gulden af {laat f

Ni^ Er z'4n tnisfchie» onder deze voorbfeeUteu-, Wölke door eeaott
Regcen Regel vaii Drkcu mv>ecen opgelosc worden»

XLIII L>E S. Oyer de zamengeftelde Evenredigheden.

d45» * Indien men de ovcreenkomflige termen van twee redens
. Qn getallen gegeven, zijnde,") met elkander vcvmcnigvufdigt ^
^dan hebben de producten tot elkander eene reden , welke gezegd
wordt, uit deze t^ee redens te zijn zamengefleld^ (1)

^40. Opiibloerino. Indien men' dus de redens 3
toi 5 en fl tot2Jüiii«r elkander \\t\i, en de overecn-
komftigc »tcfïïTende2cr i^^dens met elkander verin^nig-
viihligt ; dan wordt de reden der iToJuctcn , 6 lot 35 , ,
gezegd zamengefteld te züii, ui» de redens, 3 loi 5 en
« IOC 7. ^O . .•

647. • Af<^ zal, Qp deze wijze, drie, vier en meer redens,
door 4e gedurige pr%dtieten van dwzelyer. overeenkomflige term

CO Wanneer !s eene .reden uit twee redens zamqngcfteld ? ,
Olj Geef ccn voorbeeld? • >qQle

Ga ' '^'

Redens

315
2 : 7

ö : 35

76 ALLEREERSTE oeonden'dir

men te nemen j tot ééne enkele reden kunnen zamenftellen; en
dan zullen de producten gezegd worden , zamengefteld te zijn uit
de redens dezer factoren. (3)

(543. Opheldsrino. Indien men derhalve heeft de redens a tot
t ^ c lot d^ e xot f tn g tot h; dan zal de reden van aceg t<u bdfh
xamengefteid z^fn, uit de redens van a loi b ^ van c toi d^ van e tot
ƒ en van ^ tot h. CO

6a9. Gevolg. IVanneer derhalve twee gedurige producten
gepeld worden ^^ide hetzelfde aantal factoren hebbende; als^ bij
y oorbeeld:

dbcde en pqrit

dan kan men de reden dezer gedurige producten aanmerken^
\ali te zijn zamengefteld uit de redens der factoren ^ weike^
paar hunne rangorde^ uit het eerfte en tweede product 4 beur*
telingi genomen worden i en men zal derhalve zeggen: abcde
ftaat tot pqrst^ in eene reden ^ welke zamengefteld is ^ uit de re^
'dens van a tot p^ van b tot q ^ van c tot r, van d tot s em
van e tot t. (5)

,6so* Aanmerking. Deze twee gedurige producten^ abcde

en pqrst, zijn getallen ^ welke evenredig kunnen zijn met twee

andere getallen m en n, Qen zulks, op oneindig vele wijzen,)

dit alzoo aannemende^ heeft men de evenredigheid:

m i n zzz abcde : pqnt

welke van eene regte evenredigheid ^ in het wezen der zake 9
niet yerfchllt; doch, wegens de factoren, uit welke de ter-
men vaa.de tweede reden zijn zamengefteld, tQxxQ zamenge*
fteJde Evenredigheid genoemd wordt. {6)
\ 651. * Eene zamèngeftelde evenredigheid is dan zulk eene
evenredigheid y in welke ééne der twee redens , uit twee of meer
andere redens, is zametigefield. f Nogtans kunnen ook >eide
redens der evenredigbeid zamengeffelde redens rijn. (7)
<552. QPHELDBRiNO. I*. De evenredigheid
m : tt^zzijih l pq
wordt gelezen : m faat tot n, in de zamengejlelde reden van a tot p
en van b tot q»

C3) Kan men deze zamenftelling der redens verder uiiftrekkcn t
(4) Helder dit door een voorbeeld opl
{^^ Wat volct hieruit?

(fiy Wat mei-Kt gU , aangaande de zamèngeftelde f cdens , op,?
7) Wat il derhalve ceue zamèngeftelde evenrtdighci(MOglC

CIJFER KUNST* VII HOOFDD.XLfIf. LES, 77

a^. De evenredigheid

m \H = abe : pqr
wordt' gelezen : m jlaat tot », in de zameitgefieldc nden yan a tot p ^
van b tot q en van c tot /•

39. 0e evenredigbeid

I» : » = abcd : pqrs
wordt gelezen: m fiaat tot n, in, de zamengsfieldè uden fan a tot p^
yan b tot q^ vsM c tet r en yéMJ t9f s* (jüj

653. Gevolg, f ^^^^ ^^tn dan , door de ter/Hén van êéne
4kr redens eener gewone evenredigheid ^ eJke^ in twee (f meer fac'
toren te verdeekn^ uit die gewone evenredigheid eene zamenge»
/lelde maken (9^

OPUBLD&RiKe. B9 voorbeeld, gegéVen z^nde de evCntedi^hefd ,
ft : 4 = 18 : 24; dan ktn ik, in plfttts van 18, (lellen ft X 9V ^n •
in plaats van 24, fchriJven 4 >< 6; en dan zal 3:4=12X9:4X0
zijn. Em ik zal nu zeggen t 3 (Uwc tót 4, in 4e zinieBgeifceide reden
van 2 tot 4 en vtn 9 tot 6. Qio)

654. Aanmerking. Men kdn ooi regte redens wet ohtge*
keerde redens zamenfteïlen; mits men die omgekeerde redens voor»
{f in regte ver andere. (11}

655. Nadere verklaring. De omkeering der omgekeèrcfe
redens tot regce kan, op tweederlei wijze, plaats hebben:
i*^« door de termen van de oingekeerde tedens om te tettén;
dat is, door den voorgaanden tertn met den voigenden te ver»
wisfelen: «®.. door de termen^ eiken ^ zieh zelven genomtn^ om
te keeren; dat wil zeggen, (zie 1 Deet^ art. g66) door eiken
term onder de gedaante eefier breuk te fchrijven, en die breuk
dan om te keeren; dat is^ den tel&r in plaats vaé Jth hóèifi^f te
fieüen. (iii)

Ophbldb&inc. Ik wil de regte reden a : h met de omgekeerde
reden c : d (dat is, iqec eene reden • die ik omgekeerd denk,^ za«
tneAÜlellen; dan mag ik niet fchrSVèti, de i hd\ Waht dan hèd ik
eene regte reien n : b intt eèwe regte rederi e x d ztmengedelcl ;
maar ik moe f de regte reden a : b met de regte reden d x e ^ die uit
ds omgekeerd* ■# r d'¥olgf^ zamemfieUén ^ en fchrlyve»: ad x ba^ sn
dan heb ik de regte reden a i b nut de omgekeerde reden e i d , op

Cd) Hoe worden de safneBgeftelde flvenreiiigbedèn ficlecen ?
C9) Wtt volgt bfcrttit ?
Cf») Helder dit door ten vooifkeehf 4>p^

Cl O Kuaaeo oek re^te mei omgekeettle rtdens werdeo zamengeftehl f
ii9) Op hoeveel wfeen, km men de regte met de om^toMQ tU
zameoüeUenl

75 ALLEREERSTEgrondbn obr

é^ eerfc 'ivijze^ zamengejleld. C'3), He ««imeoftellin}?., op de tweede
wözcjgcfchiedt nu aldus: de regie reden is aib\ de omgekeerde cid

wordt eene regte^ door te pellen dic» Nu h d\c zzz ~- • ' 7~ » ^<>^

als genoegzaam daaruit blijkt: dat het product der uiterfte termen
gelijk is aan het product der middelfte termen* Ik ftel derhalve
II' ah

a\h tnet — s T» *^^ regte redens, te zamen ; en dan is — : —
cd — . c »

xaraengefteld uit de ritereden van a loc J,en uit de omgekeerde reden
van c tot d» (i4>

a h
Deze laatfte zamengeftelde reden , — : ~ , fchHnt nu iets anders,

dan de eerfte» adihc^ tezSn; doch zg zSn wezenlgk dezelfde. (15)

ah
Laat, om zulks te betoogen, — : -^- zi|n, in reden van twee ge*

' heele getallen, p tot q; hoedanige men er altijd vele vinden kan»

ladleodan -^ i *r wezenlek dezelfde reden is als adi bc^^ dan moét

en ad % bc "z:: p i q
zfin En dit is ook indedaad alzoo^ want, men vermcnigviildige , in
de eeifte evenredigheid, de termen ven de ccrfte reden. met c; dan

heeft men a i -^ zzz piq\ en, wannee; men de termen van de eerfte

reden ^zer laatfte evenredigheid nog met d vermenigvuldigt ; dan
vferkrfjgt men \ ad \bc -=: p \ q* Het W^kt dan hieruit : dat er geen

wezenlijk onderfcheid cusfchen-^ x ~ tn adxbc is. (16; • De eer.

fte is wel in gebrokene, en de tweede in geheele getallen uitgedrukt;
' doch men lioude onder het oog» dat eene rede niet verandert, wan-
neer dcrzelver termen met hetzelfde getal vermenigvuldigd of gedeeld
worden. (17)

616* Gkstolg. Men kan ^ op deze wijze ^ zooveel re^e en
zamengeftelde redens zamenftellen , ah men goedvindt i mits

fi%^ Helder de eerfte wjze van zamenftellen opf .

ff/) Hoe gefchtedt de tweede w^ze v«i-«ame»fteilen? -

C lO Schijnen deze twee w||zen , om de regtc met de omgekeerde re*

dens zamen te ftellén, niet owterfcheiden te «Ön? '
e 16;) Hoe betoogt men, dat dit onderfcheid Öcchts fchönbaar laT
U7) Hoe kan men anders de'^amengefteide reden, op de eerfte w^Jze
cemaakt* tot 4ic, ivclke, op de tweede w^Jae, is aimcnjeftcld^
lierleiden? ^ rf^c^n^o ' '^

Digitized by V^OOg IC

CIJFER KUNST. VII HO o FDD. XLïII lei, 7^

zulks ^ op ééne^der twee voorgaande wijzen ^ gefchiesie : mgtans
verkiest then meeual de laatjie, Cl^^

I.UCCU gegcvca i:^'a de regi« rcücas • •• • • . Ca i b \

v-i\

en de omgekeerde redens •••••••••• i P '^ ^ \

\ r i s l

dau zal de reden , welke uic deze drie regte en de twee omotRccrde

ace bdl
redens is «amengclleld , worden — : -^. (J9) Wa;tf lUt men ziet :

pr qs

dat y om regte redens met omgekeerde zamen te fiellen^ de produc*
ten van de voornaamle en vol ir end e termen van de regie redens door
dit producten van de voori;aande en volgende termen der omgekeerde
redens moeten gedeeld worden.J^ooj

6s7* AANMERKiNG, Alle redjns ^ welke ^ het zij uit regte of
omgekeerde ^ of gedeeltelijk uit regte en omgekeerde redens^ zijn
zameugelLld^ kunnen altijd (^zie art, 506) door de reden van
twee ge/iee e getallen^ en z'dks ^ op onderfcheidene ^ ja ontelbare \
wijzen y worden voorgejield; Q21J eii daa oncllaau hieruic alle
Iborten vau zamengejlelde evenredigheden» * Zamengrjjelde even*
redigltedcn bejtaan dan uit de gelijkheid van eene eenvoudige
met eene zamengejtelde reden ^ en jmti^d$ (22J ook wel uit de
vergelijk ng van eene zamengeftelde tnet eene zoHicngeftelde re*
^<^«> C233 welke, op de voig^nde wijze, kunstmatig moextn
ge.ezen worden;

6^8. OPiiiLDKaiNGBN, i^« De evenredigheid

a : b zzz pr : qs

wordt gelezen: a fiaat tot b in de zamengepelde reden van p tot q
en ran r tot s»

659. a**. De evenredigheid

a t ^ = prtv i qsuw
wordt gelezen t a ftaat tot b^ In de zamengefieJde reden van p tot qi
yan r tot s ^ van t tot u en van v tot Wi (^24)

66o« s"*. Men leest dezQ evenredigheden ook nog anders: de eerde

ri8) Kan men dan vele redens Cregte- en omgekeerde) zamenflillen ?

(19; Geef hier een voorbeeld van?

Qop') Hoe worden dan, in het algemeen, regte redens met omgekeer*

de, op de beste wtfze, zamengeftetd?
C%t) Kan men zamengeftelde redens ook, door enkele getallen, uitdruk*

kenr ^

C^ft) Wat zQn dan zamengeftelde evenredigheden ?
U3) Z\jn zH ook nog wel anders zamcngefteld ? nr^r^c^]r> 1

t4; öc«M<whc«i<»cn^ nigitizedby boogie — .

G4

«d A L L E R E E RSTE oROjiDBND-Eit

leest men ; de red^n yan a tot h is zamengefteld uit d^ regte redem
ydn p tot q en yan r tot s, I)c tweede lueat men: de reden van a
tot If is zamengeflöld uit de regie redens yan p tot q ^ van r tot s ,
ra» t tot u en yan v tot w, (25J

C^u 4''« De evenredigheid

P <l
worde gdezen : a ftaat tot h ^ in de omgekeerde reden yan p tot qi
6$2« d*** Oe evenredigheid

t s

vitordtgé]ezeniajlaattot ïf in de regte reden van p tot f en in de omge'
keerde reden van r tot s\ of, a fiaattot b ^in eene reden ^ welke za»
mengeft^ld is , uit de regte rede» tot p tot q en de omgekeerde rem
4cM yan r tot s*
éó^. ^. i)e evenredigheid

pr qs

wordt gelcBcn: de reden van a tot b is zamengefleld uit de regte rè'
4tns yan e tot d ^ van e tot f ^ van g tot h\ en uit de omgekeerde
- redens yan p tot q en yan r tot s. (aöj
tSö4» 7*. De evenredigheid
_ ac i hd =r prs : qsu

wordt gelezen : de reden , zamengefield uit de regte reden van a tot
h en va» c tot d f is gelijk aan de reden ^ v^lke-is zamengefteld uit
4e regte rede» yan f tot q , yan r tot s en van t tot «. (27)

66s» AaNwerkic^g. Br zijn mg vele anSere zamengeftekk
evenredigheden ^ welke wel niet , onder dien naam , zêo ul^emfen
bekend zijn; maar nogfans tof dezelve Bekeren. (a8> Z^
worden aldus gelezens

6C6. « De evenredigbeid

tf : * = p« : f »
wordt gelezen: a paat tot b in de vierkante reden va» phtq^of,
a ftaat tut b in de verdubbelde reden cratione duplicatO vanptot^*

66f. ♦ De evenrediglieid ^^

tf : > :rr p' : q^

Cas) Ran tnen deze evenredigheden nog anders lezen T

(aó) Geef nog meet voorbeeldeit ?

C^7) Geef nog een ander voorbeeld?

^aS> ZSn er ook nog andere füorten van zamgajilla^ fTHtr4dljfcftd«l?^

C IJ F E R K ü N S T- VII HOOFDD. XLIIIt LB8& 8»

worde gelef en : a ftaat tot h in de euhieke nieu "tan p tei | ; of,
A ftaat tot h in de dtUduHele reden (ratione triplicau) van p tot q%
<568« ♦ De evenredigheid

/»* 4*
wordt gelezen: a ft^at tot h ^ in de omgekeerde yierkante reden y0m
p tot q\ o fin de omgekeerde verdubbelde reden (ratioae inveri'i do»
plJcaca^ yan p tot q*
6^9» ♦ De evenredigheid

a t h zn \/p i }/ q
wordt gelezen : a ftaat tot b , als de vïerkants^'wortel mit p tot den
vierkant s -vort el uit q\of^a ftaat tot b ^ in de otideryerdubbeldt t€^
den (ratione fubduplicata) yan p tot q*

6^» * De evenredigheid

a\bi=zl^p:)^q

wordt gelezen: a ftaat tot b^als de eubus-wortel uit p tof dên eu*
hu9»vortel uit q. (29)

671. Algemeene aanmerking, /f/le deze zamengelielde
erenredigheden ^ en nog zooveel duizend anderen ^welke ak^ tot in het
oneindige ^kunnen gevortnd worden ^ bezitten ^ zonder ónder fchiid^
al de eigenfchappen der regte evenredigheden , welke # vao aft.
53 1 tot art* ^ 552 , verklaard tijn ; (30) en , door deze eigen*
fchappen werkelijk toe te pasfen-^ kan men aan de z^mengeftei'
de evenredigheden ortderfcheidene andere gedaanten geven^ welke ,
in hit gebruik 9 zeer nuttig kunnen zijn* (31)

<57A. VooRBBSLbBN* i«* Men deele de termen der evenredigheid
a : b rzr pr r qs
door de overeenkomftige termen van de evenredigheid .
r\s'=^r\i

dan heeft men — i — - z=: p i q\ oï p l q ziz — i — . Bijaldien

dan twee' grootheden a en 'b, in de zamengeftelde reden zijn van p
tot q en vèn r tot s ; dan zal p eene reden tot q hebben^ zamen'
gefteld uit de regte reden van a tot b en uit de omgekeerde reden
yan r tot s* (^2)

(2q) Geef voorbeelden 7

(soj Wat merkt g^ aangaande de zamengelielde evenredigheden op 7
C31) Wat volgt daaruit i?

(32} Geef een eerde voorbeeld van de gedaanteverandering ccoer sa-
«engetteiae eveLUdighcW» .„. e. ., Google '

$9 AiLjLE'RfijB&iTï oRotiPEN der

67S* ^A^r Mpb ver4aeiig¥ttldjge de sam^ngedelde evenr«d^la«i4
tf : ^ !ü -ï- ; -2- tnet de evenredigheid > ; / = r j j; dan zal,
volgens i»r/, 549, ar i bs :=z p.\ qi oï p \ q = «r : bs z^Jn, (33)

674* 3^« Men zal, doo^ de t©epa»üng van diezelfde beglnfelen,
M% 4e ^Qoredigbdtd^ 1» : J == ^^- : -^t dr volgende afleiden. (34)

1) tfctf : bdfzi^ pré : ^jtf Verklarikq. De eerde evenrc-

^^^ ^^r digheid volgt, door de peftelde met

ft) -^ :— i. m f : tf' de evenredigheid cclaf^:z=. ceidf

te vermenigvuldigen. Het zö aan
den l-eerling övcrgehwett, te Eoe-

^) .— :.-^ SZ.p: I keni boe de tweede, derde «n

ace \

W/

z=

pré : ^Jtf

ace

bdf

=

f : u

net

W

SU

=

P^ 1

^:/

=

£1'

ac

^ii;2r.

enz*

vierde evenrcdigbeden, uit de ge*
f^^t"' t'" ^^^^^ » ^'^^ ^s > "^^ *^ eerfte, vol«

*^ **'^~ "^ VTZ gen» ^35;

675. ♦Men noemt, in eene zamengeftelde evenredigheid,

ü X è 'zz^— ihr^. zöo^ V5^el de termen van de eenvoudige re-

den « top^, als de termen der regte redens, p tot ^,r toe 5,
/ tot «, en de termen der omgekeerde redens, als van de
omgekeerde reden van c tot 4, en van de omgeiceerde reden
van e toe ƒ, in hec algemeen, de termen der zmttengefteide
evenredigheid. (36) f ^^^ zamengefleide evenredigheid moet
ten winfïe zes zulke Urmen hebben ; maar 9 daar msn^ zoêveel
liedens itm^zamenfielien^ als men goedvindt^ is het aantal ter-
men^ waaruit eene zantengeftelde evenredigheid beftaan kan^
mbebaald grgoi ; effckoen dit aantal termen , uit den aard der
zake f altijd een even getal is C37)

676. GttONDREGEL. t J^Fanneer één der termen van eene
namengeftelde evenredigheid onbekend is^ kan die onbekende term
altijd gevonden werden, i^'^'è) * ' ^ ' \

Opbbli>bring. WÖ zullen zulks, in twee gevallen, aantoonen.

(33^ Geef een tweede voofbeelcT?
C34) Geef nog meer voorbevlden?
(.35) Verklaar dezelve?

(36) Wat verftaat inen door de termen eener za«enge(le!de evenre-
digheid ?
r37) Hoeveel zulk* termen kan eene wmengeftdde evenredigheid h -bben?
(jSfi) Kan men , een term onbekend zgndc , dejitelveiKWedciïvindenï

DigitizedbyV^OOQl.

C IJFERK ÜNST. vn HOOFDD, XLÏtr. les. 83

r**. Wanneer de zamengefteldè eyenfedisrheid alleen uit regte tedens
ts zamengefteld, 2** i Wanneer zt/ gedeeltelijk uit regte en gedeet»
telijk uit omgekeerde redens beftaai^. (39)

d-^^, I". Siel: dat,indczain^ngefteldeevenredfglield,4:5=c^^:i//^,
de cerm h onbekend zg ; noem denselveo x y dan is

a : h "rzz ceg : dfx
naar, ia elke evenredigheid. Is het-p^oduct deruiterfte termen gel^k
aan dat der middelden; derhalve is

adfx = hceg
en, wanneer meir nu. door den coëfficiënt van #; dat is, door adt
deeJc; daa verkr^gt men<

Op def elfde wtf»^, «tl^e» vkKtei

bcig ^ hteg^ ' .^ a^^ ^ _ am\ ^ _. ^fh . _

ƒ — ;55a \^ -^ ^ ' ^ -^ "^ • ^ "^ "ï^ ^ "^ ^ ^ • * ~

adfh ^(ieg .

-: — r tn a — . -yz-* C4I}
ceg »/*

Het is nuttig, deze oplosflngen alle nitte werken.

678. 2*. In eene zamengefteldè evenredigheid ^ welke gedeelteltfk
uit regte en gedeeltelijk uit zamengefteldè redens iS zumengefteUi
i^ordtééne der Wiekende termen ^ op^ dexelfdé^ïitt^ge^onden^ mvm^
om hier in» met meer zekerh^d, te wenkte gaan, maakt meekeer$$%
uit de gefielde zamengefielde evenredigheid ^^ de^ breuken- -iveg y e»
behandelt daarna de^ oplosftng , als in het eerfte gevt^* (4a)
La?t, btj voorbeeld, gegeven z^Jnr, de iamengenéluc evenredigheid;

9 i Q "zz* ^ : — r f ^ ia^ ^^^ ^^^ dfittzelveac, terivea, bD vooiw

^ ^ gi hk' '

Beeld, de term f onbekemi «8» r ftie» fttHe ^déazetv«& sr jr t dab tl

dee Hx

men vermenigvuldigd 4eze evenredigheid met giihk r:s^i:.A^; (Janff

P^f : ^A* =; tfr^ : W«
eo hieruit volgt dan:

fso) Hoeveel getallen neemt gij hier in aanmerking t

(^oX.GèefiAeiLiVtoorBttld'Van het^rlte %€^'A1^

(41) Geef meer voorbeelden I ^

(4a) Hoe behandelt men het tweetó g«valt rr^r^r,\r>

(43) Geef hier een vodibwW.viirfi Digi izedby woogie

84 ALL ER EERSTE gronden de»

679. $•• Wanneer dt onhekenda term een term yan ééne der om*Tf>.
\eerde redens is ; gelijk , wanneer i onhikend ware : dan zou men ,
op dezelfde wijze '<, blijven te werk gaan. (44) Want, (lelleude voi^r
den onbekenden term ^r ; d^n is

ace bdf

fgi : qhv :=: ace : W/

ace^hx zz: hdffgl

(AS)

= hdfpgl

_^ hdfpgl _. ^

aceqh

Men «al , dien regel volgende , vinden a sz ^—r- » €»z% De Oii-

\ pnkce

clerw)|zer moet dft verder laten ontwikkelen.

680. Aanmerking. Men, ziet, uit de voorgaande artikels :
dat bet bepalen van den onbekenden term eener zamengefieldd
^enreMgkeid^ of van vijf óf van zeven ^ of van negen ^ of van
ineef bekende termen . of getallen afhangt , welker aantal alHjd
(meven iu IVanneer ééne der redem van de zantengeflelde even»
redigheid^ uit twee regte , ééne regte en ééne omgekeerde , of twee
omgekeerde redens bejlaat^ en één van de zes termen dezer omge*
keerde evenredigheid onbekend is; dan hangt die onbekende term
v^ vijf bekende termen af^ en men zoekt dus^uit vijf getallen^
een zesde getal: daarom hebben de CiJ fermeesters ecnen regceti
en omgekeerden Regel van Fijven onderfcheiden , (46) en re#
g^s voorgefchreven, om dien onbekenden term, in elk geval,
te vinden, die, wanneer de gronden der zaak niet genoeg ont*
wikkeld zijn, even zoo fpoedig vergeten worden, als men de*
tel^e geleerd heeft. Bovendien ziet va^ni dat ér zoowel een
regei. van zevenen^ een' regel van negenen ^ van elven ^ enz. ah
een regel van vijven befiaan kan; welke alle begrepen zijn, in
de oplosfing van hec algemeene vraagftuk, om één der onbo^
kende termen van eene zamengeflelde evenredigheid te bepalen?
welk vraagftufe^, in art. 677^ 67B en d/p, in alle deszelfs om*
Handigheden, reeds opgelost is.

XLiy L E S# Toepasfing der zamengejlelde Evenredigheden^

681. Alles , wat wij toe hiertoe, In de voorgaande £^j, verklaard

(44^ Maar boe ttaat rn^en te werk, wanneer eea term van ééoe^dct

omgekeerde redens onbekend ia?
(45) Geef bier van een voorbeeld f
(46 j Wac ia de zoogenaamde regel van v#ven f by Google

C IJ F E R K UNS T. VII HOOFD D. XLIV. tf s. 9$

hebben, beftaat in algemeene befchou wingen van getaflefn,
welke men, naar welgévaHeii, kan ititbreiden; doch deze be*
fchouwingen verkrijgen eenst eene wezenlijke nuttigheid, wan-
neer men dezelve op Tiet dagelijkfché gebruik to.epast. (i)

682. ,ln èe\) natuiirigken ïamenhang der dingen, hangt , el Jee groots
lïeid,/Of ^an ééne, of van twee ^ of van meer grootheden af, (a) Die
wUze van afhankelijkheid kan, op oneindig vele wijzen, door den ard
cnde oarftandigiieden der dingen «zelve gew^zigd zön;C3) en, om de-
«e alle ie kennen en te doorgronden , inoec men met de beginfefew
^an Qjn(|erfcheidenet wetenfchappen bekend. zOn. (4) Doch , onder allt
deze metïigvuldige onderlinge afliankelijkheden der dingen, is die w^»
ze van onderlinge afhankelökheid, welke de'regte of omgekeerde re«
den der zamenhangeode» jfröotlve(|en. volgt, de 'eehvoujWiifte , en wj
noemen dezelve daarom onderlinge evenredige afhankelijkheid. Ook
behooren de vSTaagftukfcen , welke raöa zich, ingaande, dezei ve , Iran
voordellen, loc het gebied der ref?te, omgekeerde en zamcngefteW*
evenredigbeden. ($) Eer men nu deze evenredigheidsleer op die dl»^
gtff-mag toepas fen^ moet men vooraf van het wezenlijke bejlaan diér
evenredigheden tnsfchen dezelve volk(>men verzekerd zijn (6); at»»
dat er vele grootheden zijn ^ welke ^ bij een oppervlakkig befdkm*
Vf», in eene evenredigheid f^hijtien ie flaau^ en nogtans in gtem
irenredisheid zijn* {ji Zoo duren, bg voorbeeld, de fcbomraelhi-
gen- van eenen Ü'inger wel langer, als de flinger langer isi maar men
xou verkecrdelUk beüuiten , indien men de lengte dèr flingers in even»
redighéid van die t|jden der (chommelingen aanname. (8J De volgen*
de befcbouwingen bevatten de hulpmiddelen, om het beilaan vm
eénige onderlinge evenredige afhankelykheid tusfchen voofgefteldt
dingen, met klaarheid en zelfsovertuigingf te beoordeelen.

^83. I Bèischoüwino. fVanneer eene grootheid A van i^n^
andere grootheid P a/hangt ; dan ^f wen behooren na te gaan ,
wat deze grootheid 4 worden zal^ indien men de gnx^hHd ^
twee^ drie f vitr en meermalen neemt* Indien dan

met A, sA, 3A, 4A, 5A, em. nk
ee^treenflemt P^ aP, 3P, 4P, 5P, enz, «P
dan zal men mogen befluiten: dat A : nA z:^ P ; nV fs; ^
if , da f de onderfcheidene waarden van A evenredig zijn aan di
êvereenkomftige waarden van P. (p)

ff) Z^n de voorgaande befcbouwingen van eenig nut f
ffll Wat merkt meft in den natnurlpken zamenhang der dingen op f
?3J Is die onderlinge afbankelgkheid der dingen altffd dezei^ f
cO Hoe leert men dezelve, in alle gevallen, kennen?
|5lr 'Welke zfjn nogiana de ecnvondigfte en gemakkel^kde?
iS) Wat wordt vereiscbt, om de evenredigheidsleer toe te pasftnf
M Waartoe is die duidelijke kennis noodlgY
ffiS Kunt gil dit door een voorbeeld ophelderen f r^ j
|9> Wtt zegt de eerfte befèboawiogf nigtizedbyV^oogle

IL D&EU H

Z6 AL LE RE E RST E c R o WDSN der^ -

Aa» de«e voorwuwpcten voldoim de nefevt ftetlJiiRen, welJv». van'
art. 555 — art. {,6^. Bladz. 34» 35 ^ 3^» «On VOOfgedrtgeiK f loi
j>iaar Itemt

innA»aA,rA AA^enznK
overeen P , 3Pf 5?» 7? ,~ enz^ (2 ji — i)p
dan «al wel P te pel0k met A grnotér worden; maar ér ^nl gcene
evenredigheid tusfcben A en P meer plaats hebben; daar deze groof ^
heiüen, op cene geheel andere wyzc, en volgens cene gebed andere
Wet, van elkander afhangen, (ii)

684. II Beschouwing. Maar , warneer A van P zoodanig
fifkangt^ daty bijaldien ^ .

*«^/ A,. 2A, 3A, 4A, sk^enz.nk
oyereenftemt P, 'P, |P, |P, jp, enz.^^^

dan zal nu nfet meer (gelijk tn de voorgaande befchouwing J

fi i «A = P \ nV; maar wel A : nh z=z P : —? z/in,

r n

De waarheid htervan zal blijken, indiea men dé termen' vaö
de laatfle reden dezer evenredigheid met n vermenigvuldigt,
Men.3Wl derbiive, in die geval, ze.frgen: de grootheid A is in
de omgekeerde reden van de grootheid ?. (12) De (leningen ;
welke van art. 634 — art. 639, bladz. óp ei^ 70, zijn voor
gedragen, behooren tot dit geval. (13) ^

NB. Pt Onderwijzer mo?t aan deze twee berchoüwfngen de ftel-
Hligen van art. 556 — art 16% , en die van art. 63* — art, ^19 mee
«i|ne Leerlingen ler toetze brengen; zoj^ om ben met deze zrken ge-
meenaanfter te malcen^, als» om hen op den weg te belpeii, om dez«
Cborc van befcbouwingen op ÉOüdere «aken te keren loepasiia. Hicè
aao is ten üiterfte veel gelegen.,

685. III Beschouwing. Het gebeurt dikwijls^ d^ ^A vam
l^e ^oKiikrit grootheden P en Q^ afhangt IVanneer dit gebeurt^
fèan men akijd nagaan^ mt er gebeuren zal^ indien me^^Q^
onveranderd laat^ en P als veranderlijk denk4{ en wat er m^
der gebeuren zal^ indien men P onveranderd iaat ^ en H ak
Vjfandeiliji be/chouuif, {14)- -

r.

I

!0) Méfebcn m'i van de^ zaak reeds voorbeelden gehad t

h) Geef een voorbeeld, dat tilec altijd^ wantifter p grooMf woak

metA» P aan A «venredig is? «- -^

iii> Wet «egt de ^eede berchouwing, T

18) Hebben wö hiervan al voorbeelden M^g^trpfffenf '

^^r? i^qln.^l^^'^'''^' tadieive,w*roothei4.A>^tiief

CIJFERKÜNST. vil HOOFDD, XLIV. ti$. $7

6%6. I Geval, H^atmeer dan H fiandvaaig hHjft y en JP
genomen wordt

P,.,2P, 3P,.4P, 5P, ^««. «P

en dan met deze waarden van P overeenflemmen %

A, aA, 3A, 4A, 5Ay enz^ nh

^ nog daarenboven^ wanneer men P ftandvastig neemt ^ en ah
dan^met

Qf aQ, 3Q» 4Qf 5Q, enz. «Q
tefens Ofereenftemmeni

A/ dA, 3A, 4A, yA, en%. n\
^an zal men mogen befiuUen: dat de onderfcheidene waarden^
welke de grootheid A^ door de gelijktijdige veranderingen van P
en Q^ verkrijgt^ in eene reden zijn^ welke zametigefte/d is 9 uit
de rcgte reden van de overeenkomftige ^^aarden van Pf en de
reg te- reden van de overeenkom/lige waarden van j^,» C'5) ^^^^^
Welk men korter uidus uitdrukci A is in de zamengefieluk re*
den van P en Qj {16)

ïizjooa. Want , Iaat P gelgk worden aan p mwl P; dan wordt A
fiattiuriyk p maal A , of ^A ; wanneer inen daarna Q iaat wordt*» ^
waal Q i dun wordt p X A étl^fk aan q maal pA 5 dat is, pf m2»al A;j
of pfA. Op dezcllue w^ze, zal, wanneer V en Q eik atzouderl^k
wor-cn rXP en^x 0,^ ^ worden ts maal j1 ; dus zulle» de waar-
den, wciice de gioutbcid A verkregen beeft , worden p^ X A es
r# X A , maar nu ïs , zie art* 502 ,

pqX A". ^s X A =:p4 i rs
maar pXP:rXP = /»:r

de- halve zulkm 4b getallen, voorfteltende de twee waarden, welke da
gcovitoej^jA verkregen heett, zö<iv ^^ <*« lamei gefteide rtdeirvan de
reden dor getallen, welke de overeenkomftige waarden van P en de
overeen kp indigo waainen vac Q uitdrukken i en het is» in dien zin^
dat dcYpreekwyze, de gtootheid A is in de zame/tge/ielde reden van
P en ^2$ moet vc-rltaan woracn. £17) ■ >

(.87. I Voorbeeld. Aldus is de winsi^ door ecnig kapitaal ^ '«
eenigen iijd^ nangebragt ^ in de zamenoefleld'e reden Van dit kapi*
taal en ditn tiJd^X^B) 'Want, als de tga de^tlfde bl^lt, zh\ eun
ft» 3 f i^» f' vuudig kapitaal eene 2, 3, 10, n iroudigë winst Qp»

■ ■ I iiiii ■[■■■I II 'm ■■■■pil»'* .. ""'1' ■' Il i|iJ iJb iV ..K. ^.. i.J ( ■■

C'5) ^^eef etn voorbeeld van bet eerfte geval ?
Ci6y Hoe drukt men dit korter uk ?
Qifj Hoe bewijst gv dit?

Cib) Geef een tocpasfcl^ voorbeeld? DigiiedbyGoOQle

II 2

M ALLEREERSTE gronden Dfiit>

tueoj^en , en bltfft het ktpi.ttal hecz«Ifde;^ dtn sat de whist, In eeheif «
i^udigen tijd , ook n maal groorer z^n Cvcrg, 4 en 5 Foffr^ldp
yUftz. 38O (19) Men drukt dit aldus ujt:

Winst : Winst = Kap. X' Tifcf : 'Kap. X Tf/V. • • (co)

68S« s Voor BB R LD. Be vêrdiénjleh of arhtidêioonen derv^rklie^
é^n j 'wellre met gelijke vermogens ^' itifpanniiig' en ylijt wsrken ,ziitt
in de zamengeftelde reden van het getal dér vferklUden en 4^t tijden ,
zoo lang zij gewerkt hehben, (21) Want, K^n de ijjilen j>clijk^*dait
zt'n de verdienften evenredig aan de werklieden; en heuelWe ^vtal
werklieden verdk^nt arbeidsioonen , welke eveuredig aan de tydsa
zÖ"! (22) dit drukt meu aldut uic«

Arb. loon : Arb. loon = Werkl. X Tt'd ; JTefkl. X-T//J*4ts) *

689. 3 Voorbeeld, Off .g^lijf^i^ wij^^ ^i/n de hoeyeelh^d<n ar»
heids ^ door werklieden ^ met gelijke krachten werkende ^ daargt field ^
iu de zamengejlclde f eden van ^het getai der ^werklieden ewdcrfijdi)i\
ko€ lang zij gewerkt hebben» [24.) Men drukt dit aldus uii :

Werk : fTerk ■= Werklied. X Tjjd t JFerkHed. X Tijd. (25) »
t*90. «4. Voorbeeld/ De fnelheden v^n eenen voetganger ^ een
paard , een f ij tuig ,' eeue trekj'dtuit , en in het ahea^etn van een be*
WQgen ligchaam ^ ztjn niets anders dap de wegen , welke die voet*
gahg^r^ dit paard ^ dit rijtuig^ die trekfchuit ^ dit hewo^eru lig*^
ehaam ^ in denzelfden tijd ^ bij voorbeeldje /éne minuut f' é^h uur ^^
enz. döorlo^pen. ^26 B^ voof MfrW , zoo een \/ocEt;anf?er FA één üur
IÏ5CO mérers afleidt, en een man te i)èard ^coo meiers In één imf?
dan zjil men z.ggen; de fnelbiid van>dén voetganger float tot dê
fnelheid van den man te paard ^' in eene reden , als 5500 tot 905.0,*
als 5*? tot 90, als 11 lOt ï8. (27) Dit verftaan licbende, zal niei'i
f(unnen nagaan: dat ds wegen ^ welke twee bewogtne ligchamen, met
ostderfcheldene fnelheden , in verfc^lUnde^ tijden , dourioQpen\ %n de-
zamengefielde reden der fnelheden en tijden zijn. (^28j) Hetgeen
aldus wordt ui cgedrukt ; .

Weg : ÏFeg rrr^Sutlb, X ^'^i^$n^h. X Ttjd.^g)
6gu f) VNa^RB«€Ln. De prijs ion h4t brmd' h^ri^tafyandi
pfij4 van het graan en van de grootte van het broBd , - Wetkè ëtttt

C19) Waarom belhat die zamengeftelde evearcdiglieid ?

iflo) Hoe drukt men dezelve uit? >

(ai) Geef een ander voorbeeld? . >

Caa) Waarom beftaat die zamengeftelde evenredigheid f^ .. , . t .« .-

(as) Hoe drukt men dezelve uit? .^ , . ■ « i i«; iC

ra4) Geef een derde voorbeeld^

(05) Hoe drukt men dit uit? -- ..-t -

(aö) Wat verftaat men door de fnelheid van «en bewogen Ifffchaam f

C«7) Helder dit door een voorbeeld ojl? . / 6 a m r

(aS) Welk eene evenredUheid beftaat er tosfchcn de éKio*Rt\60óéa^

ruimte, de fnelheden en de tydeo ? V^

',; Hoe drukt «en dat «Uï . „„„,,,, Google ' ■•

C IJ F E R K ü N S T. Vil H OOFDD* XLÏV. les, 89

d^zel s gewigt ^ye/treJfff is ; want hft Irood van een zelfde gewlgt
wordt duurdnr , naarmate het graan rijst , eu wanneer htt graan op
demtlfden pi ijs blijjt ^ zal men meer voor één brood moeten heta*
lên ^ naap evetiredigheid ^ dat het zwaarder weegt* (30J Meji drukt
ciic aUlus^uii : •

PrÖs Br. : Vrijs Br. = Prjs Or. X Gcw. : Prijs Gr. X Gew. (3i>

692. 6 VooRBBBLD. De noodige yoorraad van leyensn.iddtlen en
iehoeften voor eene vesting^ een bodem ^ ofeenlg ander etablisfe-
menty hangt af van het aantal der verteerende perfonen en van den
tijd ^ gedurende welken die voorraad f rekken moet: die voorraad is
derhalve ia de zamen^ejlelde reden van het g^tal der yertecrende
perfonen en van den tï$dm (32) Men drakt dK aldus uic : .

Voorr. ; Voorr. = Ferfoii. X Ti'd : Perfon- X ti/V. ^33)
693. 7 Voor BR BLO* De inhoud van een vierkantig vlak Cin de
Meetkunst regchuck genaaind,^ hangt ai vian (ie lengte en van de
breedte van dit vlak i blijft de breedte dezelfde ; dan ftaat de /«-
houd in reden van de lengte ; maar hij flaat , in de reden van de
breedte ^ wanneer deze verandert en de lengte dezelfde bUjit. D4
inhoud is dus in de zamengejhlde reden van de lengte en breedte. {%^
Dit drukt men aldus iiit :

Inhoud : Inhoud = Lengte X Br. : Lengte X Br. (^)

694* 8 VooRBPBLD. Het gewlgt van een ligchaam Xvan ttn^
Mêkere Zflfftatrdigheid in liet algemeen} hangt af van deszcl s uitga*
breidheid en van deszelfs digtheid. Cz6; L»e uitgebreidheid wordt ia
Cubieke eenheden , bfl voorb* cubiekc meters, decimeters, centime*
'ter», enz. uitgedrukt ; de digtheid is dan niets anders dan het ga-*
tal f dat het gewigl van eenen cubieken meter ^ decimeter of centime*
ter (oi' van eenige andere éénheid vin llgchaamsniaaC/ vcforj^slt. (37)
Her gewfgc wordt evenredigi^k grooter, wanneer, de digtheid dezelf-
de bl^vende, de uitgebreidheid groocer worde; het gewigt wordt ins-
gelijks evenredig]*^ grooter, wahneér , onder dezelfde uitgebrerdheidt
de digtheid toeneemt. Het gewigt vun een ligchaam is derhalve in
de xameogeftelde reden vin de uitgebnsidikeid en de digtheid» Men
drukt dit aldus uit t

Oew. : Gew, =! üitgebr. X Digth. 1 Ültgehr. X Digth. (3&)

Bn m'en kan nog vele tndece voorbeelden , uit de wetenfchtppen
ontleend, bSbrengen*

— ■» »»' ' ■ ' i ,mm.

\

fy>) Wtt «egt Het vjrde voorbeeld?
<3i) Hos fchrQft men dit in teekenst
CSO ^<^< 2^t bet zesde voorbeeld!
C3S) Hoe drukt raen dit uhY
<34) Wat «egt bet zevende voorbeeld?
Css) Hoe fcbrlïft men dit in teekenf ?
\fi7 W^c zegt het acbtfte voorbeeld?
C87) Wat ver ftaat men door de digtheid nn een ligdtaamf
taa) Hoc drukt men die in tecken^ uit? ,, ..XooqIc

H J ^

po A. L ^* E R E E R S T £ o r o if D b n o R e; i >

d95. 11 Geval. Kome» wy *tot onze. gröo^lleid^ *A C^&i
art. 686) terug, welke van de grootbeden P en Q afbangt:!
en laat .aangenomen worden: dat ^ wanneer g onv er anaerd blijft \[
maar t;; wordt y

V,z?^ZV,em.p:?,rV _ r' .ri

Je grootheid J worden zal^

A, aA, 3A, ^«a. ^AvtA
^naaff dat^ P fiandvastig blijvende i en Q^ genomen wordende 9,
Q, aQ, 3Q en^Q, jQ 1

de grootheid A worden zal:

A»iA,iA en- A, — A

tn dat A derhalve^in dezelfde reden^af of toenemen zal^ waar-
in Q toi' of afneemt; dan zal men zeggen: de grootheid 4 is
in eene reden , welke zamengefteld is uit de regte reden van P
9H de omgekeerde reden van Q. (3P)

Betoog. Want, wanneer P wordt p X P of r X P; dan wordt A
naiuurlök pX A en rX A; maar wanneer Q in ^X Q verandert; dm

vecanéert eenige waarde , welke A verkregen heeft , in ^-y~ of -^ X A ;

eo verandert Q in * X Q; dan verandert eenige waarde van A, b^

voorbeeld rA> in -!i^ X A. Men beeft derhalve:

Be cetallen derhalve, in welke de twee loeftanden iFan de groots
field A uitgedrukt worden , zljn in eene reden » welke aamengedeld fs
uit de reate reden van de getallen, welke de overeen komllige waar»
den van P « en in de omgekeerde reden der getallen , welke de over.
«Mkomftige waarden van Q voorftellen , hetwelk eene letterlöke idf
Inging en omfcbrüving van het gefteUie is. (40)

606. I Voorbeeld. Om de hoegrootheid van kapitalen, oft de
#inllen, welke zU in bepaalde ttfden mo^éh opgehragt Hebben, te
ïecren kennen i zal men zeggen : de kapitalen ft/tan in de regte fedef^
der winfieMt watmeer de tijden dezelfde blijven'^ doch in de omg/ff^
keerde reden 'éan de tijden^ wanneer de winften gelijk httjnui

Cfio) Geef een voorbeeld , hoe * eene grootheid A nog ander» ym «rot

andere grootheden 0 eo Q kan afhangen?
(40; Hoe betoogt mcn^eze IteUiDg?

nigitized by C^OOg IC

CIJME^RKülSf^STl vu HOOFDÖ. XLIVé LEI. pf^

Odidat men,', metseen gfom«r of k\tkt€T kapiraal ^ ëvcÉfrtcrfgHTt-* »öd»
vetl miuïifr of lücer lUd i^odia Ijeefï , om «kafviJde winsdte^enie»
^^» (4O ^^en drukt dii aldus uit: ... ,

«- ' ir -J. Winst fFinst ' ^

^ <$9^« Men kan deze xamengeftelde evenredigheid, uil die vao êfti
(87 f iw^&i^^ vinden : aldaar is. bewezen » dac ' -

Winst : ffwtt = kap.X T^d : Kap, ?< Tijd , r^

is; Verplaatst men de rei[)cn8;d|in1^ecfc men .

Kap. X 'Tïd : kap. X Ttjd =: Wii)St : Wlat^ ' . /

ea deelt men deze evenredigheid door

' T«d : Tijd z=Z Tfld : Ji/rf *

dan wordt (zie ^/^ 550O

ir .^ Winst, Winst -^ ^

<Up. .«*?.- ,J^ , ^;^. (43)

-t5^* ft*^VooRiEBLD, Men kan, naar het voorlrteld Vah <»f#; ijfij^,
door nadenken en redeneren, b^pa^ns hoe ééue van drié'^oocheden
van de twee anderen aïhangt; doch , bqaldien ééne dezer zameoge-/
llelde evemedlgheden bekend is, kan men uic deze veifcneidéne an«
deren , en büzonderi$k de begeerde , afltiden : aizoo . zal men , op de
wijzc \m art* 674, uit de zamengefldde evenredighe^ien , welx« van
art^ 6&7-^r^ Cy4 z^n betoogd ea opgegeven , terftond de volend*
kuoueo vinden. (^44)

1». Uit de Zamengellelde evenredigheid van art* 687 volgt :

^ „ „ Winst Winst

O Kap. I ^^i>* = ^^ ; ^---^ , ^,. . ^.

en deae is de zamengeltelde evenredigheid van art. ^9fS ea 0$^ ; , -
^ ^.-^ Winst Winst

^ Kap. Kap.

èsx Is: de onderfeheident tijden^ In welke twee onderfchetdem kapi/*
talen elk eene onactfcheidene winst hebben epgebra^t ^ zijn in eena
reden , wellie zamengejleld is uit de regie reden der winjten en da
Qihgekeerde reden der kapitalem (45) En dit wordt , door de rede»
«ïeiw^ze van Mrt. 686 en 695 , beve:»ctgd; Want, wanneer de kapita*
Jeu dezellde zi^w^ 4aQ z^n de wtniten evenredig aan delgden; en 4
wanneer de kapitalen gel^ke wibftcn hebben opgebragc , djin nM^^ead»
tijden in de omgekeerde reden van de kapitalen lt«an , derhalve, «ii;;. ;45)
^ lil f I w 1..^ ■. ■*:;.j.. '" "*- "j i ■■ nwpwiiiiinii I.

<4i) Geef een vourbeeld van zulk. eene zamengeftelde evenredigheid f
l4fl> Hoe fcbrljfc men deze evenredigheid?
(43) Kan men ook die evenredigheid uit eene andere yindenf :
*<44> Wfec iSybl) de befchouwing der zamengeftelde cveQredigbfieii,99

ce mefkent
(45) Gècf een voorbeeld van deze afieidiugf ]«. .y . .

C46) Hoe wordt .die bevestigdl rr^r^r^T^

H 4 DigitizedbyV^OOgle

pt A I^ L E R E E R S r E, o iiioN:p B if ,D Aft

aS yit de x«mengeftelde cvenrpd/gbeW vao /rr/. 6885 te wstcn , »it
Arb.loon t ArU.Uim zrz Werkl. X Tijd : H^erkU X r(/i/
volgeci de evenredigheden :

Töd _ Tijd '
-A »r«4 . w"j ^_Arb. loon Arb.loon ^\

3^» üh de ramfehgeflfetdé evcnreJIglieden van ^r/. 689; te weten:
Werk : ^frk = Wérkl. X T^d : ^/rit/, X r(/</
VolgeQ 4e xatnéngelïerde evenredigheden:

"^ ^ / Werkl. fFerkl. ^^^

4^«.U{t de zamcngeftcide evenredigheid van art. 6^ ; te weten , ttlt
Weg : JTcg =r Snelh. X T^fd : Sntflh, X l^d
YOlgen de zamengeftelde evenredigheden t

1) Sncft. : 5W/. =='^'.^'4

Töd r#;</

2) T8d : Tijd = :!?^^l- : J^. C49)

Oir de£e)fde wVze, zal men uit de zaraengeftelde evenredigheden
van an, 691, 692, 693 en 694, andere zameiigefleWt evenredigheden
kunnen opftellen, welke de Leerling, naar hetzelfde model, moet
afljetden en dezelve fcbriftellfk !n bewoordingen verklaren,

699. IIL Geval, ffangi 4e grootheid J van de grootkedm
P en H zoodanig af^ dat i, het zij />, het zij Hftandvastig
Hêjvtmk^ in heide ge^^allèn A evenredigUik af. (f foetteetnt ,
fmartHate P cf Q^toe- if afnemen; dan zullen de getallen^ weU
ke de onderfcheidene y^aarden vak A voorpeUen^ zijn in eene te-
den , welke zamengefteld zal zijn^ uit de omgekeerde reden der
getdlkn^ welke de waarden van P ^ en uit de omgekeerde reden
éer %eêalkn^ welke de woerden van d uitdrukken. X50} Het

87) Geef nog een tweede voorbeeld f
8> Oeef nog een derde voorbeeld»
<I4«) OMf nog «Ml <in«fdc iworbeeidf

^S^^P ^^^ ^ly'^^ !•" ^« grootheid A Tap tmeé vètttt gÉooc-
lieden p eOvQ tfluuigenl. ^ ■•^^c ötvwt

DigitizedbyCjOOglC .

C !ƒ F E R K ü N S T. VII HOOFI>D. XLIV. ti^ $%

z(f aan den Leerling overgelaten, zulks, op de wijze van
aru 6^i<f^ te betoogeD. (sO . ' .. ,;

.. 7P0, iV. Beschouwing. Eene grootheid ^A kan r^n eenége
'imdete grwheden A, i>, A, S^ enz. (^lat<n wij JJechn vier
grootheden P 9 Q^t R en S\ noemen rif hangen , en bij deze af^
hmkelijkheid kunnen de voigenie gevaiien plaats hebben. (52)

701. I Geval, ff^anneer al de grootheden^ tot op éént na^
Jfdndvasf'ig^biiiven^' etr^ de vierde Hieronder ende\ de gnotheid A
aan deze verandering evenredig blijft \ dan zuUen^ indien zulks
voor elke 'der vier grootheden aftonderlijk plnats beeft, de
waarden ran- de' grootheid A in eeite reden üijn^ ufélke zameng»^
field i$ uit de redens van de waarden van P, uit die van de
waarden van Q., uii die van de waarden van R en uit die van
de waarden van S. (53) Men fcaa dit, op dezelfde w^jze, iU
io ar/. d86,-betoogen. (54^

702. I VooaBBBi.o. Jlzoo zijn de, winp en ^ door onder fcbddene
kapitalen n in onder fcheidene tijden ^ aan^ebragt ^ in de zamenjfe' -
Pelde reden van de kapitalen^ van de tijden en van de Intrtsfen^
naaf veü^e jde^ce kapitalen^ tenhotnderd^inketiaar^ziimuttjge*
zet. C55> Men oruki zulks aldus uil s ^ ' '

Wi.ftEt ifTinst r=r Kap. X Tija X, Inir. : Kap* X Tijd X Intr. (5<5)

7on o. Voor BR B LD. Oo\ zijn de- hoeveelheden werks ^ door tm^/
derfcheidene werklieden^ met on4erfcheldene werkkrachten^ die even*
redig zy'i a^n de hc^cveelbeid wcrks, in denzeffdon itJd, door «Ik hutw
uer volbragc, he^raafd ^ in onder fcheXden weken ^ verfchiUende da%en
in de week en bitder fcheidene uren op den dag 9 in de zamen^eftelde
reden van het g^tal der werklieden , die , in elk geval^^ gewerkt heb*
ben van dè onderfcheidene krachten dezer werklieden ^ van de we*
ken^ die zij gewerkt hebben \ van de dagen in 4e wt^k en van de
uren op den' dag. (57/ ^AJen tJiukt dit aldus ölt :"

Wiïrk i lyerk = VVerkl. X Kraclit X W«keii X Ha^. XUc

: fferkl. X Kracht X If^eken X Dag.X^ür. ^<^)

704# 3 VOORBEBLD. De inhouden van vierk'antt ligóhitnem (itt '
de Meetkunst regtlioekige parajlelüpipcduqis genoemd,) zijn inde

fKi) Hoe betoogt men ïtilks? , ' , , • a ti -. •

(52) Kan men de «amcnaeftelde evpnfBdfgheden nog verder uuflrekkeo?

(53) Wat zegt ^êi ceitle Rcvai? ^ • -'' ^^

(54) Hoe betoogt 'men zulks t^

(55) Geef hlei van ècn voön>BcWr - ; "■" * . ".* 7,
«56) Hoc wordt dit ccfchcévcn? \
("57) Geef een tweede Voorbeeld T ? .. <

('8) Hoe wordt djt gefc^rcven?

(69) Geef een denlèvodr beeldt ' t - ^ . Digtiz^dbyi^OiDgl^ \

J4 .ALLEllfiERSTp orohdew d-er

zamengeifeiJe reden fan de lengfe^ breedte en hoogte» (59) Dit
tv rdcirtcfüi ultgedrükii
Iiih. : ƒ/»*• zzz Lengte X Br# X Hoogte t Lengte^ Br. X Hoogte, (foy

' 705, II Geval. JVameer dé "grootheid A groafer wordt ^ in
dezelfde reden ^ ah P en Q^grmter worden; maar de grootfuM
A in dezelfde reden vermindert of vermeerdert ^ a4s de groothe*
den R en S vermeerderen of vermiitderen : dan zf^l inen zeggeti:
de waarde van A isjin eene reden ^ welke zmnenge field is^ uit
de regte redens van de waarde van P en van die van Q^^ en
mt de omgekeerde redens van de waarde van R en die vanS^Q6l^
Noemende dus de waarden van A , A en <»,• van P, Pen ^^
van Qt Q en ^j van R, R en rj van S, S en s; dan zal
men hebben,

• _ PXQ PX^ .. .

^ • ^ = RiTs ^ ön- <^^^)

fo6» En hieruit bljfkt genoegzaam : hoe men alle andere gevaHeit
Zil uitdrukken; ctear, na de veiiclarintc van al de voorgtaade ^dingen ,
geet gevel eenige zwarigheid meer hebben kan. Het v«»lgeade ftrekke
tot eene nadere beoefening*

7<f. VooRisEBLo* UU de zimengeftelde evenredigheid van art*
70a» ie weten:

Winst : mnst :=i= Kof». X T9d X l^tr. t Kdp. X Tijd X intr.
Yol^ea de volgende zameogeitekle evenredlóbeden:

y, „ ^ Winst H^imst

I) Kap. , Kap. _ ^f»^-j;;j^^ * TÏjTx Inl7.

X mui -«..^ Winst H^intt

, . , Winst , Winst • ■■'

cn waoneer men de winfkn gtlP ft^lr, dan is

Kap. X Töd X intr. = Kap. X Ti}d X tntr. ' *

cn da3 volgt hieruit %

Kap. X Tp Kap.X Ttjd

C6o; Hoe fchrljft men d.ze zameDgeftcIde evenredigheid? * -

Cói; Op we!k eene wüze kan ccne grooiheid A ftog vaa vJor andere

grooi heden afhanzen?
C6a/ Woe wordt xulk ecae eveuredi^heid ««ftJ^Siygiöoogle , .

CTJFERK-UNST. VII HOOFDD. XLIV. lrs. ^

De 'eerrte deter zamengéftrHè evenredi^lieden wordt tiéfettn : /s
kapitalen , welke , /» ondeffckeidene tijden , r^^^?» yerfikilUnde per-
centen ih het jaar ^ onderfcheidene witillen hebben aangebragt ^ zljk
ih eeiui widen 1 y^elkét za9fengefiel4 i^t t¥f de reg^e reden der aange^
bPMgte 'ü^inftfn^ uU 44 mg^keAt^de fe4e^.4er t)f4cn, en uit de om^
geleerde reden de f percenten of ifiteresjen ten honderd in hei faar ;
en de vicdc zanengeftelde evenredigheid, welke op de ondeiftelling
van geipe aartgebra.^e winften (leunt: zegt j de kapitalen 9 welke
gelijke winnen hebben aangebragtt zijn in eene reden ^ welkg zak
mengefteld is ♦ tfit de omgekeerde reden der tijden en de omgekeerde
reden der interes fen of percenten in *t jaar*

ToS'. Uit de saraengeftelde evenredigheid van art. 703 en 704 , kan
men foorcgel^e <2$menge(leMe evenredigbedeA afleiden» Hei wetiÜ
aan den LiCerUng wordt over gel|teiH .

709. *AANMEKKiN©«^t fi\Us^ wat tot hict toe, it> d«ge^ lesi
verhaBdekl is, ial m^er dun voMoeade ziju^ otn etk vfaagftok;
dat toe den zainengefteiden Regel va» Drieën behoort, te v«r*
fttian, van andere vTMgftnkken te onderftheldèn , en. eindeJifk ,
om hetzelve op te losfen,. Mm fie/k de zamengeftelde eyerrre^
digheid^ welke de gegevene en gevraagde of onbeketü» grmit^fe^ett
mes ejk^nder vtaken ^^hm-lijk ^en ^naar d^n a^éder^^zake^op ^
en -zoek^^ naar de v^rfehriften van 9XU 6(^7 -^ KW^S^dê m^
bekende grootheid uit dezelve^ (6^} .

maanden , 3 J gL gewonnen wordt ; hoeveel zal men dan^ mét j^é
gl. in 21 viaandett, ^egen iSozelfde iMorwaanéty^ winnend

OVLOSsiNo. Omdat , rie att^ 6^7 ; dfe winften in de tamenge(lek)f
reden z^fn van de kapitalen en tQdfii:/>zob aal mci , dt^g^^^nmo^
winst ar fteliend^ h^l^Q;i,de/Za9ea«£aciae evenr^ïd^lieid :

winsi winst ^ kap. töd , kap^ , tijd ;

3| : X = 100 X ia :. ^öo X ai

detbtlve 100 Oi-i^^ X * =? 7^^ a» >< .^

^0 ' 7 , ,

y^oX 91X33: _ 7^Xj(fX7
•*^=^' looXia *^ io0X;ï!?^Xa

. jOXBMl^DMMJMStm. ÜÜL. ifX mgn, naar . aaniftidïng vai^ de watj; ée
timeiigcftelde evenredigheid beeft opgefteld, maakt men de piodnc-

€6$') Hot zat mett nu een vraaaAok , Imw^lk vaa d« <
samefltgefteide evenredigheid anangc , oplpsfenf

of ar =£

^ ALLEREERSTEgr^n^ewo e;»

ten der ufterde en middelde termtn fttn e]fian4er ««IQk m tlletc de
vergeljking door de faccorca, welke de onbekende groótbcrd ver-
mcaiavuldigen. C^i) ^ ^ »

7it» Aanmerking. In ^eze en de . volgende foofbeef^

^n ^' komt men op^ «éne uit^kking van den vorm X' r=:

übcdc

-TTTT» of eene foortgÉflijke , welke te kennen geeft :.^d;^

inen hét ge^düri^e 'pfoducè def getallen i^, ^, <r^ </èn ^ öóof
het gednrigö product der getallen/, g^k en i deelen moeK
Om nu , het werk zoa veel njogelijk te vereenvoudigen .en
levend jtje bekorten» moet men eiken factor^ in dtn ieHèr of
noemer^ welke met eene breuk ^ ^^mgedaan i^ ntet dtn^ nom
wet\ van die kreuk. i^ermenigvulJ^j^Êj^Maar dan moe$ n^n
'dien factor .ook in den noemer ^ /flM^prr kroik "^eriirtn^
ge$k0 IVanneer men nu dit alles alzoo tofgeheele getallen her-
kid beeft f moet men f zoo veel wen kan^ de * factoren van
den teller tegen die van den noemer v^kleinen» (^6$) (Zit
1 Deel, art. 349.)

712. a^ Voorbeeld, ff^avneer, met f 00 gl, kapftadl\ in
1% maanden , z\^ê^* ^^^ gewonnen wotden^ in hoeveel tijds ^ai
mm dan met 650 gh winnen ^6 gL? - ": t.

QftitqsuNOu i Om dea^lfde reded'^ als itt bet vxwrgiiandé voorltaeld.
Helle fD^t

winst vftntt kip. ^d It^p» tifd it v* ..-^

' 3j : 36 — 100 X 12 f Ö60 X * ^ . 'U'
tehnlittt beeft, men, als boven, .. . . j / < ^j'

• '-'3j'x ^50 X '*=?a^ X «<» x.«^^' ••'''* * *

Wtaniit dan eiudelöl; volgen zalf : . _ ."^ /*■** *'"^'

Kft.. WO maken in bec vervolg (o^ plaats te winnen) de veffTel»
alqgea piet, waarvan in bec v^c^gaande «r/. getprofcei^ is.

!f.lZp 3 Voorbeeld. Hoeveel kapitaal zal men noodig heh^
hen 9 omy tegen 5| ten honderd ^sjaan^ in f4 maanden^ 847
7/, i€ winnen f .- „ •. r . t .

f-^O Verklaar de oplosfina van bet eerfte voorbeeldt **

^> Wac moet hffzonr^eHifk » b9 de aplosQog vm eeoe gOMnefteM»

evenredigheid , in acht genrmen worden 9
(/66J VeiJa»r bet tweede voorbeeld f j nr^r^r^T^^

C IJF ER KUNST. VtlHOÖFDD.XLIV. LES 97

Ol4os9ivq« Volgens hetzelfde beginfcl, is

f winst 'w'insi l^np,m^ünd. kap, móand»

I 51 : 847 = 100 X ïa : * X 44

- ^ ^ 847 X yooXia _

* =~" ., w >.^ — 4aoo ^/. (<57)
\ os X 44 •

714. 4 Voorbeeld. Indien 24. werklieden^ in 20 weken ^
daagt 7 »rf« werkende'^ 143 5 gulden verdienen^ hoeveel ver»
dienen dan %'^ werklieden ^ in ^6 weken ^ dagelijks 12 uren,
werkende? veronder/lellehde j dat de krachten ^dtr werklieden
gelijk zijn?.

Oplossing. Volgent art^ 703, heeft men de zamengefteUle even»
redigheid: !>

werkto n we^klifon wl. w. u. v/. w. u.
1435 : X =1. 24 X flo X 7 5 33 X 3Ö X 12 .

^- 71 $• 5 Voorbeeld. Gefield^ dat 33 werklieden 9 in 36 we»
%enf ia uren da^Jgs arbeidende^ 60885 gl, ye f dienen; in hoe"
veel weken zullen dan 24 van die werklieden , indien zij 7 uren
daags werken,, 1435 gulden verdienen?

O^LOSfiNO. De zaqiengeftelde evenredigheid Is r

iQon loon wl. w. u. w/. w* ts^
öo88i : 1435 = 33 X 3Ö X ia : 24 X Jf X 7

^ . ^8«nc «4X7

716 6 VQO|^EECD. /«^iV« Zêfï gulden ka^itadl^ in ^ ja*
ren f tegen 3 tin honderd^ "^sjaarSy eene zekere winst cphretff
gen; tegen hoeveel ten honderd^ jn het jaar ^ zujlen fian 240Q
guUtn^ voor den tijd van sj jaren, moeten uitgezet wot{kn\
om dezelfde winst te kunnen opbrengen ? •• .

OflÓsjikg. Omdat de winden, in de zamengeftelde reden zSttSriB
de kapitalen, de t^den en de interesfen, ten honderd, In hét jaar, en
deze wintlea gelQk moeten zqh, zoo volgt hieruit s dat de pmk
venten , tegen welken 'de kapitalen zt|n aitgezet, tot elkander in eenf
reden (taan, welke zamcngefteld is, uit de omgekeerde reden derla^
l^italen en de omgekeerde reden der tydeti. Men flelle Uerhdlvel

(67) Verklaar net derde .voorbeeld ?

J68:) Verklaar het vierde voorbeeM f - ^ r Fj 7 : >

M Verklaar h«t tfljWê vooibeeWr , ^. '^' ,\ J -*

IL l>ltiUm "■- • ♦' • -'if'^ "J^ «."'• ^ nigitftedtiyvJÖOw ;' \:~\>

n

98 ALLEREERSTE gronden dkr

pCt. pCt.^^ , T

dat is , zie art* €^8 liier boveii , '

2400 X2h I 2400 X 2| ^^ ^ ■

Mei Vsn ook, indien men vin de zamengeftelde evenredigheid van
art, 808 gebruik wil maken^ omdat de termen, vin de eerftc reden ge«
1 ijk zryn, dadelijk (leileni

2400 X fil X * == 3 X 800 X 8
want het is eigenlijk hetzelfde, hoe men werke, indien, hetgeen own
Helle , Üechts op goede gronden Iteuqt* f71)

717, 7 Voorbeeld. Indien 360 foldaten^ in ia weken ^
6\ dag U weeks , w 12 uren daags ^ werkende^ eene gf^ckt ma*
keny die T^ioo yöfl/ lan^ 9 28 vo^t breed en lo voeten diep is\
hoe lang zal dan eene andere gracht tnoefen^ zijn ^ die 30 voetai
breedte en 12J voeten diepte heeft , waaraan s^o foldaten
daags Ml uren^ ^4 wehen fang^ e» 5§ dag in de weei^ geuxrkt
hehben? i^

Oplossiïïq. In dit vruagftuk is, zie art, 703, het verriete w^k,
in de iamengeftelde^ reden van het getal werklieden^ van de wck.en ,
die 7|j gewerkt hebben , van de da^^en in de we«k en de uren daags ;
m^ar de grootte v^ het werk is evenredig aan de fp-ootte der g^gra*
-vene grachten, en dere zön , in de zamengeftelde reden van derzeJvèr
lengte , breédtjt tn diepte* M^n flejle derhalve de volgende zamen-
geuelde- eventeoi^eid :

faooXa8Xio:«X3oXia422:3(5o>(i!jX<^lXia:^6o;^24XrjXm
INraruic dan volgt;

'™."^^-3bx laj X 3<ib,X jLj^^iX.^^ , ~ '^;*^^^Ar ^^**

7^«. ^ t ^NMfiUKiNG, De ^ven voorfMnde YiQipd>e^den
J|;>pvatten^4 4e Vjerfcheidenbeid» welke, icj mor, iti ^: x>ploe{hig
mm dM mraengeftelden Reg«i v«i) Drieêt?, kan plaats hébben -5
%lf dezfelv^ blïjlrt: //«/ /^<?_ ophsfipg van den onlfek^nden terkt

waartoe

«if oewtve oigKx: /r«^ wf. opfosjjrig van aen onpek^nc
geiene /iê'^fnfte p^rfglw^, hebJbith h^n^^ Z9^r^^ nm fied
AebbeY hoedanig de grootheden van elkander afhangen;

(70) Verklaar de opipsfing van het Xiwdfe «oofbcddf
CrO Hoe kan men dit voorbeeld Wèfbrnémnx^mpkn^
0»> VcrtiUar de beweikiiif y|i Hec «evemle voarbcddf

V

C IJF E Rif ÜNS T. \U HÓÓFDD* Xtl*. tts. ^;^/ ^

de zaken, welke, van art, 674 tot <^l. 707 , verklaard aijq.^^
den Leerling volkomen moeten in ftaat (tellen (73) Mê'n'
heeft ook gezien: 4iat het ganfshelijk vrijftaat^ mn éetié zémén^
gefielde evenredigheid zoo op te fiellen , al% zij zich het eerst aan
ofjs verftand opdoet; waarna men oogenblikkelijk bemerken /
moet , welke getallen met elkander vermenigvuldigd en gedeeld ♦
jnoeten worden? (74) Hierdoor vervalt nu het nuttelooze ön-
derfcheid tusfchen den zoögenaamden r'egteti €n omgekeerden
regel van vijven s en men ziet tevens: dat, wïitineer lïien dit
oijderfcheid wilde behouden, er ook een regel i^an zevenen^
van negenen 9 enz. zoolde zijn; ja, dat het zevende voorbeeld ,
op dien grond, tot eeuen regel van dertienen zou bchoo^^fV
ren. (75) Wij hebben aHe deze onderföheklene regels^ ondM^
dH^'naam van zamengèftelden Regel van Drieën gebragt; onidac
^tóe nutcelooze ondetftheidingen het geheugen bezwaren en de
iM|ge[eèi'de zaken fpoedig doen vergeten. \,y6)
^f^Jyip» II. Aanmerking. Men jfel mlsfchien denken: dat de
zcplvsjmg niet regelmatig genoeg is , wamièer het onbekende getal
niet- in den achte^fien term der zamengeftelde evenredigheid VQor»
kuifl: maar dit is tmmers geene \vet? Juist, omdat de Schrlj.
" dit onbekende ge:al,in hec achterlle Md der cvenredigheki,
^n hebben, moeten zy hunnen toevlugt tot zeer vele on-
cheidingen maken , welke eigenlijk tot niets nuttig zijn. (77-)
'tfare men er nogtans op gedeld, om het .on^^ekende gecal»
il den achterften terra der evenredigheid, te hebben, zoo zou
roecs gemakkelijker zijn; daar zulks, met behulp van he« ver»
Haarde, \\\ art. 540, dadelijk gefchieden kan.

Zoo zal men, In het ctrfte vporbeeld, door de verplaat (ing der
redens , hebben ;

100 X ia : 760 X ai = 3l : *

In het tweede voorbeeld» art» 712, zal men de zametigefteldj! even*
redigheid door de eveurcdigueiU 100:050::::= leo : Ó50 dcelenj.cn
din verkrqgc mens \

f7.r» Wat blfl'kt uit de zeven opgeloste voorbeelden ?
74) Wat merkt gg meer op ?
C75 ^ Geyeii deze ^ verfchiilende zamengeftelde evenredigheden geenc

aanleiding tot verfch il lende regds? • .
C76) Onder wdk cen^ idgemeenen naam brengt men alle die verfchiU

lende regels ? . .

X77^ Behoorde toch niet het onbekende getal ia den tehterfteu term
IC ftaau?

la

1^^

loo AH^EREBrRSTE o A o n » e n der

-^^ : -r- = ia s jf

.100 050

In het detde voorbeeld ^ arf» 713 » zal ipen , op gelSke m^zc , vijided :

?i:B? = ioo:*

' Het vierde voorbeeld, ari, 714, zal , door vcrplaatfing der redens, geven »
fl4 X 20 X 7 5 33 X 3^ X ia =: 1435 J *
Wanneer men de zamengeftelde evenredigheid van öf/. 715. door
33 X ia : 24 X 7 = 33 X 12 : 24 X 7 deelt » zoo zal* men verkr^^en z

33 X ia 24 X 7
Het voorbeeld vto art, 716 zal worden:

800 X 8 * 2400 X 2j ^ * *
en, wanneer men , ïn het voorBetld van art, 717, eerst "de redens vcrplai
en daarna altes door 28 X 10 : 30 X 124 = 28 X to : 30 X
deelt; dan vcrkrygt men: -^

860X TO X (5^X ia 5^0 X 24 X 51 X 141— .,^^

28X10 SoXiai — 7floot*.v^

720. III Aanmerking. Wanneer men de zamengedel^^
evenredigheden, op deze wijze, verfchikt heeft, en dan -ïde
vierde evenredige oplost; dan verkrijgt men noodzakelyk^de»
selfd^ uitkomst; zoo is^ in het laacde voorbeeld,

^_^^,^^56oX24X5lXi4| aSXio' ;

*_720ox 30X12J ^ 360X12X6IX12

welke van de uitdrukking voor jc , in art, 7*7, in niets anders «
dan in de rangfchikking der factoren , verfchllt. (^f^} IMaar
waartoe nu die nuttelooze transformatieu ? ten zij men dezelve
fieraadshalve verkiezen mogt?

7a T. IV Aanmerking- A//e vraagfiukken^ welke tot den
zamengeflelden regel van drieën behoor en ^ kunnen^ door twee ^
drie , of meer van elkander afhangende regte of omgekeerde
regels van drieën , opgelost worden. ^80^

C78) Kan dit echter niet gefcbiedcn?

(79) Ran deze verichikking l^een onderfcVid in de uiikomflen aevcn t
\j&o) Kan men de viaagdukkcn , tot den zamengtlUiden regel vao
Uri«nb«lwot«.de,o«k«nder»oplo$fcn? „„„^^byGoogle

CIJF ER KUNST. VIIHOOFDD. XLIV.les. loi

Hec eerde voorbeeM vtn art. 710 aldus:

aj 12 maand. : 21 maand» n: 3I ^insc : x wtusi
hieruit vludt ra en x zzz 6^ winst,

b) 100 kap. : 760 Map» =i 6| whist : * witttt
en deze oplosfbnde, zul men vinden: x =1= 46|§ gh
Of» men kan ook aldas rekenen:

100 kap. : 760 hap. ^^ 3I winst ! x wirtn
12 maand. 21 maand» rr: x winst : y winst
ch diin worde , door de oplosflng van de eprfte evenredigheid , x be-
kend, en door tM<i van dè tweede y. C81) De Ireerling ontlede nu de
voorgaande vragen in zulke enkelde , regte of omgekeerde t.geii vau
driën ; dit 2al voor bem zeer nuttig zj}n.

MBBa VOORBBBLDSN TOT OEFBITING. - .

8 VoORBBELi). Indien 8 inegts ^ in den tijd van ia maanden^
U092 gulden winnen; koeyeel winnen dan 35 knegts ^ in dtn tijd
van 10 ï- maand; de verdienden of werkzaamheden dezer knest^ se»
lijk ftellende ? . ^ «

9 VoottBBBLD. Wanneer 9 knegts , in loj week^ 738/j ^l. ver^
diend ht^hen ; hoeveel heeft dan één knegt , in ééne week , yefdiend ?

10 VOORBEELD. Ilbeyeel zal men met 1Ó25 gulden , in 17} maand^
te^en 3^ ten honderd , in het jaar , winnen f

11 Voorbeeld. Wanneer men ^ met 45a ^/. in \% {aar ^ tegen 6
ten honderd , tn het jfiar , 324 gulden winnen kan ; hoeveel' zal men
dan winnen , met 750 gl. , in 7I /««r , tegen 3J /^/; tiomlerd , i;? A^^

• 12 VooRffBELD. Indien 5 werklieden^ 6 dagen ^ In de. week ^ wer*
kende ^ in den tijd van 4J week ^ 147, gl, verdienen; hoeveel zullen
dan f de verdienjlen der werklieden gelijk fielle/ide ^ 5^ werKliedefi
in 46I week verdienen^ zoo zif\ in elke week ^ 6» dag werken i

13 \rooRBfiBLD. Een loodgieter heeft ^ om een plat ^ dat iz% voet
^^«^ > 7\ y^^t breed is , te beleggen , 45 d? lood nopdig ; hoeveel lood
van dezelfde dikte zal hij dan noodig hebben , om een plat van 20
yoetén lengte en 14 voeten breedte te bekleeden 7

14 Voorbeeld. £ep fchilder heeft, om e ene fchutt^ing van 50
meters lengte en 13 meters hoogte te'^e/hhilderen ^ 3,7 kilogrammes
yerw ' noodig ; hoeveel van die y er w ft o f zal hij noodig hebben , om
vier ' fchuttingen , die 56,2 meters lang en 4 meters hoog zijn , f^
hefchilderen^ . ;

15 VooaBEEU). Een kiloliter koornjs. Un cubus , dié èénen meter
lang f breed en hoog l5 ; hoeveel kihlUers zal men dan hergen op
teilen zolder^ 'welke 19 meters lang en 7,5 meters breed is; indien
'men het koren 5 decimeters Hoêg ligt f '

,16 Voorbebld. Indien 12 kn^gt^ , in 7 weken, 6 dagen in dt^

C$x) Ccef hiwto €en vowbceW? n,,.edby Google

13

102 ALLEREERSTE oaoNOBN drr

v/^A en lo uren daagt v^e; kende ^ 6 [,ó francs vtrdienen; hoeveel yer*
dienen dan 20 ktiegts in I3| week^ 5^^ dag werkende tn 9 uren
daags ; in de onderfielling y dat elk van de laatstgenoemde twintfg
knegtSi itK denzelfden tijd, i^ maal zooveel werks afdoet ^ als elk
van de eeifitge noemde 12 knegts ?

17 VooRBBELO* Indien één last tarv» kost iftS goud * gU dan Ie»
taalt men 4i fuiver voor een brood van 3 ff ; hoeveel 8: brood zal
men dan voor 9 jluivers en 8 penn» kunnen koopen , indien de tarw
16 goud'gL op het last afjïaat V
V iSViORDBBLD. Een loodgieter hetft ic6^ ^ lood noodig ^ om
daarmede, het vierkantig plat van een huis te bekleeden ; zoo nu het
plflt ü^^ voet lang is; hoe breed zal het dan zijn, indien hij\ om
een plat , dat izk lang 7J voet breed is^ te bekleeden^ 43; È y«« "
datzelfde lood noodig heeft ?

'^ 19 Voorbeeld. Fen anderhalve fleens muur^ 3a voet breed en
361 voet hocg zijnde 9 beloopt aan kosten^ voor arbeidsloon en bouW'
f of f 360 gL ; hoe breed zal dan een drie jleens muur ziin^ die^
ter hoogte, van 45 1 voet opgemetzeld zijnde^ 0an arbeidsloon ino
gulden gekost heeft?

sa Voorbeeld* Twintig arbeiders hebben ^ in 15 weken , 6 dag^n

^s weeks t en 6 uren daags ^ gewerkt hebbende ^ ^ooo gulden verdiend :.

hoeveel uren daags hebben dan $6 andere arbeiders gewerki ; indien

zij 9 ifi 4 weken ^ .6 dagen *s weeks werkende ^ en 8 uren daags ^ Ó40.

gulden verdiend hebbent

^ fti VooRBBELD* Gefield , dat men, met 8000 guldens^ in 16 maan*
den « tegen 3 pCt» » 3ao gufden winnen kan,; met welk kapitaal zal
men dan^ in 33l maand^ 513 gulden^ tegen 3J pC^, winnen kunnen 9

^ 22 VOORBEELD* Hoe hoog moet een tegenbak opgemetzeld worden^
die 1% voeten lang ^ lój^ voet breed is^ om zooveel tonnen waters r#
houden t als een andere bak^ die 11 voet lang , 8 voet breed en 1^
roet hoog is 9

23 Voorbeeld* Hoeveel kapitaal moeti^voor \6 maanden, teg*n
45 P^'« *^j^^^^* ^P iftterest belegd worden^ om even zooveel té
'Winnen^ als 600 gulden^ in 13^ maande tegen 3| pCt.? .

a4 Voorbeeld. Hoe lang moften 1200 ^/,, tegen zlpCt.^sjaars ^
op interest gezet worden ^ om zooveel winst op te brengen^ als 1600.
gulden^ in 5 /«^'^ ^» 8 maanden^ tegen 4^ ptt, ^sjctars'i

• 2,5 VooRBR^LD• Hoeveel uren daags moeten 15 werklieden ^ 14 da*
sèn lang^ werken , om zooveel werk af te doen ^ als B werklieden , in
%y weken doen kunnen , dagelijks io| uur werkende 9

26 Voorbeeld. , Hoeveel werklieden ^ die met hun driën^ inéén

* uur zooveel doen kunnen als 4 andere werklieden , zullen , in i^ we^
kent 13 uren ^aags werkende , zooveel doen kunnen , als 24 van die
andere werklieden , in 24 weken,gl uur daags werkende, verrlgten^

^ 27 voorbeeld- Hoeveel werklieden zullen^ indien zij *s weeks
j: dagen tn U daags 11 J oren werken, in iZ weken , zooveel werks
kunnen afdoen, als 846 werklieden ^ in 10 weken ^ 6l dag *s weeks en
X2i uur 'daags werkende ^ kunnen daarfielleat

Digitized by CjOOg IC

CIJFERK ÜN,ST. VII HOOFD D; XLV. les. 103

3tLV. LES. Over de verdere Eigenfchappcn der Even*

redigheden, aerzeiver toepasfing; ettj inzonderheid aret

den zoogennamden &ETTiNG-aË6ËL«

A : B = <a : ^
B : C = <r •. 4af
C : Uf = ^ :ƒ
D ; E = ^ j >4
E ^ F = I Ik
F i G z=z I i m

A :

C

— .

ac :

bd'

A :

D

n;

<7c^ ;

bdf

A :

E

^::s

aceg

x.bdfh

A :

F

Z3

acegt

xbdfhk

A:

G

=

acegil X b(ffhkm

72c. I Stelling. Pf^anneer
men zich eenige getijkflachtige
grootheden ^ A B^ C^ jD, £,
?i O voorjtdt^ (zijnde, bij vobrb.
alle lengten, vlakken, ligcha.
men, tijden, ge wigten, Snelhe-
den, enz.} en gegeven z'jn, de
reden van de eerfle A tot de
tweede B , ah een getal a tot
een getal b; die van de twee*
de tot de derde ^ ah een ge^
tal c tot een getal d^ en ins-
gelijks de reden van elke voor*
gaande tot elke volgende ^ en alzoo voortgaande^ tot de twee
laatje dezer grootheden ingefloten^ ah een getal tot een getal i-
zoo- ah^ in -de nevenftaande tafel ^ uitvoeriger is vporgefieJd; dan^^
zal de eerfie grootheid A tot de derde C jiaan f in ^ eene reden ^
welke iSf zamengefield uit de redens van de eerfie tot^ de tweede^
en van de tweede tot de derde; (dat is A : C = ^c : bd) de
eerfte tot de 'vierde^ in eene reden y welke zamenge field is uit de
redens van de eerfte tot de tweede^ van de tweede tot de derde
en van de derde tot de vierde -^ (dac \& K \ Y> "izi ace x bdf%}
en deze wet zal alzoo behendig blijven f laats hebben ; zoo dat ^
bij voorbeeld^ de reden ^ van de eerfte tot de twintig fti in rang ^
zal zamengefteld zijn uit negentien redens; namelijk^ uit de re*'
dens van de eerfte tot de tweede ^ van de tweede tot de der*
de^ tnz, en de reden van de negentiende tot de twintigfte. (i)

ÜBTOOG, Omdat A:B zzzaibis, is C^r/«5io)5 X A^^a X Bea

B = — X A* Om deselfde rcdett^xal iiitB:C =:c:i, volgen 4^ XB
a .

rrtfXC,enB=--- X C ; en dairomji — X A^t X C. Vermc*

nigvuldigt men nu deze Ititfte gel^jkbeid met ad ; dan verkr0gt men («rr*
471) W X A = 4itf X C ; endanvoigt hieruit , A : C =»«:f ^. Cff^

(1) Welke eigenfcbap moet hier betoogd worden?
4iz) Hoc b^wlac'meii de evenredighei J^ A;C =:««:>/(

I 4v Digitizedby Google

104 ALLEREERSTE o toNDEN DER

' hd ' '

Ujt destt Unltv: evenredigheid volgt tfr/. 510; C=: — XA;ea,QU

ac
e hd

de evenredigheid C : X):=ze 1 ƒ , volgt C = -r- X D ; derhalve is — x A

=r — X D ; en winncer men nu dei^ vergelijking met acf verme».

ftlgvuldtgt; dan 5vordc hdf X è^'T^ ace X D; en hieruit volgt d^n
wederom AiO := ace \bdf, ,3)
Men kan ^ op dezelfde wy ze » ai de andere evenredigheden betoogen* (4)

723. I Aanmrreing, fFimneer , in plaatt van de groötke^
étn A\ ü; C, Z), E^ enz., getallen p^ q^ r, ;, /,enz- gege
ven zijn , en de evenredigheden pi q zn a : b^q i r 'r:z c:d^
ris = Cifj s:t = ^:A, «nz. blijven plaats hebben , a^?/ 2«//è5 ,
#» de algemeene fèelling ^geenc verandering jnaken; men zal der^
Aalve Insgelijks mogen [tellen^ pxn = acxbd^.p'.s z= üceibdf^
fxfziz acegibdfh^enz. Cs) Maar de gefielde evenredigheden
Inmnen, in dit geval, gemakkelijker betoogd worden; want
vennenlgvnldigt men de overeenkom (lige termen der twee ^er-
fte evenredigheden, p:q ::rz a:b en q:r = c:d, met elkan-
der; dan is (^r/. 549) pqiqr zzz acibd\ en, warneer men nu
de termen van de eerfte reden der laatfle'evenredlgheid door

Srr q deelt; dan zal (^art. 54^0 ptr =r acibd zijn, e»»?, (6}
mdat men geene grootbeden, maar wel getallen met elkander
kati vertnenïgvuldigen,* wordt het betoog der alg'emeenere flel.
ling eeoigzins omflagtiger. (7J

vjra4. 11 Aanmerking Uit de gegevene evenredigbeden be-
fluit men derhalve tot de reden van de eerfte grootheid A tot
e}Jke der anderen; maar men kan ook, op dezelfde gronden,
tot de reden van elke andere grootheid tot ééne der volgende
beflüiten; alzoo zal B : D = ce i ^; B : E := r^^ : dfh^
B : F = cegi i dfhk ; B : G = cegll : dfbim ; en C : E =
eg ifh; C : F = egi ifkk; CiGz=: egil xfhkm ; D : F =z=
iixiki D:G z=i ^ihkm «1 EiG =: Utjm. (8)

725. III AANMERR^NGi Eene jgrootkeid^ wordt , ah bekend, aan^
gemerkt f indien zij, in eenige bekende mhat of éénheid ^it uitge*

C»> Hoe bewtst men de evenredigbeid^iD =r acs'Mff

f4) Hoe èewtjst g9 de volgende evenredigheden f

Cs) Wat segc de eerfte aanmerking f

Cö) Hoe kan «icft ia dit gev^I de eigenfchan k«rur beiQOgea I

C7) Waaneer If het voorgaande betoog omlJagtigcr ICc^cZ^o

C«> Wat merkt £« ia de tweedd platj^pf * ^ ^'^^^8^^

C IJ F E R K U N S T. VU HO O FDD. XLV. lks. lo^.

drukt; wanneer dan gezegd wordt ArB = aik\ dan weet
men afleert de reden tusfchen A en B; maar men kan geene
dezer grootheden, nfet eene bekende maat, een meter, een ki^^
logramme, ^nz* vergelijken; want,' offchoon de reden dezer
grootheden, döor de getallen ^ en ^, bekend is, blijven deza
grootheden, daar wij niet weten, welke reden zij tot eénige
aangenomeue fiiaat^hebbeny onbekend;, maats is, bij voorbeeld»
A = cM, of weet men, dat de grootheid A toefde maat.M
Haat, als r tot i ; dan volgt, uit de evenredigheden, A : B ==:
i» ; ;& en M : A = I : c, volgens het beweiene, M : B =

\ bc
a ijfc;.^nïi\i !s B =: »- X M,en de betrekking van de twee-
de grootheid B tot de maat M wordt dan insgelijks bekend.
Hieruit volgt dan , in het algemeen : dat » wanneer (zie ta-
feltje art. ^22) de reden van éém der grootheden Ai J?,
C, /), £, enz. tot 'eenige bekende maat M gegeven h\de
reden van elke der anderen tot die bekende maat insgelijks
bekend zal zijn» (9)

726. IV Aanmerking. Wanneer (zie tafeltje, ^r/. 722) de
reden van A : G gegeven h^ als een getal t tot u; dan zal
men hebben:

acegil : bdfhkm =: / : tt
en dan is (art. 531)

acegil X u =: bdfhkm X /
en wanneer nu één dezer getallen onbekend is, (h\\ voor-
beeld ^,) dan kan hetzelve altijd gevonden worden; wauC|d«^ek
men deze vergeiyking door aceilu;d^n heeft men:

bdfhkmt , ,

727. V AanmIrking. Men kan van deze betoogde nelï'n*en
en bijgevoegde aanmerkingen eene nuttige loepasfini^ umkin,

728. I Voorbeeld. Sté^llen wij: dat de meter tot den
Amfterdamfchen voet ftaat^ ah het getal a tot het getal ^, vn
de meter tot de Amfterdamfche el^ ah c tot^d; in welk eene

(9> Wit merkt 58 ten derden op »
00} Wat zegt de vierde aanmeiKing?

igitizêdby Google

lo8 ALLEREERSTE gronden d er

^ X A = ^ X B

^ X B = r X C

/X C = 5 X D

^ X D = ,^ X E

k XE =:i X P
f» X F = / X G '

M X A =: ac X C
hdf X A=: ace XT^

hdfh X A = acegX E
hdfhkx A = acêgi X F-
hdfhhm X A zzz acegiLX G

738, Il Stelling, fFan*
peer eenige gelijkfitfchtige
grootheden^ J^ B^ C, /) ,
E , F\ enz. gegeven zijn-^ en
tu$fchen . dezelve zulk eene
overeenkomt beftaaty dat (/»,
b^ <r, dy ^,,/, g9 h^ ƒ,
k\, /, enz» zekere geheelé of
gebrokene geta^leo . zy.nde O
^XA=^XB, </XB
r= p X C, enz. /5, «öö <7/5,
in het nevenflaande JOf eitje ^
broeder kan gezien voorden ;
dan zal men» uit deze gefielde gelijkheden^ tot de gelijkheden
bd X J ^=acX C; bdf X k :=z ace^X B \ enz. mogen be^
fluiten. (15)

Betoog. Want, uït dé gefielde gelljlcheden volden ^art, 51 1) de even-

're^igheden AtBrr/i h; B:C = c://> C:D=tf;/, enz. ; en uit

deze wederom \ zie art. 722) Ki O Z=Z ac i bd : km -=1 ace \ bdf^ enz, ,

en uit deze evenredigheden Czietfr/,.5io eindeltik degelflkheden WX A

;= «<: X C ; W/ X A = tfCif X D » ^nz. (16; ^ ^

733, I Aanmerking, Deze ftelling is met de eerde (j^n
art. 72a voorgedragen) onmiddelijk verknocht; want, uit ét
.gefcelde vergeiykingen volgen fzie art. sa) A ; B iz: aib;
'B iC^^cid, enz. en verder, A:C=:acibd; enz. (17)

734., Il Aanmerking- Al de aanmerkingen, op de eerde
■fcelüug gemaïikt, geldeii derhalve ook voor de tweede; want

i'^. Men zal, uit de gegevene vergelijkingen, nog haleq'
dfX^ — ^^XDid/hXB=cegXE', enz.

0*='. Wanneer men bij de vergelijking bdfhkm X Ai=iacegitXG
nog voep ;j X A =^ X G, zal daaruit volgen: bdfhkm X q
=: ^ce^/K .*r.enjL w?ï?.neer nu één dezer getallen onbekend is,
zal het^ op de wijze, in art* 726 voorgefchreveri, gevonden
worden. (18),

735. Met 'behulp dezer tweede- frelling, kanmeneéne gröo-
te menigte rekenkunftige vraagftukken oplosfen.

(15) Wat leert de tweede ftelling? -

Cxö") Hoe wordt de tweede ftelling betoogd?

C17) W« merkt g^ in de eerde plaats aan? . ^ ,

(i8> W« i» in de tweede plaats aan te merken f byV^oogle

CTjFÉRKüN-ST.VirnOÖFDD. XLV. tis. rop

736' f Vraagstuk. Indiefr vt^ /Imprdafttfche ponden zoa
zwaar wegen ah 2^ ponden , te Antv^erpcn , en ioo' ponden ] te Ant^
^ertnen , zoo zwadr Mjn ;ah 1 07 ponden ^te Sevilien ; hoeveel ponden
te. SeviUen^ zuikn.dan met ^600 ponden ^ te Atjifietdam , eene gif*
Hjke zwaarte hebbent \

' OPtöèïiNG. Stel het begeerde getal ponden, te Sevilien, Sin i;
dm hebben wi|: ; , '

X §9 Sgyi 1,^=1 3600. f6 y^«y?.

\ . .' I<^lfi§^«^-W^- === 107 ^ Seyih

in/i]lt3 derbalye d^ievergeHJcingcn .tuslchen drie grootheden, be«
Amfterdamfche, Antwerpfche-en StviliaanOche pojid gewigt; daar nu
deze. w^elü^ingen zoodanig onder ?ell;andcr. gèi^ia^tst .Zgo,, als,. ia,, de
\X STELLING, izrr .79», «vereUchc wordt, zoo U4)et product der ge-
tallen, in de ecrlle .kolom ^ gel^k aan bet product der getallen, in de
tweede kolom , en ipen heeft derhalve : , . •

24 X 100 X *= 3ÖC0 X as ^X IC7
' göbosXas X 1ÏC7 • * . .

- ' ^'---^TxioS^ =401.1. Cl?) • ^ ^ . .

737, I Aanm^rkjn^. Wtoiqeer men de vergeHjküigen , uit dit
^ra^gftwl? geixokken,' aandachtig befchouwt, ziet men: dat z9 zoo-
«ianig onder 'elkander geplaatst z^vixdat de grootheid^ in het achter^
flc lid van elke vergelijking^.dezelfde U ^ als dfe'^ welke ^U het voorn
fte lid yan de naastvolgende vergelijking ^ vóórkomt i aldus ftaan , in
toet achcerfte lid vin de eerfte vergel^lking, Amtterdamfche ponden,
en dQzt ftaan ook, in bet eeifte lid van de tweede vergrï^kiog. En,
wanneer nu alle vergelijkingen , die uit de vraaji volgen, beboorlUk
opgefteld zgn ^ bevat het voorfte lid der ^e^rfte verffelijking dezelfde
grootheid als het achter Jl^^ lid der laat fte vergelijking; waar nu dit
^rcifecht? vervuld; is , zijn de vergelijkingen in genoegzamen s^^e.
gegeven ;.jnMar^ wanneer de vergelijkingen^ die uit de vraag mih
gfn , .i« ztilk eene orde niet (ynder elkander kunnen gebragt ^9tMi\
zfil ddfirult volfien : of d^t het vraagftuk , langs ddea, weg^ niet opgt*
lost zal. kunnen worden, oj dat er -gegeyem ontbreken ^ om het Ite»
geerde te bepalen* (ao^

73fl» Il Aanmerking; Men kim^ in de rangfchikking der yerge*
llfkingen f geheel willekeurig te werk eaan \ mits ^ dat ^ zoo als in dg •
foorgtiande mmnmerking gezegd U ^ de groofheid , in het tweede lid
r^^elkwiü^gelifkingf dezelfde is\ ali de grootheid^ Ivelke ^ h he$
tsrfie lid r^M>de veestend e^ vergelijking ^ voor kamt ; waardoor mea^
bijaldien al de vergelijkingen zgn uitgefchreven, het iwteede vereiscbte^
waarbij de grootheid, in het voorfte lid der eerfte vergelb*king,dezelg-
4e. 4i y <J»4i»t welke, ia-bet tweede Hd der laarfte -vcrgeiprtng , voori

. , . ' -1 ....
(19) Verkltir de oplosflng van bet eerfte vraagftukf^ j
SmL W** Wf^^ VW ia de cerfto'pkat& o^/ - : b^ v^oogle
iL'de&u K

iio H L L E R E £ R 3 T E o R o tf b è li ib e t""

koutte fttt^cl vm «eJvc vervold woi^», fti) 7^ i?^^/ Ituuntn </# v*f»
ff e^ti klagen worden oif> gezet ; maar den is de prootheid , In eU voor*
"u lid eener vergelijking ^ dezelfde^ als die ^ welke ^ ia het acht er ft e
ld der naastvolgende vergelifklng^ voortomt ; ürwlfl de grootheid ^ itr
het achter/U Ud dêr eetfie ^4rg*{if*ing^ alsdan dezelfde ir, als éia^
velkef In het voor f te lid der laat I te vergelijking ^ vo9rk»mt. Q^%
Men Km derhalve, de vergellf kingen van bec voorgaande vraagüuk ook
nog, in dezer voegen, onder elkander plaatfen.

f^

|jOo 9 ^»/ir. =r 107 C Sevil.
X ® SêvlL =r 3600 IB Amfi»

36 co 9 Asttp* sr SC n «s^il,

107 % SevU^ = 100 9 Antif*

100 9 >#«/ir« = 107 9 .S^y//#
4r 9 'S^//. = 3€co 9 -^«^.
fi4 9 ^^f* =; as 9 -rfif/v»

115 9 i#«M^* sr 84 9 '^«#*

ie7 9 •SUi^l/. ±=: 100 9 ^ir/ir«

Sóoo 9 émft. =r ar 9 ^«yi^«

«'7 9 5tfv«. = 100 9 i#«r/>.

3600 9 /fi»1r. == 4r 9 SevlU

95 9 ^ff^iir. = 04 9 Amft.

Iietwelk het gemak aanbrengt , ^ac «en , in bi^t opftellen der geTI
heden, van die ysrgel|{kin8,Avelke,in liet vraagiluk, bet eerlle vo
komt, beginnen kan. (23)

tf^i^. Hl Aanmkrkino* Df yérgeltjklngen^wetke^in de ophsfi

van het voptgaande vraaglïuk^ voorkomen ^ztjn vergelijkingen^ w/

ie de hetrekking 9an twee geUjkfiacJitlge grootheden voorftelleém

aixoo volgc , «Ie 34 9 Amft. = 25 df Antwerpen , de evenredighefa

Amfs. pond i A»i'»» pond :=: 05 ; 24; '^

Sr hunmen echter^ in deze f^rt van vraagfrakken ^ nog andere /JS
Ujkheden voorkomen^ die gèene betrekking tnsfehen gelijkflachtige
gssoptheden zif'n ; maar welene gelijk ftelting van waardet usfchen twee
geheel ongelijkfiaehtige grootheden , welke ^ van den eemm tot de*
anderen tifd^ maar ff^tang der omffandigheden ^ veranderen^ of at^
hangen van de waarde ^ welke men^ in de zameMeving ^ aan deze dlnm
gm hecht); tn strike gel i^tliec^ moeten van de eértte zon^uidig on-
dtrlciieideQ wotéea. Wanaetr ^nen tegt 24 Amfterdamfbbe pondeir
B^ aan 95^ Aov^crpfc^ povdim «è^ ; ^«1 ftelt men aicb twee ge*
iQke .gbwTgten , die even zwaar zUn, voor; maar, «vtnneer men zegtt
drUjfn^ter44uafche pondea kotten^ f guMen ; dan üék nes hier eene
gdKhéld van «Koarde, en af/clK>#B 4e jroocbedto zelve, als e^gd|lK^
w^tige|« «nie^ J( urnen v«rueIeJ(«n worden ^ km men nvgtai» zcig|^«
iïft rr- f glp Wam^e<r nu zulke waardijen ^ vel^elijkmsgem kt kat
vraag ftuk voorkomest; dam maèan 94f« i» ée itphsfij^gimiiia^ gofm
reïandering. (24) * , ,

-'■'■■*' *'; ƒ l' 1 'Jl J.ii iJU J ) Jl'i J Ü IJ 'Hl. 'Il' j tiJü

(zi) Hoe moet men , fn het opftellen der vergclöVlngenj^te werk gawt
(tz> Wat 4a deriiiive \vtx. kvmiicilL ^ waaraan méd weec • dat"3è veraAa
igkiniceo behonriök onder elkande^ ftaanf * ^*^

23) Wat \o»gt Mer ni«l

«4; Wat valt er, ten aaipieBda^jmgdQklftgCB^ #t ie ttclkttf ;

{

CI|FERKUNST«Tn HOOFDD. XLVl tB8. iu

' ^40» fir YtüM»Txx. fTatmeer 14 Bt te Amfkr^sm ^ uoei
^a»aar /djn ah 25 g^, U Antwerpen^ en 100 ^| te Antwer:
pen f %oo Tsvaar aU 107 -h, ie Sevilien\ hoeveel 'zuUen (km
3600 18, té*Amfier4am^ koaeup indien 100 £g 9an die zelfde
waar , te Seri Hen » 55 gulden waard zijn f

OPLOS91NO. Men ftell» de ?«rg<i9kingen , It dk fftigftok ^Cot^
koaeode, lidut op:

« G»/ï/« =: 9600 Q Amft^

100 0 Jtntv. := 107 « «#y//«
100 Q $cvtt. =t: 55 G«/</«
dan volgt btemict

24X«<»XiooX*=3:8öooXa5Xlo7X55

. — ,24X100X100 -^^^^^^

€nim s9n,in dit vrtagftak, al de verse)|kihgen » bebsive de eerde en
Uatfte, volllrekte gelijkheden van gelökaachcige grootheden; maar do
[^KVt Hdlen eene gelüfefaeid van waarde, welke ^vm deneenei tot
' »te anderen ttM , ireranderen kan* (25>

. I^74i. 3 ViLAAOstuk. Utten wij ketzefdè JfeUen^ ais ié het
''iwrgaaridérraagftuk ; maar vragen u^j: h$ey eet zullen 3Ö00 ft , te
'jl^infterdMf moeten verkocht worden ^ om 10 Sen 100 te wi^en\
:\4^dien 1^00 fiB te Sevillen 55 ^^/. ingekocht waard zijn?

** \p9Louixié. Ia dit geval, heeft men ééne vergdgking mee^» te
«ment

a Gt* mUgekoeht tssz $600 (f jfm/h

xoo ig 5evl/* == 55 i[tUd^ ingêkoekfm

xoo gh ingekocht = xxo ^kW* uitgekocUm
«ainett zal ilir hebben s '

3(feoX2<jXioyX5^Xtio ^

24 X i^ X 100 X 100 »ww « -WW/

742* IV AANii2KiiiNo« ^//tf yraagfïukkc» vén dien aard kunnen ^
door twee of meer regele van driën 1 worden opgeloste (27^ Q^ voor*
beeld, het eerde, door de iwee volgende s

24 Is Amjt. i 3600 d ^ai/>. =: 25 9 ^«^iy. ; ,« 8 Antw%

komt 4p nt s7^o fig ^/f/nr.
igo e Jniw^t $r$ö fi Amw* ±z \of ^ ÉefiUi % a fg $érih
komt X 1= 401 2i S Sevilieh^ (28^

(«5>

<26)

25') Verklaar de jopVaifing nn bet twiMde vraagftok ?
do) Verklaar de oplosüng van bec derde vraagftnki
27) Kan men die foort van vraftKftukken nog andera oplosfea ?*
1) Geef hiervan ee» voqrbeeld? nigfeedbyG

K 2

112 ALLiER'E E R:S T1S caoRb/feit Bftt

en^ dexe eveiire^glieden of Reget« vau .tM^ën ,zHp xooéax^ ttn ^^luuider
verbanden: dat^ hetgeen men tot uitkonr-* '- -'— -—'•'— — «.—•>-*"
de laatst hekiende term in den tweeden

verbanden: dat^ hetgeen men tot uitkomst ^ in den eerften^yerkrifgflt
de laatst hektnde term in den tweeden of yolge/hfen wordt»* 29 Meti
noétnt daarom den Regel, waardoor- foprtgëlljkè/'raaftirakRen. als rf|

voorgaande i warden -ap^elo%i \, ^aaniéngèpshak^lden Kegel vantDrirs,
of KETTiNG-RKGSLy ($0) die do^r^e» vA*^^n0^ Kegel vvordt^op^elos .

- ;r43. Regbl*. l?., Onéf^tzoekf^ ifieft^ a waarnaar gevraagd
wordt? Dit geial ^ onbekend zijnde ^ noemt tnen x^$ en dit on^e*
kende getal fielt men vooraan.

2®. Daarna *her leest met^ dei vf-aa§^ en vraagt aan zich zeU
ve: welk getal moet.fim. dit onhekenae gelijk zijn? Dit getal
fielt men achter het eerfle^met het tèeken = tusfchen béiden^ -

3**. ■ AHe andere ; gelfjkhedfn% weli^ ini de^ viraag<y afkomen ,
moeten^ onder de eerfle ^ t^dartig gejfeld worden y dat het eerfte
lid' van elke' volgende' -gelijkheid: gelijknamig- zij met het tweede
lid van de ^ voorgaande i hetwelli' men alttjd ^ uit de aandachtige
lezing der vraag ^ if inden kan.

4**. Indien mn .nut al de gelijkheden ^ die in de vraag voor^
komen i alzoo onder elkander gefchrevjttt heeft; dan heeft meu
fyim ko}om^» ^^^. ^'^^k^x •i^:A^ yoorjie van Wflken ^t on*
iekewde geial jJaat\ £i$:^ Jn mlke^ Ah laatjle lid van de 4wé€d^
kolom geUptnamg^\symeS ^het\ énèeke eerfie lid V4mde eer*
fie kolom* ; ,; ;•; , i.-*- .

5°r Indien het\ geh^uri: dat het. laatje lid van de tweede
kolom niet gelijknamig Hi^ met het eerfie lid van de* eerfie kol^^-
keeft men^ of eenetk rmsfiag ^ in het opfieUen- vdfi de gelijkheden ^
begaan , of alle gelifkbedenmeti^geieekend^jf er^is^ in de vraag,
niet alles gegeven ^ ^t -tot het bepalen der onbekende grootheid
gevorderd wordty (2^) ,;, :;;■:, . \[

f44. Aanmerkinq. ^bmt^ds moet nïieh èe ge^kbeden^ dtcoiio*
l^rek^n, uit bekende betretekfjijsen, a^rnvullen, l>j|t vOprbeeld, wan*
neergeVfaaèflwbi'dtf S^eei dertfend* kalven kafirnenie^hèn^y oor 173
dukaten van 105 ftuivers^ dan Ilèlt men: ^ '

'I>ertièridh\ x zm if^ Dukaten ' •' <' -

Dukaat i'= 105 Stuiv,
Stuiy laj = i Dertiend*kaly^{%2)

745. Wannetfr de gelijkheden' nüixfe v/aai: zijn opgefteld,
dan volgt 9^60 ,f om het onbekiM^e.^e. vinaieio„4^^«a :,s -i

Tfi^') Hoe hangen deie Rebels van Drieën vin elkander af?

C30) Wat naam'* geeft ;iii«a t««r den .RegeJ ^ ^raantooi- dêle'fdóft'^an

yragen worden 'opgelost ? - , » i

Csi) welke is. de j'ögd , om eenen ketting- regjel op re ftellcn?
(32) Wat moet men fomtöds ie aanaueritiiïg ntnrcwJiOoOQre

Clf PERKÜl«sr. VM HQOFDD^XLWtEs. 113

' RêcfX i^ 'Èfh^ m^f'men. tndlm er geïf^ié^è rf' ge»
4fibïgde getaÜen zijn, dU getallen met i9 tmmers^ vén de
'breuken^ tH de^êlte kehoerendè , rermenigntUMgeff ^ en den noê*
vter yan die breuk ^ als factor^ in de andere kolom fiellen, oin
ék gelijkheid te bewaren .

2^. Men moet^ zoolang het mg wtogeUjlk' zij\ eenig getal
van de eene kolom tggem eenig geial^ 9an de andere verhUinen»

3<*^ EtHdeUjk moet men het frOduct 9dn ék Hrtnen effae*
foren der acthetjh kolom, doQt het produa 9an die 'tan dè
90or/h Éolom ; dèeleh. Xii) C .

xc6. Het vraagftuk vtn art* f^/f wofdfr (ten- Mm ^iMr^lu i
m Sey. « = g^ e ^mfi. i4<f>
« Amft. %4^=' ^£ ^ ^"l^* 7S

4 7S

■ «• — ^— • * . •

a J802 ir 1401 ai « i±: ar. f34)
747* 4 Vraagstuk. "Een koopman ontvangt uit Engeland
een zeker aantal fiukken^ .tkmtm j^, aio hem aldaar 42 9 fier-
Hngi de. ei kosten^ Indien 0» 12 eilon^^ te AotOerdam* m> tdaam
Jfebo oJU»t 7 i^m/cie eüem 5 ongeffcht elku wamrdig ti^n^
0n de koers van -de w^ol iP ^'g 4 e| ^rfaamnk^ noo praagt
men: hoeveel fitters ééne el van 4a^ Linnen.^ tt AmlIêxdÜiRt
kosten zalf

ftuiv^ «SS i at ti Jmfimrds
^ ei te Amfi.^ = ^ HaamfihÊ eikm f
vtaamfehe «/ ]r s» 5 engjsl^ke eil^
engelfche el | = 45t % fier Rug ^
^%fijrl.üz;z i gfiorling

4 S AerL ?0 =S 31W 1 ^«««*-i»«f
g rkamêoh t sst 0 jSuü^rt ^

^» = ^ = aa^ yïitfn

MifW«üi«

S|> Welke U d^ retel tcf •v^mOtmt ^ , .-, CoooÏp

#) HcMer dleo re^ door coi m^beeM ^f- v^o^gle

1 14 , A L.I.;^ R Er f, IV ;5 T^^' a^KpOyw-f if 91 :9 i| t •

V«BKt^RiNC., M«n t yermeiiifivgldi« «64, mM 34. «Jdn kotnr fa
nlaan if*9, en nien^ ften^'^- 3 ; ^k^rnV(Jö (bciV lm vaq. d^ tweede Iep.
Jomii verniBhig^^1dSgiilïf6^oi'denv^1H>k aft ftctbf in \!e 'eerfte kolom;
Na verkleint m^ ' eerft * <<e Tt ^ ««t tweftdè lid 1» êe èei^lle kolom,
tcècn de 6, bet laaifte lij, in cle tweede fc^Iom; de 7 Jioc derde lid
in de eerfte kolom teaen de 42, het vierde lid, in de tweede kol m ;
de 6, welke raen, dpor deze laatfte verkleining, veikrjjgt, tegen de
12, hfet v^fdc' 1id,^iB dé eèrüe Icólora ; de^a; wefke daaruit* vóór-
komt , tegen to, het .tweedeifd ïiit de twctife koïom ; ^e ^ , w^ïkfe
daaruit voor kpint, •^egci\^d^^?^AetuWed^ai*irède;«erïb teötom;
dan houdt men flechis, in,de aerflie koIoi^ti^f;4:^t^ ^,4 ^f^^
en, in de t«^eede kolom, aè lactoren 5 enaqo^eninpn vmdt ^czaiaiil
ftulvers. (35) - ^:P7/.'>".^ « r..-^ ^w

I VooRBBELD* ïideveet acht en'iyiintigen ^al ^en oniv^ngen yo^r
y\% dukaten f -" ^-^ . .

a VdbRBBBLD. Hoeveel dakacen . zatiuin ëph^h ^oA^a"^ Fratt^
fche kroonen^ in, de yeronderfleljiing ^ dat^ elke JTtanfche kroon iZ
ftuiy. waardig is f . [ l^

3 Voorbeeld* Hoeveel zesthaT^n zal iemand ontvangen yo9r
góo gouden rijders , de rijder gerekend tegen 14 guldens ?

4 VOORBEELD, Iemand heeft yoi>/ï^^6 guldens een ftuk linnen ge-
kocht t dat 50 ^It^n lang is: yo^r Jm^x^el zal hif de el wederom moe*
t«A uityer^oppfin ^om 10 f en joj tf,yi\nficn ?

' uUyerk. guid. x — -2 elLJngekochjt.r , ^ ^
ell. fngek. 50 J=f 36 .^i ingekocht *
^/. <»j§f»*, lod» ^S2^4-ia^^« uftvierkoekt.^ "' -^
; 5 VooKBSStD. Een koopman 'hèèft een /puk Laken\^ ketwH\ aro
guldens *o//, en lang .beyo^eüi ^ i^^Uéns M^eèl ztHhH de %l
.mo$ten yerkoopen , op» ao t^» , i^g. /«\wï.im4» ? v^ v r tv? . r v :' - ' . r >

6 Voorbeeld. Indien 57 ® /f.najwbïjrg ^v#^y^^5?jpg^|.-2/^;|,^^
£6 g /^ Amïlerdömj ap hoeveel zulten dan \yi Blml^rg{)ch§ i ie
paan komen ^ bijaldien ai §ê Amfterdamsch gewjg£4^ gi: kósUnt

7 Voorbeeld. ISP^^r kosréhêe^el SSkêk to^mlmon^ als ééne Am*
jlerdamfche tf/^4 gh .19 fluiy*< *#ƒ/, ««e .i(SPÏl4infièrdaJkJhe^ellen zoo
lang zijn als 99 ellen te LoDiion ^ ais ^ede, i/np^pd ^Jerlings ^ te
AmfïeTdAm, ^6 S ^A 'Vaardig Js^ „ , , .'.: - ;^ "* *

8 VtO^BEBLO. indien 100 eg r? Getieve zod zwaar wegen als 108
|g te Lion, tf» 100 ©^irLuHï *o^/«t^ 30^ ^^ll ff 8^ ylaamsch t
hoeveel kosten éait toQM tei Oenene 7:1- i: ,Vu\v? ^

9 Voorbeeld. IndienioaQ, *^,^^<^^mülB»».Awa'ar wegen als
ï05«^, iftf Antwerpen, tf«9öD Ê|, Yf . An t werpen, itoj/^A 4 öC 10 R 6 S '
Vlaamsch; hoeveel kosten dan 240^1?, ƒƒ i^fterdam?

10 Voorbeeld. Indien-ioo^te Avuücténm ^ zoo zwaar is ah roo
|p,rtf London,tfff 6 fchellingem-fi^^Ungs a^aar 3 ^/. 6 ftuiy. waard
zijn; op hoeveel komt dan 190 ^ac >^'nlt^erdam , indien 3x6 tt. ftf
London, kost il cf. 17 & 9% fitfl^^sf ^ * i>« n»» fi^

C35) verklaar het twepde yw^Wttl^;; • :,:;.i,,;,V.(^^f f. .••'':

.,'.-' ' \ ■ ■ • 'il .;. V \,: ',^\ :' \ l ' ' ' i<l ''r- i~' . ,.• .'/

748. * De />^rcr«f./Jtfi<?w/«g- beftaatï in bet berekenen :ytrf
de Hnreresfen* der uitgezecce kapitelen i de reêele waardei de»
pobïiekiï EfFecc^n, i preinren 'Van Asfarafltféiï , t!pii);caj^I^ V^tl
Maltèiai&>.ll£or!ingén voor prompte of gereede lie'taling. ( i'j
Ofi^hooq 'UVi dit alles, door bec voorgaande, genoegzaam kan
gevonden! worden, ioo beeft nogtans elk dezer artikelen zijne
^fi^^ne'wlf^Je CnfTöerc kenen , wejke de geinakk^iijkfte in het
gebruik is^, of als ^QoStfriiknftórgaarr^l^Mtèm'behooft'ie-
leiid te'w'órden. CO V ^^- ' ■"':'_ ' '"-' ; ;»

. 74 p. A. J^JTï:Rbr*nEIïEM^'G^ * Inieresfen zijn^ in h^t tilgdj
pjcen , de yruducji 0/ iukomjhn van iemauih kapitaal cf gtl*:
tkidde^p^.'p'i ijiccrêic worde, ten lioiLdérd , ,^iu het jaar^ iam-
4jdsLiii 49\Qjiaiid, berekend; en is vevanderlylvv» t^iai* ikn over-
vJQe^J oTiHdeljcljj^r^ciiIieid van het geld (^^^\tJiU bet berè*-
kenen vati den nitéresc Jcomt in nnniTi^rking : ï*^. %ff hipi/ao'/^
2^- den tijd; 3°, het fera^m y dqt i^, .hoevj^el , teü liomlerd, 111
het jaar, voor bet ^ebruïli van bet geld, bi^iaakl woi'df, 14)

750.»! VooRDEELO. Hoepel ir* dt Tnttrèit 9aK 1116 ^U
10 7^. 8 penn. tegen, 3I percer^ in *trjaar ?. . /:....*./"

^ pewu '3S3 $i Titifi^stS't >« . wiMni.» ' bfetfkt
iïi«r,iHt j 4>ai tüMn^o/mtde v iet M even-:

taal met zh /"oet yermem^fuldi^mjeim
het product door loc» deeiek* 4lat(lpl€Cg> -
art* 3C4 en 221 • (gj.,*

T:r' ' : '% . •' - ''- * ■ 'f->-t .• \\

-'*•*• f • -f- .M -1- f.'ï t"»-^^» Jilii-.- « .>-/■ iui... ■ '.-^ 10(7

\pm'. 9 |i«8 f + 4 r :.r

/>. l I 56., :/ 4 •/>

■1 ■'!■ 1 . 1U ,

Ci> In welke Worniamfté dingen komt de PcrientbllrtetjiliS ybof^*
<A> KMi-dk -«U«»y .■4ooiu.4i«g«i»wjü#c~ i)avco.-geleeal . ia , a jet t^fei»

Cs) **^*tti^lmerestrllekeninit. .' . x... *>• . -

Ca) Wai komt; b0-ae!flteré3i-;ile1^eiiiiigl iq Uijilffcmü^f ,.,,, «^i ;

C5J<yerkUai%Jft^^gatt^.j,^0f|)fW^ ,;i,,/i, .,^,, .;:_. :, >, ^^;^ ^

K4

fftd ikiiLEft E!CILSiTiEiiio/&,öiiOK^N^ der

.^«.t 1 AAMÉERKirea. Bi^dt wMxwé verêe&hig van den G«l-
dcB, gflat die berekening gemak kelyker.. Dy voorbeeld? Jftfe^
veel is de ifUen^ V4u% ^fiip.GhUv ^5 causifegtn il percenÊf^

VeRKLA&iKg. Men vermenigvuldigt het 3819*35 Gl.

ktpicaat sffiQt^ O^^ met 3:|» e*, men deelt { af

ket; p^üuct door 100 ; dan vorkr^gt men , voor
den gevraagdeh interest, i^| Guld« ^3 cents,
iets ie veel, {fi} ,

Ii458»05
19C9.675

133 I ^t7^5

rS?U n AANMERitiNö. ' Dè jiercénten worden , in gebeelen,
orin getieelen en een g'ebroken daar en boven berekeiod; docft
deze gebrokens zijn altijii Jialven, quarten, acbcens, zestieiu
dén, twee-en-rferifgHen; zelden vier.en-zesifgften. (j) Men^
vermenigvuldigt, in, den gewonen fiifl van rekenen , doorgaam
J^l \gegévene kapitaal met het geheelé fital van Hef percent j^
lm te^ Bij het fr^wct zoveel deelen van het kapitaal ^ ais het
gAro^en^ bij het' percent kekoorendè ; aanwijst. (8)' Aïdda
neemt men:

Voor C4H halTv de Helft vid %et kj<p!Ua1.

Tèor ee^ yietie\ een ^ vierde van het kapita»t«

Vo^^^rk fieTd$% ^st. dt, b^Ut» co daf^ nog een y!ef|de van het
kapitaal.

Voor een ashtf^i^ een acht (te van her kapfraal.
' ^not^U^tktlte^ eerst tvee«schifte of eei>> vierde, en dan- nog de
keÉt van een-vierde; dat is^ eeo-achifie van hit^ka^ltaaU

¥oor riff^uehtjle. een half.eneeo vierde vaneen half» vso bet kapinaU

Voor Méfew^diktfie t ^n nalf, de helft van een half 4 dat Is'. een
vlend0;en de bHft viMi eenviieréiai dat ia^eea^achtdevanheckafiitaaU

Voer etn zeahnét^ neemt men iV«

VdcrW/ür xétftetuU'^ neemc mém f 4- i va» {•

Vnor vijf^e^iiendw , neemt men i + } van 4.

Voor mrtu^zêttknde ^ ncttiat men, ^ + A + -&; dat ia } met
ae I van i*

Voor negm testUmde^ne^mt men, » + '!Ar ; dat Is | met { van {.

Voor elf^seffhude 9 netmt men» /^Hh^^^; dat ia |+J
V«ll+ l^rwi jvan^é-
^^%m dê^Hêm MMthmdêt mrwt men, ^ 4» ^ + -j^ • dat ia f + (

' TWif Tlf/>lrw^aiiiwji4f*,nee»r «e», ^ +-iV ^^ "flr+' i^t dit la
iHr 4 ven iCor i; Hf i van J (of *) -h I van |. (9)

- <**^— *^ ■' ' " 'II II '1 1^ fcin I I lil I I I mt

(6) U die berekenini In cnidena en penta nte^ gemakketllkart
ty) Hoe ^t men derhidve me( db>ibroktiir te iictkfog^^

C IJ F K R-rW R S t.mn ll06l^M>rKt?liB* iti^

En hieroic ^al men ^eitfaïWJök vfoclen, boè'/^i^,.^,
èöz. é:-» «fe»'^/^' imoéteDyerdeetd: worden... . . \ - . , '

ft. 1763. ^/, I7y?,i $ pn^ tegcp 4i pCu A, 3»?6a/. 39^* te^en7i PCt^
^•, 7«>93 ^^« 1 A» Wi^^ -*"": §1 •: — '• '9^93t»? = -rr d| — -
*. i3pb6.^/. 15 7>. j ' »i-T— . of *. 7^9.39 , . — - 4| -rrr

4^* 7873 ^/« x« />* A'f»«« -~ 4x1 — /. «7ï3»ïo ... -•^-/al— ^

^ ^875 5/. 19 /if- 5^ m.7Si2.^S . ^W"^

^. 1790 i?/. 10 A 4* !/>• 738r>9Ö -'"— 4ft — ^.

' ^53. III Aanmerking. 'Wdnneerdènjd/bif heè*kftplwal,Uf
^nmerking kotDf, dan kan tneny geH^k^-in nr/Z^ia geleerd Uy
den vervallen interest , rfpor defa iametagéfteld^'A te^ van^driefn^^
%den; ^ck , in Angeu^onen ffijl ^atiA^rkén, vergroot rtktif
hei (egevtne kapitaal in re(^n van den gegeven IHfdf M isy
men vermenigvuldigt ^ket gegevene kapitaal met het 'g^eké ,'
gebrokene of gemengde^ dantal jaren ; en men berekent ^ ^^^yjK
art. ?50, den interesè van het kapitaal^ dat men^op deu wêj^e^'
rtmegen kerftï (10^ De rede», bieryan^ M kjiwr ; , ^nt^ :een
teijjltaal tfbröigt')i» «jaren («inögc <eo,geheM,rgel»<*efi,^
gemengd getd. \zljnJzoo¥eei«Pi «1» het .k^pij^al «X^i-
iB-één jaar. Tn) . \ ' .^

' VoÓKBÉEtTON. meveeHsde:intere$tn^*vm.$7^W\Tio^
tife penn. in 6 jaar 5 maanden^ tegen 4% ptrcent^ e» ft**. y«»
4/P3 G4 76 <?f«/5, M 7 jaar 4 aw<w^ Z^^^ew S^f^^^tUi . v
: r' : 3763^/.io/>. la-^/f* r -t: . . « . . .Quléern^ ■. .^^

: V

4 }aat 5 ».

"' *. '«2581

I ». 313

iCA) 1J4U9

^<^<?» 4^ p9^*

9^597
fl « • • 6037

I • • • 3C^<^8

? 4 i

13 ö ?

'gl.^«

5» '

<

/i».

llill

,Qul4en

^93»7<5, .
jjaar^\

'4 ffli. «\tt *

^«^^gl<>^^

•.Xfi$i7i.9»
^5ï54j24,4, ^^

t7S77ï>ao
8 . . .-f 1 »7577,ia
4 . , . » . t{738i.5<5
t . . ;. . • aT97,t4

C V

2ot:J34»oa
.ftQ4^fi/..94 eextiM,

iTil fi I U llill

■ en '

(lo) Hoe wetkt «ien,1n den gbvrooen

kin^ï komi ? * ' •

(lO Hoe bcu'iJst {.y died regelt

l , wattoeer de4Öd in «ttm^r-»

' ' DigitizedbyCjOOgU''- ' ' , J

Vbriiaiumo* In fiet e^ft» Toofheeld, vermeii^vofdlf^ men ^s

ff. i6/f.*t* p«. mef (T» en télt b0 liet product , eerst voor 4 maan*
en, werkc één derde 'prar maken,- éétf-d^de van het gisgevene kapfib
t.il, en aan nog^.vpor ééne mfand, die één vierde V^ri 4 nmanden
zSn,, één Vierde va^ ééft-der^e van bei kapiitai , dat is , één «vierde
^M i^ gU WO j^ 4 pH. D^zeHPüi^^ die ia CA) ftaat, ié 6^ tnaiA
1^ 8<t^v6ne kapitaal) kier vai^ bereken ik den kfceteac^ tegen 4I pCr.»
geftfk bevnr geleerd fa , én x*»*^»' v.<ïor den interest 105 gh w /3r. it
fïïilH* it%^ De Leei^liYg gevelde v& klartng vart btt tweede voorbeeld

~4ê^^ IV AANMWKmo. \Bi^hl nottJtn yan de deekn der km*
piMen^in de yertnènrsvttfdiging fan aezelve mef breuken 9an^ dk .
t§idt ééniediPi (f van de percente^^ yerwaarfooii men de 0eir0»
J^ 4er femi^ngeni,in 4^ (ktde^et^ de tiende deekn der xenit^tu^
ie rnm^^mmiiér van yerdeeUni ^wanc,. daar mea altijd de pxo«

^ een door ioo.4e<>l«Q moet, en de. inceresfeo niet verder
ebt penmngea, of ^eots kuonen betaald worden, zullen die
vtrwaarioosde gedeeken der peoningea of cents» in dea too^
^QT >ew^kii}g, j:eenen den. minllen invloed op de naauw*
i^Qirrlgheid der uiikonac kuoneq iidl>i>eii» Cu)
> fS$f V AAmi&iHime* Merkatt dé becelÊeniiie det kicettts-
ftn, toer^^ned gegevefiei»:tijd ^ door de otde der biewer)^^
otn ^ ^eeten* ndg^ s«der^ toil^eiii. >Min berekent eersi dm,
intfrest van het gegevene kapitaal 9 vtHHr één jaar^ en rèrmé^ig^
¥fd^i0 de uitkenm téei den^V.Ct^) Sf men ktrekenli Ator-
1/delJe Interèsi^tenidnderd^in den geienen üjd^ wèaakt^ éo&i
te zéggefi <)d bet eerfte ▼•ocbefld^ ta mtSh S « =X 4t^«#
én in het tweede l ƒ : 7} /• 3= 5|3 rjp; Mt« viödc> in hec
,«rae gfïVa!, x = 28^^, en int hbt cweèrfe x = 4ft|* ƒ» fe/
ier/^ geiutl^ iLj&is 28^; «ï,/« A^/ tweede ^ Aül ten^ondt^d gem
wotinefié. Men bekekene dan^ in tiet eer fit gey al ^ den tf4ere%t jvan
het 'gegevene kapitaal^ tegen «8/]; en^iü kef tweede gp^al^ tegen
j^% percent^ €jD men zal dezdfde uitkornsr, alrirofvctr,- moe*
jtéij; yerbijgen,;'(i5) Ué Leerling l^erpkène rfe twfee-Wpgégö*
Vfne' Voorbeelden , nmir dezd iwee voorgjefchreyene w^zen
Van werken, wdke, naar de omdandfightden^ die ler beoor-
deeling des bérekenoars ffkan, hare b^zoadere gemakkei^ ^i
voordeel^ kunnen hebi5eii.»j i
7S6. yi AimMERKiNo* In I het verraeiügv^dige» ¥i* ke(

f ia> Verklaar bet eerRc VDorbeeldl?
nrg> War ka» men-, ter Itekorting i-in- aanwiffc ing uewettl
ri4> Ran men de bcrelMitiMg, 4es tnaerabfeii «og aadiKS iftf(|Ctaf
(15^ Hoe kan dit nog anders uitgevoerd worden? Goosie

CrjPËIlKüWST^Vni FÏOaFDD.'XtVt, trs. if^

gcgevene kapfwd^raet de deelei 4«r t$d)j éènhtrfèrt ,m^ mea
inzoüdexhsid <^metken: dat * ' .. .

I maand, is /^ fitt. <• <-. • ' \

• maanden, is-J jaar*' • - ' • '^ j ^ :

3 maanden, is ^j Jaaf, • » - "• — — -*

4 maanden, is .i| jatr, "^ ^r •'*

5 maanden , is i jaat + { jatri 0f f jar ^ j inwf f W. ^

tf maanden is I ia<tr,- — • o oi *.^.-^ t. »

7 maanden is | jaar -f- 1 van teen fl jaar « of { jaar + | jtüft

8 maanden lë f laar 4» f -va»' cöi | jaar» *-^~- ^

n mnanden iS S laiê 4* l AmrL I .>-^ . v

V f+. -

9 maanden ië | jaèe + 4 jatri

jo maanden is f jaar +*| jaar, i . ,

II maanden is | >aar -4- f laar + ff jaar* f

De dcelen dar maandeiu-ekéiH: ten bif §, J, |, i, }, 1, f 2f i-#ii^i
.tf«jK. of bö dagen, de maand tot ^o dagen gerekend .^^ifeiiri'*«?
5:, 6, 10 en 15 evenmatige deelen van 30 zijtt\, ^A «^if géttiMtelBk
de verdeeiiiig der enlceie diigeai kvutmt v^tid««< ( löj >"

• VooaBBftLDBN* Te biï'slen^n den inUr^a yan de vtflgcndg funmen^
%) vau 1733 gL 10 ft. in 5 /Ver 7 ^" » "fj?e/ï 4S ;i<^/c^/i? ^ft^sjaari
b7 v^» 5'^75 ^'» I » ƒ'• 8;p'ï^iï» itiJtï^T 9 w-, r^^r/? ^^ percent 'sfaers f*
O yap 766^^Utoft^4fienn, in^jéariim,^ te^^ni^^ percent* sjaariit'
d} van i?J^i ëf; PP: »« 7 /ö'Ti- 3 1»., ^^ff^^^ 4ii Jt'^f^^Jï/ 'i jSr/T^
O Vtf« 7800 W. tn p^aar 5i inaand ^ tegen 4^^^ ^>ör^7 '^

f) yfl« 1790 ^/. u ft.,4penn^in 4 jV^r 7 jb, ^7 ^ö^^^/i , UgenêL^UT»
cettt*sjaarsj ▼^r- >

h) van
i) v«» j

I) i^ 4^?5,?a €>«Ét/* i^éié»ari(^lTtVsM'4W^

o) y«» 179*32 G«^^* *» II maand. 17 dagen ^ t^g^n^ïfer^ki^si^ërsf
*sjaars% . '7 '

757. B/ * Al?£^i?/^ , SoÏHciteUf's ' en ahdfre perforienjieteienm
de interes/en vanhuntit ^^óorgefthofepe jgekien , doorgéanri iij,
de maande en niét W ^t i^fehr; ' keweonlijk'^ rekenen i^if^féi'^
cénf\ ^ijmaands. W zülled^ tpt .oefening', dit pöktèjis irterf

in 7 maanden \o Jki^i i^^\- p)sirt^

^r

C17) Hoe worden anlëWrW^cii^rftói^ié^tótó? '•^^^'^^^ ' '^ ^^ ^^\)

m

au

to 4«
A 4^75

10
xo

o
o

fi-7

t'^

S7

10

10

13 <^^

.5751 .ia.
lö • • • •.* 11^8,797 .
8 . . . .^ 7^^>3P . ;

^ • i • •- ^4ï>55(J.
I *. • ^v 377:,597>

VERKLAaiNc, Men vCTinenïevuli1i^t,iTïheieerfl:evoo!bceTcr,hetTtaf)r-
ual 637 gU 10 fl* iT>et7, ci* telt bö l^et pfocfuct voor d^ lodtg^n , weflte

> tïiaand ra»kcn, dÉ^H-dftriie van tiet kapitaal ; <Jefoiii in i\ wbftkjipi-
/aaj dut in édne ma-rnd ïooveel wïnr, als het gègc^ene kapitaa^ jn/^
maatiden eti 10 Jai^cn. Dït karfta^l \^ A , Wrtn|;nïgvuWigt mcome.ihet
ü^rccnc 'snjüsndsVdai ïs met U en deelt bét prpciuct *d'oorjoQ> In liet
iwcedc voorbeeld, vertnenigviildliTt aienht i peseyertélta{)itial 716,39 Guld.
met den tijd van G maandcïT 1 3 dagen ; flemende \^ör ladagen iö d«iï. -f g
jaE - dPt is, ^ maand -^ ^^ uiaand; bet pre duet ftaat in B. Dit kapitaal zal
tiu in déne maand, zoo veel interest Ëcven , ali bet g.egevene, In 8 m, 13 da?,
aien vertnenisv. hcr^clve daarom «iet ï^ ; dat is, men telt |, f van
1 en i van I van \ ba bU eik^nJer, en deelt d6,(bm.door 100. (18)

' VQaKBKE^D£N. Bereken den int^fust vat^ ,

td MiTir^ ^** n /^ ^^ 7 ^4f^*^^ 1 1 ^^» • 'y *« ïï P<?w«/ V iit^/»^j ?

«) yan.^^lT.gi'' ii A 8 pem^in^U m^nf ^aJag. , ugej$i^ pfiwr

t ^^t,*sma£itdsi_ \ \ / -;i -■ -. ' ; W •• ^^■■■■' r * ^ •• •

•x madnds ^ ' , . •

e) van %^i7 Guld,ini$m. a8 ///f^'rt tegen H penent *s maande t

^ 75ft*^ Pr tijTTERE^T YAiJï. ïrixEiREST REKEwiNOt * H^anttêer e^,
kapitaal (kp interent bekgd is^ öj^, n^f verkop-:^ het zij van tik

^/jrS^jf. V#w eli^^.mafiuf^ de Jnt^re^iMj ^deM
\' èn deze 'vermeerderde hoofdfom^ in het ^^de>
Vm J^nzeim»^ interest^ tp ifc^p, wegtij i^da^W^^
ffj^dip'in^erejt^^van.(^f^^5^^^^ .-. r.s . -

voegen

■^' " ^' ' • «t gefteld wordt ; dart xal men reéleiipreii»^!

•sjaars,bi;r Interest van ititen

{18) Verk'aar 40? wjlw
19) Wat verfta&t nie^

-CIJFER KVNST. VIH HQOFDD. XLVItfi. ui

«(Hlit : 100 iHip. feven , nt verloop van Hn jaar , aan belqop van ka»
pitaal en Imèresc 105; boeveel dan looop g).? Of

100,; looop r=r 105 X 9
en men vindt * = 101500 g-/. Deze fom van 105C0 gl. wordt , fn den
ionp ilFan het tweede jaar^ als een winnend kapitaal aangetlierkt; en
men ftclt , öm het beloop van kapitaal en interest , op bet eiaiie van
bet tweede, of het begih van bet derde jaar, te bepalen»

100 : I05C0 =: 10^ : *

en dan vindt méii ipsr i w«K ^/«» Bn deze fon» wordt , In het derde jaar ^
op nieuw, rfJl een whtndild kapitaal^ aanfremerkt. Op dew wfize voort*
^ande , zai men het l>eloop van» kapitaal «m. interest , op bet einde van
een gegeven aamal jaren, vinden; en hijgevoJg ,evèn zooveel regels
yan drieèn moeten uitrekenen , als er Jaren gegeven zijn. (ao) Deze
beftkenirig kan nu v^el eenigzins bekort wórden ; doch deze bekort in j?e»
halen in geenen deele %^ het cébruik der Lo^rarithmen; waörom wH dit
Oiiderwerp,in het laiifte Hoofddeel van dit tweede Deei» hervatten zullen»

75^. D» De RABAt-!t«KEN*NG beftaat\ in het hepafen van dê

cm) f ante waarde^ umitrmedi ixen éene ftrn^ ^elke men^ na iw-

loop van eenen gegevenen of bepauMkn^ tifi ^ fjchuldig is tt be^

talen ^ dadelijk afdoet^ mifs kortende een zeker percent ^ in het

jaar* (ai) ' ;

B9 voorbeeld , ik ben a^n A fclinldfg aooo gii|d« , te betalen over i<
maanden ; z<H) ik Bu dez^ fom dadelijk afdoe ; dan fta ik aan A eene fom
af, waarmede ik , in dien tüd , voordeeten zou kuunen doen, en welke
;voordeelen nu aan A vervallen zuilen. Om derhalve niet tot mijne fchfL"
de te sterk te gaa»^ moet ik aan A zooveel betalen^ dat die fom^
tot den overeengekomenen interest berekend , na verloop van den tijd ,
^ hM ^nd^ imn^'weHeo ik fcJuUdig was te betalen y aan iutArest e^
kapit^aU (yifslipe t,e^ zalmen kier de f om ir, die ik contant betaatA
de verfchuldigde fom opbrengt» Ik (lel dén, in ia maanden , bezeken
ïik ata ii«Mren 5 percent; hoeveel dan In 15. maanden; dac is

en dan is « = tf | pCent , in 15 maancfen. Nü zeg ik: 03», nk verloop
van 15 maanden t tt£\ gUléen aan kapitaal enf imterest te ontvangen ^
meet 4k 100 gl* kapitaal «# imtjerêsjt Jollen : koeveel moet ik dan oa
internt fielten^ om 9 na dezelfde is maanden, aan kapitaal en int e* ■
rest op te brengen aooo glit dat is: ik (lel,

XQ($^ : 4itoo»=: xoo 2, X

en ili vindt m r=: iZZAgl»7fi* 0$$ penn. , zUnde de contante fom , waar*
mede ik mljne, over 15 maanden verfchuldigde sooo gl. kan afdoen, (m)

r

(ao Helder idft dooè ëeft vootbeftid op¥
rai) Wat verftaat men dpor d« rab«t*re)
q^ H^er^^k.^oor^^Mi voorbeeld Pp t

•|^" ' bigitizedby Google

laav AL LERE ERSÏE cnonütv bi i ^

^66. AANMERKmc; Wntiiieer'nc de koffingftftonaeTlp'v».
kks te viBden; dan liel \^ i \'

, ^ lo6J : soog.:;="(5| : ;c ' .....
en ik vind x= 117 gi- »2 fi> i$j\ penn.n <ie korting, Welke,
van '20O0 afgetrokken, de contante fom geeft. (23J
Meer voordeblüen. ^

Hoeveel h bet rabat van ^ ^ ^ • . .'

O 7C<5o el. 10 y7. in 7! maanden ^è $k pCt. fJ^^rsf ,
h) W2 §1^ 17 fi 8 p«. I* 16 maanden i h 5I fC$. fjaurs^
c; cnyan 3875 /f»W. 75 <^»'** *« ^imaaadgn, 4 aJ^C/.; *tjaarsf

761. E. De KORTINO VOOR . PR0Mf>TE BETALING moet , a!»
van eene geheel andere natmar ziinde, met de Rabat-Rekening
in geenen deele verward worden. * Korting voor prmnpte hetaUng
is of bij den ftijl van fommge koopen , of^ Hj onderlinge over^
eenkommen in gebruik i en heflmt daarin^ dat meny voi/r elke
100 ^/ , die wen betalen moef^ éénm gulden ^ of zooveel a^
nten bedongen heeft ^ kort. (24) ^ \ ^ . ^

VOORBttEtÖBN. / > r Ir. «

il 1 fl w/V/tf candij kost 19 (? ; hoeveel 3176 fig 1 af 2 pCté?

h) I 9 foelie kost jpi fi banco y. Hoeye^ ^ij m , aj, i pCt.t

h) Twee balen kofPiSoonen • wèsende vy, i hruio 43S g? , f» . 2 brut»
•60 e » <?ƒ■ ?^»'J*^ »'Oor &W</<f haten 23 6^ » yrofdèn yerkoeht tot 26J
a. het pond, met 1 pCt. korting t hoeveel bedraagt dit alles f

A^ Iemand verkoopt 8 balen ^abexfe zijde ^ voegende bruto ijfe ©»
r/irr^ i§ €P y«or <f/Atf ^^^Z, tegen 27 fi 10 ^ A«ri ffi netto ^ met i

e'i ^HoêveeC U^ het heloop van j^'khten thee hoei , v^gènds brut^ <^c^
^ ^af tarra i6jr «f- ^m »^^i?^ %^^t^^ *^''^ » ''^f'* ^^ •^* ^^^ * • '^f^

f 1 ^lo vaten Moscorijche Mky we^èitde brt^è 4(^875 », MfW \€pCt.^
vorden verkocht tegen m^ ffi.Hb?ipc>^-^ «er *orrl/i/F van i p.t, en
nog l pCt.;. koeveel zal dtt brdrftgenX , .-, ,
762. F, ^Tot de Percent • Rekening behoort ook de cowr-
TAGiiE*van Makelaars; ó^ provïsce van Commis/arisjen en Cor^
respondenten; het salaris van jffffniniffrateifn; doch, bij de-
«eo komt geenen tiid in aanmerk'ing/(25) De volgende voor
Ueeïden zullen een denkbeeld van' deze in zich «elve zeer
Kgte zaak geve?. ; ]\^ , ,\[Y ;...'.'•': :i[. . . ,■ ■' - '.'.

i» *"

(ft^> Hoé gaat men te werk, wtqneer roen de k9rtjtng afxonderlïk wU

vinden r , . -. • • , ,. - ., .- " * *.

Ca4) Wat ia korting Voof ^ro^npt^ betaung? , .
/as; Wat vcfftaar men door courtaglei proVefl«e>^^«r,'eTBoe worac
^ dewlve bcfckccd? - oigtizedbyV^OOgl a- i

C II 9 £,fl K O ^41; Vlll II9OFDO. XI»VI« Liié 123

sX$$«4&^£|4iCA^«yO!9r Kuiten Principaal^ i/^p;McMt ffifederfn^ ten
* tiedrage fdn 1763 ^/. to fiuh* ; hoeveel bedraagt zijne eourtagie^
« gerekend tot l pCt. f - ' > >

h) J)rie Exeemeiure , rekening en yertttitmeordlng yan eene nniatenm
i fchap geJaa» nebbende ^ bllfkt Met zuivere beloop van dezelve te
. zijn sCiyy^gh i^.fiuivers i hoeveel bedraagt elke fataris^ indien
zij gezamenlijk 5 pCt. voor de gedane moeite , genietend

76^ G^'To; d;e P.eicent-RekeDing behoort ook het berekenen
van de reële waarde 'en provenueü der publieke' Effecten. ^.26)

VooRïBBiD. Iemand heef^ %^ fiuks Hollatidfche ^ffecten^o f obliga'»
tien t elk groot 1000 gl. , gekocht^ kat 'jluk tegen 25 i pOt,\ rentende
tegen 5*i pct, getiereeerde nominale waarde; 'men vra&gt: hoeveel de j
r'eèie waarde hem, 0a» interest Mt loo^ in *t jaar , zal epbrej^gen i
: OP ixiss ING. Wanneer men £cgc t. dtt een^ oblig<ii^iei fer^ot lootigtritleos,
teiieu 25èi>Ci^ ising)9kf>€liCvbeteeke*K fiulks, dat men, voof elke 100 )(ul«
den nominale vy^arxiq, üecncs 25I gylcL reële geldwaarderbetaaic; elke
obligatie is dus], in reefe ^atfde , waard a^o gl. en 25 iVukis t5a»o gl. f n-
Tustchcn isdc «omihale waarde 25b<-ici)i::t3S!^ooógUen'd«iiéneniinalc
'Waarde geefc,te«en sfpiCcw rente; en daarom ftelt mén^ioo : 2500 rr: 5I : .v,
men vindt x=r 1375 gU c|4^b., 4Jatf i^e ^nu)Rpffen^tie^ceerda^in,geni^c
h(} flecbcs I van 1375 t^ac is^soj girOm nu eihdtlgk hieruit te vin-
den t hoeveel ten 100 hy mei zjne rcê'e penningen ^ini , zegt rocn t
]6a$d gl. :.loó ^-Z» =r 458) w5nst :'* winst? komt 7x\^ pCt. (27>
' '7i5j. ' AANMERRiNOi Öerc Vraj(g kart Ifgter worden opgelost, ^/^^i»^
''neer de efectbn in reUe waérde^ rijzen- ■ of daten 4' dan zijn de inte-m.
reefen , "^éXke altijé , .krachtens ket ctntr^. vé^n den geldleener , vam
(ie nompnstfi'waafdepjtaM porden f ten aanzien van de reiiU v/aar-
de ^ in de omgekeerde reden .yin de oogenblikkefijke reële waarde, of
prijzen van dezelve. (28; VV^nt , indien eenfg effect flecbts 50 pCt. waar*
jót beeft ; dan zal mtn tot den aankopp flcc;bts 50 gulden voor de 100
,guJden, die cie e'erlle neldleener geichocen heelt, bebueven uit te ge*
ven; maar,, .daar de geldleener den bedongen interest , naar de 'eerst op?e*
nonïenerom^ bitlft berekenen ^è^nlei de tweede 'bezitter voor f,oguIdeti
zooveel iaterej^.'als de eer (ie voor^^^ae icoguklen opgercboicnepen-
irtugen V in<*ien ^lö bcziiur wat^ gebUv^niZQu.gjBjioteA hebben $ dat is,
een dubbc|üen interc*t; men .Ü^lic ^Uf
, . . . ,^ .i<3o : aSï omijek'. — , J X'si : x

' bf -25^-: ïoó ibt i X '5S f » "-
en , dezeo regel uiirekenéudc , viiidt mtn i'rrr 7rt\ pCt. (jg)

XLVII. LES. Oyer het Beregenen yan^ïmi eti Veflle's in
.den Hajidch ,

765. Wtiwt ^ vcfllo< tga aaa ^ beimwit ♦ Waaneer hmo

Ca6> Wat behoort eindel^k nog tot de Interest- tekening?
U7^ V erklaar de oploa^s van 4i< .voorbeeld 2

{2i) Kan uien deze vra^ korter oploileo , en welke i* dai de regel?
Cag^ ttoc kan m^a <lU,vxaa^aujt luigekenenlnigitz^
'^ * L 2 "* -

f^4 Ati'ri^i^RStiE oi?<^l>i*4>3il-
«enIJe ïoèvbllieia Icoopwir^, w wiöre andere ttfir;
tot eene grootere fom verkoopt, dah dé^jili^ z|jfl ipgfflw^it,
^ de onlcostMi, -die op MMop fa «Mlriu)op..kiMHiaiy gév&ll^
tijn, bedWgen; dan heeft men gewoiïètffi » en ^ée* winst 4$^ in
dit geval^ gelijk aaq lie^ zuivere prpvfifnue vi^n verkoop miii de
inkoopsprysy te zamen gerekend* met de onkosten, welke op
die handefpartg, liet zfj bt) In- of uitkoop, gevallen zijtt (r)
* Verlies heeft plaats, wanneer het provenue minder ts dan h^
beloop van inkoop en onkostei», en is gè!^ aait de ~fom van
inkoop en onkosten min het provenue vin den nickoop. (n)

f66* De Wmf tn het P^Hes n^ürdf 9p twêêderki wij^ kt^
fchmwd\ êf ¥0feikei^k^ ef vif^eH^e^tkrudjze. (3) lü} de
eerde wijze vari hefthpuwcn, vergenoegt men zich>mct (Icchw
na te gaan; hoeveel me^.irt liet geheel^ gewonnen hcbbe?*en,
bij de tweede wii^ze, hoeveel mpn» (en honderd, in ceneo
bepaalden tijd, bij voorbeeld, io één jaar» hebbe gewoi^
nen? (4) In beide geihaffen^ kêmen veffeUlknde imgmkUgheden
jn aanmerking^ welke de kennis v%n elk b^zonder artikel vsn
hmidel yereifcben; dpch opï^, wanneer men in de?en het ^e-
broik kent ^ niots anders flaQ eene geringe opletcenheid eq de
kennis van de gronden der Reke{ib4n$t mei&hen, otn all£i5^
wat men begeren mogr, uit ce fekeaea. (5)- De volgeode
vraagftul^ken zullenr den' LeerHng, in -de btirekening^ van d^»
foprt van zaken, op den weg helpen»

767. 1 VRAAGSTUK. Iemand kerft gekoeht 37^3 ffi fidker ^
'tegen 17 fiuiven het pond: op dezelve U gevalkn^ aan mhê»
ten 17 gl 12 fiuiv.; hij verkoopt desielve daarna ^ tot 2^1 ftuim
ver het p4ind; maar bevimdt ^ bif de afievering^ J^ ^ verlies,
en beeft ^ bij dez0l¥tynog 5 gL 7 fiuiv; jmhosten ; mm vraagt:
of hij gewonnen of verloren hebbet en hoeveelf

Oplossino* Men bereken? hit t beloop van ^(^^ fi[^, tegcfi Vf ()aiv,, daar
voor vinik men 3ia& gl* x< ftuiv. Hi^r )vi telt men de onkosten vun ia«
koop 17 gt* IA ftuiv» en die van verkoop 5 gl. 7 ft, ; de (om is 3221 gl.
10 ftuiv. ; zooveel beeft h(f nü in attes ui tgeiieveo; maar no verkoopt ^9
3763 % min t7 69 , dat is \7a^ S, teiren 23! ftnivers . en ontv«tigt dtar
voor 4401 gU XI ftttiv.; hier van xüne uitgegevene (om en onkosten ten

■ttwtyffw^ » iH ji^ Mf>i

Cl) Wat vêrftaat mep door winst 7

C«) Wat is verlies t ^

(3) Op boe velerlei wffze wordt whüc en verlies berekend f

C4) Verkltar dit nadert

XO Wac wocdterveretsebt, oadie(oortvtavraagfl«kkeiiop^elo:^fi9af

1

1

c rjFE R KV MST. vmHö6P0i)*)a:vii;tVs.i55,>;

I»e4lrii^ft vun 9fll|i gh >to f ftr(»kkeQ(le è Mttfc hea, voor zéivere rwiost 9 '^i

768 3 VaAAOjsrüKv lemami hopt %zif ^ van zekere koop*
'm^hhap^^nor^ \9z fiiHv.h^pênd; en betaah ^ aan inkoapkot*
Unv ^5 gi* 17 ftfèiv : na Vêrioop van $ maanden ^ verkoopt k^
(Uzehe tot i^lftuiver^ en bevindt, dut de koopmanfihap , op de
•loo tg^ 7 l«' is ingedroogd (fyermindeH : hoevéél heeft hij dan,
tèn too, in het jaar, Qewonnen^

Oplossing, - Öeöji/^ bedragen , tégen 19I ftoiv; gerekend, 8109/?/^
i| Jluiv., hierbö ^5 gU- if ♦ftétW.ikoMeB , komt, voor hei geüeelc üif
fchoc^ 8131^/. *8^ ftuiy. De 83J7; !| a^U;,! op de,iooift , 7 ® iageclruo<rd 2
men ft«lle uus 100 <e ;83i7 .fi ~*7 ^tö irigeÜroügd coc a : kiunt. o: rz:
582 ^nw^ïiQ^g (.de gedeeften vtn ponden konienniet in aanmerking^)
dus het €i«wigc^ üac öij uil vca-koopt ^^ i», 8*17 ^^ ^ 584 fg =7735 ^4
Deie verkoopt h^, tegen 22I lluiv,; Uit bedraagt 8701 gi* 17$ ftuiy»\
Hier nu van aftrekkende de gehéele inkoopprus en onkosten, ii.auie)4k.
8134 g'» 18^ (!•, blöft56(5 gl. 19 /]r. winst, üezc lom heeft hy nu^
in 5 maanden, met een kapitaal van 8134 gl. 18I ftuiv, gewonnen
mca fteUe-derbalx^.Cfin ^njijnde^ getallen te- jjickcoett>

8i5^-*Épi-X"ö--«K-* ICO kap» X 12 iw. z= 567 wittst : * winsc

■"•'•' *^ — ^g g-^ g T- 7Ai.pCt. nagenoeg, (7;) ^

- 769. 3^ Vraagstuk, ^/i wjnkeUer koopt eene partij ko^.
wegendu 2630 feti, /^^e« i^i/tuiv; het Vp ; ^<rae ^^/«/ A[^,
/^<^ 14 fiiiivers het tJT, «// ö5?« winkel, uit te verkoopen;'
en , «ööi^/ A[/ v/W die partij 623 ft? , tegen dien prijs , gefietSh
heeft, rijst de koffij tot op 17J jtutver ; tegen dien prijs ^k
837 ffi gcfleten hebbende, rijst dezelve nog hoéger , tot op'^
Jaarvers, en hij (lijt , op dien voet, nog 520 ^; thaa^ daapm
daalt dezelve eensklaps op i^ ftutvers , en, nog meerdere dalS^
vreezfitide, verkoopt hij dei rest tot dien prijs; men vraagt:
heveel hij gewonnen hebbe ?

OPLOSSING. De geheele partij van 2630 ^, tegen 13I ftuiv, be-
draagt aan inkooppr^s 1775 gi. ^ fiuiy. liicr van. vei koopt hg 623^,
tegen 14 ft., en ontvangt daarvj^or 4;yó gU 2 ftuiv,^ Verder 837 fi?,
tegen 17! ftuiv., en dit bediaag|732.^^ 7 fiuiv* $ peon, Ein^el^'k
nog 520 fê tegen 19 it. , en dit bedraagt 49^ gl. Nu heeft h^j in al*
les verkocht 1980 gg , en er blüfc .van de geheele partö nog 650 ^
over, die bg tegen 14 ftuiv» verkoopt , en düs ontvangt 455 gU Het
beloop van alle deze partyen by elkadder tellende, vindt men 2 117
gl. 9. ft, 8 penn», hiervan derf inkoopprijs aftrekkende ; vindt men>
voor de zuivere winst, 342 gl, \~!t, 8 penn* (8>

■ ■' iOm ■ !■ ■ .i. I ■ ■■ a^i ■ PM i mmm^mmmmmÊmmmmmmmmimm^mmmmmmmmmmmmm

.{ff\ Verklaar het eerfte vodsbeeld? .
(73 Verklaar het tweede voorbeeld f ^ ,

f») VeikJw bet 4^f|« voorbeeld? DigiizedbyLiOOgle

770.-4 Vriuóstuk. im^^.HMge ftMtm y0pm4 tm.k^
dr^ge van 3457 elien * /^^ew ^V rö/iflde Jêm ^an 8500 ^^ism ,

^an de l^te quaUieit: 4ia retia^ r^ ié»e inmnd% v<rki)Qp$
hij de partij van de bes$e .^^féUifeif ^"^ tegen 19J fiuiv* de el^
féne maand later , de parJij va» de Jh^0e fttakteit , /egen f 6
fiuiv. de el, en de middelbare qmUteif^ ten Jbelfden tijde ^ fe§^
y% huivert de el^ aUet^on^ ^esee4 ^efd^ bgeve^i beeft Uj dan in
alks gewennen? en heeyeef^ ten lonh^dn *t jaar?
OPLOSSING* Men rekene als volgi: '
3457 ^/ingekocht tot • • . ^ 2$co gt,

IS87 cl flechtftc foosr* k i5 ftniv* ét é • 1C29 ^/. ifi />•
iift3 el betere fowt, k 18 Univ. de ü ' . loio gU 14 ƒ>.

9410 el fom der twee eerfte foorten

1047 él beste Ibort, tegen 19I fto^r. de el . 1033^/. iB ft.j^penn.

fom der geheeje i^tkoop . ^ 5074 gl* 4 A 4 pcnn.
tnkooppr(s • é ^ . 2500^/* o//*o^ff«*

4e geboete winst . -. 574 *^« 4 A 4 P<»»»

Offi nn te vinden » boeveel bf , ten xdo » fn bet jaar , gewonnen bebbe t

f eilenere men aldus* De inkoop is gefcbied , fa de onderftdling » dftt

ile geheele pan^ van gelUke foort war^i otn nu de iakooppr^s van

lle beste foorc te vinden. Helle men d^ evenredigbeia s

3457 el : X047 el -^^z ^00 ^, : « ^/,

jKOmt * 5= 757 ^/. 8 ƒ*• 3 />'«»• «tf^iweg ; ^rckt me^ dftie inkOfi|if<w
van de gebeele af, zoo vindt men^veor die Uer twee andere fooatea^ 1742
gU 16 ft» 13 penn. H9 wint dus, op de beste foort «7^ gU i^ ft» I
penn.f en op de tw^ andere (bonen, die bQ te gelQk verkoopt, 207
gl* 9 A* 3 penn» Men ftelle na deze twte evenrcdfgü^eden (bie^n
vOiüir net g^iiuifc» <^c naaste geheele getallen van guldens ne^nend^ 9^
757 ^P^ s i^ ^P* ^^ tT^i ir/« irt>// i 9 wittst
1743 A'^^* < 1^ ^/^* ^=^ ^7! €^* wUut : jf )iii»«/ .
WeiWt vindt men : * sr 36 gl. it ƒ/. 3 ^«i». nagenoeg , wdke fiwi
b3,in ééqe maand, met 757 kapftaal gewonnen beeft; en ^srr 17 gh
1 ƒ>. 6'^enn. nagenoeg. Deze fom beeft b|} , met 1743 gU kapitaal
In twee maanden , gewonnen* In één jaar beeft btf derhitye met 757
gl. gewonnen 12 maal 36 gl. 11 /^« z%penm* = 43^ g^» ^4 Z^* 4 pcpn*
en met 1743 gi. in één jaar, 6 mial 17 ^/. 1 /i» 6 penn. = xo2 ^
8 ƒ;. 4 f ««». ten xoo gewonnen. (9)

(9) Vecklaar 4e opl^lflog van bft fkfdr wimftukf. Jjogle^

C II F E R K UN ST. VIIÏ HOO^JDB.^lA^K. lü. '«?

77 r. ^VkAAösTOX. !fe?r^^ heeft èêné , fartif ^ fiMnaénh

Jch Jto0if fer( b^(ira^ y^^ 37(55 ïi^f€»btaM\ji^€kocfii\,lkóti6

:fiu^erf^ ^t' '^ ;\bij. ^Ar^§^ de^hAi^ é^ verü^ ^^f^iém'Ju^^

,maa$idf u^u 43 fittiv, éei ^^ t^ ^ 4»san{hn «^ beêèJÊm:

zoo nu y bij de aftey^ering^ hevciniM v^ordt , tht de- pnrt^ nMt^

|6 vermünderd n^ hoeyeeUs :er d(^ ip aiU^ fep jM^i^^f^t^ l^^

tnUjadrfgewgmen? .. .."• ' . r. _

OPLOSSING. De "Hrtcooj^p^ Vtfr 37<S^ # » tegen 1» lltilv.* *tflt bi«
tfraigt 1781 golü Tt»4hriv,* BQ iK: ^ttteverittg^, vks^ ^ df^-^^ërÉfift*
•derh^, ^eti Teverc dtr» flebbt» 374^ » i^f , tegen 15 ilti1v«r»^4 0fV 4l|
bedraagt 24^!^ gU <5 (l. : hiervan ije ht^ooppf^s «ftrèkll«iid«y 1fM(
MéiV¥9€^ de %ri.tt9c,649 gfé 'tó ititiv* Dch.b'li9 >et^ait den liM^'Coti»
€aot ^^vef koopt» 'ééne iiahreAftand tiji den Inkpop, om ito |^i;eéfpt
«ir ie maanden later te iTi<;asrerefi; het is dut eveo ióo» al^ iif W^m^c
1782^ )^. in s^ inaaa4»^9/ gU winu Sctl dao» om de wifttt ^i^ -^DO ^
i» liN'ttar,' te vinden, de zamengefltflde eremedlglj^ •• - ' " *:

«;8ai ^/. X 3l «. « 'itx> ^/. X ia w. ±1:^649} ^^* «^ J» ^pI>»* *
en go zult ae winat.ten ico, in *c jaar» vinden. (io>

772 6 VBtAAGStüK. kmand heeft' ingekf^hé ^^-hoiett "^ef*
fij^ wegende :n'^. i jóaj IB;»^ a; 57P*5 '^- 3r5 7'3 W^*^» 4.5
689 tfe 5 1»^ 5 ; 509 tfi ^ n^ .65 653 CB» //<f«tf f(Qmen hem^ door
elkander f op 2613 gl. te ftaan; en ^Hoodene ibdten vaê^^êf»
fchêüende Joort aj^, mengt hij deuhe door'éMta^ukr i ^ê»tn
yraagt: tegen hoeveel hij het @ tnoet verkaopen ^wft'^^'f^m
te winnen f

OPtossiNó. Baar bief geen t^d van Uitkoop bèpal^U^yordtj rilpec ipéa
berekenen, tfoevcel de inkoopprQs van 8013 gh tegen no^Ct. Mntiiferélc
wint r Bfit» wfaüc bedraagt 4Qft gl. 1% ft« \3(9ê^ ^iéktbtf4eiiiiiko6p^s
voegende, vindt men de fom van 2^1:^^ ia ftHiiir*, t8f«i/j«i^»>ao
^eiieete part^ nuiet uiiveckocbt worden , om np oCl. te y^n^es. Kti km
men vinden, tegen hoeveel ^t pond, ondier dte bepaling, moet vm«cjic
mxéaa^ door (e ft^ko, 38^^ 1^- 1 k ST 0415^/.. xsP^t*/)Ki|> .

MBtk VOORBSSfiSBN TOT OftFtMIHO»

7 VRAAGSTint. Benige goederejt xtfn iggettof^kf yofOf'Viogi: ^ kèr
op zijn , HJ inkoop , 6 gl. 10 fiuiy* onkoüen gey^iien 1 4^ ^M r

if<0^ ^ww^^ü deaieivot tegen ^S £{• v^no^k^ il^nf^iM.40Mikfiket
gièeel. enjioeveel^ ^en loo» in *t fémr m gfVfpn^f

8 VÉAApsTüi^ Je^tn^é kfiffpt eenfinh Mtm0^ » t^ <t'#f«
tegen 14 fsuiy. de el^ en iéeSt^J^ij inimp» 4e ^M^^f^f 1W«-5i^fr ^IP
/i. Si mfn»ndla(er^ wjl t^' de^ pfiftfj jn esm mf'}? ^^V iM» IpP
in Ut. iaat winst yerkodpen; tfgm èogreei 0Ofit l^t mlfi^.efH*
jtêjtmient

4i^ ^\Mdaar óm mfi^fOmg mmiin ^^^ ivntgMtf ^oqIc

ili) Yerklffv 4e oploifiog vn Jm.sMile «iMFMitI

1-4

9.VJUi^OfT(rft«. £«1/4 pêfii^ ysfk óogfi 9 f^ir/^lnU kkidjtn warde»

Ug^ti .ö| /V. Ugtkgchi\ eit naderhand ^ tta twee maanjedp^vi
l^fOf^^^ ftMty* uitverkocht ; JKOerha^ bij dhn mitkcojt^^^ ten roj ye^
HêP^Mé gffi^gt ^erMiett ^^iriUieff de^ onkosten^ 9ij\ den "tfêko&p^ 6 gL
imjhik^. ent bij, de» wtkoop^Y jg^^ t^yfiuiy»'MeJre^en ; ho^ye^i is dan
aan 4ifi ^rttj 9 jen loo, in het. Jdar ^ gewonnenit
' 10 Vraaost^k. Iemand hep'ft 809O gg koffij ^ tegen 13 fluiyeh

7 onkosten geh(td ,• na.
'■ partij ^6êO f69 tegen

Sdoi als^in de oeven(biftn4e fc^cts-^te
jBieu i#, eil tt\t dc«e iwtórtfe» b^J*
èlkiiider ) dan 'vindt met» t dat al de'
drie^fabrtéti» Itf gewlgc«f784 ie be-
dragen en de waarde van 21272^
iluiver hebben, deze Kcl<iwaarde

S^49Xio />. = S840 'ft.
587 i*X II ƒ/.== 6457 ff' .
8i3»X iJé/^; ri= 109751 yf.

1784® . • '• . 81272I ƒ/•

II ft* 14^ p^nn.

ö

*het $ ingekocht ^ett^ bij den inkoop^ ^^ gl* ia ft onkosten geh^d ; na.

l^srloap 9üM ééne maande f er koopt hij van die partij ^6^0 e^, tegen
45 i^«f'4^A> ^ verioop v^n*9> m4faft4^ Hyindi bij he4,.restanê van
^df^ilfe z^ befchadigd, te zijn , 4fif \hij^ Jyttz^ve Jlechts tesen i<^-

fiuiy^ hi^ afhandig f^kenf men vraagi: ififvesi hij^^titn 1.06^ i» he^
^U^Mff.ke^<it^nenQf,9erlorfinhebb^f .: ;,' .»

^ ;, 11 yti4U^QhTpt^f Uman4 y^r koopt ee^ parfij kaneef yoor 1S32 'gl,

op 4 fnaa^ên^ en heyindt .alzoo, 20 ten 10:? tti het Jaar gewonnen te

jUkvfmif^^yraagishóeYèeldeniakofypIfedraagil^ \r

AfiL V.RAAPSTiMt. Jemand k9opt eene partij Ktisjifche èfecten^tegen

*33l pCt.^édnetnfandn^d^rJtand^yAr koopt hij des;t^life,4ege^ 42 fi^K^j

hoejètl^^ti hij d/[inf4en 100, in het jat^r^ gewonnen")^

..•; .. .1:; , . ^ ->,i { ,.. . ' ,.

; , yi\^i\U, L ? 5f - . Or^n. /^/, inrekenen , ^Jf^ ö^f mj^delkate
; A .'V;*' *^\*^^ari^ <Ur:y€rmfn^46Koopw^arin4 ^

.">i'7^'Jfc ^^^'^/Vf ^%^'*X Tt^f 9 ^at wen verfche\4^ti(i hoevf^elliede^i
M^f^Ofiif^ k^n\verJc,hjbn^(Je . pr^^ en haèd^-tfii^he^ onder
emander mengt ^ en^de i^iadelbim 'ptiji vati dezelve begeert té
kennen, (O * De retcnwijze, w«ardoof die middelbare prijjs
.^)eppald wordt ^ "o^^i^ïfn ^? C ij terra ecsaers Mengijig {Regitïa
alk^fip^i\'{?f^ /Mih^ berekening, is zeer . iigc V e<?n duide-
iiykHbfi©t^P-i2er3«ike;.wUst. hier wederom van aelveihap-wen
4e- b(BreJwwHig,moet iinrilgcelu-' t j . . ; /

't 77^*Vj; ^UAAG^TtjsJ^ (entdfjd heeft dr ieder lei fport vati kof*
Mt^M\^f^»ê ZH .H^y^ ÏQ fiuiy» *> ffi; 587 ÊBf^^^* n
jf. (Wi 813 It, /<^^« I3i. fl*. het ^.: ijfea^ </r/V foorten wengt
hij ander elkóndex*^ OKen vraa^. ]^e middelbare ièiaarde van Jtet
pnut 'gemengde hffij te bepalen f

O^LtoéilMO. IMen berekene dè
geldwaarde vari ledete i'tiTort koflij ,

Welk geval kan fomtQds voorkomen?
^ Hoe ooemc men den^tgèl , wabrdoor Uien 'd« sjildA^ire ^tjtftV i
m de \rcnncii|do koopwaom bepaalt y

c i] «'t ft K vfr-siR» wiwaa(»^s.%ïjmi*^9^up

nii4lc;Ibare wiw^Vjni elLpomi^i i|uiv« ^{j P«pn-; zoocfat tijLelk
pohd , t^gen dIep:,prgs^yèSrtóoï^endc , iiö'<*l! WRt , ifecfi Veiif€St,%>

775. I Aanmerking» Uic dit voorb«ëld •btj^lll^'4al^ li«e
<rceierlef foorten vair wawo MSi» deözelftkn tari^Vtcfen <9ii4tr-
Icbeideue prezen, BM^gtcti gegeven xU» 9 de jnidcieiNMie wiv^rdte
.vsn .derz^nec ven»eQgtsg sltijd, op dazelMe .wi^ev*fll b^IWb!
worden. (4) Af^ yermênigvukiigf wnn^k 4e wasriê inm^^
jêémkeid van ZêWigt if m40f van elke foort^ met k^jgfifal W Me
ntaten of eenheden ^ welke de hoeveelheid ^van elke joort y oor feit ^
en men deelt dé fom der producten d^Hur-dêfom der hoeveüheden
:V4tn al de atgevme Jkêrlen» (5) • . i . j . . j^ : ..

77d* 11 Vraagstuk. Laat^ tm -êt SSIgemèeiier v00 H fd»
*»> gegeven zijn van dezelfde foort van waar^ A^ />, €,'D,
B^ enz. ponden^'tof 4, b, fc» d^ e^tvtu'^fiiiivers het pmd^ en
gevraagd worden: de middelbare prijs y dn deze onder eH^emder
rermengde waren te vindeni >

OPtossi^GfV Een getaF vèVA ponden , icg«fn ïftifVers'heipolïÖ ^hf
4raigt Aa (hi!vers« De tweede efrvoI^uda<H^c«kéiMioirtge^ï«i*4e*
xelfde reden ^^^Ce^Dd^t^ ^^^mz. üvlmtu ^t,ge}ftidt ms& vw» .4ie
quaHteUen hedraagi -derbalve » in fsIdswierde^Af -t-fiir<M}^ ([^-|^^ JL
t,4 + enz. (^uivefs , en de font van dezelve A7|-B4-C + D + E +
nnk pom<èri. Stelt men mi ^e' waarde van élk pond afi: m ftéWera ;
danmocttA+a4-C-^.I>+!E4-*««JX*=S:A^ + B^'f'€c*f^i«
<^Etf-f ^^* ^tnv» 3^n, «h (^rhjïlves »* -i! ,

Atf + ^ ^- C^r + Q</ 4- jgf -ïh /itg^
A ^- 6 4--C "^D -p& ^]WMf7^^ — .«.»
veilig formule, in \mt kort, den 1)0venftaanden tegel nfrdmlct. f5)

7^7. 11 Aanm^rkikc^ Mts^, bebal«e dit jalgjrmeienfe ger^Ü
knaoen er oog velq «ndere bedaciic worden» viwirvan ibmmige»
door de eenvoudige regels der CyferktiDst» andéren, m^t be<
Jiulp d^ StjClkunst, móeten opgelösp word^

778. 3 Vraagstuk. Bij eene hoeveelheid wéjns van 156
mingelen ^ 12 jiuiver$ het minf^ waard zijnde i ^órdt 10 »/»•
gehi waters gedaan f men vraagt s hoevpH fiuivei^s het néngfi '$ac
men^ -wijn waard zal zijn f

Of LosfitMo. Aanjiet vrater 'g«énen tM^s cèiftA^tenlKykOMietr «bée 156

(S) Va-klaar het eerde vraagftuk t

(4; W*t gevolg trakt g<| uic de opfoaflog V4n hfiteerilet vratg;^?.

fa> Welk een rcgej vo^t meii tot dat emde? . ,

[8; Verklaar be( tweede vraagauk» ' DigLdbyGoogle ' ^

ittiiqiita ,Hié tot ' #0 16# yf im^cnitrA^ i|9 f i»er«ifii at«f«°t«rt» r4sr«^ .
X i^ aolvers wawd té tjïi; ^Ik mingel «aldus ~^^^=^ii%\P»ir^
iwaardr vcdtr«g^ hebbca ; t . : "^ '

* 179^ 4 ViüiAasTOR; 'Iemand fueft ao /^i»^ hiersy ter
^aé^de'9on^$ guJikn 4^ Jon; hocf^el tufmen.èiers y^n 7 gal*
ëèW.mal kij daar' onder meetein fnengtn ^ om de tm van Jut
imn^l tot vp 6 guiden waarde tt brengen ?

.Cl^Qaafllo.tStel het gevraagde getal tonfien van 7 gulden nr #; dan is

* . ! 0,0 roti X 5 gulden r= 100 gL

9^nX f guUen :sz ft gU
mca beeft dan in alles fto 4- x fon » en «die i^n 'i^aavd voo^gl, -^ f^
.gl^;'V^^* eU^e ioa aott'6 gulden waard znQ> uico heefi 4aa de vef*

.gcukMn; ^- , . • :;. ■ . ; . :. '/ * \,

•^ , " ' ƒ ><Xap + /) = 190 + 7 * ' ;

• \ of I2p,+ tf* — 100'+ 7 *

hisrult volgt , zit art 476 ^ » = 20 lo»^ ^7) !

- 'Z^o* 5 ViUAOfiTDR. ffocveel tomien waters moeten bij eehe
^m^itging van 20 tonnen kien van 4 gL , 3q tmnek tien van 5

iL^e0^%$ tonnen 'biert vam^6 gulden, ge V4)egd warden ^otn. het > ver*
'lêugdè «rt^/ r^/ dê^ waarde van ^ gL de ton te brengen ^

90 /<?« X= 4 g^* = .80 gU

Sf> ton X S\gU'^^ iSP gt.[

25 torn X 6 gl.Z:Z 15Ö gi^

x'lonX o gl. '=r: o gt.

r-Óti^s|NO. Bewijl bèt.bOgeypegde

.«meri^l^Mi|fj;endpi)der(leld worde gee

, nc «larde te bebben , zoo bérekenc men

de waarde van de boeyeelbeid vao elke

foort van bier; bet getal der Iiq te

voegen tonnen -wttecss dan =c »■ (tel>-
. lende , be^r incn, In bet geheel,ao+$o

+ *5 + *:=^ 75 + xton, waarvan
*de geidWaèrde 80+150 '+ 150 = 'gSo
^t\ bedrugt: nu inpetHke. ton van

dit meagd'l waard^zyn^^^i ; derhalve

(75 + >J X 4^= ^80 ^/..-pF.aeze .., ^ , ■ ^. ■. ■ p-

vergelttkiag nict % Vermcnievdldigd hebbeude, ^^75 + .t) X pitZTóoJ

biaruit vindt men # ;^ ^i ton. «,8) -; |-

f8T«i '6 Vraagstuk Een koopman heeft driederüci Joórt van

■ltt^\ ny\»euny%%<:^' Bv 4*5 f^^w» 5«o^ «^, /0/-IÏ ,13 en

15 fiuiver$ Jwt pond: tegen hoeveel zal hif , deze foorten üitaer,

tikamier. gemengd :hMrmde% hiSf pmd pio^tnuit^erko^pen^ pm

10 ten 100 te winnen F

75 + « S09 Mos ten ^SogU

' derhalve
C75 + *> X ^1 =.j% •

075 + 9 * =: 7*50 ^
9 jt rr: 7C0 — 6'ii n^ ^85
V -^^ 9l^^o»*

C7I Vèrk4aif' de opfo<fiii|| *^!!n hét vx^ófc Vf *a(»(luU ?
(^8) Vficklfar de 0i)l02fing van brt vjfdc- vraag (lukt

litizedby Google

CIJFM^R KüW^T.ViniïOOPDIXXLVm/tJls ijt

. " Offt.rt'ï^KC. Mien Hcü^^öt cerir,c;e*;

3^^ r-ti A' töt 4rtP jJ^».

uUkoopprijs ip?55i /^» "
komt 14 /t. SAft*^»;

Itjü'p- van eJkc dw drie föhnen,; Jit bc»

draigt..«r;^5^«/v. » zijnde de litkoop-

prijs der d**iè partyen ; omdat tiii,io teit

100 te winoo, zooveel is, eiseen

tie«ide v«n <l<n jnkoopprös tp wiouen >

telt we») Vi^ den inkoopprijs e^ tien*

i!e kom i voor den óiikooppr53ïa255|

Jtuiv,tdc2t uiikoopprOs deelt men door

l^sis ,'2||ndede (oin vahde Hoeveelhe-'

^en iJer Urie partyen; ent mttn y'mét s4 fih J^%*j P^;in9*é ^**|1!¥fl'

liet pmA <tef verm^Hg<|e koffij m*o«t gorden uitvorkocl^. Cö) .; ,- ;

78ti. 7 Vraagstoic. £«« iuerkhaat fuefr dri^derkifqQriin
van knechts^ wtlkervhriknKhmtgt elkander, ftaan^ afs dê ffi^
ialiem 7, % m 9; van de eerfie foort »s » van de t^^de 30 ^i»
%*an de derde 36 .- m heeft hij een werk, aangenoimp , h^mik ?mj^
ia den tijd van 6 maofiden^ met ïoo werklieden ♦ weéker krachten
in vergelijking tot dis^ der'hovengenoemdeny door het getal ló
worden voorgeftcldy éé gereedheid kan brengen; men \^:dagt: in
- hoeveel tijds hij \ dU aangenomen . werk^ met al zijn tolk gézdf
menlijk^ tal kmmtn uitvoeren? ' * / ,

OW.ossiwc. ^Moq vindt , dat (!e midiclbare krachten der 45 + 3P 4- 36
knechts door het gtt^l Sjf ^^«^rdeH vopr^efteW. Nu is dè boe\'oeTtieTd
van 'het werk in de znmen§e (lelde reden van het a^nt^l der werklkd^
en de krtxrbtcn v^n eiken 4<^rzdven; de hoeveelbedf-n wc.k», liner d^
t<y> werklirdcn, die elk een vermoj^en van 10 hebbenden doc»f de ^\
werkl»eit?n. die eene tniddeibare kracht vair ^j| bci>ben, «i|n derhalve
als too X »c : 91 X.&$| , of sis looo tot 739* De boeye Ibefd werks,
5oar bet Reial iqoo uitgedniktv wordt nu in 6 'msaoden volbragt ;^mcn
aelie oei halve, 100 : 739 omgek^ = 6 t *, of 739 ; VX^^ZSl^Xx^
}i^m< 9 =;5 e^V maanden. (i,o>/ . i

\ XLIX* LE Sj Over het Gehalte rtf« het Goud «b ZUver.

. 783. Ife Gcwid en Zilver 2ijn metalen van veel waarde,
.wtaruic de Muml^^eoien ea verfchdiden. andere. kostbare Wi^
k^ rervasrjigd word^ri doch meestal worde, tet bëyofde*
ring t4ri liet getóakjn de • bewerking ^n lot andere 'eitWe^,
het goud meci^JTier of \o^^x% en het ijlvcr met kpper rcc-
mengd. (1) Nu is het, wegent de . booge waarde ,vmi hec

Co) iTérklaar de oplosüng van het aasde vraagftuk ?
.4io) Vetl^lftr de opl sfing vtö, het zevende vraagftuk? , .
(1) Waf nirkt gï aaDgawde het Goud $n Zilver op? ^ogle

$^% A LXEREÏft STE öRDirurtr ïï€u

goj»* * zttver, iiewvdk men, in deszetf^ vdkötnetie «ofvtef-
heïd gébómen., als de ware maat van de waarde v&n alïe an-i
derè dingen Itart aanmerken , van bet nicerfte belang, te weten,
ia irelkc^ -evenredigheid bet goad of zilver, in eenig ftuk, tot
de. hoevTcelhwd van bet daarmede vermengde metaal vereenigd
zU» (i»l Pö wetten hebben, ter voorkoming van bedrog, om*
trèöt'.aé l^venrèatgbdd van die ^menging, bepaTingen gei
laaakt, en- de ^qhsiktmdigd hebben middelen daargefleld, oni
d»^. ^eoctttigbeld . van die versEkenging te onderzoeken; me^
Wélke WIJ <^ hier niet komiek ophouden; (3) maar, daar er 4
bü het teritlengert, van gotid €ti zilver, veel befekenirtg v^i
éWcht wöt^, zullen WJÖ de dlngw> widfce tot ^erzelver voU
ftoo^èiryefftöftd noodig a^Jn^ v«rktareow C4)

'Goud of zrtvèr, dat van alle vreemde metalen ge*
^».,_^ _,* tfoémt mén fifh góud Of ztli^et; zooveel , iils of
tóën^zëld^: snuiver goud en zilver; ^3) * <ïöch het.fi|ne gond
of .zflvert met eenig vreemd metaal vermengd zijnde, noemt
niab zulk eenen klotöp bruto ^onzuiver^* goud of zilver. (6^
Bg hét bruto goud öf zflver komt fn aanmerking: 1®. het '
GeiaUê^ * waardoor men verftaat, het zuivere goud cf zilver
in den hnttó klomp voorhanden; (7) i**. de Alliage óf in*
gemengde vreemde ftof^ * ^waardoor mefi verftaat, het zilver qjT
keper ^ 4éU met het Tmivere gofid in den bruto kkmp vermengd
f^i (8) 3*. eindelijk de evenredigheid, wawin het gehalte
tot de allfage (laat. (9) t ^^^ grootér nu deze verkoudir^ is\
)fooyeêi te pader komt ha bruto .goud <f ziher 'tot den fiaat

785. Het komt er dus voomamel^k^ èp* aan ; dat m^^rté^M%*
lijk bepip hebbe van de wijze , hoe. men deze evenredlcheid
pleeg m te drukken ; en daaromtrent bèdaab t«r6e ondeifclei»
deiie manieren; de Oude en de Nieuwe. (11) ^

' "i fi ■" ■" ■ ■'"'«■' — '■"'■"■* ' - ■" "^'^ ■''■'>' •■ ...
fa>1fV^t w»diM^ wegens de groote wairib via het Goud .en Xihrer»
aoodmke^?

ft>Be(laaii er voorzorgen « om g^Uegd bedrog te ontdekken?!

jS Wat komt hier büzonderigk in aantóerMngt

O W^ verftaat men doof fijn Gott4 en fijn 2flVar9

h Wit ï» 'Bruiö Oood aïiXWerr , ...

7) Wit komt , btf bet Bruto Good of Zilver » in aamnefUnf «, m wat

- , it hftMKrfMl»^^ , i- -. ... V

rS; Wit 11 de Allitpie»

Co ) Wat komt, bti de befphoawfos van gehalte en alllaaie. In «amBCtlHi^ f
(10) Wat vtlt , b8 deze eVenrcfdigheU, op téi niftrltehf /

Cu) Hoe velerlei wHzerf,Jbe(laïm t^^ om de eVcörètilghcld tatt*betfë«
taakc tot de aflllagfe tcbepahttt^ - - - ^ ":* ^ ^ *^ .

CIJFETlKtjr*ST.Vni HOOFDD. XLTX. Lfis. 133

286. i'^l ♦ Volj^ens het aloitc?è gebruik, wordt het goud
en zilver, h]^ Mmken Holl^asch 'Trooisch^ gewogen; (12)
wordende het mark in 8 oneen, de once in ao engels, en de
énkels in 32 azen verdeeld; zoodat het mark houdt 5120
azen. (13^ Doch, om het gehalte te bepalen, heeft men
fvee ingebeelde maten; ééne voor het goud, en ééne voor^
het zilver- (14^ -*Tot hét bepalep van het gehalte van het
goud, hééft men de karaat, zijnde eene ingebeelde éénheid ^ die
men zoo g^^f if- klein denken kan^ ah men wil; en waarvoor
Mén du» éok net vier ên* twintig fle deel van één mark nemen kan^
die men verdeelt in I2 penningéö. ♦ Nu zegt uien: dat zuiver
goud ho«dt 24 iöinatfor24 X-ïa; dat i», 288 penningen; en
dan wildfe fyt^ckwijzé goud van ^i karaat eri 11 penn.;dat H,
goud van 2.63 penningen fijn^ zeggen: dat ^ op 24 X i2 ^ 0/ :iSS
deelen van den bruto klomp ^ a^3 deelen fijn goud^of gehalte en
25 deelen alliage voorhanden zijn; (15) zoodat , in dien
klomp, het gewigt van denzelven tot het gewigt van het fijne
of zuivere goud zal (iaaii, als 288 : 063 5 en de gehalte tot >de
alliage, a's 263 : 25. C^O * '^^^ ^^' bepalen van de evenre-
digheid van het gehalte . van het stilver bezigt mên insgelyks
eene ingebeelde maat', die men penningen en greinen noemt.
* Zilver van 12 penningen fijn,, of van 288 grein, wordt zuiver
onvermengd genoemd; * indien ik derhalve zeg: zilver van 11
penningen en 7 grein, of van 11 X 24 + 7 ~ 273 grein,
verftn ik daardoor zilver, In hetwelke het gehalte tot de
djiég^ ftj(*t,-i|ls 273 tot 15. (^7) - .

787. 20. In het wijsgeerige fieljTel van maten en gewigtén, is
de bepaling van het 'g$baUe Véél tm^^ud^. ♦ In plaats van
met het Mark Trooiseh te wegen, weegt méh met de Hecto-
gramme , Decagramme , Gramme , Decigrarome , Centigram-
me en MiUigramme (18); en het gehalte bepank men, voor
het Goud èn Zilver, op eeaerlei wflze. f 19) ♦ Men verdeelt

i\Q.X Hoe wordt het Goud en Zilver gewogen?
C13) Hpe'woriït het Mark Holltndsch Troolsch verdeeld t
([14' Hoe bepaalt men mi het gehalief

(15) Hoe bepftftU mei»-bec gehthe voi-faet 6oud/

(16) Verklaar dit nog wat nader ? ^
C17) Hoe bepult men het gehalte va» btt Zilver t

O 8) Hoe weegt men, in bet wDsgeerig Setelfel van Maten en GeW^flleii.

het Ooud en Zilver f
iig) Bepaalt men bet gehalte van het ZMsti ook op eene andeio

wQze dan voor bet Coudt

Ut D££Lt M Digitizedby Google

334 A L L E R E RH S T & o mo » i>b h ü e t

eene z^eris boeveelheid goud» of zUveis, greot of kleiii*
in looo gelijke deelen, en men l>epaalc, hoeveel va» die dui*
zend deelen gehalte , en bijgevolg hoeveel ajliage,. in dê^clv^e be-
grepen zijn. (30) *. Indien ik. dus zeg: goud of zilver?, f«
gehalte van 913; dan zeg ik bier mede; dat hee bedoftlde
goud of zilver, in duizend deelen verdeeld zynde» oqder die
1000 deelen, prs deelen fijn goud of zilver en 8f deeteö
alliage of vreemde (lof voorhanden zijn. (ai) Deze wjjjze vao
het gehalte te bepalen heefc, behalve dat z^^ia de berekening^
veel eenvoudiger i$., ook het voordeel, dat gehalte en alliage
raauwkeuriger kunneu worden uitgedrukt, (a/2)

7B8* Muitmeesters, Esfy^^ms en GoiidfiBits kaïmen mee
hec uitrekeoen v^n de. volgende vrdag(hikken te doen hebben.

789* A. Htf herleiden van het oude tot het nieuwe gehaU
te 9 en van het niiitwe tot het oitde gehalte. C23)

7po. I VooRBEELDf Een klomp ^gmds , heeft het gehalte van
fli karate ft 7§ grein; men vraagt: dit gehalte^ in het nieuwe .
pelfel van , maten en geuigten ^ uit te drukken? . . . *'

OPcLossiNp. Daar liet z^vere j|^ud,«4 karaat of 14 x ia :=r aSï
grein lioudt» en 22 karaat 7I ^r, ;rr aa, X ia. + 7I :=:: 271! grein ,
zoo ftaat de gebetfle klomp (groojt of 'klein, dat doet er niet toe,) toe
Irec ^kftlte., Jat 1*«tot(de boevetlhtM zuiver goud, in denzelven be*
grenen , al^, ^Q : «f lé*. Oi» mi hét gehake , op xle nieuwe w9se , uic
te.drukkeiL, berekau «ineji eftnvoi|dig;,J)oaveel ^Mte op.iofo deelen
vjin den klompi begrcpttn z§n,;Cwen^., onjdai ile iMliag^ iu d<;n k^lOHip
altöd- gèliH'^efük verdeeld is, zal het gebatte*, door al de deelen van
den klomp, evenredigiyk verdeeld i|^»} men ftetle daa ' de evecre»

of 57Ö : 543 I ^, ^oq : ;<»•

da^ !s, waooeer men bj gehe^ gettUe» bljven wil, 943 gehalte Iets
ta>veeU^ (*jj- ^ - -

791. 2 VooRBEELp. E^ k/op^^ zilvers heffi het ^ha\u

I w !■ N 'j ■ "ifl jifji uw» Jj'!.i'J- J" ' t "" Jiw-'''^"" ■■ \ •

i

(fto) Hoe bepaalt men liet gehalte t

(tf > Ocef bCër van een voorbeeld ?

(fti) Heeft deze w|}ze van. het gehalte te bepalen eepig VQordi^l^

Otó W«lkc if de'ccfde befetoemng, waarmede men't9,4pep.be$fcl

(«4) Verklaar de oploafio^ van het^eerfte vocn-beeldt

' • Digfeed-byGOOgle ' '

C IfF B K K trif S T. yklï H Ó ÓFD D. XLIX. I^e s. 1^5

ya» io jpeHh. *rp giretni' hoé 'wèrdi dit^haüe^ öp de nieuwe
wijze^ uitgedtukt?.

OPLOffsiNG. Men fteile, dm dtzeffde reden , als in het eerde
voorbeeld» ^

ia penn. e io penn*. i^ guin r=r xooot x
^88 grein : «59 grein zzz 1000 ^« ƒ.

eo men vindt s zsi 691^»$ •£ 899 oagenoef. (25)

MBBR VOO1IBKSL0SM, ^ '

i«. iïtf/ gehalte '^afigt/udtot t^kufrïiai *f\ pekn. '^ tot 21 karaat
3} p^»0. »- /o/ 2fl karaat io| p^xA. /» ^^^ nieuwe gehalte ^ uit te
drukkend

a**. /f<?/ gehalte van zilver^ tot. 10 fenn^as ypr.,— /•/ n ^fru. sj
^rein^^ ttJt^penh» iBJ grein \ in liet nftuwe gehalte, uit te drukhenf

2^2, 3 Voorbeeld. /«ó&ï<?/; men^^oudy ter gehalte van p^3,
/rr è^/ ,• hoeveel is dan dft gehalte , in paraten en greinen , uit *
gedrukt'? ,

Oplossing. Dezelfde gronden dleoj^ (^ln hier,, om dit te bero^e»
, müi ihen iïéTk i

ioco : 913 "tr: 24 karaat : a: W*
komt * =tr 21 iter. iö^s^j^ö pénn.X^^^
7^# 4 Vo<)liBÉfeLï>. Het ^gèhaïte\qn 'zilver ^ dai ^Zfi}^
koudt^ in het ^de gehalte ^ uit 'te drukken^
i)lM.-oMiiiG« Meki ftellie >j^edeïom de 'èvence^igheid :
1000 s 873 zr: 12 jp^w/i, s .t penn*
komt 4f =: 10 p<ii«. i^ïffl 'gfeiit. (07) '

794. B Het bfpd^^^^'Mt ie ^tèeieWihd Qn gonds en zih
ycts, én eenen kbmp vrin een^gggeven gewigt vocrhanden zijnde ,
wanneer het gehalte gegeven iH^CjiZ)

795» 5 ^00^^9,ziVi>» Hoevelfr^fij^' £öU^ 'is 'er voorhanden
in eene fiaaf^ wcgenie p tnhf^j oficen. 17 engels 19 azen^
indtenli^ gehate ^lt^[ het eifa^yffevonden is 2 ft karaat jl fgrein

te houdèhr • . • ' ^

OplossikQ' Volgen» de bier 'Ii^v<m ve^(lM'4e iK^oflilen^ moet
men Itettén oe e^eurediglièid : ^ -

Cné) Verklaar de oplosfing van het tweede voorbeeld f
(90) Verkt^r de oplosOng vao hci derde voorbeeld^
(275 Verklaar de'opKftiïng van Wt ^(Jrdfe 'voöfbèïlü^
(ftS) Wat komt vbrd^ In i^nm^ing?

. ./^ M 2 Dlgitiz^dbyGOQgle

,13^ ALLEREERSTE o^o^npur^rk

24 kar. : 22 kar, 7i gr. = 9 ilT. 7 One. if ^ng* 19 ^z. i x

I ' ' " I I 27 1| yerni.
aSa gr. } 271I gr. ■" ■ ^

- l . . 4 — 7 15* asi

• 2710 — 7 *— ' *6 iif

deel moor sSS)

komt .9 ü^.3 Qnc. ,^ £»^. tf/^^ ^xré?/».
Men make de termen van de eerfte reden. beide tot greinen, vcrme-
nigvuldige den derden term met 27x1, en-deele het product dóór ^ den
eerften term 288. (29)

796, 6 Voorbeeld, Hoeveel fijn zilvers is er voorkanten
in eenen klomp ^ wegende 3 >^^''^ 7 oneen ip engels ^ ten ge-'
halte van io penn. ïS^ grélnP^ , '

Oplossing • Men ftelie wedeï'cJm : ', * >
12 penn, f 10 penn. i8| gr. = 3 Mark 7 onc» 19 tf»^, : 4? Mark^
komt * =. 3 »'<»''* 4 <^»^^« 13JI engehch (30>

797. Aanmerking. In de nieuwe wijze van bet gehalte ca
bepalen, is deze berekenMg veel gemakkelijker 5 zoo als uit
de twee volgende vpofbeelden i>lijken kan. (^31^ ,;

798 # 7 Voorbeeld, Hoeveel fijn gouds 1$ er ^iorhanden in
eene ftaaf^ die weegt 5 hectogrammes 5 decagrammes 3 gram^
mes 7 decigrammes 8 cent i grammes 7. tnilligrammesi hekbende
deze ftaaf 91% gehalte f

OPLOSSING, Mèn ftelle wederoth :

xooo : 913 =: 8,53787 \ * •

913 verm^ ' ,

• ' 'i , ■ ' *i I * —

. , ^ " . '-.7795>ö573i" ^ '

deel docff ,1000) '*-— — rr-— • ?- . ' >

/komt * =t= 7,79507531 . ^. " , '; ^
Men venhénïgvuldige het gegevene gewjgt mét het ^elialte^ ^n. deeïö
het product door 1000, komt 7' hcctógr. 7^ aevagr. Qigramm. ^
decigr* 7Ï milligr. C82) ' -

799^ 8 Voorbeeld. Hoeveel fijn zilvers is er in eeiien
klomp^ die 5^21796 hectogrammes weegt en 883 gehalte heeft^
voorhanden^

(29) Verklaar de.optosflng van het ylffde /oprheeld? , ,. • '

(30) Verklaar de öplósflng van het ^esde voorbeeld?. « ■

(31) ïs deze berekening, op de ufeuwe w^Jzé',' niet 'ffemakkeifikcr?
C3^) Verklaar «ie oplosfing va» bst 2eveude voorbccid i

CIJ^ÉilltÜl^ST: VlltlloÓFl)ï).iiÜX* LÉS* J37

0PLüSSiN<5. ^^ rteile wederoBfct

icoö : 883 =2 5,8179^ i X
komt * :tr: 5;i3;^2^^8 llectógr,

MBifR VOOkfeEiLbEN tÓT 0E3?feNlNG.

1% Hoeveel zuiver gouds^fs er foorhjtndan , in eenen kJomp* w^-
§eiidff {t Mark 13 én^eli ^ tegen hU gehalte y'an ig kai-'aat \f ^rein'i

ft**. Hoeveel in eenen klomp gouds , wegende 13» 1^6 Nectogrammës ^
t€gen ^iZ geh(ilte'i .... .

3". Hoeveel in e'etien -klomp ziWêrs^ wegehde 13 mark ó.ojïcfn 1$
êugels ^ tegen 11 penn^ 3I grein ^éhkltlèt

4*>, Hêeveel in een* khmp zilrvrs^^wegéndtM^^Hysó Hts^^ogrammes ,
teg4n 917^^ gehalle'^ <

8oo# C. Nog' heeft men nóoêé ,. i?/^' i/f ö//^^ in c/e meu\ve'^
en de nieuwe fn de oude gewi^ten over te brengen » Hier-
toe moet Bï€D de «vearedi^tü msfchen l^et HollaHcirche
Trooisch-gewigt • en het raccrielte ge^gt^teenïtóft. Oeze even-
rcdigheid vindt \mei>» l^Dee/^ttt^ 458^ o^ge'gev^ft. Het ipark
Hollan^ch Trooisck weegt! nameiyk h^.oS^^ grammes,
eu »ééi)e beotogrammc wfeefetrè^i'OiSPiaS- mark Hol^iandsch-
Trooisch; waar deze, evenredigheid, kan nü eiken Ulafnp of
ftaaf gottds va» het HoHandsch-'Tfooiéch tot het ineirieke ge*
wïgt, en omgekeerd, vao het > metrieke. gewlgt tot hét Hol-
landsch-Trooisch , worden/ oveï^ebragr, (34) . .

^801. a. Om hectogrammes tot marken trooheh te heriddmy
moet men met 0,10159135 'yer>riênig\^üldigeyi. (35)

Ö02. I Voorbeeld/ Eémiktéf'^tiwis weegt 3 *, 8 1 9 hecto^ram-
f»es ; hoeveel bedraagt tutks , in • f^afken-Trooisch gewigt ?

OPLOSSING. Men vermeidgvuldi jte n^t ge-
gcvene getal hectograninies^met bet geul
0,10159, (de volgende cijfers 135 ktn men
bier veilig weglaten ,) dan yerKr\}gt men. 3
mark « en In tiendeeligcn o,334öÖ2>ii 'waaf •
van men Hlè drie achterfte cjftïfs 121 kan
verwaarloozen ^) men ve^^telti^vu^diJ^e ver
der 0,33408 tti ark met 8;onide:ietiendee*
rge marken tpt oneen cc herleiden ; men
verkrÖ2ta1Z4>o*a,67264 oneen. Verder ver
tïteoigvnldlgè men 1 zXq verder art. ^02) met
ao ten daama met iö , en men vindt 3 Mark
a oneen i3 engelr^\/^\ azen* (36^

30,819 Hecto;rr,
nitth. 0,10159

komt 3>334o2^^^ mtirk
8

2,67264 onc.

32 '

Ti.j8c6 azen-

C33 VerHInar de oplófflng ¥lin hec acbtfte voorbeeld?
O4) verklaar deê^loiüi^ van bat eerite veorbeeldf i.^^t^
(85) Hoe maakt fteH Hoott^^vMames cot Madttd-troeiscayd^^
(^0^ Ueider die door een voorbeeld op ?

M 3

138 ALLER E EJRST.? O R.P.KDAN pt^' .

Meer voorbeelden. Tot Hollandsch - trooisch tfi herleiden a^
s»789i hectogrammes ^ O ^M^5 heci^gtaiiims ^ c, T^'i^S^^^^^gr^

803. b, PFH men , omgekeerd, het marlt, gewigt tot heciogram^
mes overbrengen ; dan moet éen , naar het . voorfehrift van
art, 401, de onder deelen van het mark gewigt in^tiendceligen
herleiden, en dan ' het mark^ gewigt , 'aldus uitgfi^rukt , met
2,4608386 vermenigvuldigen. (37)

8o4# a VooRBEEij). Om 7 mark 5 oneen 17 engels 2C}1
azen tot hectogrammes te herjelden? .! '

OPLOSSING* Men herleide 5 oneen 1? engds 'agf,5 azen tót tïeode-
deelen van marken; dan vindt men 7,737012 Mé-k» Dt getal vcrme*
nigvuldigc roen met 0,4(508386 , of Ijeygeen hier ; voldoende zal z^J" »
7,737 met 2,46084; dan vindt"'tnen, voor het begeerde geiaJ hecto*
jgrammes, 19,03952 nagenoeg. CsÖ^,^ * ^ ^ ,, .

Meer voorbeelden. Om m néttogram-Mès fèlier^éfét^na^^hlarfts
oneen ^ b^ 17 Mark 17 engels 7 azen; cj 3 oneen 15 englfls ii^azeh f

805. D. Men heeft ook noodig r ^ ^^ waarde van dé' baren
gouds en zilvers te berekenen. De ltt)er8 vaft het gOHd en
zilver verandert, Tiaar de omü^n^htd^m: de middelbare koers
van het fijne zilver is .23 gLïö /l.^^n die ^an het fijne
goud 355 gl. het mark^trmsch. (^9V De ^Volgende voor-
beeldeo zullen deze rekenwijze ophelderen^:

%?LMSiNO. Men bqjtle eerst Iw^Y*^ ^i^^^lvetsrin fleibaar:»öor.
handen is, (zie art. 803) en dan bcrek ene. men de waarde van du
cewiat, tegen dén gegevenen koers van 23 gi. 15 ft. ^o) ,

2 Voorbeeld. Eene haar gouds van «13 kaf'ai^é en é gretn veegt 7
mark 3 oneen 9 engels i% azen; hoeveel is de baarde van dtê baar ^
gerekend tegen 57 glJhet mark ftjnl

807 % Voorbeeld. Indien de Meu ran. het~ zUver is ?3 gL i;8
fiuiv. het mark fijns hoeveel is de vf aarde van ecne baar ^ wegende
ftt.ras hectogrammes^ tot het gehalte yan W? ,

OPLOSSING. Breng eer^t de baar tot tijH,.dcor het gewipt roet 993 re
vermenigvuldigen en het prodact door loc^ tedcclen: wgeïiemuieeue
heciogramme houdt 0,10159135 matk ,zoo vcrrae ^iRvurdig du ^cta] mw
21 «i; 18 (1:. of 23,9 gl. , kAnt, voor de waardu v^ 4e heccogtatBUjc. i^^
fil. naeenocg. Vermenigvuldig eindelgk het geii^ni<fpo^raipme&fijp>ncc
«,428 gl.; dan zult gö de waarde vaji die feaar' Vinden. uO

(37) Hoe herleidt men het Mark gewigt loi heciograniinesf . ,.

C38) neld^^r die door een voorbeeld op ? '

C39) Welke is de middelbare pr^s van het Gotid en i^Hver?

140; Verklaar de oplosfmg v^a bet eerftcvpiwiboeW?:) -• ('

C40 Verklafir.de oplosliitg vaa bei dordi voosb^^t !. . .

C IJ F E R K U r^:S.-T» Nlti HQQ:FX)D.;XUa üB*. Hf

4 Voorbeeld. Hoeveel is de Tvaarde vari gans, fietst gpuds.f w^* .
gende 3.1 .8 179 he c 10 gram mes ^houdende .'^'Jl fijn ^ tegen 3^8 gU h^t
mark Èollandsth tro&isck f ' , . .

-808. E Men heeft ook fomtijds noodig ^ om het' gehalte^ te
bepakn van twee of meer baren yan een^ gegeven gekafte ,
welke onder elliander gemengd worden; of ook v^/, om bet gO'
halte ^ door de bijvoeging van fijn goud of zilver , te verkoogep^of,,
door de bijvoegitigvati alliage ^ te verminderen (42) f ^^ berek€<-
niog van deze gevallen komt overeen niet hetgeen wij , in de
vo(>rgaande Les, wegens het bepalen van de middelbare ^i^aarde
der koopwaren , geleerd hebben (43) De volgende -Voor-
beelden zullen leeren: hoe men, in 4ie gevallen; moét tó weik
g«an.

8op, I Vraagstuk Een goudfmit, heeft twee baren zlher$^^
wegende de e erft e 3 mark 5 oneen ^ tegen het gehalte van 10 penn^
7 grein , en de tweede 5 mark 7 oneen , tegen 1 1 ^enn 3i grein^ :
hoeveel zat dan het gehalte zijn , wanneer hij deze baren mder
elkander fmeltf •

29 onc. X 947 = 7^H
47 ö»c. X 267^ z=L 12570^

7Ö 19735I

komt , . • 10 />«. \^\%\gr*

OPLpssiNO. De hoeveelheid Sjn zil-
ver wordt volgens art* 796 gevonden ,
vrtnneer men Helt , a88 grein ftaat tot
hcc gehalte, gel^k het gewigt van den
^eheelen klomp tot het gewigt yan het
lijn zli verwin den klomp begrepen : men
isoci derhalve voor de cerfle baar het
gewigt 3 m.rk 5 oneen of 29 onc. mei

10 penn. 7 gr. of 247; en voor de __^ ^_

tweede baar, het gewigt 5 mark en 7 oneen, of 47 oneen me* hew getóil»
te II pcnik si grein , of 2675 grein, vermenigvuldigen ; de fom deeer pro*
ducten, nameiök 19735I , gedeeld door a88 , geeft de hoeveeliieid lija alU
vers , in beide baren voorhanden ; dit product derhalve door d« fom
der gewigten deelcnde , zal men de evenredigheid tusfcheu de boeved-
Jieid fijn zilvers, in beide ftaveii bevat, tot het gewigt van beiden fta-
vee ; dat is , het gehalte der zamengefmoitene ftaven verkregen. (44^

'810. Aanmerkino. lil bet metrieke , gewigt zal oactjorlijk

deze berekening veel gemakkeiyker z^jn. (45) " :.

8ii# s Vraagstuk. Welke zal het gehalte zlfn ran drie

zamengefmolten baren gouds^ waarvan «** x weegt 7,83 hectO"

. . : —^-^^ -4?^ -

C4a) Wat heeft mei^, b9 bet goud eniilvef ^al metr in unmerktng te

uemenr ^
(43) Waarmede kotnt bet bereken^ van deze gjeyalien overeeo?
144) Verklaar de oplosnng van het cerlle vraagftuk ?
t45>'2$n die foort van berekeningen » in bet pleuwe Metf icfcf ApTfe^»

nfet geoakkeljl.k^? v- ^ ^* ,. : >

I%6 ALLE R EEU S T E óRawöEw htm '

gfammest n^. a weegt 13,78 heetogrotrimès ^ en «®. 3 ir^^^/ ii,37
Aettogrammes y wanneer het geWte van «^, 1,2 en z% rcfpectie*
veUjk door gk6 en 876 en 925 «'(jr^/ uitgedrukt P

OPLOSSING. Men vèrmcnigvuldij^e het
gewikt vao elke baar met het gehalte,
end^eele défomtiör producten door de fo:n
van de gewigten cjter ftaven, en m^n vindt
voor het middelbare gsfa&Uc 902>4. (46)

r»83 X 9i<^ = riya.iB-

«3.78 X li/ö zz: 12071,28
IUS7 X 925 = 10517.25

30,98 . • . . ' 29760,81^
I komjt Qra 4

81». Men zal nu ooir, x>p die gronden , Ügceiyk de volgen-
de vratjftukken kunnen aplosfcn.

% Vraagstuk, Iemand heeft eene haar zHvers , wegende 13 mark
7 oirr^if 15 engels y tot het gehalte van 11 p^/i». 7 grein \ hoeveel ka»
ptr zal er moeien bijgevoegd morden ^ om het gehalte op 10 penn,
ta grein te brengen ?

4 VaAAGSTüKt Hoeveel zuiver zilvers zal men bij eene baar ,
tHgende 31 mark 6 oncen^ hebbende een gehalte vani)p*nH, ui grein ,
moeten voegen^ om het meng/el op 11 pemnniyen te brcn;^enf

5 Vraagstuk, ^ene baar gouds ^ wegende :u»^ï3 hcciogrammes ^
hebbende 873 gehalte , moet op 900 gtiialte gebrngt worden ; hoeveel
fijn goud zal er tot dat einde moeten bijgevoegd ^{frdeni

6 VRAAOsruK. Eene baar go,uds , fee Qrooie van 27,01 hectogranim
mes ^ van 876 gehalte ^ moet tot goo gehalte gcbragt worden; hoeveel
gottd van 95c gehalte Zül men tot dat einde er moeten bijvoegen t

L. LES. Oplosfifjg vffi eenige algenieene Vraagflukken.

813. Wij 7ATllén, in deze Les, de oplosfing van eenige al-
gemeene vraagftukken voordragen , door welke de Leerling van
Ceverlede tot de verdere beoefening der Stelkncst zal worden
opgeleid.

814, L Vraagstuk. Iemand heeft de volgende kapitnleti^
/f, J5, C9 D^ E^ F, welke refpectievelijk tigen a^ b^ Cy //,
^, f\ ten honderd^ Ujaars^ wir^nen^ hoe groot ts dan de wmt^
Wtike diwe kapitale gezamenlijk , in één jaar , opbrengen ?

6f»L0Miif d. Men k»n 4c ititeresfen vatf elk dezer kapitAlea berökenen
on ét fóm dezer intcfesfen is dan b^t begecide. Dan ^men kanditecnij^-
sins korter verrigien. 0( de kapitalen eo de percenten *o jsnrs in algcmee«
ne letters of in bepaalde getallen gegevc" zqü , de evenredigbedea tusfcüen
4e kapitalen en dé* winden biyvca nogtans dezelfde. Wp hebben dan:
100 kap* % Akapi rss 0 winst : y^ Aa winst
ICO kap. : B kap. = b winst i y^ ^* winst
ioo kapé t C kkf. -ii c winst i tl» Oc winst

.i«^t<i.T.»iil»i>.. il, i,..,..MM, I .. I...I , wmMiM

^^) Vcrklur de oploifing yimi fccJt tweede vraaiCKkr^^S'^

" CI|P.EaKü^tST*VUf HaQFDa U L?«i 141

ik moet ntmeiyb , om de winst , fpec^liet kapitaal A aangebragt, te viadcn»
A met a véripènlgvuldigen en het product door 100 deeleii. Tel ik nü alle
de wiaften op i dan heb ik voor de geheele wlnsf, die ik «'soeia^zalt

Atf H- P^-f- Cg-f D^-f- B»-h F/

* 100 . -

peze vergelijking leert mj iw : dat de fom yan al de winfien gé*
lijk is aan de fom der produeteh yaH elk kapitaal met zjfn pCt^
vermenigvuldigd , gedeeld door ico*

1 Voorbeeld. Hoeveel interest hebhen ^ indinjaar^jdo gU tQt
3l pCt. , 550 gU tot 4^ pCt , 1200 tot 5j fCt. opgebragcl

760 kap. X 8f pet. = aöóo
550 ^^f X 4è pC^. =? 4475-
1200 kap. X 5J pC'* = 6300

•■ ■* ' ' i

fom II435 ;
. deel door 100) ■' ^ ,

komt 114 gU 7 #«/y.

2 VooRBEB LD. Dtf volgende kapitalen ; te vleten ,716 gU^ t8i^ W. ,
0300 £/., 1765 ff/., ipao ^^' hebhei tegen 4, 4I • 5>» 5i *» o pCN
•x/tftff/ wi«/tf/» opgebragti hoeveel bedraagt zulks ^^ tn het Jaar t

* 115. II. V^hhGSTViL. Iemand iteeft de volgende ka^aktt^
ji, B^ ,Ct i>, £, i*'^//^^ /^» loö, m het jaar^ mmen a^i
b^ c^ d en e\ tegen hoeveel ten honderd zal hij ^1^ ^^^ ^*^
tulen moeten uitzetten, om, in denzelfden tijd 9 hij mforheeldt
één jadr, hetzelfde Ie winnenl • - *

OPLosaI^^G. Volgen» het voorgaande Vwagftuk, U de' fpm der;
winden geljk aan * ,

.. ' 'i'.i-.-' -"^""""'^ . loq ! • ,. -^

Stel nu de interest, tegen welke Vtf de fóm van alle zjoe kaprm-'
le« moet uuzéti;en , t)m hetzelfde te» winnen = x ; dan 1$ i
, 100 kap. : A f B + C + T> + E AtfJ). == :»r: irf«J^
de vierde evenredige dezer evenredigheid is klaarbltjkeltik :
CA -f B -h C -V/d + EJ X ^

100

en dit is de wintt. welke de fbm deï kapitalen, |n édo j«af, «al a o-

S^encen - deze aan de fóm vaa de winftai der ationderiiKit ka«.

piiaicB gcl^k zön;W8 hebben dan: i * .' i 73.

(X + B -f c-f P + &)^ _ Atf 4- B^ -f Cs 4- D<^^ ^1 . .
of, beide leden deier vcrgdl^king met igo vörmenigvuldigd.ftebbeode»;

P0 A4^iI>EJl«%ll'8ITIE. AftQ^ibï* ïïfc .

«^ -clUi^oqr'A +d'^C + t> + B deelende,

_ JW + >^^ + Cc 4- IV + Eg

^~ A + B t|-C + D +E

ka^UtUm moft iütz^têin^ om^ j« ^^nxelfden tijd^ z^oveet te win-
nen , ' ^x « met al de te onderjcheidê^te kapitale»^ u^eu deze onder^
fcneidege percenten winnende ^ gelijk is ^an de fo'ht der producten
ylff^ etit lépitaal^^vi^^mémgimaigë Wit •*</« ^resat , gedeeld //«W- de
fom der hapkttUit:

I VooiBERLD. Ismimd imft «^ intereit .fia&n de volgende ka^

pitalen; 1730 FrancsmHt^f^Ai i 1^i6 Früne^^Hegen /^; 4682 Francs^

tegen 5 pet» *sjaariii $6gen èoev^èl pCf. zal metn de fom dezer ka^

pj talen moeten uitzHien-r^m ^ i^ denxelfden tijd^ hetzelfde te winnen!

I73[b -ffat^ k 41 pCt» = 7785

^i^ Vramtx 5 fO$, = 23410

t Voor tE EL o. 'T^^en 'Hiieveed pCt. moêf^ de *foïg'ehde kapitalen-
Ziop.^fdbgl^f ptm gh^ Aif^JgK^ l?3".^»> 4i4tfiaand^i tegen ^ ,
Si f^i^ H^\^ fCf0.i wofM wtgeteet f o/« eyen zeoreei yruchten
9p te)hr4tlé^r

'&ib<b' ^ ITRAüPSTüi.^ 'ttkere ikapUéUn^ die -ik A^ "B ^C^
D, Bi^ saJ noemen f hebben gedurende den tijd van p^ q% r^
s en t maanden f $egen 4, b^ e^ d en e pVf. ïfi %et jhar ^ ge^
vmmmr Mvm héb^Uan imt' Upiièkn^ «h 'die iffmt^ te
zatnen aan wintt opgeb^agt P

O^totsiNO. Men 4mi»- <ie 4»irltteii; vifi 'dtk tCapttaat afzonder) ^Ic
beretLevea en daarnii deze winden ^g' elkander optellen; miar, w»ii*
nfjcs m<»a;4)e vozende zam^n^fl;*id< «yenredigbeden ,

ICO ktip X ifl Jw» t A h^pb K.p'fffaanJ. '±fz a winst i
10^ iaa, X *a m i B k^^* X f maand» ±Z b winst :

Of^ftelCy deze xamen^elblde regels van drieSo uitwerkt , et> de fom
der winlUn 'se noemr;'dan zal men v1iTd<mt

hap 4- ^bq + Ccr--^ DJr + R^

g »-^» 2 ; ■- ii4.rf*é I

... 100 X 12 . ^

Gf'wlkMign den tefHt tui tnéemer detcr btettlc Chc^^n dè waarde van
X niet verandert,) door ia deeien;: dan heeft tneo :

ICO
ea ^MNee t^p^ A f « eot de igden vtrbeeldctt, met ia oiaandctJ , maat lu

Digitized by CjOOQIC

C IIFBUKUNSTl VfltMaOFOD. L,.i.B|f. 145

y^rtn utt?ednJkf* Men leert hier riu^tnri 4^^ de iatg^^-^ téti-ml^
ken de fom van aridfr fchHden^- kapiiAUn. mpetrn wo^dtn- Mit$(f^set'^
o/n ^ in één jaar^ Zifèyeel te winnen ^aU 'de te èapitalsM^im^onitrf^ei^
dfue tijden y te^èa ander fibeidem ituef.ee fem.^ cbtArMffea^ fif^k is^
aan de fom yan de producten dier kapitalen , elk rermeniffvetldiffil
met de percenten en de tijden^ gedeeld, door twaalf - ma^l - Itot^etd ^
w/inneer de tijden in maanden^ of doof iOO^MfttÉMe4r d^. tijéé»- in
jaren zijn itUgedruitt. , •

9 17, 4 Vraagstuk. Iemand- h^aan eê$tmp zifn^ enedhettnen
JchuUig te betalen, de 9&igendè forHmen ; namelijk A gf. nO'
verloop van a maanden; mg B gl. , € gl <, D gl:,,. E gl,^ na^
verloop van b^ c^ a en e maanden: mm vra0stji in.mdkem^tijd
hij deze f ommen, in eem *al ^rmen a/Üoffl^ zmder dat^ noch
hij , noch zijn crediteur , daardoor binadteid vf^de ?

OPLOSSING, Otn deze vraag öp te losl^n^ moét. men in aamnerkliMr
nemen: dat de t|jd , waarin de gchcele fom vanr al de verfcbuIdlêdeL
^Uen moet behaald wordeiij zoofJamj?- moet gewomeo wotden, dtt^
fom dezer fchuldcn , in dien tjfd , dtnielfden . jhtwe»t w* opbrelIpel^
als de fom Oer inteïesfer van elke fohii}fJ,jmdefi t#«!,^ waarin z% moei
vQldaan worden: Hel dan de interest ten honderd nr r; da» ia
100 X 12 : A X /x =2: r : y/^^ knj . '
100 X 12 : A KJ ~ r i jy^5 Ur

de fom van al de intere^fe» is derb«lv«»«^

Aar 4- >Bfe +* Goe> 4t DB&'-4^-Eer-j ^

1200

itehi wen t\yt den tp^ waarin dr Ibm visn al dt (b^uld^ J^ worden
afgedaan =3 X» «ia^Ji; .. , ". .

■ ". . i.aoo

de ceheelè interest van de fom der fch uiden moeit nu geHk.zft^ %ltti
^ (om van de interesfen der afzonderlöke fcbulden: men beeft der*

CA+ B + C + D + EO m^ CA?4lB3+Cc+ W*f-a?}r

löoo i;ioq

v^QienigvuMl^c B^en deze verceli|kin^ eerst m«c 1209 » en d$flf jMn
düri bet product 'door r,* dan- J«<fzle tfrr. 471) ' ^

(A + B + C+.D>E).a;=;r Atf+B^ + Ctf+P^+E#
zto » en bierui't»«v«}gi>^«f^v

Aa + Bb + He + Dd+ Ee
*^^ A + B + C + !>+ R ^
tD dit l^rt {mtdat de tijd ^ in weiten de geheeleJW fat» ^nige^nm

144 A L L.E RE E H. ST B oronoên dêr

vertoop'voH onderfekeldette tijdin ^ vtrfcTtuWgde hapi^'ahn^ m e^t7!t ,
kunntn worden aff^edaan^ ([cyonden 'wordt ^ indien txen de fom rnn
de producten dezer kapitalen » elk vermenigruJdigt met den tijd ,
in welke dezelve ntüeten yêldaah worden ^ deelt door de ft)m dezer
kapitalen* •

8i8s 5 Vraagstuk. Men heeft eenige gelijkfoortige waren ;
doch van verfchillende qnaliteit ^ wegenfie Ay B^ C, />,
£j enau panden ^ tegen a ^ b^ c, i/, e, enz. ftuivei-s het pond:
wen yraagt: wanneer dem ander elkander gemengd zijn ^ den
insddelbaren ,prijs van dezely$ te befaletkf - . '■

OPLOSSUffO. Men fteJte de volgemte.««nredigheclen :
\ , - f "Ü « A ü cis a y?«r;>. : ka fluiv.

1 g : B ® =3 * ?uiv. : B* fluiv.
I §g : C §B = <ï ^uiy. : C^ fluiv.
enz. enzm ^.

indien men nu tlle deze vierde evenredigheden optelt ; aoo heeft mew,
voor het beloop van al die waren :

Ai7 4- B^ I- Cc + D^ + E^ 4" em. fluiv.
Stel nu het pond van de gemengde waar x Ihiiv ; dan wordt diezelf-
de geidwaarde door

(A 4- B 4- é 4 D + E + enz,^ X x pttiv.
uitgedrukt, en wg hebben dus de vergelfiking^

(A4-B4-C4-D4E+^0^«=A^+B^+C^+D//+EH-^»».
en uit dece volgt dan:

A<g + B^ + Ctf + D'a? 4- Er 4- e^z.

. ^ — A 4- B + C 4- D 4- E 4- ^172.

dat U: mth deéle de fom van de, producten van de hfeyeelheid van
elke waar met den prijs , dié de éénheid waard Is , door de fom van
de hoeveelheden van al de anderfcheidene waren , en het . quotiënt
zal de middelbare prtfs 'zljh* *

8 IJK 6 Vraagstuk. Iemand heeft onderfcheidene fiaven
gQ$ds 9 wiegende ^^B, C^ i), em. hectogrammeSf tat a, 3,
e, t/, enz. gehalte r welke' is het middelbitre gehalte van al de:te
ftaven ^ onder elkander ge fmolten zijnde ?

Öviossxvo. Men zal «als in art.^ii^ redenerende » en het middel*
bare^gefaaUe = x Hellende , vinden:

_ Ka 4- B^ 4- Cc 4- D^ + enz.

* ~ Ta + B 4- C 4- D 4- ^«2.

550. 7 Vraagstuk Er is gegeven eene baar gmds of xiU
vers, weffnde A hectogrcmmes, tot a. gehalte i h^eel aiUa-

Digitized by CjOOg IC

qrjFER KUNST, vin MOOFDD. L. «s. 145

giê zal then er moeten bijvoegen^ om het mengfel tot a -^ b
gehalte te brengen f

Oplossing. Stel de b|} te voe^^en alliafie =: « bectogrammcs.
Daar dan (ie boeveelliei i gouds of zit vers dezelfde bluTc, is bec gehahé
iude omgekeerde reden van bet gewigt der baren :men beeft derhal vel

a V a -^ b omg. s=: A : A 4* ^

<a — i:<jr=:A:A+jip

Ca — b)y.Qh + x')z=zha

O» — O X A + (ij — ^)X« = A^

C^ — O a; = A* — (4r — b)k

(ja '^ b)» ^sz ha ^ ha + M s= M

'Hieruit vtAtt dan dexen regel. Men vermênlgyuldlge het ffenrigt
yan de gegeven^ haar met het getale dat aanduidt^ hoeyeet het gt*^
halte nwt i^erminderd worden^ en deele het product d(^or het getal l
dat aanduidt , v*ïfc gehalte kei meng f el moet vefhrfjgem

S21. 8 Vraagstuk. Maar^ in^en dezelfde baar op het gé-
kilte van a + b tnoeu gebrag^ ^rden; J^ÊitveH fjn gmds of
züvers zou men er dan ^ in dit ge\'ai^ moeten bij^\^gen?

OPr.ossiNO. Stel de boev&elheid bQ te voegen fijn gonda of fijn
silversr= X beGtograaraies ; dxn Wben wD de getallen « tn 4 4- /,
waardoor de gehalten worden uitgedrukt. Deze als gebrokens aan«
merkende « ^ bet gel^ilDe v«q iMt fijne gOud of zUver =3t t fteltendè^.
is het gewigt fijn gouds of zilvers^ in de gegevene baar ver\'at,
:sz ha; hier b^ voegende «lieetogrünmes fijn goud of ztl ver; dan beeft
neo. Voor dt.boeveelh^d fijn gouds, in de vermengde baar, Aa ^ x
hectogrammes : maar de geheele baar weegt, na de venireiiglog,A -4- x
bectogrammes. en deze moet a + iitehalte hebben; de ^loeveelheid
fijn gouds of zilvers wordt 4an oog uitgedrukt door <A+x'^yc(aX'h\
Men beeft derhalve : • ^ v r ^

CA + O X (a + O T=iha + X

ha ^ h3 -^^ ak '^ bx is=i ha -^"x

a» 4- A«v^- x"ssz — AA

^^, . M
* — 1 - tf - *•
VnHcHk^ dtt dfe tde^fifag w »èlrtn, is/^ Sm»

Saa. 9 Vraagstliu ITannêer men de metalen, in hei mi
ter f weegt; danverHezen nij aan gewigt zoweel.ab het gewigt
bedraagt van de hmmfhetd waters, die zij verpiaatfen. (Zit
7. Büif/NttourtamdJg Schoolboek» Bladz. 13Ö.) buHenmen

IL nua« N

14$ ALLEREERSTE oioifDBH dik

nUi door proeven, hevonden heeft: dat A hedogrammes tviv^r
g9ud$f en B hectogrammes ttth^er zilvers^ iu hei water geuo-
gen f rejpectiyelijk a en b hectogrammes aan gewigt verliezefi ,
en men^ verder bevonden heeft: dat eene vermenging van goud
in zilver f wegende C hectogrammes ^ in het water gewogen^ aan
gewigt c Ttectogrammes ver Hezen ; hoe zal men dan berekenen ,
welk eene hoeveelheid fijn gouds en fijn tilvers, in deze vermen*
ging^ bevat tijf

Oplossing* .Stef de tioeveelheid fijn gouds =r s htaofxtmmts ;
dan is de boeveelheid fTjo zilvers C — :r hectogrnmmes ; daar nu a «
$, 4, em. hectogramines gouds of zilvers, in Iict water gewogen»
natuurlek %9 %i ^^:enz% maal sooveel gewigts als ééno hectogramme
verliezeii. Is bet verloren gewigt alc^d evenredig aan het gewigt aeU
ve; en wQ zullen dus kunnen bepalen: horveèl her zuivere goud' en
-liet zuivere zilver» In de vennengfng begrepen , elk op zich zeïvcn, ia
Iret wat^r gewogen z^cde. aan gewigt verliezen,- wanneer w|j dtxe
twee regels van drieën opftellen » i<>. ^ hectogr. ppud flaet tot *
hectQgr, gfiud :ir a hectogr* verloren pewigt in het water tot b^t
gewigt % aat 9 héctogr. in het water verliezen; of A s « = « .•

yierdfr evenredige. Deze vierde evenredig * wordt dan ^. a**. M he€*

togtk zHver fattt for C — » hectogr. zllvêr; gelijk h keetoftr. ver*
loren gewigt^ in het water ^ tot het gewigt dat C r- jr hectogr* züv^r
in het water' verliezen i of fi : C — « =: & toueene vierde evcii«

bC ^ bx
redige;'dle vierde evenredige wordt — -^ » -WJ weten dap: dat

ket vermeagde goud •*-» en het vermengde sifvet ■ "^ » hectogrant*

A . , ft' .

■lea » ia het water, verliezen ; de foro van deze verliezen is naanitrltflt
selijk aart .het geheele verlies; maar, dit gche^la. verliet is bekoid ea
Ts,=:, c; wj Uebbea dan;

4A? , >C — bx 1

A ' B

UU deze vergellfklng moet nu » worden «pgelos^r Men vermenigml*
dige dexe verg^ljkfng met A X BI dan verkrtfgc xnea;

éthx + *AC — hAx zi Mtl
«Hr.-r *A# C?: ^E — bAC

ril. r^i^i^bA

«n hleniit wordt dc.regfl bciwd, 9»,* ««, bïgfv*^ C -* «^
vindes«

^ . . • -■• '\ ^ ' ■ . .' ■ ' " • "

C IJ F E R K Ü N S T. IX HOOFD0. LL* ttr. 14?

IX. HOOFDDEEU (hw ket trekken der Quad^atts* m
Cubüs-worteled*

• LL LE& Oyer het trekken van den Quadraats«worceL

823. * Wanneer men het getal~j6 met z!ch zeïvén, dat b,
Bset 36 varmeoi^mldigc; dan wordt het product 1296 het qtia*
draat of vierkant van 36 genoemd* (1) • Men noemt dit pro*
doet ook wel de tweede magt van het getal 36. (2} De be*
naming van quadraat of vierkant is uit de Meetkunst ontleend;
omdat men namelijk den inhoud van een quadraat of vier«
Itant^ in vierkante voeten , meters, ^i., vindt, door het ge*
tal voeten, meters, enz. in de zijde van dit vierkant be«
grepen zgude, met 'zich zei ven te vermenigvuldigen,- noemt
men elk getal, d^t met lich zelven vermenigvuldigd is#
vierkant of quadnat. (3)

8a4« * Den vierkants-wortel uit eenig getal 409(5 // trek^
ken 9 is het getal 64 te vinden^ Aetwelkf met zich zelve ver*
tnenigvuldigd zijnde , het getal 4096 zal voortkrengen. (4)
♦ Quadraats-woitel ^ vierkants-wortel en tweede "inogtswortel, te
trekken^ zijn drie woorden, welke hetzelfde beteekenen. (5)
^ Qjtadraats*^ vier kants- of tweede-magts^wortel h dérbal/e het
gecal, dat-, met zich zelve vermenigvuldigd zijnde, het gege-
vene quadraat of vierkant wederom te voorfchijn brengt. (jS)

8i5. Aanmerk Nö< Warneer men een getal befdiouwt, als
uit twee deelen 1^ en ^ te beilaan , en a + b met « + ^ ver-
menigvuldigt, ©f (a + b/ ontwikkelt; dan is (z\^ art, 67')
(^a + by = a^ + ^ab + b^. Maar nu is sl ab^ + ^* =
s (tf + ^) X ^; derhalve (^ + bY^zia^ + Ca*^+ b) X b.
Mm verkrijgt dus het vierkant 'van eene tweeledige grootheid 9
of van de fmn Van twee getaiUn , wanneer tnen bij het vierkant
jvah het terfie lid' optelt het product ^ dat men verkrijgt ^ wan^
neer men bij het dubbel van fm eerjie lid het tweede 4id optelt^
en deze fom met het tweede lid vermenigvuldigt. (7) Als bij

C\\ Wit verdaat meu door het quadraat of becvierkmiivlui^cirjl^t
rg) Geeft iRen daar ook ecnen andoren naam lan ?
Cl) Waaruit beeft deee benaming haren oorfprongf '
f4) Wat verflÉat men door het trekken van den yiadraat— woncf t
i^) Heeft men geene andere woordea, die betsetfda beteekenen f
(6) Wat veritaat men door den qtiadraaci» wortel tyt een iË>ecalt
{7; Hoe kan roeo xlcii bu qiadraat vaa de f«ai van twee gctalltn
Vüorftelleo/ • ,v

Na-

ToorbceU ^ 7sp> 7 co * :;= f Wi^an «•! # -f-^ ?pp i» eu
(^ + hy =7 X 7 + [^ X7 + 5] X 5 = 49 + lp X
5 = 49 + 95 =: 144 zijn. (8j Offchom men nu het vier'
kantor dadelijke ^rmfni^v^l^W ^fim^kli^Hiker vinden J^an^
fn$ei men echter deze manier als het eigenlijke hulp»hiddel tot
h(it trekk^ van «» quadraat^wartel aamerken- (ji)

ia6* Wy bebNo Ci C. % 756) nang/HMifl : dm, WfRioear
A feiyk is un de fom van tmgt gecaHen #4.^4.^4.^^
# + enz. het vlerkam vao die getal beftaaa zal uk de fom van
de volgende deeleo;

!• . • . . 4*

«« é . . . Tttf + *) X *

3* • • • • t^ + «* + O X tf .

4«..^. (M + »i^ + ö^ +^ X /

5* .... (a^ + 2> + a^ ^ »^ 4" ^) X ^

6* . ; . . (2ij + 8* + ac + 2</ + ii^ + ƒ) X ƒ

enz. enz. - . , .

Regel. Ingevolge dezeoocwikkellng^i^iftf^ het vierkant van
het getal A uit even zooveel deelen , als er deelen in het getal
A voorkomen; het eerfte deel i$ het vierkant van het eerfia
deel\ het tweede deel is de fom van tweemaal het eerfte deel^
opgeteld met het tweede deel^ ep die fom met het tw^de deel
vermenigvuldigd; het derde deel is de fom van tweemaal de twee
eerfie deelen en het derde., vermenigvuldigd met het derde deei^
en alioo gaat zulh, naar dezelfde wet. regelmatig voqrt. (loj

8^7. VoÓRBBBièt. Elk getal, 3756 bï voorbeeld, kan langcmerM
worucn, «Is te beftaUn, utt loovecl deelen, als et cfffcr» In dit getal
2^11 ; natneltfk 3756 =r 3CO0 + 7C0 -4- 50 + ^» Volgens ome alge*
n^ene vergelijking van het voorgaande art. if dan
3756 X 375<^ == 3000 X 3000
+ f 2 X 3000 + 700] X 700
+ Ta X 3000 + 2 X 700 + 50} X 50
+ [2 X 3000 + 2 X 700 + a^ X 50 +.<S} X 6
ilaar on ii f. elk dezer deelen beréfceaende».

^oooXSQOQ=poooopp

[flX 3000+ 700] X 7oo=:46ipoooo

[aXSooo+aX 700 f 5o1x 50= 372500

faXsooo+flX^oo+aX 50+ <^JX ^= 45oa<^

derhalve 375<^ X 375<5 = i4io753<^*Cu)
* «■ II ' I I ■ I ■ I I -^

C8) Helder dit door een voorbeeld op ?

Co) Waartoe dient dexe eigenfchao Y

Cio) Hoe. kan men skb l^c vitrMflt van een getal voorfteU^, 4at
«it de fom van drie, vier, of meer'getallen bedaac?.
i> Pas deze foriniile op een voprbeeld in getallen toe f

C IJ F E R R Ü N S T. IX HOOFDD. LL m. 149

i%% ^leh verkrifgi het vlirk^nc van een gegeven getal , langs dezt
fortnaU; wel op eene omdagtfger wuze, dan door de gewone ver-
mvnigvuldigin!; ; maar men moet deselve grondig kennen; omdat zij
ons eigenl^ ijferen kan} hoê^ uit een gggeyen getalmden vierkant s*
wortel kan worden getrokken^ (^1%'/ ivjen merKe, om deze forron't
tot dat einde te leeren toepasfen, opt dat^ wanneer men de deden
yan een vierkant ^ door de algemeene formule y oor ge ft e ld j van act^
Mr mtar vor^n neemt , hef eer fte deel uit eenheden , het tweede deel
pit honderdtallen , het derde deel uit tienduizendtallen , hef 'vierde
deel uit millioentallen ; het vijfde deel uit honderd*millioentallen zaf
èepaan » enz, (wel verftaande , dat men de deelen van den Wortel
sich vooHtelt, als alt de Ibra van éénbeden» tientallen, enz* te z^n
samengeftdd). <i3> £n blcrnlt vo^t dan: dat^ wanneer^ uit een
gegeven getal ^ hij foorheel4^ 39?<^3985I » den viejr kants wortel moet
getrokken worde^i^ en men dit getal t van achteren at te beginnen^
ran twee tot twee cijfers ^ , a/deelt , (aldus ^ I 87 I 63 I 9S Ifi) de
wortel uit zooieel cifferf zal beftaan 9 als er deelen o! perken^ in dit
geiai,^ voorkomen* Q14) Dit onder bet oog boudende^^iaJ.meft^tB
vierkancs*woriel uit eenig getal door d n volgenden re^l vinden »
waarvtti de grond in de loo even bQgebragte fo#)nule gelegen h.

Sap. I Regel. i^. Ferdee/ Aet gegevene getal, waarüU Oen
vier kants wortel éoet getrokken 'ivordett^ van ff^ee tgt twee dj*
firs^ 9an achteren af: Éoöveel 9erdeeUngen , perken ^f vakken ^
éiis er dan f in dit ge f ai ^ voorkomen ^ uit evm zooygd tijfsrt
zal dan ook de wortel beftaan. 1

A^ Neem -it^ uaast kleineren yierl^nt^^ot^^l ttit bet voor/Ie
4eel^ en trek het vierkant van dien yeortel, ran^ ietzelre. óf^
dan i$ het eerfte deel van den wortel gevonden.,

Z\ JS^hrijf^ neyem: dit verfihH^ ê^ twee- cijfers van het voh
gende vak. Haal hei achter fie ci}^.}^fin .fit getal {^dat wiy.thet •
wuUen teekenen ^ door y, en befchouw de oxèrbUjyen^è 'cijferi , ati
fegt .4l^k0l yeréihbel -het -eerfie gedeelte van den wortel en A#u .
fchottw dit dubb'eiè gedeelte ^ ^ dealer j^ Vraag: ftoe. menigmaaLis
die êeeler op het zoo evengemelde deeltal begrepen? Dit quotiënt
is dan het t f eed f gedeejte of cijfer J^^i den wofteU Men fielk
dit quotiënt^ in 'de plaats^ voor den wortel beftemd; als ook achm
ter dem zoo evengemelden dèeler; ioodanig^ daf het\ ^net. iHüiè
deeler^ een doorloopend getal uit makt* -Men vsMsenigvuidige dit
Jfootio^énde getai met -Hef' qUMént; en fielie, het product onder
bet getale met * gemerkt f keinèh^^ d^ar^im ^trekken^t, x /.r .

4**. Plaatst nevens het verfchil de twee e^fers van het der*

ClO Waartoe kan deze formule dienen f

1^9) Wfcc merkt '|fl fn dCzê'VoniMê'opl ^' - «igtzedlyQóOQl»'''

(14) Wtt voJ«i hieruit I Ti:., j^, n .

N J

150 ALLEREERSTE G4to»i»&N oei

de vak; dan verkrijgt m» fen ^e^/^ d^ s^if we/ferom mes ♦
ZMÜen tetkeften* Haal hi$ mchi^fic cijfer door\ en hejhh^uw
de Qverhiijyemde cijfeit^ (dt tm ée^oL Neem het dutóet rtm
het reedi^gevündene deel des warteis, dat nu vit twte tij/ert
hejfaat^ en vraag: hoe menigmii^l dit getal op het rcetk gem
melde deeltal begrepen Tdjf Het quotiesi$ gebeft kef derde ct^ir
van den wortel, Péattti dit derde eiffer^ in de plaats^ v$or den
wortel beftemdf ah ook ach$er den deekri zoodanige dat hei
wederom , met den deekr » een do^^htfend g/^tal uitmake. En
vermenigvuldig dan het getal^ dal gij ^ op 4e^ vijze, verkri^^
m^ hetzelfde quotiënt (het derde gedeelte van den wm^el^} tn
trdt het product af va» het geM^r ^^ «*<^ * gemerkt is.

S*. Plaats^ achter het veffchH^ de twee cijfers van het vier»
de vak , en herhaal dezelfde bewerking^ 49 if. 3 en 4^ .^^j^^
y«i tot-dat kaMéUjie cijfer van^.den mortef^ geymdm zij. (a^>
* ijo, yo(i;oj^zsA.W ^n yierkc^^
vindeni

Bewerking. ^ • ahcdef ^

VS 1 5Ö 1 »a 1 95 1 ^ 1 f(J sip «358^^4 = mortel
tXftS 4 A^firekkem

150 * ^ 9^gmaat t^ept^t^mnt 4 maal,' •
4^ X 3 ^=7 lap Ö eftfcHemm

371^ * koe menigmaal 4S op^ 9^ t komr i maat. '
'46SX S = 0325 C ^flrekkifn. ^ .'

• 387pi{ ♦ bee menêgmaat 470 op $«79^ kmt^matte^
lffd$ X 8 SS 3;ö<54 JÖ aftrmèo^

11318^ G^ hoé tAenigmif(f 16 epitii^ i^ntw.ama^U
^j^ X ft = 943H E aftrekken. ; ^

r88tf57^ • *w «W^«Mflr«^^ iW57htmw^meua^

471^4^ X 4 = ï88^7tf » ^^^* ' . . .

■ ^< '■ ■ -UU' •■ '> ■» ^. if .--..-.

test o eo gaat op.

C15) Welk is ét tegtU om 49i>vifiJmiHlW^ J^J^ m^,§fi§fim fp^
tal tt viiMkat .. - ^ . .

b IJ F E R K ü N S Ti IX HOO^FDD. LI. tEJL Ijf

ViR KLARING. Men fchiQfc bec gegeven getal op, en deelt faec^ van
achter at » in perken van twee cjfers ; dan beert men 5 1 ».6 1 ia 1 93 1 89I 76*
jiu vraagt aens wat Is 4e naast kleinere vierkants^wolrteluki^f JDe4K
is ft{ owdai 5.gr(H>ier dan 4 = a X aién kleiner Uaii ^ :=::sX$il^
Deze a (s nu bcc eerfte dce) van den wonci (welke ik , om ile ba*
Verkifig ^ m^t de formule van art. 826, te vegeiökenyAnocm^, 1^
%t% ik 2X2 = 4; die 4 trek ik van 5 af; blijfc i. Adiitcr èh
verfehü i,-ftel ik de twee volgende cffcm 56, die, in hettwsecfe tafe',
Itata ; en dan beb ik 156* Uier ier Ut nn alteen op 15 (bet acbterftie
c^fer doorhalende^^ en verdubbel liet eerfte deeLa ; dit |(eeit m|| 4*»
en nu vraag ik: boeveelmaal 4 op 15/ komi a in|l^i*< I>it Ouö^iMci»
4dat Iklinet ^ beteeken, ftel ik, in de plaacf, voor 'den v^rtej be»
ftemd, en nog achter de 4, het dubbel van'« ; cbin- bel^ ik ski Hh ^^
dese 43 =: Aü -h * vermeoigvoldig^ ik mot nee quotiënt f^.'SSitf^
ilaii heb ik (8^ + O X ^ =:: 129 =:: B^ Dose. t^ o^ek Uc a| t^
S56, de rest is 27. Achter dit verfchi^, . fchrfif ik. de cyffnrs iV^ Kft
derde vak fnameiljk 12; dan héb ik 37ifl«) M^t weglatinjt vati bjc
achterfte ctfer, vraag ik, na alvorens het nu gevondene deei ési mffo^
\tU\ dat ia, 23, verdubbeld te hebbent k0eyeefmaal U dat^ dkwM
jfi op Q7i begrepen f Ik vind 5 niaal:;'deze 5 is het derda dQ(t.2&rNU
l>it derde deel icbrijf ik aduer 4e ==:fa4i + «f ; ^n ^M^^:^^^
•f- a^' 4^ c , én dit getal vermenisvttldig ik nu met e = 5 ; dan h^O
« 4Öi5 X 5 = Caii -h a* -H O X c ~ «5*5 = C;- ai dk aetÉ
trek ik Van a7ia af« Het verühtl is 987. -Achter dit vefTehil (Ml
ik de twee c^jfera van het vierde ydk;-4in<beb ik 33^5- Vk vetf^
dubbel het r^eds gevondene deel ajsi dan Jieb ik: ^a -i^ ob -\- ^
=^ 470; en uu vraag ik: hoeveelmaalilTO op 3879 (bet 3Cbt&r[lé ca^
f er van 38795 weglatende ,) komt 8 maal* Men beeft du:^ ^ = 8 ,
flü + »*-+- flc 4- i/*r= 4708; dit -wet "rf^zi: 8 vermei igvuldïgd',
heeft men (a* +a* + a^-l-i/; X d =?4?ö8 X JI rr: 37664:==*
Dit product trekke m^'n.van 38795, btt|fi Zi3a80* AH %t vpi^afr, op
deze wöze, tot hei eiude toe, v^M^tr jl^iói» fjie^ ft^y^king y nu^
*in Miles ^ oyereenkomftig Je formulfr'fan ^r/.öao. Wjjm men zier,
wet «eo weinig op^btteabeids, dar de Ibtti dkr gMlltoli ,: in d&b^^cr-
liMe, MC A, ft, C, 0,.& <a JB «aiiBelMadè «al(k\ia ato^tei gib
le^veiie ge^ ; mifFMT npi itt

" A'=«»" ' -f ' '

, Bc=5<a#fh»X> . /

f tf> VcrUair liet uiUMifdue vppt^RlAt

ISt ALLE R£ E>aiSTE CU r o(i otfv d &m

YookBEELJ>tN ^OT OBFCNINC.

y <5553ö = 056,1^ 94049 = 307, 1/ 819015 == poj,
1/14137^1 ï= 1189, 1/ 1048570== 1024, 1/ 1030225 = 1015 ',
4i^3a3^40l = Ï79P • ]/ 4008004 = 0002 , yès 1 57 1 84 = 8o7« ^

^|/i5a275(J = 1234» 1/1094004 = 1002 , >/i456849i=: lao/ ^
|/.|3öÖ3ap4 ='5,80», {/ 25090081 = 5009,
!• .18343^1 5=: HIi, (/'9B98aöoi = 9949»
V^ 15908100 = 5090, y 16777016 = 409<J,
y $7108864 = 8i92, y 144408289 =s 12017,
i^^.364237225 =: 19085, K 2401 68Ó049 = 49007,
1/ 896842809 =: 29947» y 8969226436 = 947^»
V ^4(1^1^59^9-^=^ 80077, V I995529i6;424 =r: 1412632,

^ï/ «0461872025-= 143045, f^ 50^2^138321^81 = 237-159,
K 43950465U1O4 == 2097r^ïf,

.1/ 1759^186044416 ==; 41 94394.
V 2gJ4749767*o656 s=: ié777aij6% .

{/ irft58999ö6842ÖH2S: 3355443* >
|/ 1152921 >04óó6846976 =:± 'O '37418241,
yp4ft075949i9.^7^2O94pi =-9706054,704,
V3995«9^5»P952oo<a4 =: i9pSrOQ02.>
|/a<^i»63i304762liooi ra #047980501, .
1/ I599999j^8cóooooi6 =2 3^9999996-

t 831. f MgH <mderfch$itl$ Jt geh€9k gfitatten in vt^k^mmt
#11 mvëkomene, vkrkatm gty^Setu 418} * Z^^ rMomme ,ré£^
kante getalkn zyn die, welke, door deVerhéffitig vfto £en ge*
tal toe de tweede magc, ontflaan z^'n; ^^P) ^U ^ij^ de ge»
talleir I, 4» P> «^» 25» 36, 49f ^» Bi, 100, 1*1, 144^
169 , 196 , 225, «56 , 289 ,f«».(;2ój ♦ De (moikomene fierkmte
geiaikn zljn die, welke tusfcfaet) de tolkomeoe Werkjbote ge-
tallOT lavaJIeni gêHfk a, 3» 5» ö# 7, 8, lo, 11, jia, 13,
U. IS». ;7.. 19/20, ftlt, 22; 2^, 24,^26, 27, 28. a9,
^f • l^f 32^ -33f 34f 35^ 37» ai«i «^». (»0 t Meü^ kan.

CtB) Hoe oaderfckeidt men ile getalfeo f ,

C19) Wtc z^o volkomene vièrktnte getiUenf
ijÊOé Oeef er voorbeelden vtn f . - - v .><^ . -i->

^-M) Wat zta OBvolkofliefte «terlMiite geuüleif '''''^^^0^^

vit deze haifie^ JSe men ^f vfort^fl^^ getj^timetL fm 9
wel bij henadërin^; maar niet voikomen; oen nerka^t^^tef
in getal voorfieikn. (^tL^^

832* AAnmshking. Öeredeo, waarom meii uU <^ onyolkooiefi
vierkant y bV voorbeeld^ tfft 10, jgeepen vofkomen Wöriel Vinden kan»
i< niet daarin gelegen, tiat die -wotuX mtx. ho^ttt i maa^'daftr(n^
alati xie trt« ^, ds^ wortel uft 10, mef hkfrekiking ft dêéééheW^
onm^^aar hé, C^s3 In t^n, ^r/ïen cutfuffi 762* «. tf wlks .algooiftën
bewezen. Dan, daar dit bewQs voor 4e eerfte begipielen, te moe^el^^ is,
Itan men zich met de vofgciide indnctie vergenoegen. De vierkant»»
jmxitl uit 10 ij ^ooter daa 3 en kMier ^4^ 4 ^fa^^BOM dot gfiigk
tgn aan 3 , met nog een gebroken daarenboven* X#aat dit gebroken^.

.soa vttol mogei«kverklciBtf, zi|a-|-;datfliyïoi!±| + -2-rs.^

' ' s^ 4" d " ft) -4- ^ 3!» + il

SC — j— onverklefaibtair; ea «1 moee to xsi: 2-j*^|x 2—4^ at

^ ^ ^> ^ SS 9 + ^ + |-«ïa;ii*»dir!«^a«igwtieii«w*

onverkleinbaar ifln, niet mogcljk. Ca4) Echter zullen wtf ftrait
'Zien: dat men den vorf^i uit lo^ zoo na kan -vinden^ als mén^
rérlaMgt;Ja altijd^ met nog greoure mauvUeurigheid ^ dan mén
dapzêlnn r$eds yerkugem heijté {jxO

833* CrMitosTBLLiWG. + Wanneer ^ meH het próiuet tOn
twee of meer geheèle getaUen in het vierkant brengt % dan h dit
vierkant altijd gelijk aan het pro^et van de vierkanten dèr
fact$rtn^ i^ó) Aldus tó (^)* :=t aH^i (aècy a: aH^t^i
Xahedy^:==,t^V^c*d^yen%. C«7>

834. I Gevolg. Hieruit volgt, «Magekeierd^ \ t)at ie
viêrkantS'Wortel uit het product van -eenige vierkante ^getallen
giHJk is 'aan het pr^uct van de WorUh itit deze getaUen. ^8p
Aflas is V a^P' = ab\ y a^b^c* = abc: (^29^ i O^k h
die regel algemeen i het zij die getallen volkomepe of onvo^m^f^
vierkMe getallen zijn. -

(ftz) Kan men den vierkants • wortel wel uit worteltooze getallen

vinden t
(AS) Wat is de reden , waarom men den vierkants«wortel niet uit een

oiirolkomen vierkant of wortelloos getal- trekken 'ktarl > / ^ ^
(04) BewQs, waarom dit niet ^efcbied^n k«n? ^

(as) K.an dit eebccr niet zeer nabt^ gebragt jroréenl ._ ^ >

<a6) Welke grondfteliiog komc, b^ de vierkzRtt* WMtekrckkSng m

worteUoozc getallen , te pts f )

(37> Helder iUe grondfteUtBg op f

t28; Wat volgt uit dezelve? ngi .edby Goode ; , ^

l2i^) Helder dit op? . . - "n --^ . .. a- v ^

' S3^« n Gevolg; Maar, dat oós hier .b^jionderiyk te pai
koifttt 1^: dat dè ifiérkanti^wortel uit eefi getatj dat het fro.'
duet ts van een vóikomen vierkant getat a* met een onvolkomen
'ifferkant getal b^ gelijk is aan éenmrteluitiÜt volkomen vierkante
\getal a^ vermenigvuidsgd met den wortel uit het onvolkomem
^vierkante, getale (30) D^zft grondfielUng wordt voorgefteld
idoor de 200 ouctlge; eo telkens te pas komende vergetyking

y^a^b-^zizai/b. CaO
* Sjd. Alü&mbbne Hoovi>ft£6£L« Men herleide^ indien het
mogelijk zijnde vorteh uit alle wortellooze getallen van dtn
Vorm a^ tojt a\/h% omdat^ indien deze herleiding mogtfijk^ is ^
altijd de wortel uit een grooter worteiloos getal tot dien uit een
kkinir wortèiHos getal kerleid wordt. {2^) £n» deze heitel-
dlng ii even 200 noodzakeiyk^ als de herleiding van eene
if^rkleinbare breuk loi • eeiie onverkleinbare ; Termits door ^e-
lelve de uitdrukking akijd tot de eenvpndigdé gedaante g^*
bmg^ wordt» (33) Men moet dus, indien men den vierkantig
wortel uit een wortelho^ getal te trekken heeft ^ onderzoekni:
of dit wortellooze getal niet door eea volkomen vierkant ge-
«•l deettnar %]i^ zoo nieti dan kan ^ die herleiding geen plaaH
iekken; zoo jat dan kan de wortel uit het wortellooze getal al*
tijd tot dep vorm ayh gfbragt worden. ^34)
, itfADftRE O^HBLDBa^O. . Alzoo Is f/S = \/ 4 X ft =z zV^.zi
i/m = i/4:Jcft==:t|/3; i/i8=± V^yXa =r3l/fti l/ao==
1/4X5=: ft 1/5 emx, (35) Deze uitdrukkingen hebben tio haif
BQzMftler vodrd\MT« want indien ik^ hij yoorhetld ^ gevonéen heb ^
dé^$ l^ft =rz 1,4148135^ enz,, ie -^ zal ik^ dan yierkants .ytortel uU 8
modig hekbende y geéne nieuwe wortel-trek/^ng behoeven uit te voa^
ren;i daar ik^ aangezien ^/S = a|/ 2 i/« het tiendeelige gebrokeZ
I,4i4ftl3$6 jleehtt mét twee behoef te yermenigvuldigen^ om te vin*
den: {/ 8 zz afiaZi^Ti^i (36^ . Hec zou deriiilye» voor bec «fa^e*
lOkfche gebruik, nuttig zÓn«ie bezitten: i*^ eeoe ufel vau de viei^
kancs*wortelN uit de wortellooze getallen, dje geeo volkomen vier«
kant tot deelcr hebben, aU ft» 3t 6» <>» 7» '0> 11 » n» 14% iSi
ir» 19» fti» ft2» as, &6, 29« 30» 3t« 33 > 34t 35t 37 t 38, 39,

^i

f 90) Wtt volgt nog meer alt dezelve f
^51) Hoe wordt dit laatfte door èene formule uitgedrukt!
32) \VeIk gebruik^ léaakt me* van deze laitfte formule?
C83 i Is deze berfeidiikg iioodzakeQH^ f v

C84) Welke is dan de regel, die men, indien men den vierka&ts^wdnd

uit een Worteiloos getal zoeken zkig moet in acht neinea?
CS5) Helder dien regel door eenige voorbeelden opf^ j
(36i Welk voordcel hebben au deze hcilciatngcat woogie

CIJPER K ÜNST. TX ,HOOFDD U %tu 155

V/ 45 = 31/5
1/4^ = 41/3
|/50 = 5l/a
V/6a = aV/i3

1/54 = 31/6
1/56 = 21/14

V/ 8 = aV/'a

i/ift = 2v/3
l/i« = 3l/a
l/2o=rftK5

i/24 = al/6

i/a7=3V^3
V' 28 = 2^/7
l/3a?=4t/a
(/ 40= 21/ 10

i/44=»V/i*

K5^ = aKi^
V/6o=iai/i!

y 72 = 61/2
V^75 = 5KS

. en, tevenflt de. .volgeipd*
l/r<J = al/ii;

K ^=4i/r

1/ 84=2V>ï
1/ 8ö = av^aa
K 90=5.1/10
K 92=:2v/33
1/ 96 = 4v;<S

V6Z/ssi2\/i7 -\/. p8=:7|/a

u 99=31/11
|/io4=:ai/aö

\/i^8 = <St/s
p na = 4(/7

Viid = av;a9
1/ M7^=3V^^U

K 12^ =5 1/5

i/iEe=3l/i4

enz^

MM>#

837. Aanmerkino. Het komt ér ïa^ a^inmaarAtpam:
om den yierkants-wortel uit een wortellon getal a te vinden^ dat
^en volkomien vierkant' getat tot Mekr, hceft^ (3^) Toe dat
einde, denke men het gegeyene getal vermenigvuldigd te zijo
nHt 'bet vierkant van één der getallen 10» 100, iooo,jf«s«
dat iy,7net èen!gè evene migt van 10 ; denk, ïn het lUgenwen^
met 10*»; daDjs.(zie ^gr/. 835O

Óm derhalve, ufe 4en wortel ic^l/a^ tot }/a te komen,

moet men \Q^\/a eenvoudig door io«»deeleii; hetgeen ge-
fchiedt, door van de Cijfers des gevondenen yortels n c^fen
af t^ fiHJden eq. de^e^Izooiii de riendej^ilge bre^k: te i>Imc*
iTen, (39) Men volgt dwom óQzexi regeU. . \ ;

II ilECBL- Trek dè^ VtifTkantt-^^ortèl uit het wortethéiê gê^
tal; t&t aan het hat^e ei^èr ^ («Hes volgens den regel van
urr. 809.) Stel f achter het laatst get^ndene cijfer van '^
wortel^ het decimaalpunt^ en achter het ovérfehot van deüatfit'
èewerking twee nnlien; telkens^ tm de volgende cijfert dèrtiet^
deelige breuk te vimbn^ dezelfde bewerking herhalende; tót dat
fnen , in de üenAeHge breuk 4 zodveei cijfert gevonden hebbe , aU
wen 9 naar g/eiang der mjlandigheden^ noodig heeflf, (40J

X%f) Wac mo^'VeorlieK dagellfkfcbe gebruik,^ nmtig «Vof. .
'tm ,Virat .tt dus h«t voornaam (Ie , daar bet bier op aan kopptt

(39) ^oe rigc' inen, def e worteltrekking ioY . , • . .

' C40) Wêtfte fs 'de 'algémeèneiegel^ Om den Vidrkants* wortel «It tféü
wortelloos getal te vinden?

' nigitized by C^OOg IC

ijftf ALLEREEHStB gronden der

" 88«. VooRB«nLD. öm der. j (/ 2,oó = 1,414. «r»,

halve den vlerkants-wortel U^t l t v « — i aftrêkhim

2 te ti^ekken , werk^ men aldus*
0c wortel' uU 2 ts i : hier is
leen nu reeds atif het laatfte

Serk van het gesevene geiahge-
ernen. Men üell^ derhalve, itt
4tn wortel, scheer de |, het
declèitalpuïit , ^n achrer de i »
lle hft ovéHlhot d«* eerfte be.
nferkiög is. t^veè ti'ylleni en dit
ièdati^ hefobênde<, gftat men met

toö

400
atjf >C j sr: 28 1 afirekken.

Se bewerkiag, volgens den «»* «IjOj.x^ . — ,^^ afÊf^h%^
gel van »r^ 829 voort; ea ver- J?^'^*^* — "290 aftrekken.
6» vdorméirteitte. ^ ^ tritii _
vind^t ' B ' 60400 «ï2i

' . \ V 5t == is4ï4^ï3SMi3 73095 048B0 ^wf,
il(^cii men kan uit de bewerking dpldeljfk zien: 4a( men po<^t itoê
Ver kun kómen , dat hef overfchoi nut wordu C4iJ> Zie hier meer
vbeifbedileto t • ' * . '

1/ 3 = 1,73365 08075 6M77 a
|/ 5j C3C 2,33605 ïp;ï:74 9^789 6
f/ 6 = 2,44948 97427 83 «78 o
^- ' J/ 7 = 2»K4575 i3rK> «4590 5

f/ 1 o s= 3»ï^»27 76601 68379 3
J/ 17= 4f «'2^1^ 50256 17660 5
•839« ' I AANMBituiNOii Offehom de vie^kanti -wortel uit eên
worteiioos getal nier vüïkmen kan gei^onien worden^ kan mem
pihter^éóorh^t v4ortwtten^x l^miferking ^dtHmeh^éh toch zoona be^
pofen^ a/s men goedvindt* Ejk si^u^r cVferdec cieodeeji^
p^uk geeft aao denzelv^n (senen iiieq wen graad vao nsaswkeof
ri^^ici.^. da^is> viidQx^ HmieMa of gsmzen^ ra^cheo welkec
dif^wprircl gedegen is; aldus is . ,

* *\ . f/a groi^er 1,4 en kletov «hu i«5

^2 gropc^ i»4< «P Ueter ém t ^
' ' ' y 2 ppotier »^I4 W fclefocr dan i^rj .

Iietweltt, bö de proef » blijken zal; want 1.44 X 1,414 ^
kkioec- daB..a en 1541^ X M4^ zal jroot^r-dae-i^-slfii^^ea
men zal, door deze benadering, den wortel, indien men zulks
verkiest ,^ tot tulk eeiiè tiMii^fcaoHgbèld jkmmen Iwtng^ i dèc
hij vfa de preclefe wéardè, 200 weinig afWlJkt^ dat dez^ if.
wljkinf minder is dan een zandkbfrd in vergeljyidQg van bet
gèheèlal 'C42) .. , . .

f41) Ocef een voorbeeld van dien regel ? nigtizedbyGoOQl
14a; Oceft deze benadering geene te groote ooaaauwke^lgheid I

CIJFERKUNST.ÏX HQOFDD. LL le». 157

4^. lï Aanmerking. »Watiiwr men zich lierfnïieït: hoe
^e prodöcten en bijgevolg ook' de magten van alle tiendee.
lige breuken gevonden worden; dan 2al het vón zelf blijken 5
liöe men den vieikams^'lvortel uit eene dendeelige breuk zal
moeten trekken?

- lil Reoel. Men verdeelt ^ het decimaal^funt tpt grondflag
nemende , de geheekn , (indien er yhorkomeA ,) van achteren naar
voren 9 van twee tvt twee ' cijfers i en de tiendeeHgen, van vo»
ren naar achteren , insgelijks , van twee tot twee cijfers. Voorts
b^andeU wen de g^heeie uitdrukking^ ak of het een geheel ge*
tal watei zorg dragende: dat mèn^ in den loop der berekening^
het decimaal- punt y in den wortel ^ JleJle, damr ter pktatfe ^ -waar
tnen^ in de bewerking^ van de geheelen tot de tiendeeligen
Dvergaat. (43)

841* VooRB££LD« Den vierkantS' wortel uit 1389^7^84 te
irekken? • »

y 13 1 89, J^p 1 84 = 37, fi8 wortel ^

o V q ::s o tf//r. VERKLARiNo.' Wanneer n^ dè ge»

^ * L-*" :\ :-!ieeten4|S9rï« de bew«ritii^, rfcbruTkt

^oA lieeft, fteU men, achter 37, het deci»

74J( X a 2= \Li\ aftrel^en.

5P58/<f ^ . . ;. , : l

744? X 8 =j5P584-'<?^**Wf.

- 943. 3 VcoRBEELO. Dén vietiants^woftel ti trekken uit
o,ooQC(J8o6fl5 ? . '

' I/'o,óólool\ÖIötf-l35b=so,oote5'^ '
8X8 zs 64 fikken.

.40^

4 . le^ X ^g zHofi^eUen^
83jy{

- ««4JJ X 5 zs %H2S aftrekken.

C43) Hoe tr^t men den wortel uit eetie tleodeelige breuk f
' ^ VerklMV het cfrfte vooibeeiai r- t

nffft^ O" DigitizedbyLjOOgle_

t

tSB Ali^LEUE EU STE gronden der

Vlr.R«t//itiNG; lle^zw: d» wOTtel »tt wol i« mi!;en men |>iaitst
her decimaaKpunu Voorts Je wortel uft oo ïs p. Nugmaijs dé w(w-
c! ttk oo u o; en verder, de wortel uit (58 is S, ejtx^ (45)

VOORBEBLDEN. i/ IO,^p29 = ii^ft/i V^ J3^«20f6 = p,p6;

T^^52,39poi5== 12,345 ii/o.t29f=o^36;v/Q,ooi6=:o,a4;
. V^ o,odbt44== 0,912; l/o,ooöo28f36ir==0-,ö0537. fFanneer
</(PW'/?/t^Zf^«?<^/i&/wr2//«.J/ii f,9g75^*:^I 0,582414$; 1/0,073521
=0,271 1475 ;J^^7>opöö=7o>47r^9>l/o'»ooi 3=0^60555 ;
y ï,6=z 1,264911; |/ 0,7 =so,»ffi(J. I%n^s mg den vur*
kantswortel K/V 3>75 1J>3 t 0,19; o,03*ft57,JJB 0,00000^8167» y
alle tot tien cijfers in de JiendseUgftï^ ^ "

843. Ont den trtrkants-wottél Bk eenè -algeraeene breuk,

-7- , te vinden , redenere men aldu$. JHec gebroken ^r- '^ Tzle
b . b ^

^avt. 417) geiyk aan — ; derhalve *? IKtZ^ ~ V' |r» oi^f

. r>.^^. . Vab. i/(df I ' , - / •

nüis.v^,^x=^-^=p ^ffir^w

iV. Regel. Men vi^ih Jk^^ht denyjerka:sh^^ifotuLuk^ mn
gebroken^ wanneer men den teller met'den'tjoemer verwan: gvd^
digtf en den vierkanü-wortel uit het product ,. door den noemer
der gegevene breuk ^ deelt» (46) -- ,

844. Aïdtts !3^'i = ^V'fl;i/|==ll/6;V/jr^7vVi3^ C47)

845. V Regel. En , om //<f/ir-lW^^«4^ r'^ toitin^ getal
te trekken^ moet men eerst dit gemengde -^mai' tot eene breuk
herleiden ^ ^en, vpdrts dfn^vt^jr^aa^d^ ^^ ?f d^ ireuk toe»

JMj/Jwi,X4^) '^ ' '" '/ ' *,* ^

846. K\^^^S%VreLk'=S^-%'::X:\V'x^Wi i^^ f49)
^47. I Aanmerking* >JKnf v#f»%/ -^Ogm lieV^vierkants wor-

teUtrekken uit een gebroken pf ^gemengd getal tot de wortekrek-

^A^A '»L IJ gg l M T-'>t

i^i} Vttklitr de bcwerkfijR vin bertwêêde voorbeeld?

CJO) WM volgt hieruit? ^' DigtizedbyV^OOgl^e,

C IJ F EJl K *J f« &T.1IX UOaTDO. LLtU. 159

84R. ^ AANiiftR,9II^MSfi Sm^Jds ïs^ in den.telkr tf noemer
dtr ireuki een fatüor begrepen ^ éée 'een vierkani getal ü. yfit dii
gevai^ kan 4è mrtei eembuéger worden tiit^edrukt. (52) «.

489. . VOOKBÈELDEN. l**. \/tj '= ^J/^X 7 =f^7=3:fi/ /.

4^ x/i^, — j\i/idx ir = ,ïgi/pX2Xii;=j^,l/i^?;=?é4/22.
5^ J/if=5Vl/il5X9X3;^éX4X3»^3=ifi/5=|K3*
6"i ï/'l|=4^27X44=i3iK9X3X4Xii=^K33=a\V^33^
7% KP=^?3l/45Xp8^:^VJXi^X5X49Xa;^5VX3X7Kio •

la^ l/ö|5 = 5M/<5?5X98=^|/225X^X49X 2 =
rs*^- K *5llt =P ~f^^ =£= 1i' V SU88 x^ 245 =

^y i2i(fx sx 49 X5 = 3^ X 3<5x 71/15 ==^^y 15.

Mesr v60RBEi&i,DW» >Ö?t» vierkaht!ST)ê^0rteI te trekkm uit de
yplgerm t^hrokene en gemengde getalljsn. tfit .f\ II»' f5» lr>
i^* A, 8J, 5j, «i, ^/<y, ?|, >&• ^1. 4. <5|, Mi» ^^9?
«^, B3A » ^a^fl» loö^H»' '«P ^ 40143/b?

TOEPAS^XLIJKB VILA AAST UftfLS9U

9 /?«fy. Hoe groot is 4M aafftal gevi^st^f in4U^^cj^ pf^t^f^lfiin ^poyeel
puivèr'syefié&td heeft ^ ftls er perfonenfaferit

2 V R A A03,T u^ . iVABiwef me/t dr- hei ft yan^ een getai in&t dtszelff
dertU ^e^eelie :yermeHig:i(Hi4ig4^ dl»^ l^t (pfo^of, flW3^' .^^^* '^
dU gtim^

- 3 Vft'üACWmt/ ;^füf ^■rW w<?^f de zifde yin ft .eenyterjiant^eno»
nten , worden^ opd4t^hei tUh infitiud van 2^1^' yi&rkaiiie voe^^n ^et^be.'

4. VRAAO^u^fc Hw. ^oor ifioét *de ^ijd^ va^ ^ea vierkant ge-
nomen worden t qpjat het .^»^n *,imn^wee •dnd^ ninlsfl^ grpptcr zij
'dan^ de- isij^ej van /fcf^ iV^^t,y^M^:?r/^:'f¥^^^^n^f^l^^(f<^^M^^^
en breed hi '

(50 c'eef'Me^ van yx^^U^jijjifif . .

isO W*t moei mep opa^öifeeii.^ .womicer 4^ M|!«r< of HPögW een
vierkant getal toi i^cior hintitfi

. . :-,;^ ', .. -O-.a. - Digrtized by Google •

i6ö ALJLERE E RSTE atfoNHiit i>br

5 VRAAGSTUK, ffofi groot U Ae zijde ¥an een yierkdnf^ ^«* ««^
genmaal één -dertiende gedeelte heyat van een vierkant ^ dat aöfsr
vierkante nederlandfihe ellen inhoudt heefti ,^ ^ ,

6 VaAAGSTUK. Er zij» drie ftukien hands- ^ welke de lengte van
37. a^ *« ao roeden^t en de breedte van if , ti en i% roeden hek^
heni hO€ groot moet de zijde van een vierkant fitik iandj S^»^^^
vf orden ^ om even zooveel inhoudt te hebben^ alt deze drie f ukken,
lands ti zameni ^ ,. ' . ^rv ^ ^

^7 Vraagstijk. Eene kamer ^dte de lengte y«» 31 ^» oè breedte
van QA voeten heeft» vfil mevt volkomen vierkant m^ken en denzHf»
den inhoud laten behouden :. hoe groot moet men dan de iengte en
breedte nemen ^ die ^ in dit gevet ^ gelijk worden t

8 VaAAGSTüK- Tusfchen d^ g^tallety . %if en ajf een mtdaen'
evenredig ^tal te vinden i ,." . .„^ , .^.

o Vraagstuk, Fan eenenre$tkoekigen driehoek ABC ^ regthoektg
^inB\ isAB = i73 voeten, BC r= 169 voeten; hóê lang ie de hypo^
tenufa of fihulnfche zi/deACf '

lO-VRAAOstüfc. Maar^ indien vOn dtenzelfden, regthoektgen drte^
^hoek AC = 3»7 voete» en BC x:z 21^. voeten was-: hoe lang zou
• dan de regthéekszijde AB zijn»

LU LE S. Over het trekken van den Cubus-wartel*

aSo, * Een psodttct van drie: gelijke getalte» <a, <gi, eo a^
of%» wórdt éQ der(k magt^^ de fttifi^^ f>€ tterk'ng van dat
ffetal a genoemd. (1) * E^" cubus öf eene derde jnagt oDt-
ftaac ook» wanneer men bet vierkam,. óf de tweede magt 0*
van een getal a, nog eens, met deszelfs wortel a^ vermenig-
vuldigt. C*> De Benaming van eubUs of teerlihg (een Ugchaam
van gelijke lengte, breedte en dikte,) is uit de Meetkunst
af kom/f tg; de inhoud van dft Ugchaam wordt' uitgedrukt d^
zooveei cuhieke eenheden , ak doér de derde magt van het getal ^
dat voorfielt ^ lioeveelmaal Je éénheid van de lengtemaat in de
ztjde van den cubus ^Begrepen is, wordt uitgedrukt. (3)

g<a. * ^en cuBuS' ef derdé-mègts wortel vtt een getal /S4 te
trekken, is het getal 4f hetweik tot de derde magt verbeven
zilndej dit getal 6/^' weder voortbrengt^ te Bepakn. (Hec is^
uit den inhoud van eenen cubus, z^ne zijde te vinden.) (4)
* CuBuS'Wortel , teerlings-wortel , derde^magts^wortel 2^0 drie
woorden, die al^^d dezelfde beteefcenis hebben. (5)

i\\ Wat 19 de derde magt, de cubus of teerllog van een g^ul f

f ft) Hoe wordt de cabus van een getal anderJi gevonden?

(s^ Vanwttr ia de benaming vau cubus oötfpronkel^k f

(4) Wat wil hgt zeggen den cubus.wortei uit een getal te trekken?

(5; Drukt men deu cultus» wortel, nog door andere woorden uit ?

C !JFË R K-0tit1. k-nvofÜD. ft. tEs. 161

J^^^l. f Aanmerking, f Wamtéi men hft' vieHanl «» 4.
^^ut ^^* tl^^^ffs woKtel a + i vermenigvuldigt 1 dan
J-TliJi^ '^l'-yT.,^' f'^ftf^ Jat is, voor den cHb^s van
^fnJ <♦ '^"if^rukking <i' + 3«»i ,+ S-^ï* + ^». t Deze
be(te« uit vier temen.: i». uitjen euius van a; 2». uit d.-ie.
m^al het proétct van het vierkant van a mi het getal b:
•^•.f ^"etnaal het product .van « n.et het vierkant vanb;
CT» 4'. uit den.cubus van *. (.<Ö '

; Ssav' JI AANwiiKrt*?. •. filen. km -Jeze uitdruWng eok onder
eau mtdere gedaoMe brengen. Vfm, tor de driejaatfte ter.

wordeh- ^^ * ^^ ook» op ,<!««( wijze, voor^etteld kufluen

,<* + iy = «» + C3«a + 3«* .f >»] ,X *
D« cubui èetm IH/eekdige grootheid a + * *4m derhatve ook
tiangetmrit worden ^^nk mt .tfi^e kdtn te hefi^an: i», uit den
,mbus jm ■hst.eerjit. lid <»;,««. *// ^et frodmt van de fom
•£1i ^f««"«f ^/'.^kwtvm h0 terjle fid^ met driemoftl hit
fioductvan betde leden, met nog het vierkant van het tyfJde lU,
<n itan deax :fym\ywmnigwiiidigd-t»et ht tweedeM. C7>

853. nr Aanmerking. Wij hebben (I -C. § ng), o»
grond ^ezer .formule, bewezen: dat de (ubui van een g^ü 7,
èejtaande mt de {om vttn «^« ^tal^ ,« + i *!- « + <^ + ^ènz!
^^ J^»Sl»>jrkt mrden , ajs ,uit even zeove^l Jeden ie beftaan ,

■^/J- > -1'^*' '.'■^'^ *»-'^' S'faiA, gedacift worden, en
Hat; aan deze kden z^H : ,

}"' a^ . " ' ' ■'■"•. " ; "• "

•'A^«H •%^^%- ^^«^«"s ,.4e«;e ontwikkeling, AO&wf

O 3 : ^

i6» ALLEREERSTE, 0RONJï«n pt^..

eerlte Ud ai ten tweeden, uit- het product vtm driemaal het
yierkant van het eêrité Kd, driemaal het product van de twee
eerik leden en nog het vierkant van het tweede Itd, welke font
tJt het tweede lid moet vermenigvuldrgd worden; ten derde,
Zi 'het product van driemaal het Jnerkant van de fom van de
twee eer%' leden, nog driemaat de fbm der twee eerfie Uden,
vermeni^ldigd met het derde en nóg het vierkant van ha
J^iTudl^oetende deze fom vermenigvuldigd wor<kn, met ha
a^e lid.— De vierde, vijfde, mdè tn volgende ledm zsjtt

2a'A-b-¥ c-¥ d+ een f,tnz.op dize/fSe wiize.genfoakr,
Js hl derde Ud, ui* d* fi>m " 't '> 'T fj^ ^T'flJ^HK
^dat ai de ontwikkelde termen vm (.f +/^ +-^ + ' + enz.>
^derUttg aan elkander gelijkvormig zijn. (Ji}

gc±. Üit deze fonnule volgï hu de algetneene regei» om,
?Bk éêa gegeven getal ^ den cubus^ortel ie ttekkea.

I Regeu i". rerdefldevgegevenetttuiui, van acteren af,

yn vakken, van drie tot drie cijfert. ■ Het getal *««;/«*■

ien is gekkr aan het aantat xijfirt, waaruit de worta «#-

"^'^i^^Neem den naai* kleineren «K&rwWfW^ uit het eerftt <f
-vmfie vak^ (waartoe dit tafeltje

wortels, I, i, 3» 4» 5. *. 7» * ^ 9'
CTben, ï. 8 ; 27. <54. »»5. «<». 343'. 51» « 7^9
\^pnen kan "i trek den naast kleineren euBus van het veerfk
til afK voeg, achter het ver/thii, de iijfirs van het^ tweede
yak. Het getal dat men alldan verkrijgt noemen wg , koft'

^'^J^riem S^drievmdiie vierkant mm het gevmkne ge.
dAüe des wortels, alt deekr; en onderzoek, door deeStigr
' SéelmZl die diekr op Het getal C) y echtfr altijd ma
■ TgtSy^'n de- twee ''achterfie cijfert, begrepen ^t Fer.
So>Mig hek kamende^, ludt^ent met het ^evoud van het
ZT^eedfelte dei wortels. Tel nu het drievmbge vterkant yam
iet eerffe deel met dit product, , en het vierkant van het ^uo,
tient Ui elkander i UOendé het tweedt en het dertü dezer gfi'

C8> Hoe Ur*9 euBo» wnr teaStj^, m. «k d» ifcm n» *lft fl^

CIJFERKUNST. IX HOOfFDD.JLH^M^A i^

nigvuldigf men^nogmmb, mui het ifff^niemqfÊ^en$^^:im irtiilte
het product van het getril (♦) af. ^ i ; -^

4^. Achter het verkregene ^erfctól^ plaatze inen de 'drie
cijfers van het derde , vak ; dan verkrijgt men *eén nieuw ge*
tal (*}. En men kerhale^ om het derde ^ vierde en de volgi^e
cijfer i van den wortel te vinden , dezelfde bewerktng. (9)

855. Voorbeeld. Om den cubus - wortel te vinden- uit^
565aii32p68pói4öiö? (Zie de bewerking, p]p de Voigende
bladzijde^ ^ »

VERKLARirTo» Meti verdeelt l)ee gegevcDCfeftaf, vm acfitiwen af»
"van drie tot drie cijfers , en vraagt i üfelke hde naaste^ MUlnere eum
biii'worjtel uit 565 1 Deze is 8, Mc» trekt den cubus' van 8 :=± 8^ X"
8 X 8 = 512 van 565; rest 53, Naast deze 55 fteHe rifêH de c$fer»
van faet tweede valt 211; dan beeft men, in p 9 het gecaï 532ii«

Hét eerfte deel van den wortel fs <; = 8* Öm nu hec getal h te
vinden» vermenigvuldtge men a^ -Z 64 en a =; 8 beide met ^^n
komt 3^^ =: 192 jen ^a rr 24» Nu vraagt ment ^otfK^^/m»«/ i/
192 , begrepen op 532 ? k.omt voor b het gecal o* Verder vermentg-
Tuldige men 3^ = 24 met 5 r=. 2; komt %ab = 48, etfj^'^z^ j
zlfnde» (lelie men 3/1' =: 192; 30^ = 48 en ^^== 4 = 04 20oda*
nig onder elkander, dat elk volgend getal één cUfer aCtftet fprlnge»
(hetgeen dtiarom gefchMt ^ omdat het cijfer 8 een tiental in vergen
iifJUng van hef ci/Jer 2 zijnde^ ^a^ in vergeUiking vatt ^^ een~ hon*
derdtatf en %ab^ in vergelijking van ^•, een'tiefttaï is,} De fom de»
zer getallen z^^ + 3^^ -{- ^* =: 19684 vermenigvulcK^ men roet
. ^rra, komt, voor het getal B; dat is, voor C3<»* -h 5«> + *'}X*
liet getal 39368* Dit gecal trekke men van p of van 5321 1 af» i^eat
13845* Naast dit getaf ftelle mea de cijfers van bet dierde y^j^nt^*
nel^k 329; dan treeft men bet getal f, of 13843329*

Om DU verder bet voegende ciff er van den wortel, of ^, te vin4eir, \keni
ge men bet reeda gevondene deel doa wortels^of tf -f* ^ =r B2,!n bét
vierkant^ dan fs (i? + »> = 6724 , en n» vermenigviridip men Qa + b)^
=r 6724. es a -f- ^:3: 82 elk mees , koèir s <« ^- b}? r=:8c»72^ett
8 C^ + ^) ^= 246* Men late van bet getal ^ de twee acbterfte citers weg .
en vrage: koereelmaal is 20172 op li^^ begrepen f komt ^ maal, of
c Ziz 6é Men vermenigvuldtge a C^ Hh }> = 246 met>rr6,kom€
8 C<r + ^) X *= 1476, en daar^2=3(Ji«,ftellcraeny tdkenf ééocöfer
tchterait fpringende, 3 C« + ^) 3^20172, 3 (« + O « = 1476 en #ft=3($
onder elkander; en &n Ia de Ham sQa^'by ^ s ia+byo^-h>c*^Z
ao^iogó. Deze fou» vernenigvuldigerQien met e :=: 6, kont eindellk hec
fetaf C; dat ia [3 C«4-*>*+3C# + i0^rh^'3Xtf=xtti5M9Bi DN

ril trekke men af van f, feit. 1651356* Achter dexerest Itüle mea
ctfcra van bet vierde vak ; namel^k 68^ e» da»^ beeft men het &••
al r of 1^853689, hetwelk tot hetviiMra.^na bic voigeiK^^cttfar
(fervoig^ Bladz^ 10^

<^) Welke i» deèegel^on den cnhwwsft^ vdt eenlg, 8<||| eer
llikkeiif -. ' - • - 1 ■

04

ÉË^fiKEii*© D^ ** voonEEfcio "rau '^n t^9} '^^- ï^3*
^ 56^ l 2IT l 329 1 68p;!^ 614 1 61IS r± 8068^06
' <^5i2 » , .'A ■ " ' '

: .^f f2^o4^57^^J^
reit o

ah cd e f
'¥*0'Öm het ffétni B te vindt Hm

i^. Om het getal C te vhdeH.

'n^

-—-3

• • 4

04

48
-Ca .

4

t$684

*<fya4 :<

• ^a

^173

• « ^. 246

i47d

$Qi7i2 • • •

3-9368 rr «<?f ^^1^7 B,
.3«, 0/7/ 7*^/ ^<;7i2i 7) ^^ binden, ,w^
8:6

^fia7<5 826 .

—— ^ — ">■ 1^ 3 .

aö4Ö8^8 . . . .0478 .

d :zi 8 • . . ^ Ö4

204<J928 . • • , 1^824
19824 «
1^^

Ö4

294881104

:^ — 8

l659<»48832 5tt A^f ^^^^ J3.

j MB. .JW/ if*i ^l^ttffe iéenÊerkijtg^ ziU men vlnétni dat hU y^T-
üjfer

0atdk cijfer ^m mtLtmatafiu

A^mOmit^.^al £ tg f inden»
Sa6«o : .

,1 11) lil I *■ t ■■■! ■. ^

~<»3S^SB4lro # * • • < vMeo

,^ii *Mi II .1^ ' ' 'ir- '1 ' ^ (13

4iq|Oj59J|7fiOO *-♦.» 4480^0 \i

toou«.v«ii4i^94a^ ,
14^8240 .- I .
36

r'«-* «^^6^ ti

L 10

ap5q8oj)6o345^

ta9Q485/tf 14^16 = iet getal Bi

Digitized by CjOOg IC .

\ CIJFERKUNST.IXHOOP0JXUI,LES^\ tdr

van dén wortel dtettcn moet; ^Br^end^^ zoo- aU hreedir^in dd uUgt^
verktc fchets , kan gezien warden^ elk volgend cijfer van den vor»
uit op dezelfde wijze ^ met behulp van de formule rdn art. 85a»'
gevonden, (10^' Na het einde der bewerking , blgjit bet : dat de^ fom
der getallen A^B, C,.D en. G. aan het gegevene getal cel^k is^ en.
dal derhalve de gevraagde cubus-worcel z= 8a68c^ Is. (lO^

85(J. Op dezelfde wijae, woffdep de voigéiide voorbeelden
berekendi ' ' '. '

1^39304=34; iK?04p69=8p-, 1^789535^9 = 42 9; ^^
1^ 1157284151=1:551 5^2258(56529=609 j36736^ooo7=iSC7"
1?^ 534-97400832 = 370a; ^3979152^944 = 34Ï4»
1^ 23076099423 = 2847 ; ly 2202^94373 19 = Ö039 ; ' •

^ 19880486829 = 2709; iK 8o84i94343=.2oo75
1^5497558i38S8 = 8192; 1^4398046511104= 16381;. ^
l?^35i&4.372oa8832 = 32768K l?/28i47497Ö7to656^0553tfJ[
1^122^1799833685248=: 131072; • ' '

lP^£ 1 5292 1504606846976 =i: 1048576'; ,
^253452325273410980702625 =: 63:284705»
1^22762660963735440852831 = 2&3405.11 > :

1^^327691^56464059044417929 = 32000409* ;

857. Men anderfeheidt de geheete getalkn^ in ^èlkomene m
(mvolkmen^ cuUeke getalkn . Ci.«) * Vplkomene cubicke ge- .
wllefl, 1 , 8 , 27, 64, 125, enz zijn, wefke uic de derde mag»^
ten of de cubea der natuurlijke getallen. ontftaan. (13) * Oi>
volkofflene, als a, 3,4, 5,6, 7, 9, lo^ ^'js. welke jt]®|ï;
fchen de volkonxene jcubieke getallen invallen, ■(14) I vit /sar'
Mvolkoméne cubieke getallen kunnen de mmh niet y&ikthnen^*
e» dus fiechis^ bij benadering^ £chter zoa namwl^eurig •, ah men^
rsrkiesty gevonden M^oröfeifc O 5)> ; Men volgt ^. tqf dat^einde;»]-
dezeu reg^ , ;• .,\ ,■.':.' ■} \-^[.l

85a.' Il REGfiit, H^anneer men /0/ het laatfte ,perk 'geta^
men is; ^n fielt men^ achter iel .gevondene gedeelte van det^,
wortel, het detimaalpunt , en verder ^achter het overfchot • van
de laatfte bewerking ^ drie nullen: men gaat^ op deze wijze ^ voort ^

f 10) VerklMt het bfeevaegde voQfbeeldt

Cii) WellSR de grond dezer bewerking?

(12) Hoe (fiBferfcbeidt men de getalHent < ' - • ■ • " •

O 3-) Wat z^n volkomen cubieke geraMenf :\* ^' ' ' '• >

O4) Wat zQn onvolkomcne cub^'cke getallen! ^ '^•

(15) Kan men uit oavolkoaed cahlekegetalleadea wortel vreltrekkes 9/

lis A^lrLtVtrElTSKS'TlB óm'/itii&lLU oer

fofém'mlHi ' eén püile^&am èottUft ajfin 3ér tfendeeüge breuk
gevonden hhU. (i^^

^ i == i,ö5f?9aiQ ; ^ \ == i^42249<T; T^ 42= 1,557401 1 ;
t^'^5=l «70^975^; |K({=i,8i7i2o(5j 1K7 =5 1,912931-»
IK9 = 2,0800837 ; ^10 = 2,1544347» <W2.

III Regel. Om den adfuswortel uit eene ttendeelige breuk
t^rekken^ deeïe pten , yan het decmaa^punt af^ de geheeten ,
vWrichteren naar voren ^ van drie tot drie cijfin^ en de tien-
deeUgen^ van y wen naar achteren^ imgeHjlts van drie tot drie
cijfers y eri ,t rekke den ^umrtei^ als naar gewoonte; mits pièat*
zende het decimat^punt ^ in den woftei^ op zijne behoorlijke
plaats, (i))

Voorbeelden. . ^

^390778.221231 = 73rit f SS 1?^, 0^03781 8H17 = 9>So35
^0,00001600300! ar. ö^aasai lKo,t)ö5 =20,40^07257;
^ 1,6 = 1, 16960709*

is,, volgt hieruit: dat 'men den cutnêSéi^^aHel nit een gebroken
vladen, taij^ sifanneer n$én den cnhn^mlrnl trekt uit hei pro-
du£t^ 4at nneh verkrijgt \ Wanneer fken den ttJidr më^ dè treedt
nfagt van' den metker vermenigyuldigfi én ¥^rts dien wefreel
door\den jnoenie^r deelt* (18) Doch^ kij de uitvoerhig ran de*
2£n regél^ moet men onder bet oog houden': dat % volgens de
formele y P^ d*b =: a^b)^ wdnneer\' in het geheèk getaP\ pn^
der het worteUteekeit i fketdren- Wórden' ge!voh<kn% die votkomene
cubieke getallen zijn , de cubus-wortels uH die factoren küiteft' het
Wor^ëtleè^gêbragffkoeMt ^fimdeni^^.^')^^ zofr^te-mea, .iiii,sde
dh(terftds[iidö ufègew«HKe vo^rbeèideti,^ vercbr 2sie0 ]mu •: ]

Voó^TliEBLtóN.

' iV ^i = \^''4 = 0.7937005. '
ji*LjK.3== l^iiXj2^=j^ 18=0,8735805.
3^ l^^=il^4X8i=i^45ir3ira/£=|F"nr=ilKttr.-

(l6^ Hoc benadert men den wortel Mh onypMwQqiene .«^U^ïHt ïcïalifcn?
(17) Hoe trekt men den cubtf^wufttel iiit cewc uj^htj AiJ^t^ btf^ik.
<i8) Hoe trekt men den >¥0!rt»Luii een .gewoon. giebrok c n '? 'J^
Op) ^^ «wt atwi^obiJ^.ttitvaM^ va» ükn rp^d^vcx<kr ia icht

CtJFERKüNST. IXFlOaFDaUL tüs. tê^^

8M^ i| = iK I =iviiK .8 X 2.5 = i^. 35. ; .

pM^^5>=l^M=A1^54XÖ25=;,è:l^aXVX5Xia5
. -. — ili^ao, , '^ \. . ;.- ■ '-^ ^^^ ; T

. fttota VOORBEELDEN. j?«« cuiusmwoff^ tf trekken uk li.

fienhak gmomen worden , ow zooveel waters te kunnen bevatien ah
ten andere regenbak , die ka i^i/^rf 4Up ; q,% ^oei hinden «J» yUtê»
Irted itt :■" . ' .'. :•■ ■: :- -/-..i v j i: ,-^1:7 r .!• - -
a Vraagstuk, /^o* ^roof oto^^ de zijde vasueeneif eu6»t jr^mamM»
worden^ om 719 (^/uhieke voeten te Uvattenf ^""^'^^ ^^^"^ m^mn^n

5 VRAAO-itilK-.r Bo$¥e0l:ka»i ^ét^^tr^^mOèt *4iv» dg^s^'dê ^n eetê
whus nemen ^ óp dat de inhoud n^8^^ en^,drU^yiar4é,sm4tal mrotim
ter worde i ^t*\..-i .■ .:j. ; . z^''^

4 VaAJAPsriHN ^^n^H^^tr^m«Jui^ ,ait M90'n$e{^nbêuis knefe.

alt de A/3 van Je, tnhquden van drt,e, cuben^ wetker zijden %jt vosL

ten \\^7%.ert t^j^7'yo)eten tengtt hèbben^f' ' -. ^ . ' ^r . ^^,

I 5 VRAAOsrbK, n^khneer me» iNth éen i^sulf 4e kéPft ïnet dêd*

f zelfs derdepart yc:men\^xuld}(^ 4^ x^i'^^oimxti^a.^&u^ei^gi^

6 Vraaostuk* ' Se» gMlfehap ^fm >- m&inmah ,èi^i^ J^^
09 driemaal iiooy^£i-k)n4ti^.^ih^^Km09i^

elkander gerekend^ zooveel fiutvers verteerd^* als bet ylerkant^an
%0f gêêol dèf fUMmtemAfdrOkifff; Moar:(^rn^q:^k^Jlu9i»»Jis B^re
'Perteerd hebben; vraagt ^^K^l,^ M^'^^.^f^»nA%^^^miêwm en kimm
deren dit gezel fchap beflond^ •" ' -"' i^y^^-^ f^ ^{^

Reekfen en <jfe Logaritbinei^ , . ^

. 1. !•. . «• Digitizedby VJ?. ^ - - , , '"'^

CO Wit Is ecae rekeokunftige reeks Y ^ ^^

i«8 ALLEREERSTE CROiflOEN der

t. a, S.4. 5, «• 7. «» 9/»o, ti, u, e»».
M, 3. 5» 7^ 9. i^. i3* »5. »7» JP* ^Lt^Vn''*-

fóot ^3 pö, jr4, 9^, i?<>, 88^ 8ö, 84, i?i?2. C2;

86a; * 'Men kan ooic zeggen: ^éne Tekenkifeftig:e reeks «
eene reeks, waarvan eJke t^^ee op elkander vöJgende termen
>^zélfde verfchil hebKen, <3)

803^ • Men onderfcbèidf .Je f ekenkUnmge reekfen , in afh-
Mmméi'de en afdaiende. C'4) " * Eene reeks is opklimfnenóe,
wanneer elke volgende term grooter dan «e voorgaande is;
gHijkv 7, i^V ^S^ »^' ^3; m i^nz.ip. • Zy is 4^dak^ ,
wawïèep etie volgende teem Hl^iner dan die vo^rga^nde k;
geiyk 33» «9» «5f 21, 17, 13» ^«** CO

861. * Het verfchil van eetïé rèkeökttrifHèe'^ féfeks is bet ver-
ftbil van 'twee v^ö derSEelVw op efk^nder volgende teipen, {7)

tó< ixA de eerfte term van eene rekenkiinftige reeks
= a\ bet verfcbil der reeks = v gefteld worden,- dan is de
öptófemmende reeksi' ^ ,;^> \'

as <^ + n tf +;fty, ^*+^e**f « + i»»» * + S^»» enz,
^'^afihlènde'Veekir:' ''* ' '

^» deze mè algemeene reekfen, tn welke voor a en v atte ge.

heek m gebrokene getallen kunnen gemmen wordefi^ Reuen aue

mogelijke rekenkunfiig^ reekfèn in getaHen y<wr. (8)

^ '856. * Men lioeint a den eèrftèn; d '+ v den tweeden,

ol^ ai» denderde» t$aaa,t«w5 • bieruit volgt: dat de «* term

^ a±<in^OXTW(frdtuUgec^akt.C9)

r/Wi Hieruit vdgePi vow eene opkflmniaide eo afdalende

itA* é ^ volgenée algenièene" rcekf^».

r«) Oeef voorbcel&nt ^ ^ -^j^«

f o Hoe kap mcq de rckenkariftlge reeks b» anders 1>epilcnT
CdS Hoe¥éèl foorteb van rékenkuflttlgc fcekien £jn er?
(kS Wat is eene opklttDmeiide reeks ?

(6) Wat Is eeiie afi|akade red(ff - • : a,^ .^v.«

/7^ Wtt verfttat men door het vecfchil eener rekenkanftlge reeid T
XÖ O^ ^Wc eene v^Vzt kan men^ioo iwT eéne opklimmencjft als afda-
lende reeks algemeen uitdrukken F .
^^^f^ ^oidt de. g^ t«» oaaar rafcanknaftigt mtiu alge^awi plt-

C IfFER KUNST. X riOOFDD. LITI tE$. i<Jp

opklimmende af dalenét

reeks reeks

^er^ term •••« tf ••••<•% tf
t'A'eede ierta » . • .tf+V.^t. • • « — y -,.

derde term . • • • tf + av « % . • tf— -«y

*nêe,tsrm . ^ . • • tf + f»— l}^» • «--C»"^') v* Oö^
868. Gevolo, Wanneer dus de eerft^ term ^ het verfchtl
en het: aaptal ter^nenefner rekenkunftlge. r^eh gege\»m zijn;
dan zal men den kféOfien term vinden, dóór hel verfchtl te ver^
menigpteld^n wei een getal , d4t één^ minder ii dan het aantal
der termen, en door verder dit product hij den eerften term op
te tellen, indien'^ de re^l^kHmmende, maar van den eerfitn
term cf te trekken, indien de reeks afdalende is* C^O

Sf^ I VooRBEEto. Pefiè relrenkunflige reeki, g, 13, 17, enz.
VePcat uit 96 termen, welke is de laatffe lerm^ Bêrékbnino. 90 —
i'zT- 95; liet verfchnib^=r4; 95X 4=^S?o* De eerfte term is =2:9;
dérWalve is.de laatfte term rrr 9 + 380 = 389.

870. a Voorbeeld. De rekenkunpige reeks , 3093 , 305;^ , enz, bt"
pfiat uit 65. termen, welke is de ladtjle term f BfiRSKBNiNa. De
e«lle term is rr 3093, liet verlcliil =t: 1003 — 1057 = 36, het
eer al der lermcn, =:: 65 ; 65 — 1 != 64; 04 X 3Ö = 2304 i der-
halve di laatfte term z:z 3093 — 2304 =: 789»

8-71. i Eigenschap, t ^* /0» der uUerfk termen van
eene rekenèunffigè reeks is altijd gelijk aan de fpm van twee van
der ze !v er. termen , welke even. ver van de uiterfie termen
-affiam (ia)

Opmelder*i^g. BS voorbeeld ♦ iBderette&kiin(llgerede8,'4.,7,To^
13, lö, 19» aa, a5,is 4 +ö5^7 + 2ar=:io4*ip=2rt3*f io;en
wanneer bet getal der termen oneven is; ^n is dei foirKteriiit^r fte
termen gelgk aai^bet dobbel vap den mid^lftea term^ (13^

" Betoog. Laat de reeks zQn ia fü-^v, a-^av ,a -psv » enz. en bet
^etaV^def termeB = n', dan ztfo delaÉtfretermeÉ <j'4''0^'^ 5)'^»
* + C» — 4)«*» ^ + C»— 3) v,a + C*^-a)vtna +<« — 1} v; «« i«

a+y + a'j^(,n^2)yz:X2a''in^i')v
/ï4-av4-,4 + (ii — 3')vr=:atf--(« — i;y *r

.«x3y + ^ + C« — 4)^=ïï^atf + C«^— i) y. tf«Jr.(i4>

I (xo>.WftUvolgtJÜ6r uit.?. '

, Cii) Hoe vindt men den laatften term eener rekenkundige reeks!

Cia) Vin is de eerfte eigenfchaF^ ectier rekenkundige rfwks?

Cl 3) Helder dezéiy^ door een voorbeeld op?

ti4) Hoe bewust men dez^c? Dgizedby Google

1XBMU

170 ALLE RE ERSTB ORONotit otn

872. II EiGEKsniAP. De fom van al de termtn eener re-
hetkünjiige reeks is gelijk aan de fom 'der uiterfie tein^n ,
vermenigvuldigd met de helft van ha aantal van derzeher
termen. (15)

Opheldbrino. Gegeven lijnde de retenkunftige reeks 7 11
15* 19. ?$. 27» 31; d5, vrelke u^t acht termen beftaai; dan zal
I^."8tó^'' + *' + '' + '' + ^5 = f'+35)XÏ=:4aX

Betoog, Wanneer a de cerftc term, v het verfcWI , en n het
aantEl termen is, en men ftdt ecrsi al de rermewTvan^ de reeks, van
voren naar achicren, op, en daar onder al de urmen van dkzeJfde
reeks, van achteren naar voren: aldui:

^ , ftf + V ,fl + ïy ••••'.

ö + '»— i)y,tf + (» — 2^y,ii + (« — a^y • • . . .

ö 4- '« — 3) y , <7 4- C» — a y , tf + C« — O y

en men telt daa de overeenkomftigt termen dezer twee reekftn btf
elkander; dan verkrijgt men, volgens de eerde eigenfchap, ecn«
reeks van w gelijke getallen, elk gelijk «önde aan na + (» — i) v*
D^ fom van al die getallen is dus ge!(jk aan n maal aa -|" f^— 1 v;
^at'is, geltjk aan n maal de fom der uhcrftc termen; rcaar nn is ht^t
kiaar: dat de fotn dezer getallen, en wel^ om«lac elke term der reeks
tweemaal genomen is, .^êltjk. is aan de dubbele fora van de termen
der reeks; gcvolgelijk is die fom gelijk aan de fom der ui ter ften,
vewnenigvulijigd met de helft van het aantal der termen. (17)

873. * GeVolo. Men kan dan^ zonder dadelijk op H telkn^
de fom van de termen eener fekenkunftige reeks vinden.

1 Voorbeeld. De fom te vinden van al de natuurlijke getaihn^
ya» t tot. löco ingefioienf "Dtxe. maken cene rekcnkunih'ge teeks,
met ëén opklimmende, en uit* 1000 termen beOaahde: dé fom der
uiterfte termini is loci en de helft van bet aantal der termen zrr 5001
derhalve is-d<5 fom vau 1 + a + 3 + enz» + 999 + 1000 z= koi X
500 == 50O5CC,

. ft VooftBBB>D. ffoe groot is ds fom van de termen eener r^kenim^
flige reeks ^ jyelker tvee.eer/fe termen i^ en 03 2I/», ea die uit |oq
termen heflaatt Bet verfchil dezer, opklimmende reeks Is 4:t^elaatfte
tctm IS dan , vqlgens art, 8^8 , ==? 17 + 4 (too — ï^^=i7 + 4Xg9
=r 4i3;4ie fom der uuerlle ternicn i% derhalve t^-f-A^S^^ 430«^
de totsft van al de termen = 430 X 50 m 21500.

874. Aanmerking. IVanneer men de fom der uiterfie termen
na» de algetüeene reeks^a^ a +'y » ^ + ar , euz ,a + C'^ — 1) y ;

Cl 5? Wellte is de tweede elgenfthapf

( 16; Helder dezelve op ? • r^ T

(17) Hoe bewast gfl de tweed^ eigen fchaprfg^^^dbyV^^Og ie

C !J F E R K U N S T. X HOOFDD. Lüuiu. i;i

nametijky^a + (« — i^ y\ vermenigvuldigt met het haWe aan-
tal der termen; dat is, met jn; dan verkrijgt then [omdat
lnX2a^: §X 2 XnXazz:.an is, en in.verm.met C« — O^
— g » (« — 1^ y «,] indisn men de fom der termen z^ s/lelt ,

s z=s on + ^ -^Xy

ft

en deze is de^ bekende formule , om de fom der termen te vinden ,
wanneer de eerfte • term , het verfchil en het aantal der tei'men
gegeven is. Voor eene afdalende reeks, a^ a -^ y, a r^ uv^
enz. « — C« — O ^ is

sz=2 an \^ ^- Cl?)

875. VooRBEBVO. Zij gegeven, om te fommeren , de reeks, ^tg ,
^y^J^^ 5° ^<Jrz»tf«; daa ü * = 719, y tzr 4 afdalend, « = 50 i

#0719X30 --52^X4=719X30-11X29X4 =
^ •••••• • 19830 .•..•. • (19)

^6. III Eigenschap» PFanneer men , e// de termen va
tetse rekenkunftlge reeks ^ 7, ia, 17, ^^2, 27, 3a, 37» 4« 1
47» 5^», 57 /enz. i»^/ overfpringing van een gelijk aantal onder-
ren, eenige termen neemt; bif voorbeeld, met overf^inging van
éénen term, 7, 17» 27, 37, 47, 57, enz.; of, met overfprin-
ging van twee termen, 7, 22, 37, 52 enz,; dan verkrijgt men
altijd eene nieuwe rekenkunftige reeks, (20)

B8TOOG. Want het verfchil van de ultcftte van drie termen, 7,
ta, 17, of 12, 17, 22, is altyd het dubbele verfchil; het verfchil
van de utcrften van vier termen driemaal het verfchil dtr reeks, etiz.
Wanneer men derhalve, in de reeks ö,/a + r,tf+2y,fl + 3V»-
f T 4^» <f»«. van den eerden te beginnen, telkens eenen term over-
fpring: ; dan is hei verfchil der nieuwe reeks z=z av ^ fprhgt men
twee termen- over^ dan is het verfchil der nieuwe leeks =: ^9 ;
fprtngt men telken^ n termen over; dan is het verfchil der nieuwe
reeks C« + i> v. En ztj ia , in dft geval , algemeen ,a ,a+ ^ri J^ i)y ,
/i + 2(«+ i)y; zifnde de pde term j ^.(p-. u («4- O^-CaO

877. • Men noemt de middeifte ^ + jf van drie op •elkan.
der volgende tetaen,V, a + v, a + 2y eener rekenkunftige

O^^ Hoe kan men de (Dm eener rekenkunftige reeks andcftirfldrykken?
(19) Past defe formule op een voorbeeld toe?
C2q; Wat zegr de derde ei:icnfcliap ? ^ j

(21) Hoe bc¥fflSt gt deze eigcolchap ? DigtizedbyV^OOgie

P 2
f

reeks^ de rekenkundige midden - evenredige ^term -tusftlmn 4a
uiterfte cermen a^ en a + .2v,\t2?% *Ookir|n a+ v.^^viv
de twee midden-evenredige termen üisfchen^ en « + 6»«.><fir»,
hieruit verdaat men ligtéiyk: wat drie, vier, vijü .tfi/», ^q^
midden-evenredigen cermen zyn. (23;

875, IV Eigenschap. Men kün^ tusifchen elke pj^ee getalL
hn^ die^ naar %fielgevallen y aangenomen zijn^ zooveel getalLn
flaatjen , ah ^mm goedvindt. y welke ^ wet 4k rtiM gétaikny eeüe
fHikenkunfiige rseks ^mtmaken, X24)

Brroötï. l-aren-ö en ^ die twee getalteti'*8n,ttt»r(éhen welke men
n midden - evenredigen getallen (lellen wil. Wanneer inen mi tlefce
midden- evenredigen tusfchen a tn b gefteld heeft? dm beeft men
eene rekenkunftigfr reeks, welker verfdul nog onbekend is. Stellen
wS dit verfchil tiir -y ; dan is 4e reeks, tf , tf -4- y, tf + ay enz. ;
en, omdat er , tusfchen a tn b^ n termen geinteiyolQerd of ingevoegd
worden, z^o h b tieC» + 'a)^* ^^^ 9 en üerhaïVe is , «ie art. 87^,

h = Cn+ilv + ai («+i)y'=^-tf en y =: ~f geheel iw

icefid.; «n de jaiddén- evwtfedige getallen ^ord^ ^rbahfe* a +

VOORBEELD. Neiti^wii , Vtf voorbccld , Hat ^tttsfche» de getdllen
f en 57., nè§<in4ennen^lUn^geèmerpfiUei^^'m^éiix dtói is 0=7,

^ =: 57 en o + 1 == 104 derhaNe y =i:;jq-j = —^^^S «» 4^
geinterpolèerde 4:ermen x«n r+ 5 = "'7+^X5 = 17^^««. f SR5)

^rr^ GEVOTiO. Wanneer fnen^ tuÉfcfun elke twee óp éika^
de/volgende termen eener rékenkmftige reeks, bij -mrbééld,
'O., 1, 2, 3, 4. 5» <^. enz* hetzelfde aantal vmn ^er^
tnm interpoleert ; dan verkrijgt men eene itseuu^ rékenkur^^e
reeks. (27) . ,

Want voor de termen,^ welke t\wfcben o en i villen , heeft mm

— ' "^ ^ — ■ i_ . voor de termen , welke tuafielien 1 eq a

.(tóO Wat Is het rekenkunftig middett^vcBreilige getal tusfcbca iwce

C^^'wTl^verflaat men door '« rëkenkuuftlge evenredigen gciallcti

tuaCcUea twee -getallen? .

Ca±) Wat zegt de vierde eigenfchap ? ,. ^ .

l4> Hoe woTile» de-i^enfeWige middn» ev« red^n lusklieu mme

getallen gevonden? * , •

C:6; Geef een voorbeeld in getallett? ^ ,

w} Wat volgt hier uit? oigtizedbyV^OOgie

C IJ FER KUNST. X HOOFDD. LIH. lés. 173

2-1 i

v«IIeQ, is infgelöks y =: - , = ~XT» ®"» ^^^' ^^ termen,

ti "y" I ft "i" »
welke y in bet algemeen , tusfchen p en p -f- i vallca , is y z:=

; ^"^ f *"P rs — ; — « ^e oieuwe reeks wordt diensvolgens :
« + i jf + I

I 2 3 « «+i

o , j 9 , 9 _, ^*# • • • ,. , 9 — !7~^ of I ,

» » + 3 , ^

LIV. LES. Over 4e Meeckuuftfge reekfe».

878. ♦ Eene Meetkunftige reeks is eene rij van' getallen , in
wetke elke twefe op elkander volgende termen, overal, de
geheele rij door, dezelfde reden of verhouding tot elkander
hebbeu (O

%79» By voorbeeld: i| 2, 4, Z, 169 32, 64, enz. i,
3f 99 ^7» Si 9 243, ^2* I, 10, 100, 1000, loooo, enz»
i> ff 4« f) T*^» 'ra> ^«* Zijn zulke reekfen; want i : &
=52:4 = 4:8, enz. (a)

880. t ^en onderfcheidt dezelve in opklimmende ett afcfa*
lende. (3) * Eene Meetkunftige reeks is opkjimmende, wanneer
elke volgende term groocer is dan de omniddetljk voorgaan*
de, (4) * Zij i$ afdalende, wanneer, integendeel, elke volgen-
de cerm kleiner ie dan de onmiddelijk voorgaande. (5)

882. I Aanmerking. Aang^zi^o de reden van twee ge«
beeie of gebrokene getalles a tot b^ door bet gebroken a i b^
bepaald wordt, zoo is bet klaar: dat, wanneer men den e^«
fien term a dezer reden, met bet .omgekeerde dezer brenk;
dat 15, met b i a^ vermenigvuldigt, het product de tweede
term b van die reden zal moeten zijnj omdat a^XQb i ay:SL'b
is. Hieruit blijkt dus: dat^ wanneer men a en b^ als de twee
êe^ êermen sener meetkundige reeks aanneemê , de derde term

CdB) Itetder dit nader op t

%jL) Wtt verftMt men door eene Meetkundige reeks 9
fa) Geef voorbeelden van Meetkunftige reekfen I
Xv Hoe onderfcheidt men dezelve t

ijS Wkt verftaat men door eene ookllmmende l^eetkonftige reeks f
I WM vsrftMt aeo doos ccno afdalende MeeUuAttige re«ks|

P3

174' ALLJ^R EERSTE groicden dkr

van die reeks zal gevonden worden , indien tnen den tweeden term
b , met iêt omgekeerde van de reden a i b^ dat is^ wet htt gw*
broken b i a^ vermenigvuldigt. Die derde term wordt dus

b b* ^
^ X — = — f «ï» ^l»oo roorlgékinA, door eiken roorgaatfden

term met de verhouding b : a te rermenigPuldigen^ zal men ai
de vslgende termen der reeks ^dk 9 4ot -in net oneindige -^ itan ver^
volgd worden f verkrijgen ; te weten:

a» b^ b^ b^ b^ h'' ^^

b b^

Gevolg. Stellen wij nu -^ r= r; dan is^ 2=1: ?7r, -^ =
** a a

b • ^' , ^* '

ax— =^rXr = ^r»,-r = ^><-r==tff X/* t=wr3, enz.
a a^ a* . .

Het blijkt dan bietuitj f ^^ ^^ '^eetkunftige reeks ^ op (k ah
gemeenfte wijze , door a^ar^ ar^ , ar^ , ar^ , ar^ , ar^ , enat. . • af — «
kan worden uitgedrukt ; in weike ^uitdrukking ^ voor a en r ^
eile geheele en gebrokene getallen kmnen genomen wordep. ,Oe^
ze algeweene reeks, is nu opklimmend of afda^de ^ naar dat r
grooter of kleiner dan één is. (7)

88a» 11 Aanmerking. Elke vuetkunjiige reeks kan, in eene
bijzondere aaneengefchakelde evenredigheid ^ jonf bonden, worden^
in welke de voigènde term van elke voorgaande reden gedjk is aan
den voorgaanden term vian de volgende-^ wnnt raenl^eeftr
a, ar t=:ar i ar* TZ. ar^ : ar^ :S= ar^ : ar^^ énz^ (8)
* 8^. * Drie op elkander volgde termen éener tkeetkvnftige
'teeks maken eene gedurige evenredigheid. (9) f Eeue gedurige
«enredigftetd beftaat derhalve ült 'drie geitfll^n , vari' w^Ifce Hée
éerfte Öaac KM: bet tweede, gelijk het tweede tot hét derde.
'♦"Het <krd« mxi die getallen noeait méti h^t öW*^ evetfredige^
^"^'lïeÉ twèfede getal bet midden- evenredige getal. (10)

(JiXMf>^ Auodc* irciu wanneer de juree eüerfle-jcrtnfin eener ^fo/'tV«^

flij^ reeks gegeven z^n, de volgende termen?

') Hoe kan men alle Meetkundige reek fejijl gemeen. ^voQrfteJieu?
h Wat merkt^^iJ aangatude eeqe -Alcetkutimge rcèkü^pt
'9) Koe noemt^iTiCa.ïïne^ot) elkaAdejr volgende termen vtfü.eefte üe^
. kunftige reeks? -

Cfoijjjrai vexftaas mw. dan door ec^ie ge4utïg« ftYentcdlgbcjd?

t

C rj.P ER K Ü.N 3 T* XftOOFD'D, U7* UBê ayg

. 984. Aangaande wne gedqrfge eYftor€d%itöid.y tam men ;2iich
de volgende vragen vooillalien. -i^. Tot^iwee t^egei^erte ^etaékfi
een derde evenredig getal te vinden ? 2^. Tusfchen /jtö^ g^0yene
getallen eén 'miaüen evenredig getal te vinden ? C * O
' ^5» ^.^ TVfen 'f!eUe, om tot twefe g:efidllen * en ^ eeo
éetiÏQ evcGSigdig gettd 'ie vindear ^^^txdve as ir; dao »

^r^ = ^: X en 4c ^Z2 — =? — . R£G&u Men vindt den»

u a

ialv£ Im 4er4e -e^'^nPidfge §etalf door -iiet yierkan: <f de Ptv^ede

wagt des tweeden getals-^^ door het terfie te deelen: {i^) M\xs

h h« derde evenredige getal tot a en 3 gelijk 4^; em*

886. -2^/\Vanneer men, nisfchen iwee getöllen. « en A, e^n

ittkldeiv evenredig getal wil zoeken, zoo Helle men dit ge.

uil =: je;ó^u )s a:x "^Iz xib; düs 'Xx rz: db y ch x':=z%/ab':

dat wil zeggen, RfiGbi». Het midden-evenr^ige getal tusfcien

twee getallen is gefijk aan den vierkant %-^vHyrtel xiii dertefi^er

product. Aldus is 'het midden-eveni'edjgé getal ta^fchen 4 eii

9 gelijk aan K4X9 — Ks^ = S. <u)

defi
687^ AakmeRüino, Men kan tkn m term der a^emeene

'fneetktinftige reeki^ a, ar^ ar^ ^ ar^ ^ enz» gemakkelijk vinden;

want, daar de aanwijzer van r altijd één minier is dao het

getal, hetwelk den rang va» dien cerm uitdrukt , zoo zal de

n twtn noodzakélljlr g-eli/k i^n aan jr*""*. (14) -

888. Gevolg. Hierait völgt? dat 4e -eerfie eet laat/ie tei>
nten van eene meetkunftl§e feeks vtm n termen aiddis woam
nitg/sdrukt :

voarjle <?, ar^ ar^,, ar^^ ar^ ^ j;^^ ^ ar^^ mis • • .

achterfte ar ^ ar $ ar ^ ar ^ar- • C^

889. I Eigenschap. Het product der uitcrjle termen eeher
meetkunlilge reeks is ^Isjft aan *ftet pfodlHlt *ran elke tw^ee fer^
meUf die even ver yOn de ulterfie 4enue9 a^aa». Ci6>

(ii) Welke vrasett doeo'zi^ tH} de bo&bouwing eener gednrige evetit

redigUeid op? 4 - ^

(lAi üoo vindt jnen tot twee getallen een derde evenredig getal I
X,ii> Hoe vindt men tuifebtn -««»•» -gAcalUii -#«i wikwiftig 4&|^

(SeiM>evearedig getal?
(15) Wat volgt, hi«->#Jtf . ^^q\^

XX^X W«ü^9 UI d« iioofa-eigenf(ïb«h.e(iBet^ttMdUi9fti2tw'iéii[k^:

P4

1^6 A L L E HEERSTE g r o n d 8 m oi&

OPneLOftRiifo* 4n de rettks.i, a, 4, 8, t<5, ^a , 04» is t X ^
.= 2 X 3« = 4 X 16 = 8 X 8. 1,17;

Betoog, Het proci^uct van den eerden term meiden laatfteo is aXar ""

= «'r ; het product van den tweeden term vao voren, mcc den

tweeden term .van tchtef en ^h^rXar =: a*r f ea zoo voort*
gaoode., vindt meo, dat de producten der termen , ^Ike eveo ver wan

de uicerfteo afflaan , alle gcr^k^zgn aan a'r • (18)

890^ Vraagstuk. De /om van al de tergen eener meet*
küwjlige reeks , die ui f n termen heflaat , te vinden ?

Of^ossiNO. Zü de meetkundig* reeks, a ^ ar ^ ar^^ ^nz% ar en de
lom der termen = s\ dan is, zie aru 88a, axar'^zi an ar*z^

tf/* i'ar* r=:. ar^ « t^r* 3= «f* s ar^ enz, enz, ~ ar lar nr

ar :ar ; mfior , liv r/i^ aaneenfefchalutde évênndigheld , iV ii«
fom van al de voorgaande :ot de fom yan al d9 volgende termen ^ ge*
Wk een voorgaande term yaneenige reden tot den volgenden term van^
duMelfde reden» (.*><-' ^'''« ^^i W«o *>ceft derhalve, ö-f-tfr+^jr^-f-

jf.— a 9*^1

ar* '^ 09^ -^^ enz. -^ ar . : ar -^^ ar* + ar* + enz, ar zzraxar;
maar. de eerfte term dezer evenredigheid is gel^k aan de fom van al de
termen der reeks, min de laatfle, en de tweede term gelp aan do fom
van al de termen , min de eerde term ; derhalve is

«f — tff : ƒ — ^ zn a i ar
td wel« wmae» 4iiea üc termen der laatiU reden door 4 deelt ,
« — I

ftdt meo im 6e prodoctcn der aiterde en middelde termen aan elkan-
der geljik ; dfto iieeft moQ de vergelQking 1

8

\4 dese <• a/-^e ^=: + as" ^ s» opteWeodc,

o

«f (r — r) # == tf X (f " - li

<Mi0 tte40BB4(wr^ — * tl dta wtwdt eindeigk:

'xfe

ri|;y Hctder a«at eigenfcbap door «en TOQfbCCM 0^ t

CyFERXü)NST.««0OiF»atIV.Cii. 477

ffJeruJt volgt daadoxer«gel,oin'de fom van de termen eener mee^
Imltlige reeks ie vinden. UlgbLa yerhef deyeds^dér feelts i^etfk
gevonden v^ordt; indien tnén -dan tweeden term Hoür den "èérfteWttéelf^}

.tnt^eiêne ma^^t^ ^iens aanwijzer gelijk is na» het'aan(Hl'd$r'$i^
men: yerminder deze magt 'jnet de éénhekl/y en thel het verfchfl
thor de rede^ier reeks min de édnheid.JiAKtiHtiViiiiiHoy Doch^'hija**
dien de reden eter reeks minder San 'één is , mffettH de yerjchiliwn

^eiéHmrlHi enddrs om 'genomen worden, ffèt ^tm^nt dtr OeêUnisf
moei met den eer f en term der ret^ w^rt^H ¥9fmiHdgymlidigd^mt
bet proauct zal^dan'aityd gelijk ^cMn de fm*zijn,\i^

091. i VooVLBBntD* De fom te yMdeny.an twaalf termen Jer r9e&$r9
I • 9» 4« 8» eoz. ^ Hier is a =:r 4t r = 2, n zz: 12» l'* ':^ 4«
f' = 8, ir^ = 64, /'»'=i 4096,/** *•! =±46951 r*-i zizt têtSs^a X

^■^ ^' =4095*: Cao)

ftlToöKÉBELD* 'Te vinden ife*fomyan')i(firettté/09etfd^r'rïrêh^Y>^*
da, enz.? Hicristf =7, r = 3. » = 7, r*=9, ^±=t!i7;>^atc

729 j ^'^f^i^TB rrLit:^2m.r^i:^z,.~^^^:^'^^i

S *VoDfe BBBLD* Te rtndénlfêrföm Van zet :tettde% ^tn\ ^^Ci % 9tm^^
HUris# = i,f==j,ii5=<5,f»3r;|-, r'»==;;^,^-r«s=I»-
— =5 — eni — r = i-.j =5. derhalve-^ =p5xj=:

ft43 i-— -r «4^ ;afi5 . •. 1 ..-^. .

4 VooaasBLD. Iemand verloopt zijn huis,^ h{; ién dep fihuk^»
nten ^ in het welk 8 ruiten in de hoogte en 5 in -de ^hreeafe Jlaüüy S^f
, die foorwaarde : hij zal ^opr de eerfie ruit ^tftrtingen dém <#«^,
voor de tweede twee cents , toor de derde yiér eents ; én zoo yaórts ,
«oor elke volgfnde tweemaal zooveel cents als voor tfe vootigdamie^
tot de veertigjle ruit Ingepoten. Tegen hoevéél wiktdens 'heeit hfj
dan zif'n huis verkochte Men vindt: 219902 niiüioen 2^1555 gi« en
51 cents.

apa. II EiOENscGAP. Élke meetkunfiige reeks heeft ^ met ds
rekenkunflige t die eigenfchap getfken , 44it , wmrteer Hfnh , uU ae^
2elve^ teikem^ nm werf^rktgkig vjin oen ^Hjk H4nt(d ternim ,

Ci9^ Hoe vindt men ^fi^ va» de cermen eener meetkundige reets f

{20^ VerkUar hn eelfte vooibeeld?

(21 verklaar het tweede v or»)eclaï

(22; Veikiaor het derde voorbeeid^ ...zedbyGoögk -

178 Al L E R E E R S TE aaoiiD^N der*

sémige termen neemt , iUe overblijvende termen altijd eenê mteu'
we pteetkunfiige reeks zuilen uitmaken» (23}

Bbtooo. Wanneer men , in de reeks, a^ ar^ ar*»^ ar*^ ar^ , enz. ,
teikeni éénen term overfpringt; dan heeft men:

tf, «f*, /«f^, tfr*t tfr*, tfr«», tff'*» «f«,

welkèis eene meeckunAige reeks, hebbende tot exponent /*•. ^prlogc
tnea ^eïkais twee termen over ; din heeft men :

a^ ar^ 9 ar^ ^ ar^ , j r" , ar' » , tf r* ^ . enz*
•iWke getlflen insgel^ks eene meetkunftige reeks uitmaken, (^4)

^gi* lil Eigenschap. Men. kan ook Cyer^elijk-*%ru S?6y)
tmiJten P9ee getallen ^ die haar welgevailen aangenomeik^worden^
zoopeH getallen\ ah men goedvindt^ interpoleren^ welkt ^ tn€t die
twee getallen^ eene anafgebrokene meetkunfiige reeks zullen
9Umakm* C^S) - \ :;

QBTomr. Laten -« en 9 die twee getallen zQa. imfchên weikeo
mmjt middefi*eveiuredigen moet interpolereo;* Steileo w]) deb expo*
waan iwa. tie reeks '^ t § dan heieft men t ■'

at dtt «#••# ör» r • , • . . -,• ♦ .^ * j^

tmxtf^U er ta$k\cn a en l.eea. aantal van • mrmjsn ftaao, swfs,
iolfên j$m a voót den eectten term fteli , > de # -f- ade xerm rvkv^

^^dü êdê ttrtti fa o^*"^*! da« lé de a+ s^te<m iS'r""^',eü
eefir derhalve^

*r^*S=», «,/+•=: 1 aerWve r =•-»-« i.

a V a

m !fteraft teert men? Sas de Msponent der reeks gevonden wordt ^ tm
dtenMênifen Qn + t) ih'gfs^wortel trekt ah het quotiënt fan hes tweede
tter gegicyêwe getallen ; gedoeld door het eer^^ Nu !s ƒ••=:• "t-i ^. ,

*■• ~ \/ -7 » ^iSra* en de gevraagde reeks wordt detbalye:

. V a*

-».-

enZm

l/T'" »/

tf a a

fa^ Welke is de tweede eïgenfóhap der m«ctkunilig« recka?
Ca4> H02 bew(fst gö deze ei>cnrcFiapt

(^5 Welke ia de derde eigenfchap ?
Ca'i). Hoe bew^sc gö deze derde e^gei

eigenfchap f, ig,,,,,;Googlë

€JI?E RK ÜNST. X HOOFOD LfV iis^ 179

?P4. IV EiGtWüCHAi»; fVatmtKr men^ tusfchm elke twee op
flkimder volgende tinnen etner wcetki^fti^e reeks , .aU , bij voür*
beeld I, 2,4,8,16, enz, cf 1 9 '^t '^Ot looo, enz. het^
zelfde aantal termen ^ bij voorbeeld ^ n termen^ inferfckerr ;
dan verkrijgt men eene onafgebrokene meetkunftige reeks (^27)

Br TOOG* Kenicn w^, h^ voorbeeld, de reeKs 1, 10, 100^ jooov
10: 00 , enz. tïï (tellen h^ x dat , tusfchen elke tw« term«o , n Kf
men gcioterpoleerd worden i dau is, voor de ji térmea » ttisfcheo

I e« 10 , r =« + J '- S=« + j 10* Voor de n t fr me» , tösfcljen lo tn 10^
V i y ■ * ,

vallende, !a #? r= « "*" l — =. ■ +^ |6* Voor de » «rmej^ciisfcben 100

, 1000 _i ■ 'k

éa 100 invalleade , it r i= * "*" ! -^ — r=: ^ "t* * 10 » #ïm?. J>e getotetf o«

«4-1
leerde term , wctkepp 10 volgt , Ur ^' to i ratar wjj hebben gezien : dat

10 r= ^10 ; en de teno 9 welke blecop volgt, is |//io • cfri

dez« is =X 10 "^ fo; zoo dat dft cerm , op welkè^ 10 , en d» term ,

M'<!ke op 10 volgt, eeo onafgebroken vervolg van de rcekiB i , y^ 10,

d "i* f li "4" I

1/ 40*, t/ 10', enz. Is; tetwQl de verdere béfchouwiiig dfel

geinierpoleerde termen» tusfchen 100 en 1000, tusfchen lox) en loooo,'
êttZm zulien doen zien : dac &lle dexe geinitrpoleerd? cermen , met de
termen , tuifchen welken zJS lUao , eene ooafgcbrokeue meeckunilig^
r«ek3 uitmaken* (a8;

\y. LES. Over de Lognrithroen tn dtrzelver Bii

8p5. • De Logarlthmeo «//» konstgetallen , velke hgrepêu-
kunnen worden ^ uit de overeenkomst van de rekcnkun/ilge s^eks^
o, » , a, 3> 4> 5, 6, 7, enz. met een& opklimmende meeu
kunjlige reeks ^ welker eerfle term de éénheid is^ 4e ontftaam
"Zij ft rekken^ onder anaeren ^ om de ver^enigvuldlginyfn m
deeHngen der getallen, met behulp derLogarith^neft'tafik^
door fleehtt éém ^fUlHng en iift rekking, Vftn twee, geialUn-i^ uit
te voer én» (i)

fi7) Welke b de vierde efgenfebap ?.

(ft8) HOe bewast g9 deze vierde eigeofcbap ?

CO Wat 2|« Logwhbmen? . CoooIp

nigitized by VjOOv IC

tSo ALLEk^EER&TE crowdetw

D« it

OFHEtoiRiKO, Stellen i»ö ^tit ntvemh
fiaande tftfelt|e ,) in de ^olom B,» t^gea ov^r
d<i rekenkunftige re«ks: o, i, a^, 3,, 4, 5,
*ny^r« dio iyi de kplqm A ftaac, de meetkundi-
ge reeks, i ,.ai 4 , 0 , 10 , enz^ ♦ en noeiHer>
w<j' de rennen vtn de rekehkuniHge reeks de
^C^ahtjmien vm de termen der tneetkunflijite ,
Eeo^ dat o 19 de Logarithrous van i ; i de ï^g*
iwD a; a de Lof^ ¥tn 4; 3 de^Z^i^.. vao 8;

f de Log» van 16; 5 de Log» van 39; dan
nlltn 3e ho?&nihmmhdt vulgende^igtnfcfaap-
pea hebben. (3)

Rpr; i^ Bi^i»s€»Ap. Bt fom van de
Logarithmen van tweCy drie q/, meei^ ge-
taJ&n is de Ijfgflf4ihmu$ van derzeWer.
product» Cs)

' OPflELOBRiNö. Wirmeer ïk de Logarith*
fl^ der getallen- 1^, en. 3a; dat is de getallen
4 eg g optel ; dan ts de fom 0^ en 9 is tra
|e,, Logarith nni5 van 5|a,; derhalve is 512 het
product van \6 en* 32. Teiik de liogartth.
Q^. dêr^ ce|a)l€n $ft, laS en 1024, bq elkan-
flS*; dat is, 5, 7 en lö; dan is de Tom aa de
f^i^^ithpiji» van 4i94.ftp4 » e" dit getal is het
gedjiiig piöduct der getallen 3a X ia8 X ï024, (4)

- 8p^ II Eig|:nschap. Het verfchil van
iU Ls^arithmen van twee get^Uen is de
Lcgarithmui van derzelver quotiënt. (5)

OP«retDRRiN0, Indien ik van de Lojrarith»
n«s >an Ö38§()ö8 » dat; is^ v«n 113 ^ aftrek^ de
Logarichmai van 16384» -dat is 14; dan zal
het verfchil 9 de Logarithmus . van siaz^jn;
mi U 51a bet <|uöt'[ent van -S^SD^bit^^ gedeeld
4aoe 1(^84. (6)

* B^. in EiGT?NSGHAP* -Bm ^duhhel^
t^evoud^ viervoud^ vijfvoud ^n n - i*óud
i^an de^ Logarithmm Van^ eèn^ getal ^ is^de
Li^arithmus van hef vierkant ^ dè-eubu&jf
W' vierde \ Je iHjfdi'^ e» de n^mWgt yan
dit getal, ir)

-■■«"*'*■■—.■ ^ MHilil.|iii ■,.

Welke is de eerde eigen fcbap der Loga*
citbraen?
(,A^. Helder deze eerde eigenfch^p Qpi?
r5) Welke is de tweede "igenfchati ?
«) Helder deze tweede ei^enfebap opt
C7> Welkt is üe derde eigenfchap ?

A
o
I

' 3
4
5
6

l

9

16
II

ia
ï3

14
15

16

17

18

'9

ao
ai

aa

aö

27.

a8
39
30
3.1
32
33
34
3S
36
37
38

39
40

4f

4a

43
44

46
*l

;4$
50

8
1

a,

4

8» .
*ö

128
51a

1024

.2048

40)6

8192

I<J364

32708

131C7*

20a t44

^4288

ib4«^f<5-

a097i53

4ï9i'04

833e<5'>8

il5777SÏ<J

3355443*

671038^4

134217718

a684354r4

5368709»
107374 1824

2U7^^4»

4294967^90

55^9914^9*

^7179359184

3435973a3<»

6871947073^

1374 38q«ï3 47a

a74^779^<%M

è497r5»i3883

10^9^11627776 .

iti990isa55554

430|cvi6siiiQ4

8790092022ao8

I759ttt860444»6

'351^37^088832

70368744i7?<564

1407374S55553«»
aat47497<57io655

,5^0iMpPd>4y3i»,>
iifl5899Qp684S084

CIJF.E RK UNST. X HOOFJD^.Xy. f V^, «8i

OPHBLDERirto* De Los* van 8 is 3 $ bet dubbel van 3 Is 6; dus
4s 6 de Ldg. v^rr<$4; ^t|n<fe 64:=8 X3, bfet vieficaffc van 8. Hec
drievoud van 3 ts 9 ; en 9 is de Log^ van 51», de Cöbus v«n B. Hec
viervoud van 3 is^ ia, en 12 is de Log van 4006^ de vitrde mage
van 8. Het \^fvoud van 3 is 15 > en 15 is de tog. van 3J7^8, de
v^fde inagt van 8 , enz. (8)

900. IV EiGBNSCHAPr De heffty éin- derde ^ één -vierde^
één 'Vijfde^ en ^ in het algemeen^ écn^-n^ gedeelte van de
Logarithmui van e enig getai is- de Logarithmtis van de qua»
draati^ de cuBus, de viérde\ de vijfde y en, in het algemeen^
van den n^ magts^ufórtel uit dit getai. (9)

OVHEËBKBINQ, De Log^ van 1073741824 is 30; de helft van 30
is. 15; dus is 15 de Log, van 52768, welk geul Ue vierkants-wortel
is uit I07374x824« Eén -derde van 30 is 10, en 10 is de Log, van
10J4, én dit getal is de cubüs-wortel uit 1073741824, De Log, van
104B576 is ao; één-vierde van 20 it 5, en 5 is de Log, van 32,
we*k getal aJxoo de vieide maj^s-^wortel is uU 1048574, Eén^vöfdc
van ao is 4 » eo. 4 is de Logé van 16'» alioo is 16 de v^ffde magis«
wortel uit 104857(5, (lo) , ^

NB.. De Onderwijzer moet deze eigcnuhappen, door meer voor*
beelden, uit de tafel ophelderen, (Zie verder 1 C« $ 847 , enz,)

90 K 1 AAWmicRKiNG. Waoneef men, met de rekenkundige
reeks, o, 1, 2, 3, 4, enz» eene andere mcetkuaftige reeks,
all b\j voorbeeld, .1 , 3$ 9, 27, 81, enz* laat overceoftem-
men, en voorts de termen der rekenJuinftige reeks, o, i, a,
3, 4, efis, de Logarichmen van de overeenkomfiige termen
der meecknnfiige reeks noemt ; dan zal dit nieuwe fielfel van
Logari;)iroen dezelfde ei^nfchappen , afs hec eerfte, hebben.
Ja, O0k, wanneer men^ met de rekenkunflige reeks, o, i, 2,
3» 4» enz. ^ aJgemeene nteetkut^ge reeks, i, r, r*, enz.
doet cvereen^hmmen^ op deze w^jze:

Reké ueks^o, i, 2, s» 4» 5> <^» 7» ^9 9* io>

Meetk. reeks, \, ri r», r^ , r^ , r* , r^ , r^ , r\ r», r»».

Ut W» »3» 14» I5f t6, 17, 18, 19, oo,enz. n
r«S y", r'S r'*, r»*, r»«, r*', ^"»^''f r**^enz. r*
dan zal, in het aigemeen^

. .0. de loifarithmus van t
X de logarithmus van r

j^.dfi logariiMmat tnz r*

3 de logarithmus van r>
^nz» • • » • • enz^
u de logarithmus van r"

.«^^....-^ ' " ■■ ■ Il ■ y

8) Helder deze derde eigenfchap Qp I

O) W^lke is de vierde eigeoicbapf

to) Helder dmive op» r- t

tLpfOU Q DigitizedbyV^OOgle

102 A L L ËJR E E 11 S T E ö ronden der

zijn,' en dtm zal dit afgemeene kgarithmen^fiéifsl y in hftwelk^

voor r, alle geheeie en gebrokene getallen ^ die gr^oUr dan i^N

2//>i, kunnen genomen %^ordeny dezelfde eigenfchappen hebben ^

ah het bijzondere logarithmen -fl eifel ^ dat mj^ Bladz. i8o, tot

voorbeeld hebhen aang^omen,., Want, !*• de fom van de Lo.

garithmen van r*, r^ en /-^ is 5 + < + 4 = 15, en 15 is de

Log. van r'*, z^nde r'«gelijk.aan rrrrr X rrrrrr y. rrrr^zir^^.

ti% Ket veifchll van de Logarithmen van r'^ en r* is het ver-

fchil van de getaflen 11 min 5 =r d, en 6 Is de Log. vian r^\

frnrrriTrr » * ^ _ ,

maar r^ r= = sü rrrrrr = f . 3^. De Log van

' rrrrr ^

r' is 3 en tweemaal 3 is'6; 6 is de Log. va(G-r^; en r^ is
het vierkant of de tweede magt van r*. Voor^ is 3 nwal 3
of 3 maal de Log. van r* =r p, en 9 fs de. Log. van r^\ enz.
4-"^, De helft van de Log. van f«®,of de helft van 10 is 5, en
5 is de Log. van r^,eu r* is de vierkants- wortel tit r*». C«0
90a. II Aanmf-RKING t Naarmate men nu, in de algtmei'
>ne meetkundige reeks ^ voor r een ander getal neemt ^ verkrijgt
men een ander fleljel van Logarithmen; en, drar men nu aan r
onnoemlijk vele waarden geven kan, f « het getal der mog4-
lijke^ fteifeli van Logarithmen-tofelen onnoemelijk groot, ^12)

* Men noemt het getal r.(dat een geheel of een gebtoken zijn
kan,) de bafis of htt grondt al van het olgemeene jt eifel van
Logarithmen ; (13) • en de reeks ï , r, r*^ r*. enz* jde grond»
reeks van dit fieliel. (14 ' t In elk bijzonder ftelfst van Log/t^
rithmen^ u vvi, be tocARiTimus vANÉiw, en öe logarith-

MüS VAN HET GRONDTAL VAN DAT StEtSEL GÉUjK AAW DE
éiNHSiO. (15)

903. III Aanmerking. Onder alle mogelijke flelfeh van
Logarithmen % komt het fielfel ; hetwelk het getal tien tot gronde
tai heeft f het f)est met ons .tal/le{fel overeen , en het is , em
die reden ^in het gebruik , het eenvoudigfle eo gemakkglijftgep O^)

* Men noemt dit Logaritlimen-ilelfel , het briggiaansche (naar

Cl O Wat zegt de cerfte aaHinerkingf • ^

Cia) Hoeveel (lol fels van Logarithmen «ön ert ^

(13) Wat is de bafis. of het growiul van het algemeens ftclfcl van

Logarithmen ♦
C14) 2n welke U de groodreeka?
ds) Welk gcitl u, IQ elk ftelfcl van Logarithmen, 4e toMrh»mw

vEfl een • ■ . - "

i\6) Welk ttelfeWan Logarithmtti is, io bet gebruik, het gematteUfkftc t

C II F E R K ü N S T. X HO OJ D a LV* uz^- 183

deh uitvinder briogs, een Schots Edelman,) om de togaritb-
men van dit ftelfeï van de^KEPERiAANSCHE, welke,: in de hoo-
gere deel en der Reken- en Meetkunst» jflbruikt worden, te
onderfcheidem (17)

904, Gwrotcu f Ih dit Briggiaanfche ftelfel^ is
' o de Log. van i \

. . i de Log van 10 I *

2 de Log. van ic^ of 100 iS^

3 de Log. vtm io> of 1000 | ^ S

> . 4. <^ Log^ van 10^ of loooo v 9 S -

5 de Log. van 10' ö/i 00000 / h §

6 de Log. van io<^ of loooooó 1 5 §

7 de Log* van >io^ of loooaooo 1 r "^ , 4 ■
enz. enzi ---■.. .1

n de Log. van lo*. C^SY I

f • >■*"•'.' . i • ,^ ^- , -^ ^ #^ ^ .^ ^ .

905. IV AANAi&RKiNO.,,il/<»2r9 om nu, mei behulp yan de*
ze grondtafel^ de vermenigvuldigingen en deeUngen tot eene en-
kcie êpt^Ming. en af (rekking te kmnen hrengen^ maet men de
Lpgaritkntjm der getallen ^^ welke tmfchen i en^ 10, tuifchen 10
en joo„, tu^chen', 100 en lopo, tusfchen looo €« |t)ooo, enz.
vaikm Cj,söm kennen. Dan» daar het voor dezeeeifte begin-
felen t^ zwaar Is» jotn te verklarea^s b^ z^iks ^efchieden kan?
(men zie, I C. S 8<J5 en very.) ?oo. zal bet, voor let tegen-
woofdige, genoeg zün, dat wy de mogelykbeid vgn het aan-
vulléi) dezer grondtafel doen opmerken.

. 906. Nadere opheldering. Stellen wlf: dat tusfchen elke
twee termen der grondreeks, i, lo, ro*, lo^, la^, ^2, 'een
zeer groot, maar echter hetzelfde aaocal termen gesierpoleerd
worde; daa zullen deze midden-evenredigen, met de termen',
tusfcheó u^^Uie 'zij. gt*tiK«r{i^öerd $i}i^i eêne oiiafj^ebrok^ne

1: . * «-hl

meetkundige reeks uitmaken, welker index zün zal [/ jo; in«
diea namel^k'* beteekent het aantal nlickfen-eyenredigen , tus-
fchen elke twee termen der ^ondreeks, 'i, 10, ioo,^/i«, gcy;i-
terro'eerd zflnde. Wanneer men- mi, uisfchen elke twee termen
der rekenkundige reeks, o, i, «^ 3, 4.^ enz. p termen interpo-
leert v dan zull^' die geüiifierpol^orde. termen eei»e nieuwe re-

(17) Wat naam drawst ait üeir?I> . -^

118) Verklaar dit. ftelfel nader. r .\ . . . niot.edbyGoOQle

(19/ Wat wordt^eróu , b^ deze ïclianl van gröndtdlen , verder*^creischt ?

Q ^

i84 At'^E'ltÊERlsfW örVndei^' 6E-R *^'

k^nkunftige reeks tiitmaken, welker verfcjifl (zlQ ari^ 877 j zal
zijn '^ ■♦ Wij amiien dus hebben :

rek. reeh^ o, «, a»» ^«'t 4«» 5*^^ ^»$: 7«h ö»a,
i»etf//t. wi;, I, p^ /'S PS />*» P\, P^^ y%enz.

I ''^ *

in welke u = •— r — en ƒ =: v/ 10 fs; 'fièze reeklbn zullen

n T* 1 *"

nu de eigenfchappen van de grondreeks hd>ben: zoodit u de
Xö^. van p^ ^u de. Log. van />*, 3a de Z^* vanp«, enz.
zal zijn.

Laat nu, voor de waarde va» m, een zeer grooc geul geno»
men wordep, bij vo^beeld, zoo als mtiGO»de^d,

« =$ 1 1 Sapa i5P4<5o684dp75 ;
dan vallen er, in de meetkönftigé reeks, tnsfchen i en 10,
tusfclien * 10 eh 100 , loa en loóo , e^* eéo aönul van
1 15292 I5046ö684i5p75 cennen^ onder welke. er hoodzakefijk
zullen gevonden wordep 4ie zeer na, mei de getttten ft , 3 f
4» 5» ^» 7» 8, 9, «ï«. löet 11, 12, 13, enz. met 97, 98»
99 en lof ," 10a, io3f enz. met 99)^, 998^, 999r ï<>oi, looft ,
fff2 Zullen oveteeMlemmen: met «de terme» nu dezer meet-
kunttige reeks ^ welke toagenoeg met ft, s» 4» 5» Ö» enst.
overeenkoinen , ^emmeii, in de rekeiïktinftige reeks ^ termen
overeen; en deze zaHeft nagenoeg voorde logarlthmen der ge*
tallen 2, 3, 4, 5, enz. Ii, 10, 13, enz. kunnen gehouden
worden ; waarwt derhalve ten Waarfte bl^kt: hoe het mc^JiJk
geweest is, om de Logarithmen der natuurlyke getallen te be*
rekenen en, in eene tafel, by één te brengen, (ap)

LVI. LES. Ferkïar{ng f*« * inrigting der Logarithmen.

Tafelen.

907. Om met de Logaridimen handig te leer^ omgaan,
moet men het tafeltje van de grondreeks éer gewone of
Brigglaanfehe Logarithmen ;na!aeigk L(^. 1=0,/^ 10=1 ,
Ug- 100 = ft» L^» 1000 =x 3,/^. 10000=4, #«« vast
in het geheugen prenten, (i) f ^^^ ^^^ tafeltje volgt ï dat dé

(ao) VerkUtr dit alles nadert

CO Welke is de cerfte en voofnatnifte zaak , "welke, bjf btt gebruik
der LQgaritharea tafelen , tii a&nraerking komt 7

CIJFERKÜNST^X HÓOFDD. LVI.LES. 185

hgarlthm^n der gei alten ^ 'welke ^ kleiner dan \o zijn y ook klei*
ncr dan ééH zullen zijn , en èijgevolg 'gelijk zijn aan nul gehec"
len ^ gevolgd van eene tiefideelige breuk; dat de logarithmen
der getallen ^ welkt grooter dan^ 10 en kleiner dan Joo zijn ^
befiaan zullen uit één geheel^ met nog eene tiendeelige breuk;
de logarithmen der getallen grooter dan too en kleiner dan
loco, uit 4wee geheekn met eene tiendeelige breuk; enz. (2)

po8. I» Aammerkino, Daar de logarUhmen der natuurlijke
getallen a,3, ^uz/alkf met betrekking tot de éénheid ^ onmect*
haar zijn , en dut niet volkomen in .tiendeelige breuken hmnen
worden uitgedriikt , zoo neemt men doorgaans , in de tiendeen*
gen 9 zevtn cijfers, in ligte en 'ruwe berekeningen y flecht% vijfj
in berekeningen^ welke eene grootere naauwkeurigheid voraercn
tien ,' twintig of meer cijfers: doch zeven cijfers zijn,» in het
wéikdadige^ meest altijd voldoende. (3) ,

5^09. * Het geheele getal vnn een' logarithmus noemt men
de mantisfa of wijzer \ omdat het aanwijst: uit hoeveel cijfers
ee^ getal bedaa;, hetweJk tot dien logarithmus behoort. (4)

ÓPRBLDBRiNG. Wtoneef ik dus vin^jt ftain de volgende loga*
riihmeu: •

0,5876481; 1,7193346; 5»86ö..oo<>i

AiZOi2%79\ 2,8968196; 3,12^68095
beftaat hcc getal , tpc den eerden loiiorithtnus behoorende , uit é^n ;
.het getal, tot den tweeden log» behoorende, uii tM^^e ; bet get:ii,
tot den derden log. behoorende, uil zes i het getal tot den vierden,
yÜfden en zesden loc behoorende , uit vijf* ^f^e en yfer cUfer»,
Met fpreekt van zelfi dat men hiermede bedoelt het aantal cüjers ,
hehooreude tótde geheelen , in het getal ^ waarvan de logarithmus

fegeven is , en niet de tiendeelige cijfers , welke meestal , boy en en
ehëlve 4e geheelen^ in dit gei al ^ gevonden worden» C5>

910. II Aanmerking. Daar men. dan, met eenen opflag van
het oog, nit de mantisfa of wijzer kan onderfcheiden , uit
hoeveel cijfers de geheelen van het getal, dat tot dien Lo-
garithmus behoort, moeten beftaan, \ zoo zal men cok^ omge^
keerdy wanneer een getal gegeven is^ de mantisfa of wijzer van
de Logarithmus dezes getak kunnen uitfchrijyen ; zoo als, in
de Tolgeode voorbeeldea, te zien is. (6^

(2) Wat Tolgt Qic de grondtafelf

C3) Hoeveel c^fers neemt men doont>ans hi de tiendèeUge breut?
C4} ^at verftatt men doof den wlfzer van eea Lcvarichfflttsl
C«ï) Vqrklaar ditnader? r- t

(fi) W« Yolgi fiteruicf oigtizedbyV^oogle

j8i^ ALL ÉRfi Ë R S T E o K o NDJE w d a r-

. |« I3,85$9 •■..•.-.. I.' |j«p.

è5 8.70Ö19 •.•..•>#• o, j^a^-

I'S 1736,89 ...... . . 3f • g;&*2

•'«* 3iH7t5.83 . ....... 5» '^ ^ (7).

Het is dan, om die reden: dat Ptèn^ in de meeste tafelen ^
bij voorbeeld, in de tafel van gallet, de mantisfa of wijzen
heeft weggelaten ; . en fieckts de tiendeeligen der Logarithmen in
dezelve voorkomen.. k^)

04 !• Heeft men dit alles wel begrepen ; dan kan het ge-
bruik eener Logarithmen - tafel niet raoeyelijk meer zijo^ Br
zfjn kleine en groote Logarithmen^ta/efen. (9)

oift. A. De kleine LogArithmin-tafeUn bevatten fleehts d4 toga^
fithmen der getallen van i tot 10000 v ia dezelve vindt men, naast
elk geial, zU" Logsrithmus; maar als het getal, boven de 10000 gaat,
moet men de Logarichmus van beizelve door eene kleine berekening
vinden, welke op dii beginfel berust: f <^tf^ de Logarithf^en van twee
setatlen , die weinig van elkander yerfchillen , genoegzaam in de'
zelfde reden f als die getallen^ toenemen* Stellen w^ dan: dat 'de
l.og* van 37896 moet gevonden wordend dan fcfir^emen, oit de
taul: . . ,.

Log. 3785^ ^ 4*578534^ af $e trekken —

fan log^ 37900 = 4>S78639a

yerfchil =.1146
Nu zee ik : ymr tien eenheden , is het yerfchil der Lpgaeitkm^»
iia6- hoeveel dan voor 6 eenheden^ of 10 : 6 = 1146 ; xf komt
X == 687/tf. Hiervoor neem ik, als nader ^ijkomeiide, <5S8; en,
iiit is nu het getal, da» bö den Log. van 37890 inoer geteld wordelr,
om den Logariibmi^ van 37896 ie vinden. Ik heb dan :

log. 37890 = 4.9785*46
evenredige deeUn f yo<^ 6 édnheien > . . 688 hti te tellen

komt log. 8789Ö = 4t5785i>34
Moest gevonden vtorden de Log. 181529? dan zou m«n aldus ^ o^t
de kleine tafel, werken.

Log. 181500 tri 5>a5887^ af te trekken
van Log. i8i6co => 5»25»"58

^73 HeUter die door vo«rbeeldc«^9

C8) WaarMi Itft mea in de beste tafels de t^SMrs weg^

C9^ Hoe velerlei foorteb vao gewone Logari^bmea-jglHetr iQu (kf

Clf PER KUNST. X HOOFDD. LVL le$. 187

Op I03 deetcii Is din het verf All dof Logarithiefi «^91 ; 1'(DC\'€^r op-
•' Ay dceteu^\MeQ ftelje duit \

ICO i «9 rr a.-^ i « rsr €^3f<58
V of ar rss: ^4 , ' i

< M; ƒ.«/?•. 181500 rs 5,25887^6 ui

ifMr dé^miredige deslen ■ 694 hij te telUn

komt Log. i8i5«8 rz: U^S^^^^
Doof de jgroote tafels , vindt mcd elgenl8k 5»a5894<Jl > dat geen met^
kclïk verfcWl 5s. (107 ^

913. B. Dtf grooterei tafelen yan callzt /bevatten de Logaritk*
men ran i tot ^07iOö, beneyens die evenredige dêelen van de ver*
f/^Mlen van tvfee of elkander volg^nde^ em in de^4afel rwrïfimejféa
LogarUhmens fnen vindt dus ^ in dié tajei, onmiddeiijk óé logaritA»
men der getallen van i tot 107500 , en door het optelleo Vta eeo
klein gefal, olc de tafeltjes der verlchillcn te nem^^ de L^trfcb*
men van i toe 1075000; en, door het optellen v»n een nog kieinev
getalmde Log^rithmen van i tot 10750000; enZm Ci^) Offiloon.men
nu doof de kleinere tafels nagenoeg hetzelfde verkrifgt^ als 4<H^ da^
grooteri y moet men wel de grootere tafelen g^ruiken ^ wanneer men
veel rekenen inoet ; omdat het zoeken der evjsnredige dfelen te veel
vermoeit en^te^veel tijds wegneemt, (ia) Voor het overige moet het
verder gebruik der iatels. door moudeling cm^crrigt gelcecd ^ordetu

Over dê Logarithmen der gebruikelijke Brenkeik

9^4. t In^k Logawthmen-ftelfeU en dus oök m M% gewq»
iie Bdggiaai^cke, it de L(^9nt1mu% %ar{ de iéfiheid e0ik mP:
en, van de é^nfeeid af te rekenen, grootje die^'JUogafitkiaep
beftendig (evenwel fteeds langzamer) aan. Maar y^e m^^ m
de Logarithmen der gebruikeHjke breuken y af der grootheden
winder Mn één^ zijn^ -

Om dit te beantwoorden, zdo laat ons, W voorbeeld, den Lo»
garUhiuus van f zoeken? deze wordt aldus gevonden:
Log^ « = ó,3piP300

Omdat de Io#. 3 grooter da« de Log. a Is, kjn de Log. 3 iiiec
van Log. 2 worden af getroUten 1 men trekke derhalve X,o^. a van

- Cs»> Hoe vittdi mea dea Logaritlumia vto eea groot .gecali döpr^jle
kleine tafelen t , . . t.

(lO Hoc vindt men , door de |^oote tUbleot ^ Logtruwnea nn

Cia) Waarom lifn de groote tafelen beter dao de kleine t)g Ie

m A L L BR EERST E o r o w 0 s w o i «^

Lor» 3 «f; dan vftidt njw: 0^76091^ voor het vcrfchil : iocA , oiw
aan (e 't? ij zen ; dat dit veffcÈil^ in éenen^ tüet den algemecnen /tf-
gel , firijdige orde , is bepaald geworden , Zet men er kèt 'negatieve
teeken voor ^ en men befcft&ÏÏWf dsentog'afifèmus yen ^ als negaeief,
Br zoo zijn ook de Logarlthmen r*n itlle gebruikeli/ke breuken ne*
gatief* CIS' Doch ^ op deze w^a, .fteicmen de i,ogarithmen 4er
breuken jireBieciie||}k i^iec voor j men bepaalt de^sulvé ^ood^ni^ : dett
alleenlijk de wijzers negitfief -en d^ttendeeligebreiélS^y die deel en van
deztlye uitmaken^ poft ie f zijn;. (14) hcigeen in (lezer voegen ge-
Cc^ieden kaq. Laat , b4| voorl>eeUi , ^ 4^679897 een geheel negatieve
tógarithmus z^ó ; tfefc dan de' breuk 6,5679807 van de éénlféid af;
dan is het verfchil 0,4350103; en nu is klaarblöReIök<

— 5 + o,43flOi03 ^ — 4 5^79^7^ ' \ . .
' In 'pUats van — ^ 5 ^ 0,4520105, fchaifft men — 5,4320103, in
veike de wHzer alleen nl 5 negatief ^ maar, de tiemdéelige kreukt als
pofitief^t moet gedacht worden; en moet dus zulk ctne uitdrukking
roet eenen geheel negatief genomen Logarithrous, niet worden ver-
ward; waarvoor echrer geeiie zwarighjeid is, wanneer men de tien^
deeligen der LogarithmefTbeftendig, in alle gevallen ^ als pofitief
kefefhnwf. (15)

915, Irtdedaid is dit laatfte ook natuwHJkcr ; want, voor Zoo ver
tnen eenig denkbeeld van de negatieve getallen heeft, gevoelt men:
öat , wanneer 3 zrr log/ioco; 2 n: Log, too; i r:: Log, 10, en
o ÜT Log» I is } dan ook -^ i rrr Log» o,t ; — 2 !rr Log» 0,0^ ;

— 3 = Log, o OOI ; — 4= Logn 0,0001 ; — 5 = Leg» 0,00001 ,
enz zal AOdten zHiw 06} ' . ^

916. Zulks d«n ten grondflage a«ngeoomen hebbende, be*
•fnrtU tlch alles tot de wijzers. Indien dus gegeven is. Log.
»5359 =3 4^93IHP3; *Lnn z«t nien, fdit getal 83559 teikeiw
Óaxiv jfo iJeeiende,) ' (md^t Log^ 10 = r b, daaruit mogen
beflukeii: dat: -^

- ' ' - ^Log» 85si59F = ' 4,9312493= 4+0,93T249ft

Lo?» 8535.9 ^= 3^93ï2493 = 3 + o-93 1*493

LPS* 85af*9 = • ^,931*493 ~ » + 0,931249^

Log. 85,Sf9 = l»93i2493 = .X + 0,9312493

Xo^r. 8,5359 = 0,9312493 = o + 0,9312493

/^o^- 0,85359 = — 1.93 '«493 = — I 4- 0,9312493 .

Log. 0,085359 == — 8^9311493 = — a -f 0.931 493

2,0^. 0,0085359 ï^^-^ 3t93«a493 .= — S + 0,9312493

£0^. 0,00085359 rr *- 4,9312493 =r: ^ 4 -h 0,9^12493.

C13) Hoe |>epaalt men de Logarithtoen der gebniikeltke breuken t
U4> Hoe bepaalc men cpg anders de jUdgaritbmeii ctor gefaroikeltke

farettkent
<t5) Hoe >^an dit gefchieden?
(16) Strookt nu ook dexe fcluQfwiBze oict de aaogesKtmapi liogariti^^

jneoftnaal f . ;

C^r t R R It^ tS^it. fk Ht)€FDl>; LVL Lzk , I8p

^vaaniit. blükti Ja( de wijzers van de .Logartthmen der getalkn^
kleiner dan één zijnde y alleen ah negatiefs doch de tiendeeU'ge
breuken t tot dk Logarithtnèn behoor ende ^ ak pofttiif genome :
worden (^17) . , V~

917. I Aanmerking, Wie nu met de pofltieve en negatieve .
getallen- eenig^s k^^ omgaan, ^ gebruikt de Logarithmerf met
negfitieve wijzèys even ,zoo . gemakkelijk ^^I^ die met pofitle-
ve; doch, daar velen, cHe de Logaritbmen moeteö gebruiken, '
met de theorie van de pofitieve en negatieve toeftandeö de^r ^
getallen niet ai te wel bekend zijn ; zöo heeft men een ander ^
hulpmiddel bedacht, hetwelk, io kortheid en beknq>theid,^
voor het gebruik der negatieve wijzers niet behoeft te wij-
ken. Dit middel beftaat hierin : dat men de wijzers van de
Logarithmen der getaifeny die kieiner dan één zijn^ met 10
verhoogt i en, achter^, dien verhoogden LogOfithmus ^ — 10
fchrijfty i>m alzoo de -plaats gefmd hebbende verho<^ng aam te
duiden* EUj indedaad is

-1 = 0- ia IJ ^5 =-5^10

^airrB — ta 1] — 6r=4-^io

*-'3^=7'-ïo I *-'7 = a--:io

'— 4 zts 0 — 10 II ^-^ 8 tit: a — 10, enz.

Mea- heeft dan, zie het bovenflaande tafeltje :. ,

— 1 + 0,9312403 = 9»93 12493 — 10 .

— a + 0,931249a = 8»9Jiïö498 ^ 10

r- 3 + o»93ia493 = 7»93ia493 — iQ'^enz. fiS)

918. Gevolg. Het bipt dan uit dit ViXUti dat, wanneer^ im
eene tiendeclige breuk, het hoogjh. cijfer tieiide ^ honderdfle , dui*
zendjle\ tienduizendfie, honderd^diuzendfié ,n&lHoenfie deelen, enz.
zijn , voor de wijzers van de togaritkmen dezer breuken de p^
fitieve getallen 9, 8, 7, <^^ 5, 4^ enz^ htnmn genomen wor^
den; mits dat men altijd achter die Logarithme0 — 10 f chrij^
ve ^ om daardoor te kennen fe geven ^ dat die L^gvrithmeu M
tiendeen ge breuken en niet tot geheele getallen behoor en. (19)
Hoe mén n"h met de:5e af tetrek^scn getallen —.10, bij het
gebruik der Logarithmen; te handelen hebbe, zal, in de voU
gende Les, uitvoerig worden verklaard.

ri7) HeWer het gelir ullr der negatieve wjfzers door voorbeelden op ?
(18) Hoe kan meu de negatieve wijzer? ontwqkcn? .

(10^ Welken vasten regeïjiioet men, 1)8 het oötwökepdfir negatieve/
wSzers, in het oog hooden? - by^ouyi

9ip.. Il Aanmb&KINO. fVannêit echter de tiendeeüge breuk
zbQ'kiein triogt zijfi^ dat de negatieve Mfljzer van derzelver Lo'
garithmus gfeioter dan lo ware; dan zou men dezen negatieven
wijzer niet ' too kunnen verhoogen , en achter de Logaritamen *—
loo fchrihen; welke handelw^ze op dezelfde gronden be*
rusu Oo)

Söo. Voorbeelden. Men zoeke nu 9 om zich met het op-
loeken der Logarithnien gemeenzaam te maken, oit eene Lo^
garithmentafel de Logarithmen van de vozende getallen.

Log. 317 = a»5oto593

Log 7i8i zn 3,8681152

Log. 85507 = 4*9320017

Log. 54Ö067 =5 5.7340531

■fco^. 8459Ö5* = <^^a59oa«5

Z<^' 679aMX7 =:= 7>83ao3i6

^ ^0^. 37.875$ = l.578'35<^I

Log. 77t^6g^ = i,»88oioc .

£0^. 8,531997 rr 0,9310151
Log. o,j8i257 = 9 58iai79 — «O
JLo^. 0*855093 = o,9?j^or33 — lo
£(?^. o»oj8a75 = 8,5829152 — 10

Les* 0,003^853 =r 7,5165750 — 10 '
'Log^ <»o0Qa375 = 0,92^9848 — 10

IrOg. 0,0000837 ='5,9517924 «^'lo

En, om^keerd, de getallen^ tot de ander ftasndê Logarithmen
behoor êm^e :

^t,2Öaiooo r= Loi* tan 1828,5068'

0,7x60009 rr Log. tan 5.19997
. ,.4»B3f8503 ;= Log» van ^856,945

6,0960007 =r Log. fan i«47385»43

5,8120127 rr: Log* vaa 648633,444
0,8709613 — 10 sz: Log^ van 0,7459545
8,3890033 *— 10 rs: Log* van o»osk4493^'a
7^-9037 — 10 zr: Log. ran o,oci>a5945
O97300000 — 10 r=: Log. van o,ooo5ö7g3a

Pierin raoe6d« Onderwijzer dea LecrÜng moniJeliag ondérrigtgevea.

LVir. LES.. Uitvoerige verklaring van het Gebruik
'der Logarichmen.

9!2i« Het gebniik der tafelen (leunt op de elgcnfchgppen
dM Lagarfchmen^. welke, in art, 897— 900^ verklnnrd zijn; v«

Cao). Hoe moet men te werk gaan» waraieer.de negatieve wjecr groo-
ter dan lieci «m z^n ? - ^

CIJFER KUNST.XHOOFDD. LVfU LE«. i()i

al de volgende voorbeelden zijn , naar de tafelen yc^i Callex ,
berekend.

A. Bckorfitig der Vermenigvuldiging.

9GC, I Regel, De f$m van de Logarithmen van twee of
meer getallen^ is de Logarithmus van hetfroduct dezer getal*
ien. Zie art. 897. Ci)

I VooRBEEto. Het froduet der ^tallen 739 en 31/ te
vinden f ' ' . -

£05. 739==: 2, 8(58(^444 . '

Meg. 317 = 0,501059^3 ;

X Log. 334^3 = 5*3697037

^ • derhalve Is 739X317 = 034463. - '
4 VooRBEFLD. Het pToduct der getallen 23,73; 7tf9>3 ^
^38 te vinden? ; .

o,;^38

^. ^3,73 = U37S^977
Log, 769,3 = 0,8860957 .
Log. 0,738 = 9,8680564 ^ to.

Log. 134.72,54<55 = 4>ï294498
Merkt op ï dat , ULnf^ezien de w^ier van de Logu. van 0,738 wet
10 venniiHierd is, de w^zcr van de fora der Logpritlunen , die 14 i».
iiisijclöks 10 minder zal moetea zyn j«oo dat men voor dien wifzer 4
ia plaats van 14 , nemen moet. *

3 yooRBEELD., Het product 0,083 X 0,7853 door Logarith^
men te vinden?

Log. 0,083 = 8^)190781 — 10
Log. 0,7853 =: 9»ÖP5<^356 *- 10

Log. 0,0651799 r= 8,8r4ii37 -^ 10
^ Vbrklarino. Hier i» rfe wjier van de fom 18; deae §om moet
róet 10 en nog eens nfet loveriBimierd worden: men verniindere dan om
dat t8 kleiner dan do is, dezfe fi>iii üechcs met %9,^ m fcbroft achter
de fom der logarithmen — 10, om aan te duic|en, dat die fom noe
met tien ■ moet verminderd worden , en dAt de wffzer 8 de Ltogirith.
flWft'centf tieod€eli46 breuk uaw|3t.

(i^ Wetke is de regel, om het product vw twee of meer gètilico,
door 4c J-ogvUh©tfi». te vinden» .,

! DigitizedbitLjOOglC • >

194 A L LER E ETl STIS oaoBTöEïi d,i » ,

Vfr KLARING*. Dfiar «Heen de Lo^Hthmus , waarvan wordt afce»
trokken, met lo vetlioogd is, zoo moet ook bet verfchTi gehouden
worden, als met lo verhoogd te z||n; bet verfcbil wordt derhalve <ie
LoRarithmus vto ecne tfeiideeH^^ breuk. '

6 VooaBEELD. Om 0,96789 door 0,23685 ie dèeün?

Lig. 0,^789 =: il(,9^5826o — 10 -
Lo^. 0,23685 = 9*3744734 — »o

Log. 4,08651 = o»6i 13526

VE«icLAitiNO. Daar, in drt voorbeeld, belde Lo^itbroen roet
10 , en dut. even veel zijn verhoogd «eworden, kdnit, b^ "de aft^k-
king , het verfcbil der Logarkbmen ia sjoea natuur 1^ keu Qtaac, 200
als bet behoort.

7 Voorbeeld. Men begeert 0,08634 do&r 0,38794 te deelend

Log, 0^08634 =r 8,9362120 — 10
J^og. 0,38794 = 9^5887646 — 10

Log. o-22ö56o!5 = 9,3474474 — 10

derhalve ^^-r-^ — 0,22250015.
0t387s^. .

Vbrklaetno. Alhoewel de Lojrarlthfnen , beide van deeler en
deeltal , met io^ verhoogd z))n ; moet échter de Logarithmus van het
deeltal, b(f At af(rekkiog,nog met |o verhoogd wordei), om de w^zers
van elkander te kunnen aftrekken , en bet vcrfchll moet dus met 10
.verminderd worden: de wö?^r giyan -4it ^Yerft:bil gfeft derhalve
eene cteadeeilge breuk «-è kennen. v

^C. Oiw* Ar/ Jtoi^<?»tfi;r?<iy Affthiii«ifcb« Complement.
' 925. Somnjlgen, en vooral de Franfcbcn, maken, bff het aftrekken
A^ y^^\^]\^^^ y vf^ l^^t Arithmetifche Complement gebruik. Men
fexfiaat dqor' hei 'J'rhh'tnetifeie CompUmsnt yan een gptalliet gê-
' taji , dat mè» verkriigt , vanneer men het achterfte ei f /er yan Ut
Mal yofi' tiert i en al de andere cijfer i ren ï^egen aftrekt» Aldus
Is 549673 -bet An^inetifclie Complement van 450307.
906* I<aaj;^6og45 van 39086793 moeteQ afgetrokk^ worden ; dat is

..;■.-.-'- • ' ytf» 39088793 ' c-

aj te trekken 00260945 .
neem bet Aricfimetifcbe cpmpl^|n( >aQ Wc on^erfte gecal; dn
lieeft meo: :' ::">

tcf by • • % • • t • • 3|^^23 . : : , , 'yi^
komt ...#••• /r)98$E5848 ^'^'^'

^^ V, DigitizedbyGoOgls,.-"-*- .^

C I| FE R K U;»S^Ti X:»aOFDD. LVU i»%. 15)5

en die gMtl 138308^49» wmiiidcrd met loodoooooi is^bet veriïcbU
der ti»te gegevwe gettlleiu (5)

gaf. De reden hier vso is klaar» Wanneer ik 007^45 van iooqooooo
aftrek ; dan is het verfchil 99239055; en die verfcbU word^, blijkens den
regel van de attrekking, gevonden, door al dé cijfers van 0076^45,
beUllve heclaatite, van negen ,en het laat ftecfffer van tAïnaf te trekken.
Noem nu het kleinite der gegevene getallen B , en het groocfte A : laat dit
laatfte getal uit a cQfers befta9n;dan is één gevolge va*!!'» nullen =

ig". Indien men nu B van 10 afcrékt, trhet verfchTl 10 — B; dit

verfchil btJ A opgeteM, geeft A -f 10 — B ; trekt men hier van 10* af ;
dao houdt men A — l^ » het verfchil der gegevene getallen , over* (4^

938*. Door dit aftrekken, met behulp van het Arithmetifqhé cpm-
plerae't, wordt de aftrekking eenigermate in eene optelling Veran-
dert. N<Bmen wfl het eerfte vooj-becld vaii arh ^24*
Log. 79?j7 =2 4,902204»
JrUhm. compU Log. 50^ zzz 7,2494916. gg/ yij

lo^. i4i»8oÖ4 ;;;z 2,1516958. (5)
Wanneer men echter m aanmerking neemt , dat men , om het arïih-
metifche complement, te vinden, eene afcrekkrng moet 'ditwerken
welke, wel is waar. eeni^zins Jlgier Is dan de gewone aft^^kking',
eo daarna moet optellen, is er geene reden , om dexe werkmanier
voor korter dan de gewone te houden. ~ \

D* 0/^r Aet vinden van het product van eenige getalkny
gedeeld door het product van twee of meer andere getallen.
pap. III. R^GfiU Om dè waarde, van eenig gebroKen van
den vorm ' ] \ - \ W ' , ■ ' ■ ■

aXb^cXd^'eXf : ^

■^ pXqKrKiXt

door middel van de Logarithmen^ te vém^fff moet ntenivan^
fom van de Logarithmen der factoren van den teller aftrekken
de fom van de Logaritêmen' der factoren van den noemer i en
dan zal het verfchil ik ^ Logarithmu% • vén de waarde dezer
breuk zijn- (6} ' ' -.] ^

Voorbeeld. De waarde van het gehroieh

te vinden?

o,oop7 X 0,083;^ X o^opó8' '

<3) Hoe vindt men het verichil vai» iwee getallen , door het arithme*
fche complement V r.

(4) CH> welke gronden deern dijej'e^llj ^

(5) Hoe gefchfedt het aftrekken van Logaxitfimd door* bet arlthfee-
tifcbe complement!

(d> Hoe virdt men de waarde van het product van eenige getallen,
welke door het «rudMa vaR^e«iDe ^deie getailw ge4^(M si^t

Ra

^og. 0,7984 = 9^9022205 — I o L^t ö,x*^8!?7 23r 8,^üiï^«5^ -«- ¥9
£<:^. 0,009(172=5^,9^5426^5— f o éiog, <3,d9êj^8'2ai8',^58/^4 -« 10

3449P532 =SÜ^<^. 2238,4^ =5<ïe waarde van het
, *%^6teitegebróSfen.

, VjÉRRLAiLiNa* In A vïndt men dt fnra van de 'togarii^men vaa
de factoren des tèflefs; in B ,dt fom van db Logatiththen van de fst-
löfeo c!fe^» lïóemera» O^ Ha riaar belróofeö B van A tf re tf^kken:
vethooge men den* wj zet van A met ïoidan wordrA- 2^,4453238 —30;
en daar nu van, A en B elk 30 af re irekken rtin , geeft, het verfchil
den eigenleken Logaritbrniw vsn de baarde vkn* het gegèvene gebroken.

E.^ MiigiiU^erhe^ng doé Lo^avftkmen,

5^0* IV Regel. De Legarithmm van de maigp pan- €»» ^»
tat h geiiik aan den LogarHhmus van dé wottel i^an die magt ,
y^tmèhléVutdtgd'mf déHéli^ér aanwijzeK Zie aft. t^^ (j^

1 Voorbeeld. Men legeert het getal 3,78.195 tot de twee*
de^ d^fdt^ vierde en ^jfde indgt té ver kef en?,

Log. 3,78195 = 0,5777150 ^ , . ' .

«. -^^ 3»7^ï0i[ ±i: i,t5543i(S =2 Logi vdA i^,iozt^
3* Log. z,7%i9s ^=^ 1,7331474 = Log. van SA.o^ZTT

4. Log. 3»78i95 t^ iJioSfta ±3 Log. van 204,58000

5. Log. 3,78195 = MS^Syj^ ö lög. van 77Zi7i^ 35

; . .. . ; . (3,70195? 2± 14.3031^

.(3,78195/ =, 5^09377^ ^

(3,78195)'* — 204,58000
X3,78i^5;* =i.773r7"3a

2 VooRBEBtDtf Dé. tfendeeüge hteuk cs^^9 tot de dertiende
magt te verheffen?

Log. 0,7819 ü ip,893ï5t2 '— 10 ^^

- — ■ . — r— Cl 3 yérm.
- , .. 128,(^109656— 130 ,.

of 8,6109656 -*• to SSL Lügm*. van
. ,. . f • ^-.. . ; '. oió4ö^8i^ =2fe to,78350*»'

• __ ^ - - ' ^•■- -• •-■ ■'-•'- ■ - •

C7)^Héé ^ihét inV» drül^l vtn' e«r gettl^ dooi <k Logarkltemüi ^

CïJFBftKüN«T.XiHaDJ«>HIiatWliL4s. i^

ViRKLARiito. Mtn vermenlgvtildi^ den LootritbrnUf vmhet gog6irei}«
I^cmI, 2tfnde\9,893it5i2 — la^ n&\ ij Hf t proJuci is u^iogósfi - 130,
Wen vcf in nderc laSen 130 elk mèi laö.^mi verkrdgt oicn- 8 6109656 — 10,
hecweik dezelfde waarde heeft als 128,6109056 — 130; oitidac het Ver*
fchil vaa cwoq gQtAlltQ otnreraaderd ~^lQfc , wano^ meo beide gttal*
leq met htizeKiie fietal verhoogt of vi^Uagc» Het getal,, tot den
Logarichmus 8,6109656—10 benporende, is 0,0408287; en dit getal
is de dertiende magf vati 0^76^19; zoo als ook^ door dadel^ke ver-
menigviildiglDg , zal bevonden worden. \

j TooR6S|U*o. IfuUeh men ^ gefal a htel.tkh zelven^.het
komende product 4 in$geUjks met ziek %elytn , dit tweeoe pro-
duct ld op nieuw met zich zelyfn yermenigruldiat ; en alzoo
voortgaat^ met elk niew0 product ^ot de iwetde magf te ver hef en ;
welk getal zal men dan eindelijk vehirijgen , wanneer men die
bemerkine yeeptig^makn herhaald beeft^
Oplossing. Men vek-kr^gi , als volgt :
de eert^e vertnenigvuldlging geeft • • ' • • 2*
de tweede • • • è • m • • , • o.*

de derde • • • ^ < * •; « . .*>A^, enz^

ca, zoo voortgaande, bl^kc bet» tiit de tafeY, op Sladz» 180, dat de
veeriigfte verwen igvuldigiog^ geven xal (^ bet onbekende getal =: jct
ftelleirile^) * . . , -

derhalve u » in Logarltbmen ,'' '- '

Log. X == 10^9511627776 X ^Logs 2»
Ma ia, volgens de groote tafelen van Callst,,

l^. 2,= o^^oio» ggjjsij $3^8j .ij)5ii..373?J?f.
Indien wt ou dien Logtritbmoa met

109 95i *^2 f;r7<^
▼«nncnigyoldigen; dan verltrOg^r wQ ^

Log» X = ^30985980541,9061858821
welke Logaritbmua, tot in bet laatfte püfer, naanwkeiirig is. •-• Ztt
liieruit blijkt dust d.<t bet veertigfie product 1111^09850160542 c|{«
fert zal beilaan, vau wetk getal de vooifte of boo^itd c^fers znlle»
zQn 805723 enX* Indien men onderftelt i dat Uren aoo ctffers van dit
geul in eene minuut kan uitlchrQven en men dag ea Mcbt OAOp*
boudeltk bleve fchrffven, zou,. men eenen t|fd van 3148 Jaren 250*
dtfgen 18 uren en 22 roinuienjModig hebben ^ om Hetzelve uit te fchrtf ven*^
Zie, Lezer 1 boe zwak uwe krachten ; zelfs bJi het gebruik van de voor-r
treaèlllktte kunstmiddelen, fgn. ,, .

F* . H^orteltrekking door Logarithmen^
P5T« V Re6£L* De Logarithmtavan den imede, derj^^
kierde 9 vijfde ^ en^ in het algemeen^ van den «* maigts*wortH
Mi$ €€n gctai is geUih atm * Wf^ ün^Ard^ één-ff^fde^ éinh

s

riffik 4 éiit^H^ ¥m im l^hr.tkmm rm d^f'geML Zie

art. goa. C8> ftlaar Wet kctoen twee getéUcïö tó aanmer
klng*. (9^1 ' ' '\

getrokken warden , groater dhin éèn h. In weik geval, don-
der iets meer iti aanmrt'kiDg te öemai, de t^egïÊfvëne re-
gel geldt,

I Voorbeeld, Da$ ykrkoKü'^mrfel tHi 3>7Al95 #« trekken f

deel doet i]'-*'^^

kofkt Log. V ^,7^195 — o,a88«5>^ ^

a Voorbeeld. D^» cubus-éortél uit 75,9631 tó ir eiken f
Log. 78,9631 =*: 1,8974242

i^M/ Z<^. ^ 78>9^3* = 0*6324747
^ferAk 1K 78,^31 = 4,990172

3 Voorbeeld» Den vijfde magts^vortel ie trekken éft het
getal %?.

Log. a =2 0,3010300
deel door 5)
ilewrr Log. ^ st := 0,0602060
i/iprA. t?^ ^ == T,I4«^89 ^

4 VofeRBRM-é. Ö^ tiende maits-wértH ttH het getal Hen
te yindenf^

L^i 10 =r 1,0000000
deel door 10) "'f - ^

10

it^. t^ tO t= 0,IÓ03066

10 . • ■ .

5 VóóitiBJBLD. jD^» honderdjie tHOgts - WOrtH nit iet getal

tien te treken?

lag. 10 = i,o©o?o«i
deel door loó)' ' *'■■-" ' "
100 \^ • ^ "• •
i(^»/ Z«^^ IX 10 = o,oloöoöa ^

^i. t> .10 = 1,023293 i

t8) Hóe vimlt inèn de.Worte*s der getèlttn li^orilö LpMttritfeiuebf
t<>> HeeTCt^ ««I^OWi «tn«i bifl: to MMip]uiV*r ^

criJP E^R KONST. XHÖÖFDa tm lÉ^. t99

-B.' f^^eer hif getal ^ uit hetvmk ééni^ mai$S'm>rtéiiièi

getrokken worden^ kUinet dan 'iën h $ dan bl^t'c tfe v6oi^er<*tyrt-

' Veii regel Wel deztlföeV löiör , «reg«M den feegöciev^ ï^Szer

' vatr de Logariihméh dézèir breiifcei>, moet men, met eèi<lj|e

omzichdghdd , ce w^rk gtoi^ óxb, io de berekoffiflf^ tilic

van hetj'poor «f te dwalen.

6 Voormeld. Den cubus^wortel uit QjfBgis$ $e trel^Kep^, ^

Mes kao aUos werkent

Log* é^7%9\S5 == ftS^i^ '^ «c> ,t

' dOHWordt Log. ^ e,?&pi55 = 9V9Ö57«^ *- ••
derh. t^ o,;^9l55 ss 0,^41039
Vbriclaritco. Oe togailthtoos vaii het g«gevcne fet«I o^Sjr^
19 9,öc^i684 veriBifuleré met 10 i ééfi-derdi; >fail tftftn LogUHlnlkMfV ^
één-derde vao 9,8971604, verminderd m^t 4éa-(ierc(e. ¥4i) »\ 4rit «««
getik nw 3,899054» «»# »3.^ Om DU de*c twoft ^otalleii vaii elkander
te Jtonnen «ftt^kketi, moet 3I in eene tieodeefCge break wórden
overgebragt. Daar üu jj 2r 3»S3i3333 i*5 «00 ifal' Van ^,5^99015/^1
'moeteii atgêtrokken woroéu ft 3333333 1 «^ ^t i^felill, dal^gel^ )8
*fta« 9^9657^ «-to^ 2at 4le ixi^rtttaüiiua ya» doa cu^us^ifepme) uic

. Het herleiden vom 3| f'a sene tUndeêligs breuk , «» het altr^Uen
yan dezelve van 3,a9y054l » kan ethter fêtvieden votiem ffdnêe^
men den 'bijzet 9—10 zoodanig Terlkndtrt , dat^ in plaaé^yén
xo, een getal kome^datd^or 3 dèilitaariu Nais^^iararxi -«"^ifl^

«niea kio dan, i» plm^ >van o H- Q>8gg^l({4«i .-^ 10 » Cpkv|vtti

;il 4- o>^7a6*4 •^ >^ pf nj^^^ — ia» van dien JUogarithinua fs
bet derde gedeeUe it^og^^S — 4 ; hetgeen beteekent 3 4- o 9057208 — 4 ;
maar nu kan inen, in ptaats van dei wQaer 3 -— 4> (chrtfvea 9<^ k/;
en cte Logarithmérs van\ den ciibiiè*wCM:eei uit 0,78915$ wordt fei^c^
g«Hfk 9,^7«o8 '-» Kr, dexalfde, ak wfi^ten wft, dbot mk «mét

;ofli&acht%e berdtestiig, gevoiuUa hebt^eat Aio bi«r c|esd iMwerl^
ia haar geheel*

Lfgé Oiji^tst S3 P,897I<JH T-* 10

.deel door '^\ \ ■ . . j.

i(^ Loi. p^ ö,7fipi5i =3 3>P^5?ao« -^ 4 ' '

of =r 9,é?(f57aoe —^ to . J .-. '(^
'^ ééirkétllHt ^ ö,?39isï =a 019^41036' ' -

AAli«itMUif4k^ In JeM$ hêWArkit^ ^ h^koiff mem ie Hgeh Ut\ 09
(^;, wtf/^^ vV duidelijkthahe heboen üUgeJc^reyen^ niei 00 nUMp
te fchri/yens wanneer men namel^k den Logaruhmüs, dit de talbf •
)Kcft "t^mrt^ai dfti iteiM( »«n den\w«W ^ ^ V$ W^ »

R4

fchftfft er tg — t« voor in pka^s, en cytn zoo Cclir^ft men, oi
dow dri^ gedeeU te hebben « ^ -« lo iaf platts van 3 ~* 4.

/ Éetooö# De2e geheele J^ewerkui^- üeuuc op die eenvoudl.
>ge begjofel?,^/, wanneer a, b en c dri^ ge/teele of gebrokens
,g^a!lm zijn 9 /? — r ^ = C<2 4- c> — (^ +^0 ^' ^'Z^-

De wyzer van deu JLogarkhmtis van eeó gècal, dac kleiner
dan 4éo ifi, is p '— 10, of 8 — 10, of 7 -r* lo, bf
■6 — io, of 5 -* lOf of 4 — 10, of 3 — 10, if 2 — '10,
of I — 10, of o — 10; of. Indien de breuken nog kleiner
zyn, 8p — ioo, ^8» -^ loat 87 — 100, cm. Men telle
tm bij 10 cf-ioo ibulk ee» getal^ dat^4e fom deelbaar worde
door den aanwijmr v^m demagt^ mielter a^ii^t het y oor ^
gefielde getal moet wonfen get nokken; d^n wordt, door die her^
leiding j het ef^ $e trek^ gedeeke van den Logarithmui dei
gevraagden mertek een geheel gefa}>, hct^>elè dan met zooveel
eenheden pióet verhoogd worden % dat het geMjk 10 of 100 wor^
de 9 om (zie art. 917, 91 S, m pip; het .getal ^ tot dien Lo'
gar^hmus beboorende^ naar den gewonen regeld in de tafels
te kimwen opzoeken

yï Rbg&l. ' La^tt n 'de a^wijzer- itafi *de 'utagt zijn , welker

'wortel uit ife gegéyene bre^k m^et ge.t9\oiken worden, f^erhoog

jddn bet fubcraheo^um 10 ^^rioo wet ^umveel eenheden a^ dat

IO.-+- <l, cf 100 + 47, dmr^n, deeihaar- s^j^ en verhoog dan

ook^ om de waarde voft de% Logarithntus te behouden , het

p<^kre gedeelte van denzelvm % met betzelfde getal van a #£^-

hedeki deel dan den aldus veranderden Logarithmus door den

.aanwijzer n; dan verkrijgt gij den l^garitkmm van den bo-

'geerêen ^wortel, wieni af te trekken geéeeltêj (fubtrahe^um)

*een geheel getal 'zat zijn\ altijd 'minder 'da^ 10 of 100 zijnde ;

' v&rh(^ f na de' aftrekking , ^t lübtrabenduu "met zooveel eenheden ,

'tfk noodigiis^ om bet gelijk 10 of \oo te. doen worden^ en ver*

boog te¥tm bet. pcfitieve gedeelte van den .verkregen Logatithmus

met hetzelfde, aantal éinbeden; dan hebt gij den Logarithmui

van den begeerden wortel^ in den gewonen vorm , wiens Joebekoo»

rende getal , in de tafel ^ opgezocht zijnde , de begeerde wortel

^tud nfjn. ' fFanneer dus de aanWij:Urs der magten zijn :

• » 3f 4» 5 f S;7\ s»[9, I0| n^ ia, 13* 14» «5» ^«-
dap zal men %pox, hit Jubtrahendum moeten nemen .* '
io« 12, 12, loj ia,i45i6, 18, lOy II» 111,13,14,15^ mz.
9n bet pofitievt of voorjle gedeelte van den Logarithmui des
gegevenen getals met n ]

:^, a, a, p, a, 4, tf, ê, o, i, aTl.rV»"^^^»»: .

m^-^firfk^^ Dr ^irtoè zi» ^1»^ dfö^ réj^ M^^oét^ de
volgende uitgewjerkte voorbeelden^ «pg.baer verdaan wor*
deu. - . . ~

7 VooRBEELöi Bwf if^rBrnk-mritef ü// d,o?S^3 '^ irekkenj

log. ofi^93 =r 8,a5?24?9;i -3. lï

=- ^,44é<52io — lo

8 Voorbeeld. i>tfft caóus-rmrM uit 0,0038^1 3. /rire**^» ?

3) -

Log. 1K ^0038*13 gp? 9ii9fö7«i^ — to (^)
derhalve^ ^ 0,0058^1^ =9,15 0340 1 07

Vbiikiarin«e« Be w|{zer vbi^ dco LrOgarlctiniu)i^ «p dsü regel (ii),
is eigenltlk 7 — lo. J>ezt wordt iir 9 — lü veranderd; omdtt 12
door 3 deelbaar is. Wanneer men den Logafithmus 9»582Siii — i%
dóen* s deêk , ^oté^ de w^zeir v«i dew Lógsridiikn» , «^ <*ïe déeling
oncdaande, 3 — 4; dezen verandert men in 9 — 10 1 wianiic émk-dQ
JLogai ithmus op den regeld (J^y ontftaat*

9 Voorbeeld. Vea vierde magts^worfel uii 6>^<Afi u trek^
kenl , , ^

X^. 0,0875 SS 10,9420081 ~ ia, inpnuas y<j».8-*io

' Z<3f. <^<Vï>875 =c p^73!^50Bo ^ lö V /i^ /twAr fw» 2 — 3
derh. 1^0.0875=0,5438786. - %,

10 Voorbeeld, l^in Hgdém magtfm^mp^ft Mr o,p3i8;r5f itf
trekken? .

^« 0,038753^ =? f ,5883x353 --* f o

Log. ^ 0,038753 = §,7176611 — 10, friplaattvan i*-2
derh. ^ 0,038753 = 0,5419886

ïl VöOitBEaiLD. Dm ze^ magis-mrieluit o^<k^é7^i te
trekkend

Lcgé OiOoc«>75^ =» 7*8767950 — ia
^)"'> ■ -^-r^ —
i^ö^, 1^ o,«ooc^53 5S 9,3127992 -* 1» V
^ri^. 1?^ 0,0000753 r^ 0,205494 =•

ui»t I ' '■!■ ij .ritiMn fi I iiiini II w< iQwiM iiiWKi iiwJia II »fc]i t-iü I # r iiW^I> *

C«J Hier wordt de wflaer 4 — 5 In 9 -^ 10 veranderd-^^8^^

fH>ft A^tJiEil EERST 11^. <r<o:«J>«w o«K *

Log. Ofi =: 13,0000000"— 14

7)

log. ,1^.0,1 r=^ 9>85rUB9 -^ lp
deri. ]^ o,I = 0,71968565

13 Voorbeeld. Denathtfiei magts-wortél uit o^oZ^i té f rekken l

Log; o,o8?3 = 14,9410142^—. 16 ■

8)-^ '

Log. 1?^ a.0873 = 9*8676068 -^ 10
derk. 1^ o,d873 =. 0,7372703

14 VöoRiiiLO» De» negfüdemagts^u^r^ef uit 0,73853/^
irekkekf.

Log.o,7i%i%^t?»m6%^^—'^^ '

ü«^. l^ 0.73853 = 9»985374^ ^ i^
fl6?^/fc 0^ 0,73853 =^ 0,9668834
XS VooH3EÊi.iH -D^« tgyentiendé magt$^ wortel pit 0,003814
HMtkkaii?

Loi. 0^003814:= 14,5813807 — 17

I«i V^ 0,003814 = 9,«577283 — 10

' êefL V> 5,0038 "4 :;s: 0,7206563 .
~ i6 VooRittELO* Uil c>,ooooooooGoooo?75^ aSs« honderd/Ie
méipi-m>rtel te trekken f

Stel kogheidshalve het geg^rta getal.:;=: a.; dan b
Z^* <a =5 ^6.9421073 -^ 100
f«5o ; f 00) L / '^. ) rr-.-fi"/' ,-.. .: *.

' ^ . • .• . • .100 ...{.■ - - -' .'

derh. iX ^ = 074^03^27 -: - ^
xy VoDRBfcMiD. Uit hetzelfde getal den tyffee-honderd-en-der'
tiende 'magts-wortef te trekken? ' - * -

Xéj^v /ï =2 i$^,jH2io73 — 213 ^

....^^ . g43>— ^ ^^

l^ >i=r* 'o;f6835i ^'
td b^ e6. en 100 het &cta» 1x3^ dau wordi de wDicc 19^ — ai$

; ,' - .' Digitizedty Google

C ïf F E R ir tr N S T. X H o OP D D LVIU lbu 103

Oif^<<e "M yi9t fuVf^hendu^ dofir 013 deèlhtir.) 'lüSSkti mctt dan
mg9,94«»«7<— ««3 <*wor 215 deejcdan verkr|^t raeo v o>9}S6953 -^ I.
I>c w'Özer a-^i vw*4»clcrt.BiciF in 9 — 10; ^»;8» *^ -- ^'

G. Gebruik der Logarithmen ^ in lüt berekenen vsn dé
waarde van meer zamengefielde formukn. .

932. Uit de voorgaande voorbeelden, en, uU d^ wortef-
trekkingen vooral, zal de Lezer hebben kunnen befpeurent
Aoe zeer het gebruik der Logarilhtnen ^ niet fleckts de berekêt^n»
gen bekwt; maar o'oky hoe^ door dezelve^ dingen bepaald hm*
tien worden (zie, onder anderen, het 3 Fbórb. BMz, i^f) -w^
Jèe, op de gewone- wijze 9 onmogelijk zouden te vinden ziin;
en zulks zal^ in ,de berekening van de vplgende forinuien, die
onder ontelbaar veel" Vormen kunnen voorkomeov nog meer
-oiHwiiföIbtar wpnien -bevestigd; ■ ^ ,

I Voorbeeld. De waarde van dt formule ar= ^|^#*
êóor Log/$rithmett te kefckcnen f r - ^

In Logarit^imèn ,S's deze formule:
- Ug.sz^irü)g.a'{'\ log.b^^2lL>g,^a'^\Lpg. b"] ^
Zy gegeven, a ;=: 7*38p5 w ^ = 8,9753; dan hebben wij:
Log^ b = \Log. 8,9753 = 0,9530490
.deel door ^--"-^ -'^'^
komt \ Log. ï ........ .ziz Oi3»7<^83ol

Log. a :!:!=:lLojg[,fiz^9s =t o,8<ï8^i5i J f^*w,

1,1862981 .

-^(2V9rat9

Log. X = 2/3725P6a
:. -.: ... :»'=^ a35>8a85 •

Men neme^ voor ^ en ^ éïdere waerdeq \ oïn 2idi In het
gebruik dezer formulf ce oeffeneo. - -, ^ ^ wt

fl VooRBmD^ M^ naarde ^ ptn -^ fórmnk « = ■ ^ ,%
•d$or'Lp§0n$kmfn%H.:^reketten?^ - -' r . ^ r.-f y \
'In Logirithiirëia> ifc "• ^ ; ^ • '

Log.x^^Log.b+Log^^^lLog.d'^^L^.c ^
Zg nu gegeven ," / t:i7^7ip , i'^zs i 18.72 1 , ^ = 8,2750 ,

DigitiietJ^tjy VtjQOg L ,• 1 ' K .

4c^ ALI-JE^fB EI^ST* 9W^ttVAn «ma

^^- ^ = 0*917815^ ^^/^*
0,8907^93 CA)

I I^. ^ = o,<$9i5i9o^

1,5591573 ^'
CA') 0^8907293 iffrekktn '

.. . *W»Z 0,6684280 ^ X?^» *'
&*•&?># ^ =;^ 4>ö^ï4^5i

;^ VpQi^BgEUj. Z>«? marde ym ^fi^f^^f^^^^^Qa-rè+cy
Héé^ ZogkrHhmm i te berekenend
* Iti Lqgantbmen, Is dej^e vergeH|Hlög t

Zij nu gegeven, a:=s 17, ^ssepen crr374 daois a-«|.^«f.<

I^^. a = 1,2304489 t a Z^. 4^ 36= «^«0897^ §
Log. b = 1,4623989 I S ^g* BfSZ 4*3871540 &
Log./:;=2 i^68:ipj7J ^ ^^. g = J,ii?oi44i S

T^^- iLog. ('j+3+0 = 0,9095390^

^ ^ Lég. se ^^^7,0586569

derhalve :isz^ liM7t2ff

lle\^M|vd4 VAS « i» oMnetecbM^ 'injüfm-me^ d«is fiMr de gevnoe
manier werkee, «ouden er, aditer h«t gcheele getaf * = 11447137,
nog tiendeeligen volgen » dte men met de gewone Logarithmen uiec
kan vinden; f»«o «oij zich , tot dat einde, van eene LogarithmeQ-
taf«lMi^m -bedi«imr, 4n welke de Logaritbmea tot ia, flo of meer
cVfers zQn uitDErejifiid.

4 VooRBEEi,D. t^ M^aatde van « =5 1^ [a^V^ + c»<i*]*,
4^r ^l^i^epfM imeknmf ,

Stel p = 4*^*, en q =r wt^^*;** h

óoet bet berekenen dezer twéé ^vwffMUcfugm^-iroiitaiJde^
taUen p en *, en bijgevolg p + 9 zs é ^9ilr'.rf»*i^lwdi
en dto ^g^ft mep «Injl^^: - , , ,,....■

dan if , «U volgt» mg, zedby Google

e IJ p ? % i; vn s,% X iifO^pF p iV%W^' ^^*' ^5

Log. h Z=. !^893''ój8 — ;

Log. €-=1 1,0559514
;I9 Log.d=. o,ip55ioi

. . 0,4633698

Log. p = 0,926:39e
p ^ 8,^27?» '

i»i(Jr46i6

Zö^. ^ =: 2,3flap23ia

, ^ = 010,3406.20

*^ W; . p =p 8,4477^^

,-^^ i " - />'+f..= 218,788351

:> £^*(p + f>=Ez: ay34ooB4a

Log, x-'sz 1 Lo^. (a + f ) = 1,5600.61
• [^ ;^ .< '.dérkgJi^eLZx t=z 36>309i5
/ 5 Voorbeeld. De waarde der fhrmukx,:;^]/l(a^b^.-^f^tJ^^^
doov Lojgarithv^en^te vinditn? , ,

Men fteÜe > = ir'^». en n è= t^^,- dan is x -rzy^fJ^q)
én die vergelijkingen worden dan, wanneer zij in Logaritbmeq
zyn oyergebra'gt: \ . . /.

' ' •' ? ''lt''^Log, p — ^XCLog. a + Log: è^ _ ,

':;" ^ ;-3^ z^^.**'^ lx ^^- (?:+:?) ^ '

boor de twee eerfte vergelijkingen, zarraeri de waarde van
p en ^; en, door de laacfte, dié van x vinden. Stel a zn
17.-3875» ^ = 0,8539, € = 11,7293 «ï ^= 7,2153 en
bareken dan x. ' ' '

6 VooüBEftt^. ~ De-waarde der formule x = ^^aXk^^a >

^(MTT. Li^af$tfmen9 ^ berekenen f ^ ,

Men fleilp:j?^r=:i^^* en q=ip^b^; dafl Is, in Lóp*
fithmen: ,

i^ ii;?: ? = i Log. a; 2**. Zt^. f = | Log. b
pi^a^-^.l^b^p + q

en.eiudeiyic , , *r '

3*- .Log. * = i Log. ia + O ^ Log.'(p + f ) " ■

' ' Mb fceliiilp fl«r Lógarithmen , vindt men, door de tw6fe%er*

fte vergelijkingen, de waarde vaö p en f; ^n, door de Vfe*d«,

.die vair dr. il/<nf 0^^ , /(?/ een voorbeeid^ a ^^^ i7S5f95»

^ = ai7S9,i? >

\ii WKU f Digi izedby Google

%ag^z=tl Log. h t=: 0^4590100

io5 ALLÊfttÉkSTB dtonoftH p«m

door Lois^fkhfum^ U berehfnenf

is, hJ LogwiciHneh: .

1«» Log. p±z i Lêg.a f". L^.f ^\ i^^ s
t^ £«;*. f i=5 i /^. * 4**- Log. s zsz % Ug. è

Door d^ze tier rerg^lj^iiigeo^ worden de watrdea vao /j f 1

r eo ^ bekeixli eir dte èeeft oiefl eindeiyk :

«fi, in tóipWèteteeirt

25ry ge^jpren: a = J7«35 «» )^ = 5»*2<3Ï dao b ^ + j^
"Sm ^,5338 ; éo dap fs verder", oaar de formoiëfi:

Log.a =3? o^56o^665v , , . log.h S3 0,7650900
Xö^.^rrJ ^(^. 4a =5 0.254833^ '^
Log.r -=::>% L^*é z^ 0,341/990
. /> iüs I,9^d7^4

Hlerutf vitidt^inén;
y+^=4,3395ai;>+*=5»07432«t ^+3==^^539g,
derhalve , Z^^. (i? + 3) = o 9792660

%i af ^ ,111 -g

, % t^g^ (a + 3) = MW«5!?-o

, . . -^^* lp + y) tt^^^744t»-^yi>lf«y

. r . . - V . . • ^.5iJ3p>3X-

i^* fr + i> =: o.7os3?83_ aftféitm

^ jS^.j^tza r,iï9555iy ^
MèB henkene^ fkUfr M Wflkl^ di waarde van «,

dbir UiarHlmien^ ie hepokememf

Hél y dÉSe Jf* «iW3=^^;^n iiff^^f^^^ssr^m
Scd verder* = |/({f* + *P») = |/ (^ •ft'Xi^itt*»
niiirmk jr = ^ C^ + Of orengc men 00 deze .yergelQkiD'
gea lo Logyrkhmen over| ds* beeft men:

t*. lfg,rzs% %.f «I^. ft =^ (.og. f — Cï,3pi,q3pp
Gf^w» «(/«<fe.- p = i 83.81a, rti f = 17,375 • m tÊr4m

M» (Wie ^ ts./^; 4»! b I + ^ s= I + /. Stel

t^ ii;^. ^ = li ^^. Cl 4- /O

f»» ifl^, ar =2 f Z<^ >(» + ^>

Gp^e» «(Mf .• tf = 0,7358 * * == Oj79H fn jf ;?? 04.871 ,
Mr befAenemen » mdar Au firmtik» ^ m waank nm if
- • - • - - . • '• {-■•', ï

« H* LsgarHkndfehi fbrmukn^ ^m cnu •udt Maim « Qr»

9^ tJit de voorbeelden, In )^^t l p^ed^^XJ^^V U/i^Qog9^
ge^en^ is gebleken: welke l$sc(ge,verm^nieyVildigim^en éifk a^e»
lingeo !het WteHSen aer-^tèn en >g6wtgten ï^eSeischt; f en
iniQflft» tvnmeer.raon jtotrlo cttae^gcoacè nffttiwlnsiilgh^id Irer*
Iftngt. W4J zullen daarom Logarkhmifche forroulen opgeiKca^
d^ior wielke, met .b^h^l4) i^ïr X,^fiihm^.taielj^, \^ie 4|,^^
dingen, 'met de, MJC^fl^e naaviwkeiirigheia, kunnen wx^rdep uic*
gcvoèhf, In Cornm\%e deze/ formulen, ,|i^ben W|) 4^ MfttJe^e-
Ugen der Logarithmen tot tien cijffers uitgerchreven In het
gfikM^one gebruik, yijn ecbtcr Ee^n en veelal y^^ikri ge-
noeg ; de di^ie laaiAe c^e(« ^a^ ^oor ae^e ffjünte^ ^aa de«
teven voorgafHKte a^efcboidem ' '

A. Firnmlê,pm Rgnlandföhe Hoeden ^»r Ifecm ^f'Mtde^-
)8odÓ:he ^eUeii #^r u.brenitn, . ^

1«. il^/f^ s Ug, W]nlandfch0 Ro^i. ^ f^f57^S^ 9A.S

Tèi% Vm. t»t pbr^ik vao dif fomyile» ;Cj»r gfmrm§d Mfpr-
'Sa.

a68 ALLÈREETEIS "f B * óró abt» o e h

Jen: om 789 2^/»/. Roeden 8 iW/ 7 </!»/« en 11 Ujnen tot Me-
terr oi^er te Irengen f Men brengfi: eerst Czie l'Dee/;"B/adz.
148) de voeteü^, Aiimén eo lijBC" tor ti^ndfeligen van Roe.
den; dan heeft men 78p,7^rè4 U. Roèden'j en nu werke
tóen ajciui? .-• ^ : . t - - •. * ' ' "

Z4?.' /^- /i(?^^/tf/J t=s'2',8p7474i ^*- - '

Standv. J^Qg. = 0,5760369 hijtelle»
l '. , ■ \' ' • 'J ' — -— ^ — — ^

Z^^« iWïr/^jt=t; 3,47351,10 = Uigyan .,
. ap75>i$34 -^<?/^'*^> die gc^

j' • ,. .'^ , *-- . 1 .:. 1 gi. i^. Jijk- zijn aan het{§i$^^^i:e
"'''**' - 1 ' ^ getal hjnl.\Ri>eden.

.. In^eTol^e^ dk inod^ i|M)eti^ .alle volgende J^ogambmifebe
lierleidingsrformuleh gebruiÉc worden. '•

B, Formule^ om RijnlaiJdfché voeten tot Meters te herleiden^
Log. Met, = Logf,^^Ri]nT. vi?^/f«. + ^9,4968556 457—^^0

C. Formule, yfim^ omgekeerd ^ Met^sJoti Rynlandfcbue 'Roe-
den .te herleidenV . ' _^ '„. ., .. ^ ,, * • . ..

£4gr» /tf//»/. ii^^t :;? ^Usfi M^f^f + i?»423963 1 ,08a «— . to

D. 'Formule, om^ omgekeerd ^ Meters /(?/ Rijnlandfche vocteo
te^ AètlmdeÊÊ» * * .> ^^c^ v • * * ; '-

*Log. Rijn!, yoèt. rr Log. Metei^s + 0,5031443 543

E, Fonnule, ö/w.Amfterdamfclle, Roeden tot Meters ^.Ne-
deriandfche ellen', /e A^r/^/öV«,

/ / ^log. fliiler^] ==:;,Z^i- ■ ^//V?. fioe^en +;" o,5(>5P337 [9<%>
' 'F; Formuio^i cm. AnüerdMnüehe voeten tot Mec^rs té her^
.kiden* i i.-: ' • . t f i . .r ' .; • ■ ^- ." . '^ ■ '

£<:^, Meiers' zn' Dogf Amft. voeten ^^ P,45^ip904 44<?— ro

(jé Formulen, 'om ^ omgekeerd ^MQters .of NedeThndfche Ellen
/ö/ Amfterdamfche Roeden V».vbpt''eri,(?v^ te brengen^ . ,

1°. Log. /imfi. Rfied^.z=i Logt M^ +9,4340662 031 *-^f o
ü%, log^ 4^fi.'yoet^} Sh; \L(^.,i'Sfeh +"'OiS4«ocp5 554

H. Formulen, om Franfche töKigS en vöêtén /e>/ Met'ors-,V»,
oplg9^ee^^M^^t»f^tM»^C(^Q. igif&ê en toeieu, oyer tè brehgcn.
1°, Log. Met. = Z:^^ FrahfchaTëfet -p ó.stp^r^p 'pi'^ •
ft\ iö^. siWi?/. ^= iL(^ Fraafchevoet. + iA»5i 1661^7 423^-10
3°' Log.Fr.Toif. z:^' Z,ö^. iJ/e'/^r^ + 9»7 10 1800 074 — 10

40 ^ Fr.yoet.:=:^L(iig. Metti^i . 4- o,48«a3W ^jy .

cf|#iCft£dUiNfv«fiHaori>aLuniiaM J109

U f^nmUen^&m l^dfehé witten: /ar ]\fattfB»Mr«0«9fibf/V,
§m Meiisrs, ujf £iifeiicht voecco /« furkidtn.

l^ Meitrs e= Lag. Eng. voet -f o,5i«ia4a 411

K. Uit de boveDflaande foranHeii, ^1^ de rolgesde afge*
teid» ia welke y>. rie^um^ eo ,r^, ari^4^ beceekeneti^

on. Kaar éê herleiding d$r Flahe-maién.
1% Ug.th. 3f4t. =?: l^g^k.jf^fiii.^/^'^^.is'ipm 83«

3^ lqg.ri.IU0fe4 = Log. nd ,fijew;t ^7^,S,^J^62 ,I:Ö4— 10
5^ i^. y*. Met. r= A^- y*«.4M-«^-+^>yo35)M Sp^^io

a*». iUy nè. />. voet z^ Ug.mk. Afoff'^*t*-.0,p;^<jö« cfSjl-

.vA^* .f^sr ^ iiariakKng der L^fthétamumaOan.
i\ Lag. eik. Jkht. ;=s Log. (th. IK. fwr.+ \^V0i^9 3>ai— lo
ü\^LogieS.R,voet.:p^ Ijfg. eb. Met. + »»5op433o ^^
3*. X^. cxr^, ü/^/. = Log. SAachteé «f 0»<)489994 8^
4*. Lig. Schachten = Zi>^. eb. idet. ^ ;p.35lo7o5 70^—10
.NB. y^A^ be^eekfot Jbter.e39tf i^ctuMO/eiykim toHpud vao-
144 cpbi^ke R4J»lajKlfche yoe^Pi ea« Tfm\^ .wpcmiBde, by
gnif. en dtfk wérken, de Terwerkxej^die ^me^ ^w,Qr^.

8^. Lag,^J^Jm:sz Lig. cè. denim. ^ 4^(}8so67 aiö.
L» Fornifdof^^ Xjour da herleiding der Gewlgten.

••• £«lf. Mkgr.:SSlJi(Êg. Marktraaiuh+ ^9931433 — »o

4f .* IaT MfiT* trooiteh ;=? Z^ 4^i\^ ,p,OPÖ857tf
lteQj^«n,piCvde 0eaaieii»welk^^jn>)iec I DeH^XX^fXff 1m»
.^0 opgegeren, ,pqg e^ne g^OQce jpeofgce jodere LcfwMu
aüfiebe foraiimn qpnuikeo;Jiei0^j4il)i|s geft^ieds

Ltieo A m B^iric^iJfogte-mateo zQn; ftel

.A tdBsS;! t#

dao b Bcs^dC A; n^Mwi^ Bca p^ X fier». B m tnhé
AszffX4lhB34)é^watdLfk^dJ4iuiamCQt

. ,." .V ^'ttIi^/.B 2»^i^*' A'4-JL€J^! ^ .* ::ï '

, . Xög-^u^^.Ii:.:;;: X«^ culf^ K+ Z i^'P
inc welke^dap ook,.d^ •4>mge1c««4eL; oamel^ Ia^. A^zii.Log.J^
.— ^.?, ^iï«. «uljien yolgeiu,

L. i^^5^/ van. Drieën door Logarithm^^

• 934. VI KÈèEL; baar tneff, 'fn einèfl Re^el van* Orie^n,
(^e vierde evenredige? Vfndt^ wkmièer men 'het ^product der
raiddelhe teriT>en door den voorfteri èerm' deelt; zoo zal mm
eetien Regel y.m Drieëh door Vogarithman oplosTen.\ wèiihetr
trien van de fom der X.ogqrithmen van de nstddeljïé 'termen den
Logarithmus van den yoirjlen term oftreku Wanneer echter
de gegevens kleine èn \ tegen • «elkander -verkVeiiibareg^éi ff Hen
zijn', baalt het gebruik der Lögapkhmëti-nretsf inrijd uik.* Ook
is het gebruik* der LogaritKinen , w«<®[eer.m.e» aivlde oude ma-
ten, en ge wigtea rekent^ ©in. of tpeerilasLtig;. da^r^en de dea-
len en onderdeelen e.erst ' tot ' tiencleeligen SeVoortv te Jherieidea ,
eer .men zich van de. LogaritHinen "kan be'dïenen : Ai;^\i , tekcnc
men in het metrieke Stelfel; dan komen de zwaarflê bereke-
klingen op eene enkele optelling en artrekliiwg neder, en het
is, in alle z^ilke geVallen, meestal voldoende , flechts vU^* cgfers
van 4e tiendeeligen der LogarhhmëiV te* riemen, en zfchviu
eene 'kleine tafel té bedienen. '' "^ * * '•' '^f- *" ' ^^

' T ' VookBEELD. Hoeveel kotten^ %^\\ % Nsd^riétMhè^ plnikn ,
het Nederlandfche pond tot 23 Gèldèns en 17 ifn\r * , ' * "

Log. 378,17 Kilog. = ^.5776^7^T^f
L(^, 03,^7X378,17 = 3^94^13 lv=t Z^. van

a Voorbeeld. 'Indien 37M ^ Kihgfa>tnm^5 ' iW^*'4^ 32
j:iuldem; hoeveel koüen dan i^^lMIOlolrai^mêtf' ^>^^ •>

- ' 278,8' Kil : t'p,j86 Kil = 409(^,30' Gdld\ : *k huïd.
£(7^% 4096,3a Gv^ri 3. '61339391 _.
' Log. \%z%6 Kil =:^ 1,28748821^*

' * 4,8998^21 "■ .'^ * *

A?» 378»^ g= 3^5784100 <g^^^<tg»
,* t - . . ■ . Z.^?. »s=: «.3^/47^'' T- '^ ;■ , -

955. Wétl.ireri/bïtzotKl^r'fi^nilk !iic"ifê6nilk^er Logarith-
men, in dezcb^refcenlng, V.aübrcogt-^ lAVjiiJig twee volgende
vraagftukken bjijken, ' , , , ■

936, I Vraag^stOIT. -^m .-z^k^r* ^pimal h op intrest van

uffg^ÏB^t : men begeert ^ iWi beh^ fanvAapiffial, ,efl ^^q^^
^ kef .Hnde \ai}, (^nige. j^rm'yU^yi^dei^f - r^^ ^.r/ ^ ^ .,

OPi,4i&^ina Een kapitanl fta«,oi^ Iflt^«est.vap i0ter€*t,.,^JU?n«cr^,

*ija bet ciude var* eIJ< janr, öe vervallen Mite. est by hci kapitaal j^e-

voegd wtM-ilt , fc4j dh verineerticirde kapitaal, tegen aënzóUdetï ttnere^t

i-ÏH» ^K>»4cff^ ,* in het tweede jsar> reme opbreugt ; en mGn\ op déit

wijze , na b«c einde van eUt jaW,'^dfen V€rloópeït iutüresc l^j het kft-

Stel be^>l;.«pi|«0l k^ de, mwstt^^ni Aé^f^* GvJ^cn jin é^a Jaar jTTf;;
dan is net beloop van kapiraal en interest van ééne ^énlioid, ra elSli
jaar,! -{- /'; mett fteiieïdlMMt • - -' * ^ i' a.

Itctr" U»l»»jp .imr Iciip1tftfi0,64i 'iécen^sS'^s -dtfM^. oprbeiC: ei^e.vati-ber
eerlle ih» bet begu: van hei iv«edfe jsar rr: (i + OX'A*. *.

* OuJ.m^ bei beloop viu karifaal' cm iüterest,- op het eindje van het
twecdp ^ het begjn. yamhct^dtrd^jjaat, te y^nden,^ llelfe men^ _^

1 : (£ + Ó X * 3D Cl -j- n« ko»t u + fj)^ >< * . , <
voor bm beloop van kapitaal èt» jatw««tj> op het einde vao bet derde
jaar. Op deze WQze voort^depet^Iè*, zal men zien i dat he« beloop
van kapitaal en interest zal z'^n ^ als volgt > op |i^t>.«lMïiê. >,: ,% r«j
van,het^i»ffc j^fe. >; '^•-.i."*^ i-it-h-^rj^ X % *-
. . ,nnl^f vi^r^ljliftat, ., * •,» V. ;^ (X.HT.f)'*, X^A ;
-- ï >''^*nmrt v^Ufde jSar." : ."V ^ • C^^ ^^'J<. '* <'i
• • • *ƒ-'•••'•• r* '■ "'t •'** ^* * '' "**

vio bet «4ft janr /^-.i • » . .* ^^ (i + ry" X *
Sielleq " - - -

wö OU dit beivup.=^ x,- dan beeft nieu:

en dan is 9 itt Logariinme»* Wfirkenj3e J , ^

99f> Voo&B£ELu/ Steden'^wö mr k z=: 12560 gl. den Üterest iêr\
100 gelök 4|; dan is de interest van éénen gulden = 0,045 ^=^ **
en I 4" '^ = '«045 en « z= 18. Men werke dan ardii$ r
log. Qi 4. r) z=: Loif, 1,045 =: 0,01911629^
rerm» mes » =1: 18

-f r)*» = 0,344C9Sft

Xo^. A =: 4,o989»9< opfelUA

komi tqg, X rz 4,44$o8«8

r» 4P = a;^38 |?/at J9 ^<^«^*
voor htt beloop van iapltatl en interest, in 18 jaren/^ö^^

S4

«tl men, Wl* Awr dcw vergeljfkiiica , tMe «rtgen, d« interftsc vu
«BureilMkeBfae Vecrcffende ü door a» Logaritbiitcii kuoaen oplosl%».

95^ tl VnAAGSTüK. Iemand h aan ^«i' ander ^ na i^erhep
fvan m fortn. fcJmktig U betalen a guiden ; maar nu kmng meu
jfiyerién^ om dk firn terfittnd af te doen; nsits kortende r raü
aiken gMea , voor elk jaar^ dat men (Hen gulden u ^roeg ie-
'tdak; men uraagt naar d£ kontante waarde?

09t.ossiNQ« Volgens i!c bcptling, 2Q0 i -f. f gtildea, over M
JiV bettaUMsr » kcMitanc wtard ééatn jguldcci. Wij fteilen dan :

i\ ^ t}\ a'ziz, \ X fcoAt

^ ' I -r r

4e tefMqpFoordCue wmirde vaa èen kapltttt 4V,titt over één jaar betaal-
'tMKT^* 'Waaneer aieii aUosüroortredieiieerc^tfta Ml smo vwwtop ; 4a(

Tri*' ó+TT" <r+7?V(T+öi '«" "•-•««-««il'*-

den «aa <i galdeift , bctaalbiar, oa verkoop van a» |, 4 au « jarci.
Scd die iigeiiWoaratse*«aarde s=: ^y; daa m

•a.4tt IxMtfMiDtQS
940, ItooawU'O. n 1geg«voiit4 =?^4^»# jRS o/)s; i +

ïof. O 4- f J*= o»2i 1 8930 /Il afgotnIAep tu
« =r &oop f/»

Digitized by GpÖgXCj . .i

CrffEtt. KUNST. EÈkSffe'BlXLAdÉb Ui.
3E E K S T E B IJ LA GE,

'* '^^47/. Me^sV alïe rchcijyers fprel^en, in Hunne ^bëginfefen. van
f ee«è"rèkénkunïrii''e. reddn' én evéi^erfigheid' " ♦. Het >^rfc^
*" -^^ tv^ée*gecall£ii . ^qT vji) ewèe getijkfl^ichtlge groptKèden,: is,'
»«. bij hun, de t^ekemunliige Wden van^dezelve.' ^ö 1s 4 de'^c^^'

l^enl^ftige jïedeDt.yïin 141 tot ft; oradsic,;i^ -r- 8.C5=: .4. js.
•^ * JEn.zy peggen; dat- Vier getalfen of vier g^iykflaghclgegfootf^,
'= <Èeden in q^hq .rekenkunftige evenredigheid flaan\ wanneer her -

^€^fch^^ Kier '^ twee eerftetf ' g^gic'^is^. aan het wifciliih-^deii t^ec-
^ laatÜ^n: Bij voorbeeld; 28,241 40 en 36; want ^8 — 04=140— 3<5.^
^ • Zij fcbrij ven zulk eene evenredigheW aldus; si^ 24**/ 40 i^öa]"

if/fe rekênkuhfifge éyehrêdigheden iUjn dur in ides^n ioightitesnen-vóhn

^ >? : ^ + V %• ^ ; f i ^^ ,

" ^^r^; want-» r- [^ + J'l == ^ **- \p^ *^,= -F^ «• T
94a« Hoofdeigenschap, f » /» *,^^^^, nekenk^njfige. m^^^(^»
keid^'it dfi firnZder. S^SerJie Sfifmpl(^llj^ ^^!^ M f^S'^K.
fuiddel^en. . ,; , . . ,, . ^ .

BsToqo.

« -f (F±n) , . . _ , .

Jjh B ::=z a + b de y ; welke fom^nen, zoo als vao zelf blljict,, aan
hetzelfde getal a + b±y gelUk zl^a. ' '^ '/'^'^ '^'' ^ ;" "^ -'

kiiWtige^e}vènredighc'i,1n dé hoogere Rellen-} dn MefittijöRl^
van g«ene5de*Tftthtl€?cöepasfiag,tó;,- il: Qiotj<te,.hft^mi4^^ij4JÖ
jWCt^^heC'gftvKone fpraakgebruik , ii? het-, wejke mpn.^Qor ffden
,öf* il»^ftrti^ö5w^b altijd ';ver(teat-i /he^veeljmêi id^ maafJnui^ ^êkth
teUe _ ^oofheid Jeg^ef>en Jh, -Mep.» k?p. ^JP^\ gemak kelük- twee
iijaeö A e» J3'vH3orfteIlen,' waarvan &^' dèrfte" driëmaar grbdtef
is üan de tweede; de overeenlVeftimkig ^«» dan gëWéet.laqifetftit^
maai; xeg, ïk^.. de^iyKÜ A ^$ , -drie r eUen jlaqg^r d?^ cte lijjQ ^ , -
Kan, uit dit gegevfijj^ nooit, de'.oyefretnrteméipg xusfchen.^ '^^
B gevende^ worüen. Welke reden kan er 5us beïïaan^ -om,
zonder DOcdzaiieliJkbeid, een* our^tuu rieken kunsttearm hi te

voeren» welke den Leerlfog io de wtr noec breogeoT Ook
is de (chrys^^ «>iip|caiiirU|i|. ftles jou nK^ecofi IckrljTei
« — C^ i y) = * — C* + y). Öenkelijk beeft mm ók
fbort rm evenredigheid bedacht, t)ni bet gebruik der Logê-
richtneo Io den Regel van Drieën te Verklaren. Otc echter dit
gdbfVikp alt den ^^ der L<^gi(rithinen zei ven, veel natnurlDkcc
kaïl Terkfaord worden. Is uit «rr 931. Jfla^^ sio gebleken.

944> ^ Drie ^taHea.» of drie. gel{}k(hiehii^ grootheden,
«, ^ eo /t (laan tot elkander, io eene harmamfche e^enreS^'
kÊtOn wmieer bet eer(te tot bef derde getal, in de^elfd^ je- 1
ém^Bem , mA$ bet verfcWl der twee ecrftep. /? — ^ of 1^ — ^,
toe bec verCcbil der twee laatfiea, b -^ c of e — &J(j0
xiMbcidd, <le feuUen 6^ 4 ^ 3 1 ^^1* \ ^h

94$m HooFptfOftfisefiAr. f ft^atumr mem mnig getmi ê
ékor ée $9tmm édt éigmeem wtkinkunlHp reéh^ i^ ^ + c,

h^%€'ê^iémmfimJê^m0fimi09 y^j^^emj~^é

itameu H$ter imtmmfihê iremftdighéU ttftL

K«^ao(»« Dit geMdii nd bewaiea <lf(^ wmatxf weo hm «wtM*
Mft: dtt

tjMe JHKB «fvenrtdi^hefi Isi aa. dli cal i9 kQs, faNMeo bec.
der wwttt'tarwen gi^titt'-ettn «btt pcodaaic dcr>oil4tfdlk« aciri
Uec fiafMhwc 4er ulfcrlU tamiMi U t

a« bec prodvct der midddfte ia»

tear «i4e«e produ€(c»v^HK& s|a,soo Is het geftelde btaaicttii.

945^ AatiMCRKTNO. Naeint mctt. hi de plaaia ^waa dtt opbHoN
eMMde» ffeJceakiMiftlge 4reek«, #, ^ -(- c, ^ tf- a^* de alMMdtes 1^

f -r «♦*— ac;.^ >at mea bevinden < dar ook -r»7""^^* •^—

faneibaaMQlMe ««aimfi^hAW üa.

j^^ 1 VRA^romni; i Tat héte gegei^^né kendh^^ a m è^
un m^ karmonisc^ evenrtdig getal te yinéen?

.' _ , ■ .DigitizedJDyCjOOglC

CffTEUÏÜWrt. feÈ<l«tE ÉlfLACt* 4lJ

OPtovMié. S(«r^r &ÊTSt ^mkiiÊÊdt etIenrtAg» géM\tSSi- éi
ómé moti 9 tim art* gu 9

m», en ïrnIgeM «r#«55t, iTIMs; atf, Irthnr - * i{

of, «> — ii« =Z «X — >4r — — t

; , derhalve ^ = « «» — ^jr^« lie iin» 4;« ^ ^ — ,,

j, of ittf 4- ai^. zsr-^ f-. M ' ■ '■ >

fevolgdtk » tf« -h *«^ £:; ^ak^titt aru^^

. 5;|(|9w ^ EMe harm(^ch reeMs Is ieene ry vaa gfiMtn^ 4i\
^ h, f ,</,«, ƒ, g^ enz* vaA^ w^lke^ drie dp* elkander neigende

ifoöT , lot èlkaöder ib •^èëitó hürmóWche evéfirödigftökf «aBWi^
l mmé^\^/i ''f^=^^ —V « • < r*/^ ^^^ A^^ «^ ^y*» ^-

>» v^^^tf • *•*•»<* *4-0*^ 1+^^ *-H5*' *^
!; 4i^a «i?atf harmónifche Tteh h. T^ ttOét Btgh^ dbtr ' J^A

Utfén.

T W IE E © E B M L A 6 E.

tl6 ^ll^L'La-ÏIBrMl^TTE ;* t ♦Jh^>i*,v:D-.^f«f>

A -■ ' — ' '' ' —'■■'■■' nH' '"*■ ^1*" q> ntJ|>i*"jl!ir .!»■■' n wiiriml^ . M ,| |-||,

B '"•* ' ■' K"|t'r .' L ff '..U;. . -.1 ,»tT!. r-^-.' f>-> M ,^.'

D *" il-* — ^ - >■-•,•.'■;.

F— ** /.1\., ■"- . '..

:*^Cll^ix>i61W^V^ Wist imfft amnT^ lR>)ier Metetry cteff edfttói iebffei^^iM-
*e., lot bet VtniJeil A'M den ;^m^9f^ «emfeftiwn ||(^Ae(^ v^^vwi^sf^
^a)le»» feJ^et, J J)eeL^firi, afe. ia yoorgefchreven., .Want crpothrf»

' f ^. Men mete A tnet B. Laaf fi hï h\*drivmhai ht^ttf^^l^nxi
en JWcrblöVen de I^ C r dtn :I» A- 3B=:rB >+• C

s^« Meii iDCte h met C« Laati C ;Id B> begretpèn <9n vüfmaai^
er W^fve D óver; dan ia B^=r 4 C + D. -

|0«. Mefr*.tn6te C met D. Laai £( ia C. z^f» begref ea yiffmaai en
Z tw^M^jven ; dan J» C 2=: 5 D + E.

4^i Men mete D floof B.^ LlafE in D ééamèttl (icgrepeti sf^ea
It iwreri»Hhren ; dan ia D == £ 4* ^* —

• 'kV a^ai^^ &et'^ Eldoör" F;^ Daac F In É^.'begrepea:^:^^ ;^iim(ï^ ed
^iJiövefWflw; cJah «al E nj; 6. F 4? O ^n,,.,.. :^ , > ,W --
; 6«i M^ntnet? Fdop? O. ^t^L.dat p in F^^tV>''^*^-,^
yep 1^ f idhn'is tJ //* gr^tfci ^fmtehé mlid^tyan 4^^ gegifr^eMi' **
■Jen^'Éi^'^" ,^/., -^ ,. ' * . ^ -. . N ,. ., ' •' -*;;'■ - -"- -

s ten ipinfie (wanneer A en B, ziq arï. 2^6 eïi ièo\\onóè^
gro&tfie gem^fUi' Mkrirf fm9^liweh-ggl^fiatkfiie:gto0$hedèn\

,*,^# ^tóv 4af.er,feene\gen^ene m^-kf/Iaaf^ qe np.ögé-
lykheid daarvan is gegrond daarin , dat alle grootheid "tot, in
bec oneindige deelbaar is. Er kunnen dus, wanneer. c\^^ gë-
lökflachtige grootb(i4eftj:nA:-€jv4Jr,, doot, uitipeting , met «Ikirn-
der worden vergeleken » twee gevallen plaats hebben; r*^ dia
groothedett ^^n|p JPJpfï^f MSpmMU ^^^M •jpunnen o&r
darling onmeetbaar zijn. * Ti^ee grooAeien Ji en B zijn mm
derling meetbaar^, u^anneer men^ bij derzelver onderlinge uiu
meOng, zoo als hovW^'^/tdf'i'^iéln^êke maat ontdekt. * Zij
zijn onderling onmeetbaar ^ wanneer er zulk eene grootfte naat
OiQö* vérrè flTeir ^e - uftééting vobhztt^yriiefgévè^den Ardt.
Onidat nu de grootheden, bij eene onophoudelffke verdeeling,

^eldn'zoo klein- woWen, dat 45nze zifitwigea 'dezelvA n^t
i^eer Ipooneu .(^derftheiden, <^' vi^ Vluf , dpor dademkè bf«

CI)FERKUN5T. TWEEDE BIJLAGE* 517

pi^mfog^ a pi^i% n^c ktumeo heftfftm, of ite iwM |^^m{«
hed^n A en B al of nfec eene gemeene maat behben, 100
hefiaan er tóch^ voorai in de .Meetkumf^ zeer i^eel ênderlitig
mmeethmre groothed^en. Lö»en , weliger lengtt , bü vporbeeld^
<^for v^a» 1/3. y Sf enz^ worden voorgedetd, z^, met be
trekking tot eene $n » welker lengte één is> (zJe ar$ 831 ,
Bkubt, 152) onmeetbaar. ^^/ begrip van onmeetbaarheid is
dus in %hh zehen mogelijk ^ -en de. Meef kunst kert ens^ dat hei
wetenHjk beftaat. Wij. hebben, dan hier een merkwaardig voor*
beeld» dat de reden ons fom.tijos begrippen aan de hand geeft,
welke, uit de onmidddQke i^rviuring., niet kenbaar wordeq.

5^a/ II . Aarmbrkiisig» fVmheer men t\m ge^tfaehHge
gnwkdfn 4 in BemkrMng uitmeet ^ om derzeher grooifia
gemeene maat te vinden; dms geeft -die " ^

uitmeiit^ 9 wanneer er namelijk eene groots
Jh gemeene maat befaat^ altijd een be^
paaid aantal vergelijkingen^ die onderling
van flkanékr^rfkangeni te weten: A =
3B 4* C, B= 4C + D, enz. en diej
Ut eene jmgekeerde ordè^ dat iSf i^an dé laatfte tot Oe eerfie^
(^00 aU in de i^enfhande föbets,) uitgefchreven ^ dienen
Imnnèhiom te vinden: hoeveehnaal de groot fie gemeene maat in
de grootheden A en S begrepen is f om ahoo (ea dit ia ber
eigenlijke doel der nttmeting,) de preciefe verüuding van A
M S^in gétaUen^ voor fe ffeJkn; zie art. a^a» At die onder*
ling van elkander afbaakelp<^ eo aaneengefctuikdde vergemkb-
geo worden, vetfort, aldus voorgefteld:

F = 3O

Ssl'+V

A:

• ;=: 4 -f F
i=25D -f E
= 4C-f p

fA, B,C, D. E, F, Gl
1 3$ 4f 5f »f 6f 3 ƒ

f Eb inlk eene niiAiikklog noemt men; dan de betrekking
ii^juer (Jhidex reüttionis) der gèq)ki]acbtige grootbeden A en
B. mj irofit derhalve aWui gelezen: A = 3B + C,"
B =5 4C 4- I>» ^^ ' — 3G. In denzelven II de hütit
jrootbek! G de groptfte gemeene maat der grootbeden A en
B. * A , B^ C, D, enz. noemt men de termen van den betrek*
kÜÊgswifÈêr^ en 3, 4, $ ^ en», óe VirhéuOngi* gettükH van Oe»
wijzer; mtders , * w^zer^getatten.

Si$p H Vba/igstoiu' /Cijleld sdfndè: dat dé ïetrekhngo^
iHjiSr van twee gelijkfiactaige grootheden J in fiy door uitmo^
ftig% gf vonden zij^ de verhouding dezer groetheden tef elkander.
in ét Mletnfie geheek fétaOen^ door henkeuh^^ $$ liindenf

fl; BRtfft "'" ^' ^ * < ^' DigitizedbyCnOOgle '

öM A L L' Ö.H 1 1 H ST'ff o R o* iëfi éii' '^

mt^s^tYf; WeA iiewe, fcn e«0 x-^ontbWlM , ^few betrek k>ie|8i>»nr
iii hft vwf^totildei:vr»BgRt*k gouon^cni nainf lök : ■ ii <. J^ .1'

• • ;•• ■• ' -1 3y *-* Si' -U ^y 3*' ï ' :'^- ''•--'>'•
Uh dre-n w||?eK, fdtfr^vè M^, ¥aii dV*Iitérefi «? t^ be|irHiefi5 dé '<W-- ^

D =± É + P ±- ip G + 3 G = 22 Ö
« C tüï5i:f 4^ B i^ lio G -f i9 Ö:^ rtS)^%" -

. A'stt?'g?B 4* C 3» 1^4 €+ 109 0.aiH/i^4JfG : »

gemeene maa^ G in ^ di*ieaWil btg^repri» is* . • -^ ' v-

pe ^hnéedè \ré^\ffkirig bêX^ktm : (Nit ft «i^^lft iê*Mn. Zêêtf^t^ f,
niet noflf a< iWa» , f rfcr .5 G zifnde, 4oo is 6 F =.0 maal 3 C =2
i8G;,deilhaW« t rö li G + G ±ïf 19 Ö. ' . " '

De 'Jer«e '^0r^^Ung, ftéteekénf : dav Ö Jjefffk ïs atft^ff ét^ f re

+ 4.G =: iia.G. . . - . . . . (I -;- 'J ^ ::>',' -J- *• •

De verael^iiiï G = 5D tJ- E^b#ijekeHi ; ,dn C \9Ëi^i(. 4$^,§kan
r?/ JTïffdï 0 1^11 È^ ïe ïamcn, Miar» D.^.!aaG^ zünde, 200 'is 5D '
EèfïTfe *aff 5 fl^'l^^ «i^" iS^ ïïcTGi' d'éirttótv^V^C :^ $D iï?E'ï±'
IIOG + I9G 32= fj-^0, . • ^ ' • • . .: « ,M-^.u .

De veTRtliJkific & =3 4C 4» W hti^ek^tr dèt B |M(l|kf ff^«a»
rkrmaai C • op^zno^^t imït D# ,Mliar ^ G ;fldZT la?^^ Üntle » fcè^;a»l'
4 0 = viermaal uy O =:.5i6 Oi «q ,B ;:;z,4 C 4- -O CS 516^-
4- aaO =^ 53- G a^M. *

f>e h^^ vetr^yit^g yt Üfir 3S'-f d,^ekk^tr dat A ^«Ék !><
aan 3 tnaal B en nog C le-itmék^ imr^i^^^>Ji;^iS0^
3 B gelijk aan 3 maff^^ihO J= .föi^ ;:|gev^l|elflk A == 5 B +
C r= 1614 G + i2c|(J =* 1*43 $• A ^ cl

Uit deze gereken ttg «Hjlié^diB*: At W gmneine maat G inde

-^ «I Arn^fct ' *Ji J2»v H9 «'te* «r J;i1^3

daD y^iB^efdige tfi'/«.4g4:i de vol^^.

madt'ièsrtpcn is. Wf Hebben daq ,^iiigefo(ge "

F: G ±= 3 J I l. •ie^arP^.Z^.f Jfladz» *o?«- %

in'vèi&è leréke^Hng,. voor 3é yernoUatfM éer gehjMacntfgf, j^im*,
hèÏÏériJieHS herkregen Heeft yZ^A de kkm^ mpykei omdat zü
ff^'lhakettjk' óndeflthg dhdeeUa^^ )u%. Want» locfleB C\é ft^.
talleo eétl'^^ihééi^'aVérerllittdaè^, tC^ foö ^«^i»^

P55# II Aanmerking, üif .4fil 'VPna, Yï(JV.<jen betrej^kings-
wyzer, bl^kc cenkltarfliï: j d^^ J^ ^^alkn^^^dif dé VèrHouiing
van A tot B uitdrukken ^ van Je.mi^er^elallf^.jf^^ jjf^^js^ ^j
6 en ^ afhangen^ en 4t*s ^roofefof^letn^r pullff\ worden ', naar'
mate van de grootere of kleinere waarde en het igroctêrt of 4tlei*
nere aantal van die wijzergetaÜettf

956. Hf AANp^RRiNO» JVa^ne^r, M eepe dadelijke lüt-

meting van twee ^^lljkfladiü^" éródtlieaen'. de «^vseriVboiten
der mecingen ten «laatfte ^zoo klèinAvdfden',^aat onze zintuigen
dezelve niet meer kunnen ondetfchéidéé; Ban infeet Wèfi, in
de onzekMejcP, éï-ét «intgëhetêne^ grootheden V>t^diiïlU^ n^et*
baar of o|m^ett>tai; ^Jir, de'Wftnedng^ (lakens ^men houdt dan
het overfchot van de Uu^èfU t^ttnef^ mor de.grobtfie gemeèêe
maai^ der ^'oofkedfj^ ; ^m^ mn»Hr nten 4m^ ^-de^befrekkipg^wij*
' zèr. iprekj^^.i ((^^^ ^ien^x ^ gê^^^ -^fiPf .di^^MMenm f^--

•''PST' «^V Jiêm^^mm^ ^iff^amBew$r>^ëk^\^^ito9A^^ £

. md^^^ jmmaettaa^r 9^nf ^ëan ' kefiaa» dèr UfirëJ^ngt^nijter- uit
^m i^ê^ftd^ ^aanÊÊi>\téitmeH en yijWBrééltalU»* 'Gtillaldvttuv öac
. .-flivt 9 -Bidt ; bee wtottei / bl^e ' vaottga^ » W do fet^nMd 4tt
..^yeiM^oiiteii.liieriti otoC' lii«4|dftlSk ' wart^ dan 0OU «eo tocfa de

uitm^tisg nooit teiiwn ten «ind€ bfdnfen; fit«fi ^ou dóf v#iu
^fiij^ 2^9 dezelve ergc«B t« Mc«(x' Mxer' 19b 'm^n dus met

innaai % doen , dan liet «v^fclioc ' d«r r tantftd :^e(^g « als 4^
, g(»oift* geineeoe jnaöc ^tef beïbhou^en ; ^n ^ fii idie öndérftf l-

Img; de. i^ortiowdio^ van A tot B te tdiJekencJü^ + wtór, 1* ge»
. tMen^mikefiunyiéilie md0$jfiêikrfg^ véHtrijgt f fl^lé^ii dampchtsde

,y er houding ten naasten bij voor ; Joch des tenaauwkeuriger^ têoahiéa'

/# men y<P iii^tins ^f4^ fmfK noftgmk. : M^ . ï^fet .Wff uit :

i dat ^alhoewel de verhouding van twee onderling on,9^ffi^^ grfief-'
den niet. volkomen -in -^etaf kM f^rde^^ vff^gflhl^t dezielve
echter^ d^r vef/ckilkn^e fiareh v^n fyiclei-jTni Meelbare ge-
tallen^ meer eri me& benaderd ^* en fèedi^ iti eeffhoogeren graad
' WH kdiÊMikem^hèüi) kan Yo^^yoorgefteld, \ ■ - - - - ^

* 958. V Aanmerking. , Dé ^ manier van uitmeten ] 'die wij

*'^f^rkiadré hèbbtn 9 is de eaiige 'regtjlreekfh^e, en. n'atpwfijke ,

die men volgen moei^ om 4e yerhoud^ng^ van twee gelijkjlachtige

grootheden praktiéck te vinden, tiet Icoit er^ na .de uitme-

tsö A L L^RB ERSTE otoirokW oiiÉ

^* <^ tan, öm ^en betrekking^wijcw te berelreiien. Wg
SttlleB er dof de volgende voorbeelden tot oefeohig b^voegen.
I VooaB. Ja;B,C.D.B, F;oV
l 5» *» ft* I» 9t 5 1
Urn yinèt A r B =r 6323 : i»zs* '

• VOOM. (A.B.C,D,E,F,G.H1
l I» «» 8> 4» S» ö. 7 ƒ
Mea vindt A : B =: 9976 : óyói.
S VowiB- (A.B.C.D,E.F,O.H,n
l I, It I, 1,1, I, I, ló I
Men vindt A t B = a2$ : laS.
4 Vooa«* i^t B, C,D, Bi F, a*«^ :I,.E, LI
l Tf !• 8» 5. t. lo* ?• 9> 3t II ƒ
Mta vindt A » B z=r 10733437 : i^6922$*

P59 VI Aawmwkino. Wij hebbeö, tot bier toe, dé ver-
tiotiding der nitgemecene groothedeo, uit den betreitltingfwó-
tef , of liever uit deseeifs wIJzergettlléD, van trcbteren naar
vdreii, leereo opmaken? maar hef is gemakkeUjker dezeh^ mü
étwi/zerg^oMm^ nrn yoren futarachferm^ af té leiden. - Alkoe-
wd wU nu deo regei, d4en wij , tot dat einde, Eoiien opg«v«i,
Uer ter plaatfe niet kunnen betoogeo ; jzoó H het outt^ des*
xeiVea vroegtijdig te kennen en in oefening te leereo bftfw
gen; vooral, omdat men, in het^ «erkdadige meestal net os-
sieetbare ve^hoiKlingen te doen beeft, van welker wljser êecbis
bet eerde gedeelte gegeven ü^; als ook, omdat dieseifd^ re-
gel, dienen kan^ om, Wfnoeer eene o;iverkleinbare breuk ge*
gjsven is, welker. teller en noem^Rr zeer groote getallen «yn,
eenvoudiger breuken te vinden, welke, zoo nauwkeurig mo*
gcsyk is, de preciefe wa^-de dezer onvetklöii^are breuk voor«
ftellen.

960. III Vraagstuk* Een cnbépaaldèffjk voortio(^ende bt'
trekJdngsn^jzer:

fA, B, C, D, E, F, G, H, I, <««,!
l is, ^, r, d^ e^ /, ^, A, en:^ J

gegeven lijnde ; de getallen^ die de' verhouding van ^MfM imr»
peilen i bij benadering^ te vinden? , ,,

OPLOSSING. Nemen w^, tot een bQaondcr voorbeeld ,< dtn iie*
trekkingswOier \

rA,B, C,D,B, F, Cl

l 3t 4». 5» I» 6, cftitizeiv Google

*c-\r V'

i.r:ri:

ik

«

mi» 1^.

f

w 3

««•^^•fsnnr

«tip UÖ •aaqqDlï IBBUI 3ua;KU9S' 9||10Qi^ 30J J)iai|ü^^ 0p tI9||iU9 .9U9A

/'s=:cw

-.t

^•-

. ^'^ •jpJöoMttWdq pop 9p)diJdSjOÓA, idt( U0V ji9q /py 9^f9» * «^
•UOy 9p tW ^fV't U$Ul U9 SO^ 3JB UPA pisJi^Üdp SU99f&A ^U9M

s^jXfC * é»UP$sf.iszttM rt9p tP0 yja^^jOüA u$pjo^ ^9jq 9U9m9
'^§9üpfS[ktjpqé'9p'it&)i n^if^jfSJnft^ 9p u^jjütvS' ^9p'kfh ttif

i

•Zü9

•jf V'y *ï V^^ 'P V^ 'f

^/%./?

-j^^ * Sutf^9p^9i^^^inj^J^mt^ii0Éf - az^p-^^ |>^ ' mm . i?^/^ ; ^unm^

-^mt J^p 9pyb§lü4 9p t^tTJ- ,ri$fpj^49ik 4df99p tt9t*99Vi93'u^lffS^49
U9p M>OA Pi9tinif\9^ (*-«Ö^^ d:Wt<Ii 3^0«j fBAaS. ^fpöf 51» ©0^>
^hj^UI9 U9M hpp ^tOt isftfOOZ JèÜtêOU 'U9J9;fp9 UVéi J9I99P U9U

93fféz kj ^'iff^'*if9n9fh$Ji itiii^hi^m '^ ^k9Jf^$wjS ?ip uvê,

4 Digitized by Vj'' ^ ' *

*:ifft9j^ iMi;^ufif^AUo 9u^9 499UU9m *«b, *i8rt?iiod[fnq om X^o
F^di Odfp Uf na iidqqdq (^ mj^ . 'omxHaiiMVV, II) *^9<^

•tf9^[MA

SuffmofjM 9p (iz pfê^FufUSf/imPPU utk^ 'ffê0^ Ü9tt99 }(i9ék t9m

: U9t99pJ009q UtKf ^fff9pPf 9Af9t^ ^ *tfhj^J94l*SutU9^f9Mq^

up *ii;9m 9tp *^n9Jf 9ptt949Sj9AW9 9mn9$u 9itt9 Itq *U9m $Pp tt9
• u9ff9ffdeoA J9ppu sp99^ U9f9^$ó04B jTtép ;Sutpnaqj9A 9p U9^n9jq

9^9m ^U9pU0AS$ tpJOili U9^n9Jq 9pU9J9Sj9AUO0 UVA 5}[99J 9U99
'U9U9^9J9q UVA J9tU»m 9Z9p JOtjp * St U9A9S9S ff U9 fT Uff^fOmS

,9JPf999iuuo' Suffjgpuo 99mt iWA J9KUai'iSi^pmüVfq i^9p itVA ui99^
99^ d99uuPM ^$vp :snp »|Z wi^ •ONis^ïUNVY II *ttg6

•oapjoM p$^oo3<)q * gjwid sppwuaöoi» 9p ^o •i»S
•«ip a^iöAv öUV t6z6\Sz : ^i ss 2?i* x JK^S ^ t uvp Mpitm
*M $ip i\n9Jtq 9pU9ÏfOA J9p /fct J9ut90U U9p $9m p2fppÊé,

^9t1^9UU9i4t *3in9Uq A9%9p jrf$ ^^jfV^i^p ioOp PI99P93 * pf91jf^f

9p tM^ * Pitmp pfsuMmm 9p ^A49pum ^-««ooa ^ q) ''^jL

Pt99q400A ffq *^n9Jq 9^9 iPQ o^ •U9t9Ai98uVÜ $piOm *.uff9
9SfVVfd9^9st^9ZSf J9pU0 9^' *--* M9 + tU9^99t 9p JOOp ^m9pp99q

fJOOA 9p «; *'üa9^t9y hu^pifjódA Uf9f^ 9$ Jo fC0j9 9$ 9ttff9ijmq

ff' M y^UVA éutphoyj9A 9j[fp9Ji 9p U9^H9Jq 9pU9^%J9AW9 9fP
ff^Q •©€ 'St JfftpSaui '^U9ffVf9S 9Ui9f^ 9^MZ ut *SfP ^ 9i9gJ9M

Ssjn9^énHvvu Qoz Suipncqj9A 9fp m9^fi9jq J9Z9p p^ $vq «^s
*f^jpfin ppüwSjoóA 9p upp j9S^P9^Amppu ff m y ttPd Sufp^

, ''fteq.l9A 9p iitldjq 9pU^9A 9^f9 UPA J9m99U U9 J9ff9$ 9p *U9tt$i§i

*j9f ^ «4» U9^cjq98 99q upa ^spq %l •dBiiDjaaSi? 9p li^qqaq

AZ *Ü9^fl9Uq 9pU9J9Sj9AU09 9p 0901 SIDdOa * S^flJJIiaA ^ ^^

^i ^\ivio2uo\\ dp af *i\^m dip *siid9|ojq;»S 90 * ]>SDoi«q
'^Fj^m lx 'W' II '/^««^^/S* -f^P ^^t^J^^^ff ?P «! 'Jpioii* ia«~
-^9j bdSrpQOAudd ua7dp asA paoj? d0 *oni^U3Wmyv ) M96

Il 'X 'I *H 'O 'J 'J 'Ct 'D 'a 'vj

-^ .. Digitizedby^OOgl ■

-f

.^

+

- 4-,

9^

6

f

1 ö

?£?

iZ

~

l\ 1

.n

—«5— »i»*«

9

ytyi 1

l

Vv

.J 1

B.

'1

') \

^tt : ir^ =35 tt I V

Tl

+
8

's .

8

■ «

+ 1

I

I

+

o

l:,

Si
l,

8

S

T

Z

i

I

, I

1 ■

, I

. t

ï

t

8S
VV

I 01 «I «I «I <i 'I Vi *i 1

Il *H *ïy *d *a *a 'o *a 'vf

, 1969 ; 9^ i= e f V ,1

7
,01

9^2

C/6

Szt
S

+

06

9 'S ^

•d'a

"2

"9

+ - +

g I I

i

y^ï/^ ip U9A»8»S Sou ftz •aiiMiooA v
SEoi j ÉsCp := a : V

aa

YV

Sttri
^«C9

i— J

+

,1^.

+

-■« '

cfc

Sb ■

/i

8

' I

'8?ïïi

■gti

^

It

T
s

6

-- »■

k' f^

a.

+

0

YV

/ f r*<j *i *« *8 'S V

la'j^.a 'a •o *a •?ƒ

, \ 'uspisDqjooA agaa^iOA ep

ocA'tisa^ifdjjm jsq joop ^jdSoJ tóap sadjsoaq uoj^ •s^

•o©j«^ jo^A |bjö©a; aüii»S9W<i gp uato iep * pao» « 39H — '8*S CS
S«+f>Sj3K«B + €x*i/H»«»'-« = 18 +«901 = 18 + « X t55

= 89 + PXi8*suooA 'Sc ==t4.i«=:::t4.iXt« iisss^i-H
89=fi«+tX 87*io|)»< fV Mc±t i.+öc=:i+ffX-* »89=:
» + >9= C 4. $ X tl • uaptiiA dl ^ifeiq 9lp\x9ti\os a|> uio •* =i o + fr
c=: Q+ txt tSr =^i-|-Bi ?= 1-4- tX€ :u9puiA « a^Jd» odMi
dp ^tfi Hn»iq &p4*p ap mo CDD aj^iojtj 3dq a|^.Sti|]|J9^^ »P <ï«>|

tx

r'. f -7 f -«

-^//i* 9tfim t9H Jvio urn $fp *^^ ^j, f^pgfj^ jpmm
^^f 9p wfffk ttvp fsf s$ffjps SufMTfij Ui 'jpm pnÈm
"•^ooA mvu 9p ttPé^jHM^mm j9ffH U9p *m$imf^di if^ (*q fH

t»9 .fPt9Sj$Kff9i 9pU9itOA $4 $9ki «^^ têifS^J^JiA JtffefPf W f»«
9^ ^n9jq QTltr, uméC JMPtm US J^g^f 4t9p d^f^$AitU9mJ9J •«♦

'JPMkii^fi0^jf:ff9^ •JF p;f99jnftm 9p99mt ^ J^puè ' s^pm
• -T^V^^q^pj^sp U9m sSffJOi^A uvp

5— i(nd^ 9pmmfko(U tj^hp^ d9ut9(m

U9 MUn U9p immoAi\9p^ffq ,fn
»i j** jVU^J^iftéi .$p99A(4 $if /M»

l ' TT ^f^ff^ 9p99ai$^ ^9ti^ UPdjHMim

lè^'jstf^f \U9p StpfküStumj9j '^e
' *Sut^j9m

^i^ox Ü9mBtf fp st nu ua ffsfppji

U9^U9ilpjUpfi9^i0VJ^m ' J- J^ —

^^m^^ S^f^puou }9tfi < Z Jo
'»4»pSj9Zfl/i^9lf^99 t9tf$}n *499m

^9j. > U9i 1: éé3fOJ4l9d 9^fffU9h9il0

8€S ^ €Wi.

HiJl9A «) ft r^

Ut 4- «S ;

"^i» p "ir .

•é9U9tftq IC •- ^ f

o5i -,98% -

•mj9A 9) ■ ^

Sc - f ^

•U9lt9$flil ^ — €l

IC — 89

n»i^4 I) .4..^

^ -.89.
'^9jf9jfiq t t— •€ '

ar -i- êw

•ar^^^ S) — * — > '

♦ -€f

■^^ V%

*U 91197 Ctq o — I * '

5 -; ^ OO , . .^^, ^JV^Ui^tJOtl^ 9f Ui ^Jtj^9^ .^t

I

'^-.■

+

I -• ' •»-»»». •• Digitizedby VjOOQ

CIIPBRKUNST. tWe£D£ BIJLAOkt ftds

9tpal«i w( oiift b| d* yerboodli^ 6% : t^. De«e Mt dt «rjre
VcrhoudUg ie klefn voor ; iet verfchil U tetnet ülad^r ém
1 MS >^ S07 3= i I 4<^* I)^< '^ ^V de proff Utfltcs.» Wifi|
86090 « 8751 ^ 4.»tB547 ««• _ •
6a S 15 ' ==: 4U3)3S3 «««• tt ktite^
wfcUI •••:=; Q,opQti4 #i«x#
Nb is 1 I 4^ ï= 0,000217 ^*'*
aerbthre 1 1 4^ grooter dan de aü^fkfaig van bet gpteolM tft : 15
van dewttfde der gegevcae breuk.

VQ(»UI£KLl>Stl TOT OBPENtNC.

t*. /a ifêlkê gefehikip$ iUlne get^tUn Uè ié i^rkotÊ^M§.^B één
^metir li^t itm Ri/mUiülfcM roet lÊWéen ttUgedfMkêt
,> ar» Tw9ê g$9Mé jtêéT grêóH gf^mlhmf* fMê^^ éie mtgnagn^^ig
^4tf$ég de rerhwding iysfchêm 40 AIJtÊUmdfikê wi^rgtn ê^^éé^jkmn»

a* TW94 Èielnê gétaltem u WmTm» êi$ êg 9$rhoÉdl9g ên l^to^

/wramm* of hit nUuwê Ne4êrUmdfcké f994 e» kê$ 9tf4ê Jmfi^téam^

D £&0£ BUL A GE.

Jtaari9 m éenklnU vm$ M mukn mgeSjki j^|Hir
. féM êelien mhh gegtyt^. ^

96U U ooa gewone ottetfef, ii iiei gecfl vim Ut gtgiuU
A«/ of <ie mifivArs, en de «eetfcuoft^e reeka»

|,^0, IO«, lO^t'tO*, Ib*, 16^, fO^, AM^

de algemeene ppkUmmtnA fAoM^ waarmede, aie (% Deêl^
arf^ %i^ BMt. 5) etie ftfeveoe boeveeihefd A, gemeoin of
vergeleken wordt. . f ebilve ^ cbc dit groodial /iSra ^oogsc
wtarfcbynlifk van het getal onzer vingeren affcomltig ia, (daar
de èêhvoudlgfte roenfchen <)e gewoonte hebben , om op l^none
vingeren te tellen,) hefiaat er géeke éi mhi/h redew. waarom
men Mever het geM fien^ dsm wU eenig and& getoL, M nitxiu'

zoUt f^ ^f einde, even^gied' knmien dienen; terwijl ah 4^ de
meetkunflige reeitsi

}% r^ r^^r^^f^, r*. r*. r'. r*. enz.
de termen der fc^taat tcudèp beyatien^ met welke ^ op itzelWe

wtfze. fil^ I I>fd^ art^26 is aangewezen, elke Mevene fnt*

^6^ - Zi^ A ^©WfrootB, koereeiheid v eurrate .beey.etHieW ,
welke COC modaJm: ^ gKo^chtmaf M anog^omen. Men me»
de hoevtèlliëid •A ^mec fv SVè] du ri.in A begrepen zij B
malen , en dat "ïiien de iiöenixelheld w, Wéinfe): dan r zi)«Ie,
overhoude; dan is hec IcJanr , 'dat meh * hébben zal : ^e hot'
~VeeUieid A « gelijk aan B m^dl 4^ hoeveelheid r . ynet tofi' de
kleinere, hqeyeelheii ^ U'^zanien genomen} hetwelk jjien 'aldos
iiicdruk"^c: '* ' "' .'' ;' ' - ' v- • ^ '

IMiea-dé tioeveelhekl 8 gieter is da» lie «odvhitf ir v zoo
mete ffièn ep nreuw 'B mèc ir^^Stet , dar r hi It* t^'W^^P^n «Ö
. G -^al,; ^»- (}|C,.<?r;ten^ 1jö$vc?ll^.i4 >i kli^ifr.4|ij r.'pYcf.
hlVvn.aaj0.M,,vK>i^nt d|e m^ungi

B =;; Cr + ^ * ^' .

ea wanneer men nn , in de vergelQking /i)^!n plairs vai B,
die Wö^rde fteftT^!S!r^^tlci^gt rnl^r"***^ - *

Aj#t5*<*=s(erf(0<fra=aPa-K^+^ • -co

Utio deze vergelijking, C Bog grpocèr dan r,zoo mete n^ea
we^ro^.jC ,mec r. ScfiJ ^Jaicdjiwitiprfng gey^i'. ; , . ^^

Met) ftelie dan d^ze waarde yan C.(f nameip Metnef >0nde
daa r ,) in de vergelijking (2) ; dari * Wordt . .

Z^ nog D grodcév3iJ^#y ^b'loK^'b^je^at «MCM^
van.I>^,r#7>c>Wdeii^4rwd§f:^'^:, /rj ,oj ,1

• ^)ndé,V kleUier dan>f ; din'«at mM, 4>d wtascFe ^n IX W^ik
vergeliJWijg^ (3) otf^ergebragtthjibbeiide, vinden^ - ^v

'A re:, Er*, -H ^^ ^f irr» +'^r + ^ i . ,. • . (4)
, ^ Zij>pg E = Fr. + tfi. dari.^yotócv ORdf^j^el^de.jwyi^i \
' A =5: Fr» +- i-jp4 4.^^ ^r w« i+^.*r 4- w .i ..(5)
Is «ogf al verder* F 'ti^' Qf ^ f; ^tm 'zal wordifr: ". '

' A == Gr^ +'/'*5 + ^r^^> ^r» 4" er» f" ^z* -h > " '
9<55. t' M^n ikfl^-meÈ^^it^etmta QP dim vofly voorbaanden
•kjüklijh (hoe grobc de hocveelbeid 'A JRogce zyn,^ tot

C *IJ F E R K U N S% blï U D È B IJ L A (i E. 227

fB^.5. m/^i mkiêier ^>/m r ^bijntk ^ ^^ tfk' wjjs^t'^tctjc ruirgt Vsn
r weer zal Ife^'fitUn : ên iimi il dé iftmgtihi^ tejt mu/e geifr^gt*

éêi^ffckrit met- cenigd m^ien J^nisd^i^f^ méi em^ge malen d^

e'enigejnak^ de vierde magt, enz. van dienzelfdtn jfic^duius. Op
die wijze dan zai, we/ke*W^^W^iifeel/ieid r zou wogen zijn ^
elke groote hoeheelheid A meti^êü iékfnt^ JfiM'tlf^^êkm^i^ rèehz
I , r, r*, r», enz. kunnen wof^n vergeleken,

men r zn^s ^^^^^^!^^ .mi^m-^^jm^^^^^^
fel; en wanneer men r r= 12 name; dan zou het tWaa^talÏÏge
fieifel van tellen ontdaan, f In het algemeen , kan men r zoo
groot nemen ^ ah men verkiest. '"

96S. t Jfiiii9lhihir$iivmi ÊtOmH-éeefiÈ^mim, éeéO^e het cij-
fer nul f of o , r — I teekenSf voor de getallen 1,2,3, €"«♦
/^/ r — I ingeflotent noodig ; dus, voor het tweetallige ftelfel,
flechts de cijfers o en i; voor het twaalftalUg ftelfel zou men
nog twee bijzondere c^fers voor tien en elf moeten uitdenken»

969. Indien men nu die verfchülende telw^zeu onderling
vergelijkt ; dan blijkt het :

l^.. Dat^ r kleiner dan tien zijnde^ er meer cijfers noddig
zijn^ om een getal in cijfer voor te ft ellen , dan i> onze gewme^
telling; doch men zal dünaremgiggifif^de pythogarifche tafel flechti
tot r — I maal r — i behoeven te kennen , om , in zulk een
ftelfel^ de vermenigvuldigingen en deeUngen uit te voeren; dus,^
in het (weetallige ftelfel, tot één maal één; in welk fcelftl
derhalve die tafel kan worden ontbeerd.

2?, Dat^ wanneer r groot er dan tien wordt genomen^ in éUles
het omgekeerde zal plaats hebben; minder cijfers ^ om een ge*
tal te fchrijven^ en eene uitgiftrehere tafel ^ om te vsrmenigê
vuldigen en te deelen.

3S Al ware het^ dat men aan eenig bijzonder ftelfel ^^ tH
hij voorbeeld i aan het twaalfialUÊe^ eenige voordeekn (zoo als
Leibnits wilde,) toekende ^ zou het echter onmogelijk zijn 9 zulk
ie» fitlfel^ kij het tdgemeen^ in te voeren; omdat, 10 jül« ».

198 ALtf^RBERSTft ot. tat% Cf]F> DERDE BrjrAGK.

led, de iiamea der tk>ereelbedeo vio het «fondttl tfen zifn
tfg^M^ toodn hef.fëbmlt vto teolg utitt ftelftl, «ofkkr
«I die otmeQ ce vennderea, (o bet fewoot rekeoeo^ deoe
frooce belemmering toe te weeg bteigeik -« £^

9;o. De wyze via meten, dit Wf) zoo eten Terltnird
hebben, teert: Aoe mem een gerat ^ ep etme ürtju geliytven\
in een om/er ftel/U tam f effen zai ererèrengen. •^ Jüêis
zal hei t^emeoerikg€ jfamriat i8d5 9 iH kei iweeijMfge fie(0f
atduu

jittcoiaxfbf

en^ in he$ imè0^iêUlffi^ ef dlê tfêiwi

löBl ' ' ^ ^

werden PóerfefleU. Iferi sle terdcr i La Tavüis^ Uritenhmuen ^
eo Beffiem Ctttfuê der ^tkandige Lerfen, te welkta dk oih
dirirefp reef tetedroerlger verütodeld !f •

-^'i

Jüxnü tAit tttr Twtltot ni tiéTinrt sftt.

Digitized by CjOOQ IC-;

ANTWOORDEN

OP DB

REKENKUNDIGE VRAGEN,

igitizedby Google

igitizedby Google

ANTWOORDEN

OP DB

REKENKUNDIGE VRAGEN,

TOOBKOMENDE IH DElf DERDEIf SRÜK VA5 DS

ALLEREERSTE GRONDEN

SER

C IJ F E R K ü N S T,

ooon

J ui C O B DE GELDER.

VIT GEWERKT DOOR

G'. R ui M ^ K E R S, Jt

Kostscrhoolhonder tt Amiterdam*

Te Amsterdam en ^s Grapenhage ^ bij
DE GEBROEDERS VAN CLEEP,

Digitized by CjOOQ IC

I 8 a 5. ^

igitizedby Google

V o o R B E R I G T.

jM[f;'n geachte vriend ^ de heer A. ter poorten,
Kostfchoolhouder te Breda , gaf mij in den yerhdenen
jarc te kennen^ hoe hij meermalen den wensch had
hoor en uiten ^ dat iemand ztch met de bewerking en
uitgave van de Antwoorden óp de AUereerfte Gronden
der Cijferkunst, van den Hoogleeraar de gelder
mogte belasten , en noodigde mij tevens uit , hieraan
de 'geinige ^ mij van mijne beroepsbezigheden over*
htijvende oogenblikken te hefteden.

Alvorens hiertoe echter te befluiten , nam ik de vtij*
heid mij tot den Hoogleeraar de gelder zelven té
vervoegen , ten einde van hem te vernemen , of zao^^
danig plaft zijne goedkeuring zoude mogen v^egdra*
geny en ik had het genoegen^ niet alleen hierop een
allezim verpligtend 'en bevestigend antwoord te ont»
vangen , maar zelfs de ftreelendfte dienstaanbiedingen
yan gemelden Hoogleer aar daarbij gevoegd te vinden^
welke getuigden van de vriendelijke zucht ^ om alh
zwarigheden^ zoo wel de uitgave als uitvoering b€'
treffende^ voor mij uit den weg te ruimen^ voor. welke
meer dan gewone heuschheid ik Zijn-Hooggeleerdê
hiermede êpenlifk mijnen opregten dank betuig*

♦ 3 JFêt

IV V o o R B E R I G T,

Wat nu de uitvoering zelve betreft^ hieromtrent
^vertrouw ik toegevende beoordeelaars te zullen vinden
in hen ^ die btj ondervinding weten , hoe moeijelijk , ja
bijkans onmogelyk het is in eenen arbeid^ als dezen y
alle drukfeilen te vermijden ^ want fckoon ik my heb
beijverd de meest mogelijke naawwkeurigheid in het
oog te houden , en daartoe al de voor/lellen door mijne
leerlingen bij herhaling heb laten uitwerken , zoo durf
ik mij echter geenszins vleijen een volkomen werk ge^
leverd te hebben.

Dankbaar zal ik dan ook (zoo er immer een herdruk
yan diP boeksken mogt noodig wezen^ gebruik maken
van de aanmerkingen ^ welke op dezen mtjnen arbeid
mogten vallen , en mij . op eene heufche wijze worden
medegedeeld.

Mogte ik de voldoening f maken ^ van te ervaren
door dezen arbeid 9 hoe gering dan ook^ eenig we^
zenUjk nut te hebben gefiicht ^ zoo zoude ik dit ah
de beste en eene genoegzame belooning voor mgne
moeite rekenen.

^ R.

AlfSTBRDA»! »

April 1%Z5-

igitizedbyGoOQle

ANT.

ANTWOORDEEN

OP DE : i

REKENKUNDIGE VRAGEN,

VOOKKOHKNDE IN DEN DERDEN DECK VAN SE ,

ALLEREERSTE GRONDE^

.v;'r

■ "» . .• .. • ;-.iv. L
C^FERKUNST,

DOOR

J AC O B DE GELDE A ':

EERSTE DEEI.* - -^ r

I. HOOFDDEEL. HL Les. Over AtGjfinV
derzelver beteekenis en gebruik. -' ''

BI. lo. Vragen tot oefening. A. .j /i

. Spreek uit: ;- , _ ;. ;^

2Ies-en-dertig ; drie-en-zestig.

Twee-hondei?d4ieg6n-tèn*tachtig. *''j:'':;d2 .il

Zeyen-diüzend-zes^honderd-vijfi'en-tacbtig^

Acht-en-dertig-duizend-n^gen-honderd-driè"-en-zev^;irig.

Acht-honderd-negen-en-zeveniigKluizQnd-vyf-honderd-
twee-en-tachtig.

Drie-en-zeventig^millioen-acfit-honderd-negeii-en-zéven-
tig-duizend-vijf-honderd-drie-en-zesrig. p . . , . ,

Acht-Juizend-ee»*bonderd-enrvyf-^n*twinög-mu^

A gen-

a L HOOFDDEEL. IH. Les.

en-vijftig.

Verder :

Vfif-^ndeixi-wi-wer-; aqbt-hondeid-eö-twimig.

Zevenyuizend-en-acht ; acht-duizendren-zestig.

Acht-dÖizeöd-^-zeven-honderd.

VijWui|OiKtc^ii^lrondcrd«en-zcv«n.

Tt¥ee-honderd-duizend-en-twintig.

Twintig-duizend-drie-honderd-en-vijf.

Een-en-t\Ylffti^ifiienJ-eö^viJt :: ^

Vyf-en-veertig-duizend-negen-honderd-en-zes.

Vijf-en-zeventig-duizend-en-zes-en-negcntig.

Zei&-&nflfcrd^n«^gdndg^lui2eDd-^-^-eh-^h^^

Zeven-honderd-duizend-en-vijf-honderd.

Acht-honderd-eö^égéntig-duizend-eh-^e.

Acht-honde^d^eI^•yeertig7dllizend7zeyel^-honde^d-vljf^-
dertig.

Vijf4ionderd-eo-vijMuizendHeii-twm

Tvdntig-millioen-acht-hondcrd-diiizeödrzeven-honderd-
en-vijfrien.

Twee-honderd-acht-en-dertig-millioen-negentif-aoizcöd-
eo-een-en-zeventig.

B. Schrijf de getallen aldus ia Mci9*i|^ :

. 1". 5019 — ft^ 14708 — 3«. öoao2.

• * 4*; 40040 — 408080.

'^. 900090 — 6*. ^ 816116.

7^ 16016016 — 8'. ao88o8o8o.

C. Eenigb strirvhagbn.

Öm de oppervlakkige moeijelijkhM^tÖ bet in c8fcrs
— fchrfl.J

1. HOfirFDDEEL. m. EeI. g

fchr^veii Ö^èr ^géttlten te^Jdoen :terdw:flnèn^ berinnere
men zich flechts, dat men ejkentew ,van 4€l(fc|?aal
van ons talftelfel niet hooger telt d^n^jtot negen; vw^t »
verder gaande, ,.yei:^i}@;,,mS0 wed^r-Aenfiö .naast poo
téren-term j . . , - - - .1 . , ; —

£oo i3 I?. dertieiiphf^ndfird eigenlijk (één :duize^al met
drie honderdtallen; .en derhalve fchrijve men: veertien-
duizend-drie-honderd^enndertien ; in cijfers.; 14313^
^ . .lasgelijks z'i» .30507 en 3?. 70007007. . .,

IV; 'Les. Over iè' Optelling ^^ Miftio oïZamen-
ioégirig der getallen» * -

J^oiiirJ^€fil4/m.J^ioef6nh^^O^ . . ^ -

Eetfte :fom^ a47^9* — ö». 40144* — .3«. 10^15957. ^
4». .400429^ r— 5^. 4606^5. .-^ 6^. 502^262 .(♦>f . ,

BI- 15. ^

V.Fra^g/hilu Zijn jfuujlijksch ipkpmen is.^agl.

t?. 2098605 Vierkante geographifche mijlen.

30. De bevolking was van 40968436 n^egl^ben, ,en de
.nitgeftrektheid 13 166 vierkante naijlen.

4^ Dit vfsagfiuk behoort tot de zoodanige 9 dk iinai
jflrikvragen : noemt; want, daar in hetzelve alleen het
isanial der verfcbiUende foortoi van levende dieren is
'Opgegeven, kan men wel de fom dezer foorten vimto,
deze is 6157; doch niet het aantal der levende dieren
:selvc , hetwelk trouwens niet te bepalai is.

VI. ,L|;S.

(♦) ,Het heeft zljqe nuttigheid, den leerling zdven zgne
Kültaten telkenj te doen uufpreken. ' oic^izedby Google

. Aa

i ' L HOOFDDEEL. VI. Les.

VL Le«. O^tx é,t FcrmefügyuJdigingm

Voorbeelden op bl. ai. • - •- ^
Die pródukteü zt[n: ' '- ^

1581670. — rröiriip. — i54i550o. — ^43548io. —
52776432. — 503127 1. — 786024S. — 6386607. — ^
0220306. — 24480736. — 69283125063. -i-
496720029435.
Voorbeelden 0^ bl. 24. ^/^
537992. — , 5i37ii945« — '385^Soa?<S. *-^ 523017600, —
5S798345<54^ — 78012778404* — 3:32900622328. ~
6S335390005. — 459214464. .— (J5104916964. -^
577746482475. — 61091549959. — 78571^8312324.—
8034881406250. ,«-.394^8000. -^ 176476506000. —
304300000, — 95082. — I2?959fié — 1728. — 531441 (•).

Vn. L ES. Toepasfing van dè Vermenigvuldiging. ■

Bl. 25.

• ^^iV^aagftukx 61640, 1Ö8B64/ 177765 ttuivcrs.

3%
(*3 fletwlve ^ ftsafje» c» de linialen 5^Jen onfterfelöken
uitvinder der Logarithmen , zij den Ondet^li^zer, die het van
te veel bel^g zal* achten , den leerling eênige vaardigheid in
de boofdbewetkingen der cyfer^anst te doen vetkr^gen , dafa
dat bij i^ich; alleen byjj.deze en volgende voorbeelden bepalen
zottde^ bec werkje ^gt^prezen vun den . Qeer littwac» ,
pver de proefgetaJlen p en n» door behulp van welke het
beproeven van al die bewerkingen ,ongemeea ^emakkel^k
wordt. Zie ook Wtsk. Lesfen^ Êerften Curfuty XIIL Leu

Over de vraag, voorkomende bl. 16: of men geene 1
guldens met 2 guldens kan vermenigvuldigen, zie, behalve
art. 7 der cijferkunst, fVisk. Lesfen^ Êerften Curfui^ IF. Us,
de noot op bL 45. Digtizedóy Google

I. HOOFDDEEL. VH. Les, j

S<>. 584000, 943488, 530880 penningen.

4«. 45648 Rjjnl. lijnen.

S^^ 454597 Amfterdamfche duimen.

6** 5400 Duitfche mtjlen.

7<>. laoooo vallen.

8^. 80x53x43=195994 fteenen.

9<>. Dewijl de inhoud van eeaen vierkanten bak, ge-
Ijpc mm den regenbak vooronderftelt te z^n,' gevonden
wordt door de lengte met de breedte , en dit prodiikt
met de hoogte of diepte te vermenigvuldigen, zoo zoX-
len er 04x18x16^64=442368 9 water in den bak gaan.

xc/^. Daar de fnelheid van het licht zoo groot is 9 dat
hetzelve, volgens newton's berekenmg, den over-
gfooten aflbuid der zon van onze Aarde ID ruim 8 mi*
nuten doorloopt; en dus, in den tijd van ééne fekonde
eenige malen den weg ro&dom den geheelen Aardbol
20ude kunnen afloopen, zoo kan men den tijd, vi^elken
het licht noodig heeft om van de eene plaats op de
Aarde naar eene andere te komen , gerustelijk op niets
rekenen , en aannemen dat b^t ftuk werkelijk afgefcbo*
ten wordt op dea oogenblik dat men het licht ziet, en
men zal Üus van hetl ftuk vejrwqderd zijn io78x7==7S46
mjnU voetea. /

11** ;iB50 meters, of Nederl. ellen , of 185 Nederl.
roeden^

ia< <J6oo centimeters of Nederl. duimen , of 66 xne-
ceis of Nederl. ellen.

BI. ft5.

X4^ a. a73 gl. mm 2 penn.=87358 — ^. 137808 — *
#. 5?P54f — ^. 339I76* — ^* 38^7245 penningen.

A 3 ir-

6; L HOOFDDEEL. VU. Lés.

i5*- ^- 73^94* ^ *• a6r55. — if. 170167 groeten;

ld"". In het vraagftuk Haat 21a, VDet£{D, hiervcK^ moer
men lezen 12 voeten, en dah is het: ai^twoord- 24880
duimen; doch al neemt men- 212 voeten., is het vraag-
ftuk evenwel op te losfen; alleenlijk stfoude men zulks
anders fchrijven, en zeggen: 189 AmOerd*. roeden, 4
voeten en; 9 duimen^, gel^ de leerling z^l kuni^ be»
gtQpen 9/-wanneer hQ de divifie heitft geleerd, eadan
zoildb hét zijn :- 27080 duimisn*.

17*. 6587691 vierkante duimen Rijtïlatidfebe maat:. :

i8r. 6^t^^ v&rkante duimen Amftécdaoifehe maat.

lir- 6»73 fchepetó;

20^^ Ï1558 üöiepels.

ii"*^ In oude Grcminger maat heeft een lasC 33 taodt^
ded en de niud i^ fffintea'» dus 984^ fipten»

2flt*.: :r626673i töemi ' ' ,; 7 - . :..

stg^^ 6Sitiaof minuten.'.

^\ 59^1794 ükobdesui r :

VBii LETt. Over de AftrckBng^ Skhfiraetït <jt 4f^

yoörieerdeti van af trekking achter jT $2^ bl. 32.
ï«" Vcrfchil i^SZ 9 — ^^' verfditt 2i?9o725.
3?*^. ^ 2i8oii8j — 4^tyerfchil 6563r695. ;
5^' if • 3^4^5119» -^ 6*^veTföhil 792o$i6^. *' '
?*• .n 68899992, — 8* verfchil 7897820570.
gi^ 'w ^9978930119 , — to** v6rfchiU69i359627iia.

ih*RIRVRAG£N :

i\ Rest 71 1006.
^* M 3P8o9,

y. ,, ' ^tfè^oi. : * ;coosIe -

•\ 1. r5«9ï3- . . • J . .• ^ . .

IrHOOFDpEEL, VIÏL fc*^. ^ T

. P^raagftukkin ach^r % 94^ M» 33,

i^. Vraagftuk. In dit vraagftuk is e.ene ^li^fellfegi
ingeflopenj 2564 moet zijn 2577 jaren, en dan zjd het
antwoord wezen: onze jaartelling kan^ begonnen 2ijii 'ih
deik loop van bet 753*** jaar tan Roidc;. éofclfc tiet
i»to jaar van onze jaartelling komt overeen mei^hjèt.
754«t« van Rome. . : , .

a**. Volgens het .vraagftuk zouden er ip 1824 federt
de ontdekking van ^/»^r/t/a 33a ^'aren , jTeder^ vasco
-DB GAMA de Kaap omzeilde 327, en f^^ert mag^l-
I.AANS reize om den Aardbol y.s j[aren ve;doóp^ zijn;
doch MAGBLLAAN begou zQue Aardreize in 1519, en
aldus zal het laatfte tijdsveiloop zijn 305 jaföi* \

3^ Sedert de Invoering van den Nieuwea Stijl door
Paus GR^GOiuus^.zijQ q: m, X824 ,..242 jaren Werlop-
pen, en ^% ftdert. de 'ËngelfcheUr dien aaimamen.

4<'. Daa ^fiH het ppperylal; d^r zeej^ zjjn: 7J;93578
vittkante geographifche ïuiyien. . . ..j.

S^ Hij houdt alsdan nog la kas over sAiy gU^

ef*. 520. ' i

f'.S^xs^^ dft yrtf^hi^ qp te losfea », telle meqi4>ij het
jaar 1824 onzer |aartellïi2g, ni^t 147x4:9 0^^ :iemand
oppervlal^g. mogt danken 5 niaai^47^3^;, want J;et,<%^«
jaju: om^ jaai^Uog iu)mt q^fereen loet i[}et 47^159^ j^k;(;
47l6* der i^Uaatjfifh^ pcfrhd^ enz> Qok bHJkt j^. uit
htfe^a bij de tydvskona^ wpidt ^antgeno^eii » 9IP9l^k
(ht bij het begin der Christelijke jaartelling volkomen
4713 jaren van de meergenoemde feriode verloopeö wa-
ren. Zie Sterrek. AardnjtsK BL 163.' Het antWOoM
is dus: Anno 1824 bevindt men zich b hét-6sif^*
Jaar ifit JüBaaufche Peiiodö, enr vat^J^ydgeniiB P^- 1

A« ri.J

a: I. HOOFDDEEL. VUI. Les.

riode zal het eerfte jaar invallen met het 3a(J8»*« van
onzejaartelling.

XI, Ik ES. Over de eigenlQke bewerking der deeling.

Vodt beelden tot oefening op de deeling ^ achter § 151,
bl. 50.
l^ 181440 maal het getal 2.

120960 W Si )9 3.«

90^20^ '^ n „ 4.

l^ST^ ri Vï n S*
'•' "<Jo48o' ,, fi fï 6i

'-'51840 w w » ?•
453^^ n n » 8.
403^9 w w w 9*
ft». ^ 3702503; — 84207^^ of I } — 4800827.

14000948^^ ; — 50400702 ; -^ n 18250.
-■ 705030a; ^ 9*714^5x1 of I; — • 378023.
3". 58023 ; — 173045; — feo9o5.
9999i '-' 71205; — 80705.
90003; — 7931917 en rest 32.
78312; — 837159; — 11134215 en rest 15.-
' 870328^15 —i 1769947 en rest 91;
^.- ^4$ — 131; f— 32Ó85 — i824<S; — 11004,
i8245i§Si- — 18246; — Öiap; — ip57^; — 137475.
^.^ïiet grootere getial bevat bf* kkffaèi-e 4155975 maal.
6^^ D^elfde betrekking als 783387|M$|S7 tot dè^énheid.
■-,■ ::'•.."■' •. .. ■ ' ? .

„Voorbeelden op hh,$Zr • ! : '

Idcm^aohtferiS lö^s i .: » '

73^Ö*.fT-/a83èJS*-^-5;^, — JJ^^SS- >

xn. Lbs.

I. HOOFDDEEL. XE. Les^ 9

XIL Lbs. Over bet verdeden der getallen en \itt
ooderfcheid tusfchen ée^Ferhoudings* en Ver*,
déelingS'Divifie. . ,

Voorbeelden op bl. 56. .
r^. Dan is ieder deel iz^oj^lj.

y* Een i8oo8»** deel.

4V looaoö collectieve eenheden, elke van 85 pri-
mitieve.

, Xm. Lb^. Toopasfing en gebruik van de Verhou^
dings- en FerdeeUngs-Dhifie.

A. Op de^ herleiding van Deelen en Minderdeelen tot

Geheelen , bL 57. ^

&•. Vraagftuké a. 39398 guldens en 7 ftuivers.

*. 28915 ggl. en i8 ftuivers.

c* 59879 daalders en 19 ftuivers.

rf* 595543 «• iljksd. en 37 ftuivers.

e. 47560 rqksd. en' 9 ftuivers.

f. a8379 dukatons en 29 (biivers.
^. 7710 dukaten en 88 ftuivers.

3». 2721762 guldens, 4 ftuivers en 8 penningen.
1944115 goudguld.5 24 ftuivers en 8 penningen.
X814508 daalders , 4 ftuivers en 8 penningen.
1088704 rijksd. , 44 ftuivers en 8 penningen.
IQ46831 z. rijksd., 32 ftuivers en 8 penningen.
864051 dukatons , 31 ftuivers 8 penningen.
518430 dukaten^ 94 ftuivers en 8 penning^.
194411 gouden rijders, 8 guldens, 4 ftuivers en

8 penningen.
453627 ponden vlaamsch en 9 grooten, of 4 ftui-
vers en 8 penningen, ^gtedby Google

A 5 4*-

io L HOÖPDiDEEL- XmrLzé.

4^ S7K poBden vlaamsch^ 4 fdieUiégen en i péót.

5^* 5655 potiden gewigts én 8 looden^ oud gemgt.

6^* 9676191 engels 15 azen, óf 483809 oneen it en-
gels en 15 azen» of 6o4?<! marken x oéoe,' 21
engels en 15 azen, ' '.

7*« 15062961 fcnipels en 11 greinen 9 oi 5020J167
drachmen en 11 greinen, <^ 627623 oneen, 3
drachióeÈ en 11 greinen, of 7845a maikea, 7 en*
een, 3 drachmen en 11 greinen.

&*, 741771Ö39 duimeri 5 H^èn, of <Ji 814303 vöet«,
3 duimon en 5 U}nèn , of 5151191 roeden, 11 voe-
ten, 3 duiii^^ w 5 T^wn B,(jnl8n(ï$(^h,

9^ 475^1370 Amfterd* duimen ea i achtite duim, of
43^0104 dito voeten » 6 duin\^ ^ 1 acbtfte, of
83^3^7 ^^0 roedm^ 3. voet^, 6 duimen en i
. achtfle.

Ku i3ifc943iavierkaftte Rijnlt voeten en 113 dito d^
men, of 911766 dito ro§dea, 6 dito voeten en
113 dito duimem

iLM 56251080 vierkante Amfterd* voeten en 73 dito
duimen, of 9245^^ dito roeden, loa dito voet^
en 73 dito duimm*

12^ 1786514 kubieke RQnU yoetett en 1^9 dito dui*
men, of 1033- kubieke ^Lgnl» roeden 1490 dito
voeten ai 129 dito duii^p^u

ig"*. 6319381 kubieke Amfterd* voeten ^ &10 dito
duimen, of 1055 kubiejc^ Amfterd. rpqdeq, X546
dito voeten en aio dito duimen.

I4^ 26988a zakken en 2 fchepels Amfterd. graamnaat.

15^* 1533 lasten en 14 mudden Groningfchègr^anmaar.

16^26989 fchippond^, 13 Ligsponden en i pond.

ir.

I, H00FJ5RREL. XHL Lts. I xr

f r« V^^U9 uren en S4 mmuten, of 191762^ ^en ,
« urqn en 24 minuten, of 360 jaren >3ba eb-
gen, 21 uren en ^4 minuten»

B. Op snctere foorten van yraagfiukketté J^

fio(>. Meer dan één dneKlui2eDd<*dri64ionderd«èfen^n-
vQftigft^ deel, en minda: danééndrieKfuizend-drie
(onderd^cbt-en-VQftigfte deeU

%i: 19514 minuten of 325 uren en 14 minuten , of
i3 etmatan , 13 ur^ en 14 minuten, zoodat tam
^Jjqa twee volle wdcen, dag en nacht aatUioudend
voort asQU moeten arbeiden, om door die aftrek*
ktog^ te bewerkftelligen, hetgeen mèn 4oor dee-
ling In eien oogenblik verdgten kan*

aapjn bet eerde geval 5^ voeten diep., in het
tweede ao{ voeten diep.

93P. sScKï boomen, en er blijft ain elke zgde nc^ i%
voeten over. >

«4^ 75|f minuten of één uur 15 minuten en ftS|f fe«
konden*

ftS^^Langer dan 64 weken, en minder dan 6jrweken,
dg^lijk 64 weken, en h|] houdt dm nolg 110
gl. over; -of 200 men den tijd jdst wil weten:
64. weken, 4 dagen, 10 uren en 40 minuten,
(de week op 6 dagen , en den dag op twaalf uren
gerdcend.)

ft6^Meer dan 55 en minder dan 56 dagra, dgenlqk

%f*.hi Frankrijk woonden er m den jare 1810, door

elkander gerekend, op iedere vierkante mijl 3078 a

3079, in den kerkelijken ftaat 3673 a 3674, en in

het voormalige Kooingrijk Holland 357^ a 3579

A 6 men

jut L.HaOFDDEËL. Xffl. Les*

mefifchen, weshalve de relatieve bevolking van
:Fnu^kr^:de kleinlle, en die van den kerkelijken
toat de grootfte was.
dS"*. De Duitfche of Geographifcbe mijl bevat dan sSoo^

. itcttfeé of 3966^^ Ro°l' roeden.

Ds Flanfche mijl aaSo^ toifes of iir^^VAjai.
roeden, en een Hollandsch uur gaans a85o|5
^ , toifes of i474|g Rijnl. roeden,
sp^.Het begin der jtdiaanfchc periode op 710 jaren
vóór de Schepping ftellende, blijft mèn , tnet de
gevvijde ibhr^ers, b^ de tijdrekening van mózes ,
jf. yerg.:Sierjrek. Jlardrtjksb. bl. 163, en ménftelt
dan CHRISTUS geboorte in het jaar der Wereld
4iD04*' Nu zöiy men het vraagftuk op twèeërtei
wijzen kunnen opvatten, namelijk: of men moet
' < vinden hoeveel zonilecitkels,. maanckkels en in-
, dictiën er zouden kunnen gerekend "i^orden yer*
lovpen te zyn^federt ha begin der juiiaanfche
periode^ dan wel hoeveel van die refpectieve
drkels- ö* y^erkeltjfk federt de Schepping y^rloè-
pen Zijn. In hét eerfte geval zoeke men met
• ^' £^^^ j^^ ^^^ juiiaanfche periode het jaar 1825
"'l^ereenkomt , ai dit vmdt men/door' 181^5 bij
47ï3:te tellen, dus het 6538^ 4ier/^rrW^. Ver-
volgens deele men dit jaar 6538. refpectievelijk
_ door 28, 19 en: 15, en de ^mtienten zuWon é^
verloopene cirkels: de resten der deelingen. daar-
entegeq de hoeveêlfte jaren der loopende tijdkrin-
gen aanduiden. Zoo doende zal men vinden dat
er federt het begin der juiiaanfche periode in
1825, 233 zonnecirkels , 344 maancirkels en 435

m-

I. HOOFDDEEL. XUÏ. Les. rj

indictiën zijn verloopen 9 en dat in genoemd Jaar
de zonnecirkel 14, de maancirkel 2, en de in^
dictie 13 zal zijn. Doch is devmag, meer eigen-
lijk, hoeveel van die onderifcheidene tijdkringiefl
er federt de Scliepping werkelijk verloopen^ zijjn »
dan behoort men die vóór de Schepping af te
trekken. Men deele 710 door a8, 19 en 15,
en neme voor elk overfchot een* vollen tijdkring ;
zoo zal men van de verioopene cirkels federt het
begin étt juliaanfchc periode ^ aftrekken aö zoö-
necirkels , 38 maancirkels en 48 indictiën , en. de
resten zullen aanduiden, dat er na de Schepping
ao7 zonnecJrkels , 306 maancirkels en 387 indic-
tiën verloopen zijn , althans van het begin der
jaren 19^ 13 en 6 na de Schepping afgerekend ^^
als waarin een nieuwe zonnechrkel, paancirkel
en eene nieuwe indictie begon.

BI. 59- ^

3^ Foorbeeld. ledere week 46 gl. , 3 duivers en

i^ penn. en dagelijks 6 gl. , xi (tuivers en tsfr

penn.'
4»* a5 Rljnl. roeden , 6 voeten en 9^ Iquen.^
5% 7 Amfterd. roeden , 5 voeten en 6j%^ duimen*
6^ i-Rijnl. roede, 2 voeten, i duim enpUJlqneo.
7«. 6666 a 6^6j menfchen.
8*>. Op de geheele Aarde fterven er dan dagelflks ,

door elkander gerekend, 83022 menfchen, in elk

wur 3459 a 3460 , in iedere minuut 57 a 58 en

bijna iedere fekonde een mensch^
^. 7J5 mijlen.

io«». 1^ ^ brood en f a vjeesch ieder man dagelps.

A 7 fi*.

i^ I. HOOFDDEEL. TJU. Les.

f i^ 14 ftuivers en 4|f peno..
ifip^ 4 ftuivers en 7f|lfé penn.
t J^ 5 ftuivers en o^^ pcnn.
K3P^ Elke jongen krjjgt dan voor zign aandeel a? g^. »
y ftuiv. en 7^ penn^j en dk nidsje 23 gU, i
fiuiv. en 8^ pemu
3UV»: Les. ToepasCng^ van de Vermenigvuldiging en
Decling op de Herleiding onzer gangbare Muntfpe*

dën tot Guldens^ en op andere vraagftukken.
Bi. 66.

LI

ft»\ hierover leze ma de XIV. Lbs zelve.

4. Volgens de Voormalige waarde, met 606 rolletjes

en 9 gl.
f. Met 54 ftapeltjes z. ri^d. , en dan moeten er nog

9 gl* bij.
6« Volgens de voormalige waarde, 297 worpenen agl.
7. a82 worpen acht-en-twintigen en a gl.
*& Met 71 ftapeltjes dukatons, elk van s^o, en a? gi.
9* Met 90 zakken zesd'halven en 250 gl. , volgens

de vorige waarde, en volgens de thans aangeno»

mene waarde van '5 ftuivers, zoude het juist 100

zakken zijn,
10. 83 zakken Tchellingen Coude waarde) en 100 gl.

41 „ gulden en 400 gl.

48 „ z. rQksd. en 40 gl.
' 44 „ goudgl. en 3^0 gU

39 n dukatons en 430 gl.

il. 'Volgens de waarde in het voorgaande vraagftuk,

met 36 zakken dukatons en 3^0 gltizedbyGooQle

u.

L HOOFDDEEL. XIV- Lfcsl Ij

i2« Één z. rj]kad*,'6étr^oiKlg), enréén liftalltl^Qnken
re zunen 5§ guid^; zoo 4ikw|]l& du als a^,in
1881 gl., si gl. , begrepen zijn 9 200 diÜLViyis zal
mieii van elise deaev fpedo éin «Jbikhebbeo, nüsie^
ligk 342 (tuks van ieder»

KV. Les. Over de zoogenaamde Optelling en 4fink-
king in Gelden» Maten en Gpwigten- : .1
A* Voorbeelden op bl. 67 en 69. ^
%\ Voorbeeld 544 dS, li (fcMlkigen en ft grooC- -
,.y. 1^96 »i ap lood^^, . .:

4V 834 8 v9 ^»c^» ï^ engel» en 3 a^nHolla»d«ch

Trooisch gewigt.
5?>. 2716 roeden, 8 voeten, 4 dulwenj co 9 ïQiieo

RijnL voetmaat,
ö?^ ao44 roeden en 2 voeten Amfterd. voQtnjaat, voor-
onderfteld dat er fta ?i7 roeden, want Jieèst men
31? roeden, dan is de fom 500 >oeden, minder,
* en dus: 1544 roeden, enz,
V>. 1449 vlerk, roeden, 33 vicrk. voeten eai^i
vieck* duimen RijnU vlakte^naat*
^ %•. 1241 vierk.' roeden, 57 vierk. voeten ea 61 viieft»
duimen Amfterd^vlakte-maat.
9>. 1193 lasten^, 4 mudden en % fcbppèls Amfl^.

graanmaat.
Io^ 1474 lasten , 24 mudden ^ 8 fpinten Gronin^cbe

graanmaat»
II*. 341 dagen, x uur, 51 minuten en i fekcmde.
*B. Voorbeelden op bl. 69.
È^. 3987 dC , 6 rchellingen , 5 grooi.
y>. 78 S, 10 ohceii, 7 engels en 20 azen Hollandsch
Trooisch gewigt, (onderft: dat er fta 8 oneen.)

4V

xS L HOOFDDEEL. XV. Lbs.

4S 78 lasten, 18^ mudden en i fchepel.

5f. 12S4 roeden, 2 voeten, 6 duünen en 6 Vinen

Rijnl. maat.
(^é 887 roeden, 3 voeten en 6 duimen Amfterd.

maat.

BI. 70*

1. 191 roeden, 8 voeten, 3 duimen en slQnenR^l.

maat.
t. 13 dagen, i uur, 42 minuten en 13 fekonden.

XVI. Les. Over de FermcMgvuIdiging der groothe-
den» welke in Geheelen, Deelen en Minderdeelèn'
zijn uitgedrukt.
. Voorbeelden tot oefening op bl. 71» •

!•. 30835" de, 17 fchellingen, 11 groot.

ftO; 531 II gl. , 14 ftuiv. en 13 penn.

3^. 9885 », a oneen, 6 engels en 19 azen.

4<^.^ 944290 roeden, i duim, 3 lijnen Rijnl. maat.

y. 180597 n 9 voeten en x duim Amft* maat.

ö*'. 265 gl., 5 ftuiv. en 2 p^na

y>. 4 gl., 14 ftuiv. en 84>enn.

&». 196 gl. en I penn.

9"* 663 gl.
*io^ 5572 gl. , 2 fliiiv. en 8 penn.
11^ 2713 gl. en 16 ftuiv.
12^ 2489 gl., 10 ftuiv. en 12 p^nn.
i3**« 387 gl. en 2 ftuiv.
14*'. 1937 gl« 9 ^ ftuiv. en 12 penn. •
ifT. 5966 goudgl. , of 8352 gl. en 8 ftuiv.
I6^ 3309 gl., II ftuiv. en 4 penn.

Digitized by C^OOg IC

U. HOOFD-

n. HOOFDDEEL. XVIL Les. 17

IL HOOFDDEEL. XVIL Les. Over het vinden der
verhouding van twee gelijkflachtige grootheden, dieto
Geheelen^ Deelen en Minderdeelen zijn uitgedrukt. -

BI. 74. Voorbeelden op het ift^ gevaU
I. De eerfte bevat de laatfte laf maal.
a. i2(S||f| maal.
3* Zn-iiiix maal.

4. asaflff maal.

5. In dit voorbeeld (laat i8 oneen, doch dit is meer
dan een ®, hetwelk flechts 16 oneen heeft, men leze
dus 76964 ® > ^ oneen , 13 engels en 19 azen , en hiet
antwoord is : a85of||i| maal.

BI. 75.

Voorbeelden op hèt a^ gevaU
ï* 35ï§| maal.
- 2« 70^ maal.
3. 4i6§f maal.
4* 494tA zulke deelen*
5* 3585iltmaal.

BI. 76. ;

Voorbeelden op het 3^ geval.

X- «7^ maal.

«• 51IMI maaC

j. In dit voorbeeld flaat 7 mark, 13 oneen, dodi
daar i mark flechts 8 oneen heeft, zoo lees 8 marken
5 oircen, en bet antwoord is: Hf^^is xxm\.

BI. 77. \

Voorbeelden op het 4e geval.

i; 147 ma4l. b^tizedbyGoógle

t.

tó ILHOOPDDEEL, XVH. Ljss.

ft. 99i^ maal.
3- 499^ maal,

4. 64IÏ maal.

5* Vooronderftellende dat er van RJjnlandfche maat
' gelproken wordt , is het antwoord: 2309^^^^^ maal.

BgvoEGSEL, Foor beelden op bL 78.
X. ftolll maal.
2- A^éï maal.

3. . 42 maal.
^ 4. x(?8 maal.

5. 105 maal.

6. 41 maaU .

7. ï44^Jt maal.

8. 116142I maal.

BI* 79-
X» 28 maaU
s. 12 maal.
2* 16 maal.

4. 23 maal.

5« Volgens de voormalige waarde der icbeHtogeOs vsm
12 % of 6 duivers, is het antwoord: 71 maal.

6. io2||f maal.
XVin. Les. Over het verdeeleh der Grootheden, welke
in Ceheelen, Deelen en Minderdeelen t^ ukgedrukt.

Voorbeelden tat oefening op bU 82.

I. Dan is ieder deel: 37 gl., 11 (luiv« en 12 pqnn.

«• [n •• ft n 37Ö gl'f 17 ftuiv. eö 8 pew*

3. n » »• 9» ia228 gl. en i2|f penn.

4* M 9» » n 854 gl.» " ftuiv.enisU penn.

y. „ „ • .. 97Ö pond vlaamscftgjofè^^^^
groot. 3 ö

G"^ DaniskderdBel: 2371 gaudgL9:)8^ftum to^pemi.

a8 azep,.

io«. Dan is ieder deel: 37 fcbippoiid.en ii lijapontf.

II". 9, «f „ n i^lasty X3 muden ifcbepely
oude maat»

ia*>. Dan is ieder deel: 37, gl.^ 18 ftuiy* eo^ w pena.

:XÏKl L £ s. Tóepisfing der • bé^eiki^fen^; t^Ké 10 de
drie voorgaande Lesfen geleerd zijn , 0p gevalteh van* :
- — het d^elpfeHe leven* ^

Foorbceldcn op bl. 84e ,

ft*». 3 gt. en 3 duiten. ' ' '

3^ I ^1^ « 5 ftuiv. en iap«M«

4^ 34 gl* en 5 ftuiv,

r- a4$gl- : • . , . ^,

Voorbeelden op bL 86. .

%>. 114 gl. en ts^oS^/' • ^ <r-

JP* Ö93 gU , 7 ftuiv. en 8 penn.
10*. 4248 gU, Sfff^iiV; fiffiJia peünö .. . •
IV* 239 gli^ %9> ftttiv.ije» 4. p^mu (243 #• min.tb^
oortjes.
I3P; 130 gU, a ftuir; te .^. penn.
ly** ^74 gt«y ^3 ftuir. en a pen«.
14^' 155 gl- 9 ^7 ftttiv.
15*». 1006 gl., 9 ftuiv. en 8 penn.
i6*>. ^0091 gt, cn*ii fluiv.
ir- 6037 gU en 4 ftuiv. banko. ,^,,,^GoogIe
t8^ 1657 gl, en 12 ftuiv. banko

10*

dO II« HOOFDDEEL. XIX. Lbs*

iy. Ia het voorftel ftaat: tegen 21I ffaiiv. het Br ^^
zou eigenlijk zijn t^n 14^ ftuiv. , en dan is bet m>
woord: 873 gU , 8 ftüiv. en 8 penn. ; doch wil men
dtovoor le2en ai^ ftuiv., dan is her antwoord: 766
gl., 9 ftuiv. en 8 penn; of anders aij ftuiv», dan
komt er: 779 gl.,' 16 ftuiv. en 14 penn. De leerling
beproeve deze uitkomstjen eens door de 713 e met het
Mderlinge verTchil dezer prijzen te vermenigvuldigen , enz,
^o\ 7858 gl. e^ 10 ftuiv.

ftft^ ^7504 goudgl.» IX ftuiv. 9 4 penn», of 38506
0. , 3 ftuiv. en 4 pemu

23^ 4841 goudgUy ^ ftuiv», 8 penn., of 6777 gl.
xo ftuiv. en 8 penn.

fi4^ 23258 goudgl. , 19 ftuiv. , 4 penn. , of 325^2
gl. , 3 ftuiv en 4 penn.
^ ^5^. ai6o8 goudgl., of 30251 gl. en 4 ftuiv.

^7^. ai59 gl- 5 18 ftuiv. en 8§| penn.

ftS^» 415 pond vlaamsch, 18 fchelU, xi^ !•

09**. 895 gl. en 10 ftuiv.

30*". 3648 gU , X5 ftuiv. isJf penn. . -

BI. 88.

S3«. Voor 3 g^M 6 ft>MV. en 15^V P«niu

34^ I pond vlaamsch, ^ fchell; en 3/<^ 4.

35*. Voor I fchell. en 7f «. -

3<S^ 6 goudgl., IX ftuiv., 8 penn; de zdc; en bec
fchepel 2 goudgl., 3 ftuiv. , i3f penn. , of de zak 8
gl., 19 ftuiv., 8 penn. en bet fchepel 2 gl., X9 ftuiv.
en i3f penn.

37<'. Tegen 168 goudgl., 25^ftiitv. en xiff penn.

* ^* . ' DigiüzedbyGoOQle

^•. 2222| «. ^

40^.

U. HOOFDDEEL. XK. La$, m

40^. i8 lasten, 17 mudden en 2^ fchepels« .
4i». (ftaat 40.) Pe een 60 , ^ de andere 40 gL
42: 171 gl.-

430^ Mg7 karren , doch laadt hij op de laatfte maar 470 ff*
440. De een 36 en de andere 224 gU
45». In 12^ jaren bedraagt bet ónderfcheid dan een
etmaal, of dag en nacht,

ni. HOOFDDEEL. Over de eenvoudiglle eigenfchippen
der Gdtallcn, enz,

XXI. Les. Over het vinden van den grootften gemcó"
' f?^/j iX?<?/^r vaii twee getallen. ^ ;:

Voorbeelden op bl. 97i

I». De grootfte gemeene deeler van 65091 en 104000

. UnVan 17085 en 5219 is dezejve 17. .

* 3?.V ■•' , , * . - ' .

4o7 De getallen in deze vier voorbeelden, hebben gee-

S^*\nen gemeefien deelec dan de éénheid.

6-.) ^ M

7»^ De grootfte g^eene deeler van 180964 en 18908^
is 2. : . . ..

,:«pw.EnfdBe,yan I753»5.e? *ï<^75fi? ^5' i / cl

XXfÜ.^LErs;'^ Övei- 'üfet^'VÖiadi^^^iiet kUinfte gmttm
Veelvoud van twee of me» getallen. •

Voorbeelden op bl. ibo. ^:^ ^-^^ m . :'
' ÏO. Het kleinfte 'geittééne VeelVöüd VaÖ - 28 en 42 is 84.

ft». Van 12 en 16 is het 48. ^ ^ •

y. Van 45 en 63 ïs hét 315. '^ ^'^ - ^ ^ .

4*. Van 51 en 57 is het 9tS9.* * ^'- '^\^

50, Van 8 , 10 en 12 IS het 120. ^

0».

« .111. HOI0PÖDEE1,. 3tKH. LUs.

6^. Vdn4,i tA]^ 5ïf « 99 Is lietv99o.

7^yVm tSr, M, 33y 36, 6o«en 55is.het 1960. .

&. 86940. •.

Si^ym deze gèui})eQ is bet ]dêmlte/gemtesie;«eel-
voud 360. ^

^t>^ Van ftl deze gemllmi Is i'iao liet; pdcinfte.gcmcene
welvoud.
XI»* En vaja deze alle is het 354.

IV. HOOFDDEEL* Ovser xte bri&ndeling der gewone

XXin< Les. rjQver de 'Geirokens .ki Im% algemeen, en
derzelver Herkidingen.

V(f&réeelJen op ^t 4^ flerkidiffg^ hU 104. '

^ kan niet eenvoudiger worden uitgedrukt.

gf is eenvoudiger uit te drukken^ wdnnéer men-ctller
en noetper dooi: hunnen grootft^n gemeenen deel^r," 13
dedt, én men T}ekoml5': f.

{J5 is mede ivériüeinbair door tSs mjk br«^k/w©rdt
eenvoudiger uitgedrukt door Z^.

?So i« verfcleinbaar door 7, en de ver^nvoudSgde
hreuk zal zgn: ^5.

Teller en noèmer^vaihf^ gedeéldcdöor il , Icon&a::^.

De breuk ^|fS^ |is dppf ,|g€jepe; k^einew ^etajlap uit^

a«*ken.^ ^ ^^ ,,i\i » .//.: n.r . ■ ..v; ^
Van fHI kunnen teller en noemer^ zonder oyetfchot,

jjedeeld worden door 45 -^n men verkrijgt de brojuk:

^ISf f die dezelfde waarde uitdrukt.
IJH b eene ongebruikclykc br^k, verkleinbaardoor

U, en kan herleid wo^^eö tot, het, zameng^ftelde getal:

'— ^ -,,j . , nigitizedbyC^OOgl

■ ' '"'De

De i>reuk |§^ -km oiet k&tttr woitien uitgearukt. -

Voorbeelden op de 5* Herleiding y bU 105.

Deze herleiding is juist bet omgekeerde van d^ voor^
gaande^ want daarin moesten gel^knaxnige^ éveamatige
deelen: bier daarentegen gelijke of gelpnamige veeU
vonden van den teller en noemer der breuken worden
giezQcht, ook is deze 1 herleiding van ved nut, ep geeft
veeltijds aanleiding om de deeling te bekorten*

«X4+« _

"* .0X4 "^ . )

»8Xf

BX94-I

55 — 1&»

— 575.

^ axX9

{^oorbeelden op de 7* HerMSiHgp

%\ 17 mudden en /^ fcbepels ^mftefdatn&he ilmat.

4<». 2t mudden of 336 fpinten Groninger maat»

50^ 16 lihdKngen &x 11^ grooten, of :iÖ fcbellin-
gen, il grooten en 4{f penn*

6». De .breuk |§f kan ^eenvoudiger weerden ml^edrUkc
door 1^9 en het antwoord is: ^^oöten^o ètofm^en
ti^ Iqnen, Rijnlandfcbeiöaat. "'"''' .

t4 ÏV. HOOFDDEEL. XXni. Lzs.

7», 8 yoepen^ 9 duimen en 6|| achtften Amfterdam*
((fhe maat.

8«» Den dag op 24 uren (lellende , is het antwoord :
i^ órénVst minuten en 183^ fekonden.

9^, 'Volgens de oude vcrdeeling van den cirkel in 360
gmdén'9 heeft een regte hoek 90 graden , en dan is bet
tntwóordï 42»^ 21/^ ï^// (4^ graden, ai minuten en
toi^ fekonden), doch volgens de nieuwe verdeeling
bevat een ciiTcel 400 , en een regte hoek dus 100 gra-
den, en dan zou het antwoord zijn : 47^ 5/^ 88J77/,
^47 graden, 5 minuten en 88^ fekonden^)

lo*. 34 vierkante Rijnlandfche duimen en 37jfJldito
l])nen.

ri* 10 vierkante voeten en 18^^^^ vierkante duimen,
of ld vierkante voeten, i8 vierkante duimen en aoJ5$
vierkante achtften vaq duimen, Amfterdamfche maat<r

tao. jt^ oneen, öf Stengels en a5//^ azen , Hollandsch
Trooisch gewigt.

Voorbeelden op de 8* Herleiding , bl. 107.

»^. Wö gulden.

S^ ül gulden.

4*. illl R-Üulandfqhe TQftien. - :'.

5^ ^- Amftcrdamfche roeden.

&» ^ goudguldens.

y». I penning ia gelijk :^ duiver = ^s deel van
een' gulden.
; 85»* i^s pond Hollandsch Trooisch gewigt.

9», ^ last Amft^fdamfche maat.

f o*. Jlfy last Groningcx maat* Digi izedby Google

Voor-

IV. HOOFDDEEL. XXni. Lbs. ftj
Foorhelden op de p* Herleiding ^ bl, i6t.
«•• A is rooved «Is 12^.

s'. /t ., = 4...

JO

il/<p^r voorbeelden*

!•• 77wvan die dcclem

ft^ i§ bevat apapf deelen , als het geheel er 3084 bevat^

3*» 7ö9~ deelen.

Voorbeelden op de 10* Herleiding^ bl. 109.

De breuk | is gelijk 4^.' *

I is zooveel als ff .

1^1 kan ook worden uitgedrukt door T^y

^ r

\l verfchilt niet in waarde van ^lL

34§-
En ^ komt volmaakt overeen met \%%.

Meer emdere voorbeelden.

I*. Dan bevat het geheel 182^ deelen. ^

a*». 288| deelen. . \ ^

3«. 046^ deelen% ' . f ^

XXIV. Les» Over de Optelling tn Aftrekkihg Cte^t '^
Gebrokens» . .;■.//: ^
Voorbeelden op het a* ^^i?/, bl. 112.
De eerde fom is J. , -

2% fom |§. ^ ^ ,

3** W Tï» DigitizedbyGoOgl^

a6 ly. HOOFDDiREL. XXIV. Lis;

5». fom .»!« :

7«. De fom van 5, A «» $1^ is ItÜ-

8». fom ^.

9'- w ï|*-
lo». „ i§|§.

II». 'r> *ifï*

14*. « *ltl-.

j's». «-5^ö-'

17.. Onderfteld .dat er ftaat ff , w «^e fom fSII!*-
i8«* fom afflé. . .. X ,- u

19'. « i^lifèlll» »° ^* ^^«'•^^'^ ^'^"' deze breuk
kan eenvoudiger SKorden uitgedrukt door ^.

En eindelijk-is de fom -van 'de breuken /A, i&» ü»
sV en t^i gelijraan i|. , /

Foorbeelden op het '3< gn'^/.

Eerfte fom 35^-

s'. . « 4*/^- "^ •

3'. « 57fl|J- -

4». „ io8^|> ••

en 5«. is »?r +. »m'>+ 'm + »ir == 547/:^.
■ wavbij mede walt «p te Moerkeo dat ^If eenvoudiger
kan worden uitgearukt dhor. »|'— en dat het in het ge-
heel niet noodig' is deze ongebmikcliike breuken eerst
tot zamengeftelde getallen te herleiden.
Voorbulden op het i* geval vtni^Jftrekking, bl. 113.

i"é Verfchil J. Digizedb, Google

2*.

\'

IV. HOOru DB B L, SDEtV. tBSé s?

<

ft^ verfchil }. . \

5*- ,, A of J.

6«. In dit voorbeeld is de breuk die afgetrokken moet
worden, grooter dan die, van welke men haar aftrek*
ken moet, want J is zooveel als |f en dus ^ meer
dan ïf . Het verfchil zal dus in dit voorbeeld eene ont*
kfnnend^ .9f, negatfey^ groptAW' ziin C*j), namelijk —
A (minus /4J, ^ .;

Het 7^ verfchil is mede eene negatieve grootheW,
namelijk — ^ (minus ^),

8«. verfchil ïV

12'

• 4t

W T4<S^

(*) Eene ontkennende of negatieve groothefd, aldttk ge*
noemd in tegenfteiiing van e^e poÖdeve of (lellige, is eigéii»
lijk wel niét volfttektelijk tls minder dan nieos te befckou-»
wen, dewijl zulks, onwiskqndig en met de bepaling van
grootheid ftrijdig .zoude zijn; doch, daar dezelve evenwel
moet aangemerkt worden als zich aan.de tegengeftelde zijde
van het voor nul aangenomens punt te bevinden , zou roet
zich bü den leerling tot verklaring van* het bovenftaandé
voorbeeld van de volgende uitleg^mg kmmen bedienen. Het is
ceoe onbetwistbare waarheid, dat, hoe gfooter de grootheid
zü die men aftrekt, hoe minder de rest zal wezen; als meA
nu Sf van II aftrok, zou er nul of niets overblijven, bfj ge*
volg moet er nog minder QVerblyven, wanneer ©ea meff

^ ii aftrekt.

B 2

flS IV* HOOFDDEEL. XXIV. Les.

• i3«. ?erfchU /i« ■

i4*« *> VS-
15*« »» bV
16'. n ;Sl.

17'. »» M»

*<>•• M tJI*

SIC. Jèf - 15 = ^ of JJ , let bij dh voorbeeld ,

dat de breide |S| eenvoudiger kan worden uitgedrukt
door J|, ;

Het aa» verfcbij is weder negatief, te weten: — /,S&.
a3«. Als men in dt voorbeeld leest: §} — ^, dan is
het verfchü pofitief, namelijk: ^; doch wilde men $
lezen, dan zou cBt eene ongebruikelijke breuk zijn,
zooveel als de éénheid waardig, en dan ware het ver-
fchil weder negatief, te weten — ^.

a4'. 1^ kan eenvoudiger worden uitgedrukt door'^,
en het verfchil is jj^*

a5'« ïH kan wederom korter worden uitgedrukt door
§i, en deze breuk min ^V is gelijk |||«

roorbeelden op het $« geval , bl. H4«-

I». verfchil 8|.

ft'. », 2tV

4». « 85?«

6». verfchil 98JI.
7«. « 8095'

Voorbeelden op het 4« ^«V-»/. D„;.edby Google

\ verfchil 9(5||.

IV. HOOFDDEEL. XXIV. Lts. 29

a*. verfchil

IOI«.

. 3.. ^

87t*.

4*. »

960/,.

5*. »

7H.

6». „

3ï|t.

7*. »

^^i^^'

«•. »

n8i|||.

P*. »

108Ö.

^(Wr*«tfA/tf/5

' op het 5« gviaU

*3 - /, =

'■ 8a^.

96 — iif :

= 84|.

It kan eenvoudiger wotden uitgedrukt door /j.

en 81 — 17 A = 63 /i.

IV. HOOFDDEEL. XXV. Lbs. Over de Vérmcnig-

vul^ging der Gekrokem,

Voorhuiden

op bl. ISO.

V. product

16.

a*. *

i«

3'' » .

46*

4'. n

&.

5*. «

f-

6*. *>

<^

7*« <.

6|.

«•. »

14».

9*« «>

5f.

10». »

l«^.

"•* fi

M^. ^

w. »

*•

»r. »

*0A» Digitizedb, Google

BS 14*.

30 IV. HOOEDDEEL. XXV. Le^.'

14% product 6f. . .

i5** 99 pif-

i7*. .w 14289^1.

i8«. ^ kaïi eenvoudiger worden fiftgedrukt dooF' f,
en het begeerde product is poapjf.
i9«. product 6317IS. r -'

ao». „ 60271^. ._ r

^i\ „ i3049i793Te&*

IV. HOOFDDEEL, XXVI. LE.Si_ VewfoJg vau: de
Fermehigvuldiging der Geb,rqkem. .-^

Voorhuiden op het 1* gcyal^ W. 122.
I*. product 31 ly?*

a*. « .■344$tV' .' ."• .: ■:.

• '

3*. « . 78i%i J' •. • •

4*. „ 9H5. . .c:: . . -,,;.;

5*- « 5I7S- ri

Voorbeelden op het 3* ^w«/, bl.' 123, ,..

i». product 4781V

s'. .. ösrtly. "

3'- j» 99A'»'

4'. „ 25p8^. • ^

.' )

5^ « 1139^- ; '^^

Voorbeelden op het 4* g£v<}/.

ï'. product piijf' .,

»•. „ 14796^. .- .:

't p

3*. « 63<i76a||.

."Il

4** ü kan eenvoudiger wcvdg]^ uitgedrukt

dojwi.

•^ bet product is 570415^. j

»^

f^(?(W*

IV^ HOOFDDEEL. XXVI, Lbs. 31

VoofbMim (^ het <S* ge^al^ W. 1^4.

!•. product 1548 gl,, 7 ftuiv. en 2§| penn.

»•. „ 6267 cC, a fchell. en i^ groot, (volgens
de vooltnafige waarde dér . rcbénaigeti)^

3*. product 9 lasteo, 1% madden en 2|§S fchepels,
Amfterd. maat,

4*. product 2496 Amfterd. voeten en a^ duimen*

5** » 39^ gl« % 18 ftuiv. en || p«in.

Meer voorbeelden van allerlei aard.

6*. ^ X § X I = §|.

?•. |x JxVxf XjxV=W=7i5-

8** tl '^ e^^ &9 €n deze breuk ^f maal ge-
nomen, geeft ^.
9% »X^=/«^. . )

lo'. komt {f

"•. w 4953/5-

ia*' 355 gl- * 15 ftuiv- «ö i| penn. - ^

i3\ A. Krijgt ^ deden van de gelieel^ : fqp ; er
blgven dus nog ^ vian het geheel Qver, wa^rys^ Bi^f -
deelen bekomt, hetwelk overeenkomt met || ^eel^q vafi
het geheel; eindelijk deze |0 van -^ afcrekkei^,. blij*
ven «r vocmt C. ^ deelen van bet geheel^ w^l^atv^r i

A. 41 gl., I ftuiv. en 5^ penn.

B. 24 gt., 6 ftuivleh ii|| penn., en ^

C. -85 gï» > 3 ft«iv. en 7|§ pcnïj. zullen bekomen.
,Men k^ dit voorbeeld ook uitwerkeen door eer^ de A

deéten van A. van 4e getieelé (bm af t^ trekken; en |
van de rest I de^fen te nemen voor B.^ suüettèe faet^^

B 4 . geen

• J

3* IV. HOOFDDEEL* XXVI. Leb.

geen er dan overblijft » het deel van C. uknuikói. Deze
manier is eenvoudiger, korter, fcboon minder W^aam
dan de voorgaande.

IV. HOOFDDEEL. XXVH. Les. Over de Deetiffg

der Gcbrokcm*

Voorbeelden op bl. 128.

!•. 117J : f =3 ';§* X I =/f t=: i75j inaal.
a*. ïV door 17I gemeten "of gedeeld, geeft tot quoticm
ïfj maaU
3^ De verhouding van 8| op xSu is yjy«
4«. Die van i/^ op 90 is 84^^.

6*. /y met 116^ gemet^ of gedeeld, geeft 5^^.

7*. iiJJ is loojfj maal in 1173I begrepen. •

%"*. Onderfteld dat hier Rijnl. maat bedoeld wordt, is
het antwoord 14^^ maal.

9*. aist^y maal.

ïo^ i7\ pepn. is zooveel als één (luiv. en i| penn.;
nieti leze dus in plaats van 11 ftuiv. en 17I penn., ta
ftuiv. en ^1 penn., of la^V A^v», en dtzt zQn as|^;
ma(al op 1354 6l* begrepen.

Il*, if penn. is gelflk ^ (hiiv. en ia| gl. -= 250
ftuivcrs, dus 13A : ajo = ^^ X ï}v =r ^J5j dfi^cD.

Voorbeelden yoor de Verdeelingi-Dhifie ^ bl. lapt

I^ Dan is ieder deel ^ deelen van de éénheid*
a\ Dan v»^ ieder ded 8 éénlieden*
3*' pit voprb^ld is alleen ooder de rubriek Veréke^
iif^gi^f^f^A e^ebragt» teo einde de ftberpaiwighfidt <^

lic-

IV. HOOFDDEEL. XXVH. tti. 33

liever oplettendbdd van óm leerling op de proief te 0el*
Icn, V9mt het is eigenlgtc eene beproeving van eene^^rr-
èüfuÜngS'Divifte^ en dus eene vermenigvuldiging. Men
flelle voor het gebrokra dstt gezocht moet worden x ,
dan heeft men x : { of | of & x =: ^9 dat is x =r
•^ het b^eerde gebroken.

4». Dit voorbeeld is geiykfoortig met tetvoor^umde,
en het gevraagde getal !s 7^.
S^. Dit getal is het zamengeflielde 31^;.
6\ l deelen van 13I zijn ic^, en om nu een getal
te vinden dat met 13I gemeten of gedeeld, hieraan ge-
lijk z^9 zoo vermenigvuldig lof} met isf, en het pro-
duct zal u het begeerde getal doen kennen te z^ja i47t|?«
7». Dit getal is ^56^.

8<»« In dit voorbeeld is eene zeer noodzakelijjke bepa*
Itng uitgekten, zoo als het dafar (laat, is bet eigenlek
geen voordel, want dan wordt er in het tweede gedeelte
gezegd, wat er in Tiet eerfte gevraagd wordt y doch,
hat ons ftéllen dat er ftcmd: indien | elle of /^ elle,
of zooveel ellen als men verkieze te nemen, tegen 7J
g1. betaald wordt, dan kan het een voorbeeld van ^^rr^^d^
iMgS'DM/ïe genoemd worden , dewQl men het namelijk
kan opvatten , dat er gevraagd wordt 7| gU in | of 7^^
geiyke deelen te verdeelen. In het eerde geval zou het
antwoord zijn pf gU in bet tweede geval 38I gU
f^oorbeclden op bl. 130.

V. ai deelen zuurdof-gaz en 4 deelen waterdof-gaz,
veronderdellende men natuurlQk het gezamenlgke zuur-
dof- en waterdof-gaz , of bet water in 25 gelijke deelen
verdeeld te z§n.
2\ 386^ kubieke voeten zuurdof-gaz^ Google

Bs 3V

3j sjF.H.Qtmiums:u(vmmtA%

4^ De hdfi van wderiidf is. |^ oi «de li^lft vti^Mfi
hat£is 1^5 welke «atifte 'breuk ia detv^oai^^de^^ l^
uitbot gd^^f «mij :bet\i»lk i!tqu\auflts'i retda 'VttO

even zoo dikwijls op de hctft :im ^^^ '^l .^^ i^^l^PJ^
föli «1$ aaderbalf» pf d?ie ha|K«nt Pp ééa ^if,

5^ Dit quotiënt zal bepxelfc}^ f^n aJl$ YW H 49<»^ f
gedeeld, namejjg|: ijj.

^. lu r/*t WQrt>e$lji üja^ § ^ 4it .# e^ie ^ondgeiiHJke
lureuk» m l^et^ept ieigep]iyjb; t^> of ^ift^, aiep le^^
dus KOOr 6| » fleehW ^ beeterjv^ (Jfi; vi*9JPSt j^ des
welfde .aj3 x>f men Sfö öpor i^iS deeldft» /Pfïftelqk ^

70. ^ * dukaat is gelp 77 I^tv^rs , I^ier af f daalder •
-of iB -fiölyö»; blijft SP flwivwi ^t 13 volgen? de voor-
Hiilige waardii 4^ ^esd'balye» v!^iS\ (Imvers, ^^ooveel
als 10 zesd'tolved m 4 ftuiv«rs« ^pch .yo}geiB 4etfgeB-
.woordige waarde is bet,)iil9f ^p ges^^half meer, of
eigenlfl^ .ge^ix)ken H vijf-ftui?ei]grftiikjei? oi 4 gijivew.

8*. Stel dit gcial eena % tf «ijn, *i| is f x s;? 7|»
b^ gevolg 3 X = 5K7|, en x sa .5^ se la^^ men
ziet hienjit dat het begeerde getal gevcmden wordt é>or
I in 7| te deekn. ' , ' '

9*. Door de lengte met de breedte , en dit produet
met de diepte te vermenigvuldigen, wordt de inhoud
van het vierkante bakje gevonden te zqn 73§| kubieke
Rijnl. duimen , welke juist ^Vp^ deelen van eenen ku-
bieken Rljnl. voet, of 1728 kubieke R4jnl. duimen
uitmaakt. ' =

io\ afifll «, of jf 9 en ^J\\^ looden water.

^ " V. HOOFDi

VwinD.O:FDDSBC. XXDLXis:/ is

V. HOOFDDEEL.. XXD5. Ua. Over de-^^A"%,
Aftrekking 9 FcrmcnigvukHfJt mDceUng dcE :
tiendeelige.geijidki^ ^ . «'^^

I». Som: 3762^14154721; dktis: 3762 heelen» en
veertien -«lilHoen-Tiondenl-vièf-en-v^ig-aüizend-zevèn^
honderd -een -én^windg honderd -iriiHioenfte ddelen.

•i*. Som: 61380,349775; dat is: 61380 heden ^en
3497.75 mülioenfte deelen, beflaande Ut 3 tiende, 4
honderdfte, 9 duizendfte, 7 tiendutzendfte, 7 hond^d-
duizendfte en-5 mlUióenfte (♦).' ' '

Foor beelden van A/i rekking.

i\ Verfchil 24,74

a*. » 9*9* \,

3^ ^ 9j3<5a. .

4», „ . o,ou \;*^

5^ n i3>o<S3759-

6** t« 355»i7r3Ö3- " , ^

Foorbeelden m oefening in de Fermenigyu!digi/ig^
. op bl. 141.

!•. Product 0,03789a:.

, 11'* n 345»37i3Öi-

3'- n 9759«9*

. 4f* f> 7a7^6?8324, j ;

(*) De dagelprche ondervlndinjg leert mfj de nuttigheid
die er In gelegen is, den leerling zelven telkens zQne refiiN
taten op deze en vele andere wQzen te doen ontleden»^ vooral
ook op deze: 34 IiOAderdUe, en 9775 millioenfte enz. ' ,

B6 *

Stf V^HDQFDDBBLé XXR. tEsV

r. « ^ 0^0009463534.

8% „ o,ooo92o4o5iftS.

Voorhuiden op de herleiding van gewone breuken toi
tiendeelige^ bU 143*

Al deze gewone breukeq zijn niet volkomen m tien«
deelige uit te drukken , men noemt dit repetentau

/x s= o,^3f , dat is drie-en-zestig^hondeidfte repetent,

^ 2= o,j£o5a(|3iS789473^84?^-

^V =,o,?^i7a!?i304.34;Z8»öo8^956/.

^ = 0,034482758620689655172413793^
yö^= 0,0023^6098191214470^84237;^.

.^Jyy= 0,000088266 enz.

^oorbeelden tot oefening in de Deeling ^ op bl. 146.

n\ Voorbeeld ïfg = o,oo43|f.

ia». ,, ?ïBl55 = 0,00021^.

i3*- tf 3?3ïS?5*ö7 = o,oï35a enz.

14'. w ïo53846,i538A*

15'- t» 5773»67i%.

iffi». M 0,0079^.

i8*. 99 , 0,0001029 enz.
19*- ' M Veronderfteid dat er ftaatJ I799t3ooo95,
is het quotiënt 22149,22 enz.
V. HOOFDDEEL. XXX. Les. Oves hot herleiden van
de Deelen en Minderdeelen onzer oude Maten ^ Ge-
wfgten en Muntfpeciin in tiendeeligen der gehee^

len^ en omgekeerd.
Voorbeelden op bl. 148.

!•• 6,7i9ï^^y, dat is nagenoeg 9,74 deelen van ccne
*nfter5. roede.

V. HOOFDDEEL^ XXX. Les. 37

st^ o»98|{, dit 18 b^ Q,99 last AoftercL gMmamu
^. Stel dac er fiatt 33 fekondcn, dut is het.^it-

wtx^: 0,721^ (feelen van een etmtal.
4<». o,oa94^9 of nagenoeg 0^03 deelen vaneen*goldaiv
5«. 0,049^ deelen van eene Rijnl. roede.
6^. Onderftellende dat hier mede R^nU maat bedoeld

wordt, is het antwoord: 0,513^^ deelen van teoc

vierkante roede.

. I^oorbeeldcn op bl. 149.

1^ 0,0125 gulden is zooveel als 1,259 of i| cents,
of één vierde van een' ftuiver , dat is een oortje of 4
próningen.

2^ 10 mudden en 0,824, dat is ^|| fchepel.

3^ 12 voeten en 9,2268, of 93^/9 duiin^ Amflerd.
roaat# . '^

4^ 14 oneen en 0,608 engels, of 199456, dat is

5«. Den dag op 24 uren rekenende, is het antwocml:
20 uren, 24 minuten en 25,92 of 25II fekonden. f

6\ 54 vierk. voeten, 82 vierk, duimen en 16,49664
of i6|||| vierk. lijnen Rijnl. maat.
VI. HOOFDDEEL. XXXIO. Les. Over de Foordee-

Icn^ welke het wijsgeerige ftdfel van Maten eo
Gcwigten boven de oude beeft.

Voorbeelden op bl. 163.

20. 50720 francs en 54 centimes nagenoeg, eigenlgk
nog fiis centime daarenboven, doch die kan men ge*
rustelQk verwaarlozen, dau* zij toch in de beuling niflh
mer in aanmerking kunnen komen.

3*« 504 francs en 66 centimes, nigzedby Google

B7 i*.

si VL H0t>PDOEEL.:!X0aDaj L£5.

^4n Tegen tri» ftg^cèmmas de fcaogiainme>
5P« Alsdan togm ruim 30 eentiaiës de kilo^amme.
6\ Dan heeft dkeare^ dooridkaBdet gerekend» «^
gekrecff b^ 17M13 Hters gnm&, dat is : één hectolker ,
7 decaliters y S liters; 2 decilkers^ j cemfliter en 3 milliliters.
' f. Door dé lengte met de hoogte te vmnenigyiijdi-
ges, wordt de oppervlakte van de fcbiitting gevonden
te zgn: 200 vierk, meters, 65 vierk* decimeters en 50
vierk, centimeters , en het befcbilderen van de fchutting
zal J^QSten 166 francs en ruim 54 centimes.

yi HOOFDDEEL. XXXIV. Les. Opgave van de
overeenftemming tusfchen de oude Maten en Ge*
mgien^ met die van htt nieuw ingevoerde
w^jsgeerige ftelfeU

Foot beelden op bl. 165.
' 1*. 2760 Neder?, ellen, 2 palmen, 1 duim, 4 ftre-
pen en 3 flippen nagenoeg.

2*. Nagenoeg 653 Nederl. ellen ; want het verfcbil is-
flechts omtrent ééne ftreep.

' 3*» 195 roeden , 6 voeten , 10 duimen en circa 4f
lianen , Rijnl. maat. ,

' Voorbeelden op bl. 1Ö7.

1\ 2931 1 Nederl. ellen, 8 palmen, 6 duimen, jfftre-
pen en circa i^ flippen.

ft*. 10960 Nederl. ellen, 7 palmen, 3 duimen, Sftre-
jien en ruim 4^ (lippen.

' S^ Onderfleld dat er hiermede Amfterd. duimen be^
fbftld woeden »^ is bet antwoord: 45 NederU duimen , 5
ftrepen en bijna 3 flippen.

4^ 2145 Amflerd, roedm en niim/p duimei^ogle

Voor^

:. i?4;.7aPP Ne4^1. ^«gBeQ ,oC ö»c?W » spftliaen, iduta ^

Fjoö/'AwA&iï op tó. 171*

l^ a. 25448 □ Nederi. ditn , a □ palmo) , 44
£3 (teimen, 35 Ö ftrepen èh 90 n flSppeiK

^ 41 n Nedêri. eUen; 5 n ^tssen^ xa C3 4ük-
men, 41 □ ftrepen en 6a,4i9![Z3 ftfppêö. - ^\ '
' c. 24 □ Nederi. ellen, 6$ □ palmen, i Q dütoi ,
96 □ ft»epen en 63,2636 CU ffipfpefn. «

d. 83 □ NQderl. ellen, 38 □ palmen, 19 n iui-
men , 36 n ftrepen en 25 □ flippen.

e. 819 □ Npderl. ellen, 67 □ palmen, i8 □ dui-
mn^ 50 □ ftrepen w 93575 of 93| P ffippaj. 'i

2^ 18225 □ Rijnl. voeten, 30 ÏU liniinett en-*54
CÜ lijnen nagenoeg*, of nagenoeg 22408 CJ Amftterd.
voeten , want ket verTchil . is minder dan één uü Am-
fterd. duim ,. of ten naasten bij 3797 □ Amfterd. ellen,

y. Niet met 0,812866, maar met 0,851579178, ge-
Uj|: de verhouding in art. 450 opgegeven , behoorden f(S
zijn, moet men in dit voorbeeld vermemgvülölgeq ^ i^P
bet antwoord zal zqn: 780 NederU bunders, %^ CcOQ-
den , 94 [U ellen , 58 □ palmon , 36 :;j duimen » 61
CU ftrepen en 17 [U flippen.

4<'. 1076 Rtjnl. morgen en nagenoeg 379 Z} Rf^
foaden.

^. Jq de verhouding van d« C Nederi. m|}l tof de
XH Geographifdher en odigdLeerd, is op bl. '171 der
fC^efbmst s^&i jsisfteUing ip^eilppen, wantéélie O

40 VL HOOFUDEBL. XXXIV. Les.

Nedarl. m^l houdt 090i82fi5, niet 0,18^25 □ Geogra*
pfaifcbe of Dukfdie tuilen, en dus omgekeerd éénë O
DuitTche of Geographirche mlfl^nagaioeg 54,87, niet
Sf4^7 Q NcdoL tn^, én bet antwoord zal volgens
dese verhouding zQn: 368342 C kilometers of vIS Ne*
derl« rn^Ien 'en 31 iII hectometers of hectares, of in
NederU maat, 31 ZJ (ladiën of bunders.

<J*. Een □ myriameter of □ post komt overeen met
, 1,8225 [J Geographifche myien, en het antwoord is
dos: 5788,2613 Geqgraphifcbe m^lcn.
* j^. Volgens art. 441 der Cqferkunst houdt de Fran-
fche toife nagenoeg 1,949 meters of NederU ellen.

Dit zoude men aldus fchrQ ven :

IDe beide leden
yan deze verge-
I r ramene ioiic = 1,949 iNeacrj.cucn. ^^^S elk af-
zonderlek UI het
vierkant gefteld,
dat is : met zich
zelfvermenigvül-
digd zijpde , na-
melijk: deiééne Franfefae toife met éénePnmfche toife, en
de 1^949 Nederl. ellen met 1,949 Nederl. ellen , zullen deze
tieide producten aan elkander gelijk moeten zija , daar het
(mtegenzeggelQkwaaris, dat gelijke dmgen met gelqkev^-
menigvuldigd, gelfjke producten moeten opleveren, en
400 doende, zal men bet antwoord bevinden als boven.
Voorts houdt de Franfche. voet nagenoeg 3,248 pal-
uien of 0,3248 NederU elten, en men zal, op gelyke
w^ als met de toife te werk gaande, beenden dat één
^- Fjiinfche voet gel^ is aan nagenoeg o,io549^

□ Ne-

1 □ Franfche toife = 3,7986 of na-
genoeg 3,8 d Nederl. ellen.

VI. HOOFDDEEL. XXXIV. Lil. v

D NederU ellen, dit is: lo C ptlmtn, 54 C3 dmncki
en 95 CÜ ftrepen nagenoeg.

-Wil men nu ook omgekeerd de vlakte van ééne t3
Nederl. el in LJ Franiche t<»fei en voMé uitdrukken »
dan ga men aldus te werk :
Volgens hetzelfde 4^v^ artikel is 9

De ledend^aer
vergelQking wè-
Lder elk afiRin*
toi&s Franrche voeten I deriQk met zkh
I Nederl. el = 0,513 =s 3,08 nagenoeg \ zelf vermenig*

jvuldigd, jof in
bet vierkant ge»
lleldz^^, sal
men vinden dat de vierk. Nederl. el gelijk is aan 0,063169
□ Franfdie toifes, of wat hetzelfde is aan 9»48<S4 C
Franfche voeten.

8^ Volgens het tweede gedeelte van art. 441 derCih
ferkunst, houdt de Nederl. el nagenoeg 3,28 Londen*
fche voeten, en de Londenfche voet omtrent 0,3048 Ne*
derl. ellen^ Uit deze opgegevene verhouding kan men^
even als in het vorige vraagftuk te werk gaande, vin-
dcnt dat de d Nederl. el overeenkomt met 10,7584 O
Ixmdenfche voeten, en omgekeerd de C3 Lcmdenfcht
voet met 0,0929 Cl Nederl. ellen, dat is 9 C3 palmen
^ nagenoeg 29 II] duimen.
yoQrbeeldcn op bl. 173.

I*. 86408 kubieke palmen, 93 kubieke duimen, 980

kubieke ftrepen en 995 kubieke (lippen nageno^, of 86408

jannen en ruim 9 vingerboedeo , dat is h^a één ipaaije.

a% De lengte met de breedte, en dit pioduct n^ df

bopy»

4» ^ VL ITOOFBDEEL. XXXIV. Les.

boc^ cl diepte ven&enigvaldtgende, bevindt men den
inhoud van Jaea regenbak te ziyi 1056 kubieke Rijnf.
voeten, welke inhoud in nieuwe maat nagenoeg wordt
.utl!0edrukt £bor 3K( hectoliters of nieuwe Nederl. va-
ten 9 7 deiialiters en 6 liters of 76 kannen , i deciliter
of maatje eb 5 centiliters of vingcrhoeden.

3?. In «it toorbeeld ftaat verkeerdelijk fiekan^ lees
datnroOT pkop^ want 140,7245 kubieke Amfterd. dui*
men IcomerJ overeen met a NederL kannen en 4 maatjes
nageno^, (welke inhoud ten naasten bij die is van eene
ftoop of twee maigekn. Wil men den inhoud van eene
llekan in Nederl. maat weten, zoo herinnere men zich
ftecbts dat eene flekan houdt 8 ftoopen, en bij gevolg
20U men den inhoud eener (loop in Nederl. maat, met
8 vermenigvuldigende, vinden dat de ftekan houdt 19
Nederl. kannen en twee maatjes, of 0,192 NederL va*
ten, hetwelk eenigzins van de waarhekl afwgkt, <tear
xle ftekan eigenUjjIc 0,194 Nederl. vaten houdt..
. 4% De lengte, bfeedte en hoogte wederom met tV
kaoder vermenigvuldigende, bevmdt men den inhoud vaa
(kn balk te zyn (^696 kubieke Amfterd. duimen (men
berieide namelijk, voor het gemak, de 22 voeten tot
daimen) welke nagenoeg overeenkomen met ééns, knb.
NederL el, ftere of wisfe, 188 kubieke padmen, 505
kubieke duknen, 9)3 kubidcè Rrepen en ruim 335 ku^
bieke ftippen (♦).

l*y indien men de 3 duizendmlHioenfte deelen in de ver.
Itoudhig verwaarloost, zuilen deze, boe gering op zich zeU
vér, 6p de «9^ kubieke dolmen een verfchil uitmaken m
ftósr Wbtekè- ft^pen. ' ^gi -«^ ^y Googl

V!. HOOFDDEEL. XXOV.Lii. 43

Foorbêclden op bh 174.

i"». In plaats van den kAoud van het Yon^Xun ii
nieuwe last<»i te neoien, aóo als diè op >bU 174: der
-Qijierknnst , letter «r, abufieveli^.0pgegevenMtaat, wo
neem die van het oude taud, houdende 1^111^55 niieowe
mudden; herleid de 217 lasten tot mufdden,. en daar de
II mudden bij geteld, geeft 5870 oude mudden, welke
overeenkomen met 6530,6685 nieuwe mudden , of ^i^
NederK lasten, ao mudden, 6 fèhepels^ 6 koppen tn
•8,5 of 8J maatjes» ^

^\ 1791 oude lasten, 10 mudden tn il fchepejaiia*
genoeg.

y. 92,1318945 liters of nieuwe koppen; dat is: 92
koppen en ruim i maatje, kunnende men het ovéiige
niet meten , en dus gernstelijk verwaarlozen. '

4». Nagenoeg 20 koppen. ' . - :

5*. 40 kiloliters, 7 hettoh'tera, 6 decalilers:, 7liteps>,
8 deciliters, 2 centifiters en bijna 7 mSliUters, of (faar

3 kiloliters een Nederl. last uitmaken, 13 laist^n, 17
mudden, 6 fchepels, 7 koppen en ruim 8 maatjes. * »

&». 6 kiloliters, 3 decaliters, 7 liters, 4 deciliters,

4 centiUters en nagenoeg 5 milliliters; of itJastyS^fi^he*
pels^ 7 koppen en bqna 4^ maatjes* ; ^ ^j '. »

' P^ofbeelden op bl. 176. ^ >

^^ 156 NederL ponden, 9^ oneen en circa 4fwl^lfe«.

2*. 1443 Amfterd. ponden en ruim i| looden, of
circa i once. ' - ' " ^

3^ 29 Nederl. ponden, 3 looden, 4 wigtjes en ft
korrels nagenoeg.

4«. i once , 6 looden , 7 wigtjes en circa a korrels
Nederl. gwigt» Digi izedby Google

5%

44 VI. HOOFDDEEL. XXXIV. Les.

5^. De in de C^ferkunst, art. 458 opgegevene Ver-
faondfog vtn bet NederL • , en bet mark Holl. trooisch » is
niec jniat; daar een Nederl. 9 gelijk is niet aan I90159135,
dMar aan nagenoeg 4,0626554 mark. HoU. Trooisch ge-
wigt| en bet antwoord is: 31 marken, 6 oneen ^ 26
engeli en b^ 4 azen.

6*# De lengte met de breedte, en £t product met
ite boogte of diepte vermenigvuldigd, geeft voor den
inhoud van den bak 60 kubieke Amfterd. vo^en , welke
overeenkomen met 1361 NedeiL kannen , 6 maatjes en nage-
itQ^ 3 vingerboeden, welke eene boe veelheid f uiver ge-
distilleerd water zullen kunnen be^tten , hebbende een ge-
wigt van 1361 kil(^rammes of NederL ponden, 8 bec«
logrammes of cmcen , en circa 3 decagrammes of loo-
den$ welk gewigt nagenoeg overeenkomt met dat van
9756 Amfterd. ponden, 3 oneen en ruim i^ lood(^)^.
,of met 5534 -marken , t engels en circa 8 azen HoO.
TnxHScb gevvigt; of zoo men de onderdeelen van bet
mark wil nemen, zoo als zg in de Natuurkunde en Me*
dici|}n€ln gebnükeiyk z^ : t fcrupel en circa 10 greinen.

ANJ.

(^) Wamieer ineii niet de geheele verhouding neemt, maar
kec Nederl. 9 gel^k ftek aan 2^239 Amfierd. 9 , hetgeen
doofgaani voUoende ii , zal het antwooid nagenoeg i lood
mWff Tjjn

fyidf fm ii /biiwooritn pf ia Eiffiê DuK

igitizedby Google .

ANTWOORDEN

OP DB

REKENKUNDIGE VRAGEN,

TOORKOMElfDS Ut DEN DERDElf DUUK VAN DB

ALLEREERSTE GRONDEN

DB&

C g F E R K U N S T,

Dooa

JACOB DE GELDER»

TWBBDB DBBL.

^01. HOOFDDEEL. XXXVI. Les. Over de Meei^

kundige Reden en Evenredigheden in het algemeen.

. Voorbeelden op bl. i8.

De rede van A tot B kan eenvoudiger worden voor-
gefteld, door die van de getallen 357 en io5, name-
lök: A : B = 357 2 106.
ft*. C : D = 1391 s 500.

3«. De rede van E tot F 9 k^ door geene eenvoudiger
gehede getaUep worden voorgefteld.
Voorbeelden op bl. 19.

I*. Van deze twee geldwaarden is de verhouding de-
zelfde als van de getallen 5087 en 272.

&•, Volgens de voormalige waarde der (Zf^sd'hal ven,
is in dit voorbeeld de rede dezelfde als van 4498 tot 2275.

3*-

46 VIL HOOFDDEEL. XXXyi. Les.

3V De -ride^.vp ^ gl. tot lo£^ fcieljing (oude
waarde) wotdt in de kteiriftfe gëheèïe getalfefi voorgefljdd
door die van 25 tot i , doch böaldien men|laze | fchel*
Üng, jzpu de rede dezelfde zijn als van 75 tot 8.

4*/ Dezelfde verhouding ald van 385 tot 24.

$•. D^ vhkte-iphpuden * A en B worden gevonden
door (Je, refp^ptieye lengte met de breedte te vermenig*
vuldigeri, izot^ '^aVrttttdie^^n A vm*# té ^jii 259,5
□ decameters, of 2 tU hectometers , 59 iZ5 decameters
en 50 □ met€»s j. eiv di^ van B 780,509 C3 ^cameters ,
of 7 iD hectometers, fo Ö decameters, 50^ □ meters
en 90 [m decimeters , en dte rede dezer vierkante-inhpu-
den woedt in de Ueii^e-gehe^e^|etallra mtged»ikt>door
059500 tot 780509.

6\ De inhoud- van eiken re^nbsk wordt gevonden
door de lengte met de breedte, en dit product met de
hoogte of diepte te vermenigvuldigen i' zoo doende zal
men idndén, dat de ligchamelpe inhoud van den bak
P i& 150,93 kubieke meters , dat is 150 kukieke meters
of Nederl. ellen en 930 kubieke decimeters o( palmen ,
CQ die van den bak Q ii974>37 kubieke meters, of 11
kubieke d^am^ters of ISfederl. roeden, §74 kubieke me-
ters of Nederl. ellen en 370 kubieke decimeters of pal-
men, en P : Q = 15093 • 1 197437-

va, HOOFDDEEL. XXXVIII, Les. Verdere toQwis-
fing van de verklaarde eigenfchappen der -Evenredige
heden ^ behelzende de verklariqg van den Reg^l
: van Dnóên»

Voorbeelden op bl. 45 , achter art. 573.

Schoon de watarde van x in de drie volgende voor-

bcel-

VL HOOFDDEEL. XXXVIH. LeS. 4f

beelden niet gevraagd wordt» kim nen die 6dltee^i^t:
meerdere oefening zoeka) 9 en- sijne aatwoofden met 4e ^
onderftaande vergelijken.

In het eerfte voorbeekl is de waarde van & = 53^ gU
of 53 gU) 13 ftuiverss} pem*; dat is 6(% centa.

In bet tweede is* x = 2a2|| gU » dat is : 22% ^ , ^
15 ftuiv* ea si penn. , of 76 cents mgenoeg. '

3#» Foorbceld. x = 641^^ gU, dat is: 641 gfl.» 5
(Ittiv. en ii|^ penn., of 98^, dat is ruim 28$ cents.

VIL HOOFDDEEL. XXXIX. Les- Vervolg van den
Regel van Driein , beftaande in de befchouwlpg '
van al zijne bijzondere gevallen.

Meer voorbeelden op bl. 47.

!"• 9845 gl. en 87J cents, of 17 ftuiv. en 8 pepn;

a". 531 gl«, 3 ftuiv. en 6 penn., of circa 17 cenjts.

3*. 4340 goudgl. , as ftuiv. en 10 penn. , of Ö027
gh , 5 ftuiv. en 10 penn. ; dat is 28| cents.

4*. 9744 gl» » I ftuiv'. en 8 penn; , of 7J cents.

Meer voorbeelden op bl. 49.

!•• 7<59 ?!•» 13 ftuiv. en a^ penn.

a*. 57 gl-, 17 ftuiv* en 3|Jéf penn.

3*. 4 gU ^ 14 ftuiv. en iijfj penn.

.4*. 8191^^,^ pond.

5«. 2078 gl.,, 5 ftuiv. en (5| penn., of ruima7Cöits.

6«. In elke week 48 gl.,*8 ftuiv. en ^ penn.; ©a^
eiken dag 6 gl., 17 ftuiv. en i4f^ penn.

Verklaring van het 9* voorbeeld^ op.bl. jö,.

Om de beide eerfte termen, of termen .der eerfte rtde,
die gelgkflachtig zijn , ook gelijknamig te maken , doe
ik sluiks op de kortfte wijze door dezelve beide totv^'fde

par-

4f Vn. HOOFDDEEL. XXXDL Les.

panen van oneen te herleiden; (in het voorbeeld zelf
flatt abufievemh: vple engels, voor vQfile once) het-
welk gemakkelijk gefcbieden kan, doordien i6 engels
zooveel als ^r v^fileparten van ééne once sQn; vervol-
gens deel ik de bei(k voorgaande termen, (dat is de
eerfte en derde) beide door ii, en de bekle termen der
eerde rede nog e&is bdde door 8 , waarna ik bet pro*
4lict der middell^e termen 35, door den eerden term,

5 deele, ^ x = 4| gl. , of 4 gU , 7 ^uiv. en 8 penn.
vcrkrög.

yoorbcelden tot oefening ^ op bl. 51

i< 752 gl. en 10 diiiv. of 50 cents.

ft^ 153S g^- 9 ^ ftuiv. en lof penn.

3»' Onderdellende dat er oude maat bedoeld wordt,

6 het antwoord: i fchepel kost 8 duiv. en 14 penn.,
doch wórdt er van pieuwe NederU maat gefproken , dan
kost X fchepel 3 duiv. en 3^^ penn.

4«. apaj pond. ,

r* 19AV lasten , dat is : 19 lasten , aa mudden en
3 fchepels , oude maat.

6?. 437 gl- » 5 ftuïv. en ia penn.

!•• 9387 pond.

Verklaring van het ia' voorbeeld^ op bl* 53.

Eerst herleide ik de beide termen der eerde rede tot
fchepels, om dezelve gelijknamig te maken; (ik zou de-
zelve, om nog korter te werken, ook tot halve mud*
den kunnen herleiden, daar a fchepels juist i half mud
uitmakep ,) vervolgens herleide ik den voorgaanden term
van de tweede rede, tot penniri^n, want daar men de
waarde van 7 pentiingen niet tot eene kleinere uitdruk-
^'^nn in anderu geldfoort kan brengen, zoo kan hier

geen

VIL HOOFDDEEL. XXXK. Le5U 49

geene verkorte bewerking plaats hebben. Nu is de even-
redigheid in geheele getallen: - *r
4074 fchepels : 108 fchepèls = 8371207 penn. :: x penn.'
Dan verklein ik iedere term der eerfte rede eerst doöt
a en daarna nog eens door 3; (ik zou ook in eens de
beide termen met 6 kunnen deelen, hetgeen op hetzelfde
zou uitkomen) en nu is de evenredigheid :
679 : 18 = 8371207 : X penn.
van welke de beide binnenfte termen met elkander ver-
menigvuldigd , en door den eerften term gedeeld zijnde ,
de waarde van ^ gevonden wordt te ^ijn : 02194 penn.
of 69 gl. , 7 ftuiv. en 2 penn. Ik zou ook nog de
voorgaande term^en beide met 679 hebben kunnen ver-
kleinen, als wanneer de evenredigheid zougeweest zijn :

I : 18 = 1233 : X penn.
en waaruit x = 1233 x 18 = 22194 penn. als boven.

Verklaring van het ly voorbeeld.

In dit voorbeeld kan ik de gelijkflachtige termen der
eerfte rede gelijknamig maken, door dezelve beide tot
derdedeelen van lijsponden te herleiden; doch de gulr
dens kan' ik tot geene andere onderdeelen, of andere
geldfoort, dan tot penningen brengen , doordien 9 penn. ,
evenmin als 4 ftuiv. en 9 penn., tot eene klehiere. uit-
drukking kunnen worden gebragt. Voorts zijn in het
voofbeeld geene termen tegen elkander verkleind , het*
welk echter had kunnen gefchieden, daar de beide voor-
gaande termen tegen elkander verkleinbaar zijn door 193.
Dit doelde , zou men nog eenige bekorting in de ver-
menigvuldiging brengen<i De evenredigheid zou alsdan
namelgk worden: nigtizedby Google

C I

5© VIL HOOFDDEEL. XXXIX. Les.

1 : 1196 = 5<2i : X penn. 5
waaruit x = 1196 x 521 = 6231 16 penn., even als in
bet voorbeeld. Wanneer men bovendien de x guldens
daddijk mede tot penn. bad herleid, zou' men gehad
hebben 320 x penn. , en alsdan had men de volgende
termen nog tegen elkander kunnen verkleinen door 4;
de evenredigheid zou alsd^ aldus geftaan hebben:

1 : 299 = 521 : 80 X gl. , waaruit x r= 521x299^ i947|§gl.

80

Voorbeelden tot^ verdere, oefening op bl. 54.

!•. Onderfteld éaêt er oud gewigt. bedoeld wordt, is
het antwoord: 10 gl. , i ftuiv. en 9f penn.; doch neemt
men meuw gewigt, dan is het antwoord: 10 gl. , 6
ftuiv. en 3I penn.

2^ 2352 gl , 5 ftuiv. en J penn.

3*. 1079 gl., I ftuiv. 15/y penu.

4** 35 g'j 8 ftuiv. en 12 penn., één fchippond.

5*. 76 gl. , 13 ftuiv. en 6 penn. , één last,

6K 7 ftuiv. en 15 penn., één fchepel.

7% 7^ dij 13 fchell. en ly^- grooten.

3*. Volgens de voormalige waarde der zesd*balven,
ié het antwoord: 5 gl. , i ftuiv. en 7^ penn.; doch
WO men daarvoor vijflluivers-ftukjes nemen, zoo zal het
antwoord zijn: 5 gl. en isf penn.

Verklaring van het 19^ y oorbeeld^ op bl. 57.

Eerst vermenigvuldig ik den tweeden term met 12 ,
ten einde het zamengeftelde getal tot een heel getal te
lierleiden , en ftel , om de evenredigheid te behouden ,
den fector 12 onder den eefften term. Vervolgens her-
leid ik de guldens enz. tot derdedeelen van ftuivers, te-
ven*

VIL HOOFDDEEL. XXXIX. Lts/ $1

vens weder ^ om gelijke reden als boven, den factor 3
ander den eerften cerm plaatfende. Daarna verklein ik deu
«rften term 2.1 tegen den derden 5075 , door beide met
7 te deelen^ en vermenigvuldig eindelijk de middelde
termen , en deel dit produkt door het produkt der fac-
tors van den eerften tenn. Ik zou ook, tot meerdere
kortheid, de x gl. tot ftui vers liebben kunnen berlei-
'den, en dan den derden tegen den vierden term hebben
kunnen verkleinen door 5 ; alsdan 2ou de evenredigbei4
aldiis gèfiaan hebben :

: id8 : 197 =r 145 i 4^5
waaruit : x = ^97XH5 gi^ _ gg gl^ ^ ^^ düj^^ gjj ^ 7 penn.,

even als in het voorbeeld.

Verklaring van het qo^ y oorbeeld^ op bh 57.

Ik vermenigvuldig den eerften term met 8 ,: den twee-
den met 2, en herleid den derden- tot vijfiiedeelen van
penningen ; daarna (lel ik , om de evenredigheid te be-
houden, de factoren 2 en 5 onder den , eerften, en
den factor 8 onder eenen der middelfte termen , bgv»
den tweeden. Dan verklein ik dep eerften tegen den
derden term met ii, en daarna nog eens met 19, en
eindelijk den factor v«l den eerften term 2, tegen ^n
van den tweeden 8 , en de 5 tegen de 5, Alsdan zal
de evenredigheid ftaan aklus:

1 : 4 2= 31 : X ,
tn ik behoef flechts de middelfte tenaen met elkander
te verfóel)igvuldigen ^ om hét begeerde imtwoord te bc*
komen.

Ferklaring van het ^iP^ voorbeeld ^ op bl. 57.

Ten dnde het omOagtige van de bewerking met ge-

C 2 bro*

52 Vn. HOOFDDEEL., XXXK. Les;

brokens te verman , vennenigvuldig ik den eerden term
mtt 4 , den tweeden met 32 en* den derden .mtt 3 ; dat
is in het algemeen eiken term met den noemer van
de daarin voorkomende breuk. Daarna plaats ik, om de
evenredigheid te behouden, onder den eerften term de
factoren 32 en 3 , en onder eenen der middelde termen
den factor 4. (Ik zou kunnen voldaan met alleen on*
der. den eerden term éénen factor te dellen, namelijk^
24, alswanneer de evenredigheid evenzeer bewaard
blijft 5 aangezien ik de middelde termen vermenigvuldig
met 32x3, dat is met 96, en de uiterde met 24x4, dat
is mede met 96), Eindelijk verklein ik den eerden tegen^
den tweeden term met 3 , dat is : 3 tegen 9 5 en daarna
3 tegen 3; vervolgens den eerden tegen den derden, 2
tegen 3a, ea candel^k wederom den eerden tegen, den
tweeden , 4 tegen ï6 , waarna de aanvankelijke even-
redigheid veranderd ia in de volgende :
4 : I = 1 : X,

^ en X = i^ zr J gl.

4

Voorhuiden tot oefening op bl. 58.

\9. 366 gl., 14 duiv. en iiJf penn.

j^o. 'Wanneer men oude maat neemt , is het antwoord ;
17 gl. , 8 duiv. en ^^^ penn.; doch nam men nieuwe
maat, dan zou het zyn: 15 gl., i duiv. enio^|penn.

3^. In oude maat , 8 lasten , 9 miifiden en tH f^^^
pel; doch in nieuwe maat 7 laston, 15 mudden ensj^
fchepels.

4". 163 gl. en 7 duiv. r

40 gl. en 89 cems, of 17 duiv. ttti^ penn.

. ^ ' * • Digitizedby OL * ^

6*.

Vm HOOFDDEEL. XXXK. Les. 53

6«. 678 z. rijksd. , 12 ftuiv. en 12 penn. , a
r. 593 gl»5 9 ftuiv. en 5| penn. .

S'*. I gl. kan eenvoudiger worden uitgedrukt door
J gl. ^ en het antwoord is, als men oude maat onder-
(lelt, 9 gl. , 18 ftuiv. en i5|| penn.; en neemt men
nieuwe maat, 15 gl. , 18 ftuiv. en 6^ penn.*
^ 9°. 17I njarken is zooveel, als 17 marken en 3 on-
een, en hier 5J oneen bijvoegende, verkrijgt men 18
marken en \ c^ce, of 187'^ marken, welke zullen moe-
ten kosten 5 dC , 3 fchell. en ^ groot*
/^ io<>. U deelen van een* dukaat.

11°. Lees in dit voorbeeld: hoeveel kosten dan § en
\ elle, dat is de fom van § en f elle; 'welke \%l dee-
len van een' gulden, dat is i8f cents zullen kosten, )|
doch wordt er met de vraag bedoeld hoeveel § el en f
el, elk afzonderlijk kost, zoo is het antwoord: 4 el
kost ^Ts gW dat is juist ai duiten, of a ftuiv. en 10
penn. ,. en f el fly gl. , dat is ijfe ftuiv. of ^ cents.

, Vn. HOOFDDEEL. XL. Les. Vervolg der voor*
gaande Les. Nadert bcJihowvHng van den Regel

van Drieën.
Voorbeeld onder 4irU 601. x =s j^Sp gl»j 8 ftuiv.
en 7 penn, '

Achteï* art. 602*

a. 2711 gl. en 17 ftuiv. *

b. 13711 gU, 13 ftuiv. en 11 penn.
Art. 603. X == 7394 gt en 8 penn.

Y^ , 604. X s: 20299 gl., 18 ftuiv. en 9 penn.
Onder art. 607.
^. 2375 gU, 4 iluiv. en 1381^9^^8'^ /

C3 h.

5i VIT. HOOFDJDEEL. XL. Les.

b. 12975 gLi 10 ftüiv. en 15 penn.

Art. 610. X = ija^ 0.

y, 611. x = 5631^ n.

„ óia, X = 4 gl. , 8 ffuiv. en iifff penn.

^ 6i3. X 5= I gl. , I ftuiv. en islgf penn. ^

Vraagftukkcn door den Regel van Drieën op te los^
fen^ bl. 62.

IV Vraagftak t $666 francs en bijna 42 centimes.
2% 823 francs en 95 centimes. . ,
y* 9482 francs en bi^a 9» centimes. . . ,

4«'. Door de ïengte met de breèdte^^ te vermenigvuldi-
gen , bevindt men de eM>ervlakte van den weg te zijn
^190 □ meters,, welke va» beftraten zuHen kosten 82964
francs en 70 centimes.

5*. 10 ten homterd i^ juist de tiende penning of één *
tiendedeet vaa d§ gebeeleifom, men behoeft dus fleeht^
-Is van de fom hg deze^v^ te telleni^^en het antwoord
zal bevonflen worden te zijn: tegen 5t fraircs en 70
cemimes nagenoeg de kttograoime.
6*. Alsdan. tegen luim ^ ftanc^ed ïs^ntimes.
7^ 733892 francs en 36 centitjies.
a«.<Tegén rüfei 45 centimes de.afeu'. j
9».. Pfi breedte ni^trde hoogte, en dit prodnkt met
de dikte^ermenigvuUiJende , vindt mdl den kubieken
inhoud van den mmj^eUjk'88 ftères;, kubieke -meters
of Nederl. ellen,, s^é kubieke decimeters of palmen ,
en 700 kubieke ceatitneters of duimen, en voor elke
Hère zullen de onkofiien^ hedragpn^ 9 francs ett 67 cen-
times nagenoeg, -M >

^*. Aannemend^ d^ \tJMaxiz% zpavéel .waardig z|jn
^ aJs

vu. HOOFDDEEL. XL. Lts; fó

als 10 gl. , (zie art. 464 der Cijferkunst) :i$Iher ant-
woord: tegen 3 francs en ruim 94 centimes. V /.:

n\ Tegen 8 francs en ruim 3 centimes > de kilo-
gramme of het Nederl. ®.

i2«. Onderftellende dat er een Nederl. kst bedoeld
wordt, hetwelk 3 kiloliters houdt, is het antwoord:
tegen 135 francs en circa 83 centimes de kiloliter, doch
wanneer mpn ftelt dat er een last oude maat bedoeld
wordt, is het antwoord: 138 francs en ruim 41 cen-
times.

13^. Een decimeter of palm is gelijk 0,145388 Amff.
ellen, dit met 12 vermenigvuldigende, ^1- men- bevin-
den, dat e'ene el, die 12 decimeters oé.palmen lang
ware, gelijk zoude zijn aan 1,744656 Aïtóerd. ellen,
en bijgevolg zou de winkelier zijn tarief volgefis deze?
el moeten (lellen, refpectievelijk op 27 ftuiv. enbijliai^
penn., of i g1.. en circa 40 cents, op a gl. enapenn.,
op 4 gl. en 4 penn. , op 7 gl. en 17 ftuiv. , óp 11 gl.
min een cent, op 12 gl, 4 ftuiv. en circa 4 pènn. , of
ruim 21 cents, en tegen 15 gl., 5 ftuiv., 5 pesn. oi
circa 27 cents.

14». Refpectievelijk tegen i gl. , 21 cents, i gl. en
82 cents, 2 gl. en 33 cents, en 4 gl. en 65 cents,
alles nagenoeg. .

15*. Hij zal zijn werk bif den □ meter moeten be^
rekenen op 4 gl. en 68 cents. 0

16*. Een engek Trooisch géWigt doet nagenoeg
1,538 wigtjes, en den gulden op a firancs en 10 ccnti-
iftes rekenende , bekomt men 3 gl. en 27 caits.

ir- 95 gl» ^ 5^ cents.

C 4 Digitizedby Google- jg#^.

Sd va. HOOFDDEEL. XL. Lés.

' iS\ Hö Y»lic8t 17x9 gl. en 69 cents (♦).

19*. Volgens die fterflijsten, zullen er van 4173 ge-
borenen , op die onderfcheidene jaren nog in leven zijn,
als volgt:

Op het 10^ "jaar 2505 a a5o6,
„ ^ 20»** „ 2319 a 2320.
w n So**** rt 2088 a 2089*

'^" „ yy 40**Vw 1873 a 1874.

n f^ 50**** ,n 1654 a 1655.

yj „ 6o**« „ 1331 a 1332.

' fy yy ro**" ^ 88o a 88l.

f, n .8o»t« „ 338 a 539-

20«, 140036 inwoners.

21*. .Daar, om verfchillende redenen, de dralen
der zon op de beide voorwerpen in dezelfde rigting
vallen, 'zpo.Qtóflaan hier. gelijkvormige driehoekeii , (ge-
Igk ons UI .de Meetkunde geleerd wordt) en derhalve
zijn de lengten der fchaduwen, op. denzelfden oogen-
blik^waargeijomen, evenredig met de hoogten der voor-
werpen , en men zal den tciren bevinden hoog te zijn :
nagenoeg 71,908 maters.

: /^^** 54»3495 meters , of 54 Nederl, ellen , 3 pal-
ipen, 4 duimen j 9. ftrepen en 5 (lippen.

23^ 8,11.69 meters of 8 Nederl. ellen, i palm, i
(Juipi, 6'^ftrepen en 9 ftipperi.

% ^••

: (*) Dit antwoord bekomt men door de ^verhouding van die
kilogramme te nemen op 2,0239 Amfterd, ponden. Neemt
men eene .andere,^ als die van i Amfterd. fê :Z 0,4941 Ne-
derl. ponden, zoo geeft dit al ligt een cent verfchil in de
uitkomst. ^ T

Digitized by VjOOg IC

Vn. HOOFDDEEL. 30.. Les- 57

24*. In 2^ dagen.

ar- io|^ uren. /

VII. HOOFDDEEL. XLL Les. O^tr At aaneengcfcha^

keldó Evenredigheden en derzelver Gebruik , in de

zoogenaamde Gezelfchaps^Rekening.

Voorheelden op bl. 67.

a*. Die deelen zijn: 66|, 155I, 88|, 177$ en 511 J.

3*- y, ,, r^ ^^Sér^ 381^ en 30658/4-

4«. Het aandeel van A zal zijn 210 gl, en52||6ents,
van B 157 gl. en 89^ cents, van C 126 gl. en 3145
cents , en van D 105 gl. en 263^ cents. •

5«. De winst van A zal zijn 3600 francs en 74^1
centimes, van B 2700 francs en 55|f centimes, en van
C 3348 francs en óplf centimes.

6*. A moet hebben 17289 francs en 86J|| centimes,
B „ ,,- 16079 „ ' „ 57^15 ^ .

C n n 1^967 „ y, 39fl3 'm.

V D „ „ 12362 „ ^ 25ffg
;^cn E „ „ 10375. ^ y^^mi
{9ip het eerfte)k!Iog.fcheepsbefch.,hectd.bnmdew.,kiIoe:. rijst,
den uitgedeeld:) 683oJJf „ - 27t?j „ I535ï% y, .
0ph|t2« 6147II n 24|f „. 1381^ ^

„ ^3^ 4098^1 ». i6|| . „ 921J? „

>i nU* 5191^ t, 2o|^ „ 1166^11 „

n >,V 2732^ „ lol^r « . 614,^/. „

8*. Ei| kapitein zal voor zijn aandeel bekomen 38a
francs en>i6^ centimes, de eerde lieutenant 286 francs .
en 62,^^ centimes, de tweede lieutenant 191 francs en
8^ centimes, en elk gemeen foldaat 19 francs en
loJI^ centimes. oigtizedbyGoogl ,

Cs 9^-J

58 vn. HQOTDDEEi;* XLI. Les*

9*. De eerfte moet voor zijn tóncifel ontvangen-: ^
52 gl. en pSyfy cefits.

« 4* 59 gl- en 60^^% ^
»f 5* 57 gl- en ^\\% „
10*. A zal voor zijJi aandeer bekomen :
707 gl, en 77||f cents.
B loöi.gli en 663^ „ -
C 1857 gl. en poffl „
en D 2972 gl. eri 6^^ ^ .

x\^ Het' aandeel van

A zal zyn : 1738 gl. en 63^ cents,
van B „ „ 1159 gl.'en 9^ „
*n C ,, ' „ ï545^gl. en 45A w
„ D „ „ i8o3^gl. en 33^ „en
,, E y, „ 2253 gl- en 78II „
j2*. Het aandeel van A zal zijn: 1680 gl.
^ B „ „ 2520 gl.
en „ C „ y, 1800 gl.
i3« A, B en C maken te zamen op éénen dagjU"^
deelen van het werk af. Om tiü te vinden in hoe veel
tijds zij gezamenlijk het geheele weric zullen kunnen af-
maken, zoo ftelle men eenen regten Regel van Drieën
aldus: ^flJ-j deelen van het Werk (laan in rede tot het
geheele werk, als i diag tot x dagen, en het antwoord
zal zijn: in i2o|||, dat is nagenoeg 121 dagen.

Voorts zal A voor zijn aandeel van de bedongenefom
moeten hebben: 8056 francs en 87^^!. centimes.
B 7x09 „ en I?? ^
en C 4834 ^ en 1^^^^^-^^^^^^^%^^

VU. HOOFD.

VIL H OO FDX» E E L. XLIL Les.

Vn. HOOFDDEEL. XLIL Les. Ovetdeamgökeerde Even--
rcdighedenj en den omgekeerde» Regel van Drieën.
Voorbeelden op bl. 74. .. r -

3«. Voorbeeld. Het in art. 638 dqr Qgferkim?6 ^an*
gevoerde laat zich aldus zeer eenvoudig verklaren: De
inhoud van eene regt vierhoekige vlakte wordt gevon-
den door de lengte met de breedte te vermenigvuldigtn;
in het onderhavige geval zal die inhoud dus zijn gelijk
i6|xix| □ voeten. Nu moet de vloer dpr fcimer op
eene apdere lengte gebragt worden, namelijk van 14^
voeten; doch, daar de inhoud van de vlper dezelfde
moet blijven, zal deze lengte met de onbekende breedte
vermenigvuldigd, een produkt moeten opleveren, gelijk
aan de(i bovengevondenen inhoud, men ftelle die ge-
vraagde breedte = x, <lan zal 14^ x x □ voeten = i6|
X II J □ voelen zijn. Wil men nu deze vergelijking
tot eene welgeordende eveniredigheid brengen, waarin de
vierde term gezocht moet worden, zoo (lelie mende
onbekende breedte x in den vierden term , en de 14^
voeten lengte. in den eerften term, (dewglide uiterfte
termen met elkander moeten worden vermenigvuldigd)
vervolgens in den tweeden term de i6| voeten lengte ,
omdat die gelijkflachtig en gelijknamig zijn met den eer-
ften term, en eindelijk de 11 J voeten breedte in den
derden term , omdat die gelijkflachtig moet zijn met den
vierden. De evenredigheid zal alsdan zijn :
14^ voeten lengte : i6| voeten lengte = ii| voeten
breedte : x voeten breedte, en het valt aanftonds in het
oog, dat de lengten hier in de omgekeerde rede zijn
van de breedten. Zie ook nog art. 693 der Cyferkunst.
De waarde van x wordt verder gevonden raogle
i6|xii|;,,. jj^^pj^ ^f j^i83 y^eten breedte.

6o VIL HOOFDDEEL. XLIL Les.

4«. De breedte moet dan worden ao^ voeten , en dus
öf voeten meer dian te voren.

5\ De lengte met de breedte vermenigvuldigd, geeft
Tden vlakte-Jnhoud van het papier. Nu is de lengte 320
ellen en de breedte | elle, weshalve die inhoud = 320
X -f = 400 iZj ellen ; wanneer men nu ander papier
neemt van ééne el breedte , zal de lengte 400 ellen moe-
ten zijn , want 400 ellen x ééne el is mede gelijk 400
Z2 ellen.' Indien men voor de gevraagde lengte x ftelt ,
zal déze , even als in het 3® voorbeeld , de vierde term ,
en de ééne el de eerfte term der evenredigheid uitma-
ken, en om de noodzakelijke gelijkflachtigheid der ter-
men van elke afzonderlijke rede , de | elle breedte de
tweede, en de 320 ellen lengte de 3* term derzelve,
aldus : i el breedte : | el breedte = 320 ellen lengte : x ellen
lengte , en x =r 320 X f = 400 ellen lengte als voren.

6«. Daar het hout overal op geUjke;i inhoud, van
gelijke zwaarte' wordt vooronderfteld te zijn, zullen ook
de beide balken, om even zwaar te wegen, denzelfden
klinieken inhoud moeten hebben, en derhalve zal de
éerfle balk lang moeten zijn 25I voeten , dat is , in
Rijnl. maat, 2jr^voeten, 7 duimen en af IQnen, en in
Amfterd. maat, 25 voeten, 6 duimen en 4^ achtftOT.

7^. Het is duidelijk, dat, hoe breeder de engte is,
hoe meer nianfchappen er tegdijk door kunnen trekken ,
en hoe minder tijd de geheele arq^e aan den doortogt
zal behoeven te belleden. De tijden moeten hier dus
in 'de omgekeerde rede vatt de breedten gefteld worden ,
en -hèt antwoord zal bevonden worden te zijn : 3 uren ^
' 22 minuten en 30 fekonden.

"^s In dit voorbeeld is het wederom klaarblijkelyfc ,

dat.

Vn. HOOFDDEEL. XLm Les. 6i

dat, hoe meer dagen de reiziger op de gehj^ele feiz»
vertoeft , hoe minder mijlen hij eiken dag behoeft ^ajT te
leggen. De evenredigheid is hier dus ook wedet om*
gekeerd , aldus :

i6 dagen : 14 dagen = 5! mijlen : x mqlen,
waaruit x= 4|è mijlen.

Het is bovendien gemakkelijk te zien, dat de evenre-
digheid aldus wél gefield is, want de reiziger blijft of 14
dagen op reis, en legt dan sf mijlen per dag, dat is
14x51 = 7^1 mijlen in het geheel 'af, of hij vertoeft
16 dagen, en legt dagelijks 4I5 mijlen, dat is mede in
het geheel i6x4i5 = 72^* mijlen af, en juist dit pro-
dukt bekomt men zoowel uit de middelfte als uiterfte
termen der evenredigheid. De refpectieve dagen worden
in beide vermenigvuldigd met de refpectieve mijlen op
eiken dag afgelegd.

p''. In 4 uren en 10 minuten.

io«. Men ftelle het getal der manfchappen, die het
werk in 6 tnaanden zullen kunnen volbrengen =1 x , dan
zal , omdat de manfchappen met den tgd vermenigvul-
digd, het werk, vertegenwoordigen (♦), en dit werk in
beide gevallen belzelfde blijft, 6 maanden x x werklie-
den = 7 maanden X 150 werklieden zijn, men ftelle
derhalve de evenredigheid aldus :

6 maan*

(♦) Om de^ leerling het fchijnbaar zonderlinge te verdui-
delijken , hetwelk hy er in vinden kon , om werklieden met
tijd, en, ia de Interest Rekening, geld met tijd te verme.
nigvuldigen, zoo doe men hem begrepen, dat werklieden
niets kunnen uitvoeren, bijaldien hun geenen tijd vergund
wordt , en dat omgekeerd , al is er nog zoo veel tijd, geen werk
kan volbragt worden zonder werklieden ; dat verder eene fomme

C 7 . _ geldj.

62 VH-.EOOFDDEEL. XLfl. Les.

6 maanden : 7 maanden = 150 weiklieden : x werklieden,
waafuit : x r= ^^^^7 rr 25x7 = 175 werklieden, wes-

halve er nog 25 man bij moeten worden aangenomen.
Zie art. 634 der Cijferkunst.

II*. In dat geval zouden de 150 werklieden de rest
van het werk in 5 maanden hebben kunnen volbrengen,
en om hetzelve in drie maanden voltooid te krijgen ^
zouden er 250 werklieden moeten zyn, en dus 100
meer moeten worden aangenomen.

ia«. Om hetzelfde werk in denzelfden tijd met min-
der werklieden te voltooijen, zal ieder werkman dage*
lijks langer, dat is 14 uren, moeten arbeiden, want
daar de tijd, waarin het geheele werk moet voltooid .
zijn, dezelfde blijft, zal er ook eiken dag evenveel moe-
ten afgewerkt worden ; nu is het klaar , dat het werk van
4a werklieden, elk 12 uren arbeidende, door 50^ werk-
liepen in één uur, of door één' werkman in 504 uren,
dat is ook wederom door 36 werklieden in 14 uren,
kan voltooid worden, altoos in de noodzakelijke onder-
ftelling, dat ieder werkman evenveel arbeids verrigt.

gelds, al ware zy ook nog zoo groot, geenen interest zal
kunnen opleveren, zoo dezelve niet voor eenigen tijd, hoe
kort dan ook, wordt uitgezet, en dat omgekeerd, tijd alleen
zonder geld mede geenen interest kan opleveren, dat dus,
in het algemeen , geene dezer oorzaken op zich zelve alleen ,
maar wel met eene andere vereenigd, dat is vermenigvul*
digd, een gewrocht kan voortbrengen. In het algemeen kan
men , tw^felende of eene evenredigheid wel eene omgekeerde
zij, altoos eerst eene vergel^king, en daaruit 4e evenredig-
heid daarüeUen. Zie ook de 44 Le« der C^ferkunst, art.ö88.

VIL HOiOFDDEEt. XLIE LusV 6^

ly. Het werk, waartoe e«*st 9 maaiicten tijd» :v«f*
giXBtd wte^ zalno ia korteren tijd, te weten in omhan-
den moeten worden afgewerkt y bggevólg: aü' oök; Auir
het aantal van werklieden niet vermeerderd wordt, ieder
werkman meerder werks moeten' verrrgien , 'dat is meer
uren per dag arbeiden , en wel bé^aafdeïljfc zullen deze
uren vermeerderen in de omgekeerde retievan die. Waarin
de tijden verminderen; dat is van 6 tot 9, of 2 tot 3 ,
en men zal bevinden dat ieder werkman alsdan 15 uren
per dag zal moeten arbeiden.

14*. De manfchappen met den tijd vermenigvuldigd ,
vertegenwoordigen den voorraad. Zie art, 692 der Cij-
ferkunst. Daar deze proviand nu dezelfde blijft, zal
zoowel vóór als na de vermeerdering van het garnizoen ,
het produkt van de manfchappen mét de maanden , het-
zelfde moeten blijven, dat is, voor den tijd, welken de
proviand voor 2400 man zal kunnen (ïrekken, x maan*
den ftellende , rSoo man x 9 niaanden =z 2400 man x i
maanden, waaruit de volgende evenredigheid:

f4<p0 man : ^?0?5 man = 9 maanden : x maanden , en

43

X = £^ = 61 maanden.
4 "

15*. De gezamenlijke dagelijkfche uitdeeling aan al
de manfchappen,- en^ daar het getal van deze onveran-
derd blijft , ook natuurlijk de bijzondere uitdeeling aan
eiken man , moet verminderen m de omgekeerde rede van
die , waarin de tijden , welke de geheele voorraad zal
moeten (Irdiken , vermeerdert, want, hoe langer men m^
den geheelen voorraad zal moeten toekomen , hoe mil-
der men eiken dag zal dienen uit te deeleii. Men zal
dus hebben eene omgekeerde evenredigheid, welke men

in

Ö4 Vn- HOOFDDEEL. XLH. Les.

in deie regte kan veranderen,

j '- f 5hectogrammesvleesch,

i£E maanden : ƒ maanden =: < i kilogramme brood,

. ( 1 decil, brandew, : x dito*

De rede van io| tot 8 kan in geheele getallen het kortst
worden uitgedrukt door 51 en 40 , en men zal bevin-
den 9 dat, als de geheele voorraad io| maanden zal moe*
ten (ttekken, de dagelgkfche uitdeeliag aan eiken man
zal moeten bepaald worden op 3|{, dat is bijna 4 hec-
togrammes of Nederl. oneen vleesch ; |? , dat is nage-
noeg I kilogramme of Nederl. © , of 8 Nederl. oneen
brood, en I?, dat is weder nagenoeg | deciliter of Ne-
derl. maatje , overeenkomende met 8 vingerhoeden bran-
dewijn.

i6«. Daar de tijd, welken de geheele voorraad (trek-
ken moet, in dit geval dezelfde blijft, is het klaar dat
de gezamenlijke uitdeeling aan de ipanfcfaappen ook zoo-
wel vóór als na de vermeerdering van het garnizoen,
alle dagen ev^en groot zal moeten blijven , en daar nu
1800 man zic^ zullen moeten vergenoegen met den voor-
raad, die te voren onder 1600 man verdeeld werd, is
het wederom duidelijk, ^dat de uitdeeling per hoofd klei-
ner zal moeten uitvallen, namelijk van 4^, dat is nage-
noeg 4§ hectogrammes , of Nederl. oneen vleesch, f ki-
logramme of Nederl. fi brood, en f deciliter of maatje
brandewijn per dag. '

i7\ In de Noot op het antwoord van het io« voor-
beeld is aangemerkt geworden dat geld , met t^jd ver-
menigvuldigd , eerst eene oorzaak wordt , die winst of
interest kan opleveren. Daar nu in het onderhavige
voorbeeld het gewrocht, de interest, in beide gevallen

de-

vu. HOOFDDEEL. XLH. Les. 6$

dezelfde moet zijn , moeten ook de oorzaken dezelfde wezen »
namelijk voor den gevraagden tijd x maanden ftellende,
2000 gl. X X maanden =: 1600 gl. x 8 maanden,
waaruit deze evenredigheid :
. p(000 gl. : }(^00 gl. = 8 maanden : x maanden, en

X = 4x8 = 6| maanden.
5
Men ziet dus hieruit 9 dat , wanneer de interesten ge*

lijk zijn , de kapitalen in de omgekeerde rede ftaan van

de tijden. Zie art. 6(^6 der Cijferkimst.

iS*". Daar in dit voorbeeld de tijden en de winsten
der kapitalen even groot gefield zyn , zoo zal de winst
ten 100 kleiner worden, naarmate het kapitaal grooter
wordt , men heeft dus :

600 gl. : 750 gl. omgekeerd = 3§ pCt. : x pCt.
waaruit, volgens den Algemeenen Regel, in art. 629
der C^ferkunst, deze regte evenredigheid:

iS^ gl. : ^00 gl. = 3i pCt. : X pCt.

en X = ?^ = 2i ten honderd.
5

19*. Het gewigt van al de goederen is looxiaoo»,
en om dezen last op 88 kanen te vervoeren, zal men
elke kar met 1363^ «moeten beladen.

ao«. Hoe grooter het profil der uitwatering is , hoe
grooter ook de hoeveelheid water zal zijn, die zich
door dezelve in eenen gegeven tijd kan ontlasten, doch
hoe kleiner daarentegen de tqdruimte zal wezen, welke
eene gegevene hoeveelheid water daartoe zal behoeven.
Daar nu deze hoeveelheid dezelfde blijft , zullen de tij-
den in de omgekeerde rede ftaan van de profils der uit-

wa-

«6 VIL HOOFDDEEL. XLH. Les.

watering, en de gevraagde tgd zal bevonden worden te
zijn ; i5f <^gen,

aï% Om met ; betzelfde' kapitaal in minderen tijd ze-
kere gegevene winst te doen, zal de betrekkelijke winst
(die ten ipo, bij voorbeeldj moeten aangroeijen, en
wel in de omgekeerde rede van die^ waarin de tijden
verminderen , aldus zal men het antwoord bevinden te
zijn: 4| pCt,

22\ Hoe goedkooper de rogge wordt, hoe meer
S brood men voor hetifclfde geld zal kunnen bekomen,
dus zal men , nadat de rogge , in dit voorbeeld , is af-
geflagen, voor 5I ftuiver 3| ® brood kunnen koopen.
Zie zru 691 der Cijferkunst (♦}..

VII. HOOFDDEEL. XLIV, Les. Toepasfing der Za^
tner?gejklde Evenredigheden,
Meer voorbeelden tot oefening^ op bl. loi.
S». voorbeeld: 9922 gl. en 50 cents. Zie art. 688
der Cijferkunst.
9*. 7 gl. en 81J cents, of 16 ftuiv. en een oortje.
10". Volgens art. 687 d?r Cijferkunst zal men de vol-
gende Zamengeftelde Evenredigheid hebben:

iH^ gl. Xt^rü.i t^J^S gl- X i7l ni. = 3| gl. int. : x gl. int.
.8 . - 4 65 35 ^

^ 5

waar-

(*) De ophelderingen in de be^itwoording dezer voordel-
len zijn hier alleen ten overvloede, en wel ten behoeve van
minvatbaren, ter neder geileld. Men had kunnen voldaan mee
den leerfing naar de 42% 43* en 44' Lesfen der Cijferkunst
zelve te verrijzen. Ook zorge de Onderwijzer vooral, dat
deze ophelderingen geenen afbreuk doen aan de gezette be-
'^"^ening der aldaar opge^evene regelj en betoogen.

yn. HOOFDPEE L. XLIV.LjÈSé 6?

waaruit x =: ^SXSSXS — 88 g1, , 17 fttiiv. en 5I penh.
8x4x4 - V ^vf.

II". 215 gl, en 62I ccöts, ctf 12 ftuiv. én, 8 pBün.
Zie art. 702 der Cijferkimöu , . • ; .' :

. :sa\ .i&53*'gl.v I ftuit. en 7t^ penn. qf 7^ cems.
Zje art. 703 der Cijferkunst. -

* jy^ 124I »•• ' - ^ ^ *•"--'

. 14*». OndertteHende dat beide fchuttingen op.gd^
oppervlakte , evenveel vertv; : behoevétt^ . i$. het antwoord
i,27p6 kilogrammes ruim, dat is: i NedérL.it^ -aonw
een en bijna 8 looden. . • > '< l , :,..

i5«. 71,25 kiloliters, dat is:. 71 kiloliters, è hecto-
liters en 5 decaliters , overeenkomende met 23 NederK
listen , 22 mudden en 5 fchepels.

i6«. Volgens art. 703 der Cijferkunst ftaat hctVverlc,
en dus ook het- werkloon , in de zamengeftelde rede vdn
de werklieden met hunne refpectieve krachten en tijden,
CD het is ook/ieer eigcnigk en daideli|k dat onder iin-
deren de werklieden met hunne krachten worden verme-
nigvuldigd, daar, in dit voorbeeU, de 20 werklieden in
gelqken tijd zooveel arbeid kunnen verrigten als 2ox^f ,
dat is 26 werklieden, wier krachten gelijk (laan met die;
van elk der 12 eerstgenoemden, en nog twee jongens^
die ieder maar ^én derde van die kracht kunnen uitoefe-
nen. Voor het antwoord zal men vinden: 2127 francs'
en bijna 98 centimes.

i7*. 7/t »•
ii\ 8^'j voeten breed.
Ï9*v39l7f voeten breed.

26*. In het vraagilttk self Qiagt bet antwoord, te
weten: 8 uren* oigtizedby Google

6S Vn. HOOFDDEEL. XLIV. "Le^.

ftI^ 4900 gL en nagenoeg 30 cents ka|)itaal.

2a«. (3J voeten hoog.
. as*. 365 gl, en 62^ cents.

24«. 7 jaren en 7 maawJen.

a5«. In plaats vaö 27 weken, zal men in dh voor-
beeld dienen te lezen 27 dagen, alswanneer men het
antwoord zal vinden te zijn : lof uren. Laze men 27
weken , en rekende men 6 werkdagen per week , dan
zouden die 15 werklieden ieder 64I uren per dag moe*
ten arbddien, hetgeen blqkbaar onmogelijk is.

26\ 18 werklieden.

ar* 650 „.

vn. HOOFDDEEL. XLV. Les. Over de verdere
Eigenfyhappcn der Evenredigheden , derzelver Toe^
. pasfing en inzonderheid over den zoogenaam-
den Ketting-Regel.

Meer voorbeelden tot oefemng^ op bl. 114.

i\ voorbeeld: 2673 acht-en-twintigen en ai ftuiv.

s*. pap dukaten en een' dukaton.

3*» Volgens de voormalige waarde , 18327 zesd*hal-
ven en 72 cents , doch volgens de tegenwoordige waaide
van 5 duivers, juist 20160.

4«. Tegen 7pJ cents, of 15 ftuiv. en i3|f penn.

5*. Tegen 6 gl. de el. • ^

6% Op 344 g^ .

' 7». p fchell. en 1^ groot fterlings.

8«. 33 de 5 I ^chelU en 8^^ groot, of ip8 gl., 10
ftuiv. en i^ penn.

p*. I d?» 3 fchell. en p^y groot, of 7 gl*. 2 ftuiv.
en ^ penn. nigtizedby Google

IQ\

Vn, HOOFDDEEL. XLV, i.El. 69

IQ*. Op 4a gU, 8 ftuiv, en' 6JJ penn. . ,

Vni- HOOFDDEEL. Verdere toepas/ïng van het
voorgaande.

XL VI. Lps. Over de Percent^B^ekening.
Voorbeelden op bl. 117. .

<a. 77 gl.; 3 ftuiv. en 6| penn,

*• 35K> gl- 9 ^ ftuiv. en (^5 pcnn.

c. 834 gl., 5 ftuiv. en 9/5 penn.

^^ 378 gl. 9 18 ftuiv. en loJ^J pem.'

r. 210 gh , 15 ftuiv. en i//^j penUé

ƒ• 348 gl* 9 6 ftuiv. en 6|§ penn.

g. 81 gl. , 19 ftuiv. en 4/5 penn.

6. 238 gl. en 22,925, dat is nagenoeg 23 cents.

f. 321 gl. en 52,8025, dat is nagenoeg 53 trents.
*. 34 gl. en 53*58 1^5, dat is ruim 53^ cents.

/. 511 gl. en 89,4625, dat is bijna 895 cents.

m. 336 gl* en 90^759375» dat is bijna 91 cents,

n. 487 gl. en 38,4875 of bijna 38 J cents.

p. 346 gl. en 31,0625, of 31^ cents.

Verklaring van het 2« voorbeeld op bl. 117.

Eerst is het kapitaal vermenigvuldigd met het aantal
der jaroi, namelijk tnet 7, vervolgens noemt men voor
de 4 maanden, die juist één derde jaar uitmaken , nog
één derdedeel van het kapitaal , en telt dit bij het eerst--
verkregene produkt. De aldus verkregene fom , die in
B ftaat, is dus gelijk aan 7| maal bet gegevene kapi-
taal, en wordt nu zelve als kapitaal aangemerkt, en
daarvan de interest a 5JI pCt. berekend, waarbfl valt
op te merken, d^tmen» Qa qet 5 vermqügyuld^d te

heb.

70 vm. HOOFDDEEL. XLVI. Les.

hebben, van de breuk '^ eerst /er neemt, welke zbo
veel zijn. als ^én half,,, waarvoor men dan ook de helft
van bet kapitaal bijtelt , vervolgens /^r 9 welke half zoo
veel zijn als /^ , en waarvoor dus de helft, van het ach-
ter de 'cerstgeoielde breuk uitgedrukte geld , genomen
wordt, en eindelijk ^y j voor hetwelk, als één vierde
van ^ zijnde , ook één vierde van de achter de ^ uit-
gedrukte fomme wordt gerekiend. Defom van al deze
gedeeltelijke produkjten wordt, . eindelijk door 100 ge-
deeld, en het «it woord aldus gevonden,, even als in
de oplosfing te mn is. ,

Voorbeelden op bl. irp.

^* 4^3 gï- 9 8 ftuiv, en i%\l perni.

b. is.ti gl. , 16 ftuiv. en iijg p^n.

^» • ^777 gl- > 4 ftui^» ^ 7f|?l9 dat is nagen. 8 penn.

d. 466 gl. , I ftuiv. en 14! penn.

e. . 1942 gl. , 9 ftuiv. en 11 penn.
/• 395 ?l* » 3 ftuiv. en a^^ Jfj penn.
g. 9 gl. , 15 ftuiv. on ^% pain.
h. 22 gl.., 12 ftuiv. en iiflSS penn.

/. 282 'gf. en 14,61609375, dat is ruim 14I cents.

Jt. 1314 gl. en nagenoeg 23 cents.

/. 1345 gl. en 86 cents.

m. 816 gl. en circa 89 cents;

n. 66 gl. en ongeveer 71 cents.

o. 9 gl. en circa 51 cents.

/• ^95 g'- 9 4 ftuiv. en n penn.

Voorbeelden 'opjbl* 120;

^. 4Ö gl. ^ i9^:ffttiv. en Jf peijiiwdbyGooQle

Vffl. HOOFDDEEL. XLVLLe^s, ?t

b. 55 gl- 5 19 ft«»v. en 5/5% penn.

e. a94 gl. , 18 ftuiv. en a|*5 pcnn* '

J. 45 gl. , 15 ftuiv, en |§|g penn. , of riiim 75 cents.

e. . 323 gl-j I ftuiv. en i^m penn.

il/tf^r voorbeelden op bl. laa.

/3f. 234 gl., 18 ftuiv. en 12^ penn.

b. 552 gl. , 18 ftuiv. en 9^ penn.

c. 354 gl. en ruim 34 cents.

Voorbeelden^ onder art. 7^1.

a. 2956 cC, 17 fchell. en ij| groot , of 17741 gl. en
13,6 cents, of 2 ftuiv. en ii§| penn.

b. 309 dC, 18 fchell. en i/^ groot, of 1S59 gl.
en 44,275 cents, of 8 ftuiv. en 13^ penn.

c. 905 gl., 14 ftuiv. en Jl penn. .

d. 1857 dC, 4 fchell. en i^ groot, of 11143 gl.,
4 ftniv. en 13U penn.

c. Lees in dit voorbeeld 38I ftuiv., en 167 ©tarra,
niet van elke kist , maar in het geheel , en men zal het
antwoord bevinden te zijn: 1379 gl. , i ftuiv. 'en '10^
penn.

ĥ 5799 gl' en 90,7141875, dat is bijna 91 cents,
of 18 ftuiv. en aJ^J penn,

Voorbeelden op bl. 123.

a. 8 gl. en 81,75 dat is 8i| cents, of 16 ftuiv. en
5| penn.

b. 936 gU en 23 cents, of 4 ftuiv. en 9^ penn.

VnL HOOFDDEEL. XLVH. Les. Over het bcrtks^
nen van Winst en Verlies in den Handel.

In de oplosfing van het 2^ vraagftuk, op bl. 125,

is

jt Vm. HOOFDDEEL. XLVII. Les.

is eene drukfeil ingeflopen. De eyenredigbeid moet z^ :

9tiSs\* kapt. X ^ m. : ^00 gl. Ixpu x ia m. = 5^7 g'- w, :
1627 ;t0 X gl. winst.

4

en X r= — r =s 10 — >?— pCt.

1627 1627

In die van het 5^ vraagftuk is mede eene drukfeil. De
inkoopprijs is 1882 gl. en 10 ftuiv. , en de geheele
winst 549 gl. en 16 ftuiv. De zamengeftelde evenre^
digheid moet dus zijn:

1882I gl. X 32 m. : loc gl. x 12 m. = 549^ gl. : x gl. winst,
waaruit x zal gevonden worden = ^00^;^ winst ten
ipo in het jaar, weshalve in dat tijdsverloop de winst
meer dan het kapitaal zelf zou bedragen.

6«. vraagftuk: x = 12 ftuiv. en lOj^ penn.

Meer voorbeelden tot oefening^ op bl. 127.

7*. vraagftuk: De geheele winst is 8 gl. , 10 ftuiv.
en die ten 100 in het jaar 26||f.

8*. Tegen 16 ftuiv. en 8|^ penn.

9^ De geheele winst is 2^2 gl. en 12 cents, of 2 ftuiv,
en 6| penn., en gevolgelijk wint hij 67y||f7 ten 100
in het jaar.

io«. Bij den inkoop was *de geheele partij kofBj vaa
dezelfde kwaliteit , althans dit kap men aannemen , daar
het vraagftuk het tegendeel niet bepaalt. Men berekene
nu eerst den inkoopprijs van de 3620 ® , daarbij tevens
naar evenredigheid het aandeel in de onkosten tellende,
hetwelk 7 gl- , 8 ftuiv. en 7^ penn. bedraagt. (Men
kan ck)k de geheele inkooppr^s met al de onkosten be-
rekenen , en dezelve . naar evenredigheid van de ponden
v^n-elke der twee partyen, in twee deelen verdeelen.)

Zoo

Vffl. HOOFDDEEL. XLVIL Les. 73

ioo doende zal men bevinden, dat op de 3620 9 in
ééne maand wordt gewonnen 354 gl. , 11 ftuiv. tn 8||f
penn. Wanneer deze winst in evenredigheid van de tij-
den zal toenemen, (gelijk men dient te onderflellen) dan
zal dezelve in twee maanden ook tweemaal zoo veel,
dat is 709 gl.5 3 ftuiv. en iJH penn. bedragen, (men
onderftelle namelijk dat er in het vraagftuk, door de uit-
drukking: JocA na verloop van fwcö maanden^ bedoeld
zij twee maanden na den inkoop; niet na den* verkoop
van het eerfte gedeelte der partij). Op het resterende
van de geheele partij koiBj, wordt wijders verloren 569
gl. , 13 ftuiv. en 8|ff penn., en wel mede in den tijd
van twee maanden. Men kan het dus befchouwen,
alsof men de beide partijen tegelijk verkocht hadde, en
de winst en het verlies door elkander rekenende , zal
het zijn , even als hadde men op de geheele partij in
twee maanden tljds zuiver gewonnen 140 gl. , 9 ftuiv.
en 8|f| penn.* Om nu de winst ten 100 in het jaar to
vinden, rcdenere men aldus: met 5279 gl., den ge-
heelen inkoopprijs wint men in twee maanden 140 gl. ,
9 ftuiv. en 8|ff penn., hoeveel dan met 100 gl. in een
jaar, en het antwoord zal zijn: i5Tfflf§7 PCt.

ii«. Dit vraagftuk zou men kunnen oplosfen door
ééne zamengeftelde evenredigheid, aldus:
100 gl. kapt. X 12 m. : X gl. kapt. x 4 m. = 20 gl.
winst : 1532 — x gl. winst, waaruit: 16 x = 15 x
1532 ; doch de leerling die nog niet heeft geleerd roet
cene negatieve grootheid te vermenigvuldigen, en du^
niets van ftelkunde weet, bediene zich van de volgende,
meer eenvoudige oplosfing. Hij zoeke eerst de winst
ten 100 in 4 maanden, door aldus te redeneren: in 12

D maan*

74 VHL HOOFDDEEL. XLVn. Les,

maanden wint men met loa gl. ao gl. , hoe veel wint
men dan met hetzelfde kapitaal in 4 maanden, antwoord:
6| gl. Nu redenere hij verder aldus : voor iedere io6|
gl. , die ik bij den verkoop ontvang , heb ik flechts 100
bij den inkoop betaald, hoe veel kost mij cian eene
partij, waarvoor ik 1532 gl. ontvang. De volgende
evenredigheid zal dit oplosfen :

ió6| gl. verk. prys : tSif' gl- verk. prijs rr 100 ink. prijs : X
%jL(f> 3^3 ^00 gUink. prijs

men vermenigvuldige de beiden voorgaande termen eerst
met 3, en deele dezelve vervolgens beide door 20.
Daarna, verkleine men de beide eerde termen met 4 , en

men vindt de waarde van x = 383x15 = ^436 gl. en 5 ftuiv.

4
I2\ Met 33§ gl. wint men dus in ééne maand tijds

8| gl., hoe veel dan met 100 gl.. in 12 maanden, ant-
woord : 30411 , dat is meer dan hpt drievoud van zyn
kapitaal in één jaar.

Vm. HOOFDDEEL. XLK. Les. Over het gehalte
van het Goud en Zilver^

Meer voorbeelden op bl. 135.

!•. In het nieuwe gehalte nagenoeg : 817,71 — 888 —
en 9525^5.

a% Nagenoeg 913,2 — 928,82 — 813,37.

Meer voorbeelden tot oefening^ op bl. 137.

V. Lees voor 17 greinen, 17 penn. ; doch daar in
het gehalte voor het goud één karaat 12 penn. houdt »
is 19 karaat en 17 penn. zoo veel als 20 karaat ei) 5
petm., en er zal aan zuiver goud in den klomp zgn:
9 mark, 3. oneen, 8 engels en o azen. .

Vni. HOOFDDEEL. XLIX. Les. 75^

a*. 10^029688 hectogrammes.

3\ 12 marken, 6 oneen, 15 engels en 15^^ azen. :

4«. 12,7281 beci;pgrammes nagenoeg.

Meer voorbeelden op bh 138.

De verhouding van de hectogramme in Hollandsch
Trooisch gewigt is in art. 800 en 801 ablufievelijk op-
gegeven, gelijk al dadelijk in het oog valt. Immers het
mark HolL Trooisch houdt,, volgens de waarnemingen
van VAN swiNDEN te Partjs gedaan, en gelijk de Cij-
fericunst ook zetr juist opgeeft, niim 24e grammes, en
hectogramme zegt zoo veel als' 100 grammes, zoo dat'
een mark Holl. Trooisch omtrent 2% hectogrammes, en
de hectogramme bijgevolg omtrent | mark bevatten moet.
Men kan ^ie verhouding zelf vinden door dezenr regten
Regel van Driefn:

246,08386 grammes : 100 grammes (of i hectog.) ;r:
I mark. Holl. Trooisch : x mark. Holl. Trooisch, en
men zal bevinden dat, gelijk reeds te voren is aange-
merkt, de hectogramme niet 0,10159135, maar viermaal
zoo veel of nagenoeg 0,40636554 marken Holl. Trooisch
bevat, met welk laatfte getal men dus in plaats van met
het eerde moet vermenigvuldigen , en men ziet dat de
uitkomst van het in art. 802 uitgewerkte voorbeeld , door
eene drukfeil juist- viermaal te klein moet zijn.

a. I mark, i once, i engels en circa n azen.

b. a oneen, 12 engels en 26 azen nagenoeg.
r. a oneen, 6 engels en bijna 23 azen.

Meer voorbeelden achter art. 804.

a. 8,9205 hectogrammes nagenoeg. . .

b. 4*»<^87 of bijna 42,1 hectogrammes , want het vcr-

D a fchil

1

76 VIIL HOOFDDEEL. XLIX. Les.

fchil is iets meer dan ^^ gramme of Nederl. wigtje , dit
is één kcMT^l.

c. Nagenoeg 1,159 hectogramme.

Achter art. 805.

!• Voorbeeld : 250 gl. , 16 ftuiv. en 9//^ penn.

2\ In dit voorbeeld zal men in pliats van 57 gl. ,
357 gl. moeten lezen , en alsdan het antwoord bevinden :
«570 gl., 18 ftuiv. en 9|^| penn.

$: In de oplosüng van dit voorbeeld is mede eene
verkeerde verhouding gebruikt; als een mark fijn waar-
dig is 23 gl. en 90 cents , zal de hectogramme of de
Nederl. once nagenoeg 9 gl. en 71 cents waarde heb-
ben, en doordien de geheele baar 19,6267 hectogram-
mes nagenoeg aan fijn zilver bevat, zal de waarde van
dezelve 190 gl. en circa 57^ cents bedragen.

4*. De waarde van de hectogramme fijn goud is in
dit voorbeeld nagenoeg 145 gl. en 48 cents, en volgens
deze zal de waarde van de geheele ftaaf 4059 gl. en
circa 52 cents bedragen.

Vraagftukken op bl. 140.

3*. Vraagftuk. Er zal alsdan aan koper moeten bij-
gevoegd worden , i mark , 8 engels en 16^ azen.

4*». Het zuivere zilver , dat men bij de baar moet
voegen, zal liet gehalte van" 11 penningen moeten be-
houden , en kan dus i penn. per mark misfen , het ge-
halte van de baar moet daarentegen op ieder mark ij penn.
verteterd worden , dit te kort komende moet men vinden
uit het overtollige van het fijne zilver, en bij de mmste
oplettendheid, zal men bevinden dat 9 marken fijn zil-
ver, om zoo te fpreken , in ftaat zullen zijn, om 8
marken van de baar tot het begeerde gehalte te brengen.

lm-

Vni. HOOFDDEEL. XLK. Le^. 7y

Immers ieder mark fijn heeft één penn. te veel ^ dus ook
9 marken, 9 penningen over; ^ marken van de baar
komen 8* x ij, dat is 9 penn. te kort, welk te kort
evenveel is als het te veel van de 9 marken fijn, bijge-
volg zal men zoo veel maal als er 8 marken zilver in
de baar begrepen zgn, 9 marken fijn moeten bgfmelten.
Aldus redenerende , kan men dit vraagftuk oplosfen door
dezen eenvoudigen Regel van Drieën.
8 mark. van de baar : 3 1| mark van de baar ±r 9 mark fijn : x
mark fijn, en men zal bevinden dat er 35 marken, 5 oneen
en 15 engels fijn zilver zullen moeten worden bijgevoegd.

5». 8,58924 hectogrammes fijn goud.

6*. Dit vraagftuk laat zich wederom door redenering
gemakkelijk oplosfen. Het goud van 950 gehalte , dat
men bijfmelten wil, moet 900 gehalte behouden, en
beeft dus 50 deelen goud op iedere duizend te veel ;
dat van 876 gehalte moet op 900 gebragt worden , en
heeft dus 04 deelen goud op de duizend deelen te wei-
nig, nu ftaat 24, tot 50 als ia tot 05, en bijgevolg 2al
men §| van ^7,81 dat is 13,3488 hectogrammes goud
van 950 gehalte bij de baar moeten vo^en (♦).

a*. Voorbeeld op bl. 141 : 449 gl., 6 ftuiv. en 8$
penn. of 3a| cents.

2\ Voorbeeld op 142. Hier even als in het !• voor-
beeld de fom der kapitalen lezende, is het antwoord:

tegen 4^^ï pCt.

K. HOOFD-
(*) Men berekene anders flechts boeveel deelen goud de^e-
taeele baar meer moest bevatten om het begeerde gehalte, te
verkrijgen, en deele dit getal door het aantal deielen goud, welke
iedere hectogramme van het by (e fmelten goud boven l^et te
verkregen gehalte bevat. . -

D •?

78 K. HOOFDDEEL. LI. Les.

IX. HOOFM)EEL. Over het trekken der QtiadraaU-
\ en Cubui-wortelen.

LL Les." Over het trekken van den Quadraats-wortel.

. Voorbeelden op bl. 158.

De vierk. wortel uit 3,7 is nagenoeg 1,9235384062.
- V 11,3 = 3,36x547262.8. ^
V/ 0,19 == 0,4358898943.
y 0,031257 =: 0,1767964931, èri
1/ 0,00000981672 =s o, 003 133 1^545 alles nagenoeg.

Méér voorbeelden op bl. 159,

V 132- . .

V 7' . ' i , f.

v/744'. ' ■ . ,
1/17. ': . 1 ■

1/ i.i. 1
i/- 34- • ' - ^ ; - -

t/ 3- ■ ■ -■ ■ , ■-.-•■,.

V 13' ' ' , . •
. t^ 89* :.';■.■ f • r

1/3. • •

y.13. . ■;. .-: '■;■

\/ .10$. ■ '. . ' - ^

V S'

V 4<^

^ "1 = 3f., : ' ;

1/ 125 =: I 1/ na. u'

V 83^ = ^ V^ 10098. Oigizedbyt^OOgle

v/f =

f 1

v\\-

z
Ï2

V//er =

ï.

l/|l.=

gr

.1/^ =

tV

f/A =

T*T

vn =

3

V^5f =

i|

t/l^=ï

.1

^<i/.^-.V=s= .•!

V8| =

if

V7A-

ifl

V4 =

?

v/ij =

Z

s

V'6| =

^l'.

^ Ill =

. z

- ï

IX. HOOFDDTEEL. LI. Les. ' yj

|/ io6i§f = ér V 774144.
V 40I43TJ = A V" 13Ó06350*

Toepasfelijkc vraag/iukken op bl. 159,

!•• Vraagftük. Dewijl 59 gl. en 9 ftuivew , dat is
1189 duivers een onvolkomen vierkant getal is, en er
naar het aantal peifonen gevraagd worde, welk aantal
wel geene breuk of irrationaal getal zal kunnen zijn,
zoo is dit vraagftuk, zoo als het daar ligt, onoplosbaar.
Indien de vertering 57 gU en lö ftuiv. bedragen had,
zouden er 34 perfonen geweest zijn, en 35 wanneer
dezelve 61 gl. en 5 ftuiv. had bedragen.

a*. Voor dit getal x ftellende , zal | x x f 3t, dat
is è X X of J X* = 3456 zijn, en x* = 6x3456, ge-
volgelijk: x = |/ 6x3456,' weshalve men het begeerde
getal zal vinden door den vierkants wortel te trekken
uit zesmaal 3456, welke is 144, het begeerde getal.

3«. 28,618 voeten nagenoeg.

4*. Dewijl de grootte van een vierkant .door vlakte-
tnaat^ dat is hier vierkante ellen, en die van deszelfs
zijde door lengte-maat bepaald wordt, zoo kan men in
eenen eigenlijken zin niet zeggen dat eert vierkant 7|
maal grooier moet zijn dan eene zijde , lees daarvoor dus
in dit vraagftuk: 7| maal grooter dan een vierkant^
welks zijde is 773 Neder l. ellen ^ en alsdan zal het ant-
woord zijn: 2140,34 -Nederl. ellen nagenoeg.

5*« 37^88 14 Nederl. ellen bijna.

ö*. 37^47 roeden nagenoeg.

7*. . Ongeveer 26,7 voeten.

t*« Die midden-evenrcdige zal z|jn 508,9 nagenoeg.

D 4 9%

^8o Ut. HOOFDDEEL. LL Les.

1^

f51 In de Meetkunde wordt bewezen dat van eenen
regthoekigen driehoek de fchiünfche 2yde of hypoïhenufe
gelijk is aan den vierkants-wortel uit de fom der vier-
kanten van de beide oyerige zijden , weshalve de fchuin-
fche zijde zal zijn 241,847 voeten nagenoeg.
^io°. Ten einde de begeerde regthoekszijde te vinden,
moet men bet vierkant der bekende regthoekszijde van
dat der fchuinfche z^dje aftrekken, en uit het overfchot
den vierkants-wortel nemen, zijnde omtrent 230, welke
de lengte aantoont van de zijde A B.

IX. HOOFDDEEL. Lil. Les. Over het trekken van
den Cubus-y/ortcU

Jil4er voorbeelden op bl. 167.
i/ |§ = & V' 39Ö = 0,611952.
|/ #T = I V^ 9 = 0,4622408.
V' /é = I • a = 0,75595^6.

Verder:

V I5i = ai.

V' 7§ = 1} V^ 3 = i»9aa9995.
1/ 8|| = iJ V^ 5 = ^,0519511-
1/ 36II = if V/ 6= 3.3313877-

V 4a}|f = lA v' 33 = 3.5 nagenoeg.

igitizedby Google

7>#-

IX, HOOFDDJEEL. LIL Les^^ 5i

Toepasfelijke yraagftukken op bl. 167.

I*. Vraagftuk: 14,1879 voeten.

^^ 8,9578 voeten.

3«. a5i363 maal.

4*. ao,39, alles ruim.

5*. EHt getal is 144.

6«. Stel dat er x mannen geweest zqn , dan zullen er
a X vrouwen en 3 x kinderen, dat is in het geheel 6 x
perfonen geweest zijn, die'elk, door elkander gerekehd,
x^ Huivers , en dus gezamenlijk 6 x^ ftuivers hebben
verteerd , nu is 6 x^ = 48 , *en de beide leden dezer
vergelijking door 6 gedeeld zijnde, komt x^ zs 8, hier-
uit verder den cubus-wortel trekkende , vindt men x ^
2, dus zijn er m het gezelfchap 2 mannen ^ 4 vrouwen
en 6 kinderen, dat is 12 perfonen, die, door elkander
gerekend , elk 2x2 of 4 duivers hebben verteerd. . . , -

X. HOOFDDEEL. Over de Reken- en Meetkumiig^
Reekfen tVL dt Logarithmen.

LVII. Les. Uitvoerige verklaring van het Gebruik
der Logarithmen.

5# Voorbeeld op W. 205.

Log. 17,3875 = 1,2402372
addeer:Log. 0,8539 = 9^93 14070 — 10

i,i7i6442C^
Log. p = 2,3432884}
en p = 220,439.

Log. ^,7^93 = 1,0692721
addeer:Log. 75^153 =L2:£582544

1,9275265^^^
Log. q =r 3,8550530

D 5 DigitizedbyGoOglè tVi'

8i X. HOOFDDEEL. LVH. Lbs.

en q = 7162,308

addeer: p = 220,439

p + q = 7382,747

Log. (p + q) = 3,8682180

Log. X = ^-)i,934i<^>9o
en X =: 85,9229.

6^ FoorbceJd.

a = i7359»3
b = 22759,1

a 4- b = 40118,4
Log. a = 4 2 39532 2^j^ Log. b'== 4^357T55V^

8. 4790644 8,7143102

^ V

Log. p — '^^2,8263548 Log. q = ''^2,9047701
en^ prr: 670,4321 q es 803,1009

. addr. q=: .803,1009

p + q= 1473.533

Log. (a + b; = 4.<Jo33437 ^

a)-

2,3016718

Log. CP + q) = 3.1683599 afgetr.

komt Log. X = 9,1333^^9 — 10
en'x =. 0,135929..

7* Voorbeeldi

a = 0,7352

b = o,o3Öi •*.

*+ b S= 0,7733 D^gitizedby Google

Log.

X. HOOFDDEEL. LVH. Les.

Log. a = 9^8664o55 — lo
Log, p = I Log. a = 9^933^0^7— 10
Lo^. r = I Log. a. = 9^9198433 — 10
p = 0,857438
r = 6;^ 3 1464. .
Log. b = 8,5809250 — 10
Log. q = l'Log. b :;=. 9,2904625 -^ 10
Log. s = I Log. b.= p;i48555o — IP
q = 0,19519a
s = 0,140785
p + q = 1,052630
r .+. s = 0,972249
^ I^og.. (a + W = 9,<^88348p - 10 .

—^ — "^ (2

% Leg* Ca + b) = 9,77^6960 — 10

- Log. Cp +:q) =30222759 bij.

9979^97^9 — 10
Log. Cr 4- s^ = 9:9877776 — 10 af
Log. x t= 9.8111943 — ï^
en X = 0,647432.

8# Foorbeeld.

p = i83jl!^:q = 17,375-

^^éM = 1^2399248

^!||r 2,4798496^^

af 0,3010300

' Log. V = 2,1788196

en V = 150,9453

Log. p = 2. 264 '^^7 ^8

6,7931214^3

af 0.8293038

* Log. w. = 5,963817^ *^8'^

«4 X. HOOFDDEEL.'LVn. Le3.

€n w = 920063,1

addeerrv = 1 5^^9453

V H- w = 9^0214,1453

Log. (V 4- w) = 5.963^889

LfOg. z = ^X 2,9819444

z= 9S%^ni

addeer: v = i5o,9453

V + z = 1110,2230

Log. (v + z) = 3,0454103

Log. X = 3) 1,0151368

X = 10,35468.

ptf Voorbeeld.

a = 0,73585 b = 0,7924, c =: 0,3871*
Log. ar= 9,8667598— 10 ^
add: Log. b=9.8989445-xo Log.t: = . 9,587^^3^-30

n(L.a+L.b)::=9,53 14086— lo C^
|Log, c = 9,8626077— 10 af
blijft Log. p = 9,6688009—10
en p = 0,4664454
i + p = 1,4664454
Log. (i+p) = 0,1662660 '

addeer f 0,0554220'
Log. q = 0,2216880
en.q= 1,66605
addeer 2 a = o>7358
a-hq= 2,40185

Log. Ca+q) = 0,3805459 .

1,1416377^3
Log. X = 5)0^2283275 en X = 1,6917.

Digitized by CjOOQ IC

voor^

TWEEDE BIJL-AGE.

85

Voorbeelden tot oefening, op de tweede bijlage ,
bl. 225.

!•. De verhoudings-getallen van den betrekkings-wij-
zer, die men in dit voorbeeld verkrijgen zal, zijn 3,
5, 2, I, I, 18 enz., waarmede volgens den Regel

enz.

+ — + — + — +
Zal men de bovenftaande breuken bekomen, en daar-
uit kunnen zien, dat de verhouding van den Meter tot
den Rijnlandfchen voet, al zeer na wordt uitgedrukt
door de getallen 1599 en 502.
2«. Hier zal men hebben:

werkendi

t aldus:
3 5

a

I

I 18

X

\ V

ff

w

8(5 1599

57 yö2

l

20
11

|3|

2 enz.

128

Td5

Vs\

ÏÏ59'

+ — + — •+• — + — +

en men zal bevinden, dat de getallen 809 en 950 de
begeerde verhouding nagenoeg voordellen.
y. Men vindt:

2 I 41 I I I 4 enz.

4T

85
42

255

enz.

-h — 4- — +
waarvan de getallen 423 eri 209 zeer wel voldoen, om
de begeerde verhouding uit te drukken.

Einde van de Antwoorden op het Tweede Deel.

^.- DigitizedbyCjOOglC

igitizedby Google

YA 0241 r

iw32S073

i

,f